Тема №6057 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 3) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

4.1. Алгебра векторов
Группа А
4.1. Доказать, что сложение n векторов, где n > 2 , можно выполнять
по правилу многоугольника:
−−−→ A1A2 +
−−−→ A2A3 + . . . +
−−−−−→ An−1An =
−−−→ A1An.
4.2. Доказать, что точки A, B и C лежат на одной прямой тогда и
только тогда, когда существует такое число λ ∈ R, что
−→AC = λ
−→AB .
4.3. Доказать, что точка B является серединой отрезка AC тогда
и только тогда, когда для произвольной точки O выполняется
−−→OB =
=
1
2
(
−→OA +
−→OC).
4.4. Известно, что −→AB = λ
−→AC . Доказать, что точка B лежит на
отрезке AC тогда и только тогда, когда λ ∈ [0; 1] .
4.5. Доказать, что B ∈ [AC] тогда и только тогда, когда для любой
точки O найдется такое число λ ∈ [0; 1] , что
−−→OB = (1 − λ)
−→OA + λ
−→OC .
Доказать, что при этом λ =
|AB|
|AC|
.
4.6. Доказать, что точки A, B , C лежат на одной прямой тогда
и только тогда, когда для любой точки O найдется такое λ ∈ R, что
выполняется равенство
−−→OB = (1 − λ)
−→OA + λ
−→OC . Доказать, что тогда
λ =
|AB|
|AC|
.
4.7. Даны точки A(−1, −4, 3), B(3, −2, 8), C(−1, 2, 1), D(11, x, y).
При каких x и y векторы
−→AB и
−−→CD являются коллинеарными?
68 Глава 4. Векторы
4.8. Даны точки A(3, 2, 5), B(5, 4, 8), C(−3, x, y). При каких x и y
точка C лежит на прямой AB ?
4.9. Даны точки A(−1, 2, −3) и B(17, −13, 9). Найти координаты
такой точки C отрезка AB , что |AC| : |CB| = 2 : 1 .
4.10. Пусть точка C лежит на отрезке AB и |AC| : |CB| = 1 : 3 .
Разложить вектор −→OC по векторам
−→OA и
−−→OB .
4.11. Пусть точка O – центр правильного многоугольника A1A2 . . . An .
Доказать, что −−→OA1 +
−−→OA2 + . . . +
−−→OAn =
−→0 .
4.12. Пусть −→OA +
−−→OB +
−→OC =
−→0 и |OA| = |OB| = |OC|. Доказать,
что ABC — правильный треугольник.
4.13. Пусть M и N — середины отрезков AB и CD . Доказать, что −−→MN = (−→AC +
−−→BD)/2 .
4.14. Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четы-
рехугольника являются вершинами параллелограмма.
4.15. Даны три точки A, B, C . Для произвольной точки X простран-
ства выбрана точка O так, что
−−→XO =
1
3
(
−−→XA+
−−→XB+
−−→XC). Доказать, что:
a) расположение точки O не зависит от выбора точки X ; b) точка O яв-
ляется точкой пересечения медиан треугольника ABC .
4.16. Даны точки A1 , A2 , . . . , An . Для произвольной точки X про-
странства выбрана точка O так, что
−−→XO =
1
n
(
−−→XA1 +
−−→XA2 + . . . +
−−→XAn).
Доказать, что расположение точки O не зависит от выбора точки X .
(Точка O называется центром масс системы материальных точек A1 ,
A2 , . . . , An равной массы.)
4.17. Доказать, что точка O является центром масс системы матери-
альных точек A1 , A2 , . . . , An равной массы тогда и только тогда, когда −−→OA1 +
−−→OA2 + · · · +
−−→OAn =
−→0 .
4.18. Доказать, что центр масс системы материальных точек рав-
ной массы, расположенных в вершинах произвольного четырехугольни-
ка, совпадает с серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей
этого четырехугольника.
4.19. Пусть ABCD — произвольный тетраэдр. Доказать, что отрезки,
соединяющие вершины с центрами масс противоположных граней, пере-
4.1. Алгебра векторов 69
секаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 3 : 1 , считая
от вершины.
4.20. Пусть ABCD — произвольный тетраэдр. Доказать, что отрез-
ки, соединяющие середины противоположных ребер пересекаются в одной
точке и делятся этой точкой пополам.
4.21. Даны два треугольника ABC и A1B1C1 с центрами тяжести
M и M1 соответственно. Доказать, что −−−→ MM1 = (−−→AA1 +
−−→BB1 +
−−→CC1)/3.
4.22. Назовем средней линией произвольного четырехугольника отре-
зок, соединяющий середины несмежных сторон. Доказать, что: a) средние
линии четырехугольника точкой пересечения делятся пополам; b) центр
масс системы материальных точек равной массы, расположенных в вер-
шинах четырехугольника, совпадает с серединой средней линии этого че-
тырехугольника; c) две средние линии и две диагонали четырехугольника
(всего четыре отрезка) пересекаются в одной точке тогда и только то-
гда, когда этот четырехугольник является параллелограммом; d) середи-
ны средних линий произвольного четырехугольника и середина отрезка,
соединяющего середины диагоналей (всего три точки), совпадают.
4.23. Медиатрисой выпуклого четырехугольника называется отрезок,
соединяющий одну из вершин этого четырехугольника с точкой пересеч-
ния медиан треугольника, образованного остальными тремя вершинами
четырехугольника. a) Доказать, что четыре медиатрисы выпуклого четы-
рехугольника пересекаются в одной точке. b) В каком отношении точка
пересечения медиатрис делит каждую из них?
4.24. Дан треугольник ABC . Точки A1 и B1 выбраны так, что
A1 ∈ [BC] , B1 ∈ [AC] , причем |BA1| : |A1C| = |AB1| : |B1C| = 1 : 2 .
Точка O является пересечением отрезков [AA1] и [BB1] . a) Разложить
вектор
−→AO по базису −→u =
−→AC, −→v =
−→AB ; b) определить, в каком отно-
шении точка O делит отрезки AA1 и BB1 .
4.25. Дан треугольник ABC . На отрезках BC и AC соответственно
выбраны точки A1 и B1 так, что |BA1| : |A1C| = 3 : 1 и |AB1| : |B1C| =
= 1 : 2 . Точка O является пересечением отрезков [AA1] и [BB1] . a) Раз-
ложить вектор
−→AO по базису −→u =
−→AC, −→v =
−→AB ; b) определить, в каком
отношении точка O делит отрезки AA1 и BB1 .
70 Глава 4. Векторы
4.26. Даны четыре некомпланарных вектора −→a ,
−→b ,
−→c ,
−→d . Вычис-
лить сумму этих векторов, если известно, что для некоторых чисел x и
y выполняются равенства: −→a +
−→b +
−→c = x
−→d ,
−→b +
−→c +
−→d = y
−→a .
4.27. Даны три некомпланарных вектора −→a ,
−→b ,
−→c . Найти k , если
векторы −→a +
−→b + k
−→c ,
−→a + k
−→b +
−→c , k
−→a +
−→b +
−→c компланарны.
4.28. Для трех произвольных векторов −→u , −→v , −→w Доказать, что век-
торы −→u +
−→v , −→v +
−→w , −→w −
−→u компланарны.
4.29. Известно, что векторы −→u , −→v , −→w не компланарны. Найти все
значения p, q ∈ R, при которых векторы p
−→u + q
−→v +
−→w и
−→u + p
−→v + q
−→w
коллинеарны.
4.30. Пусть ABCDEF — правильный шестиугольник, M — точка
пространства, не лежащая в его плоскости. Принимая в качестве базис-
ных векторов −→a =
−−→MA,
−→b =
−−→MB ,
−→c =
−−→MC , разложить по этому
базису векторы −−→MD ,
−−→ME ,
−−→MF ,
−−→DF .
4.31. Пусть ABCDEF — правильный шестиугольник, M — точка
пространства, не лежащая в его плоскости. Принимая в качестве базис-
ных векторов
−→b =
−→AB ,
−→c =
−→AC ,
−→d =
−−→AM , разложить по этому базису
векторы
−−→MB ,
−−→MC ,
−−→MD ,
−−→MF .
4.32. Пусть ABCDEF – правильный восьмиугольник, M — точка
пространства, не лежащая в его плоскости. Принимая в качестве базис-
ных векторов −→a =
−−→MA,
−→b =
−−→MB ,
−→c =
−−→MC , найти в этом базисе
выражения для векторов a)
−−→ME ,
−−→MG; b)
−−→CY , где Y — середина MF .
4.33. Даны две тройки коллинеарных точек: A1, A2, A3 и B1, B2, B3 ,
причем (A1A2)∥(B1B2). Известно, что для любого i ∈ {1, 2, 3} точка
Ci лежит на отрезке AiBi и при этом выполняется равенство |AiCi
| =
= α|AiBi
|, где α — некоторое положительное вещественное число. Дока-
зать, что точки C1 , C2 , C3 коллинеарны.
4.34. На каждой из прямых a и b последовательно отмечены по n
точек: A1, A2, . . . , An ∈ a и B1, . . . , Bn ∈ b так, что |AiAi+1| = p и
|BiBi+1| = q при всех i 6 n − 1 . Пусть Ci — середина отрезка AiBi при
всех i 6 n. Доказать, что точки C1, . . . , Cn лежат на одной прямой.
4.35. При каком x векторы −→v = (1, 2, 5),
−→u = (−1, 3, 13) и
−→w =
= (5, x, −29) компланарны?
4.1. Алгебра векторов 71
4.36. Лежит ли точка M(1, 1, 1) в плоскости, проходящей через точки
A(2, 0, 4), B(−3, −27, 5) и C(4, −2, 10) ?
4.37. Даны точки A(4, −2, 3), B(7, −12, 8) и C(1, 1, 3). При каком
значении x точка D(15, −36, x) лежит в плоскости ABC ?
4.38. Даны точки A(1, 2, 3), B(7, 4, 9), C(1, 1, 1) и D(3, 8, 6). Опре-
делить взаимное расположение прямых AB и CD .
4.39. Даны точки A(11, −4, 8), B(6, −3, 4), C(0, −1, 0) и D(−1, 0, 4).
Пересекаются ли прямые AB и CD ? Если да, то найти координаты точки
их пересечения.
4.40. Даны точки A(1, 1, 1), B(2, 0, −1), C(3, 2, z) и O(0, 0, 0). При
каких значениях z отрезки AB и OC пересекаются?
4.41. Известно, что плоскость α проходит через точки A(2, 1, 2),
B(0, 1, 4), C(4, 1, 0). На прямой a лежат точки E(11, −4, 8) и F(6, −3, 4).
Пересекаются ли a и α? Если да, то найти координаты точки их пересе-
чения.
4.42. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Точка P является се-
рединой диагонали BC1 . Выразить вектор −→AP через векторы
−→AB ,
−−→AD
и
−−→AA1 .
4.43. Даны точки A(1, 2, 3), B(12, −4, 6), C(7, 2, 4). Известно, что
четырехугольник ABCD является параллелограммом. Найти координа-
ты точки D .
4.44. Даны точки A(3, 2, 1), B(−12, 3, 5), C(6, 7, 3). Найти координа-
ты точки пересечения медиан треугольника ABC (т. е. его центра масс).
4.45. Найти расстояние от начала координат до центра окружности,
описанной около треугольника с вершинами (1, 0, 1), (1, 1, 0) и (1, 1, 1)
(систему координат считать декартовой).
4.46. Даны координаты двух вершин треугольника A(2, −1), B(−3, 5)
и координаты точки пересечения медиан этого треугольника M(1, 1).
Найти координаты вершины C .
4.47. Даны четыре вектора, сумма которых равна −→0 , а длина каж-
дого равна единице. Доказать, что среди этих векторов можно выбрать
72 Глава 4. Векторы
два, которые будут противоположны друг другу, причем два оставшихся
вектора также будут противоположны друг другу.
4.48. Через концы трех ребер параллелепипеда, выходящих из од-
ной вершины, проведена плоскость. Определить, в каком отношении она
делит диагональ параллелепипеда, выходящую из той же вершины.
Группа Б
4.49. Пусть M1 — центр масс системы материальных точек A1 ,
A2, . . . , An , M2 — центр масс системы материальных точек An+1 , An+2 ,
. . . , An+m (массы всех n + m точек одинаковы), M — центр масс систе-
мы всех этих n+m точек. Доказать, что выполняются два соотношения:
a) M ∈ [M1M2] ; b) |M1M| : |MM2| = m : n.
4.50. Доказать, что из медиан треугольника можно составить тре-
угольник.
4.51. Из медиан треугольника ABC составлен треугольник A1B1C1 ,
а из медиан треугольника A1B1C1 составлен треугольник A2B2C2 . Дока-
зать, что треугольники ABC и A2B2C2 подобны, причем коэффициент
подобия равен 3/4 .
4.52. Даны два треугольника ABC и A1B1C1 , не лежащие в одной
плоскости, M , N — середины сторон AC , BC , а M1 , N1 — середины
сторон A1C1 , B1C1 . Доказать, что если −→AB =
−−−→ A1B1 , то векторы
−−−→ MM1 , −−→NN1 ,
−−→CC1 коллинеарны.
4.53. Дана треугольная призма ABCA1B1C1 . Доказать, что если A0 ,
B0 , C0 — середины сторон BC , CA, AB соответственно, то прямые
A0A1 , B0B1 , C0C1 пересекаются в одной точке.
4.54. Даны два подобных четырехугольника OABC и OA1B1C1 с об-
щей вершиной, лежащие в различных плоскостях. Доказать, что прямые
(AA1), (BB1), (CC1) параллельны одной плоскости.
4.55. Прямая a пересекает стороны AB и AD параллелограмма
ABCD , а также его диагональ AC в точках B1 , D1 и C1 соответствен-
но. Пусть −−→AB1 = λb
−→AB ,
−−→AC1 = λc
−→AC ,
−−→AD1 = λd
−−→AD . Доказать, что
λc — среднее гармоническое чисел λb и λd , т. е. 1
λc
=
1
λb
+
1
λd
.
4.1. Алгебра векторов 73
4.56. Доказать, что если O — центр вписанной в треугольник ABC
окружности, а H — точка пересечения высот этого треугольника, то −−→OH =
−→OA +
−−→OB +
−→OC .
4.57. В пространстве даны точки O , A, B , C . Доказать, что точка
M принадлежит треугольнику ABC тогда и только тогда, когда найдет-
ся такая тройка таких неотрицательных чисел x, y, z , что x + y + z = 1
и
−−→OM = x
−→OA + y
−−→OB + z
−→OC .
4.58. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M ребра
BC проведена прямая, пересекающая прямые AC1 и DD1 соответствен-
но в точках N и P . Найти отношение |MN| : |NP|.
4.59. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , точка P — середи-
на ребра AD . На прямых P B1 и BC1 взяты точки M , N так, что
(MN)∥(A1C1). Найти |A1C1| : |MN|.
4.60. Пусть SABCD – четырехугольная пирамида, в основании ко-
торой лежит параллелограмм ABCD . Точка M – середина ребра AD ,
точка N является точкой пересечения медиан грани SBC . Точки P ∈
(AD), Q ∈ (SB) выбраны так, что (P Q)∥(MN). Найти |P A| : |AD| и
|SQ| : |QB|.
4.61. Пусть SABCD – четырехугольная пирамида, в основании ко-
торой лежит трапеция ABCD ((AB)∥(CD)), причем 2|BC| = |AD|.
a) Выразить векторы −→SC ,
−→SD через векторы
−→AB ,
−−→AD ,
−→AS ; b) Пусть
N — середина ребра SC ; найти точки P ∈ (AD), Q ∈ (SB) так, чтобы
(P Q) ∥ (DN).
4.62. ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. На диагоналях AC и DC1
выбраны соответственно точки M и N так, что (MN)∥(BD1). Найти
|MN| : |BD1|.
4.63. На диагонали AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , взя-
та точка M , а на прямой B1C точка N так, что (MN)∥(BD). Найти
|BD| : |MN|.
4.64. Точки M и N — середины ребер AB и CD тетраэдра ABCD .
Точки P и Q расположены на ребрах AD и BC так, что отрезки MN
и P Q пересекаются, а |AP| : |AD| = 2 : 3 . Найти |BQ| : |BC|.
74 Глава 4. Векторы
4.65. Точки M , N , и P соответственно — середины ребер AB , CD и
BC тетраэдра ABCD . Через точку P проведена плоскость, параллель-
ная прямым DM и AN . В каком отношении эта плоскость разделит
ребро AD ?
4.66. Все ребра правильной треугольной призмы имеют длину a .
Точка M лежит на диагонали BC1 так, что |BM| : |BC1| = 1 : 3 .
На диагонали CA1 выбрана точка N так, что (MN)∥(ABB1A1). Найти
длину отрезка MN .
4.67. Дана шестиугольная пирамида SABCDEF , в основании кото-
рой лежит правильный шестиугольник ABCDEF . Точки P , Q, R —
середины ребер DE , EF , AS . Найти отношения, в которых секущая
плоскость делит боковые ребра.
4.68. В тетраэдре ABCD проведены медианы AM и DN граней
ACD и ADB , и на этих медианах взяты соответственно точки E и F
так, что (EF)∥(BC). Найти отношение |EF| : |BC|.
4.69. В призме ABCA1B1C1 медианы оснований ABC и A1B1C1
пересекаются соответственно в точках O и O1 . Через середину отрезка
OO1 проведена прямая, параллельная прямой CA1 . Найти длину отрезка
этой прямой, лежащего внутри призмы, если |CA1| = a .
4.70. Основание пирамиды ABCDS — параллелограмм ABCD , диа-
гонали которого пересекаются в точке O . Через середину отрезка SO
проведена прямая, параллельная медиане BM грани SAB . Найти дли-
ну отрезка этой прямой, лежащего внутри пирамиды, если |BM| = a .
4.71. ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Проведена прямая, пере-
секающая прямые AA1 , BC и C1D1 соответственно в точках M , N и
P так, что |MN| : |MP| = 2 . Найти |CN| : |BC| (найти все решения).
4.72. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Точки K , L лежат на
ребрах AD и CC1 соответственно, причем |KD| : |AK| = 3 , |CL| :
: |C1L| = 2 . Через точки K , L параллельно диагонали AC1 проведена
плоскость. a) В каком отношении эта плоскость делит ребро BC ? b) В
каком отношении она делит объем параллелепипеда?
4.73. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину a . На прямой BC1
взята точка M так, что прямые DA1 , AB1 и D1M параллельны одной
плоскости. Найти длину отрезка D1M .
4.1. Алгебра векторов 75
4.74. Соответственно на ребре AD и диагонали A1C параллелепипе-
да ABCDA1B1C1D1 взяты точки M и N так, что прямая MN парал-
лельна плоскости BDC1 и |AM| : |AD| = 1 : 5 . Найти |CN| : |CA1|.
4.75. Пусть ABCDS — правильная четырехугольная пирамида. На
ребрах AS и BS соответственно выбраны точки K и L так, что
|AK| : |KS| = |SL| : |LB| = 1 : 3 , а точка M — середина ребра SC . Точ-
ка N выбрана на прямой CD так, что прямые KL и NM пересекаются.
Найти |DN| : |NC|.
4.76. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка M — середина реб-
ра CD , N ∈ [BC1] , P ∈ [AB1), при этом точки M, N, P лежат на одной
прямой. Найти |P N| : |MN|.
4.77. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка M — середина реб-
ра CD , P ∈ [BC1] , N ∈ [AB1), при этом точки M, N, P лежат на одной
прямой. Найти отношения |NP| : |PM|, |BP| : |P C1| и |AB1| : |AN|.
4.78. Даны две скрещивающиеся прямые m и n. На прямой m даны
точки P , Q, R, а на прямой m — точки P1 , Q1 , R1 , причем |P Q| =
= k|P R|, |P1Q1| = k|P1R1|. Доказать, что прямые (P P1), (QQ1), (RR1)
параллельны одной плоскости.
4.79 ∗
. Даны два четырехугольника ABCD , A1B1C1D1 , лежащие
в различных плоскостях, O , O1 — точки пересечения их диагоналей.
Доказать, что если |AO| : |OC| = |A1O1| : |O1C1| и |BO| : |OD| =
= |B1O1| : |O1D1|, то прямые (AA1), (BB1), (CC1), (DD1) параллельны
одной плоскости.
4.80 ∗
. Дан тетраэдр ABCD и точка M . Через эту точку и точки
пересечения медиан граней A1 , B1 , C1 , D1 проведены прямые a1 , b1 ,
c1 , d1 . Доказать, что прямые a2 , b2 , c2 , d2 , проведенные через вершины
A, B , C , D , параллельно прямым a1 , b1 , c1 , d1 , пересекаются в одной
точке.
4.81 ∗
. Даны два треугольника. Доказать, что если медианы одно-
го из них параллельны сторонам другого, то и медианы второго из них
параллельны сторонам первого.
4.82 ∗
. Дан треугольник ABC . Прямая l пересекает прямые BC ,
CA, AB в точках A1 , B1 , C1 соответственно. Доказать, что векторы −→AB +
−−−→ A1B1 ,
−−→BC +
−−−→ B1C1 ,
−→CA +
−−−→ C1A1 коллинеарны.
76 Глава 4. Векторы
4.83. Найти сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью
α (определите в каком отношении плоскость делит ребра параллелепи-
педа), проходящей через вершину A, точку P – середину ребра A1B1 и
точку Q на ребре C1C такую, что |CQ| = |QC1| /3. Определить, в каком
отношении плоскость α делит диагональ параллелепипеда.
4.84. Доказать, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного
угла и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в
одной плоскости.
4.85. Дан трехгранный угол. Доказать, что биссектрисы трех углов,
смежных с его плоскими углами, лежат в одной плоскости.
4.86. Доказать, что три плоскости, каждая из которых проходит через
биссектрису одного из плоских углов трехгранного угла и противолежа-
щее этому плоскому углу ребро, пересекаются по некоторой прямой.
4.87. Дан параллелограмм ABCD . Прямая l пересекает прямые
(AB), (AC), (AD) в точках B1 , C1 , D1 соответственно. Доказать, что
−→AC
−−→AC1
=
−→AB
−−→AB1
+
−−→AD
−−→AD1
.
4.88. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Плоскость π пересекает
прямые (AB), (AD), (AA1), (AC1) в точках B0 , D0 , A0 , C0 соответ-
ственно. Доказать, что
−−→AC1
−−→AC0
=
−→AB
−−→AB0
+
−−→AD
−−→AD0
+
−−→AA1
−−→AA0
.
4.2. Скалярное произведение векторов. Разные задачи 77
4.2. Скалярное произведение векторов. Разные задачи
Группа А
4.89. Длина вектора −→a равна 3, длина вектора
−→b равна 4, а угол
между этими векторами равен 2π/3 . Вычислить (3−→a − 2
−→b )(−→a + 2
−→b ).
4.90. Длина вектора −→a равна 2, длина вектора
−→b равна 3. Известно,
что (
−→a −
−→b )
2 + (2−→a −
−→b )
2 = 56 . Найти угол между векторами −→a и
−→b .
4.91. Длины векторов −→a ,
−→b и
−→c равны 3, 1 и 4 соответственно, а
сумма этих векторов равна
−→0 . Вычислить −→a
−→b +
−→b
−→c +
−→c
−→a .
4.92. Какому условию должны удовлетворять векторы −→a и
−→b , чтобы
выполнялось равенство |
−→a −
−→b | = |
−→a +
−→b | ?
4.93. Доказать, что вектор (
−→a ·
−→b )
−→c − (
−→a ·
−→c )
−→b перпендикулярен
вектору −→a .
4.94. Даны векторы −→a ,
−→b и
−→c , причем −→a и
−→c не перпендику-
лярны. Существует ли такое число k , что векторы −→a и
−→b + k
−→c пер-
пендикулярны?
4.95. Даны три произвольных вектора −→a ,
−→b ,
−→c . Доказать, что
векторы (
−→b ·
−→c )
−→a − (
−→a ·
−→c )
−→b и
−→c перпендикулярны.
4.96. Доказать, что −→AB ·
−−→CD +
−→CA ·
−−→BD +
−−→AD ·
−−→BC = 0 каковы бы
ни были точки A, B , C , D .
4.97. Используя векторы, доказать, что сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
4.98. Используя векторы, доказать, что сумма квадратов диагоналей
параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.
4.99. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC ,
−→AB =
= (6, −2),
−→AC = (3, 4). Найти координаты вектора −−→AH .
4.100. Пусть O — начало координат. Записать уравнение плоскости,
проходящей через точку N(3, 5, 2) и перпендикулярной вектору
−−→ON .
78 Глава 4. Векторы
4.101. Плоскости α и β заданы уравнениями x + 2y − z + 1 = 0 и
2x + 4y − 2z − 7 = 0 соответственно. Записать уравнение плоскости, па-
раллельной обеим заданным плоскостям и находящейся от них на равных
расстояниях.
4.102. Найти координаты точки, симметричной началу координат от-
носительно плоскости, заданной уравнением 3x − 2y + z + 1 = 0 .
4.103. Являются ли точки (2, −5, 3) и (4, −1, 1) симметричными от-
носительно плоскости, заданной уравнением x + 2y − z − 5 = 0 ?
4.104. Найти угол между плоскостями MNK и MND , если M(0, 0, 0),
N(1, 1, 1), K(3, 2, 1), D(3, 1, 2).
4.105. Найти угол между плоскостями ABC и P QR, если A(−1, 0, 0),
B(0, −1, 0), C(0, 0, −1), P(2, 1, 2), Q(0, 1, 4), R(4, 0, 0).
4.106. Найти координаты точки пересечения прямой AB с плос-
костью, задаваемой уравнением 2x + 2y − z + 4 = 0 , если A(2, 1, 1),
B(−3, 4, 0).
4.107. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину 1. Точки E и F
лежат на ребрах BC и C1D1 соответственно, причем |BE| =
1
4
, |F D1| =
=
2
5
. Точка M — центр куба. Найти расстояние от точки A1 до плоскости
EFM .
4.108. Ребро куба KLMNK1L1M1N1 имеет длину 1. Точки A и B
лежат на ребрах KL и MM1 соответственно, причем |KA| =
1
4
, |BM1| =
=
2
5
. Точка O — центр куба, точка P — проекция точки K1 на плоскость
(ABO). Найти |AP|.
4.109. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину 2. Точки L и K —
середины ребер AD и CC1 соответственно. Найти расстояние от точки
A1 до плоскости BLK .
4.110. Найти угол между плоскостями, которые заданы уравнениями
x − y + 3z = 2 и −x − 3y + z = 2 .
4.111. Найти координаты точек пересечения сферы, заданной урав-
нением x
2 + y
2 + z
2 = 25 , и прямой, проходящей через точку (2, 1, 1)
параллельно вектору (2, −4, −1).
4.112. Найти расстояние от плоскости до сферы, если они соответ-
ственно заданы уравнениями 2x + 2y − z + 15 = 0 и x
2 + y
2 + z
2 = 4 .
4.2. Скалярное произведение векторов. Разные задачи 79
4.113. Дан куб ABCDA1B1C1D1 ; точка M — середина ребра [CC1] .
Найти косинус угла между векторами −−→DA1 и
−−→DM .
4.114. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Используя векторы, найти угол
между прямыми DA1 и AB1 .
4.115. Тройка векторов −→e1 ,
−→e2 и
−→e3 имеющих длины 1, 2 и 3 со-
ответственно, образует базис пространства. Известно, что −→\e1 ,
−→e2 = 30◦ \ ,
−→e1 ,
−→e3 =
−→\e2 ,
−→e3 = 60◦
. Найти скалярное произведение векторов −→u =
= 3−→e1 + 2−→e2 и
−→v =
−→e1 +
−→e2 + 2−→e3 .
4.116. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Точка M — середина ребра [CC1] .
Найти: a) угол между прямыми BM и DC1 ; b) расстояние от точки M
до плоскости, проходящей через прямую DC1 параллельно прямой BM ,
если длина ребра куба равна a .
4.117. Используя векторы, найти угол и расстояние между скрещи-
вающимися диагоналями смежных граней куба с ребром 1.
4.118. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1, точка M — центр грани
CC1D1D . Найти расстояние от точки A до прямой BM .
4.119. Найти координаты точки, симметричной точке (0, 1, 0) отно-
сительно прямой, проходящей через точки (1, 0, 0) и (1, 2, 1).
4.120. a) Найти координаты точки, симметричной точке (1, 2, 1) от-
носительно прямой, проходящей через точки (0, 0, 1) и (1, 1, 0). b) Найти
расстояние от точки (1, 2, 1) до этой прямой.
4.121. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину 2. Точки E , F и
G — середины ребер D1C1 , B1C1 и AB соответственно; α = (EF G),
β = (BB1D1). a) Найти расстояние от точки A1 до плоскости α. b) Найти
координаты точки, симметричной точке A1 относительно плоскости α.
c) Найти угол между плоскостями α и β . d) Точка X получена симмет-
ричным отражением точки A1 относительно α, а затем отражением ре-
зультата относительно β ; точка Y получена симметричным отражением
точки A1 относительно β , а затем отражением результата относительно
α. Сравнить |A1X| и |A1Y |.
4.122. В кубе ABCDA1B1C1D1 выбраны точки: K — середина ребра
AA1 , H ∈ [AD] , M — центр грани CC1D1D , (KM)⊥(B1H). В каком
отношении точка H делит отрезок AD ?
80 Глава 4. Векторы
4.123. ABCA1B1C1 — прямая треугольная призма, объем которой ра-
вен 3. Известно, что A(1, 0, 1), B(2, 0, 0), C(0, 1, 0). Найти координаты
точки A1 . Для тех, кто забыл: объем прямой призмы равен произведе-
нию площади ее основания на длину бокового ребра.
4.124. Плоскость, заданная уравнением x + y + z + D = 0 , касается
сферы, заданной уравнением x
2 + y
2 + z
2 = 2x + 2y + 2z . Найти число D
и координаты точки касания.
Группа Б
4.125. Используя векторы, доказать теорему Лейбница: если M —
точка пересечения медиан треугольника ABC , то для любой точки X
выполняется равенство
|XA|
2 + |XB|
2 + |XC|
2 = 3|XM|
2 + |MA|
2 + |MB|
2 + |MC|
2
.
4.126. Найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до вер-
шин данного треугольника минимальна.
4.127. Известно, что O — центр вписанной в треугольник ABC
окружности, H — точка пересечения высот этого треугольника, R —
радиус описанной около него окружности. Доказать, что выполняется ра-
венство |OH|
2 = 9R2 − (|OA|
2 + |OB|
2 + |OC|
2
).
4.128. Точка I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC .
Доказать, что |BC| · −→IA + |CA| · −→IB + |AB| · −→IC =
−→0 .
4.129. Дан треугольник ABC , H – ортоцентр треугольника. Дока-
зать, что
−−→HA ·
−−→HB =
−−→HB ·
−−→HC =
−−→HC ·
−−→HA = k . Выразить k через
стороны треугольника.
4.130. Даны две различные точки A, B . Найти геометрическое место
точек M , для которых
−−→MA ·
−−→MB = k
2
, k ̸= 0 .
4.131. Даны две различные точки A, B . Найти геометрическое место
точек M , для которых |MA| = k · |MB|, k > 0 .
4.132. Дан параллелограмм ABCD . Около треугольника ABC опи-
сана окружность с центром O радиуса R. Доказать, что выполняется
равенство |OD|
2 = R2 + a
2 + c
2 − b
2
.
4.2. Скалярное произведение векторов. Разные задачи 81
4.133. Пусть a , b и c — длины сторон треугольника, а ma и mb —
длины медиан, проведенных к соответствующим сторонам. Доказать, что
эти медианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда a
2 +b
2 = 5c
2
.
4.134. Точка O – центр окружности, описанной около треугольника
ABC . Доказать, что −→OA · sin 2α +
−−→OB · sin 2β +
−→OC · sin 2γ =
−→0 (здесь
α, β, γ — соответственно величины углов A, B и C данного треуголь-
ника).
4.135. В правильном тетраэдре DABC точка M — центр грани
BCD , а точка K — середина ребра AC . Найти угол между прямыми
AM и BK .
4.136. В правильном тетраэдре DABC точка O — центр грани
ABC , а точки N , K и M — середины ребер AB , CD и AD соот-
ветственно. Найти угол между прямыми MO и KN .
4.137. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 с длиной
ребра основания 1; O и O1 — центры треугольников ABC и A1B1C1 со-
ответственно. Известно, что длина ортогональной проекции отрезка AO1
на прямую B1O равна 5
6
. Найти длину бокового ребра призмы.
4.138. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 с длиной
ребра основания 1; O — центр треугольника ABC . a) Известно, что дли-
на проекции отрезка A1O на прямую CB1 равна 1. Найти длину боково-
го ребра призмы. b) Найти расстояние от точки A1 до прямой OM , где
M — центр грани BCC1B1 .
4.139. DABC — правильный тетраэдр с длиной ребра 2, M , N и
K — середины ребер AD , AB и DC соответственно, O — центр тре-
угольника ABC . Найти: a) угол между прямыми MO и KN ; b) рас-
стояние от точки N до плоскости MKB ; c) расстояние между прямыми
BO и KN .
4.140. DABC — правильный тетраэдр, [AK] и [DL] — медианы
граней ADC и DCB соответственно. Найти угол и расстояние между
прямыми AK и DL.
4.141. В основании тетраэдра SABC лежит правильный треуголь-
ник ABC с длиной стороны 2

2 . Боковое ребро AS имеет длину 1 и
перпендикулярно плоскости основания. Точки K и M — середины ребер
82 Глава 4. Векторы
SB и CB соответственно. Найти: a) расстояние от точки A до плоскости
SCB ; b) угол между плоскостями ABS и CBS ; c) угол между прямыми
AK и SM ; d) расстояние между прямыми AK и SM .
4.142. Основанием пирамиды SABC является правильный треуголь-
ник ABC со стороной 4

2 . Ребро SC перпендикулярно плоскости ABC ,
|SC| = 2 , точки E и D — середины ребер BC и AB соответственно.
Найти угол и расстояние между прямыми SE и CD .
4.143. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a . Квадрат A1B1C1D1
является основанием правильной пирамиды SA1B1C1D1 (точка S ле-
жит вне куба), боковое ребро которой также равно a . Найти угол между
прямыми AB и SC1 .
4.144. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину 2, точка P — центр
грани CDD1C1 . a) Найти координаты точки X — ортогональной проек-
ции точки B1 на плоскость DA1C1 . b) Найти расстояние от точки X до
прямой AP .
4.145. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину 2, точка P — центр
грани CDD1C1 , точка K лежит на луче [BB1) так, что |BK| = 4 . Жуки
Вася и Петя таковы, что их размерами можно пренебречь, однако каждый
из них имеет одну лапу длины 1
13 . Вася ползает по прямой AP , а Петя —
по прямой DK .a) Смогут ли Вася и Петя обменяться лапопожатием?
b) Если да, то найти координаты точки, в которой встретятся лапы Васи
и Пети в тот момент, когда расстояние между ними будет наименьшим.
4.146. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 ,
|AD| = 4 , |AB| = 1 , |AA1| = 2 . Плоскость α такова, что она пер-
пендикулярна прямой AC1 и содержит точку B1 . a) В каком отношении
плоскость α делит отрезок AD ? b) Построить сечение параллелепипеда
плоскостью α. c) Найти расстояние от точки C1 до плоскости α. d) По-
строить точку M , симметричную точке C1 относительно α.
4.147. Доказать, что из равенства длин отрезков, соединяющих сере-
дины противоположных ребер тетраэдра, вытекает перпендикулярность
пар противоположных ребер.
4.148. Известно, что в тетраэдре суммы квадратов противополож-
ных ребер попарно равны. Доказать, что противоположные ребра взаим-
но перпендикулярны.
4.2. Скалярное произведение векторов. Разные задачи 83
4.149. Дана четырехугольная пирамида SABCD , основанием кото-
рой является прямоугольник ABCD . Высота пирамиды проходит через
вершину A. Найти величину двугранного угла между плоскостями SBC
и SCD , если |AD| = |SA| = 2a , |AB| = a .
4.150. Дан прямоугольник ABCD , у которого |AD| : |AB| =

3 .
Прямоугольник перегнули по диагонали AC так, что угол между плос-
костями ABC и ADC стал равным 30◦
. Какой угол будет образовывать
прямая AB с плоскостью ADC ?
4.151. Пусть ABCD – равнобедренная трапеция. Ее большее осно-
вание равно a , острый угол равен 60◦
, а меньшее основание равно боко-
вой стороне. Трапецию согнули по диагонали AC так, что угол между
плоскостями ABC и ACD стал равным 45◦
. Найти расстояние между
точками B и D .
4.152. В грани двугранного угла, равного 120◦
, проведена прямая,
образующая угол 60◦
c ребром двугранного угла. Найти угол между этой
прямой и другой гранью.
4.153. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит правильный
треугольник ABC со стороной 1, прямые AC1 и BA1 перпендикулярны.
Найти объем призмы.
4.154. a) Доказать, что сумма квадратов проекций всех ребер единич-
ного куба на произвольную прямую не зависит от выбора этой прямой.
b) Найти эту сумму.
4.155. В единичный куб вписана сфера. a) Доказать, что сумма квад-
ратов расстояний от произвольной точки сферы до всех вершин куба не
зависит от выбора этой точки. b) Найти эту сумму.
4.156. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 , длины
всех ребер которой равны a . Точки M и K выбраны так, что M ∈
∈ [BC1] , K ∈ [CA1] , причем (MK)∥(ABB1A1). a) Найти |MK|, если
|BM| : |BC1| = 1 : 3 . b) Найти минимально возможную длину отрезка
MK .
4.157. Дана пирамида DABC с основанием ABC , грани которой
ABD и ACD — прямоугольные треугольники. Ребро AD перпендику-
лярно медиане AK основания пирамиды. Известно, что |AD| = |AK|,
84 Глава 4. Векторы
точка E — середина отрезка BD , а точка G лежит на отрезке AC так,
что |AG| = 3|GC|. Кроме того, в пространстве взята точка H так, что
EF GH — равнобедренная трапеция с основаниями EF и GH , причем
плоскость EF GH не проходит через середины отрезков AD и BC . Най-
ти отношение площадей трапеции EF GH и треугольника BCD .
4.158. В треугольной пирамиде ABCD все ребра имеют одинаковую
длину. Точка M — середина ребра AD , точка O — центр треугольника
ABC , точка N — середина ребра AB и точка K — середина ребра CD .
Найти угол между прямыми MO и KN .
4.159. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина,
|SA| = 4 ) точка D лежит на ребре SC , |CD| = 3 , а расстояние от точки
A до прямой BD равно 2. Найти объем пирамиды.
4.160. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб
ABCD с острым углом Ab = 60◦
. Все ребра призмы имеют длину a . Точ-
ка K является ортогональной проекцией точки B1 на плоскость (DA1C1),
а точка L — ортогональной проекцией точки K на плоскость (DD1C1C).
Найти объем пирамиды DCLK .
4.161. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны
BC , а точка M — середина стороны CD . Найти |AD|, если |AK| = 6 ,
|AM| = 3 и ∠KAM = 60◦
.
4.162. В правильном тетраэдре ABCD отрезок MN соединяет се-
редину ребра AC с центром грани BDC , а точка E — середина ребра
AB . Найти угол между прямыми MN и DE .
4.163. В основании треугольной призмы лежит равнобедренный пря-
моугольный треугольник ABC , длины катетов AB и AC которого рав-
ны a . Боковые ребра AA′
, BB′
, CC′
образуют с плоскостью основания
углы в 60◦
, а диагональ BC′
боковой грани CBB′C
′ перпендикулярна
ребру AC . Найти объем призмы, если длина диагонали BC′ равна a

6 .
4.164. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 длина сторо-
ны основания равна a , длина бокового ребра равна a/2 . Точка D являет-
ся ортогональной проекцией середины ребра A1C1 на плоскость AB1C ,
а точка E — ортогональной проекцией точки D на плоскость AA1B1B .
Найти объем пирамиды A1B1DE .
4.2. Скалярное произведение векторов. Разные задачи 85
4.165. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD
имеет длину a , боковое ребро — длину 2a . Рассматриваются отрезки с
концами на диагонали BD основания и боковом ребре SC , параллельные
плоскости (SAD). a) Один из этих отрезков проведен через точку M
диагонали BD так, что |DM| : |DB| = 1 : 3 . Найти его длину. b) Найти
наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.
4.166. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный
треугольник ABC со стороной 1, ребро SA пирамиды перпендикулярно
плоскости основания, |SA| =

3 . Плоскость α параллельна прямым
SB и AC , плоскость β параллельна прямым SC и AB . Определить
величину угла между плоскостями α и β .

Группа А
5.1. Найти ГМТ середин отрезков с концами на двух данных парал-
лельных прямых.
5.2. Найти ГМТ, удаленных от данного отрезка AB на расстояние
r > 0 (расстояние от точки X до отрезка AB — это наименьшее из
расстояний от точки X до всех точек отрезка AB ).
5.3. Найти ГМТ, из которых данный отрезок AB виден под углом
60◦
.
5.4. На данной прямой или окружности найти точку, из которой дан-
ный отрезок виден под данным углом.
5.5. Найти ГМТ середин хорд данной окружности, проходящих через
данную точку.
5.6. Найти ГМТ, из которых граница данного квадрата ABCD видна
под углом 45◦
.
5.7. Даны две параллельные прямые a и b и перпендикулярная к ним
прямая c . Найти ГМТ плоскости, равноудаленных от этих трех прямых.
5.8. Найти ГМТ плоскости, равноудаленных от трех данных попарно
пересекающихся прямых.
96 Глава 5. Задачи на построение
5.9. Найти ГМТ плоскости, для которых сумма расстояний от двух
данных параллельных прямых равна данному отрезку.
5.10. Найти ГМТ плоскости, для которых разность расстояний от
двух данных параллельных прямых равна данному отрезку. Рассмотреть
три возможных случая.
5.11. Найти ГМТ, расположенных внутри данного угла ∠AOB , ко-
торые вдвое дальше отстоят от стороны OA, чем от стороны OB .
5.12. Найти геометрическое место центров окружностей данного ра-
диуса, пересекающих данную окружность под прямым углом.
5.13. Две окружности, касающиеся одна другой, касаются данной
прямой в двух данных точках A и B . Найти геометрическое место точек
касания всех пар окружностей, удовлетворяющих этому условию.
5.14. Дан остроугольный треугольник. Найти геометрическое место
центров прямоугольников, вписанных в этот треугольник так, что основа-
ния прямоугольников лежат на основании треугольника, а две вершины —
на боковых сторонах треугольника.
5.15. Дан равносторонний треугольник со стороной a . Найти площадь
ГМТ, удаленных от границы этого треугольника на расстояние не больше,
чем a

3/12 .
5.16. Найти ГМТ, сумма расстояний которых от сторон данного рав-
ностороннего треугольника равна его высоте.
5.17. Дан прямоугольник ABCD . Найти ГМТ X , для которых вы-
полняется равенство AX + BX = CX + DX .
5.18. Два колеса радиусов r1 и r2 катаются по прямой l . Найти
множество точек пересечения M их общих внутренних касательных.
5.19. Даны две точки A и B . Две окружности касаются прямой AB
(одна — в точке A, другая — в точке B ) и касаются друг друга в точке
M . Найти ГМТ M .
5.20. Точка P перемещается по описанной окружности квадрата
ABCD . Прямые AP и BD пересекаются в точке Q, а прямая, прохо-
дящая через точку Q параллельно AC , пересекает прямую BP в точке
X . Найти ГМТ X .
5.2. Геометрические места точек 97
5.21. а) На окружности фиксированы точки A и B , а точки A1 и
B1 движутся по той же окружности так, что величина дуги A1B1 оста-
ется постоянной; M — точка пересечения прямых AA1 и BB1 . Найти
ГМТ M . б) В окружность вписаны треугольники ABC и A1B1C1 , при-
чем треугольник ABC неподвижен, а треугольник A1B1C1 вращается.
Доказать, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке не
более чем при одном положении треугольника A1B1C1 .
5.22. Пусть D и E — середины сторон AB и BC остроугольного
треугольника ABC , а точка M лежит на стороне AC . Доказать, что
если MD < AD , то ME > EC .
5.23. Внутри выпуклого многоугольника взяты точки P и Q. До-
казать, что существует вершина многоугольника, менее удаленная от Q,
чем от P .
5.24. Точки A, B и C таковы, что для любой четвертой точки M
либо MA 6 MB , либо MA 6 MC . Доказать, что точка A лежит на
отрезке BC .
5.25. Дан четырехугольник ABCD , причем AB < BC и AD < DC .
Точка M лежит на диагонали BD . Доказать, что AM < MC .
5.26. Найти ГМТ X , из которых можно провести касательные к дан-
ной дуге AB окружности.
5.27. Пусть O — центр правильного треугольника ABC . Найти ГМТ
M , удовлетворяющих следующему условию: любая прямая, проведенная
через точку M , пересекает либо отрезок AB , либо отрезок CO .
5.28. На плоскости даны два непересекающихся круга. Обязательно
ли найдется точка M , лежащая вне этих кругов, удовлетворяющая та-
кому условию: каждая прямая, проходящая через точку M , пересекает
хотя бы один из этих кругов? Найти ГМТ M , удовлетворяющих такому
условию.
5.29. На сторонах AB и BC треугольника ABC берутся точки D
и E . Найти геометрическое место середин отрезков DE .
5.30. Две окружности касаются данной прямой в двух данных точках
A и B и касаются друг друга. Пусть C и D — точки касания этих
98 Глава 5. Задачи на построение
окружностей с другой внешней касательной. Найти геометрическое место
середин отрезков CD .
5.31. В треугольнике ABC найти точки X и Y (точки Брокара)
так, чтобы углы ∠XAB , ∠XBC и ∠XCA, точно так же, как и углы
∠Y AC , ∠Y CB и ∠Y BA, были равны между собой.
Группа Б
5.32. Пусть O — центр прямоугольника ABCD . Найти ГМТ M , для
которых AM > OM , BM > OM , CM > OM и DM > OM .
5.33. На плоскости даны четыре точки. Найти множество центров
прямоугольников, образуемых четырьмя прямыми, проходящими соот-
ветственно через данные точки.
5.34. Найти ГМТ X , лежащих внутри правильного треугольника
ABC и обладающих тем свойством, что ∠XAB+∠XBC+∠XCA = 90◦
.
5.35. Доказать, что если биссектриса одного из углов треугольника
имеет внутри треугольника общую точку с перпендикуляром, восстав-
ленным из середины противоположной стороны, то треугольник равно-
бедренный.
5.36. Дан треугольник ABC . Найти множество всех точек M этого
треугольника, для которых выполнено условие AM > BM > CM . Когда
полученное множество есть а) пятиугольник; б) треугольник?
5.37. Дан квадрат ABCD . Найти геометрическое место середин сто-
рон квадратов, вписанных в данный квадрат.
5.38. Дан равносторонний треугольник ABC . Найти ГМТ M таких,
что треугольники AMB и BCM равнобедренные.
5.39. Найти геометрическое место середин отрезков длины 2/

3 ,
концы которых лежат на сторонах единичного квадрата.
5.40. На сторонах AB , BC и CA данного треугольника ABC вы-
бираются такие точки P , Q и R, что (P Q)∥(AC) и (P R)∥(BC). Найти
геометрическое место середин отрезков QR.
5.3. Задачи на построение 99
5.41. Дан треугольник ABC . На его сторонах AB , BC и CA вы-
бираются точки C1 , A1 и B1 соответственно. Найти ГМТ пересечения
описанных окружностей треугольников AB1C1 , A1BC1 и A1B1C .
5.42. Дана полуокружность с диаметром AB . Для любой точки X
этой полуокружности на луче XA строится точка Y так, что XY = XB .
Найти ГМТ Y .
5.43. Дана полуокружность с центром O . Из каждой точки X , лежа-
щей на продолжении диаметра полуокружности, проводится касающийся
полуокружности луч и на нем откладывается отрезок XM , равный от-
резку XO . Найти ГМТ M , полученных таким образом.
5.44. Пусть A и B — фиксированные точки плоскости. Найти ГМТ
C , обладающих следующим свойством: высота hb треугольника ABC
равна b .
5.45. Даны окружность и точка P внутри ее. Через каждую точку Q
окружности проведем касательную. Перпендикуляр, опущенный из цен-
тра окружности на прямую P Q, и касательная пересекаются в точке M .
Найти ГМТ M .
5.46. Через середину каждой диагонали выпуклого четырехуголь-
ника проводится прямая, параллельная другой диагонали. Эти прямые
пересекаются в точке O . Доказать, что отрезки, соединяющие точку O
с серединами сторон четырехугольника, делят его площадь на равные
части.

 


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (18.04.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar