Тема №6056 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 2) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

2.1. Осевая симметрия
Группа А
2.1. Каким движением является композиция двух осевых симметрий
с параллельными осями?
2.2. Каким движением является композиция двух осевых симметрий
с пересекающимися осями?
2.3. Две окружности с равными радиусами пересекаются в точках A
и B . Доказать, что (AB) — ось симметрии фигуры, являющейся объ-
единением данных окружностей.
2.4. На разных сторонах данного острого угла выбраны точки A и
B . Построить равнобедренный треугольник ABC так, чтобы все его вер-
шины принадлежали сторонам данного угла.
2.5. Дана прямая a и отрезок AB . Построить равнобедренный тре-
угольник с основанием AB так, чтобы его вершина лежала бы на a .
2.6. Известно, что Sa(A) = A′
. Как построить точку, симметричную
произвольной точке B , с помощью одной линейки?
2.7. С помощью осевой симметрии построить разность сторон AB и
BC треугольника ABC .
2.8. С помощью осевой симметрии построить сумму сторон AB и BC
треугольника ABC .
36 Глава 2. Преобразования плоскости
2.9. Можно ли с помощью осевой симметрии построить разность двух
углов треугольника ABC ?
2.10. Даны прямая l и две точки A, B по одну сторону от нее. Найти
на прямой l точку X так, чтобы длина ломаной AXB была минимальна.
2.11. Точки A, B , C принадлежат внутренней области полосы с
краями l1 и l2 (l1∥l2 ). Построить замкнутую ломаную AKBCLA наи-
меньшей длины (K ∈ l1 , L ∈ l2 ).
2.12. Даны точки A и B и окружность с известным центром O и
радиусом r . С помощью циркуля найти точки пересечения этой окруж-
ности и прямой AB .
2.13. В окружности, центр которой не указан, проведены две парал-
лельные, но не равные хорды. Пользуясь только одной линейкой, разде-
лить эти хорды пополам.
2.14. Даны точки A и B и прямая l , разделяющая их (т.е. точки
лежат по разные стороны от этой прямой). Провести прямые a и b так,
чтобы угол между ними делился прямой l пополам и A ∈ a , B ∈ b .
Группа Б
2.15. Внутри угла ABC выбрана некоторая точка X . На лучах [BA)
и [BC) найти такие точки M и N , чтобы периметр треугольника XMN
был минимальным.
2.16. Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и
разности боковой стороны и основания.
2.17. Построить треугольник ABC , если даны точки A и B и пря-
мая, на которой лежит биссектриса угла C .
2.18. Даны три прямые l1, l2, l3 , пересекающиеся в одной точке, и
точка A на прямой l1 . Построить треугольник ABC так, чтобы точка
A была его вершиной, а биссектрисы треугольника лежали на прямых
l1, l2, l3 .
2.19. Построить треугольник по серединам двух сторон и прямой, на
которой лежит биссектриса, проведенная к одной из этих сторон.
2.2. Центральная симметрия. Поворот 37
2.20. Построить четырехугольник ABCD , у которого диагональ AC
является биссектрисой угла A, зная длины его сторон.
2.21. Построить четырехугольник ABCD , в который можно вписать
окружность, зная длины двух соседних сторон AB и AD и углы при
вершинах B и D .
2.22. В данный остроугольный треугольник вписать треугольник наи-
меньшего периметра.
2.23. Известно, что −→AB⊥a . Какими движениями являются T−−→AB ◦ Sa
и Sa ◦ T−−→AB ?
2.24. Известно, что −→AB∥a . Доказать, что T−−→AB ◦ Sa = Sa ◦ T−−→AB .
2.25. Известно, что прямые a , b и c пересекаются в одной точке.
Доказать, что композиция Sc ◦ Sb ◦ Sa является осевой симметрией.
2.26. Доказать, что T−−→AB ◦ Sa — скользящая симметрия. Найти ось
симметрии и вектор переноса.
2.27. Каким движением является композиция двух скользящих сим-
метрий с перпендикулярными осями?
2.28. Доказать, что движение f — скользящая симметрия тогда и
только тогда, когда f имеет единственную неподвижную прямую.
2.29. Доказать, что если плоская фигура имеет ровно две оси сим-
метрии, то эти оси перпендикулярны.
2.30. Доказать, что если многоугольник имеет несколько (больше
двух) осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.
2.31. Доказать, что если плоский многоугольник имеет четное число
осей симметрии, то он имеет центр симметрии.
2.2. Центральная симметрия. Поворот
Группа А
2.32. Движение f имеет единственную неподвижную точку. Дока-
зать, что f — поворот.
38 Глава 2. Преобразования плоскости
2.33. Дан угол с вершиной в точке A и точка M , принадлежащая
одной из его сторон. Найти на другой стороне этого угла такую точку P ,
сто сумма расстояний от точки P до точек M и A равна длине данного
отрезка.
2.34. Дана точка O внутри данного угла. На сторонах этого угла
найти такие две точки M и N , чтобы O была бы серединой отрезка
MN .
2.35. Через данную точку A проведите прямую так, чтобы отрезок,
заключенный между точками пересечения ее с данной прямой и данной
окружностью, делился точкой A пополам.
2.36. Пусть A — одна из точек пересечения окружностей ω1 и ω2 .
Найти такие точки X ∈ ω1 и Y ∈ ω2 , чтобы A была бы серединой
отрезка XY .
2.37. Доказать, что четырехугольник является параллелограммом то-
гда и только тогда, когда он имеет центр симметрии.
2.38. Даны угол и внутри него точки A и B . Постройте параллело-
грамм, для которого точки A и B — противоположные вершины, а две
другие вершины лежат на сторонах угла.
2.39. Построить треугольник по двум сторонам и медиане к третьей
стороне. В каких пределах может изменяться длина медианы, если длины
сторон треугольника равны a и b ?
2.40. Каким движением является композиция центральной симметрии
и параллельного переноса?
2.41. Построить треугольник, зная середины его сторон.
Группа Б
2.42. Построить пятиугольник, зная середины его сторон.
2.43. Даны m = 2n + 1 точек — середины сторон m-угольника.
Постройте его вершины.
2.44. Постройте треугольник по медианам ma , mb и углу C .
2.45. Каким движением является композиция центральной и осевой
симметрий, если центр симметрии лежит на оси симметрии?
2.2. Центральная симметрия. Поворот 39
2.46. Верно ли, что ZO2
◦ ZO1
◦ ZO = ZO ◦ ZO1
◦ ZO2
?
2.47. Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол
пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проиг-
рывает тот, кто не может сделать очередной ход. Доказать, что первый
игрок имеет выигрышную стратегию.
2.48. Может ли многоугольник иметь ровно один центр и одну ось
симметрии?
2.49. Доказать, что ограниченная фигура не может иметь более од-
ного центра симметрии.
2.50. Доказать, что никакая фигура не может иметь ровно двух цен-
тров симметрии.
2.51. Дана точка, лежащая внутри треугольника, образованного сред-
ними линиями данного треугольника. Сколько существует отрезков с кон-
цами на сторонах данного треугольника, делящихся этой точкой пополам?
2.52. Пусть даны точка O , прямая a и угол величины ϕ (O ∈ a ).
Найти прямую b , если Sa ◦ R
ϕ
O = Sb
.
2.53. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы его вершины
принадлежали трем данным параллельным прямым.
2.54. Постройте квадрат так, чтобы три его вершины принадлежали
трем данным параллельным прямым.
2.55. Пусть O — центр квадрата ABCD , a⊥b , O ∈ a ∩ b . Доказать,
что точки пересечения прямых a и b со сторонами данного квадрата
также являются вершинами некоторого квадрата.
2.56. Через центр равностороннего треугольника проведены две пря-
мые, угол между которыми равен 60◦ и которые не содержат вершин
треугольника. Доказать, что отрезки этих прямых, заключенные между
сторонами треугольника, равны между собой.
2.57. Отрезки, концами которых служат внутренние точки противо-
положных сторон квадрата, перпендикулярны. Доказать, что эти отрезки
равны.
2.58. Земельный участок квадратной формы был огорожен. От из-
городи сохранились четыре столба на сторонах квадрата. Восстановить
границу участка.
40 Глава 2. Преобразования плоскости
2.59. На сторонах равностороннего треугольника вне его построе-
ны квадраты. Доказать, что треугольник, вершинами которого являются
центры построенных квадратов, равносторонний.
2.60. Каким движением является композиция двух поворотов?
2.61. В данный квадрат вписать равносторонний треугольник так,
чтобы одна из его вершин совпала с вершиной квадрата, а две другие
принадлежали сторонам квадрата.
2.62. На сторонах AB и AC треугольника ABC во внешнюю сторо-
ну построены квадраты ABNM и ACQP . Доказать, что |MC| = |BP|
и (MC)⊥(BP).
2.63. Хорды одной и той же окружности находятся на одинаковом
расстоянии от центра окружности. Доказать, что они равны.
2.64. Дан равносторонний треугольник ABC и точка M . Доказать,
что длина любого из трех отрезков MA, MB и MC не больше суммы
длин двух других отрезков. В каком случае длина отрезка равна сумме
длин двух других отрезков?
2.65. Дан остроугольный треугольник ABC . Найти такую точку P
внутри этого треугольника, что сумма |P A| + |P B| + |P C| минимальна
(указать способ построения такой точки).
2.66. Пусть N , M , L и K являются соответственно серединами сто-
рон AB , BC , CD и DA квадрата ABCD . Доказать, что пересечение
полос NCLA и BMDK является квадратом.
2.67. На сторонах произвольного треугольника вне его построены рав-
носторонние треугольники. Доказать, что треугольник, вершинами кото-
рого являются центры построенных треугольников, равносторонний.
2.68. Доказать, что f = ZO тогда и только тогда, когда O — един-
ственная неподвижная точка движения f и f ◦ f = ϵ.
2.3. Параллельный перенос 41
2.3. Параллельный перенос
Группа А
2.69. Две окружности радиуса R касаются в точке K . На одной из
них взята точка A, на другой — точка B , причем ∠AKB — прямой.
Доказать, что |AB| = 2R.
2.70. Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N .
Пусть A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к от-
резку MN с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой
MN . Доказать, что MN2 + AB2 = 4R2
.
2.71. В каком месте следует построить мост MN , разделяющий де-
ревни A и B , чтобы путь AMNB из A в B был кратчайшим? (Берега
реки считаются параллельными прямыми, мост перпендикулярен бере-
гам.)
2.72. Дан треугольник ABC . Точка M , расположенная внутри тре-
угольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со сторо-
ной CA, затем параллельно AB до пересечения с AB и т.д. Доказать,
что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.
2.73. Пусть K , L, M и N соответственно являются серединами
сторон AB , BC CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD . До-
казать, что KM 6 (BC + AD)/2 , причем равенство достигается только
если (BC)∥(AD).
Группа Б
2.74. Даны две окружности ω1 и ω2 и прямая l . Провести прямую
l1 , параллельную прямой l так, чтобы ω1 и ω2 высекали на l1 равные
хорды.
2.75. Построить четырехугольник ABCD по четырем углам и длинам
сторон AB = a и CD = b .
2.76. Построить четырехугольник ABCD по четырем углам и диа-
гоналям.
42 Глава 2. Преобразования плоскости
2.77. Найти геометрическое место точек, что сумма расстояний от
которых до двух данных прямых имеет данную величину.
2.78. Дан угол ABC и прямая l . Построить прямую, параллельную
прямой l , на которой стороны угла ABC высекают отрезок длины a .
2.79. Даны две окружности ω1 и ω2 и точка A. Провести через A
прямую l так, чтобы ω1 и ω2 высекали на ней равные хорды.
2.80. Даны две пары параллельных прямых и точка P . Провести че-
рез точку P прямую так, чтобы обе пары параллельных прямых отсекали
на ней равные отрезки.
2.81. На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K
соответственно, причем ∠BAM = ∠MAK . Доказать, что BM + KD =
AK .
2.82. На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K
соответственно, причем периметр треугольника CMK равен удвоенной
стороне квадрата. Найти величину угла MAK .
2.83. Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты
BK и BH . Известно, что KH = a и BD = b . Найти расстояние от точки
B до точки пересечения высот треугольника BKH .
2.84. На сторонах AB и BC треугольника ABC во внешнюю сторо-
ну построены квадраты. Доказать, что треугольник, вершинами которого
являются центры построенных квадратов и середина отрезка AC , пря-
моугольный и равнобедренный.
2.85. Доказать, что f = T−−→AB тогда и только тогда, когда движение f
не имеет неподвижных точек, но через каждую точку плоскости проходит
неподвижная прямая.

2.4. Гомотетия. Преобразования подобия
Группа А
2.86. Даны две различные точки A и B . Найти такую точку O , что
а) H2
O
(A) = B ; б) H−2
O
(A) = B .
2.4. Гомотетия. Преобразования подобия 43
2.87. Доказать, что при гомотетии а) прямая отображается в парал-
лельную прямую; б) угол отображается в равный угол.
2.88. Известно, что при гомотетия с центром в данной точке O отоб-
ражает точку A (A ̸= O ) в точку A′
. Построить образ произвольной
точки M при этой гомотетии, используя только циркуль и линейку.
2.89. Отрезок A′B′ является образом отрезка AB при некоторой
гомотетии, центр которой не задан. Построить образ произвольной точки
M при этой гомотетии, используя только циркуль и линейку.
2.90. Точка пересечения прямых a и б “недоступна”. Для произволь-
ной точки M построить прямую, проходящую через M и “недоступную”
точку пересечения прямых a и б .
2.91. Известно, что Hk
O
(A) = A′ и Hk
O
(B) = B′
. Построить точку O .
2.92. Даны два параллельных отрезка разной длины. Сколько суще-
ствует гомотетий, отображающих один из этих отрезков на другой?
2.93. Даны две окружности разного радиуса. Сколько существует
гомотетий, отображающих одну из этих окружностей на другую? При
каких условиях центры этих гомотетий совпадают?
2.94. Записать координаты образа точки A(a, b) при гомотетии с цен-
тром в начале координат и коэффициентом k .
2.95. a) Записать уравнение прямой, на которую отображается пря-
мая y = −2x + 1 гомотетией с центром в начале координат и k = 3 .
b) Записать уравнение окружности, на которую отображается окруж-
ность x
2 + y
2 = 16x − 8y − 64 гомотетией с центром в начале координат
и k = −3 .
2.96. Записать координаты точки пересечения прямой y = −5x + 1, 5
и образа прямой y = x − 1 при гомотетии с центром в начале координат
и k = −2/3 .
2.97. На прямых y = 3x + 2 и y = −2x + 4 найти соответственно
точки A и B такие, что H−2
O
(A) = B . Решить задачу аналитически.
2.98. Гомотетичны ли параболы y = x
2 и y = 8x
2
? Если да, то чему
равен коэффициент гомотетии?
44 Глава 2. Преобразования плоскости
2.99. Можно ли гомотетией отобразить график функции y = 4/x на
график функции y = 1/x? Если да, то определить коэффициент гомоте-
тий.
2.100. Вписать в данный треугольник квадрат, две вершины которого
лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах.
2.101. Построить треугольник по двум углам и высоте, проведенной
из вершины третьего угла.
2.102. Построить треугольник по углу, противолежащей ему стороне
и отношению 2 : 3 длин двух других сторон.
2.103. Дан угол ∠ABC и точка P внутри этого угла. Провести через
точку P прямую a , для точек M и N пересечения этой прямой со
сторонами угла выполняется соотношение MP : P N = 1 : 2 .
2.104. Даны две окружности и точка M . Найти на разных окружно-
стях такие точки A и B , что M ∈ [AB] и AM : MB = 2 : 3 .
2.105. Две окружности с центрами в точках O1 и O2 касаются в точке
K . Прямая, проходящая через точку K , пересекает первую и вторую
окружности в точках A и B соответственно. Доказать, что прямые O1A
и O2B параллельны.
2.106. Две окружности касаются в точке K . Прямая, проходящая
через точку K , пересекает эти окружности в точках A и B . Доказать,
что касательные к окружностям, проведенные через точки A и B , па-
раллельны.
2.107. Две окружности касаются в точке K . Через точку K прове-
дены две прямые, пересекающие первую окружность в точках A и B ,
вторую — в точках C и D . Доказать, что (AB)∥(CD).
2.108. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD продолжены до
пересечения в точке O . Точки E и F — середины оснований трапеции.
Доказать, что точки O , E и F лежат на одной прямой.
2.109. Доказать, что точки, симметричные произвольной точке от-
носительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого
квадрата.
2.4. Гомотетия. Преобразования подобия 45
2.110. На плоскости даны точки A, B и прямая l . По какой траекто-
рии движется точка пересечения медиан треугольников ABC , если точка
C движется по прямой l ?
2.111. Внутри угла выбрана точка M . Построить окружность, про-
ходящую через эту точку и касающуюся сторон данного угла.
2.112. На одной из двух данных параллельных прямых лежит отрезок
AB . Пользуясь только линейкой а) разделить AB пополам; б) удвоить
отрезок AB .
2.113. Вписать в треугольник две равные окружности, каждая из
которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.
2.114. Вписать в данный треугольник ABC треугольник A1B1C1 ,
стороны которого параллельны сторонам данного треугольника KLM .
Группа Б
2.115. На основаниях BC и AD трапеции ABCD во внешнюю сто-
рону построены квадраты BCMN и ADEF . Доказать, что прямые NE
и MF проходят через точку пересечения диагоналей трапеции.
2.116. Около окружности описана трапеция ABCD , меньшее осно-
вание BC которой касается ее в точке F . Прямая MF , где M — точка
пересечения продолжений боковых сторон данной трапеции, пересекает
AD в точке K . Доказать, что K — точка касания отрезка AD и окруж-
ности, вписанной в фигуру, являющуюся объединением основания AD и
продолжений сторон BA и CD .
2.117. Найти геометрическое место точек (ГМТ), из которых данный
отрезок виден под углом γ . Построить треугольник по медианам ma , mb
и углу ∠C .
2.118. Чему равна композиция гомотетии и параллельного переноса?
2.119. В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от
прямых, на которых лежат боковые стороны. Доказать, что трапеция рав-
нобедренная.
2.120. Точки K и L являются серединами диагоналей выпуклого
четырехугольника ABCD , O — середина отрезка KL. Доказать, что
точка M = H
−1/3
O
(A) есть центр масс треугольника BCD .
46 Глава 2. Преобразования плоскости
2.121. На плоскости дана прямая a и две точки A и B , лежащие по
одну сторону от этой прямой. Построить окружность, проходящую через
две данные точки и касающуюся данной прямой.
2.122. Известно, что H — ортоцентр (т.е. точка пересечения высот)
остроугольного треугольника ABC , а O — центр его описанной окруж-
ности. Пусть A1 — середина стороны BC . Доказать, что |AH| = 2|OA1|.
2.123. На плоскости дана окружность ω и пересекающий ее угол
ABC . Вписать в данный угол окружность так, чтобы она касалась данной
окружности.
2.124. Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: ес-
ли все его стороны отодвинуть на расстояние 1 во внешнюю сторону, то
полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. До-
казать, что в этот многоугольник можно вписать окружность.
2.125. Доказать, что любой выпуклый многоугольник Φ содержит
два выпуклых многоугольника Φ1 и Φ2 , не имеющих общих внутренних
точек и подобных данному многоугольнику с коэффициентом 1/2 .
2.126. На окружности фиксированы точки A и B , а точка C движет-
ся по этой окружности. Найти геометрическое место точек, являющихся
точками пересечения медиан треугольников ABC .
2.127. Две окружности касаются в точке P . Через точку P про-
ведены две секущие, пересекающие первую окружность в точках A1 и
B1 , вторую окружность — в точках A2 и B2 . Доказать, что треугольник
P A1B1 подобен треугольнику P A2B2 .
2.128. Внутри окружности S даны две точки A и B . Доказать,
что существует окружность, проходящая через точки A и B , целиком
лежащая внутри окружности S .
2.129. На отрезке между центрами двух касающихся внешним обра-
зом окружностей как на диаметре построена окружность. Доказать, что
все три окружности касаются одной прямой.
2.130. Окружность ω касается равных сторон AB и BC равнобед-
ренного треугольника ABC в точках P и K , а также касается внут-
ренним образом описанной окружности треугольника ABC . Доказать,
2.4. Гомотетия. Преобразования подобия 47
что середина отрезка PK является центром вписанной окружности тре-
угольника ABC .
2.131. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны
AC в точке D , DM — ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону AC
в точке K . Доказать, что AK = DC .
2.132. Дан остроугольный треугольник ABC . Построить точки X и
Y на сторонах AB и BC так, что а) AX = XY = Y C ; б) BX = XY =
Y C .
2.133. Построить треугольник ABC по сторонам AB и AC и бис-
сектрисе AD .
2.134. На плоскости даны точки A и E . Построить ромб ABCD с
заданной высотой, для которого E — середина стороны BC .
2.135. Даны острый угол AOB и внутри его точка C . Найти на
стороне OB точку M , равноудаленную от стороны OA и от точки C .

3.2. Сечения призм
Группа А
3.1. Построить сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостями, заданны-
ми следующими точками Р , Q и R: а) P лежит на ребре BB1 , Q лежит
на ребре AC , R лежит на продолжении ребра CC1 , причем точка C1
лежит между точками C и R; б) P лежит в грани AA1B1B , Q лежит
на ребре AC , R лежит в грани BB1C1C ; в) P лежит на ребре A1B1 ,
Q — точка отрезка DC1 , где точка D лежит на ребре AB , R лежит на
продолжении ребра BC , причем C лежит между точками B и R.
3.2. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоско-
стью KLM , где K ∈ (A1B1C1), L ∈ (A1B1C1) и M ∈ (AA1B).
3.3. Построить сечения призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостями, за-
данными следующими точками P , Q и R: а) P лежит на ребре A1B1 .
Q лежит в грани ABCD . R лежит на ребре DD1 ; б) P лежит в грани
AA1B1B , Q лежит в грани AA1D1D , R лежит в грани CC1D1D ; в)
P лежит на диагонали AC1 , Q лежит на диагонали B1D , R лежит на
ребре C1D1 .
3.4. Построить сечения шестиугольной призмы ABC . . . D1E1F1 плос-
костями, заданными следующими точками P , Q и R: а) P лежит на
ребре DD1 , Q лежит на ребре AB , R лежит на ре6ре AF ; б) P лежит
в грани BB1C1C , Q лежит на ребре E1F1 , R лежит на ребре AF ; в)
P лежит на диагонали BD1 , Q лежит на диагонали AЕ , R лежит на
ребре BC .
3.5. Построить сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостями, проходя-
щими через прямую AQ, где точка Q лежит на ребре CC1 , и точку P ,
58 Глава 3. Сечения многогранников
заданную следующим образом: а) P лежит в грани A1B1C1 ; б) P лежит
на прямой C1M , где точка M лежит на ребре A1B1 и находится между
точками C1 и P ; в) P лежит на отрезке C1K , где точка K лежит на
ребре AB .
3.6. Построить сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостями, проходя-
щими через прямую AQ, где точка Q лежит на ребре B1C1 , и точку P ,
заданную следующим образом: а) P лежит на отрезке KL, где точка K
лежит на ребре A1B1 , а точка L — на ребре AC ; б) P лежит на прямой
CN , где точка N лежит в грани AA1B1B и находится между точками
C и P ; в) P лежит на прямой AM , где точка M лежит на ребре B1C1
и находится между точками B1 и C1 .
3.7. Построить сечения призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостями, про-
ходящими через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре CC1 , и точку
P , заданную следующим образом: а) P лежит в грани AA1B1B , б) P
лежит на продолжении ребра A1B1 , причем точка A1 находится между
B1 и P ; в) P лежит на диагонали AC1 .
3.8. Построить сечения призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостями, про-
ходящими через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре A1B1 , и точку
P , заданную следующим образом: а) P лежит в грани BB1C1C ; б) P ле-
жит на продолжении ребра BC , причем точка C лежит между точками
B и P ; в) P лежит на диагонали A1C .
3.9. На ребре CC1 призмы ABCDA1B1C1D1 задана точка P . По-
строить прямые, параллельные прямой DP , и проходящие через следу-
ющие точки: а) A; б) K , взятую на ребре AA1 ; в) L, взятую в грани
AA1D1D .
3.10. В грани BB1C1C призмы ABCDA1B1C1D1 задана точка P .
Построить прямые, параллельные прямой AР и проходящие через точки
K , L и M , взятые соответственно на следующих ребрах: а) AD ; б) AB ;
в) BB1 .
3.11. На ребрах BB1 и DD1 пятиугольной призмы ABC...D1E1 за-
даны соответственно точки P и Q. Построить прямые параллельные
прямой P Q и проходящие через следующие точки: а)E ; б) K , взятую на
ребре AA1 ; в) L, взятую в грани AA1BB1 .
3.2. Сечения призм 59
Группа Б
3.12. На ребрах BB1 и CC1 призмы ABCA1B1C1 заданы соответ-
ственно точки P и Q. Построить сечения призмы следующими плоско-
стями: а) плоскостью, проходящей через прямую BQ, параллельно пря-
мой AP ; б) плоскостью, проходящей через прямую C1P , параллельно
прямой AQ; в) плоскостью, проходящей через прямую AQ, параллельно
прямой CP и плоскостью, проходящей через прямую CP , параллельно
прямой AQ.
3.13. На ребре BB1 призмы ABCA1B1C1 задана точка P , а в грани
ABC — точка Q. Построить сечения призмы следующими плоскостями:
а) плоскостью, проходящей через прямую C1Q, параллельно прямой AP
и плоскостью, проходящей через прямую AP , параллельно прямой C1Q;
б) плоскостью, проходящей через прямую CP , параллельно прямой C1Q
и плоскостью, проходящей через прямую C1Q, параллельно прямой CP ;
в) плоскостью, проходящей через прямую CP , параллельно прямой B1Q
и плоскостью, проходящей через прямую B1Q, параллельно прямой CP .
3.14. В грани ABCD призмы ABCA1B1C1 задана точка P . Постро-
ить сечения призмы следующими плоскостями: а) плоскостью, проходя-
щей через прямую D1P , параллельно прямой B1D и плоскостью, про-
ходящей через прямую B1D , параллельно прямой D1P ; б) плоскостью,
проходящей через прямую A1P , параллельно прямой DB1 и плоскостью,
проходящей через прямую DB1 параллельно прямой A1P ; в) плоско-
стью, проходящей через прямую B1P , параллельно прямой A1C и плос-
костью, проходящей через прямую A1C параллельно прямой B1P .
3.15. На ребрах AC , BC и CC1 призмы ABCA1B1C1 заданы со-
ответственно точки Q, R и S . Построить сечения призмы плоскостями,
параллельными плоскости QRS и проходящими через точку P , задан-
ную на следующих ребрах: а) CC1 ; б) BB1 ; в) A1B1 .
3.16. На ребрах AB и CC1 призмы ABCA1B1C1 заданы соответ-
ственно точки P и Q. Построить сечения призмы плоскостями, парал-
лельными прямых B1P и A1Q и проходящими через точки K , L и M ,
взятые соответственно на следующих отрезках: а) C1P ; б) BQ; в) P Q.
60 Глава 3. Сечения многогранников
3.3. Сечения пирамид
Группа А
3.17. На ребрах AB , BD и AC тетраэдра ABCD отмечены точ-
ки K , L и M соответственно. Построить сечение тетраэдра плоскостью
KLM .
3.18. В тетраэдре ABCD точки K и L принадлежат грани ABC ,
а точка M — грани ACD . Построить сечение тетраэдра плоскостью.
3.19. Построить сечения пирамиды SABCD плоскостями, заданны-
ми следующими точками P , Q и R: а) P лежит на ребре SB , Q лежит
на ребре AD1 , R лежит в грани SCD , Q лежит в грани SAD ; б) P
лежит в грани SAB , R лежит в грани SCD ; Q — лежит в грани SAD ;
в) P лежит на отрезке SM , где точка M лежит в грани ABCD , Q
лежит в грани SBC , R лежит на ребре CD .
3.20. Построить сечения пирамиды SABC плоскостями, заданными
следующими точками P , Q и R: а) P лежит на ребре SB , Q лежит на
ребре AC , R лежит в грани ABC ; б) P лежит на продолжении ребра
SB , причем точка B лежит между точками S и P , Q лежит на ребре
AC , R лежит в грани SBC ; в) P лежит на отрезке SM , где точка M
лежит в грани ABC , Q лежит на ребре SB , R лежит в грани ABC .
3.21. Построить сечения пирамиды SABC плоскостями, проходящи-
ми через прямую RQ, где точка R лежит на ребре AB , а точка Q —
на ребре SC , и точку P , заданную следующим образом: а) P лежит на
прямой BK , где точка K лежит на ребре SA и находится между точ-
ками B и P ; б) P лежит на отрезке CL, где точка L лежит в грани
ABC ; в) P лежит на прямой BM , где точка M лежит в грани SAC и
находится между точками B и P .
3.22. Построить сечения пирамиды SABCD плоскостями, проходя-
щими через прямую QR, где точка Q лежит на ребре SB , а точка R —
на ребре AD , и точку P , заданную следующим образом: а) P лежит в
грани SCD ; б) P лежит на прямой AK , где точка K лежит в грани
SBC и находится между точками A и P ; в) P лежит на отрезке SL,
где точка L лежит в грани ABCD .
3.3. Сечения пирамид 61
3.23. Построить сечения пирамиды SABCD плоскостями, проходя-
щими через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре SC , и точку P ,
заданную следующим образом: а) P лежит в грани SAB ; б) P лежит
на прямой CK , где точка K лежит в грани SAB и находится между
точками C и P ; б) P лежит на отрезке SL, где точка L лежит в грани
ABCD .
3.24. Построить сечения пирамиды SABC плоскостями, проходящи-
ми через прямую AQ, где точка Q лежит на ребре SC , и точку P ,
заданную следующим образом: а) P лежит на прямой BK , где точка K
лежит на ребре SA и находится между точками B и P ; б) P лежит на
отрезке SL, где точка L лежит в грани ABC ; в) P лежит на прямой
CM , где точка M лежит в грани SAB и находится между точками C
и P .
Группа Б
3.25. На ребрах SA и SD пирамиды SABCD заданы соответственно
точки P и Q. Построить прямые, параллельные прямой P Q и проходя-
щие через следующие точки: а) D ; б) K , взятую на ребре SC ; в) L,
взятую в грани SAB .
3.26. На ребрах AC , SC и AB пирамиды SABC заданы соот-
ветственно точки P , Q и R. Построить сечения пирамиды следующими
плоскостями: а) плоскостью, проходящей через прямую SB , параллельно
прямой P Q и плоскостью, проходящей через прямую P Q параллельно
прямой SB ; б) плоскостью, проходящей через прямую BQ, параллельно
прямой CR и плоскостью, проходящей через прямую CR параллельно
прямой BQ; в) плоскостью, проходящей через прямую QR, параллельно
прямой SP и плоскостью, проходящей через прямую SP параллельно
прямой QR.
3.27. На ребрах SC и SA пирамиды SABC заданы соответственно
точки P и Q, а в грани ABC — точка R. Построить сечения пирамиды
следующими плоскостями: а) плоскостью, проходящей через прямую CQ,
параллельно прямой SR и плоскостью, проходящей через прямую SR
параллельно прямой CQ; б) плоскостью, проходящей через прямую BP ,
параллельно прямой CQ и плоскостью, проходящей через прямую CQ
62 Глава 3. Сечения многогранников
параллельно прямой BP ; в) плоскостью, проходящей через прямую P Q,
параллельно прямой SR и плоскостью, проходящей через прямую SR
параллельно прямой P Q.
3.28. На ребрах SB и SD пирамиды SABCD заданы соответствен-
но точки P и Q, а в грани ABCD – точка R. Построить сечения пирами-
ды следующими плоскостями: а) плоскостью, проходящей через прямую
AC , параллельно прямой DP и плоскостью, проходящей через прямую
DP , параллельно прямой AC ; б) плоскостью, проходящей через прямую
DP , параллельно прямой BQ и плоскостью, проходящей через прямую
BQ, параллельно прямой DP ; в) плоскостью, проходящей через прямую
P R, параллельно прямой BQ и плоскостью, проходящей через прямую
BQ, параллельно прямой P R.
3.29. На ребрах SC и SB пирамиды SABCD заданы соответственно
точки P и Q, а в грани ABCD — точка R — точка пересечения диагона-
лей AC и BD . Построить сечения пирамиды следующими плоскостями:
а) плоскостью, проходящей через прямую DQ, параллельно прямой P R
и плоскостью, проходящей через прямую P R параллельно прямой DQ;
б) плоскостью, проходящей через прямую DP , параллельно прямой QR
и плоскостью, проходящей через прямую QR параллельно прямой DP ;
в) плоскостью, проходящей через прямую DR, параллельно прямой P Q
и плоскостью, проходящей через прямую P Q параллельно прямой DR.
3.30. На ребрах CD , BC и SC пирамиды SABCD заданы соот-
ветственно точки Q, R и T . Построить сечения пирамиды плоскостями,
параллельными плоскости QRT и проходящими через точку P , задан-
ную следующим образом: а) на ребре AD ; б) на ребре SA; в) грани
SAB .
3.31. На ребрах SA и SC пирамиды SABC заданы соответственно
точки P и Q. Построить сечения пирамиды плоскостями, параллельны-
ми прямым BP и AQ и проходящими через точки K , L и M , взятые
соответственно на следующих ребрах: а) SA; б) SB ; в) BC .
3.4. Задачи на нахождение отношений и площадей 63
3.4. Задачи на нахождение отношений и площадей
Группа А
3.32. В треугольной призме ABCA1B1C1 точки M и N — середины
ребер B1C1 и AB соответственно, точка P лежит на ребре A1B1 так,
что A1P : P B1 = 1 : 3 . Построить сечение призмы плоскостью (CNP) и
найти отношение, в котором оно делит отрезок AM .
3.33. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD . На
ребре SD взята точка L так, что SL : LD = 2 : 1 , точка K — се-
редина ребра SB . Построить сечение пирамиды плоскостью (AKL) и
определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро SC .
3.34. В тетраэдре ABCD O — точка пересечения медиан грани
ABC , M – середина ребра AD . Построить сечение тетраэдра плоско-
стью, проходящей через точку M и вершину C параллельно прямой
DO . Найти отношение, в котором это сечение делит ребро AB .
3.35. На ребрах A1B1 , AB и CC1 призмы ABCA1B1C1 выбраны
соответственно точки M , N и P так, что A1M : MB1 = BN : NA =
= C1P : P C = 1 : 2 . Построить сечение призмы плоскостью (MNP)
и найти отношение C1Q : B1C1 , где Q — точка пересечения плоскости
(MNP) с прямой B1C1 .
3.36. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки M и N — середи-
ны ребер AB и B1C1 , точка P лежит на ребре AD так, что AP : P D =
= 3 : 1 . Построить сечение параллелепипеда плоскостью (MNP) и найти
отношение, в котором сечение делит ребро BB1 .
3.37. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через сере-
дины отрезков AB и AD проведена плоскость, параллельная ребру SA.
Найти площадь сечения, если AB = a , SA = d .
3.38. Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей
через точки M , N и P лежащих соответственно на ребрах BC , BD и
AD так, что MC = 2MB , DN = 2NB и DP = 2AP . Определить в
каком отношении эта плоскость делит площадь треугольника ADC .
64 Глава 3. Сечения многогранников
3.39. Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна a . Построить сечение
плоскостью, содержащей диагональ AB1 и проходящую через середину
ребра DD1 . Найти площадь полученного сечения.
3.40. Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна a . Точки M , N и K
являются центрами трех граней с вершиной D1 . Найти площадь сечения
куба плоскостью (MNK).
3.41. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью,
проходящей через середины ребер AB , AA1 , A1D1 , если длина ребра
куба равна a .
3.42. На ребрах AA1 и AB параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 соот-
ветственно выбраны точки M и N так, что AM = 3MA1 и AN = NB .
Найти отношение, в котором плоскость C1MN делит ребро BC .
3.43. Точки M и N являются серединами ребер AD и BB1 парал-
лелепипеда ABCDA1B1C1D1 , а P — центр грани A1B1C1D1 (т.е. точка
пересечения диагоналей этой грани). Найти отношение, в котором плос-
кость PMN делит ребро AB .
3.44. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 все грани прямоугольни-
ки, AD = 4 , DC = 8 , CC1 = 6 . Построить сечение параллелепипеда
плоскостью, проходящей через середину ребра DC параллельно плоско-
сти (ABC1) и найти его периметр.
Группа Б
3.45. Все ребра тетраэдра ABCD равны a . Точка M — середина
ребра DB , точка N лежит на ребре BC так, что BN : NC = 2 : 1 .
Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M и
N параллельно прямой AB , и найти его площадь.
3.46. Точка O — центр основания правильной четырехугольной пи-
рамиды SABCD . Через середины отрезков AB , DC и SO проведена
плоскость. Найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если из-
вестно, что площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через
точки A и C параллельно ребру SB равна q .
3.47. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение,
проходящее через середины двух смежных боковых ребер параллельно
3.4. Задачи на нахождение отношений и площадей 65
высоте пирамиды. Найти площадь этого сечения, если боковое ребро рав-
но 18, а диагональ основания равна 16√
2 .
3.48. Точка O — точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1 куба
ABCDA1B1C1D1 , точка M - середина ребра AD . Построить сечение
куба плоскостью проходящей через точку M , параллельно прямым AO
и C1D и найти площадь сечения, если ребро куба равно 4.
3.49. На диагоналях AB1 и BC1 куба ABCDA1B1C1D1 расположе-
ны соответственно точки M и N так, что отрезок MN параллелен плос-
кости ABCD . Найти отношение AM : AB1 , если MN : AB =

5/3 .
3.50. Точки M и N — середины ребер AD и BB1 параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 , MN = a , а диагонали грани A1B1C1D1 пересекают-
ся в точке P . Прямая, проходящая через точку P параллельно прямой
MN , пересекает грань AA1D1D в точке Q. Найти длину отрезка P Q.
3.51. Пусть точки O и O1 — центры граней ABCD и A1B1C1D1
куба ABCDA1B1C1D1 . На отрезке OO1 выбрана точка S так, что O1S :
: OS = 1 : 3 . Через эту точку проведено сечение куба, параллельное
его диагонали AC1 и диагонали BD основания. Найти площадь этого
сечения, если ребро куба равно a .
3.52. Среди всех сечений куба, проходящих через его диагональ, ука-
зать то, которое имеет наименьшую площадь. Найти эту площадь, если
ребро куба равно a .
3.53. Секущая плоскость треугольной призмы ABCA1B1C1 прохо-
дит через точки A1 , C параллельно прямой BC1 . Определить, в каком
отношении эта плоскость делит ребро AB .
3.54. В призме ABCA1B1C1 медианы основания ABC пересекаются
в точке M , а диагонали граней AA1C1C и BB1C1C в точках N и P
соответственно. Плоскость MNP пересекает прямую B1C1 в точке K .
Найти отношение B1K : B1C1 .
3.55. Каждое ребро тетраэдра ABCD равно a . На ребрах AD , DC и
BC расположены соответственно точки M , N и P так, что AM = 2a/3 ,
CN = a/2 , CP = a/4 . Плоскость MNP пересекает ребро AB в точке
Q. Найти BQ.
66 Глава 3. Сечения многогранников
3.56. В основании правильной пирамиды SABCD лежит квадрат,
а боковые грани — правильные треугольники. Точки P и N лежат на
сторонах основания AD и CD соответственно. Точки M и K лежат
на боковых ребрах AS и CS соответственно. Известно, что AP : DP =
= 2 : 1 , CN = DN и AM = MS . Через точки M и N , P и K прове-
дены две пересекающиеся между собой прямые MN и KP . Определить
CK : KS .
3.57. На ребре AB тетраэдра ABCD выбрана точка M так, что
AM : AB = x. Через точку M проведено сечение плоскостью, парал-
лельной AD и BC . При каком x сечение этой плоскостью будет ромбом,
если AD = 3BC .
3.58. Длины ребер AC и BD тетраэдра ABCD равны соответствен-
но a и b , угол между прямыми AC и BD равен φ. Найти наибольшую
площадь сечения тетраэдра, параллельного прямым AC и BD .
3.59. Пусть SABCD — четырехугольная пирамида, в основании ко-
торой лежит параллелограмм ABCD . Точки K , L, M лежат на реб-
рах SB , SA, AD соответственно, причем AL = 2LS , AM = MD ,
KB = 3SK . На прямой (LM) выбрана точка X , а на прямой (SC) —
точка Y так, что (XY )∥(AK). Найти LX : XM .
3.60. Пусть SABCD — четырехугольная пирамида, в основании ко-
торой лежит трапеция ABCD (BC∥AD ), причем AD = 2BC . Точки
K , L лежат на ребрах SA, AB соответственно, причем SK = 2KA,
AL = 3LB . На прямой (KL) выбрана точка X , а на прямой (AC) —
точка Y так, что (XY )∥(SD). Найти LX : XK .

 


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (18.04.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar