Тема №5106 Вводные задачи по геометрии с ответами
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Вводные задачи по геометрии с ответами из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Вводные задачи по геометрии с ответами, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

1°. На прямой последовательно откладываются точки А, В, С, D, Е и F, причем АВ = ВС = CD = DE — EF. Найдите отношения AD : DF, АС : AF, BD : CF.
2. На прямой последовательно отмечаются точки А, В, С и D, причем АВ = ВС = CD = 6. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и CD.
3°. Точка К отрезка АВ, равного 12, расположена на 5 ближе к А, чем к В. Найдите АК и ВК.
4.    Точка М расположена на отрезке AN, а точка N — на отрезке ВМ. Известно, что АВ = 18иАМ : MN : NB = = 1:2:3. Найдите MN.
5.    На прямой взяты точки А, О и В. Точки Аг и Bj симметричны соответственно точкам А и В относительно точки О. Найдите АгВ, если АВХ = 2.
6°. Один из двух смежных углов на 30° больше другого. Найдите эти углы.
7. Один из двух смежных углов в 3 раза меньше другого. Найдите эти углы.
8°. Один из четырех углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 41°. Чему равны три остальных угла?
9.    На прямой выбраны три точки А, В и С, причем АВ = 3, ВС = 5. Чему может быть равно АС?
10.    Точка В лежит на отрезке АС, равном 5. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и ВС.
11.    Вдоль прямолинейной дороги стоят две избы А и В на расстоянии 50 м друг от друга. В какой точке дороги надо построить колодец, чтобы сумма расстояний от колодца до изб была наименьшей?
12°. На прямой даны точки А, В и С. Известно, что АВ = 5, а отрезок АС длиннее ВС на 1. Найдите АС и ВС.
13.    На прямой даны точки А, В и С. Известно, что АВ = 5, а отрезок АС длиннее ВС в 1,5 раза. Найдите отрезки АС и ВС.
14.    Точки М, А и В расположены на одной прямой, причем отрезок AM вдвое больше отрезка ВМ. Найдите AM, если АВ = 6.
15.    ТочкаМ — середина отрезка АВ, а точка N — середина отрезка МВ. Найдите отношения AM : MN, BN : AM и MN :AB.
16.    На прямой выбраны три точки А, В и С, причем АВ = 1, ВС = 3. Чему может быть равно АС? Укажите все возможности.
17°. Прямой угол разделен двумя лучами на три угла. Один из них на 10° больше другого и на 10° меньше третьего. Найдите эти углы.
18. Точки А, В, С последовательно расположены на одной прямой и АВ : ВС = 3:4. Найдите отношения АВ : АС и ВС : АС.
19°. Вдоль прямолинейной дороги с интервалами в 50 м стоят три избы А, В и С. В какой точке дороги надо построить колодец, чтобы сумма расстояний от колодца до изб была наименьшей? 
20°. На линейке отмечены три деления: 0, 2 и 5. Как отложить с ее помощью отрезок длиной 6 см?
21.    Имеется угольник с углом в 70°. Как построить с его помощью угол в 40°?
22.    Имеется угольник с углом в 40°. Как с его помощью построить угол в: а) 80°; б) 160°; в) 20°?
23°. Точки А, В, С расположены на одной прямой и АС : ВС = 2:5. Найдите отношения АС : АВ и ВС : АВ.
24. Луч света, пущенный из точки М, зеркально отразившись от прямой АВ в точке С, попал в точку N (рис. 1). Докажите, что биссектриса угла MCN перпендикулярна прямой АВ. (Угол падения равен углу отражения.)
 

25. На прямой выбраны четыре точки А, В, С и В, причем АВ = 1, ВС = 2, CD = 4. Чему может быть равно AD?
26°. На деревянной линейке отмечены три деления: 0, 7 и 11 см. Как отложить с ее помощью отрезок в: а) 8 см; б) 5 см?
27°. Точка С ■— середина отрезка АВ. На отрезках АС и ВС взяты точки М и N, причем AM : МС = CN : NB. Докажите, что отрезок MN равен половине отрезкаАВ.
28.    Точка М лежит внутри угла АОВ, ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что угол МОС равен модулю полуразности углов АОМ и ВОМ.
29.    Точки А, В, С расположены на одной прямой и АС : ВС = т : п (т и п — натуральные). Найдите отношения АС : АВ и ВС : АВ.
30.    Точка В делит отрезок АС в отношении АВ : ВС = 2:1. Точка D делит отрезок АВ в отношении AD : DB = = 3 : 2. В каком отношении делит точка D отрезок АС?
31.    Точка М лежит вне угла АОВ, ОС — биссектриса этого угла. Докажите, что угол МОС равен полусумме углов АОМ и ВОМ?
32.    Из точки на листе бумаги провели четыре луча, делящих плоскость на четыре угла. Затем лист разрезали по биссектрисам этих углов на четыре части (которые также являются углами). Докажите, что два из этих углов образуют в сумме 180° и два других — тоже.
33.    На сколько градусов поворачивается за минуту минутная стрелка? часовая стрелка?
34.    Точки С, В и В делят отрезок АВ в отношениях 1 : 2,1 : Зи 1 : 4 соответственно (считая от точки А). В каком отношении точка Е делит отрезок DC?
35.    Один из углов, образованных пересекающимися прямыми а и Ь, равен 15°. Прямая щ симметрична прямой а относительно прямой Ь, а прямая Ь1 симметрична прямой Ь относительно прямой а. Найдите углы, образованные прямыми щ и Ь^.
36.    Даны точки А и В. Где на прямой АВ расположены точки, расстояние от которых до точки А: а) вдвое больше, чем до точки В; б) втрое меньше, чем до точки В?
37.    Через точку на плоскости провели 10 прямых, после чего плоскость разрезали по этим прямым на углы. Докажите, что хотя бы один из этих углов меньше 20°.
38.    Какой угол образуют минутная и часовая стрелка в 3 часа 05 минут?
39.    Из точки О на плоскости выходят три луча ОА, ОВ, ОС. Известно, что Z. АОВ = 91°, Z. ВОС = 90°. Найдите Z. АОС.
40.    В деревне у прямой дороги с интервалами в 50 м стоят четыре избы А, В, С и D. В какой точке дороги надо построить колодец, чтобы сумма расстояний от колодца до изб была наименьшей?
41.    Даны точки А и В. Где на прямой АВ расположены точки, расстояние от которых до точки В больше, чем до точки А?
42.    Имеется угольник с углом в 19°. Как построить с его помощью угол в 1°?
43.    В полдень минутная и часовая стрелки совпали. Когда они совпадут в следующий раз?
44.    Из точки О на плоскости выходят четыре луча, следующие друг за другом по часовой стрелке: ОА, ОВ, ОС и OD (рис. 2). Известно, что сумма углов АОВ и COD равна 180°. Докажите, что биссектрисы углов АОС и BOD перпендикулярны .
 

45.    Даны точки А и В. Для каждой точки М, не совпадающей с точкой В и лежащей на прямой АВ, рассмотрим отношение AM : ВМ. Где расположены точки, для которых это отношение: а) больше 2; б) меньше 2?
46.    Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелки совпадают? образуют развернутый угол? образуют прямой угол?
47.    В деревне А живет 100 школьников, в деревне В живет 50 школьников. Расстояние между деревнями 3 км. В какой точке дороги из А в В надо построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было как можно меньше?
48.    На прямой выбрали четыре точки А, В, С, D и измерили расстояния АВ, АС, AD, ВС, BD и CD. Могут ли они быть равными (в порядке возрастания): а) 1; 2; 3; 4; 5; 6; б) 1; 1; 1; 2; 2; 4?
2. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА
ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
49°. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов этого отрезка.
50.    Докажите, что биссектриса угла есть геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон.
51.    Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
52.    Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
53.    Докажите, что около любого треугольника можно описать окружность, и притом единственную.
54.    Через точку, не лежащую на данной прямой, проведите с помощью циркуля и линейки прямую, параллельную данной.
55°. Докажите, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
56. Катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Докажите, что угол, противолежащий этому катету, равен 30°.
57°. Отрезки АС и ВВ пересекаются в точке О. Докажите равенство тре-угольников ВАО и DCO, если известно, что А ВАО = A DCOuAO = ОС.
58.    Докажите, что у равнобедренного треугольника высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
59.    Треугольники АВС и АВСХ — равнобедренные с общим основанием АВ. Докажите равенство треугольников АССХ и ВСС1.
60.    Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.
61.    Медиана треугольника делит пополам его периметр. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.
62.    Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС = 10?
63.    На основании АВ равнобедренного треугольника АВС даны точки Ах и Вх. Известно, что АВХ = ВАХ. Докажите, что треугольник АВХС равен треугольнику ВАХС.
64.    На стороне АВ треугольника АВС взята точка В, а на стороне АХВХ треугольника АХВХСХ взята точка Dx. Известно, что треугольники ADC и AXDXCX равны и отрезки DB и DXBX также равны. Докажите равенство треугольников АВС и АХВХСХ.
65.    Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите равенство треугольников АСО и DBO, если известно, что А АСО = A DBO и ВО = ОС.
66.    Докажите, что у равных треугольников АВС и А1В1С1:
а)    медианы, проведенные из вершин А и Ах, равны;
б)    биссектрисы, проведенные из вершинАиА1( равны.
 
67.    Треугольники АССХ и ВССХ на рис. 3 равны. Их вершины А и Б лежат по разные стороны от прямой ССХ. Докажите, что треугольники АВС и АВСХ — равнобедренные.
А
68.    Докажите признак равенства треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
69.    Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
70.    В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена ме- дианаВМ. На ней взята точка В. Докажите равенство треугольников: a) ABD и CBD; б) AMD и CMD.
71.    Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него:
а)    медиана BD является высотой;
б)    высота BD является биссектрисой.
72.    Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.
73.    Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.
74.    На сторонах АВ, ВС и СА равностороннего треугольникаАВС отложены равные отрезки AD, BE и CF. Точки В, £ и В соединены отрезками. Дока- 
жите, что треугольник DEF — равносторонний.
75.    Отрезки АВ и CD пересекаются под прямым углом и АС =AD. Докажите, что ВС — BD и А АСВ = A ADB.
76.    Даны два треугольника: АВС и Ai-BiCi- Известно, что АВ = AJBJ, АС = = AJCJ, А А = А Аг. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки К и L, а на сторонах А1С1 и В^С1 треугольника А-^В^С^ — точки Кj и I/j, так что AJL = A^j, ВС = = LXCj. Докажите, что ВХ = ЛГ]В, и AL=A1L1.
77.    В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36°, проведена биссектриса AD. Докажите, что треугольники CDA uADB — равнобедренные.
78.    В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, равным 37, внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.
79°. На сторонах ВС и В1С1 равных треугольников ABC HAJBJ^ ВЗЯТЫ со-ответственно точки М и М1? причем ВМ : МС ВгМх : М1С1. Докажите, что AM =А1М1.
80.    Внешние углы треугольника АВС при вершинах А и С равны 115° и 140°. Прямая, параллельная прямой АС, пересекает стороны АВ и АС в точках М и 7V. Найдите углы треугольника BMN.
81.    От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезки: САг на стороне СА и СВг на стороне СВ. Докажите равенство треугольников: 1) САВХ и СВАХ; 2)АВВ1 и ВААг.
82.    На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки Сг и С2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если треугольники ABCj и ВАС2 равны.
83°. Докажите, что у равнобедренного треугольника:
а)    биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;
б)    медианы, проведенные из тех же вершин, также равны.
84°. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Докажите, что если тре- угольникиАВВ! и АВЕ2 равны, то треугольники CDE1 и CDE2 также равны.
85.    Отрезки АВ и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки АС, СВ, BD и AD равны, то луч АВ является биссектрисой угла GAD, луч CD — биссектрисой углаАСВ, a CD перпендикулярно АВ.
86.    Треугольники АВС и BAD равны, причем точки Си D лежат по разные стороны от прямой АВ (рис. 4). Докажите, что:
а)    треугольники CBD и DAC равны;
б)    прямая CD делит отрезок АВ пополам.
С
 

87°. Равные отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD. Докажите равенство треугольников ABCuDCB.
88.    Найдите углы треугольника, если известно, что его стороны лежат на прямых, углы между которыми равны 20°, 30° и 50°.
89.    В треугольнике проведены две высоты. Докажите, что если их отрезки от точки пересечения до вершин равны, то треугольник равнобедренный. 
90.    В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Точка их пересечения обозначена через D. Найдите угол ADB, если:
1)    АА=50°, АВ = 100°;
2)    АА = а, А В = (3;
3)    АС = 130°;
4)    А С = у.
91.    Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС; CD — биссектриса угла С; A ADC — 150°. Найдите угол В.
92.    В треугольнике известны величины угловА, В, С. Найдите углы шести треугольников, на которые данный треугольник разбивается его биссектрисами.
93°. Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются под углом 70°. Найдите третий угол треугольника.
94.    Через вершину В треугольника АВС проведена прямая, параллельная прямой АС. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной В относятся как 3:10:5. Найдите углы треугольника АВС.
95.    Через точку М, лежащую внутри угла с вершиной А, проведены прямые, параллельные сторонам угла и пересекающие эти стороны в точках В и С. Известно, что ААСВ = 50°, а угол, смежный с углом ACM, равен 40°. Найдите углы треугольников ВСМкАВС.
96.    Прямая, проходящая через вершину А треугольника АВС, пересекает сторону ВС в точке М. При этом ВМ = = АВ, А ВАМ =35°, А САМ = 15°. Найдите углы треугольника АВС.
97.    Точки А, В, С, D лежат на одной прямой, причем отрезки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник CDE также равнобедренный с основанием CD.
98.    Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углам, которые образует медиана с этой стороной.
99.    Докажите равенство треугольников по стороне и высотам, опущенным на две другие стороны.
100.    Докажите, что если высота треугольника проходит через центр описанной около него окружности, то этот треугольник равнобедренный.
101.    Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку А отложен отрезок AD = АВ, а за точку С — отрезок СЕ = СВ. Найдите углы треугольника DBE, зная углы треугольника АВС.
102.    Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке М. Найдите А АМС, если А А = 70°, А С = 80°.
103.    Если на гипотенузе ВС равнобедренного прямоугольного треугольника АВС отметить две точки В и В так, что BE = ВА и CD = СА, то A DAE = = 45°. Докажите.
104.    В равнобедренном треугольнике АВС высоты AD и СЕ, опущенные на боковые стороны, образуют угол АМС, равный 48°. Найдите углы треугольника АВС.
105.    Из середины гипотенузы восставлен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 2 : 5 (меньшая часть — при гипотенузе). Найдите этот угол.
106.    Дан угол А. От его вершины А отложим на одной из сторон угла отрезок АВ; из точки В проведем прямую, параллельную второй стороне данного угла; на этой прямой отложим внутри угла отрезок BD, равный ВА, и соединим точку D с вершиной А. Докажите, что прямая AD делит данный угол пополам.
107.    Две параллельные прямые пересечены третьей. Найдите угол между биссектрисами внутренних односторонних углов.
108.    В треугольнике АВС медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника. 
109.    В треугольнике АВС из вершины С проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов (рис. 5). Первая биссектриса образует со стороной АВ угол, равный 40°. Какой угол образует с продолжением стороны АВ вторая биссектриса?
 

110.    Точки А и D лежат на одной из двух параллельных прямых, точки В и С — на другой, причем прямые АВ и CD также параллельны. Докажите, что противоположные углы четырехугольника ABCD равны.
111.    Через середину М отрезка с концами на двух параллельных прямых проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках А и В. Докажите, что М также середина АВ.
112°. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите отношение внешних углов треугольника.
113. Докажите, что высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, вдвое меньше гипотенузы.
114°. Угол треугольника равен сумме двух других его углов. Докажите, что треугольник прямоугольный.
115.    Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС, причем ААВМ = = А АС В и A CBN = А ВАС. Докажите, что треугольник BMN равнобедренный.
116.    Угол при основании ВС равнобедренного треугольника АВС вдвое больше угла при вершине, BD — биссектриса треугольника. Докажите, чтоАО = ВС.
117.    Два угла треугольника равны 10° и 70°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины третьего угла треугольника.
118.    Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°, а гипотенуза равна 8. Найдите отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведенная из вершины прямого угла.
119.    Прямая, проведенная через вершину С треугольника АВС параллельно его биссектрисе BD, пересекает продолжение стороны АВ в точке М. Найдите углы треугольника МВС, если А АВС = 110°.
120°. Докажите, что геометрическое место точек, удаленных на данное расстояние от данной прямой, есть две параллельные прямые, находящиеся на данном расстоянии от этой прямой.
121.    Одна из сторон треугольника вдвое больше другой, а угол между этими сторонами равен 60°. Докажите, что треугольник прямоугольный.
122.    Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведенные к основанию, лежат на одной прямой.
123.    Докажите, что если две стороны и угол против меньшей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу против меньшей из них другого треугольника, то треугольники могут быть как равными, так и не равными.
124.    Медиана AM треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе ВК. Найдите АВ, если ВС — 12.
125.    Прямая, проведенная через вершину А треугольника АВС перпендикулярно его медиане BD, делит эту медиану пополам. Найдите отношение сторон АВ и АС.
126°. В треугольнике АВС медиана AM продолжена за точку М на расстояние, равное AM. Найдите расстояние от полученной точки до вершин В и С, еслиАВ = 4, АС = 5. 
127. Две различные окружности пересекаются в точках А и Б. Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, делит отрезок АВ пополам и перпендикулярна ему.
128°. Разделите отрезок пополам с помощью циркуля и линейки.
129.    Докажите, что диагонали четырехугольника с равными сторонами взаимно перпендикулярны.
130.    Две высоты треугольника равны. Докажите, что треугольник равно-бедренный.
131.    AD — биссектриса треугольника АВС. Точка М лежит на стороне АВ, причем AM = MD. Докажите, что MD || АС.
132.    Точки А и Б лежат на одной из двух параллельных прямых, точки В и С — на другой, причем прямые АВ и CD также параллельны. Докажите, что АВ = CD и AD = ВС.
133.    Некоторая прямая пересекает параллельные прямые а и Ъ в точках А и В соответственно. Биссектриса одного из образовавшихся углов с вершиной В пересекает прямую а в точке С. Найдите АС, если АВ = 1.
134.    Равные отрезки АВ и CD пересекаются в точке О (рис. 6) и делятся ею в отношении АО : ОБ = СО : OD = = 1 : 2. Прямые AD и ВС пересекаются
М
 

в точке М. Докажите, что треугольник DM В равнобедренный.
135.    Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 1:2.
136.    Известно, что при пересечении прямых аиЬ третьей прямой образовалось восемь углов. Четыре из этих углов равны 80°, а четыре других равны 100°. Следует ли из этого, что прямые а и b параллельны?
137.    Пусть АЕ и CD — биссектрисы равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС). Докажите, что A BED = = 2 AAED.
138.    В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Докажите, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведенного к гипотенузе через ее середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.
139.    На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АБС отмечены точки Р и Q так, что А РХВ = = A QXC, где X — середина основания ВС. Докажите, что BQ = СР.
140.    Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
141.    Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.
142.    Докажите, что если в треугольниках АБС иА1Б1С1 имеют место равенства АВ = AJBJ, ВС = В1С1 и А АВС = А А1Б1С1, причем ВС > АВ, то эти треугольники равны.
143.    На сторонах АС и ВС треугольника АБС взяты соответственно точки М и N, причем MN II АВ и MN = AM. Найдите угол BAN, если А Б = 45° и А С = 60°.
144.    Прямая, проходящая через вершину А треугольника АВС, пересекает сторону ВС в точке М, причем ВМ = АВ. Найдите разность углов ВАМ и САМ, если А АСБ = 25°.
145.    ВК — биссектриса треугольника АВС. Известно, что А АКБ : А СКВ = 4:5. Найдите разность углов А и С треугольника АВС. 
146.    Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Верно ли обратное?
147.    Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Докажите, чтоАС || BDviAD || ВС.
148.    Один из углов треугольника равен а. Найдите угол между биссектрисами внешних углов, проведенными из вершин двух других углов.
149.    Докажите, что биссектрисы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершин треугольника.
150.    На стороне АВ квадрата ABCD построен равносторонний треугольник АВМ. Найдите угол DMC.
151.    Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Докажите, что высота и медиана, проведенные из вершины прямого угла, делят прямой угол на три равные части.
152.    Основание Н высоты СН прямоугольного треугольника АВС соединили с серединами М и N катетов АС и ВС. Докажите, что периметр четырехугольника CMHN равен сумме катетов треугольникаАВС.
153.    На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС расположены точки N и М соответственно, причем AN = NM = МВ = ВС. Найдите углы треугольника АВС.
154.    В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС, АС =10. Из точки D, сов-падающей с серединой АВ, проведен перпендикуляр DE к стороне АВ до пересечения со стороной ВС в точке Е. Периметр треугольника АВС равен 40. Найдите периметр треугольника АЕС.
155.    Можно ли расположить на плоскости три круга так, что любые два из них имели бы общие точки, а все три — нет?
156.    Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой гипотенузы.
157.    Докажите, что радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен медиане, проведенной к большей стороне (к гипотенузе). Верно ли обратное утверждение? (Если радиус описанной около треугольника окружности равен медиане, то треугольник прямоугольный.)
158.    В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СК из вершины прямого угла С, а в треугольнике АСК — биссектриса СЕ. Докажите, что СВ = BE.
159°. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Докажите, что расстояние от каждой точки одной из двух параллельных прямых до второй прямой постоянно.
160.    Треугольник АВС — равнобедренный (АВ = ВС). Отрезок AM делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями АВ и МС. Найдите угол В.
161.    Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпен-дикулярные биссектрисе угла АВС, пересекающие прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите АВ, если ВМ = 8, КС = 1.
162.    Треугольники АВС и ABD равны, причем точки С и D не совпадают. Докажите, что прямая CD перпендикулярна прямой АВ.
163.    Треугольники АВС и ADC имеют общую сторону АС; стороны AD и ВС пересекаются в точке М. Углы В и D равны по 40°. Расстояние между вершинами D и В равно стороне АВ; А АМС = 70°. Найдите углы треугольников ABC KADC.
164.    У треугольников АВС иА1В1С1 заданы: АВ = А1В1, АС = АгСг, АС = = A Cj = 90°. Докажите, что треугольники АВС иА1В1С1 равны.
165.    На луче ОХ отложены последовательно точки А и С, а на луче 
OY — В и D (рис. 7). При этом ОА = ОВ и АС = ВТ). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY.
 

166.    В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов В и С.
167.    В треугольнике АВС высоты ВВг и ССг пересекаются в точке М. Известно, чтоMBj = МСг. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
168.    Биссектрисы ВВ, и ССг треугольника АВС пересекаются в точке М, биссектрисы В1В2 и СхСг треугольника ABjCг пересекаются в точке 7V. Докажите, что точки А, М к N лежат на одной прямой.
169.    Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин А и В, пересекаются в точке Н, причем Z АНВ = 120°, а биссектрисы, проведенные из вершин В и С, — в точке К, причем Z ВЕС = 130°. Найдите угол АВС.
170.    Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведенной из вершины прямого угла.
171.    AD— биссектриса треугольника АВС, Е — основание перпендикуляра, опущенного из центра О вписанной окружности на сторону ВС. Докажите, что А ВОЕ = Z COD.
172.    На продолжениях гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС за точки А и В соответственно взяты точки К и М, причем АК = АС и ВМ = = ВС. Найдите угол МСК.
173.    В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузе АВ взяты точки К и М, причем АК = АС и ВМ = ВС. Найдите угол МСК.
174°. Через данную точку проведите прямую, пересекающую две данные прямые под равными углами.
175.    Дана незамкнутая ломаная ABCD, причем АВ = CD и Z АВС = = Z BCD. Докажите, что AD || ВС.
176.    На сторонах АС и ВС равностороннего треугольника АВС построены внешним образом равнобедренные прямоугольные треугольники ACN и ВСМ с прямыми углами при вершинах А и С соответственно. Докажите, что ВМ _L BN.
177.    Докажите, что биссектрисы двух внешних углов и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке.
178.    Найдите сумму внутренних углов:
а)    четырехугольника;
б)    выпуклого пятиугольника;
в)    выпуклого п-угольника.
179.    Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проходят две прямые, которые параллельны прямым АВ и АС и пересекаются с ВС в точках В и В. Докажите, что периметр треугольника OED равен отрезку ВС.
180.    Точка К — середина стороны АВ квадрата АВСВ, а точка В делит диагональ АС в отношении AL : ЬС = 3 : 1. Докажите, что угол KLD — прямой.
181.    Биссектрисы углов А и В треугольника АВС одинаково наклонены к сторонам ВС и АС. Найдите зависимость между углами А и В.
182.    Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме катетов.
183.    Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?
184.    Угол при вершине В равнобедренного треугольника АВС равен 108°.
Перпендикуляр к биссектрисе AD этого треугольника, проходящий через точку D, пересекает сторону АС в точке Е. Докажите, что DE = BD.
185.    Равные отрезки АВ и CD пересекаются в точке К. Известно, что АС || BD. Докажите, что треугольники АКС и BKD равнобедренные.
186.    Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1, один из острых углов равен 15°. Найдите гипотенузу.
187.    На каждой стороне правильного треугольника взято по точке. Стороны треугольника с вершинами в этих точках перпендикулярны сторонам исходного треугольника (рис. 8). В каком отношении каждая из взятых точек делит сторону исходного треугольника?
 

188.    Найдите углы равнобедренного треугольника, если известно, что угол между биссектрисой, проведенной к основанию, и биссектрисой, проведенной к боковой стороне, равен углу при вершине.
189.    Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла. По какой траектории движется середина этого отрезка?
190.    Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, ис-ходящим из одной вершины.
191.    Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.
192.    На сторонах ВС и CD квадрата ABCD построены внешним образом правильные треугольники ВСК и
DCL. Докажите, что треугольник AKL — правильный.
193.    На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника вне его построены квадраты ACDE и BCKF. Из точек Е и F на продолжение гипотенузы опущены перпендикуляры ЕМ и FN. Докажите, что ЕМ + FN = АВ.
194.    Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.
195.    Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
196.    Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
197.    Диагонали АС и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Периметр треугольника АВС равен периметру треугольника ABD, а периметр треугольника ACD — периметру треугольника BCD. Докажите, что АО = ВО.
198.    Точки М VLN — середины равных сторон AD и ВС четырехугольника ABCD. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и CD пересекаются в точке Р. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку MN прохо­дит через точку Р.

199.    Докажите, что две различные окружности на могут иметь более трех общих точек.
200.    В треугольнике АВС угол А равен 60°, а биссектриса угла А, медиана, проведенная из вершины В, и высота, проведенная из вершины С, пересекаются в одной точке. Найдите остальные углы треугольника.
201.    В треугольнике АВС сторона АВ равна 2, а углы А и В равны соответственно 60° и 70°. На стороне АС взята точка D так, что AD = 1. Найдите углы треугольника В DC.
202.    Найдите сумму внешних углов выпуклого п-угольника.
203.    Продолжения двух противоположных сторон АВ и CD четырехугольника АВCD пересекаются под углом а, продолжения двух других противоположных сторон пересекаются под тем же углом. Докажите, что два угла в четырехугольнике равны, и найдите разность двух других его углов.
204.    Биссектрисы ВВ1 и ССг треугольника АВС пересекаются в точке О. Известно, что АО _1_ ВгСг. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
205.    Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противолежащую сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен его основанию. Докажите, что эта биссектриса также равна основанию треугольника.
206.    Величины углов А, В, С треугольника АВС составляют арифметическую прогрессию с разностью |.
Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D. Точки Aj, Вг, Сг находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки А, В, С соответственно на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите, что величины углов Aj, Bj, Сj также образуют арифметическую прогрессию. Найдите ее разность.
207.    Прямая пересекает боковую сторону АС, основание ВС и продолжение боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС в точках K,LVL М соответственно. При этом треугольники CKL и BML также равнобедренные. Найдите их углы.
208.    Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите А ВМС, если А ВАС = 40°.
209.    Возможно ли, чтобы одна биссектриса треугольника делила пополам другую биссектрису?
210.    Сторона AD прямоугольника ABCD в три раза больше стороны АВ.
Точки М и N делят AD на три равные части (рис. 9). Найдите А АМВ + + AANB + AADB.
 

211.    Найдите углы треугольника, если известно, что медиана и высота, выходящие из вершины одного из его углов, делят этот угол на три равные части.
212.    Дан равнобедренный треугольник АВС с вершиной А. Длина прыжка кузнечика равна основанию ВС. Известно, что, начиная движение из точки С, кузнечик за 23 прыжка оказался в точке А, приземляясь после каждого прыжка на боковой стороне треугольника АВС и чередуя стороны при каждом прыжке, кроме последнего. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что с каждым прыжком кузнечик приближался к точке А.
213.    Какие значения может принимать: а) наибольший угол треугольника; б) наименьший угол треугольника; в) средний по величине угол треугольника?
214.    В треугольнике АВС угол В равен 20°, угол С равен 40°. Биссектриса AD равна 2. Найдите разность сторон ВС-АВ.
215.    Внутри квадрата ABCD взята точка М так, что А МАВ = 60°, A MCD = 15°. Найдите А МВС.
216.    На стороне ВС равностороннего треугольника АВС взята точка М, а на продолжении стороны АС за точку С — точка А, причем AM = MN. Докажите, что ВМ = CN.
217°. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е, АВ = AD, СА — биссектриса угла С, Z BAD = 140°, Z ВЕА = 110°. Найдите угол CDB.
218°. В выпуклом пятиугольнике ABCDE известно, что АЕ =AD,AC =АВ и Z DAC = Z АЕВ + Z АВЕ. Докажите, что DC в два раза больше медианы АК треугольника АВЕ.
219°. Внутри квадрата ABCD взята точка Ртак, что Z РВА = Z РАВ = 15°. Докажите, что CPD — равносторонний треугольник.
220.    На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.
221.    Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, вдвое меньше другой биссектрисы. Найдите углы треугольника.
222.    В треугольнике АВС известны углы Z А = 45°, Z В = 15°. На продолжении стороны АС за точку С взята точка М так, что СМ = 2АС. Найдите iIAMB.
223.    Дан треугольник АВС, причем АВ = АС и Z А = 80°. Внутри треугольника АВС взята точка М такая, что Z МВС = 30°, a Z МСВ = 10°. Найдите ZAMC.
224.    Дан треугольник АВС, причем АВ = АС и ZA = 110°. Внутри треугольника взята точка М такая, что Z МВС = 30°, a Z МСВ = 25°. Найдите ААМС.
225.    Докажите, что если в треугольнике один угол равен 120°, то треугольник, образованный основаниями его биссектрис, прямоугольный.
226.    На сторонах АВ, ВС и СА остроугольного треугольника АВС взяты точки С-р А1 и В] соответственно. Докажите, что если Z ВХАХС = Z ВА1С1, Z АгВ]С = Z ABjCi и Z AJCJB = = ZACjBp то точки А1? Вг и Сг являются основаниями высот треугольника АВС.
227.    В треугольнике АВС угол В равен 36°, угол С равен 42°. На стороне ВС взята точка М так, что ВМ = R, где R — радиус окружности, описанной около треугольника АВС. Найдите угол MAC.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar