Тема №6055 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 1) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

1.1. Равенство и подобие треугольников
Группа А
1.1. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C прове-
дена высота CH . Доказать, что AC2 = AB · AH и CH2 = AH · BH .
1.2. Основания трапеции равны a и b ( a > b ). а) Найти длину отрез-
ка, высекаемого диагоналями на средней линии. б) Найти длину отрез-
ка, высекаемого боковыми сторонами трапеции на прямой, проходящей
через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям.
в) Найти длину отрезка MN , концы которого делят боковые стороны
AB и CD в отношении AM : MB = DN : NC = p : q .
1.3. Один из углов трапеции равен 30◦
, а прямые, содержащие бо-
ковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти длину
меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна 10 см,
а одно из оснований 8 см.
1.4. На стороне BC треугольника ABC взята точка A1 так, что
BA1 : A1C = 2 : 1 . В каком отношении медиана CC1 делит отрезок
AA1 ?
1.5. Точки A1 и B1 делят стороны BC и AC треугольника ABC в
отношениях BA1 : A1C = 1 : p и AB1 : B1C = 1 : q . В каком отношении
отрезок AA1 делится отрезком BB1 ?
1.6. В треугольник ABC вписан квадрат P QRS так, что вершины
P и Q лежат на сторонах AB и AC , а вершины R и S — на стороне
1.1. Равенство и подобие треугольников 7
BC . Выразить длину стороны квадрата через a = BC и ha — длину
высоты треугольника, проведенной из вершины A.
1.7. Биссектриса AD треугольника ABC пересекает описанную ок-
ружность в точке P . Доказать, что треугольники ABP и BDP подобны.
1.8. Доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника
являются вершинами параллелограмма. Для каких четырехугольников
этот параллелограмм является прямоугольником, для каких — ромбом,
для каких — квадратом?
1.9. Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу ве-
личиной 60◦
. На этой дуге взята точка M . Доказать, что прямая, про-
ходящая через середины отрезков MA и OB , перпендикулярна прямой,
проходящей через середины отрезков MB и OA.
1.10. На одной из сторон угла расположены два отрезка длиной 3 и 4.
Через их концы проведены параллельные прямые, образующие на другой
стороне также два отрезка. Длина наибольшего равна 6. Найти длину
другого отрезка.
1.11. Основания трапеции равны 4 и 3, а боковые стороны пересека-
ются под прямым углом. Найти длину отрезка, соединяющего середины
оснований трапеции.
1.12. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M так, что
∠ABM = ∠BCM . Известно, что AM = 1 , MC = 3 . Найти длину
стороны AB .
1.13. Все стороны треугольника различны. Один из углов равен 40◦
.
Биссектриса этого угла делит треугольник на два треугольника, один из
которых подобен исходному. Найти наибольший угол исходного треуголь-
ника.
1.14. У двух неравных, но подобных между собой треугольников име-
ются две пары соответственно равных между собой сторон, длины кото-
рых 12 и 18. Найдите остальные стороны каждого треугольника.
1.15. Диагональ трапеции делит ее на два подобных между собой
треугольника. Отношение боковых сторон трапеции равно 2. Найти отно-
шение оснований трапеции.
8 Глава 1. Планиметрия
1.16. В трапеции известны основания: AD = 7 , BC = 3 . Прямая,
параллельная основаниям трапеции, пересекает боковые стороны AB и
CD в точках K и M . Известно, что AK : KB = 7 : 3 . Найти KM .
1.17. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так,
что AP : AD = 1 : n; Q — точка пересечения прямых AC и BP .
Доказать, что AQ : AC = 1 : (n + 1).
1.18. Вершины параллелограмма A1B1C1D1 лежат на сторонах па-
раллелограмма ABCD (точка A1 лежит на стороне AB , точка B1 —
на стороне BC и т.д.). Доказать, что центры обоих параллелограммов
совпадают.
1.19. Одна из диагоналей вписанного в окружность четырехугольника
является диаметром. Доказать, что проекции противоположных сторон
на другую диагональ равны.
1.20. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD внутреннего
или внешнего угла. Доказать, что AD : DC = AB : BC .
1.21. Доказать, что центр O вписанной окружности треугольника
ABC делит биссектрису AA1 в отношении AO : OA1 = (b + c) : a , где
a, b, c — длины сторон треугольника.
1.22. Длины двух сторон треугольника равны a , а длина третьей
стороны равна b . Вычислить радиус его описанной окружности.
1.23. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведе-
ны три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разбивают тре-
угольник на шесть частей, три из которых — треугольники с площадями
S1 , S2 , S3 . Найти площадь данного треугольника.
1.24. Доказать, что площадь треугольника, стороны которого равны
медианам треугольника площади S , равна 3S/4 .
1.25. а) Доказать, что площадь четырехугольника, образованного се-
рединами сторон выпуклого четырехугольника ABCD , равна половине
площади ABCD . б) Доказать, что если диагонали выпуклого четырех-
угольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков,
соединяющих середины противоположных сторон.
1.26. Точка O , лежащая внутри выпуклого четырехугольника площа-
ди S , отражается симметрично относительно середин его сторон. Найти
1.1. Равенство и подобие треугольников 9
площадь четырехугольника с вершинами в полученных точках.
1.27. Пусть AA1 и BB1 — высоты треугольника ABC . Доказать,
что △A1B1C ∼ △ABC . Чему равен коэффициент подобия?
1.28. Из вершины C остроугольного треугольника ABC опущена
высота CH , а из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на
стороны BC и AC соответственно. Доказать, что △MNC ∼ △ABC .
1.29. Пусть BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC . а) Дока-
зать, что касательная в точке A к описанной окружности параллельна
прямой B1C1 . б) Доказать, что B1C1 ⊥ OA, где O — центр описанной
окружности.
1.30. В равнобедренном треугольнике ABC из середины основания
BC опущен перпендикуляр HE на боковую сторону AC ; O — середина
отрезка HE . Доказать, что прямые AO и BE перпендикулярны.
1.31. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что
произведение длин оснований трапеции равно сумме произведений длин
отрезков одной диагонали и длин отрезков другой диагонали, но которые
они делятся точкой пересечения.
1.32. Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая.
Вычислить сумму квадратов расстояний от четырех вершин квадрата до
этой прямой.
Группа Б
1.33. Прямая, соединяющая точку P пересечения диагоналей четы-
рехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых AB и CD , делит
сторону AD пополам. Доказать, что она делит пополам и сторону BC .
1.34. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1 .
Доказать, что расстояние от любой точки M отрезка A1B1 до прямой
AB равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC .
1.35. На продолжении оснований AD и BC трапеции ABCD за
точки A и C взяты точки K и L. Отрезок KL пересекает стороны
AB и CD в точках M и N , а диагонали AC и BD в точках O и P .
Доказать, что если KM = NL, то KO = P L.
10 Глава 1. Планиметрия
1.36. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с
центром O , причем AB = CD = EF = R. Доказать, что точки попар-
ного пересечения описанных окружностей треугольников BOC , DOE
и F OA, отличные от точки O , являются вершинами правильного тре-
угольника со стороной R.
1.37. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены
внешним образом правильные треугольники BCK и DCL. Доказать,
что треугольник AKL правильный.
1.38. На сторонах параллелограмма внешним образом построены квад-
раты. Доказать, что их центры образуют квадрат.
1.39. На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены
подобные равнобедренные треугольники AB1C и AC1B внешним обра-
зом и BA1C внутренним образом. Доказать, что AB1A1C1 — паралле-
лограмм.
1.40. На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены
внешним образом правильные треугольники. Доказать, что их центры
образуют правильный треугольник, причем его центр совпадает с точкой
пересечения медиан треугольника ABC .
1.41. ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC и ост-
рым углом при вершине B , CD — биссектриса угла C . Через точ-
ку D проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе CD . Эта пря-
мая пересекает продолжение основания AC в точке E . Докажите, что
AD = EC/2 .
1.42. Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC
параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие
стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Доказать, что ме-
дианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.
1.43. На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на
диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, на которой
взяты точки K и L, делящие полуокружность на равные дуги. Докажи-
те, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.
1.44. а) Доказать, что высоты AA1 , BB1 и CC1 остроугольного тре-
угольника ABC делят углы A1B1C1 пополам. б) На сторонах AB , BC и
1.1. Равенство и подобие треугольников 11
CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C1 , A1 и B1 соот-
ветственно. Доказать, что если ∠B1A1C = ∠BA1C1 , ∠A1B1C = ∠AB1C1
и ∠A1C1B = ∠AC1B1 , то точки A1 , B1 и C1 являются основаниями вы-
сот треугольника ABC .
1.45. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 ,
BB1 и CC1 . Доказать, что точка, симметричная A1 относительно пря-
мой AC , лежит на прямой B1C1 .
1.46. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 ,
BB1 и CC1 . Доказать, что если A1B1∥AB и B1C1∥BC , то A1C1∥AC .
1.47. Пусть p — полупериметр остроугольного треугольника ABC ,
q — полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Доказать, что p : q = R : r , где R и r — радиусы описанной и вписанной
окружностей треугольника ABC .
1.48. Точки A1 , B1 и C1 симметричны центру описанной окружности
треугольника ABC относительно его сторон. Доказать, что △ABC =
= △A1B1C1 .
1.49. Доказать, что проекции основания высоты треугольника на сто-
роны, ее заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.
1.50. В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя
линия A1C1 . Прямые AD и A1C1 пересекаются в точке K . Доказать,
что 2A1K = |b − c|.
1.51. Три прямые, параллельные сторонам треугольника, отсекают
от него три треугольника, причем остается правильный шестиугольник.
Найти длину стороны этого шестиугольника, если длины сторон тре-
угольника равны a , b и c .
1.52. Прямая, проходящая через точку пересечения медиан треуголь-
ника ABC , пересекает стороны BA и BC в точках P и Q соответ-
ственно. Известно, что AB = 1 , BC = 2 и BP ·BQ = 8/9 . Найти длину
отрезка BP .

1.61. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого
угла. Отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан,
перпендикулярен катету. Найти углы треугольника.
1.62. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника
с катетами 24 и 18.
1.63. Дан треугольник ABC такой, что AB = 15 , BC = 12 и
AC = 18 . Вычислить, в каком отношении центр вписанной окружности
треугольника делит биссектрису угла C .
1.64. Дан равнобедренный треугольник с основанием a и боковой сто-
роной b . Найти в каком отношении центр вписанной окружности делит
биссектрису угла при основании треугольника.
1.65. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона
равны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угла при основании
треугольника.
1.66. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 72◦
,
а биссектриса этого угла равна m. Найти длины сторон этого треуголь-
ника.
1.67. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 36◦
,
а биссектриса угла при основании равна √
20 . Найти длины сторон тре-
угольника.
1.68. Найти величину cos 36◦
.
1.69. В прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 из верши-
ны прямого угла проведена биссектриса CM . Окружности, вписанные в
треугольники ACM и BCM , касаются отрезка CM в точках K и L.
Найти длину отрезка KL.
1.70. Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке
L, проходит через вершину C и пересекает стороны AC и BC в точках
P и Q соответственно. Найти AB и AC , если известно, что CQ = 9 ,
QB = 3 , AP = 4 и CL является биссектрисой угла C .
1.71. В треугольнике ABC сторона AB = 15 , окружность, прохо-
дящая через вершину C , касается стороны AB в точке L и пересекает
стороны AC и BC в точках P и Q соответственно. Найти AC и BC ,
если известно, что AP = 3 , BQ = 2 и CL — биссектриса угла C .
14 Глава 1. Планиметрия
1.72. Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведен-
ная к гипотенузе, разбивает его на два подобных треугольника, каждый
из которых подобен исходному треугольнику.
1.73. Пусть h — длина высоты прямоугольного треугольника, прове-
денной к гипотенузе, ac, bc — проекции катетов a и b на гипотенузу c .
Доказать, что h
2 = ac · bc , a
2 = c · ac , и b
2 = c · bc .
1.74. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с ка-
тетами 6 и 8 проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади
образовавшихся треугольников.
1.75. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольни-
ка, делит его на два треугольника с площадями Q и q . Найти катеты.
1.76. На сторонах BC , AC и AB треугольника ABC выбраны
соответственно точки A1 , B1 , C1 так, что отрезки AA1 , BB1 и CC1
пересекаются в одной точке O . Доказать, что отношение площадей тре-
угольников AOB и AOC равно BA1/CA1 .
1.77. На отрезке AB выбраны точки X и Y так, что AX : XB =
AY : Y B . Доказать, что X = Y .
1.78. (Теорема Чевы). На сторонах BC , AC и AB треугольника
ABC выбраны соответственно точки A1 , B1 , C1 . Доказать, что отрезки
AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
AC1
C1B
·
BA1
A1C
·
CB1
B1A
= 1.
1.79. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точ-
ке.
1.80. Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке.
1.81. Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересека-
ются в одной точке.
1.82. В треугольнике проведены три отрезка, каждый из которых со-
единяет вершину треугольника с точкой касания вписанной в треуголь-
ник окружности с противоположной стороной. Доказать, что эти отрезки
пересекаются в одной точке.
1.2. Чевианы в треугольнике 15
1.83. Пусть точки X и Y лежат на прямой (AB), но не принадлежат
отрезку [AB] . Доказать, что если BX : XA = BY : Y A, то X = Y .
1.84. (Теорема Менелая). На сторонах BC и AB треугольника ABC
выбраны соответственно точки A1 и C1 , а на продолжении стороны AC
выбрана точка B1 . Доказать, что точки A1 , B1 и C1 лежат на одной
прямой тогда и только тогда, когда
AC1
C1B
·
BA1
A1C
·
CB1
B1A
= 1.
1.85. На сторонах BC и AC треугольника ABC выбраны соответ-
ственно точки A1 и B1 так, что BA1 : A1C = 1 : 3 и AB1 : B1C = 2 : 1 .
Отрезки AA1 и BB1 пересекаются в точке O . а) Найти отношение B1O :
: OB . б) Найти площадь треугольника AOB1 , если площадь треугольни-
ка ABC равна 6 .
1.86. На сторонах BC и AB треугольника ABC выбраны соответ-
ственно точки A1 и C1 так, что BA1 : A1C = 2 : 3 и AC1 : C1B = 1 :
: 2 . Отрезки AA1 и CC1 пересекаются в точке O . а) Найти отношение
AO : OA1 . б) Найти площадь четырехугольника BC1OA1 , если площадь
треугольника ABC равна 1 .
1.87. Отрезок BM является медианой треугольника ABC . На сто-
ронах AB и BC выбраны соответственно точки P и Q так, что AP :
: P B = 2 : 5 и BQ : QC = 10 : 1 . Отрезок P Q пересекает BM в точке
R. Найти отношение BR : RM .
1.88. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны AC = 4 и
BC = 3 . В треугольнике проведены биссектриса CD и медиана AM .
Они пересекаются в точке E . Найти площадь треугольника CEM .
Группа Б
1.89. На сторонах AB , BC , AC треугольника ABC взяты соответ-
ственно точки C1 , A1 , B1 так, что AC1 : C1B = BA1 : A1C = CB1 :
: B1C = 1 : 2 . Точки P , Q, R являются попарным пересечением отрез-
ков AA1 , BB1 , CC1 . Найти отношение площади треугольников ABC и
P QR.
16 Глава 1. Планиметрия
1.90. Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена вы-
сота CK , и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE . Прямая,
проходящая через точку B параллельно CE , пересекает CK в точке F .
Доказать, что прямая EF делит отрезок AC пополам.
1.91. На прямых BC , CA и AB взяты точки A1 , B1 и C1 , при-
чем точки A1 , B1 и C1 лежат на одной прямой. Прямые, симметричные
прямым AA1 , BB1 и CC1 относительно соответствующих биссектрис
треугольника ABC , пересекают прямые BC , CA и AB в точках A2 ,
B2 и C2 . Доказать, что точки A2 , B2 и C2 лежат на одной прямой.
1.92. Прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O .
Доказать, что точки пересечения прямых AB и A1B1 , BC и B1C1 , AC
и A1C1 лежат на одной прямой (теорема Дезарга).
1.93. На одной прямой взяты точки A1 , B1 и C1 , а на другой —
точки A2 , B2 и C2 . Прямые A1B2 и A2B1 , B1C2 и B2C1 , A2C1 и A1C2
пересекаются в точках C , A и B соответственно. Доказать, что точки
C , A и B лежат на одной прямой (теорема Паппа).
1.94. На сторонах AB , BC и CD четырехугольника ABCD (или
на их продолжениях) взяты точки K , L и M . Прямые KL и AC пе-
ресекаются в точке P , LM и BD — в точке Q. Доказать, что точка
пересечения прямых KQ и MP лежит на прямой AD .
1.95. Прямые AP , BP и CP пересекают стороны треугольника
ABC (или их продолжения) в точках A1 , B1 и C1 . Доказать, что: а) пря-
мые, проходящие через середины сторон BC , CA и AB параллельно
прямым AP , BP и CP пересекаются в одной точке; б) прямые, соеди-
няющие середины сторон BC , CA и AB с серединами отрезков AA1 ,
BB1 и CC1 , пересекаются в одной точке.
1.96. На сторонах BC , CA и AB треугольника ABC взяты точки
A1 , B1 и C1 так, что отрезки AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в од-
ной точке. Прямые A1B1 и A1C1 пересекают прямую, проходящую через
вершину A параллельно стороне BC , в точках C2 и B2 соответственно.
Доказать, что AB2 = AC2 .
1.97. а) Пусть α, β и γ — произвольные углы, причем сумма лю-
бых двух из них меньше 180◦
. На сторонах треугольника ABC внешним
1.2. Чевианы в треугольнике 17
образом построены треугольники A1BC , AB1C и ABC1 , имеющие при
вершинах A, B и C углы α, β и γ . Доказать, что прямые AA1 , BB1 и
CC1 пересекаются в одной точке. б) Доказать аналогичное утверждение
для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внут-
ренним образом.
1.98. Стороны BC , CA и AB треугольника ABC касаются окруж-
ности с центром O в точках A1 , B1 и C1 . На лучах OA1 , OB1 и OC1
отложены равные отрезки OA2 , OB2 и OC2 . Доказать, что прямые AA2 ,
BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
1.99. На сторонах BC , CA и AB треугольника ABC взяты точки
A1 , B1 и C1 так, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной
точке P . Доказать, что прямые AA2 , BB2 и CC2 , симметричные этим
прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в
одной точке Q (такие точки P и Q называют изогонально сопряжен-
ными относительно треугольника ABC ).
1.100. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попар-
но параллельны. Доказать, что прямые, соединяющие середины противо-
положных сторон, пересекаются в одной точке.
1.101. Из некоторой точки P опущены перпендикуляры P A1 и P A2
на сторону BC треугольника ABC и на высоту AA3 . Аналогично опре-
деляются точки B1 , B2 и C1 , C2 . Доказать, что прямые A1A2 , B1B2 и
C1C2 пересекаются в одной точке или параллельны.
1.102. Через точки A и D , лежащие на окружности, проведены ка-
сательные, пересекающиеся в точке S . На дуге AD взяты точки B и C .
Прямые AC и BD пересекаются в точке P , AB и CD — в точке Q.
Доказать, что прямая P Q проходит через точку S .
1.103. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 , BB1 и
CC1 . Биссектрисы AA1 и CC1 пересекают отрезки C1B1 и B1A1 в точ-
ках M и N . Доказать, что ∠MBB1 = ∠NBB1 .
1.104. В треугольнике ABC таком, что AB = BC = 4 и AC = 2
проведены медиана AA1 , биссектриса BB1 и высота CC1 . Найти пло-
щадь треугольника, образованного пересечением прямых: а) AB , AA1 ,
BB1 ; б) AA1 , BB1 , CC1 .
18 Глава 1. Планиметрия
1.105. Через середину стороны AB равнобедренного треугольника
ABC (AB = BC ) проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке
K и продолжение стороны AC за точку C — в точке P . Найти площадь
треугольника ABC , если BK = 2 , AP = 5 и ∠ACB = arccos(1/4).
1.106. Дан треугольник ABC , в котором AB = BC = 5 , медиана
AD =

97/2 . На биссектрисе CE выбрана точка F такая, что CF =
= CE/5 . Через точку F проведена прямая l , параллельная BC . Найти
расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC ,
до прямой l .
1.107. Дан треугольник ABC , в котором AB = BC = 5 , а радиус
описанной окружности равен 25/8 . На высоте CD выбрана точка E та-
кая, что CE = CD/4 и через точку E проведена прямая l , параллельная
BC . Найти расстояние от центра окружности, вписанной в треугольник
ABC , до прямой l .
1.108. В треугольнике ABC на сторонах AC и BC расположены
точки D и E соответственно так, что BD — биссектриса треугольника
ABC , DC = CE = 4/3 , BD = 2 , ∠ABC = ∠ADB . Найти BC и
площадь треугольника ABC .
1.3. Окружность
Группа А
1.109. Из точки B , лежащей вне окружности, выходят лучи BA и
BC , пересекающие эту окружность. Выразить величину угла ABC через
угловые величины дуг окружности, заключенных внутри этого угла.
1.110. Вершина угла BAC расположена внутри окружности. Вы-
разить величину угла BAC через угловые величины дуг окружности,
заключенных внутри угла BAC и внутри угла, симметричному ему от-
носительно вершины A.
1.111. Из точки P , расположенной внутри острого угла BAC , опу-
щены перпендикуляры P C1 и P B1 на прямые AB и AC . Доказать, что
∠C1AP = ∠C1B1P .
1.3. Окружность 19
1.112. Треугольник ABC прямоугольный. На гипотенузе AB во
внешнюю строну построен квадрат. Точка O — его центр. Доказать, что
CO — биссектриса угла ACB .
1.113. Центр вписанной окружности треугольника ABC симметри-
чен центру описанной окружности относительно стороны AB . Найти уг-
лы треугольника ABC .
1.114. Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена от-
резком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена
высота AH . Доказать, что ∠BAH = ∠OAC .
1.115. В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1 . Дока-
жите, что если ∠CAA1 = ∠CBB1 , то AC = BC .
1.116. Касательная в точке A к описанной окружности треугольника
ABC пересекает прямую BC в точке E ; AD – биссектриса треуголь-
ника ABC . Докажите, что AE = ED .
1.117. На отрезке AB как на диаметре построена полуокружность.
Прямая l касается этой полуокружности в точке C . Из точек A и B на
прямую l опущены перпендикуляры AM и BN . Пусть D — проекция
точки C на AB . Доказать, что CD2 = AM · BN .
1.118. Две окружности пересекаются в точках M и K . Через M и
K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую
окружность в точках A и C , вторую — в точках B и D . Доказать, что
AC параллельна BD .
1.119. Доказать, что биссектрисы углов любого четырехугольника
образуют вписанный четырехугольник.
1.120. Через середину C дуги AB проводят две произвольные пря-
мые, которые пересекают окружность в точках D, E и хорду AB — в
точках F и G. Доказать, что четырехугольник DEGF может быть впи-
сан в окружность.
1.121. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке
M . AB — общая касательная этих окружностей, не проходящая через
M (A и B — точки касания). Доказать, что M лежит на окружности с
диаметром AB .
20 Глава 1. Планиметрия
1.122. Через точку O проведены три прямые, попарные углы между
которыми равны 60◦
. Доказать, что основания перпендикуляров, опу-
щенных из произвольной точки A на эти прямые, служат вершинами
правильного треугольника.
1.123. N диаметров делят окружность на равные дуги. Доказать,
что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки M
внутри окружности на эти диаметры, являются вершинами правильного
многоугольника.
1.124. Прямоугольный треугольник ABC (∠BAC — прямой) дви-
гается по плоскости таким образом, что вершины B и C скользят по
сторонам заданного прямого угла. Доказать, что геометрическим местом
точек A является некоторый отрезок и найти его длину.
1.125. На окружности даны точки A, B , C , D в указанном порядке.
A1 , B1 , C1 , D1 — середины дуг AB , BC , CD , DA соответственно.
Найти угол между прямыми A1C1 и B1D1 .
1.126. AB и CD — диаметры одной окружности. Из точки M этой
окружности опущены перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и
CD . Доказать, что длина отрезка P Q не зависит от положения точки
M .
1.127. Две окружности пересекаются в точках A и B . Точка X ле-
жит на прямой AB , но не на отрезке AB . Доказать, что длины отрезков
касательных, проведенных из точки X к окружностям, равны.
1.128. Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом
(т.е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найти длину общей каса-
тельной к этим окружностям.
1.129. Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника,
c — длина его гипотенузы. а) Доказать, что радиус вписанной в этот
треугольник окружности равен (a + b − c)/2 . б) Доказать, что ради-
ус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен
(a + b + c)/2 .
1.130. Прямые AB и AC — касательные к окружности с центром в
точке O (B и C — точки касания). Выбирается произвольная точка X
дуги BC . Через X проведена касательная, пересекающая отрезки AB
1.3. Окружность 21
и AC в точках M и N . Доказать, что периметр треугольника AMN не
зависит от выбора точки X .
1.131. Две непересекающиеся окружности вписаны в угол.
а) К этим окружностям проведена общая внутренняя касательная. Обо-
значим точки пересечения этой касательной со сторонами угла через A1
и A2 , а точки касания — через B1 и B2 . Доказать, что A1B1 = A2B2 .
б) Через две точки касания окружностей со сторонами угла, лежащие на
разных сторонах этого угла и на разных окружностях, проведена прямая.
Доказать, что эта прямая высекает на окружностях хорды равной длины.
1.132. В треугольник ABC вписана окружность. Она касается сто-
роны AB в точке K . Доказать, что AK = p − a , где a = BC и p —
полупериметр треугольника ABC .
1.133. Доказать, что длина отрезка AL, где L — точка касания с
лучом [AB) вневписанной окружности треугольника ABC , равна p , где
p — полупериметр треугольника ABC .
1.134. Пусть BC = a , r и ra — радиусы вписанной и вневписан-
ной окружностей треугольника ABC (окружность радиуса ra касается
стороны BC ), p — его полупериметр. Доказать, что pr = ra(p − a).
1.135. Пусть AC = b , AB = c , r и ra — радиусы вписанной и
вневписанной окружностей треугольника ABC (окружность радиуса ra
касается стороны BC ), p — полупериметр треугольника ABC . Дока-
зать, что rra = (p − b)(p − c).

1.140. Пусть BC = a , rb и rc — радиусы вневписанных окружно-
стей треугольника ABC (окружность радиуса rb касается стороны AC ,
радиуса rc — стороны AB ), p — полупериметр треугольника ABC . До-
казать, что rbrc = p(p − a).
1.141. Пусть r и ra , rb
, rc — радиусы вписанной и трех вневписанных
окружностей треугольника ABC . Доказать, что SABC =

rrarbrc
.
1.142. На окружности взяты точки A, B , C и D . Прямые AB и CD
пересекаются в точке M . Докажите, что AC · AD/AM = BC · BD/BM .
1.143. Центр O данной окружности радиуса R соединен с точкой C ,
произвольно взятой на хорде AB . Доказать, что OC2 + AC · BC = R2
.
1.144. На плоскости даны окружность S и точка P . Прямая, прове-
денная через точку P , пересекает окружность в точках A и B . Доказать,
что произведение P A · P B не зависит от выбора прямой. (Эта величина,
взятая со знаком плюс для точки P вне окружности и со знаком минус
для точки P внутри окружности, называется степенью точки P отно-
сительно окружности S .)
1.145. Три окружности S1, S2, S3 попарно касаются друг друга в трех
различных точках. Доказать, что прямые, соединяющие точку касания
S1 и S2 с двумя другими точками касания, пересекают окружность S3 в
точках, являющихся концами ее диаметра.
1.146. Доказать, что для точки P , лежащей вне окружности S , ее
степень относительно S равна квадрату длины касательной, проведенной
из этой точки.
1.147. Доказать, что степень точки P относительно окружности S
равна d
2 −R2
, где R — радиус S , d — расстояние от точки P до центра
окружности S .
1.148. На плоскости даны две неконцентрические окружности S1 и
S2 . Доказать, что геометрическим местом точек, для которых степень
относительно S1 равна степени относительно S2 , является прямая. (Эту
прямую называют радикальной осью окружностей S1 и S2 .)
1.149. Доказать, что радикальная ось двух окружностей проходит
через точки их пересечения.
1.3. Окружность 23
1.150. На плоскости даны три окружности, центры которых не ле-
жат на одной прямой. Проведем радикальные оси для каждой пары этих
окружностей. Доказать, что все три радикальные оси пересекаются в од-
ной точке. (Эту точку называют радикальным центром трех окружно-
стей.)
1.151. На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности.
Через точки пересечения любых двух из них проведена прямая. Доказать,
что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.
1.152. Даны две неконцентрические окружности S1 и S2 . Доказать,
что множество центров окружностей, пересекающих обе эти окружности
под прямым углом, является их радикальной осью, из которой (если дан-
ные окружности пересекаются) выброшена общая хорда.
1.153. а) Доказать, что середины четырех общих касательных к двум
непересекающимся кругам лежат на одной прямой. б) Через две из точек
касания общих внешних касательных с двумя окружностями проведена
прямая. Доказать, что окружности высекают на этой прямой равные хор-
ды.
1.154. Две касающиеся окружности с центрами O1 и O2 касаются
внутренним образом окружности радиуса R с центром O . Найти пери-
метр треугольника OO1O2 .
1.155. В окружность радиуса 17 вписан четырехугольник, диагонали
которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 и 9 от
центра окружности. Найти длины сторон четырехугольника.
1.156. В равнобедренную трапецию ABCD (AD, BC — основания)
вписана окружность с центром в точке O , OC = 3 , OD = 4 . Чему равен
периметр трапеции?
Группа Б
1.157. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 ,
BB1 , CC1 . Доказать, что эти высоты являются биссектрисами углов тре-
угольника A1B1C1 .
24 Глава 1. Планиметрия
1.158. Доказать, что во всяком треугольнике точки, симметричные с
точкой пересечения высот относительно трех сторон треугольника, лежат
на окружности, описанной около этого треугольника.
1.159. Окружность S1 касается сторон угла ABC в точках A и C .
Окружность S2 касается прямой AC в точке C и проходит через точку
B , окружность S1 она пересекает в точке M . Докажите, что прямая
AM делит отрезок BC пополам.
1.160. В треугольнике ABC угол B равен 60◦
, биссектрисы AD и
CE пересекаются в точке O . Докажите, что OD = OE .
1.161. В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40◦
:
BD – биссектриса угла B . Докажите, что BD + DA = BC .
1.162. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой сторо-
ной AB пересекаются в точке P . Докажите, что центр O ее описанной
окружности лежит на описанной окружности треугольника AP B .
1.163. Через точку M , лежащую внутри окружности S , проведе-
на хорда AB ; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на
касательные, проходящие через точки A и B . Докажите, что величина
1/PM +1/QM не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M .
1.164. Две окружности пересекаются в точках A и B . В точке A к
обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и
N . Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и
Q (P на прямой BM , Q на прямой BN ). Доказать, что отрезки MP
и NQ равны.
1.165. Доказать, что если через одну из точек пересечения двух окруж-
ностей провести диаметр в каждой окружности, то прямая, соединяющая
другие концы этих диаметров, пройдет через вторую точку пересечения
этих окружностей.
1.166. Две окружности касаются внутренним образом в точке M .
Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окруж-
ности в точке T . Доказать, что MT — биссектриса угла AMB .
1.167. По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится
без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию
описывает фиксированная точка K подвижной окружности?
1.3. Окружность 25
1.168. На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D . В тре-
угольники ABD и ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая
внешняя касательная (отличная от BC ), пересекающая AD в точке K .
Доказать, что длина отрезка AK не зависит от выбора точки D .
1.169. Дана окружность и точки P , K вне ее. Через точку P прове-
дена секущая P AB (A, B — точки на окружности) и построена окруж-
ность, проходящая через точки K, A, B . Доказать, что все такие окруж-
ности походят, кроме K , еще через одну общую точку, не зависящую от
выбора секущей P AB .
1.170. Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD
пересекаются в точке F , а продолжения сторон BC и AD — в точке E .
Доказать, что окружности с диаметрами AC , BD и EF имеют общую
радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников ABE ,
CDE , ADF и BCF .
1.171. Доказать, что диагонали AD , BE и CF описанного шести-
угольника ABCDEF пересекаются в одной точке (теорема Брианшона).
1.172. В треугольник вписана окружность радиуса r . Касательные к
этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него
три маленьких треугольника. Пусть r1 , r2 , r3 — радиусы вписанных в
эти треугольники окружностей. Докажите, что r1 + r2 + r3 = r .
1.173. В треугольнике ABC угол A равен 60◦
, а длина высоты, опу-
щенной из вершины C , равна 5

3 . Найти длины сторон треугольника
ABC , если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 2

3 .
1.174. Через точку O — центр окружности радиуса 15 см, описанной
около равнобедренного треугольника ABC , проведен диаметр, который
пересекает боковые стороны AB и BC в точках M и N соответственно.
Найти длины отрезков BM и BN , если известно, что длины отрезков
MO и NO соответственно равны 4 и 15/4 см.
1.175. Через вершины A и C треугольника ABC , площадь которого
равна 10√
3 , проведена окружность, пересекающая стороны [AB] и [BC]
в точках M и N соответственно. Центр окружности, описанной около
треугольника ABC лежит на отрезке [MN] . Найти длину [MN] , если
известно, что |BC| = 5 , а ∠ABC = 60◦
.
26 Глава 1. Планиметрия
1.176. Около треугольника ABC с периметром 15 и ∠ABC = 120◦
описана окружность радиуса 7/

3 . Найти радиус окружности, вписан-
ной в треугольник ABC и биссектрису BK .
1.177. Около равнобедренного треугольника ABC (AB = BC ) опи-
сана окружность. Диаметр AD этой окружности пересекает сторону BC
в точке K , BK : KC = 5 : 6 . Найти радиус окружности, если площадь
треугольника ABC равна 32.
1.178. Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC . Окруж-
ность ω1 , вписанная в треугольник ABD , касается отрезка BD в точке
M ; окружность ω2 , вписанная в треугольник BСD — в точке N . Отно-
шение радиусов окружностей ω1 и ω2 равно 7/4 . Известно, что BM = 3 ,
MN = ND = 1 . Найти длины сторон треугольника ABC .
1.179. На окружности по разные стороны от диаметра AC располо-
жены точки B и D . Известно, что AB =

6 и CD = 1 , а площадь
треугольника ABC втрое больше площади треугольника BCD . Найти
радиус окружности.
1.180. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC вер-
шины A, B и точка пересечения высот треугольника E лежат на окруж-
ности, которая пересекает отрезок BC в точке D . Найти радиус окруж-
ности, если CD = 4 и BD = 5 .
1.181. Окружности ω1 и ω2 внешне касаются в точке A. Прямая
l касается окружности ω1 в точке B , а окружности ω2 — в точке C .
Через точку A проведены две прямые: одна проходит через точку B , а
другая касается окружностей ω1 и ω2 и пересекает прямую l в точке D .
Найти радиусы окружностей ω1 и ω2 , если AD = 3 и AC = 2√
3 .
1.182. Через точку A проведены две прямые: одна из них касается
окружности в точке B , а другая пересекает окружность в точках C и D
так, что точка D лежит на отрезке AC . Найти длины отрезков AB и
CD и радиус окружности, если BC = 4 , BD = 3 , ∠BAC = arccos(1/3).
1.183. Один из углов треугольника равен π/4 , радиус вписанной в
него окружности равен 2(2−

2), а радиус описанной около него окруж-
ности равен 3. Найти площадь этого треугольника.
1.4. Четырехугольники 27
1.184. Окружность с центром на стороне AB равнобедренного тре-
угольника ABC (AB = BC ) проходит через точку A, пересекает отре-
зок AC в точке F , касается отрезка BC в точке G и пересекает отрезок
AB в точке E , причем GC = BG, F C = a . Найти радиус окружности.
1.185. Через вершины A и B треугольника ABC проведена окруж-
ность, касающаяся прямой BC , а через вершины B и C — другая окруж-
ность, касающаяся прямой AB . Продолжение общей хорды BD этих
окружностей пересекает отрезок AC в точке E , а продолжение хорды
AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F . Най-
ти отношение AE : EC , если AB = 5 , BC = 9 . Сравнить площади
треугольников ABC и ABF .
1.186. Окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC
в точках A и B соответственно. На дуге этой окружности, лежащей
вне треугольника, расположена точка K так, что расстояние он нее до
продолжений сторон AC и BC равны 39 и 156 соответственно. Найти
расстояние от точки K до прямой AB .
1.187. Окружность с центром на стороне AC равнобедренного тре-
угольника ABC (AB = BC ) касается сторон AB и BC . Найти радиус
окружности, если площадь треугольника ABC равна 25, а отношение
высоты BD к стороне AC равно 3/8 .
1.188. Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC ,
I — центр вписанной окружности, Ia — центр вневписанной окружности,
касающейся стороны BC . Доказать, что: а) d
2 = R2 − 2Rr , где d = OI
и R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника
ABC (формула Эйлера); б) d
2
a = R2 + 2Rra , где da = OIa и R и ra —
радиусы описанной и вневписанной окружностей (последняя — с центром
в точке Ia ) треугольника ABC .
1.4. Четырехугольники
Группа А
1.189. Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей параллело-
грамма равна сумме квадратов длин всех его сторон.
28 Глава 1. Планиметрия
1.190. Величина одного из углов параллелограмма равна 60◦
, а мень-
шая диагональ — 2

31 см. Длина перпендикуляра, проведенного из точ-
ки пересечения диагоналей к большей стороне, равна √
75/2 см. Найти
длины сторон и большей диагонали параллелограмма.
1.191. Точки K , L, M и N лежат соответственно на сторонах AB ,
BC , CD и DA параллелограмма ABCD , причем AK : KB = 1 : 2 ,
BL : LC = 1 : 3 , CM : MD = 1 : 1 и DN : NA = 1 : 1 . Найти
отношение площадей четырехугольников KLMN и ABCD .
1.192. Точки K , L, M и N лежат соответственно на сторонах AB ,
BC , CD и DA параллелограмма ABCD , причем AK : KB = 3 : 1 ,
BL : LC = 2 : 3 , CM : MD = 1 : 2 и DN : NA = 1 : 1 . Найти
отношение площадей четырехугольников KLMN и ABCD .
1.193. В треугольник вписан параллелограмм со сторонами 3 и 5 см
и диагональю, равной 6 см. Найти стороны треугольника, если извест-
но, что диагонали параллелограмма параллельны боковым сторонам тре-
угольника, а меньшая из его сторон лежит на основании треугольника.
1.194. В треугольник с боковыми сторонами 9 и 15 см вписан парал-
лелограмм так, что одна из его сторон длиной 6 см лежит на основании
треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны боковым сто-
ронам треугольника. Найти другую сторону параллелограмма и основа-
ние треугольника.
1.195. Из вершины острого угла ромба проведены перпендикуляры
к прямым, содержащим стороны ромба, которым не принадлежит эта
вершина. Длина каждого перпендикуляра равна 3 см, а расстояние между
их основаниями 3

3 см. Вычислить длины диагоналей ромба.
1.196. Точки M , N , P и Q являются серединами сторон AB , BC ,
CD и DA ромба ABCD . Вычислить площадь фигуры, являющейся пе-
ресечением четырехугольников ABCD , ANCQ и BP DM , если пло-
щадь ромба равна 100 см2
.
1.197. Диагональ BD параллелограмма ABCD равна 2, а угол CAD
равен 30◦
. Прямая CD является касательной к окружности, описанной
около треугольника ABD . Найти площадь параллелограмма ABCD .
1.198. Доказать, что трапецию можно вписать в окружность тогда и
только тогда, когда она равнобедренная.
1.4. Четырехугольники 29
1.199. Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересе-
чения ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон
трапеции лежат на одной прямой.
1.200. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная
трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции.
1.201. Найти длины боковой стороны и диагонали равнобедренной
трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной
окружности лежит на большем основании трапеции.
1.202. В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой нижнее
основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найти площадь
трапеции.
1.203. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол по-
полам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см.
Найти площадь трапеции.
1.204. Большее основание трапеции имеет длину 24 см. Найти длину
ее меньшего основания, если известно, что расстояние между серединами
диагоналей трапеции равно 4 см.
1.205. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Найти
отношение площадей треугольников, прилегающих к боковым сторонам
трапеции.
1.206. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекают-
ся на другом ее основании. Найти все стороны трапеции, если ее высота
равна 12 см, а длины биссектрис 15 и 13 см.
1.207. Основания трапеции равны 4 и 16 см. Найти радиусы окруж-
ностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно, что
эти окружности существуют.
1.208. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через
точку пересечения ее диагоналей. Найти длину отрезка этой прямой, за-
ключенного между боковыми сторонами трапеции, если основания тра-
пеции равны 4 и 12 см.
1.209. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через
точку пересечения ее диагоналей. Найти длину отрезка этой прямой, за-
30 Глава 1. Планиметрия
ключенного между боковыми сторонами трапеции, если основания тра-
пеции равны a и b .
1.210. Найти площадь трапеции, если ее диагонали равны 7 и 8 см,
а основания — 3 и 6 см.
1.211. Основания трапеции равны a и b . Определить длину отрезка,
параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.
1.212. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых
сторон делится точкой касания на отрезки длиной m и n. Определить
площадь трапеции.
1.213. Длина основания AD трапеции ABCD равна 5 , а длина бо-
ковой стороны CD — 3 . Известно, что диагональ AC перпендикулярна
CD , а диагональ BD делит угол D пополам. Найти площадь трапеции.
1.214. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины
одной из боковых сторон и перпендикуляра, проведенного через середину
другой боковой стороны к первой.
1.215. Отрезок AE является биссектрисой угла A трапеции ABCD
(AD∥BC и точка E лежит на прямой BC ). Окружность, вписанная в
треугольник ABE касается сторон AB и BE в точках K и L. Найти
величину угла ∠BAD , если KL = 1 а боковая сторона AB равна 2 .
1.216. В трапеции P QRN (P N∥QR) проведена высота RH . Из-
вестно, что P H = 8 , QR = 4 , P Q =

28 , ∠P NR = 60◦
. На основании
P N выбрана точка M так, что отрезок RM делит площадь трапеции
пополам. Найти длину отрезка RM .
1.217. В трапеции ABCD даны основания AD = a и BC = b . На
продолжении BC выбрана точка M так, что прямая AM отсекает от
площади трапеции 1/4 ее часть. Найти длину отрезка CM .
1.218. В трапеции ABCD даны основания AD = 12 и BC = 8 . На
продолжении BC выбрана точка M так, что прямая AM делит трапе-
цию на две равновеликие фигуры. Найти длину отрезка CM .
1.219. Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапе-
ция, площадь которой равна 5 см2
. Найти площадь четырехугольника,
вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.
1.4. Четырехугольники 31
1.220. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что
в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит
ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины
оснований трапеции.
1.221. В выпуклом четырехугольнике диагонали равны 1 и 2, а дли-
ны отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны.
Найти площадь четырехугольника.
1.222. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке E . Найти
площадь треугольника BCE , если длины оснований трапеции AB = 30 ,
CD = 24 , боковой стороны AD = 3 , и угол DAB = 60◦
.
1.223. В трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окруж-
ность с центром O . Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой,
OC = 3 и OD = 4 .
1.224. Около четырехугольника ABCD описана окружность, про-
должения сторон AB и CD пересекаются в точке K , BC : AD = 1 : 3 ,
KC = CD . Чему равно отношение AB : CD ?
1.225. В трапеции ABCD основание AB вдвое больше основания
CD и вдвое больше стороны AD . Диагональ AC равна p , а сторона
BC — q . Найти площадь трапеции.
Группа Б
1.226. Около окружности радиуса R описана трапеция ABCD , дли-
на меньшего основания BC которой равна a . Пусть E — точка касания
окружности со стороной AB и длина отрезка BE равна b . Найти пло-
щадь трапеции.
1.227. Косинус угла между боковыми сторонами AB и CD трапеции
ABCD равен 4/5 . В трапецию вписана окружность, причем сторона AB
делится точкой касания на отрезки длины 4 и 1, считая от вершины B .
Найти длину стороны CD .
1.228. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, K — точка
пересечения диагоналей этого четырехугольника. Известно, что окруж-
ность, описанная около треугольника CKD , касается прямых AD и BC .
Найти CD , если AB = a , CK = b .
32 Глава 1. Планиметрия
1.229. Трапеция ABCD прямоугольная, (AD)∥(BC), (CD) ⊥ (AD),
∠CAD = 45◦
, AD = 2 . Окружность, построенная на стороне AD как
на диаметре, пересекает сторону AB в точке L, AL = AB√
3/4 . Най-
ти: а) площадь трапеции; б) площадь части круга, заключенной внутри
трапеции.
1.230. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол ADB в
два раза меньше угла ACB , BC = AC = 5 , AD = 6 . Найти площадь
трапеции и длину боковой стороны.
1.231. В равнобедренной трапеции ABCD окружность касается мень-
шего основания BC , боковых сторон AB и CD и проходит через точку
пересечения диагоналей. Найти радиус окружности, если BC : AD =
= 4 : 5 и площадь трапеции равна 3.
1.232. В окружность вписан выпуклый 4-х угольник ABCD со сто-
ронами a , b , c и d . а) Доказать, что площадь его равна SABCD =
=

(p − a)(p − b)(p − c)(p − d), где p — полупериметр ABCD . б) Дока-
зать, что если в этот четырехугольник еще можно и вписать окружность,
то SABCD =

abcd .
1.233. В ромбе ABCD из вершины D опущен перпендикуляр DK на
сторону BC . Найти длину стороны ромба, если AC = 2√
6 и AK =

14 .
1.234. В равнобедренную трапецию ABCD вписана окружность ра-
диуса R, касающаяся основания AD в точке P и пересекающая отрезок
BP в точке S такой, что P S = 3BS . Найти углы и площадь трапеции.
1.235. Окружность, проходящая через вершины B , C и D парал-
лелограмма ABCD , касается прямой AD и пересекает прямую AB в
точках B и E . Найти длину отрезка AE , если AD = 4 и CE = 5 .
1.236. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке
O , длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окруж-
ностей, описанных около треугольников AOD и COD , равно 16. Радиус
окружности, описанной около треугольника AOB , равен 5. Найти сторо-
ну AB .
1.237. Вершины A и C параллелограмма ABCD лежат на одной
окружности, а вершины B и D — на другой, пересекающей первую, при-
чем центры окружностей лежат в плоскости параллелограмма. Расстоя-
ние между центрами окружностей равно 10. Диагонали параллелограмма
1.4. Четырехугольники 33
равны 26 и 6 соответственно. Найти расстояние от точки пересечения диа-
гоналей параллелограмма до прямой, содержащей общую хорду окруж-
ностей.
1.238. Окружность с центром на диагонали AC трапеции ABCD
проходит через вершины A, B , C и касается прямой CD в точке C .
Найти площадь трапеции, если BC = 4 , CD = 3√
13 .
1.239. Диагонали BD и AC выпуклого четырехугольника ABCD
пересекаются в точке O и перпендикулярны друг другу, AO = 2 , OC =
= 3 . Точка K лежит на стороне BC , причем BK : KC = 1 : 2 . Тре-
угольник AKD — правильный. Найти его площадь.
1.240. В трапеции ABCD с б´ольшим основанием BC и площадью,
равной 4

3 , прямые BC и AD касаются окружности диаметра 2 в точ-
ках B и D соответственно. Боковые стороны AB и CD пересекают
окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна √
3 .
Найти величину угла MDN и длину основания BC .
1.241. Точка E лежит на стороне CD равнобедренной трапеции
ABCD с основаниями AD и BC . Известно, что AE = BE = 5√
2 ,
AB = 10 , DE = DC/3 . Найти углы и площадь трапеции.
1.242. Четырехугольник, один из углов которого равен arctg (4/3),
вписан в окружность радиуса √
6 и описан около окружности радиуса 1 .
Найти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями.
1.243. Четырехугольник, один из углов которого равен arcsin (4/5),
вписан в окружность радиуса √
15 и описан около окружности радиуса
2 . Найти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями.
1.244. Сторона ромба ABCD равна 6. Расстояние между центрами
окружностей, описанных около треугольников ABC и BCD , равно 8.
Найти радиусы этих окружностей.
1.245. Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две
стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна
одной из сторон ромба и равна 5. Найти сторону ромба.
1.246. Вокруг окружности с центром O описана трапеция ABCD ,
в которой BC — меньшее основание. Продолжения боковых сторон тра-
34 Глава 1. Планиметрия
пеции пересекаются в точке M . Найти радиус окружности, если MB =
= BC , OB =

5 , OC =

2 .
1.247. Окружность с центром на диагонали AC параллелограмма
ABCD касается прямой AB и проходит через точки C и D . Найти
стороны параллелограмма, если его площадь равна 2

5 и ∠BAC =
= arctg (2/

5).
1.248. В параллелограмме ABCD прямые l1 и l2 являются биссек-
трисами углов A и C соответственно, а прямые m1 и m2 — биссектри-
сами углов B и D соответственно. Расстояние между l1 и l2 в

3 раза
больше расстояния между m1 и m2 . Найти угол BAD и радиус окруж-
ности, вписанной в треугольник ABC , если AC = 3 , BD =

59/3 .
1.249. В параллелограмме ABCD прямые l1 и l2 являются биссек-
трисами углов A и C соответственно, а прямые m1 и m2 — биссектри-
сами углов B и D соответственно. Расстояние между l1 и l2 в

3 раза
меньше расстояния между m1 и m2 . Найти угол BAD и радиус окруж-
ности, вписанной в треугольник ABD , если AC =

41/3 , BD = 3 .
1.250. В выпуклом четырехугольнике P QRS диагонали P R и QS
перпендикулярны соответственно сторонам RS и QP , а длина стороны
P S равна 4. На стороне P S взята точка K такая, что ∠QKP = ∠SKR.
Известно, что ∠RP S − ∠P SQ = 45◦
. Найти длину ломаной QKR и
площадь четырехугольника P QRS , если QK : RK =

3 : 3 .

 


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (18.04.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar