Тема №6046 Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 9)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 9) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов (Часть 9), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

§ 1. Конечное число точек, прямых и т. д.
21.1. Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в два цвета.
Докажите, что существуют две горизонтальные и две вертикальные
прямые, на пересечении которых лежат точки одного цвета.
21.2. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 располо-
жено пять точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя
из них меньше 0,5.
21.3. В прямоугольнике 3 × 4 расположено 6 точек. Докажите, что
среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не превос-
ходит √
5.
21.4. На шахматной доске 8 × 8 отмечены центры всех полей.
Можно ли тринадцатью прямыми разбить доску на части так,
420 Глава 21. Принцип Дирихле
чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной
точки?
21.5. На плоскости дано 25 точек, причём среди любых трёх из
них найдутся две на расстоянии меньше 1. Докажите, что существует
круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек.
21.6*. В квадрате со стороной 1 находится 51 точка. Докажите, что
какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса 1/7.
21.7*. Каждый из двух дисков разделён на 1985 равных секторов
и на каждом окрашено произвольным образом (одним цветом) по
200 секторов. Диски наложили друг на друга и один стали повора-
чивать на углы, кратные 360◦/1985. Докажите, что существует по
крайней мере 80 положений, при которых совпадает не более 20 окра-
шенных секторов.
21.8*. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четы-
рёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по
крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
21.9*. В парке растёт 10 000 деревьев, посаженных квадратно-гнез-
довым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число
деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если
встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня?
(Деревья можно считать достаточно тонкими.)
21.10*. Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри
выпуклого n-угольника, чтобы внутри любого треугольника с вершина-
ми в вершинах n-угольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?
21.11*. Внутри выпуклого 2n-угольника взята точка P. Через каж-
дую вершину и точку P проведена прямая. Докажите, что найдётся
сторона многоугольника, с которой ни одна из проведённых прямых
не имеет общих внутренних точек.
21.12*. Докажите, что в любом выпуклом 2n-угольнике найдётся
диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.
21.13*. Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в три
цвета. Докажите, что существует равнобедренный прямоугольный тре-
угольник с вершинами одного цвета.
§ 2. Углы и длины
21.14. На плоскости дано n попарно непараллельных прямых. До-
кажите, что угол между некоторыми двумя из них не больше 180◦/n.
21.15. В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажи-
те, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма
длин хорд меньше ♣k.
21.16. На плоскости отмечена точка O. Можно ли расположить на
плоскости: а) пять кругов; б) четыре круга, не покрывающих точку O,
так, чтобы любой луч с началом в точке O пересекал не менее двух
кругов? («Пересекает»— имеет общую точку.)
Условия задач 421
21.17*. Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков
длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или
перпендикулярную данной прямой l и пересекающую по крайней мере
два данных отрезка.
21.18*. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько
окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите, что найдётся
прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.
21.19*. На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, при-
чём расстояние между любыми двумя закрашенными точками не
равно 0,1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не пре-
восходит 0,5.
21.20*. Даны две окружности, длина каждой из которых равна
100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой— несколько
дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности
можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на
отмеченную дугу.
21.21*. Даны две одинаковые окружности. На каждой из них от-
мечено по k дуг, угловая величина каждой из которых меньше
1
k
2 − k + 1
· 180◦
, причём окружности можно совместить так, чтобы
отмеченные дуги одной окружности совпали с отмеченными дугами
другой. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы
все отмеченные дуги оказались на неотмеченных местах.
§ 3. Площадь
21.22. В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно непе-
ресекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом
Рис. 21.1
квадрате можно разместить круг радиуса 1
так, чтобы он не пересекался ни с одним из
квадратиков.
21.23*. Дана бесконечная клетчатая бума-
га и фигура, площадь которой меньше пло-
щади клетки. Докажите, что эту фигуру
можно положить на бумагу, не накрыв ни
одной вершины клетки.
21.24*. Назовём крестом фигуру, образо-
ванную диагоналями квадрата со стороной 1
(рис. 21.1). Докажите, что в круге радиу-
са 100 можно разместить лишь конечное чис-
ло непересекающихся крестов.
21.25*. Попарные расстояния между точ-
ками A1, . . ., An больше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь
которой меньше ♣, можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так,
что она не будет содержать точек A1, . . ., An.
422 Глава 21. Принцип Дирихле
21.26*. В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что
найдётся кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3,
в котором лежит не менее 10 из данных точек.
21.27*. На плоскости дано n фигур. Пусть Si1...ik — площадь пере-
сечения фигур с номерами i1, . . ., ik, a S — площадь части плоскости,
покрытой данными фигурами; Mk — сумма всех Si1...ik
. Докажите, что:
а) S = M1 − M2 + M3 − . . . + (−1)
n+1Mn;
б) S>M1 −M2 +M3 −. . .+(−1)
m+1Mm при m чётном и S6M1 −M2 +
+ M3 − . . . + (−1)
m+1Mm при m нечётном.
21.28*. а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника,
площадь каждого из которых равна 3. Докажите, что среди них най-
дутся два многоугольника, площадь общей части которых не меньше 1.
б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников пло-
щадь каждого из которых равна 1. Докажите, что среди них найдутся
два многоугольника, площадь общей части которых не меньше 1/9.
21.29*. На кафтане площади 1 имеется пять заплат, причём пло-
щадь каждой их них не меньше 0,5. Докажите, что найдутся две
заплаты, площадь общей части которых не меньше 0,2.
21.30*. На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекаю-
щиеся отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему
отрезков A. Пусть B — дополнительная система отрезков (отрезки си-
стем A и B не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают
данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос T,
для которого пересечение B и T(A) состоит из отрезков, сумма длин
которых не меньше p(1 − p)/2.

§ 1. Выпуклые многоугольники
22.1. На плоскости дано n точек, причём любые четыре из них
являются вершинами выпуклого четырёхугольника. Докажите, что эти
точки являются вершинами выпуклого n-угольника.
22.2. На плоскости дано пять точек, причём никакие три из них
не лежат на одной прямой. Докажите, что четыре из этих точек
расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника.
22.3. Внутри квадрата A1A2A3A4 лежит выпуклый четырёхуголь-
ник A5A6A7A8. Внутри A5A6A7A8 выбрана точка A9. Докажите, что из
этих девяти точек можно выбрать 5 точек, расположенных в вершинах
выпуклого пятиугольника.
22.4. На плоскости дано несколько правильных n-угольников. До-
кажите, что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее n углов.
22.5. Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый 100-угольник
можно представить в виде пересечения (т. е. общей части) n треуголь-
ников, найдите наименьшее.
22.6. Назовём выпуклый семиугольник особым, если три его диаго-
нали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив
одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый
семиугольник.
Условия задач 431
22.7. Выпуклый многоугольник A1 . . . An лежит внутри окружно-
сти S1, а выпуклый многоугольник B1 . . . Bm — внутри S2. Докажите,
что если эти многоугольники пересекаются, то одна из точек A1, . . .
. . ., An лежит внутри S2 или одна из точек B1, . . ., Bm лежит внутри S1.
22.8*. Докажите, что существует такое число N, что среди любых N
точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно вы-
брать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.
22.9*. Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересека-
ющимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения,
при котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники
ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований, за ко-
торое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите,
что:
а) P(n) > n − 3;
б) P(n) 6 2n − 7;
в) P(n) 6 2n − 10 при n > 13.
* * *
22.10*. Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме
параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении ко-
торых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.
22.11*. Дан выпуклый n-угольник, никакие две стороны которого
не параллельны. Докажите, что различных треугольников, о которых
идёт речь в задаче 22.10, не менее n − 2.
22.12*. Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1 . . . An. До-
кажите, что среди углов AiOAj не менее n − 1 не острых.
22.13*. В окружность вписан выпуклый n-угольник A1 . . . An, при-
чём среди его вершин нет диаметрально противоположных точек.
Докажите, что если среди треугольников ApAqAr есть хотя бы один
остроугольный, то таких остроугольных треугольников не менее n − 2.
22.14*. а) Докажите, что параллелограмм нельзя покрыть тремя
меньшими гомотетичными ему параллелограммами.
б) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, кроме парал-
лелограмма, можно покрыть тремя меньшими гомотетичными ему
многоугольниками.
§ 2. Изопериметрическое неравенство
Мы будем рассматривать фигуры, ограниченные гладкими или кусочно
гладкими1 кривыми. Периметром фигуры называют длину кривой, огра-
ничивающей эту фигуру.
22.15. Докажите, что для любой невыпуклой фигуры Ψ существует
выпуклая фигура с меньшим периметром и большей площадью.
1Состоящими из конечного числа дуг гладких кривых.
432 Глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
22.16. Докажите, что если существует фигура Φ
0
, площадь которой
не меньше площади фигуры Φ, а периметр — меньше, то существует
фигура того же периметра, что и Φ, но большей площади.
22.17. Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры Φ
делит её на две части равного периметра, но разной площади, то
существует выпуклая фигура Φ
0
, имеющая тот же периметр, что и Φ,
но б´ольшую площадь.
22.18*. Докажите, что если выпуклая фигура Φ отлична от круга,
то существует фигура Φ
0
, имеющая тот же периметр, что и Φ, но
б´ольшую площадь.
22.19*. а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников
с данными углами и данным периметром наибольшую площадь имеет
описанный четырёхугольник.
б) Докажите, что среди всех выпуклых n-угольников A1 . . . An с дан-
ными величинами углов Ai и данным периметром наибольшую пло-
щадь имеет описанный n-угольник.
22.20*. Докажите, что площадь круга больше площади любой дру-
гой фигуры того же периметра. Другими словами, если площадь фи-
гуры равна S, а её периметр равен P, то S 6 P
2/4♣, причём равенство
достигается только в случае круга (изопериметрическое неравенство).
22.21*. Докажите, что если соответственные стороны выпуклых
многоугольников A1 . . . An и B1 . . . Bn равны, причём многоугольник
B1 . . . Bn вписанный, то его площадь не меньше площади многоуголь-
ника A1 . . . An.
22.22*. Несамопересекающаяся ломаная расположена в данной по-
луплоскости, причём концы ломаной лежат на границе этой полуплос-
кости. Длина ломаной равна L, а площадь многоугольника, ограни-
ченного ломаной и границей полуплоскости, равна S. Докажите, что
S 6 L
2/2♣.
22.23*. Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторон-
ний треугольник на две фигуры равной площади.
§ 3. Симметризация по Штейнеру
Пусть M — выпуклый многоугольник, l — некоторая прямая. Симметри-
зация по Штейнеру многоугольника M относительно прямой l — это фи-
гура Φ, которая получается следующим образом. Через каждую точку X
прямой l проведём прямую m, перпендикулярную l. Если прямая m пере-
секает многоугольник M по отрезку длины a, то построим на m отрезок
длины a с серединой в точке X. Построенные отрезки образуют фигуру Φ.
22.24*. Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого мно-
гоугольника является выпуклым многоугольником.
22.25*. Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь
многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается.
Условия задач 433
§ 4. Сумма Минковского
22.26*. Пусть A и B — фиксированные точки, ❧ и ♠ — фиксиро-
ванные числа. Выберем произвольную точку X и зададим точку P
равенством
# – XP = ❧
# – XA + ♠
# – XB. Докажите, что положение точки P не
зависит от выбора точки X тогда и только тогда, когда ❧ + ♠ = 1.
Докажите также, что в этом случае точка P лежит на прямой AB.
Если ❧ + ♠ = 1, то точку P из задачи 22.26 будем обозначать ❧A + ♠B.
Пусть M1 и M2 — выпуклые многоугольники, ❧1 и ❧2 — положительные
числа, сумма которых равна 1. Фигуру ❧1M1 + ❧2M2, состоящую из всех
точек вида ❧1A1 + ❧2A2, где A1 — точка M1, а A2 — точка M2, называ-
ют суммой Минковского многоугольников M1 и M2. Сумму Минковского
можно рассматривать не только для выпуклых многоугольников, но и для
произвольных фигур (не обязательно выпуклых).
Аналогично для положительных чисел ❧1, . . ., ❧n, сумма которых рав-
на 1, можно рассмотреть фигуру ❧1M1 + . . . + ❧nMn. Можно рассматривать
и фигуры ❧1M1 + . . . + ❧nMn для ❧1 + . . . + ❧n 6= 1, но в этом случае фигура
определена с точностью до параллельного переноса: при изменении точки X
фигура сдвигается на некоторый вектор.
22.27*. а) Докажите, что если M1 и M2 — выпуклые многоугольни-
ки, то ❧1M1 + ❧2M2 — выпуклый многоугольник, число сторон которого
не превосходит суммы чисел сторон многоугольников M1 и M2.
б) Пусть P1 и P2 — периметры многоугольников M1 и M2. Докажи-
те, что периметр многоугольника ❧1M1 + ❧2M2 равен ❧1P1 + ❧2P2.
22.28*. Пусть S1 и S2 — площади многоугольников M1 и M2. Дока-
жите, что площадь S(❧1, ❧2) многоугольника ❧1M1 + ❧2M2 равна

2
1S1 + 2❧1❧2S12 + ❧
2
2S2,
где S12 зависит только от M1 и M2.
22.29*. Докажите, что S12 >

S1S2, т. е. p
S(❧1, ❧2) > ❧1

S1 + ❧2

S2
(Брунн).
22.30*. а) Пусть M — выпуклый многоугольник, площадь которого
равна S, а периметр равен P; D — круг радиуса R. Докажите, что
площадь фигуры ❧1M + ❧2D равна

2
1S + ❧1❧2PR + ❧
2
2♣R
2
.
б) Докажите, что S 6 P
2/4♣.
22.31*. Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр сим-
метрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде
суммы нескольких отрезков.
§ 5. Теорема Хелли
22.32*. а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причём
любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все
они имеют общую точку.
434 Глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причём любые три из
них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую
точку (теорема Хелли).
22.33*. Решите с помощью теоремы Хелли задачу 20.33.
22.34*. а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых
трёх его сторон можно выбрать точку O внутри многоугольника так,
что перпендикуляры, опущенные из точки O на эти три стороны,
попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите,
что тогда такую точку O можно выбрать для всех сторон одновре-
менно.
б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую
точку O можно выбрать, если её можно выбрать для любых двух
сторон.
22.35*. Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника
есть точка, не принадлежащая ни одному из четырёхугольников, об-
разованных четвёрками его соседних вершин.
22.36*. Дано несколько параллельных отрезков, причём для любых
трёх из них найдётся прямая, их пересекающая. Докажите, что най-
дётся прямая, пересекающая все отрезки.
§ 6. Невыпуклые многоугольники
22.37. Верно ли, что любой пятиугольник лежит по одну сторону
от не менее чем двух своих сторон?
22.38. а) Нарисуйте многоугольник и точку O внутри его так, чтобы
ни одна сторона не была видна из неё полностью.
б) Нарисуйте многоугольник и точку O вне его так, чтобы ни одна
сторона не была видна из неё полностью.
22.39. Докажите, что если многоугольник таков, что из некоторой
точки O виден весь его контур, то из любой точки плоскости полно-
стью видна хотя бы одна его сторона.
22.40. Докажите, что сумма внешних углов любого многоугольни-
ка, прилегающих к меньшим 180◦ внутренним углам, не меньше 360◦
.
22.41*. а) Докажите, что у любого n-угольника (n > 4) есть хотя
бы одна диагональ, целиком лежащая внутри его.
б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может
иметь n-угольник.
22.42*. Чему равно наибольшее число вершин невыпуклого n-уголь-
ника, из которых нельзя провести диагональ?
22.43*. Докажите, что любой n-угольник можно разрезать на тре-
угольники непересекающимися диагоналями.
22.44*. Докажите, что сумма внутренних углов любого n-угольника
равна (n − 2) · 180◦
.
22.45*. Докажите, что количество треугольников, на которые непе-
ресекающиеся диагонали разбивают n-угольник, равно n − 2.
Решения задач 435
22.46*. Многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями
на треугольники. Докажите, что по крайней мере две из этих диаго-
налей отсекают от него треугольники.
22.47*. Докажите, что для любого тринадцатиугольника найдётся
прямая, содержащая ровно одну его сторону, однако при любом n > 13
существует n-угольник, для которого это неверно.
22.48*. Чему равно наибольшее число острых углов в невыпуклом
n-угольнике?
22.49*. С невыпуклым несамопересекающимся многоугольником
производятся следующие операции. Если он лежит по одну сторону от
прямой AB, где A и B — несмежные вершины, то одна из частей, на
которые контур многоугольника делится точками A и B, отражается
относительно середины отрезка AB. Докажите, что после нескольких
таких операций многоугольник станет выпуклым.
22.50*. Числа ❛1, . . ., ❛n, сумма которых равна (n − 2)♣, удовлетво-
ряют неравенствам 0 < ❛i < 2♣. Докажите, что существует n-угольник
A1 . . . An с углами ❛1, . . ., ❛n при вершинах A1, . . ., An.

§ 1. Чёт и нечёт
23.1. Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все сто-
роны невыпуклого: а) (2n + 1)-угольника; б) 2n-угольника?
23.2. На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом
звеньев. Прямая l пересекает её в 1985 точках. Докажите, что суще-
ствует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.
23.3. На плоскости лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьёт по
одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и оста-
новилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои
места после 25 ударов?
23.4. Можно ли окрасить на клетчатой бумаге 25 клеток так, чтобы
у каждой из них было нечётное число окрашенных соседей? (Соседни-
ми клетками считаем те, у которых есть общая сторона.)
23.5*. Окружность разбита точками на 3k дуг: по k дуг длиной 1,
2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные
точки деления.
454 Глава 23. Делимость, инварианты, раскраски
23.6*. На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая лома-
ная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой.
Рис. 23.1
Назовём пару несоседних звеньев ломаной
особой, если продолжение одного из них пе-
ресекает другое. Докажите, что число осо-
бых пар чётно.
23.7*. Вершины треугольника помечены
цифрами 0, 1 и 2. Этот треугольник разбит
на несколько треугольников таким образом,
что никакая вершина одного треугольника
разбиения не лежит на стороне другого.
Вершинам исходного треугольника оставле-
ны старые пометки, а дополнительные вер-
шины получают номера 0, 1, 2, причём лю-
бая вершина на стороне исходного треуголь-
ника должна быть помечена одной из поме-
ток вершин этой стороны (рис. 23.1). Докажите, что существует тре-
угольник разбиения, помеченный цифрами 0, 1, 2 (лемма Шпернера).
23.8*. Вершины правильного 2n-угольника A1 . . . A2n разбиты на
n пар. Докажите, что если n = 4m + 2 или n = 4m + 3, то две пары
вершин являются концами равных отрезков.
§ 2. Делимость
23.9*. На рис. 23.2 изображён шестиугольник, разбитый на чёрные
и белые треугольники так, что любые два треугольника имеют либо
Рис. 23.2
общую сторону (и тогда они окрашены
в разные цвета), либо общую вершину,
либо не имеют общих точек, а каждая
сторона шестиугольника является сторо-
ной одного из чёрных треугольников. До-
кажите, что десятиугольник разбить та-
ким образом нельзя.
23.10*. Квадратный лист клетчатой
бумаги разбит на меньшие квадраты от-
резками, идущими по сторонам клеток.
Докажите, что сумма длин этих отрез-
ков делится на 4. (Длина стороны клетки
равна 1.)
§ 3. Инварианты
23.11. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой
цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Может
ли при этом получиться доска, у которой ровно одна чёрная клетка?
Условия задач 455
23.12. Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в дру-
гой цвет сразу все клетки, расположенные внутри квадрата размером
2 × 2. Может ли при этом на доске остаться ровно одна чёрная клетка?
23.13*. Дан выпуклый 2m-угольник A1 . . . A2m. Внутри его взята
точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей. Докажите, что
точка P принадлежит чётному числу треугольников с вершинами
в точках A1, . . ., A2m.
23.14*. В центре каждой клетки шахматной доски стоит по фишке.
Фишки переставили так, что попарные расстояния между ними не
уменьшились. Докажите, что в действительности попарные расстояния
не изменились.
23.15*. Многоугольник разрезан на несколько многоугольников.
Пусть p— количество полученных многоугольников, q— количество от-
резков, являющихся их сторонами, r— количество точек, являющихся
их вершинами. Докажите, что p − q + r = 1 (формула Эйлера).
23.16*. Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников
так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть
n и m— количества вершин этих треугольников, лежащих на границе
исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m − 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами по-
лученных треугольников, равно 2n + 3m − 3.
23.17*. Квадратное поле разбито на 100 одинаковых квадратных
участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за
год распространяется на те и только те участки, у которых не менее
двух соседних (т. е. имеющих общую сторону) участков уже поросли
бурьяном. Докажите, что поле никогда не зарастёт бурьяном полно-
стью.
23.18*. Докажите, что существуют равновеликие многоугольники,
которые нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые),
переводящиеся друг в друга параллельным переносом.
23.19*. Докажите, что выпуклый многоугольник нельзя разрезать
на конечное число невыпуклых четырёхугольников.
23.20*. Даны точки A1, . . ., An. Рассмотрим окружность радиуса R,
содержащую некоторые из них. Построим затем окружность радиуса R
с центром в центре масс точек, лежащих внутри первой окружно-
сти, и т. д. Докажите, что этот процесс остановится, т. е. окружности
начнут совпадать.
§ 4. Вспомогательные раскраски в шахматном порядке
23.21. В каждой клетке доски 5 × 5 клеток сидит жук. В неко-
торый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали
или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая
клетка?
456 Глава 23. Делимость, инварианты, раскраски
23.22. а) Можно ли замостить костями домино размером 1 × 2
шахматную доску размером 8 × 8, из которой вырезаны два проти-
воположных угловых поля?
б)* Докажите, что если из шахматной доски размером 8 × 8 вы-
резаны две произвольные клетки разного цвета, то оставшуюся часть
доски всегда можно замостить костями домино размером 1 × 2.
23.23. Докажите, что доску размером 10 × 10 клеток нельзя разре-
зать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.
23.24*. Детали полотна игрушечной железной дороги имеют форму
четверти окружности радиуса R. Докажите, что последовательно при-
соединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга,
Рис. 23.3
нельзя составить путь, у которого начало совпадает
с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик,
изображённый на рис. 23.3.
23.25*. В трёх вершинах квадрата находятся три куз-
нечика, играющие в чехарду. При этом если кузнечик A
прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказы-
вается на том же расстоянии от него, но, естественно,
по другую сторону и на той же прямой. Может ли после
нескольких прыжков один из кузнечиков попасть в чет-
вёртую вершину квадрата?
23.26*. Дан квадратный лист клетчатой бумаги разме-
ром 100 × 100 клеток. Проведено несколько несамопере-
секающихся ломаных, идущих по сторонам клеток и не
имеющих общих точек. Эти ломаные идут строго внутри
квадрата, а концами обязательно выходят на границу. Докажите, что
кроме вершин квадрата найдётся ещё узел (внутри квадрата или на
границе), не принадлежащий ни одной ломаной.
§ 5. Другие вспомогательные раскраски
23.27. Правильный треугольник разбит на n
2 одинаковых правиль-
ных треугольников (рис. 23.4). Часть из них занумерована числами
Рис. 23.4
1, 2, . . ., m, причём треугольники с последова-
тельными номерами имеют смежные стороны.
Докажите, что m 6 n
2 − n + 1.
23.28. Дно прямоугольной коробки выложе-
но плитками размером 2 × 2 и 1 × 4. Плитки
высыпали из коробки и потеряли одну плитку
2 × 2. Вместо неё достали плитку 1 × 4. До-
кажите, что выложить дно коробки плитками
теперь не удастся.
23.29. Из листа клетчатой бумаги разме-
ром 29 × 29 клеток вырезано 99 квадратиков
Условия задач 457
размером 2 × 2 клетки. Докажите, что из него можно вырезать ещё
один такой квадратик.
23.30. Выпуклый n-угольник разбит на треугольники непересекаю-
щимися диагоналями, причём в каждой его вершине сходится нечёт-
ное число треугольников. Докажите, что n делится на 3.
* * *
23.31. Можно ли шашечную доску размером 10 × 10 замостить
плитками размером 1 × 4?
23.32. На клетчатой бумаге даны произвольные n клеток. Докажи-
те, что из них можно выбрать не менее n/4 клеток, не имеющих
общих точек.
23.33*. Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат
в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов
нет, то n 6 4.
23.34*. Из 16 плиток размером 1 × 3 и одной плитки 1 × 1 сложили
квадрат со стороной 7. Докажите, что плитка 1 × 1 лежит в центре
квадрата или примыкает к его границе.
23.35*. Картинная галерея представляет собой невыпуклый n-уголь-
ник. Докажите, что для обзора всей галереи достаточно [n/3] сторожей.
§ 6. Задачи о раскрасках
23.36. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся
две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
23.37*. Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что найдутся
две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
23.38*. Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно ли най-
дутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1?
23.39*. Точки сторон правильного треугольника раскрашены в два
цвета. Докажите, что найдётся прямоугольный треугольник с верши-
нами одного цвета.
* * *
23.40*. Триангуляцией многоугольника называют его разбиение на
треугольники, обладающее тем свойством, что эти треугольники либо
имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют
общих точек (т. е. вершина одного треугольника не может лежать на
стороне другого). Докажите, что треугольники триангуляции можно
раскрасить в три цвета так, что имеющие общую сторону треугольни-
ки будут разного цвета.
23.41*. Многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями
на треугольники. Докажите, что вершины многоугольника можно рас-
красить в три цвета так, что все вершины каждого из полученных
треугольников будут разного цвета.
458 Глава 23. Делимость, инварианты, раскраски
23.42*. Несколько кругов одного радиуса положили на стол так,
что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно рас-
красить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут
разного цвета.

Решение задач по геометрии планиметрия Прасолов from zoner

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (17.04.2016)
Просмотров: | Теги: Прасолов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar