Тема №7710 Задачи на тему введение в геометрию 5 тем
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи на тему введение в геометрию 5 тем из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи на тему введение в геометрию 5 тем, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

1. Подобие треугольников
Г1a.1 (Шарыгин-Гордин, 1181) В параллелограмме ABCD сторона AB =
4. На стороне BC взята точка E так, что BE : EC = 5 : 2, и проведена
прямая DE, пересекающая продолжение AB в точке F. Найдите BF.
Г1a.2 (Шарыгин-Гордин, 1209, переработка) В треугольник вписан ромб
со стороной 6 так, что один угол у них общий, а противоположная вер-
шина делит сторону треугольника в отношении 2:3. Найдите стороны
треугольника, содержащие стороны ромба.
Г1a.3 (Шарыгин-Гордин, 1218) В треугольнике ABC проведена прямая
BD так, что ∠ABD = ∠BCA. Найдите отрезки AD и DC, если AB = 2
и AC = 4.
Г1a.4 (Прасолов, 1.1б, упрощена) Основания AD и BC трапеции ABCD
равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка MN, концы которого делят
стороны AB и CD в отношении AM : MB = DN : NC = 2 : 3.
Г1a.5 (Шарыгин-Гордин, 1215) В равнобедренном треугольнике ABC
стороны AB = BC = a, AC = b, AN и CM — биссектрисы треугольника.
Найдите MN.
Г1a.6 (Шарыгин-Гордин, 1204) В треугольник с основанием a и высо-
той h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании
треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите сторону
квадрата.
Г1a.7 (Шарыгин-Гордин, 1232а) Точки K и M лежат на сторонах AB
и BC треугольника ABC, причем AK : BK = 3 : 2, BM : MC = 3 : 1.
Прямая KM пересекает прямую AC в точке N. Найдите CN : AC.
Г1a.8 (почвоведы, 1996) На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD
взяты точки E и F соответственно так, что AE : BE = 2 : 1 и BF : CF =
3 : 1. В каком отношении прямая DE делит отрезок AF?
Г1a.9 (экономисты, 1985, упрощена) На стороне AC треугольника ABC
взята такая точка D, что прямая BD делит медиану AM в отношении
1:2, считая от вершины. Найдите AD : DC.
Г1a.10 (Прасолов, 1.3б, упрощена) На сторонах BC и AC треугольника
ABC взяты точки A1 и B1. Отрезки AA1 и BB1 пересекаются в точке
D. Расстояния от точек A1, B1, C до прямой AB равны 4l, 6l и 12l
соответственно. Найдите расстояние от точки D до прямой AB.
2. Применения теоремы Пифагора
Г2a.1 (Шарыгин-Гордин, 846) В равнобедренной трапеции основания
равны 10 и 24, боковая сторона 25. Найдите высоту трапеции.
Г2a.2 (Сканави, 11.163) Основания равнобедренной трапеции равны a и
b, боковая сторона равна c. Найдите диагональ трапеции d.
Г2a.3 (Шарыгин-Гордин, 874, 883) Найдите высоту и радиусы вписан-
ной, описанной и вневписанной окружностей равностороннего треуголь-
ника со стороной a.
Г2a.4 (Шарыгин-Гордин, 868) В равнобедренном треугольнике основа-
ние равно 30, а боковая сторона равна 39. Найдите радиус вписанного
круга.
Г2a.5 (Шарыгин-Гордин, 869) Найдите радиус круга, описанного около
равнобедренного треугольника с основанием 6 и боковой стороной 5.
Г2a.6 (Шарыгин-Гордин, 853) AB = 18 и CD = 24 — две параллель-
ные хорды, расположенные по разные стороны от центра O окружности
радиуса 15. Найдите расстояние между хордами.
Г2a.7 (Сканави, 11.166) Длины оснований равнобедренной трапеции от-
носятся как 5:12, а длина ее высоты равна 17. Вычислите радиус окруж-
ности, описанной около трапеции, если ее средняя линия равна высоте.
Г2a.8 (Сканави, 11.010) В равнобедренном треугольнике с боковой сто-
роной 4 медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3. Найдите ос-
нование треугольника.
Г2a.9 (Сканави, 11.012) Найдите длины сторон равнобедренного тре-
угольника ABC с основанием AC, если известно, что длины его высот
AN и BM равны соответственно n и m.
Г2a.10 (Сканави, 11.060) В прямоугольном треугольнике точка касания
вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 и 12. Найдите
катеты треугольника и радиус вписанной окружности.
Г2a.11 (Сканави, 11.076) Найдите отношение радиуса окружности, впи-
санной в прямоугольный равнобедренный треугольник, к высоте, опу-
щенной на гипотенузу.
Г2a.12 (Шарыгин-Гордин, 1239) Точка на гипотенузе, равноудаленная
от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40. Найдите
катеты треугольника.
Г2a.13 (Шарыгин-Гордин, 858) Высота прямоугольного треугольника,
проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки a и
b. Найдите катеты.
Г2a.14 (Шарыгин-Гордин, 1541) В треугольнике ABC дана точка D
на стороне AB. Найдите CD, если известно, что BC = 37, AC = 15,
AB = 44, AD = 14.
Г2a.15 (физфак, 1994, переработка) В прямоугольном треугольнике ра-
диус описанной окружности равен 13, радиус вписанной окружности
равен 4. Найдите стороны треугольника.
Г2a.16 (физфак, 1995) В прямоугольном треугольнике катет равен a, а
биссектриса прямого угла равна l. Найдите другой катет.
Г2a.17 (филфак, 1990) В прямоугольном треугольнике ABC с гипоте-
нузой AB проведены медиана CM и высота CH, причем точка H лежит
между A и M. Найдите AH : AM, если CM : CH = 5 : 4.
Г2a.18 (ИСАА, 2002) Найдите медиану AM треугольника ABC со сто-
ронами AB = 8, BC = 6 и биссектрисой BL = 6.
Г2a.19 (психологи, 1995) В треугольнике ABC периметром 28 биссек-
трисы AD и BE пересекаются в точке M. Найдите AB, если AB = BE
и BM = 2 · ME.
Г2a.20 (географы, 1992) Найдите стороны треугольника ABC, если его
биссектриса BL = 4 и медиана AM = 4 перпендикулярны друг другу.
3. Площади
Г3a.1 (Шарыгин-Гордин, 1877) Боковая сторона треугольника разделена
в отношении 2:3:4, считая от вершины, и из точек деления проведены
прямые, параллельные основанию. В каком отношении разделилась пло-
щадь треугольника?
Г3a.2 (Сканави, 11.127) Высота ромба равна 12, а одна из диагоналей
равна 15. Найдите площадь ромба.
Г3a.3 (Сканави, 11.147) Вычислите площадь трапеции, параллельные
стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные 17 и 25.
Г3a.4 (Сканави, 11.187) На сторонах равностороннего треугольника со
стороной a вне его построены квадраты. Их вершины, лежащие вне тре-
угольника, последовательно соединены. Определите площадь получен-
ного шестиугольника.
Г3a.5 (биофак, 2000) На сторонах AB = 6 и AC = 4 треугольника
ABC взяты точки D и E соответственно. Найдите площадь треугольни-
ка ADE, если BC = 8, AD = 2, AE = 3.
Г3a.6 (филологи, 1999) Медианы AM и BN треугольника ABC пере-
секаются в точке K. Найдите площадь △ABC, если площадь четырех-
угольника CMKN равна 5.
Г3a.7 (физфак, 2006) В △KLM дано: LK : KM = 5 : 7, расстояние
от середины биссектрисы KN до стороны LK равно 2, площадь △KLM
равна 48. Найдите LK.
Г3a.8 (физфак, 1999) Около окружности описана равнобочная трапеция
BCDE (CD k BE), площадь которой равна 2√2/3, CD : BE = 1 : 2.
Найдите BC.
Г3a.9 (физфак, 1995) В трапеции BCDE (CD k BE) диагонали пере-
секаются в точке O, CD = c, BE = b. Найдите отношение площади
треугольника COB к площади трапеции BCDE.
Г3a.10 (физфак, 1996, упрощена) В трапеции BCDE (CD k BE) точ-
ка M — середина стороны BC. Площадь треугольника MDE равна S.
Найдите площадь трапеции.
Г3a.11 (психологи, 2001) Найдите площадь равнобедренной трапеции
со средней линией m и перпендикулярными диагоналями.
Г3a.12 (химфак, 1993) В квадрат площадью 18 вписан прямоугольник
так, что на каждой стороне квадрата лежит по одной вершине прямо-
угольника. Найдите площадь прямоугольника, если его стороны отно-
сятся, как 1:2.
Г3a.13 (ВМК, 1995) Медианы AM и CN треугольника ABC взаимно
перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABM, если BC = a
и AC = b.
Г3a.14 (Прасолов, 1.37) Из медиан треугольника ABC с площадью S
составили другой треугольник. Найдите его площадь.
Г3a.15 (Прасолов, 1.36, упрощена) Через точку Q, взятую на стороне
AB треугольника ABC, проведены две прямые, параллельные сторонам
AC и BC и разбивающие треугольник на три части, две из которых —
треугольники с площадями S1 и S2. Найдите площадь третьей части.
4. Углы и дуги
Г4a.1 (Шарыгин-Гордин, 1417) Касательная и секущая, проведенные из
одной точки к одной окружности, взаимно перпендикулярны. Касатель-
ная равна 12, а внутренняя часть секущей равна 10. Найдите радиус
окружности.
Г4a.2 (Шарыгин-Гордин, 1428) В квадрат ABCD со стороной 2 вписана
окружность, которая касается стороны CD в точке E. Найдите вели-
чину хорды, соединяющей точки, в которых окружность пересекается с
прямой AE.
Г4a.3 (Шарыгин-Гордин, 1438, переработка) Хорды AB и CD пересека-
ются в точке P. Известно, что AB = CD = 12, BD = 6, ∠AP C = 60◦.
Найдите стороны треугольника BP D.
Г4a.4 (Сканави, 11.030) В окружности проведены две хорды AB = a и
AC = b. Длина дуги AC вдвое больше длины дуги AB. Найдите радиус
окружности.
Г4a.5 (Сканави, 11.032) В сектор AOB радиусом R и углом 90◦ вписана
окружность, касающаяся отрезков OA, OB и дуги AB. Найдите радиус
окружности.
Г4a.6 (физфак, 1998, переработка) В трапеции BCDE, описанной около
окружности, CD k BE, BC = DE, ∠BCD = 135◦. Площадь трапеции
равна 8√2. Найдите BC.
Г4a.7 (филфак, 1988) Окружность, касающаяся сторон AD и CD па-
раллелограмма ABCD, проходит через точку B и пересекает стороны
AB = 8 и BC в точках E и F соответственно. Найдите AD, если
AE : BE = 4 : 5 и BF : CF = 8 : 1.
Г4a.8 (физфак, 1998) Окружности радиусов 3 и 5 внешним образом
касаются друг друга в точке A и каждая из них касается сторон угла.
Их общая касательная, проходящая через точку A, пересекает стороны
этого угла в точках B и C. Найдите BC.
Г4a.9 (физфак, 2006) В трапеции KLMN (LM k KN) KL 6= MN.
Две прямые, параллельные основаниям LM и KN, делят трапецию на
три части, в каждую из которых можно вписать окружность. Радиус
средней из этих окружностей в два раза меньше радиуса наибольшей.
Найдите отношение радиуса наименьшей из этих окружностей к радиусу
наибольшей.
Г4a.10 (физфак, 2005) На окружности последовательно взяты точки K,
L, M и N, LM = MN. Отрезки KM и LN пересекаются в точке A,
KL = l, KN = n, KA = a. Найдите AM.
5. Применение тригонометрии
Г5a.1 (геологи, 2000) Найдите отношение высот треугольника ABC,
опущенных из вершин A и B соответственно, если cos ∠A = 1/5 и
sin ∠B = 1/2.
Г5a.2 (социофак, 2002) Найдите угол A треугольника ABC со сторона-
ми AB = 2, AC = 4 и медианой AM =√7.
Г5a.3 (физфак, 1995) В остроугольном △LMN LN = n, LM = m,
∠MLN = α. Найдите медиану LK и угол ∠LMN.
Г5a.4 (психологи, 1997, упрощена) В △ABC ∠C = 60◦
, BC = 2, AC = 5.
Найдите tg ∠A.
Г5a.5 (физфак, 1995) В прямоугольном треугольнике острый угол равен
α, а противолежащий ему катет равен a. Найдите биссектрису прямого
угла.
Г5a.6 (психологи, 1997, упрощена) Биссектриса угла ∠C = 60◦
треугольника ABC равна 5√3. Найдите BC, если AC : BC = 5 : 2.
Г5a.7 (физфак, 2000) В △BCD BE — биссектриса, BE = l, BD = b,
∠CBD = α. Найдите BC.
Г5a.8 (физфак, 1992) В треугольнике ABC высота AH равна h, ∠BAC =
α, ∠BCA = γ. Найдите площадь треугольника ABC.
Г5a.9 (географы, 2003) В треугольнике ABC AL и AM — биссектриса
и медиана соответственно. Найдите LM, если ∠BAM = 45◦
, ∠CAM =30◦, BL = 6.
Г5a.10 (биологи, 1980) Найдите стороны параллелограмма ABCD с
периметром 26, если ∠B = 120◦, а радиус вписанной в треугольник ABD окружности равен √3


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (18.08.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar