Тема №7313 Задачи по геометрии для проведения самостоятельных работ Аналитическая геометрия 30 вариантов
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для проведения самостоятельных работ Аналитическая геометрия 30 вариантов из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для проведения самостоятельных работ Аналитическая геометрия 30 вариантов, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Вариант 1

 

  1. Проверить, является ли прямоугольным треугольник с вершинами А (4; -5), B (7; 6) и С (-7; -2). Составить уравнения его сторон.
  2. Через точку пересечения прямых провести прямую, составляющую с осью ОХ угол 45°.
  3. К какой из двух прямых: точка М(-1;2) находится ближе?
  4. Показать, что отрезки прямых образуют трапецию. Найти внутренние углы трапеции.
  5. Дан тетраэдр с вершинами А(1; 3; 6), В (2; 2; 1), С (-1; 0; 1) и В (-4; 6; -3). Найти длину высоты, проведенной из вершины А, и угол между гранями ВСD и АСВ . Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину А параллельно грани BCD.
  6. Плоскость проходит через точку M (1; -3; 5) и отсекает на осях ОY и OZ вдвое большие отрезки, чем на оси ОX. Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.
  7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох перпендикулярно к плоскости.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.
  10. Дан треугольник с вершинами А (7; 2; -6), В (11; -3; 5), С (-3; 4; -2). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В. При каком значении m прямая будет перпендикулярна построенной прямой?
  11. Проверить, лежит ли прямая на плоскости .


Вариант 2

 

  1. Написать уравнения высот треугольника, вершины которого находятся в точках К (2; 5), А. (-4; 3), М (6; -2).
  2. Найти угол наклона к оси ОХ и начальную ординату прямой . Построить данную прямую.
  3. Найти расстояние между параллельными прямыми .
  4. Даны уравнения сторон треугольника: . Определить угол между медианами, проведенными из вершин А и В.
  5. Плоскость  проходит через точки А (-1; 3; 4), B (-1; 5; 0) и C (2; 6; 1), плоскость  задана уравнением . Показать, что плоскости перпендикулярны, и выяснить, какая из них расположена ближе к началу координат.
  6. Через точку M (-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX, другая - ОY . Вычислить угол между этими плоскостями.
  7. Через точку М (2; 3; -1) провести плоскость, параллельную плоскости . Составить для построенной плоскости уравнение в "отрезках".
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку А (1; -5; 3) и образует с осями координат ОХ и OY углы, соответственно равные и 45, а с осью OZ – тупой угол.
  10. Показать, что прямые взаимно перпендикулярны.
  11. При каком значении А плоскость будет параллельна прямой . При А = 4 найти угол между ними.


Вариант 3

 

  1. В параллелограмме АВСD даны вершины А (-1; 3), В (4; 6) и С (1;-5). Составить уравнения его сторон.
  2. Какая зависимость существует между а и b , если угол наклона прямой к оси OX равен 45° ?
  3. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую , и угол, образованный этим перпендикуляром с осью ОУ.
  4. Дан треугольник с вершинами: А (-3; -5), В (9; 1) и С (-3; 5). Определить координаты точки пересечения и острый угол между медианой, проведенной из вершины А, и высотой, проведенной из вершины С на сторону АВ.
  5. Плоскость  проходит через точки А (-1; 10; -3), (1; 1; -5) и С (5; 4; -2), плоскость  проходит через точку М (2; -3; -9) и отсекает на осях ОХ и ОУ отрезки а = 18, b = 27. Показать, что плоскости параллельны, и найти расстояние между ними.
  6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3; 1; 2) параллельно векторам . Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью .
  7. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОХ и ОУ угол  = 150° и      = 120°. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние Р от начала координат до неё равно 5 ед. Указать особенность в расположении плоскости.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Найти острый угол между прямыми, одна из которых задана уравнением , другая проходит через точки А (2; -5; 3) и В (13; 2; -5).
  10. При каких значениях В и n прямая перпендикулярна плоскости ?
  11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (-4; -7; 1) и параллельно прямой .


Вариант 4

 

  1. В треугольнике АBС известны вершины А (-3; -4), В (1; -2) и С (7; -2). Составить уравнения средней линии, параллельной АС , и медианы, проведенной из вершины В.
  2. Составить уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку A(-1; 4) параллельно прямой .
  3. Стороны треугольника выражаются уравнениями . Найти уравнение высоты, опущенной из вершины B на сторону АС и её длину.
  4. Через начало координат провести прямые, образующие с прямой углы, тангенсы которых равны .
  5. Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОХ и проходящей через точки            М (0; 1; 3) и N (2; 4; 5), и построить её. Найти расстояние точки А (3; 2; -5) до построенной плоскости.
  6. При каком значении l плоскости  и  будут перпендикулярны? Плоскость  проходит через точки К (-1; ; 0), М (2; -1; 1), N (8; 1;-1). Плоскость  задана уравнением . При l = 3 найти острый угол между плоскостями  и .
  7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-2; 7; 3) параллельно плоскости . Полученное уравнение плоскости привести к нормальному виду.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Найти угол между прямыми и .
  10. Даны вершины четырехугольника: A (-4; -3; -2), B (2; -2; -3), C (-8; -5; 1), D (4; -3; -1). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
  11. Найти значение m, при котором прямая параллельна плоскости . При m = -2 найти точку пересечения прямой с плоскостью.


Вариант 5

 

  1. Даны вершины треугольника: А (4; 6), В (-4; 0) и С (-1; -4). Составить уравнения высоты, опущенной из вершины А на сторону BС,и медианы, проведенной из вершины С.
  2. Найти площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой .
  3. Дана прямая . Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от неё на расстоянии 3 единиц.
  4. Найти острый угол между прямой и прямой, проходящей через точки А (1; -1) и В (5; 7).
  5. На оси ОX найти точку, удаленную от плоскости, проходящей через точку М (1; 8; -1) перпендикулярно вектору , на расстояние .
  6. Найти угол между плоскостями  и , где  проходит через точки A (1; ; ), В (2; 0; 1) параллельно оси OZ , а  - через точки С (2; 2;1), D (6; 1; 0) и E (-1; -1; 3).
  7. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору , направляющие косинусы которого соответственно равны . Проверить, будет ли искомая плоскость перпендикулярна плоскости .
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Найти угол между прямой и плоскостью .
  10. Найти проекцию точки М (-6; 5; 7) на прямую .
  11. Доказать, что четырехугольник с вершинами A (3; 2; -3), B (2; 4; 6), C (8; 3; 4), D (9; 1; -5) есть параллелограмм. Найти длины его сторон.


Вариант 6

 

  1. Даны вершин треугольника: А (2; -1), В (4; 5) и С (-3; 2).Составить уравнения высоты, опущенной из вершины В на сторону АС, в медианы, проведенной из вершины А.
  2. Через точку А(1; 2) провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.
  3. Найти длину перпендикуляра, проведенного из начала координат к прямой , и угол, образованный этим перпендикуляром с осью ОХ .
  4. Проверить, что прямые служат сторонами равнобедренного треугольника.
  5. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОY и OZ углы  = 60° и  = 45°, а с осью ОХ - тупой угол. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние р от начала координат до неё равно 8 единицам. Найти расстояние от точки A (1;-1; ) до построенной плоскости.
  6. Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью , проходящей через точки А (0; 4; 1), B (6;2; 0), С (3; 0; 2). Найти угол между плоскостью  и плоскостью XОY.
  7. Показать, что параллелепипед, грани которого лежат в плоскостях является прямоугольным.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.
  10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3; 5; -1) и перпендикулярно прямой .
  11. Точки A (-4; 3; 7), B (2; -1; 5) и C (-2; -6; 11) являются тремя вершинами параллелограмма. Составить уравнение стороны CD.


Вариант 7

 

  1. Даны вершины треугольника: А (-1; 2), В (3; -1) и С (0; 4). Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащейстороне.
  2. Прямая проходит через точку А(-1; -9) и отсекает на отрицательной полуоси абсцисс отрезок, вдвое меньший, чем на отрицательной полуоси ординат. Составить уравнение этой прямой.
  3. Известны уравнения сторон треугольника: . Найти длину высоты, которая проведена из вершины, лежащей на оси абсцисс.
  4. Даны вершины четырехугольника: А (-9; 0), В (-3; 6), С (3; 4) и D (6; -3). Вычислить угол между диагоналями АС и ВD.
  5. Две из граней куба расположены на плоскостях . Найти его объем.
  6. Найти угол между плоскостью и плоскостью, проходящей через точки М (1; 1; 1) и N (2; 3; -1) параллельно вектору ={0; -1; 2}.
  7. Составить уравнение плоскости АВС, где А (-3; -3; 1), В (-4; -2; -2), С (-5; -1; 0), и указать особенность в её расположе­нии. Найти углы, образуемые перпендикуляром, опущенным из начала координат к плоскости, с координатными осями.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Найти угол прямой с плоскостью .
  10. При каком значении n прямые будут взаимно перпендикулярны?
  11. Вершины четырехугольника находятся в точках A (-3; -5; -1), B (2; -20; 9), C (-6; 1; -2), D (-9; 10; -8). Показать, что ABCD есть трапеция и найти длины её оснований.


Вариант 8

 

  1. Проверить, что четыре точки: А (-2; -2), B (-3; 1), С (7; 7) и D (3; 1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение средней линии трапеции.
  2. Какая зависимость существует между а и b , если угол наклона прямой к оси ОX равен 30° ?
  3. Через точку пересечения прямых проведена прямая перпендикулярно первой из данных прямых. Каково расстояние полученной прямой от начала координат?
  4. Определить острый угол, под которым пересекаются прямые АВ и СD, если А (2; 4),      В (4; 8), С (8; 3) и D (10; -2).
  5. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от точки А (1; 2; 0) на расстоянии .
  6. Найти угол между плоскостью, проходящей через точку M (3; 6; -2) и отсекающей на осях координат отрезки, связанные соотношением а: в : с =1:3:2, и плоскостью XOZ.
  7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки А (0; 2; 0), В ( 0;1) и С ().
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости с прямыми. Определить направляющие косинусы прямой.
  10. При каком значении m прямые будут взаимно перпендикулярны? При m = 1найти угол между ними.
  11. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку М (3; 1; -2) и прямую .


Вариант 9

 

  1. Даны вершины треугольника: А (3; 0), В (0; 3) и С(-2; -1). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, и найти её длину.
  2. Из пучка прямых а центром в точке О(2; -5) выбрать прямую, отсекающую на положительной полуоси ординат отрезок, равный 3 единицам. Полученное уравнение прямой привести к нормальному виду.
  3. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых и параллельную прямой .
  4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку. М (-4; 1)и образующей угол с прямой .
  5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей до плоскости, проходящей через точку М (-1;-1; 1) перпендикулярно вектору .
  6. Дан тетраэдр с вершинами А (1; -2; 2), В (2; -3; -6),С (5; 1; 4) и D (0; -4; 4). Найти угол между гранями ABD и BCD.
  7. Плоскость  проходит через точку М (-5; 4; 13) и отсекает на осях координат равные отрезки. Плоскость  задана уравнением, . При каком значении m плоскости  и  будут перпендикулярны?
  8. Написать канонические уравнения прямой:
  9. Даны две вершины параллелограмма ABCD: С (-2; 3; -5) и D (0; 4; -7) и точка пересечения диагоналей M (1,2,-3; 5). Найти уравнение стороны AB и угол между диагоналями AC и BD.
  10. При каких значениях В и С прямая перпендикулярна плоскости ?
  11. При каких значениях А и С прямая лежит в плоскости ?


Вариант 10

 

  1. Вершины четырехугольника имеют координаты Р(1; 0), Q(2; ), R(5; 2) и S(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.
  2. Диагонали ромба равны 8 и 3 единицам. Написать уравнения сторон ромба, если большая диагональ лежит на оси ОХ, а меньшая - на оси ОУ . Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.
  3. Составить уравнение перпендикуляра, восстановленного в середине отрезка, соединяющего точки М (-1; 7) и N (3; -1). Какой уголобразует он с положительным направлением оси ОХ?
  4. Вычислить угол между прямыми .
  5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; 0; -2) перпендикулярно вектору , где В (2; -1; 3), С (0; -3; 2). Указать особенности в расположении плоскости. Найти расстояние от точки D (6; -2; 13) до построенной плоскости.
  6. При каком значении m угол между плоскостями  и  равен ? Плоскость  проходит через точки А (), В (-3; 1; 1) и С (2; 4; -7), плоскость  задана уравнением .
  7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М (1; -1; 2), N (3; 1; -2) и перпендикулярной к плоскости ХОY.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М (1; 2; 3), если направляющий векторпрямой образует с координатными осями ОХ и OZ углы  = 120°,  = 45°, а с осью ОY - острый угол.
  10. В плоскости XOZ найти прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную к прямой.
  11. При каком значении С плоскость будет параллельна прямой . При С = -2 найти угол между ними.


Вариант 11

 

  1. Показать, что точки M(4; 3), N (5; 0), Р (-5; -6) и Q (-1; 0) являются вершинами трапеции. Найти уравнение высоты трапеции, её длину.
  2. Найти угол наклона к оси ОХ .и начальную ординату прямой .
  3. Определить, какие из уравнений прямой являются нормальными:

                                                                                                               

                                                                                                               

  1. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если даны вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы .
  2. Найти такое число , чтобы плоскость была параллельна плоскости , и определить расстояние между ними.
  3. Построить линии пересечения координатных плоскостей с плоскостью , проходящей через точки А(1; 1; -1), В(3; -1; 1) и С(2; 3; 2), Найти угол между плоскостью  и плоскостью XOZ.
  4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1) параллельно векторам ={0; 1; 2} и = {-1; 0; l}.Указать особенность в расположении плоскости.
  5. Написать канонические уравнения прямой:.
  6. Дан треугольник с вершинами А(3; -2; 5), В(-1.2; 3) и С(5; 4; -3). Найти угол между медианами, проведенными из вершин А, С, и их длины.
  7. Найти проекцию точки М (1; 2; -3) на плоскость .
  8. Параллельны ли прямые ?


Вариант 12

 

  1. Даны две вершины треугольника: А (-4; 3), B (4; -1) и точка пересечения высот М (3; 3). Найти третью вершину С.
  2. Написать уравнение прямой, если длина нормали р = 2, а угол наклона её к оси ОХ равен 225°.
  3. Показать, что прямые параллельны. Найти расстояние между ними. Построить указанные прямые.
  4. Прямые АВ и СD пересекаются в точке М(4; 2; 5) под углом 45°. Написать уравнение прямой СD, если координаты точки А(0; 5).
  5. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ и равноудаленной от точек А (2; 7; 3) и 3 (-1; 1; 0).
  6. Плоскость  проходит через проекции точки М (2; 1; 2) на оси координат, а плоскость  через точки А (1; 2; 3), B (-2; 0; -1) и С (0; 1;2). Найти угол между плоскостями  и .
  7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и N(2; 1; 1) параллельно вектору ={3; 0; 1} . Полученное уравнение привести к нормальному виду.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Даны две вершины треугольника: А (-4; -1; 2) и В (3; 5; -16). Найти третью вершину С и угол при вершине А, зная, что середина стороны АС лежит на оси ОY, а середина стороны ВС -на плоскости XOZ .
  10. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую .
  11. При каких значениях В и D прямая лежит в плоскости ?


Вариант 13

 

  1. Даны координаты середин сторон треугольника: А(1; 2), B(7; 4), С(3; -4). Составить уравнения сторон треугольника.
  2. Дано уравнение прямой . Написать уравнение в отрезках и нормальное уравнение.
  3. Найти расстояние от точки пересечения прямых, заданных уравнениями до прямой .
  4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС известны вершина острого угла А(2; 6) и уравнение противолежащего катета . Составить уравнения двух других сторон.
  5. Найти расстояние от точки М (0; -1; 1) до плоскости, проходящей через точки        А(1; 4; -5) и В(4; 2; -3) и перпендикулярной плоскости .
  6. Вычислить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью, проходящей через точки А(2; 1; 8), В(-1; 3; 4) и    С(3; 0; 12).
  7. Дана плоскость . Найти углы её нормали с осями координат. Проверить, проходит ли плоскость через одну из следующих точек: А(1; -2; 1), В(3; 2; 4), С, D.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.
  10. При каком значении m прямые будут взаимно перпендикулярны?
  11. Три вершины трапеции находятся в точках А(3; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(-1; 1; -3). Найти уравнение средней линии трапеции, параллельной АВ.


Вариант 14

 

  1. Вершинами треугольника служат точки A(-8; 1), B(1; -2) и C(6; 3). Найти центр описанной около него окружности.
  2. Через точку М (3; 2) провести прямую так, чтобы её отрезок, заключенный между осями координат, делился в данной точке пополам.
  3. Составить уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и отстоящей от начала координат на расстояние .
  4. Две прямые, проходящие через начало координат, образуют собой угол . Отношение угловых коэффициентов этих прямых равно. Составить уравнения этих прямых.
  5. Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости, проходящей через точки M(3; 3; -4), N(5; 0; -2), Р(4; 0; 0) и удаленных от неё на расстояние d = 4.
  6. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОX и составляющей угол 60° с плоскостью Y = X.
  7. Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью, проходящей через точку М(-3; -6; 4) перпендикулярно вектору ={2; -1; 6}.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Найти острый угол между прямыми:
  10. Показать, что треугольник с вершинами в точках А(1; -2; 1), В(3; -3; -1) и С(4; 0; 3) прямоугольный. Найти его периметр.
  11. Прямая проходит через точки А(3; -1; 0) и В(х; -7; 3) и параллельна плоскости . Определить абсциссу точки В и направляющие косинусы построенной прямой.


Вариант 15

 

  1. Даны последовательные вершины параллелограмма: А(0; 0), В(1; 3), С(7; 1). Найти угол между его диагоналями и показать, что данный параллелограмм является прямоугольником.
  2. При каком значении параметра а уравнения изображают параллельные прямые?
  3. Через точку P(-2; 1) проведена прямая так, что её расстояние от точки С(3; 1) равно 4. Найти угловой коэффициент этой прямой.
  4. Построить треугольник, стороны которого заданы уравнениями: . Найти площадь треугольника.
  5. Найти расстояние от точки М(2; 1; 1) до плоскости, проходящей через точку N(-1; -1; 2) и перпендикулярной плоскостям .
  6. Через точку N(3; 9; -4) проведены две плоскости: одна из них содержит ось ОY, другая – OZ. Вычислить угол между этими плоскостями.
  7. Плоскость проходит через точки А(3; 1; 1), В(-7; ; 0) и С(-1; 1; ). Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Треугольник АВС образован пересечением плоскости с координатными осями. Найти уравнения средней линии треугольника, параллельной плоскости ХОY, и угол, который образует она с прямой .
  10. Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой .
  11. При каких значениях m и n прямые будут параллельны?


Вариант 16

 

  1. Даны вершины треугольника: А(-1; 6), В(-5; -2) и С(1; 0). Показать, что этот треугольник прямоугольный. Найти центр описанной около него окружности и её радиус.
  2. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую , а также координаты основания этого перпендикуляра.
  3. Диагонали ромба длиной в 30 и 16 ед. приняты за оси координат. Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.
  4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых под углом в 45° к прямой .
  5. На оси ОУ найти точку, равноудаленную от точки A (2; 0; 1) и от плоскости, проходящей через точку В (1; 1; 1) перпендикулярно вектору .
  6. Найти угол между плоскостями  и , где  проходит через точку А () перпендикулярно оси OZ , a  - через точки В(2; -1; -1), С(-1;0; 2) и D(0; -2; 0).
  7. При каких значениях a, b, c плоскости будут взаимно перпендикулярными?
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Проверить, лежат ли на одной прямой следующие три точки: А(3; 0; 1), В(0; 2; 4) и     С(1; ; 3).
  10. При каком значении n прямые будут взаимно перпендикулярны? При n = -3 найти угол между ними.
  11. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(3; -1; -4), пересекающей ось ОY и параллельной плоскости .


Вариант 17

 

  1. Даны вершены четырехугольника: А(2; 4), B(-3; 7), С(-6; 6), D(-1; 3). Доказать, что данный четырехугольник - параллелограмм.
  2. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a и b , чтобы прямые проходили через одну и ту же точку?
  3. На оси абсцисс найти точку, которая отстоит от прямой на расстоянии 3 единиц.
  4. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы и вершину прямого угла (4; -1).
  5. Дан тетраэдр с вершинами: K(1; 1; 2), L(-1; 1; 3), М(2; -2; 4), N(-1; 0; -2). Найти длину высоты, проведенной из вершины N, и угол между гранями КLM и LМN.
  6. Из точки Р(-1; 1; 4) опущен на плоскость перпендикуляр, основанием которого является точка Q(2; 1; 3). Составить уравнение плоскости в нормальном виде и указать особенности в её расположении.
  7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OZ перпендикулярно плоскости, проходящей через точку А(6; -1; 2) и отсекающей на оси абсцисс отрезок а = -3, а на оси аппликат - отрезок с = 4.
  8. Написать канонические уравнения прямой: .
  9. Дан треугольник с вершинами А(1; 2; -4), В(4; 0; -10) и С(-2; 6; 8). Найти угол между медианой, проведенной из вершины А, и стороной ВС.
  10. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми .
  11. При каком значении р прямые будут параллельны?


Вариант 18

 

  1. Три вершины параллелограмма имеют следующие координаты: А(-6; -4), B(-4; 8),        С(-1; 5), причем А и С - противоположные вершины. Определить координаты четвертой вершины параллелограмма и уравнения его диагоналей.
  2. Даны две точки: А(-3; 1) и B(3; -7). На оси ординат найти такую точку M, чтобы прямые AM и ВМ были перпендикулярны друг другу.
  3. На оси ординат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой .
  4. Найти острый угол между прямой и прямой, проходящей через точки А(-3; 8), В(1; ). Построить указанные прямые.
  5. Определить, при каких значениях m и n плоскости будут параллельны, и найти расстояние между ними.
  6. Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОУ и отсекающей на осях ОX и OZ отрезки, равные 2 и 3 ед. Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью .
  7. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки: А(1; -1; 1),     В(0; 2; 4), С(1; 3; 3) и D(4; 0; -3).
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Найти угол между прямыми, одна из которых задана уравнением , другая проходит через точку А(1; 2; 3) и точку пересечения указанной прямой с плоскостью .
  10. Найти направление прямой, одновременно перпендикулярной к оси OZ и к прямой, проходящей через две точки: А(1; -1; 4) и В(-3;2; 4).
  11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-3; 1; 0) и через прямую .


Вариант 19

 

  1. Противоположные вершины ромба находятся в точках B(-2; 2) и D(0; -3). Составить уравнения диагоналей этого ромба.
  2. При каком значении m прямые проходят через одну точку? Найти эту точку.
  3. Через точку Р (5; 0) провести касательную к окружности .
  4. Через точку А (-3; -5) проходят прямые: АС, параллельная оси ОУ , и А В, образующая угол с осью ОХ. Найти угол между указанными прямыми.
  5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(4; 6; -3), B(-2; -1; 7) и отсекающей равные отрезки на осях ОУ и OZ.Найти расстояние от точки С(5; -7; 8) до построенной плоскости.
  6. Найти угол между плоскостями  и , где  проходит через точку А(5; -1; 3) параллельно плоскости YOZ, a  - через точки В(0; 1;1), С(1; 0; -2), D(4; -2; -3).
  7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и N(2; 1; 1) перпендикулярно плоскости . Указать особенность в расположении плоскости.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Найти угол между прямой, лежащей в плоскости XOY и образующей с осью ОX угол 30°, и прямой, лежащей в плоскости XOZ иобразующей с осью ОХ угол 60°.
  10. Провести через точку пересечения плоскости с прямой прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой.
  11. Прямая проходит через точки А(х; 5; 9), В(2; у; 21) и параллельна прямой . Определить абсциссу точки А, ординату точки В инаправляющие косинусы прямой АВ.


Вариант 20

 

  1. Даны вершин треугольника: А(4; -1), В() и С(). Показать, что этот треугольник прямоугольный и равнобедренный.
  2. Составить уравнение прямой, параллельной прямой и отсекающей на положительной полуоси абсцисс отрезок, равный 4 единицам.
  3. На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от прямых .
  4. Стороны треугольника выражаются уравнениями: . Найти внутренние углы треугольника и его вершины.
  5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей до плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .
  6. Найти угол между плоскостями  и , где . проходит через точку М(3; -1; -2) параллельно плоскости XOZ , a  отсекает на осях координат отрезки a = 2, b = -4, .
  7. Принадлежат ли одной плоскости четыре точки: А(3; 1; 0), В (0; 7; 2), С(-1; 0; -5) и     D(4; 1; 5)?
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Треугольник образован пересечением плоскости с координатными плоскостями. Найти угол наклона медианы треугольника, проведенной из вершины, лежащей на оси ОZ, к плоскости ХОY.
  10. Даны вершины треугольника: А(4; 1; -2), В(2; 0; 0) и С(-2; 3; -5). Составить уравнение его высоты, опущенной из вершины В на противолежащую сторону.
  11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 5; 1) параллельно прямой .


Вариант 21

 

  1. Дан четырехугольник с вершинами: А(-2; -3), B(-1; 4), С(3; 3) и D(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.
  2. При каком значении параметра а прямые окажутся перпендикулярными?
  3. Через начало координат и точку М (1; 3) проходят две параллельные прямые. Найти их уравнения, если известно, что расстояние между этими прямыми равно.
  4. Прямая АВ отсекает на положительных полуосях OX и OY отрезки, соответственно равные 8 и 12 ед. Прямая CD проходит через точку С (-2; 0) и отсекает на оси ОУ отрезок b = 3. Найти угол между прямыми.
  5. Найти абсциссу точки А(х; 1; 8) при условии, что расстояние от неё до плоскости, проходящей через точки В(7; 2; 4), С(7; -1; -2) иD(-5; -2; -1), равно 3 ед.
  6. Найти угол между плоскостями  и , где  проходит через точки А() и            B() параллельно оси OY, а  задана уравнением .
  7. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОХ и OZ углы  =  = 60°, а с осью ОУ - острый угол. Составить уравнение плоскости при условии, что она проходит через точку М (1; 1; -1). Проверить, будет ли искомая плоскость параллельна плоскости .
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Найти отношение, в котором координатная плоскость ХОY делит отрезок между точками А(-1; -4; 4) и B(1; 2; -5). Определить точку пересечения прямой АВ с плоскостью ХОY и угол между ними.
  10. Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(5; 2; 6),     В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D(3; 1; 4) есть квадрат.
  11. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .


Вариант 22

 

  1. Даны вершины треугольника: А(2; 1), В(-2; 3), С(0; 3).Найти уравнения медиан треугольника и их длины.
  2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -3)параллельно прямой .
  3. По какой линии должна двигаться точка, начальное положение которой определено координатами (3; 8), чтобы кратчайшим путем дойти до прямой ? В какой точке она достигнет этой прямой и как велик будет пройденный путь?
  4. В параллелограмме АВСD известны уравнения сторон и точка С(7; 1). Найти углы, образованные диагональю АС со сторонами АВ и АD.
  5. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси ОУ отрезок b = -3 и перпендикулярной к вектору . Найти расстояние от точки А(-2; -4; 3) до построенной плоскости.
  6. Через точку А(-2; 4; 8) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX , другая - OZ. Вычислить угол между этими плоскостями.
  7. Плоскость  проходит через точки А(х; 1; 2), В(-2; 1; 1), С(2; -1; -2); плоскость  задана уравнением . Определить абсциссу точки А так, чтобы плоскости были перпендикулярными.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Вершины треугольника находятся в точках А(1; -2; 8), В(0; 0; 4) и С(6; 2; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В параллельно стороне АС, и определить внутренние углы треугольника.
  10. Найти расстояние от точки М(1; 3; 5) до прямой, по которой пересекаются плоскости .
  11. Даны точки А(-3; -2; -3), В(-2; -5; -1), С(-4; ; ). При каких значениях  и  точка С лежит на прямой АВ? Найти направляющие косинусы прямой AВ.


Вариант 23

 

  1. Даны две вершины: А(-6; -5) и В(2; 4) параллелограмма АВСD и точка М(3; 1) пересечения его диагоналей. Найти координаты вершин С и D и уравнения сторон параллелограмма.
  2. Через точку пересечения прямых провести прямую, параллельную прямой .
  3. Проверить, что прямые касаются одного и того же круга с центром в начале координат, и вычислить радиус этого круга.
  4. Даны координаты вершин треугольника: А (-4; 0), В (5; -6), С (0; 6). Определить вид треугольника и найти внутренние углы треугольника.
  5. На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки А (2; 3; 4) и от плоскости, проходящей через точку B (1; 5; 0) параллельно плоскости .
  6. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки О (0; 0; 0), М (0; 2; -2) и N (2; 2; 2) и плоскостью УOZ .
  7. Нормаль к плоскости  составляет с координатными осями равные острые углы. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние от начала координат до неё равно 4 ед. Определить, при каком значении m плоскость  будет перпендикулярна плоскости : .
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. На осях координат отложены от начала координат отрезки, соответственно равные 1, 2 и 3 ед.; концы этих отрезков соединены прямыми. Найти точку пересечения и угол между плоскостью полученного треугольника и прямой, проходящей через точки А(0; 4;-2),    В (3; -1; 2).
  10. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(-4; 3; -8) перпендикулярно двум прямым:.
  11. При каком значении n прямая параллельна плоскости ?


Вариант 24

 

  1. Даны вершины четырехугольника А(-4; -2), В(-3; 1), С(4; 3), D(5; -3). Показать, что середины сторон этого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
  2. Найти уравнения перпендикуляров к прямой , восстановленных в точках пересечения её о осями координат.
  3. Даны уравнения оснований трапеции: . Найти её высоту.
  4. Прямая задана уравнением . Показать, что данное уравнение является нормальным и найти острый угол между указанной прямой и осью OX.
  5. Найти расстояние от точки К (3; -2; 1) до плоскости, проходящей через точки М (5; -4; 3) и N (-2; 1; 8) и перпендикулярной плоскости YOZ.
  6. Плоскость  проходит через точки А (0; 0; z), B (3; -2; 0), С (3; 0; 1). Плоскость  задана уравнением . Определить аппликату точки А при условии, что угол между плоскостями  и  равен .
  7. Проверить, имеют ли общую тoчку следующие четыре плоскости: .
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей равные углы с плоскостями . Найти эти углы.
  10. Доказать, что треугольник АВС, где А(2; 3; -1), В(3; -1; 2), С(-1; 2; 3), равносторонний. Составить уравнения сторон треугольника и найти длину его высоты.
  11. Доказать, что прямые параллельны и написать уравнения прямой, проходящей посередине между ними.


Вариант 25

 

  1. Даны вершины А(-3; -2), В(4; -1), С(1; 3) трапеции ABCD (AD // ВС ). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершин D этой трапеции.
  2. При каких значениях с площадь фигуры, ограниченной координатными осями и прямой , равна 135 кв.единицам?
  3. Даны стороны треугольника:. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В и через точку на стороне АС, делящую её (считая от вершины А ) в отношении 1:3. Найти угол между построенной прямой и стороной АС, а также длину высоты, опущенной из вершины В.
  4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(0; 2) и образующей с осью ОХ угол, вдвое больше угла, который составляет с той же осью прямая .
  5. Найти аппликату точки M(2; 3; Z ) при условии, что расстояние от неё до плоскости, проходящей через точку А (-3; 3; )перпендикулярно вектору равно 4 ед.
  6. Определить, при каких значениях m и n плоскости будут параллельны. При найти угол между указанными плоскостями.
  7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(10; -5; 2), B(16; 3; 11),        С(-11; -33; 0), и указать особенность в её расположении. Найти углы, образованные перпендикуляром, проведенным из начала координат к плоскости, с координатными осями.
  8. Написать канонические уравнения прямой:.
  9. Найти угол между прямыми, одна из которых задана уравнением другая проходит через точки М(1; 0; 3) и N(5; -2; 7).
  10. Провести через точку пересечения плоскости с прямой прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярно к данной прямой.
  11. Найти периметр треугольника, вершины которого находятся в точках А(8; 0; 6),          В(8; -4; 6), С(6; -2; 5). Составить уравнениясредней линии треугольника, параллельной стороне АС.


Вариант 26

 

  1. Даны вершины треугольника A(-12; -2); B(4; 10); C(-6; -10). Показать, что этот треугольник прямоугольный и составить уравнение высоты, проведенной из вершины прямого угла.
  2. Написать уравнение прямой, параллельной прямой и отсекающей от первого координатного угла площадь, равную 5.
  3. Основание равнобедренного треугольника имеет уравнение. Одна из боковых сторон имеет уравнение . Найти уравнение другой боковой стороны, если известно, что она проходит через точку M(8; 9).
  4. Сторона AB и DC параллелограмма заданы уравнениями и , диагонали его пересекаются в точке M(1; 4). Найти длину высоты параллелограмма из вершины B.
  5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей, , до плоскости, проходящей через точки M1(1; 4; 2), M2(2; 3; 1),        M3(1; 1; 2).
  6. Плоскость α проходит через точку M1(1; 3; 1) параллельно плоскости . Плоскость β проходит через точку M2(5; -1; 2) и содержит ось . Найти угол между плоскостями α и β.
  7. Плоскость α проходит через точку P(3; -1; 2) и отсекает на оси отрезок вдвое больше, чем на оси и втрое больше, чем на оси . Плоскость β задана уравнением . При каком m плоскости будут перпендикулярны?
  8. Написать каноническое уравнения прямой .
  9. Найти расстояние от точки P(1; 3; 5) до прямой .
  10. Найти периметр треугольника с вершинами M1(2; 4; 5), M2(3; 8; 13), M3(-1; 0; 5). Найти уравнение треугольника и угол между сторонами M1M2 и M1M3.
  11. Через точку M1(2; 3; 6) провести плоскость перпендикулярную прямой .


Вариант 27

 

  1. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника, вершинами которого являются точки A(2; 3), B(0; -3), C(5; -2).
  2. Написать уравнение прямой, отсекающей на оси отрезок, величина которого равна 3, и наклоненной к оси под углом 135º.
  3. Вычислить тангенс острого угла между прямыми , .
  4. На прямой найти такую точку, у которой абсцисса в десять раз больше ординаты. Найти расстояние от найденной точки до прямой .
  5. Дан тетраэдр с вершинами A(2; 0; 1), B(0; 0; 3), C(1; 2; 1), D(4; 3; 2). Найти угол между гранями ABC и ACD. Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно грани ABC.
  6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(3; 5; 1) и M2(4; 2; 3) и параллельной вектору . Найти расстояние от точки P(5; -2; 4) до построенной плоскости.
  7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1; 1; 1), M2(2; 3; 4) и перпендикулярной плоскости . Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках и построить.
  8. Написать каноническое уравнения прямой .
  9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку B(3; 4; -4) параллельно прямой . При каком m построенная прямая будет перпендикулярна прямой .
  10. Найти проекцию точки M(-1; -1; 0) на плоскость .
  11. При каких значениях A и B прямая лежит на плоскости . При А=1, В=-2. Найти угол между прямой и плоскостью.


Вариант 28

 

  1. Даны вершины треугольника A(2; 1), В(0; 7), С(-4; -1). Найти уравнение его медиан и точку их пересечения.
  2. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M1(2; -5) и отсекает отрезок втрое больше, чем на оси ординат (считая каждый отрезок, направленным от начала координат).
  3. Даны уравнения сторон треугольника (АВ), (ВС), (АС). Найти угол между высотой, проведенной из вершины В и прямой, проведенной через точку С параллельно АВ.
  4. Дана прямая . Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии четырех единиц.
  5. Плоскость α проходит через точку Р(2; 1; 1) и отсекает на осях ох и oy отрезки, соответственно равные 4 и -6. Плоскость β задана уравнением . При каких m и n плоскости будут параллельны?
  6. Плоскость α проходит через точку M1(5; 3; 2) и параллельна двум векторам и . Плоскость β проходит через точку Р1(1; 1; 1), Р2(2; 3; 2) и Р3(3; 4; 2). Найти угол между плоскостями α и β.
  7. Вычислить расстояние между плоскостями и .
  8. Написать каноническое уравнения прямой .
  9. Найти точку симметричную точке С(-1; 2; 0) относительно прямой , , .
  10. При каком n плоскость будет параллельна прямой ? При найти точку пересечения и угол между прямой и плоскостью.
  11. Прямая α проходит через точку M1(3; 4; 7) и M2(-1; 3; 3). Прямая β проходит через точку Р(3; 2; -1) параллельно прямой . Найти угол между прямыми α и β.


Вариант 29

 

  1. Вершиной треугольника служит точка M1(5; -3), а основанием – отрезок, соединяющий точки M2(0; -1) и M3(3; 3). Составить уравнение сторон треугольника и найти длину высоты треугольника.
  2. Найти угол наклона к оси ох и начальную ординату прямой .
  3. Стороны треугольника заданы уравнениями (АВ), (ВС), (АС). Найти углы, которые медиана ВМ образует со сторонами АВ и ВС.
  4. Написать уравнение прямой, параллельной прямым и и проходящей посередине между ними.
  5. Через точку пересечения плоскостей , , провести плоскость, параллельную плоскости . Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках и построить.
  6. Через точку Q(-1; 3; -8) проведены две плоскости, одна из них содержит ось Oy, другая Oz. Вычислить угол между этими плоскостями.
  7. Плоскость проходит через точки M1(0; 1; 2), M2(2; 8; 3), M3(3; -2; -1). Найти расстояние точки Р(5; -8; 6).
  8. Написать каноническое уравнения прямой .
  9. Доказать, что прямые и параллельны и найти расстояние между ними.
  10. Прямая α проходит через точку А(1; -3; 6) параллельно оси Oy. Прямая β проходит через точку В(2; 1; -1) параллельно прямой . Найти угол между прямыми.
  11. Прямая проходит через точки M1(-1; 3; 0), M2(1; 7; 3). Плоскость задана уравнением . При каких B и D прямая лежит в плоскости?


Вариант 30

 

  1. Даны вершины четырехугольника ABCD: A(2; 1), B(5; 2), C(3; 6), D(0; 3). Найти точку пересечения его диагонали. Через вершину С провести прямую, параллельную диагоналям BD.
  2. Дано уравнение прямой . Написать уравнение в отрезках и нормальное уравнение.
  3. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон: (АВ), (АС) и основание D(-1; 3) высоты AD.
  4. Найти точку M симметричную точки N(7; -4) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -2) и В(1; 4).
  5. Плоскость α проходит через точку M1(1; 1; -4), M2(0; -1; -1), M3(-1; 2; 12). Плоскость β задана уравнением . Показать, что плоскости параллельны, и выяснить, какая их них расположена ближе к точке Р(0; -7; 3).
  6. Плоскость α проходит через точку M1(2; -4; 3) и отсекает на оси Oy отрезок вдвое меньше чем на оси ox и втрое больше чем на оси oz. Плоскость β задана уравнением . При каких m и n плоскости параллельны? При m=-1, n=2 найти угол между ними.
  7. Найти такое число а, чтобы четыре плоскости , , , проходили через одну точку.
  8. Написать каноническое уравнения прямой .
  9. При каких l и n прямая и плоскость будут перпендикулярны? При l=5, n=4 найти угол между ними.
  10. Прямая α проходит через точку M1(-1; 2; 4), перпендикулярно плоскости . Прямая β проходит через точки M1(2; 3; -5) и M2(-4; 0; 3). Найти угол между прямыми α и β.
  11. Найти точку M симметричную точке Р(-1; 2; 4) относительно плоскости .
 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (03.08.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar