Тема №6058 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 4)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 4) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 4), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Группа А
5.47. Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
5.48. Построить трапецию по основаниям и боковым сторонам.
106 Глава 5. Задачи на построение
5.49. Построить трапецию по основаниям и диагоналям.
5.50. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведен-
ной к третьей стороне.
5.51. Построить параллелограмм по данным стороне, углу и диагона-
ли.
5.52. Построить треугольник, зная расстояния от центра вписанной
окружности до концов основания и основание.
5.53. Даны окружность и две точки A и B внутри ее. Вписать в
окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты проходи-
ли через данные точки.
5.54. Продолжения сторон AB и CD прямоугольника ABCD пе-
ресекают некоторую прямую в точках M и N , а продолжения сторон
AD и BC пересекают ту же прямую в точках P и Q. Построить пря-
моугольник ABCD , если даны точки M , N , P , Q и длина a стороны
AB .
В задачах 5.55–5.62 требуется построить треугольник по указан-
ным в условии элементам.
5.55. c, ma и mb
. 5.56. a, b и ha.
5.57. ∠A, hb и hc. 5.58. a, hb и mb
.
5.59. ma, ha и hb
. 5.60. a, b и mc.
5.61. a, ha и R. 5.62. a, mc и ∠A.
5.63. Построить равнобедренный треугольник, если заданы основания
его биссектрис.
5.64. Построить треугольник ABC , зная положение трех точек A1 ,
B1 , C1 , являющихся центрами вневписанных окружностей треугольника
ABC .
5.65. Внутри угла даны две точки A и B . Построить окружность,
проходящую через эти точки и высекающую на сторонах угла равные
отрезки.
5.66. Даны три точки A, B и C . Построить три окружности, попарно
касающиеся в этих точках.
5.3. Задачи на построение 107
5.67. а) На параллельных прямых a и b даны точки A и B . Провести
через данную точку C прямую l , пересекающую прямые a и b в таких
точках A1 и B1 , что AA1 = BB1 . б) Провести через точку C прямую,
равноудаленную от данных точек A и B .
5.68. С помощью циркуля и линейки разделить угол 19◦ на 19 равных
частей.
5.69. Построить прямую, касающуюся двух данных окружностей (ра-
зобрать все возможные случаи).
5.70. Построить треугольник, если известны отрезки, на которые вы-
сота делит основание, и медиана, проведенная к боковой стороне.
5.71. Построить параллелограмм ABCD по вершине A и серединам
сторон BC и CD .
5.72. Построить четырехугольник по двум смежным сторонам, углу
между ними, по данной диагонали, выходящей из вершины данного угла
и углу между диагоналями.
5.73. Построить четырехугольник, зная три стороны и радиус опи-
санной окружности.
5.74. Построить ромб по данным высоте и диагонали.
5.75. Построить ромб так, чтобы две противоположные его вершины
были в двух данных точках, а третья на данной окружности.
5.76. Построить параллелограмм по двум данным сторонам и высоте.
5.77. Найти точку, из которой две данные окружности видны под
данными углами.
Группа Б
5.78. Дан четырехугольник ABCD . Вписать в него параллелограмм
с заданными направлениями сторон.
В задачах 5.79–5.84 требуется построить треугольник по указан-
ным в условии элементам.
5.79. ma, mb и mc. 5.80. ma, hb и hc.
5.81. ma, ha и ∠A. 5.82. ha, p и ∠A.
5.83. a, r и ∠A. 5.84. a, b и ∠A = 3∠B.
108 Глава 5. Задачи на построение
5.85. Построить треугольник ABC , если дана прямая l , на которой
лежит сторона AB , и точки A1 , B1 — основания высот, опущенных на
стороны BC и AC .
5.86. Построить треугольник ABC по основаниям его высот.
5.87. а) Построить треугольник ABC , зная три точки A0 , B0 , C0 , в
которых биссектрисы его углов пересекают описанную окружность (оба
треугольника остроугольные). б) Построить треугольник ABC , зная три
точки A0 , B0 , C0 , в которых высоты треугольника пересекают описан-
ную окружность (оба треугольника остроугольные).
5.88. Построить треугольник ABC , зная три точки A0 , B0 , C0 ,
симметричные центру O описанной окружности этого треугольника от-
носительно сторон BC , CA, AB .
5.89. Построить треугольник ABC , зная три точки A0 , B0 , C0 , сим-
метричные точке пересечения высот треугольника относительно сторон
BC , CA, AB (оба треугольника остроугольные).
5.90. Построить треугольник ABC , зная три точки P , Q, R, в
которых высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины C ,
пересекают описанную окружность.
5.91. Построить треугольник ABC по центру описанной окружности
O , точке пересечения медиан M и основанию H высоты CH .
5.92. Построить треугольник ABC по центрам вписанной, описанной
и одной из вневписанных окружностей.
5.93. Построить точки X и Y на сторонах AB и BC треугольника
ABC так, что AX = BY и (XY )∥(AC).
5.94. Вписать в данный треугольник ABC прямоугольник P QRS
(вершины R и Q лежат на сторонах AB и BC , P и S — на стороне
AC ) так, чтобы его диагональ имела данную длину.
5.95. Провести через данную точку M прямую так, чтобы она отсека-
ла от данного угла с вершиной A треугольник ABC данного периметра
2p .
5.96. Построить квадрат, три вершины которого лежат на трех дан-
ных параллельных прямых.
5.3. Задачи на построение 109
5.97. Построить ромб, две стороны которого лежат на двух данных
параллельных прямых, а две другие проходят через две данные точки.
5.98. Построить четырехугольник ABCD по четырем сторонам и
углу между (AB) и (CD).
5.99. Через вершину A выпуклого четырехугольника ABCD прове-
сти прямую, делящую его на две равновеликие части.
5.100. Даны середины трех равных сторон выпуклого четырехуголь-
ника. Построить этот четырехугольник.
5.101. Даны три вершины вписанного и описанного четырехугольни-
ка. Построить его четвертую вершину.
5.102. Построить выпуклый четырехугольник, если даны длины всех
его сторон и одной средней линии.
5.103. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые
две из них провести окружность так, чтобы построенные окружности бы-
ли взаимно ортогональны.
5.104. а) Даны две точки A, B и прямая l . Построить окружность,
проходящую через точки A, B и касающуюся прямой l . б) Даны две точ-
ки A и B и окружность S . Построить окружность, проходящую через
точки A и B и касающуюся окружности S .
5.105. Построить окружность, равноудаленную от четырех данных
точек.
5.106. Доказать, что угол величиной n

, где n — целое число, не
делящееся на 3, можно разделить на n равных частей с помощью циркуля
и линейки.
5.107. Построить трапецию, боковые стороны которой лежат на дан-
ных прямых, диагонали пересекаются в данной точке, а одно из оснований
имеет данную длину.
5.108. Даны две окружности. Повести прямую так, чтобы она ка-
салась одной окружности, а вторая окружность высекала на ней хорду
данной длины.
5.109. Даны две концентрические окружности и еще окружность.
Провести окружность, касательную ко всем трем окружностям.
110 Глава 5. Задачи на построение
5.110. Провести через вершину C треугольника ABC прямую l так,
чтобы площади треугольников AA1C и BB1C , где A1 и B1 — проекции
точек A и B на прямую l , были равны.
5.111. Построить треугольник ABC по сторонам AB и AC , зная,
что биссектриса AD , медиана BM и высота CH пересекаются в одной
точке.
5.112. Даны точки A1 , B1 и C1 , делящие стороны BC , CA и AB
треугольника ABC в отношении 1 : 2 . Восстановить по ним треугольник
ABC .
5.113. В данной окружности провести хорду, которая была бы видна
из данных трех точек под равными углами.
5.114. Трапецию разделить на 5 равновеликих частей прямыми, па-
раллельными данной прямой, которая пересекается с основаниями трапе-
ции.

5.140. Построить корни уравнения x
2 ± ax + b
2 = 0 , полагая a > b .
5.141. Построить корни уравнения x
2 ± ax − b
2 = 0 .
5.142. Построить корни уравнения x
4 − 4c
2x
2 − c
4 = 0 .
5.143. Построить корни уравнения x
4 − 2adx2 + 2a
2d
2 = 0 .
5.144. Построить угол величины x , если a sin2 x + 2a sin x − b = 0 .
5.145. Построить угол величины x , если b cos2 x − 2a cos x + b = 0 .
5.146. Построить угол величины x , если a tg2 x − 2b tg x + a = 0 .
5.147. Вписать в данную окружность треугольник, зная середины дуг,
стягиваемых сторонами.
5.148. Провести окружность через две точки A и B так, чтобы ка-
сательная к ней из точки C равнялась данной длине a .
5.149. На горизонтальном отрезке AB вправо от точки B найти
точку M , для которой выполнено равенство BM2 = AM · AB .
5.150. Разделить пополам периметр и площадь данного треугольника
ABC отрезком XY , лежащим внутри угла B .
5.151. Построить три отрезка или три угла, зная их сумму s и раз-
ности a и b между большим и каждым из двух меньших.
5.152. Построить два отрезка, зная их произведение k
2 и отношение
2 : 3 .
5.153. Построить прямоугольный треугольник по данной сумме (или
разности) его катетов s и высоте h, опущенной из прямого угла.
5.154. Данный отрезок разделить на две части так, чтобы одна из них
была средней пропорциональной между другой частью и другим данным
отрезком.
5.155. Через вершину A данного квадрата ABCD провести прямую
так, чтобы ее отрезок между CD и продолжением BC был данной дли-
ны.
5.156. Через точки A и B провести окружность, отсекающую от
данной прямой хорду данной длины.
5.157. В данную окружность вписать многоугольник, зная середины
дуг, стягивающих его стороны.
120 Глава 5. Задачи на построение
5.158. На диаметре AB данной окружности выбрана точка C . Па-
раллельно (AB) провести хорду XY так, чтобы ∠XCY был прямым.
5.159. В данную окружность вписать равнобедренный треугольник,
зная медиану, выходящую из конца основания.
5.160. Начертить r , зная S и 2p .
5.161. Начертить R, зная ha и bc .
В задачах 5.162–5.165 требуется построить треугольник, зная:
5.162. R, ha и b + c. 5.163. R, S = k
2 и ac = m2
.
5.164. R, ha и b : c. 5.165. b, hb
, если известно, что a = ha.
5.166. Построить радикальную ось к двум окружностям, центры ко-
торых находятся в точках с координатами (0, 0) и (5, 5), а радиусы со-
ответственно равны 1 и 2.
5.167. На данной окружности найти точку, касательные из которой
к двум другим окружностям равны между собой.
5.168. Через точку A провести окружность, делящую две данные
окружности пополам.
5.169. Через точку A провести окружность, пересекающую две дан-
ные окружности под прямыми углами.
5.170. Провести окружность, пересекающую три данные окружности
под прямыми углами.
5.171. Провести окружность, делящую пополам три данные окруж-
ности.
5.172. Провести прямую, делящую пополам касательную к данным
окружностям, не проводя самой касательной.
5.173. Описать окружность, встречающую две данные окружности
под прямыми углами так, чтобы касательная к ней из данной точки имела
данную длину.
5.174. Через данную точку M радиусом R провести окружность,
пересекающую данную окружность по хорде данной длины.
5.175. Данным радиусом провести окружность, касающуюся одной
данной окружности и делящую пополам другую данную окружность.
5.4. Алгебраический подход 121
5.176. В данной окружности провести хорду данной длины так, чтобы
отношение расстояний от ее концов до данной точки A было данное.
5.177. Даны две концентрические окружности. Через данную точку
провести окружность, встречающую данные окружности по хордам дан-
ной величины.
5.178. На координатной плоскости даны точки A(0, 0) и B(0, 3). По-
строить ГМТ X , для которых XA : XB = 2 .
5.179. Построить треугольник ABC по сторонам a , b и биссектрисе
lc
.
Группа Б
5.180. На стороне AB треугольника ABC дана точка P . Провести
через точку P прямую (отличную от AB ), пересекающую лучи CA и
CB в таких точках M и N , что AM = BN .
5.181. Известны отрезки длины a , m, n и k . Построить корни си-
стемы уравнений: x
2 + y
2 = k
2 и (x − a) : y = m : n.
5.182. Построить отрезок, длина которого равна расстоянию между
центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC , зная
R и r .
5.183. На бильярде, имеющем форму круга, лежит шар в точке A.
Требуется ударить его так, чтобы он прошел через прежнее свое место,
отразившись от стенок два, три, четыре . . . раза.
5.184. Из точке A провести к данной окружности секущую так, чтобы
она разделилась окружностью на части, разность которых равна данному
отрезку.
5.185. В данную окружность вписать пять равных квадратов; у пер-
вого центр общий с окружностью, а две вершины каждого из остальных
квадратов лежат на окружности и две совпадают с вершинами первого
квадрата.
5.186. В данный равнобедренный треугольник ABC вписать тре-
угольник DEF так, чтобы (DE)∥(AC) и площадь △DEF составила
пятую часть площади △ABC .
122 Глава 5. Задачи на построение
5.187. Внутри треугольника ABC дана точка M . Провести через
нее прямую, которая делит площадь данного треугольника пополам.
5.188. Через данную точку P провести окружность, касательную к
сторонам данного угла.
5.189. Из высот данного равностороннего треугольника ABC состав-
лен △A1B1C1 , из высот которого составлен △A2B2C2 и т.д. до бесконеч-
ности. Начертить равносторонний треугольник, равновеликий сумме всех
полученных треугольников, считая в том числе △ABC .
5.190. Даны две внешне касающиеся окружности и касательная к ним
окружность, так что все три центра лежат на одной прямой. Провести
окружность, касательную ко всем трем окружностям (ее центр должен
быть вне линии центров данных окружностей).
5.191. Построить треугольник, зная a , ma и b ± c .
5.192. Построить окружность, касательные к которой, проведенные
из трех данных точек A, B и C , имели бы длины a , b и c соответ-
ственно.
5.193. Построить окружность, проходящую через данную точку и
касающуюся данной прямой и данной окружности.
5.194. Даны три луча с общим началом и точка M . Провести через
M прямую, пересекающую лучи в точках A, B и C так, что AM = BC .
5.195. Построить треугольник по a , ha и b/c .
5.196. Построить треугольник ABC , если известны длина биссек-
трисы CD и длины отрезков AD и BD , на которые она делит сторону
AB .
5.197. На прямой даны четыре точки A, B , C , D в указанном
порядке. Построить точку M , из которой отрезки AB , BC , CD видны
под равными углами.
5.198. На плоскости даны два отрезка AB и A0B0 . Построить точку
O так, чтобы треугольники AOB и A0OB . были подобны (одинаковые
буквы обозначают соответственные вершины подобных треугольников).
5.199. Точки A и B лежат на диаметре данной окружности. Прове-
сти через них две равные хорды с общим концом.
5.5. Построения одной линейкой 123
5.200. Прямая CB касается данной окружности в точке B ; на этой
прямой найти точку, соединив которую с концом A диаметра AB , полу-
чим секущую, внешний отрезок которой равен данной длине.
5.201. В данный сектор вписать прямоугольник данной площади.
5.202. В данный сектор вписать прямоугольник, имеющий данную
диагональ.

Группа А
5.203. Даны две параллельные прямые и на одной из них — отрезок
AB . а) Увеличить отрезок AB в три раза используя только линейку.
б) Уменьшить отрезок AB в три раза используя только линейку.
5.204. В треугольнике проведена средняя линия. Найти середину ос-
нования этого треугольника, пользуясь только односторонней линейкой.
5.205. На плоскости нарисована окружность ω и в ней проведен диа-
метр AB . Для любой точки C , не лежащей на прямой AB , только с
помощью линейки провести перпендикуляр из точки C к прямой AB .
5.206. К двум пересекающимся окружностям проведена общая каса-
тельная. Разделить ее пополам с помощью одной линейки.
5.207. Дан параллелограмм ABCD через его центр провести прямую,
параллельную одной из его сторон.
5.5. Построения одной линейкой 127
В задачах 5.208–5.215 требуется выполнить построения с помощью
линейки с двумя параллельными краями (т.е. с помощью двусторонней
линейки).
5.208. а) Построить биссектрису данного угла AOB . б) Дан острый
угол AOB . Построить угол BOC , биссектрисой которого является луч
OA.
5.209. Восстановить перпендикуляр к данной прямой l в данной точке
A.
5.210. а) Через данную точку провести прямую, параллельную данной
прямой. б) Построить середину данного отрезка.
5.211. Даны угол AOB , прямая l и точка P на ней. Провести через
точку P прямые, образующие с прямой l угол, равный углу AOB .
5.212. Даны отрезок AB , непараллельная ему прямая l и точка M
на ней. Построить точки пересечения прямой l с окружностью радиуса
AB с центром M .
5.213. Даны прямая l и отрезок OA, параллельный l . Построить
точки пересечения прямой l с окружностью радиуса OA с центром O .
5.214. На данной прямой DE от данной точки D отложить отрезок,
равный данному отрезку AB .
5.215. Даны отрезки O1A1 и O2A2 . Построить радикальную ось
окружностей радиуса O1A1 и O2A2 с центрами O1 и O2 соответственно.
Группа Б
5.216. Дан параллелограмм ABCD . Через данную точку P провести
прямую, параллельную данной прямой l .
5.217. При помощи одной линейки заданный отрезок разделить на
три равные части, если указана середина отрезка.
5.218. На плоскости изображены две пересекающиеся окружности.
При помощи одной линейки построить центр каждой из них.
128 Глава 5. Задачи на построение
В задачах 5.219–5.222 предполагается, что на плоскости дана какая-
нибудь окружность ω и отмечен ее центр O .
5.219. От данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный
данному отрезку.
5.220. Построить отрезок длиной ab/c , где a , b , c — длины данных
отрезков.
5.221. Построить точки пересечения данной прямой l с окружностью,
центр которой — данная точка A, а радиус равен длине данного отрезка.
5.222. Построить точки пересечения двух окружностей, центры ко-
торых — данные точки, а радиусы — данные отрезки.
5.223. Даны пять точек некоторой окружности. С помощью одной
линейки построить шестую точку этой окружности.

Группа А
5.224. а) Увеличить данный отрезок в три раза, используя только
циркуль. б) Разделить данный отрезок на три равные части, используя
только циркуль.
5.225. Построить середину отрезка с данными концами, используя
только циркуль.
5.226. Только с помощью циркуля построить окружность, в которую
переходит данная прямая AB при инверсии относительно данной окруж-
ности с данным центром O .
5.227. В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окруж-
ностей. Найти множество их точек касания.
5.228. Найти множество точек касания пар окружностей, касающихся
сторон данного угла в данных точках A и B .
5.229. Доказать, что инверсия с центром в вершине A равнобедренно-
го треугольника ABC (AB = AC ) и степенью AB2 переводит основание
BC треугольника в дугу BC описанной окружности.
Группа Б
5.6. Построения одним циркулем. Инверсия 137
5.230. Доказать, что две непересекающиеся окружности ω1 и ω2 мож-
но при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
5.231. Доказать, что непересекающиеся окружность ω и прямую l
можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окруж-
ностей.
5.232. Через точку A проведена прямая l , пересекающая окружность
S с центром O в точках M и N и не проходящая через O . Пусть M′
и N′ — точки, симметричные M и N относительно OA, а A′ — точка
пересечения прямых MN′ и M′N . Доказать, что A′
совпадает с образом
точки A при инверсии относительно S (и, следовательно, не зависит от
выбора прямой l).
5.233. Используя только циркуль, найти центр окружности, описан-
ной около данного треугольника ABC .
5.234. Провести через данную точку окружность, перпендикулярную
двум данным окружностям.
5.235. Построить окружность, касающуюся данной окружности ω и
перпендикулярную двум данным окружностям ω1 и ω2 .
5.236. Провести через данные точки A и B окружность, пересекаю-
щую данную окружность ω под данным углом α.
5.237. В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся
окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится
прямая. Доказать, что все эти прямые проходят через одну точку.
5.238. Никакие три из четырех точек A, B , C , D не лежат на од-
ной прямой. Доказать, что угол между описанными окружностями тре-
угольников ABC и ABD равен углу между описанными окружностями
треугольников ACD и BCD .
5.239. Через точки A и B проведены окружности S1 и S2 , касаю-
щиеся окружности S , и окружность S3 , перпендикулярная S . Доказать,
что S3 образует равные углы с окружностями S1 и S2 .
5.240. Две окружности, пересекающиеся в точке A, касаются окруж-
ности (или прямой) S1 в точках B1 и C1 , а окружности (или прямой)
S2 в точках B2 и C2 (причем касание в B2 и C2 такое же, как в B1 и
138 Глава 5. Задачи на построение
C1 ). Доказать, что окружности, описанные вокруг треугольников AB1C1
и AB2C2 , касаются друг друга.
5.241. Доказать, что окружность, проходящая через середины сторон
треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей
(теорема Фейербаха).
5.242. Окружности S1 , S2, . . . , Sn касаются двух окружностей R1
и R2 и, кроме того, S1 касается S2 в точке A1 , S2 касается S3 в точке
A2 , . . . , Sn−1 касается Sn в точке An−1 . Доказать, что точки A1 , A2 ,
. . . , An−1 лежат на одной окружности.
5.243. Доказать, что если существует цепочка окружностей S1 , S2 ,
. . . , Sn , каждая из которых касается двух соседних (Sn касается Sn−1
и S1 ) и двух данных непересекающихся окружностей R1 и R2 , то таких
цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T1 , каса-
ющейся R1 и R2 (одинаковым образом, если R1 и R2 не лежат одна в
другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существу-
ет аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T1 , T2, . . . , Tn
(поризм Штейнера).
5.244. Доказать, что при инверсии относительно описанной окруж-
ности изодинамические центры треугольника переходят друг в друга.
(Напомним определение изодинамических центров. Пусть AD и AE —
биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и Sa —
окружность с диаметром DE , окружности Sb и Sc определяются ана-
логично. Эти три окружности имеют две общие точки M и N , причем
прямая MN проходит через центр описанной около треугольника ABC
окружности. Точки M и N называются изодинамическими центрами
треугольника ABC .)

 

 

 


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (18.04.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar