Тема №6059 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 5)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 5) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 5), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

6.1. Движения пространства
Группа А
6.1. Доказать, что любое движение пространства a) сохраняет отно-
шение лежать между; b) переводит отрезок в отрезок; c) отображает вы-
пуклую фигуру на выпуклую фигуру; d) отображает прямую на прямую;
e) сферу отображает на сферу.
6.2. Доказать, что если прямые a и b параллельны, то и образы их
при любом движении пространства также будут параллельными прямы-
ми.
6.3. Доказать, что при любом движении пространства плоскость отоб-
ражается на плоскость, а пара параллельных плоскостей отображаются
в пару параллельных плоскостей.
6.4. Доказать, что множество всех параллельных переносов простран-
ства с операцией композиция является абелевой группой.
6.5. Пусть f — движение пространства. Доказать, что f — парал-
лельный перенос, тогда и только тогда, когда для произвольной прямой
a выполнено f(a)∥a .
6.6. Доказать, что для произвольного движения f и произвольной
пары векторов −→u и
−→v справедливо равенство f(
−→u +
−→v ) = f(
−→u )+f(
−→v ).
6.7. Доказать, что для произвольных движения f , вектора −→u и числа
λ выполняется f(λ
−→u ) = λf(
−→u ).
140 Глава 6. Преобразования пространства
6.8. Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой a . Доказать,
что для любой плоскости α1 , проходящей через прямую a , найдется пара
плоскостей β1 и β2 , также проходящих через a и для которых справед-
ливы равенства
Sβ ◦ Sα = Sβ1
◦ Sα1 = Sα1
◦ Sβ1
.
6.9. Может ли движение пространства иметь ровно две неподвижные
точки? Описать все движения, имеющие по крайней мере две неподвиж-
ные точки.
6.10. Пусть Sα — зеркальная симметрия относительно плоскости α,
A /∈ α и A′ = Sα(A). Доказать, что прямая и плоскости, проходящие
одновременно через A и A′ инвариантны, т.е. отображаются сами на
себя; эти прямая и плоскости перпендикулярны плоскости α.
6.11. Найти все движения, множество неподвижных точек которых
содержит некоторую окружность ω .
6.12. Известно, что −→AB⊥α. Доказать, что T−−→AB ◦ Sα и Sα ◦ T−−→AB явля-
ются зеркальными симметриями относительно плоскостей β и γ . Найти
β и γ .
6.13. Известно, что −→AB⊥α. Найти такой вектор −−→CD , что T−−→AB ◦Sα =
Sα ◦ T−−→CD .
6.14. Говорят, что движение f меняет направление на противополож-
ное, если для любого вектора −→u выполняется f(
−→u ) = −
−→u . Описать все
движения, которые меняют направление на противоположное.
6.15. Движение пространства имеет три неподвижные точки, не ле-
жащие на одной прямой. Доказать, что плоскость, проходящая через эти
точки, является неподвижной. Верно ли, что указанная плоскость будет
плоскостью неподвижных точек?
6.16. Даны плоскость α и не принадлежащие ей точки A и B . Най-
ти на плоскости α такую точку M , чтобы сумма |MA| + |MB| была
наименьшей.
6.17. Даны плоскость α и не принадлежащие ей точки A и B . Най-
ти на плоскости α такую точку N , чтобы число ||MA| − |MB|| было
наибольшим.
6.1. Движения пространства 141
6.18. Через данную точку P провести прямую, перпендикулярную
двум скрещивающимся прямым a и b .
6.19. Найти геометрическое место центров симметрии двух парал-
лельных плоскостей.
6.20. Отрезок постоянной длины “скользит” своими концами по двум
взаимно перпендикулярным скрещивающимся прямым. Какую линию при
этом описывает середина отрезка?
6.21. Пусть ZO — симметрия с центром O . Доказать, что ZO(l)∥l и
ZO(α)∥α.
6.22. Доказать, что композиция трех зеркальных симметрий отно-
сительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей есть центральная
симметрия. Как найти ее центр? Как, обратно, представить центральную
симметрию в виде композиции трех симметрий относительно плоскостей?
6.23. Даны прямая l и не принадлежащие ей точки A и B . Найти на
прямой l такую точку M , чтобы сумма |MA|+|MB| была наименьшей.
6.24. Даны два конгруэнтных треугольника AOB и A′OB′
, не ле-
жащих в одной плоскости. Доказать, что существует поворот, отобража-
ющий один треугольник на другой.
6.25. Даны биссектрисы трех плоских углов трехгранного угла. Вос-
становить по ним трехгранный угол.
6.26. Внутри двугранного угла дана точка. Провести через эту точку
прямую, перпендикулярную к ребру, и притом так, чтобы отрезок этой
прямой между сторонами угла делился данной точкой пополам.
6.27. Дан произвольный тетраэдр. Доказать, что отрезки, соединя-
ющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке и
делятся этой точкой пополам.
6.28. Найти поворот, переводящий отрезок в конгруэнтный отрезок.
6.29. Найти поворот, переводящий угол в конгруэнтный угол.
6.30. Доказать, что существует бесконечно много поворотов, перево-
дящих одну прямую в другую.
6.31. На данной прямой найти точку так, чтобы сумма ее расстояний
до двух данных прямых была наименьшей.
142 Глава 6. Преобразования пространства
6.32. Даны две прямые. Найти осевые симметрии, переводящие одну
прямую в другую.
6.33. Доказать, что если Sp(m) = n и Sq(n) = m, то прямые p и q
пересекаются.
6.34. a) Доказать, что композиция двух осевых симметрий с парал-
лельными осями является параллельным переносом пространства. Как
определить длину и направление этого переноса (вектора)? b) Доказать,
что любой параллельный перенос пространства можно представить как
композицию двух осевых симметрий. Как построить оси таких симмет-
рий?
6.35. Найти все движения, при которых данная прямая является непо-
движной.
6.36. Найти все движения, при которых данная плоскость является
неподвижной.
6.37. Найти неподвижные плоскости винтового движения.
6.38. Доказать, что винтовое движение является композицией двух
осевых симметрий со скрещивающимися осями.
6.39. Доказать, что композиция двух поворотов со скрещивающимися
осями не может быть поворотом.
6.40. В пространстве даны две перпендикулярные прямые a и b (не
обязательно пересекающиеся). Чему равна композиция Sb ◦ Sa ?
6.41. Даны две скрещивающиеся прямые a и a

. На первой из них
дана точка A, на второй — точка A′
. Найти поворот пространства от-
носительно оси, отображающий a на a
′ и A на A′
(построить ось этого
поворота).
6.42. Даны скрещивающиеся прямые a и b , образующие с некото-
рой прямой l равные углы. Доказать, что существует поворот с осью l ,
отображающий прямую a на прямую a

, параллельную b .
6.43. Описать все движения, представимые в виде композиции трех
зеркальных симметрий.
6.44. Доказать, что если движение представлено в виде композиции
пяти зеркальных симметрий, то его можно представить и в виде компо-
зиции трех зеркальных симметрий.
6.1. Движения пространства 143
6.45. Показать, что тождественное преобразование не может быть
представлено в виде композиции нечетного числа зеркальных симметрий.
6.46. Доказать, что если движение представлено в виде композиции
четного (нечетного) числа зеркальных симметрий, то его нельзя предста-
вить в виде композиции нечетного (соответственно, четного) числа зер-
кальных симметрий.
6.47. Движение называется сохраняющим (меняющим) ориентацию,
если оно может быть представлено в виде композиции четного (соответ-
ственно, нечетного) числа зеркальных симметрий. Описать все движения,
которые a) сохраняют ориентацию; b) меняют ориентацию.
6.48. Пусть f — скользящая симметрия. Доказать, что для любого
вектора −→v движения f ◦ T−→v и T−→v ◦ f также являются скользящими
симметриями.
6.49. Пусть f — винтовой поворот. Доказать, что для любого вектора
−→v движения f ◦ T−→v и T−→v ◦ f также являются винтовыми поворотами.
6.50. Пусть f — зеркальный поворот. Доказать, что для любого век-
тора −→v движения f ◦ T−→v и T−→v ◦ f также являются зеркальными пово-
ротами.
Группа Б
6.51. Через середину каждого ребра тетраэдра проведена плоскость,
перпендикулярная противоположному ребру. Доказать, что все шесть та-
ких плоскостей пересекаются в одной точке (точка Монжа).
6.52. Доказать, что если точка Монжа лежит в какой либо грани
тетраэдра, то основание высоты, опущенной на эту грань, лежит на опи-
санной окружности.
6.53. Даны три правильных конгруэнтных пятиугольника: OAMNB ,
OBP QC , OCRSA. Доказать, что прямые ON , OQ, OS взаимно пер-
пендикулярны.
6.54. Дан произвольный тетраэдр и точка N . Через каждое ребро
тетраэдра проведена плоскость, параллельная отрезку, соединяющему N
144 Глава 6. Преобразования пространства
с серединой противоположного ребра. Доказать, что все шесть плоскостей
пересекаются в одной точке.
6.55. Если некоторая фигура имеет две пересекающиеся перпендику-
лярные оси симметрии, то она имеет еще одну ось симметрии. Доказать.
6.56. Ограниченная фигура имеет центр симметрии и плоскость сим-
метрии. Доказать, что центр симметрии лежит в плоскости симметрии.
6.57. Ограниченная фигура имеет несколько плоскостей симметрии.
Доказать, что все они проходят через одну точку.
6.58. Ограниченная фигура имеет несколько осей симметрии. Дока-
зать, что все оси симметрии проходят через одну точку.
6.59. Плоскости α, β , γ и δ содержат все грани некоторого тетра-
эдра ABCD . Каким движением является композиция Sδ ◦ Sγ ◦ Sβ ◦ Sα ?
6.2. Гомотетия. Преобразования подобия
Группа А
6.60. Даны две произвольные сферы. Существует ли гомотетия, отоб-
ражающая одну из этих сфер на другую? Если да, то сколько таких го-
мотетий?
6.61. Доказать, что центроиды граней тетраэдра являются верши-
нами тетраэдра, гомотетичного данному. Указать центр и коэффициент
гомотетии.
6.62. Для каждой вершины тетраэдра строится точка, симметрич-
ная ей относительно центроида противоположной грани. Доказать, что
построенные точки являются вершинами тетраэдра, гомотетичного дан-
ному. Указать центр и коэффициент гомотетии.
6.63. Построить куб по данной его диагонали.
6.64. Построить куб по данной величине разности между длинами его
диагонали и стороны.
6.65. Доказать, что два подобных, но неравных треугольника можно
перевести друг в друга композицией гомотетии и поворота вокруг оси.
6.2. Гомотетия. Преобразования подобия 145
6.66. Доказать, что преобразование подобия с коэффициентом k ̸= 1 ,
переводящее каждую плоскость в себя или в параллельную ей плоскость,
является гомотетией.
6.67. Даны четыре точки A1 , A2 , A3 и A4 , не расположенные в
одной плоскости. Доказать, что если для двух подобий f и g выполняется
f(Ai) = g(Ai) при всех i ∈ {1, 2, 3, 4} , то f = g (т.е. для любой точки A
пространства f(A) = g(A)).
Группа Б
6.68. В данную правильную четырехугольную пирамиду вписать куб
так, чтобы четыре вершины одной из его граней лежали на четырех бо-
ковых ребрах пирамиды.
6.69. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих
точку вне сферы с точками этой сферы.
6.70. Даны четыре отрезка [A1B1] , [A2B2] , [A3B3] , [A3B3] , из ко-
торых никакие три не лежат в одной плоскости, причем все они парал-
лельны друг другу и в то же время попарно не равны. Как располо-
жены центры шести гомотетий, отображающих Ai на Ak и Bi на Bk
(i, k = 1, 2, 3, 4) ?
6.71. В плоскости боковой грани правильной чтырехугольной пира-
миды взята вигура Φ. Пусть Φ1 - проекция Φ на плоскость основания
пирамиды, а Φ2 - проекция Φ на плоскость смежной боковой грани. До-
казать, что фигуры Φ1 и Φ2 подобны.

Группа А
7.1. Через данную точку провести прямую, пересекающую две данные
скрещивающиеся прямые.
7.2. Провести прямую, пересекающую три данные попарно скрещи-
вающиеся прямые. Сколько существует таких прямых ?
7.3. Дана плоскость π и вне ее три неколлинеарные точки A, B ,
C . Найти: a) такую точку M , что прямые MA, MB , MC пересекают
плоскость π в вершинах треугольника, гомотетичного некоторому дан-
ному треугольнику; b) такую точку M , что прямые MA, MB , MC
пересекают плоскость π в вершинах треугольника, конгруэнтного неко-
торому данному треугольнику.
7.4. Провести прямую, параллельную данной прямой и пересекающую
две данные прямые.
7.1. Прямые и плоскости. Двугранные и многогранные углы 147
7.5. Доказать, что три параллельные между собой плоскости отсекают
на двух пересекающих их прямых пропорциональные отрезки.
7.6. Пусть даны две тройки коллинеарных точек A, B , C и A1 , B1 ,
C1 , причем |AB| : |BC| = |A1B1| : |B1C1|. Доказать, что прямые AA1 ,
BB1 , CC1 лежат в параллельных плоскостях.
7.7. Два плоских зеркала служат гранями двугранного угла. Луч све-
та, перпендикулярный ребру угла и параллельный первому зеркалу, отра-
жается пять раз от граней угла и возвращается обратно по той же прямой.
Какова величина двугранного угла?
7.8. Даны три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные
одной плоскости, и не принадлежащая ни одной из них точка P . Провести
через P плоскость так, чтобы она образовывала с данными прямыми
равные углы.
7.9. Из точки O на ребре двугранного угла в одной из его граней
проведен луч. Провести из той же точки в другой грани луч, перпенди-
кулярный первому лучу.
7.10. На двух гранях двугранного угла даны точки A и B . Найти на
ребре такую точку M , чтобы угол AMB был прямым.
7.11. Даны двугранный угол и прямая l , которая пересекает его реб-
ро. Провести через эту прямую плоскость, которая пересекается с гранями
двугранного угла по двум прямым так, чтобы прямая l была биссектри-
сой плоского угла, получающегося в сечении.
7.12. Пусть ABCD — пространственный четырехугольник. Доказать,
что ABC [ + BCD \+ CDA \+ DAB < \ 360◦
.
7.13. Найти геометрическое множество точек пространства, одинако-
во удаленных от двух данных пересекающихся прямых. То же для двух
параллельных прямых.
7.14. Найти геометрическое множество точек пространства, равно-
удаленных от вершин данного треугольника.
7.15. Найти множество всех точек, равноудаленных от трех прямых,
содержащих ребра данного трехгранного угла и расположенных внутри
угла.
148 Глава 7. Стереометрия
7.16. Найти множество всех точек, равноудаленных от плоскостей
всех трех граней данного трехгранного угла.
7.17. Семейство параллельных плоскостей, пересекая все грани трех-
гранного угла, образует семейство треугольников. а) Найти множество
центроидов (центроид, или центр масс треугольника, суть точка пере-
сечения медиан треугольника) этих треугольников. б) Найти множество
ортоцентров этих треугольников.
7.18. Доказать: если в трехгранном угле два плоских угла равны, то
равны и противолежащие им двугранные углы. Справедливо ли обратное
утверждение?
7.19. Трехгранный угол называется ортогональным, если все его
плоские углы прямые. Доказать: а) три точки, лежащие на ребрах ор-
тогонального трехгранного угла и не совпадающие с его вершиной O ,
являются вершинами остроугольного треугольника; б) проекция верши-
ны O на плоскость этого треугольника совпадает с его ортоцентром.
7.20. Доказать, что если луч образует конгруэнтные углы с тремя
лучами, лежащими в одной плоскости, то он перпендикулярен этой плос-
кости.
7.21. Доказать, что геометрическое место точек, разность квадратов
расстояний до двух данных точек есть постоянная, есть плоскость.
7.22. В данной плоскости через данную на ней точку провести пря-
мую, образующую с данной прямой данный угол.
7.23. В данной плоскости через данную на ней точку провести пря-
мую, образующую с другой данной плоскостью данный угол.
7.24. Через данную прямую провести плоскость, образующую данный
угол с данной плоскостью.
7.25. Доказать, что прямая, одинаково наклоненная к обеим граням
двугранного угла, пересекает эти грани в точках, одинаково удаленных
от ребра. Сформулировать и доказать обратное утверждение.
7.26. Найти геометрическое место прямых, проходящих через данную
точку и образующих равные углы с двумя данными плоскостями.
7.1. Прямые и плоскости. Двугранные и многогранные углы 149
7.27. Найти геометрическое место точек плоскости, обладающих тем
свойством, что прямые, которые соединяют их с данными точками A, B ,
образуют равные углы с данной плоскостью.
7.28. Пусть ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Доказать, что плос-
кости A1BD и B1D1C делят диагональ AC1 на три равные части.
7.29. В пространстве дано несколько прямых, причем любые две из
них пресекаются. Доказать, что либо все они лежат в одной плоскости,
либо все проходят через одну точку.
7.30. Доказать, что сумма углов, которые прямая образует с двумя
взаимно перпендикулярными плоскостями, не превосходит 90◦
.
7.31. В правильной четырехугольной пирамиде угол между боковым
ребром и плоскостью основания равен углу между боковым ребром и плос-
костью боковой грани, не содержащей это ребро. Найти этот угол.
7.32. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Доказать, что прямая AC1 перпен-
дикулярна плоскости A1BD .
7.33. Через ребро AA1 куба ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость,
образующая равные углы с прямыми BC и B1D . Найти эти углы.
7.34. Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно плоскости
ABC ; M — середина DB , N — середина AB , а точка K делит ребро
CD в отношении CK : KD = 1 : 2 . Доказать, что прямая CN равно-
удалена от прямых AM и BK .
7.35. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ
AC1 перпендикулярна плоскости A1BD . Доказать, что параллелепипед
является кубом.
7.36. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведен общий перпендикуляр MN
к прямым A1B и B1C (M ∈ [A1B]). Найти A1M : MB .
7.37. Плоскость, проходящая через середины ребер AB и CD тет-
раэдра ABCD пересекает ребра AD и BC в точках L и N . Доказать,
что BC : CN = AD : DL.
7.38. Доказать, что противоположные ребра тетраэдра попарно пер-
пендикулярны, если одна из его высот проходит через ортоцентр грани.
150 Глава 7. Стереометрия
7.39. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . В каком отношении делит ребро
B1C1 точка E , которая принадлежит плоскости, проходящей через вер-
шину A и центры граней A1B1C1D1 и B1C1CB ?
7.40. Можно ли произвольный четырехгранный угол пересечь плос-
костью так, чтобы в сечении получился параллелограмм?
7.41. Доказать, что проекция правильного тетраэдра на плоскость
будет наибольшей площади, если плоскость параллельна двум скрещива-
ющимся ребрам.
7.42. Через середину диагонали куба перпендикулярно к ней прове-
дена плоскость. Определить площадь сечения куба этой плоскостью, если
ребро куба равно a .
7.43. Дан трехгранный угол с плоскими углами α, β , γ и противо-
лежащими им двугранными углами A, B , C . Доказать, что существует
трехгранный угол с плоскими углами π−A, π−B , π−C и двугранными
углами π − α, π − β , π − γ .
7.44. Доказать, что против равных плоских углов трехгранного угла
лежат равные двугранные углы.
7.45. Дан трехгранный угол с плоскими углами α, β , γ и противо-
лежащими им двугранными углами A, B , C . Доказать, что
a) cos ∠A =
cos α − cos β · cos γ
sin β · sin γ
;
b) cos α =
cos ∠A + cos ∠B · cos ∠C
sin ∠B · sin ∠C
.
(Первая и вторая теоремы косинусов для трехгранного угла.)
7.46. Дан трехгранный угол с плоскими углами α, β , γ и противо-
лежащими им двугранными углами A, B , C . Доказать, что
sin ∠A
sin α
=
sin ∠B
sin β
=
sin ∠C
sin γ
.
(Теорема синусов для трехгранного угла.)
7.47. В одной из граней двугранного угла величины α проведена
прямая l , пересекающаяся с его ребром и образующая с ним угол β , а с
7.1. Прямые и плоскости. Двугранные и многогранные углы 151
другой гранью этого двугранного угла — угол γ . Доказать, что
sin γ = sin α sin β.
(Теорема о трех синусах.)
7.48. Доказать, что плоскости, проведенные через ребра двугранно-
го угла и биссектрисы противоположных граней, пересекаются по одной
прямой.
7.49. Дан трехгранный угол, среди двугранных углов которого нет
прямых углов. Доказать, что плоскости, проведенные через ребра дву-
гранного угла перпендикулярно противоположным граням, пересекаются
по одной прямой.
7.50. В грани двугранного угла, равного 120◦
, проведена прямая,
образующая угол 60◦
с ребром двугранного угла. Найти угол между этой
прямой и другой гранью.
7.51. Дан прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90◦
), у которо-
го ∠B = 60◦
. Треугольник перегнули вдоль биссектрисы BD так, что
плоскости DBC и DBA образовали угол 45◦
. Какой угол будут образо-
вывать прямая AD с плоскостью DBC ?
7.52. Все три плоских угла трехгранного угла являются острыми.
Один из них равен α, двугранные углы, прилегающие е этому плоскому
углу, равны β , γ . Найти два других плоских угла.
7.53. Три луча a = [OA), b = [OB), c = [OC) образуют следу-
ющие углы: ∠a, c = ∠b, c = ϕ, ∠a, b = ψ . Найти углы между парами
плоскостей OAB и OAC , OAC и OBC .
7.54. Прямоугольный равнобедренный треугольник повернут вокруг
биссектрисы прямого угла на угол 45◦
. На какие углы повернулись кате-
ты?
7.55. В прямоугольном треугольнике через биссектрису прямого угла
проведена плоскость, которая составляет с плоскостью треугольника угол
α. Какие углы она составляет с катетами?
7.56. Плоскость отсекает на ребрах прямого трехгранного угла отрез-
ки a , b , c . Вычислить площадь полученного сечения.
152 Глава 7. Стереометрия
7.57. Через вершину S прямого трехгранного угла Sabc проведен
луч d . Доказать, что cos2 a, d d+ cos2
b, dc + cos2
c, dc = 1 .
7.58. Доказать, что у всякого четырехгранного угла с равными плос-
кими углами есть сечение, являющееся ромбом.
7.59. Доказать. что сумма двугранных углов выпуклого n-гранного
угла больше (n − 2)π .
7.60. Сумма плоских углов некоторого выпуклого n-гранного угла
равна сумме его двугранных углов. Доказать, что n = 3 .
7.61. В выпуклый четырехгранный угол вписана сфера. Доказать,
что суммы его противоположных плоских углов равны.
7.62. В трехгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром O .
Доказать, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпен-
дикулярна прямой SO .
Группа Б
7.63. Даны две скрещивающиеся прямые l и m. Найти геометриче-
ское место точек, делящих в данном отношении отрезки LM , где L ∈ l ,
M ∈ m.
7.64. Провести прямую, пересекающую три данные прямые так, чтобы
отрезки, отсекаемые на ней этими прямыми, имели данное отношение.
7.65. Построить отрезок, имеющий заданную длину и параллельный
данной плоскости, концы которого принадлежат двум данным прямым.
7.66. Найти множество всех точек, сумма расстояний от которых до
двух данных пересекающихся плоскостей постоянна и равна p .
7.67. Даны скрещивающиеся перпендикулярные прямые l , m и точка
P . Найти множество всех точек M , таких, что сумма длин проекций
отрезков PM на прямые l и m постоянна.
7.68. Треугольники ABC и A1B1C1 не лежат в одной плоскости,
а прямые AB и A1B1 , BC и B1C1 , CA и C1A1 попарно пересекают-
ся. Доказать, что: а) точки пересечения указанных прямых коллинеарны;
б) прямые AA1 , BB1 , CC1 пересекаются в одной точке или параллель-
ны.
7.1. Прямые и плоскости. Двугранные и многогранные углы 153
7.69. Углы между некоторой плоскостью и сторонами правильного
треугольника равны α, β , γ . Доказать, что синус одного из этих углов
равен сумме синусов двух других углов.
7.70. В основании пирамиды лежит многоугольник с нечетным чис-
лом сторон. Можно ли на его ребрах так расставить стрелки, что сумма
полученных векторов равна нулю?
7.71. Дана плоскость π и точки A, B вне ее. Найти множество всех
точек X плоскости π , для которых прямые AX и BX образуют равные
углы с плоскостью π .
7.72. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Пусть P , K , L — се-
редины ребер AA1 , A1D1 и B1C1 ; Q — центр грани CC1D1D . Отрезок
MN с концами на прямых AD и KL пересекает прямую P Q и перпен-
дикулярен ей. Найти длину этого отрезка.
7.73. Ортогональные проекции треугольника ABC на две взаимно
перпендикулярные плоскости являются правильными треугольниками со
сторонами, равными 1. Найти периметр ABC , если AB =

5/2 .
7.74. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD . Точка
M — середина ребра SB , а N ∈ (AB), причем NB = 2AB . Где на
боковом ребре SC лежит точка P , если в сечении пирамиды плоскостью
MNP получился четырехугольник?
7.75. В треугольной пирамиде SABC суммы всех плоских углов при
каждой из вершин A, B и C равны 180◦
. Найти расстояние между
скрещивающимися прямыми SA и BC , если BC = 4 , AC = 5 , AB = 6 .
7.76. Дан трехгранный угол с плоскими углами α, β , γ . Найти угол
наклона каждого ребра к плоскости противоположной грани.
7.77. Сумма плоских углов трехгранного угла равна 180◦
. Доказать,
что сумма косинусов его двугранных углов равна 1.
7.78. В трехгранный угол Oabc вписана сфера, касающаяся граней
Obc , Oca и Oab в точках A1 , B1 , C1 . Выразить величину угла aOB1
через плоские углы трехгранного угла.
154 Глава 7. Стереометрия
7.2. Многогранники
Группа А
7.79. Все ребра правильной треугольной призмы равны между со-
бой. Найти угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей
через противоположные вершины боковой грани и середину противоле-
жащего ей бокового ребра.
7.80. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 2. Най-
ти объем пирамиды, а также радиусы вписанного и описанного шаров.
7.81. В основании правильной треугольной призмы лежит треуголь-
ник со стороной 6. Найти объем этой призмы, если известно, что в нее
можно вписать шар.
7.82. Внутри куба расположены два равных, касающихся друг друга
шара. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую
вершину, а другой касается трех других граней куба. Найти радиусы ша-
ров, если ребро куба равно a .
7.83. Найти объем треугольной пирамиды, в основании которой лежит
треугольник со сторонами 3 , 4 , 5 , а двугранные углы при основании
равны 60◦
.
7.84. Внутри треугольной пирамиды, все ребра которой равны a ,
расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трех других
шаров, а также трех граней пирамиды. Найти радиусы шаров.
7.85. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
2, а радиус вписанного шара — 1/2 . Найти величину двугранного угла
между боковыми гранями пирамиды.
7.86. Найти двугранный угол между соседними боковыми гранями
правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что радиус впи-
санного в нее шара в три раза меньше стороны основания.
7.87. Найти радиус шара, вписанного в треугольную пирамиду, пять
ребер которой равны 2, а одно ребро равно 1.
7.88. Ребро куба равно 1. Найти объем треугольной пирамиды, вер-
шины которой находятся в центрах трех смежных граней и в вершине
куба, не принадлежащей этим граням.
7.2. Многогранники 155
7.89. Пусть ABCD — правильный тетраэдр с ребром a . Найти радиус
шара, касающегося ребра AB в его середине, а также ребер AC и CD .
7.90. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Найти объем общей части
двух треугольных пирамид ACB1D1 и A1C1BD .
7.91. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD ,
AB = 3 . Высота пирамиды равна 4 и проходит через середину AD . Най-
ти AD , если известно, что в пирамиду можно вписать шар.
7.92. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD ,
AB = 3 , BC = 4 . Высота пирамиды равна 3 и проходит через середину
BC . Найти радиус наибольшего шара, который можно поместить внутри
пирамиды.
7.93. ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. В каком отношении плос-
кость, проходящая через D , C1 и середину A1B1 , делит диагональ D1B ?
7.94. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра
которой равны 1. Найти расстояние от середины ребра AB до плоскости,
проходящей через C и середины ребер SB и SD .
7.95. Радиус шара, описанного около правильной четырехугольной
пирамиды, равен 1 , радиус вписанного шара —

3 − 1
2
. Найти длины
ребер пирамиды.
7.96. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Найти радиус шара,
проходящего через вершины C и C1 и касающегося AB и AD .
7.97. Чему равна длина кратчайшего пути по поверхности куба, со-
единяющего центр какой-либо грани куба с одной из вершин противопо-
ложной грани (ребро куба равно a )?
7.98. Из точки S в пространстве проведены три луча: [SX), [SY ),
[SZ). На этих лучах выбраны точки A1, A2 ∈ [SX), B1, B2 ∈ [SY ),
C1, C2 ∈ [SZ). Докажите, что отношение объемов тетраэдров SA1B1C1
и SA2B2C2 равно
VSA1B1C1
VSA2B2C2
=
SA1
SA2
·
SB1
SB2
·
SC1
SC2
.
7.99. S и P — площади двух смежных граней тетраэдра ABCD ,
a — длина их общего ребра, α — величина угла между этими гранями.
156 Глава 7. Стереометрия
Докажите, что объем тетраэдра равен
VABCD =
2 · S · P sin α
3a
.
7.100. a и b — длины противоположных ребер тетраэдра ABCD ,
d — расстояние между этими ребрами, ϕ — угол между ними. Докажите,
что объем тетраэдра равен
VABCD =
1
6
abd sin ϕ.
7.101. Доказать, что биссекторная плоскость двугранного угла, обра-
зованного смежными гранями тетраэдра, делит противоположное ребро
на части, пропорциональные площадям этих граней. Доказать также, что
отношение этих частей также равно отношению объемов тетраэдров, на
которые биссекторная плоскость разбивает данный тетраэдр.
7.102. Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм
ABCD . На ребре SA взята точка M так, что SM = 2AM . Через M и
середины ребер SB и SD проведена плоскость. В каком отношении эта
плоскость делит объем пирамиды?
7.103. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Через середину D1C1 проведена
прямая l , пересекающая прямые BA1 и AD1 . Какой угол образует пря-
мая l с BA1 ?
7.104. SABC — правильный тетраэдр с ребром 6. Точка M — сере-
дина AB , K — такая точка на BC , что BK = 2KC . Найти расстояние
от K до середины отрезка DM .
7.105. Найти радиус шара, касающегося всех ребер правильной тре-
угольной пирамиды, у которой сторона основания равна 2 , а боковое реб-
ро равно 3 .
7.106. В каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая
через центры трех его смежных граней.
7.107. Радиус шара, описанного около правильной шестиугольной пи-
рамиды, равен 2, боковое ребро равно 1. Найти объем пирамиды.
7.108. В основании треугольной пирамиды лежит правильный тре-
угольник со стороной 1. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости
7.2. Многогранники 157
основания под одинаковыми углами. Одно боковое ребро равно √
7 , а два
других меньше его. Найти объем пирамиды.
7.109. Дан куб с ребром a . Две вершины правильного тетраэдра
лежат на его диагонали, а две оставшиеся — на диагонали его грани.
Найти длину ребра тетраэдра.
7.110. Сфера проходит через вершины одной грани куба и касается
сторон противоположной грани. Найти радиус сферы, если ребро куба
равно a .
7.111. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a . Найти радиус сферы,
проходящей через середины ребер AA1 и BB1 и вершины A и C1 .
7.112. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром a . Найти радиус
сферы, проходящей через C , D и середины ребер AB и AC .
7.113. В треугольной призме ABCA1B1C1 проведены две плоскости:
одна проходит через A, B , C1 , другая — через A1 , B1 , C . Эти плоскости
разделили призму на четыре части. Объем меньшей из этих частей равен
V . Найти объем призмы.
7.114. В каком отношении делит объем треугольной пирамиды плос-
кость, параллельная двум ее скрещивающимся ребрам и делящая одно из
других ребер в отношении 2 : 1 ?
7.115. Все ребра правильной треугольной призмы равны между со-
бой. Сечение призмы проходит через сторону нижнего основания и па-
раллельную ей среднюю линию верхнего основания. В каком отношении
эта плоскость делит объем призмы?
7.116. Объем пирамиды ABCD равен V . Найти объем пирамиды
KNP B , если B — середина AP , K лежит на ребре AD и AK : KD =
= 3 , N — точка пересечения медиан грани BCD .
7.117. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при
вершине равен углу между боковым ребром и плоскостью основания. Най-
ти двугранные углы между соседними боковыми гранями.
7.118. Найти двугранный угол между основанием и боковой гранью
правильной усеченной треугольной пирамиды, если известно, что в нее
можно вписать шар, и, кроме того, существует шар, касающийся всех ее
ребер.
158 Глава 7. Стереометрия
7.119. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Через ребро AA1 проведена плос-
кость, образующая равные углы с прямыми BC и B1D . Найти эти углы.
7.120. Точка K — середина ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1 , точка
L лежит на ребре BC . Отрезок KL касается шара, вписанного в куб. В
каком отношении отрезок KL делится точкой касания?
7.121. В треугольной пирамиде ABCD грани ABC и ABD име-
ют площади S1 и S2 и образуют между собой угол α. Найти площадь
сечения пирамиды, проходящего через ребро AB и центр вписанного в
пирамиду шара.
7.122. Точки K и L являются серединами ребер AB и CC1 куба
ABCDA1B1C1D1 . Найти радиус шара, вписанного в трехгранный угол с
вершиной A и касающегося прямой KL, если ребро куба равно a .
7.123. Пусть ABCD — правильный тетраэдр с ребром a , M — центр
грани ADC , N — середина ребра BC . Найти радиус шара, вписанного
в трехгранный угол A и касающегося прямой MN .
7.124. В треугольной пирамиде SABC известно, что AC = AB , а
ребро SA наклонено к плоскостям граней ABC и SBC под углом 45◦
.
Известно, что вершина A и середины всех ребер пирамиды, кроме SA,
лежат на сфере радиуса 1. Доказать, что центр сферы расположен на
ребре SA и найти площадь грани ASC .
7.125. Внутри правильного тетраэдра ABCD расположены два шара
радиусов 2R и 3R, касающиеся друг друга внешним образом, причем
один шар вписан в трехгранный угол тетраэдра с вершиной A, а другой —
в трехгранный угол с вершиной B . Найти ребро тетраэдра.
7.126. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона
основания равна a , а угол между боковым ребром и плоскостью основа-
ния равен α. Плоскость, параллельная диагонали основания AC и бо-
ковому ребру SB пересекает пирамиду так, что в сечении получается
пятиугольник, в который можно вписать окружность. Определить ради-
ус этой окружности.
7.127. В правильном тетраэдре точки M и N являются серединами
противоположных ребер. Проекция тетраэдра на плоскость, параллель-
ную MN , представляет собой четырехугольник площадью S , один из
углов которого равен 60◦
. Найти площадь поверхности тетраэдра.
7.2. Многогранники 159
7.128. Длина стороны основания правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1 равна a . Точки M и N являются соответственно середи-
нами ребер A1B1 и AA1 . Проекция отрезка BM на прямую C1N равна
a/(2√
5). Определить высоту призмы.
7.129. В треугольной призме ABCA1B1C1 проведены два сечения.
Первое сечение проходит через ребро AB и середину ребра CC1 , а вто-
рое — через ребро A1B1 и середину ребра BC . Найти отношение длины
отрезка линии пересечения этих сечений, заключенного внутри призмы,
к длине ребра AB .
7.130. Основанием призмы ABCA1B1C1 является правильный тре-
угольник ABC со стороной a . Проекцией призмы на плоскость основа-
ния является трапеция с боковой стороной AB и площадью, в два раза
большей площади основания. Радиус сферы, проходящей через вершины
A, B , A1 , C1 равен a . Найти объем призмы.
7.131. Правильный тетраэдр объемом V повернут около прямой, со-
единяющей середины его скрещивающихся ребер, на угол α = 90◦
. Найти
объем общей части данного тетраэдра и повернутого. Решить задачу для
произвольного α, 0 < α < 180◦
.
7.132. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . M — центр грани ABB1A1 , N —
точка на ребре B1C1 , L — середина A1B1 , K — основание перпенди-
куляра, опущенного из N на BC1 . В каком отношении точка N делит
B1C1 , если ∠LMK = ∠MKN ?
7.133. Высота усеченной пирамиды равна h, площадь среднего сече-
ния равна S . В каких пределах может изменяться объем пирамиды?
7.134. Квадрат ABCD является основанием прямоугольного парал-
лелепипеда ABCDA1B1C1D1 . Найти наибольшую возможную величину
угла между прямой BD1 и плоскостью BDC1 .
7.135. В правильной четырехугольной пирамиде центр описанной
сферы лежит на поверхности вписанной. Найти величину плоского уг-
ла при вершине пирамиды.
7.136. В правильной шестиугольной пирамиде центр описанной сфе-
ры лежит на поверхности вписанной. Найти отношение радиусов описан-
ной и вписанной сфер.
160 Глава 7. Стереометрия
7.137. Найти чему равна площадь сечения прямоугольного паралле-
лепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, параллельной A1BD и прохо-
дящей через точку D1 , если AD = 2 и AB = AA1 = 1 .
7.138. Через вершину A1 и середины ребер AC и BC правильной
треугольной призмы ABCA1B1C1 проведена плоскость. Найти периметр
многоугольника, полученного в сечении, если сторона основания призмы
равна 8, а боковое ребро равно 3.
7.139. Основанием пирамиды ABCD служит правильный треуголь-
ник ABC со стороной, длина которой равна 4. Ребро BD перпендику-
лярно плоскости основания и имеет длину 1. Пирамида пересечена плос-
костью, параллельной скрещивающимся ребрам AC и BD так, что в
сечении получился квадрат. Найти длину стороны этого квадрата.
7.140. Центр вписанного шара делит высоту правильной четырех-
угольной пирамиды в отношении 4 : 3 , считая от вершины. Найти отно-
шение радиусов описанного и вписанного шаров.
7.141. В основании пирамиды с объемом 4,8 лежит треугольник со
сторонами 3, 4 и 5. Найти площадь полной поверхности пирамиды, если ее
высота составляет равные углы с боковыми гранями, а основание высоты
лежит внутри основания пирамиды.
7.142. В правильной треугольной пирамиде, сторона основания ко-
торой равна a , а боковое ребро — 3a , проведено сечение, параллельное
боковому ребру. Найти площадь этого сечения, если оно является ромбом.
7.143. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Найти радиус сферы,
проходящей через вершины A, B и середины ребер A1B1 , AD .
7.144. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через сере-
дины ребер SA, SC и вершину B проведена плоскость. Найти площадь
сечения пирамиды плоскостью, если сторона основания равна a , а боко-
вое ребро равно b .
7.145. В основании четырехугольной пирамиды с вершиной S лежит
параллелограмм ABCD . Через точку A и середины ребер CD и SB
проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит ребро SC ?
7.146. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Сфера касается ребер
BC и CD и проходит через вершины A и A1 . Найти радиус сферы и
7.2. Многогранники 161
расстояние от центра сферы до центра грани ABCD .
7.147. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобед-
ренный треугольник ABC (AB = BC), а угол между прямыми AB1
и BC1 равен 60◦
. Найти угол между прямой BC1 и плоскостью грани
AA1C1C .
7.148. Пусть ABCDS — четырехугольная пирамида, в основании
которой лежит параллелограмм ABCD . Известно, что P ∈ [BC] , Q ∈
[CD] , причем BP : P C = 1 : 2 , CQ = QD . Через вершину C проведена
плоскость α, параллельная прямым AP и QS . Найти точку пересечения
плоскости α и прямой SA.
7.149. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Известно, что P ∈ [A1B1] , Q ∈
[CC1] , причем A1P : P B1 = 2 , C1Q : QC = 1 : 2 . Найти такие точки
R ∈ (AA1), S ∈ (CD), что прямые P Q и RS были бы параллельны.
7.150. Дан прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90◦
) и плос-
кость α. Известно, что AC : BC = 3 : 4 , (AB)∥α и угол между плоско-
стью ABC и плоскостью α равен 60◦
. Найти угол между плоскостью α
и прямой AC .
7.151. Основанием пирамиды с вершиной S служит правильный пя-
тиугольник ABCDE . Высота пирамиды проходит через точку E и обра-
зует с плоскостью SBC угол 30◦
. Найти величину угла, образованного
гранью SAB и основанием пирамиды.
7.152. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Точки P , Q, R лежат
на ребрах DD1 , CD и AB соответственно, причем DQ = QD1 , BR =
= 2AR, PD = P D1 . Найти угол и расстояние между (P R) и (B1Q).
7.153. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со
стороной, равной a . Высота пирамиды проходит через вершину A. Через
центр основания параллельно боковой грани SCD проведена плоскость,
причем площадь полученного сечения равна 3a
2

2/8 . Найти высоту пи-
рамиды.
7.154. Все ребра правильной треугольной призмы равны a . Найти
расстояние между скрещивающимися диагоналями соседних граней.
7.155. В правильной шестиугольной пирамиде через центр основа-
ния проведено сечение, параллельное боковой грани. Найти отношение
162 Глава 7. Стереометрия
площади сечения к площади боковой грани.
7.156. Два боковых ребра пирамиды, равные a и b , образуют угол
π/3 . Угол между их проекциями на плоскость основания равен 2π/3 .
Найти высоту пирамиды.
7.157. На диагоналях AC и DC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
выбраны точки M , N так, что (MN)∥(BD1). Найти MN : BD1 .
7.158. В тетраэдре ABCD выполняется: (AB)⊥(CD), (AC)⊥(BD).
Доказать, что (AD)⊥(BC).
7.159. Ребро куба равно a . Через диагональ AC грани ABCD про-
ведена плоскость так, что в сечении куба этой плоскостью получилась
трапеция, острый угол которой равен arccos(1/

10). Найти расстояние
от вершины B до этой плоскости.
7.160. В правильной треугольной пирамиде расстояние от середины
высоты до боковой грани и бокового ребра равно a и b соответственно.
Найти высоту пирамиды.
7.161. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Точки E , F лежат на
ребрах AA1 , BC соответственно, причем AE = 1/3 , BF = 1/4 . Через
точки E , F и через центр куба проведена плоскость. Найти расстояние
от вершины B до этой плоскости.
7.162. В плоскости π дан равнобедренный треугольник ABC (AB =
BC = l , AC = 2a ). Шар радиуса r касается плоскости π в точке B . Две
скрещивающиеся прямые проходят через точки A, C и касаются шара.
Угол между каждой из этих прямых и плоскостью π равен α. Найти
расстояние между прямыми.
7.163. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Сфера касается ребер
AD , DD1 , CD и прямой BC1 . Найти радиус сферы.
7.164. Сфера радиуса R делит каждое из ребер SA, SC , AB и CB
треугольной пирамиды SABC на три равные части и проходит через
середины ребер AC и SB . Найти длину высоты, опущенной из S .
7.165. В пирамиде SABC двугранные углы при ребрах AB , BC ,
CA равны 90◦
, 30◦
, 90◦
соответственно. Плоскость пересекает ребра
7.2. Многогранники 163
SB , SC , AC и AB в точках K , L, M , N , причем KLMN — трапе-
ция, основание KL которой втрое больше основания MN . Найти пло-
щадь трапеции, если ее высота равна 13, AS = BS = 13 .
7.166. Высота пирамиды равна 5 , а основанием служит треугольник
со сторонами 7, 8 и 9. Сфера касается плоскостей всех боковых граней в
точках, лежащих на сторонах основания. Найти радиус сферы.
7.167. Три параллельные прямые касаются в точках A, B , C сфе-
ры радиуса 4 с центром в точке O . Найти угол BAC , если известно,
что площадь треугольника OBC равна 4, а площадь треугольника ABC
больше 16.
7.168. Пусть DABC — треугольная пирамида. Точка Q — середина
ребра AC , точка R лежит на ребре BD , причем DR = 2RB . Точки M ,
N лежат на прямых AR и DQ соответственно и (MN)∥(BC). Найти
отношения MN : BC и DN : NQ.
7.169. Дана четырехугольная пирамида F ABCD . Ее основанием яв-
ляется параллелограмм ABCD (AB = 2 , AD = 1 , ∠BAD = 60◦
).
Известно, что AF =

3 , ∠F AD = 30◦ и двугранный угол между плос-
костями F AB и DAB равен 60◦
. Найти длину ребра FD и угол, обра-
зованный ребром F A с плоскостью основания.
7.170. Дана четырехугольная пирамида SABCD . Ее основанием яв-
ляется прямоугольник ABCD . Высота пирамиды проходит через вер-
шину A. Найти величину двугранного угла между плоскостями SBC и
SCD , если AD = SA = 2a , AB = a .
7.171. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Точки P , M лежат
на ребрах BC и DD1 соответственно, причем BP = 2P C , DM =
= 5MD1/4 . Через точки P , M параллельно диагонали BD1 проведена
плоскость. В каком отношении эта плоскость делит ребро AD ? В каком
отношении она делит объем?
7.172. Пусть ABCD — равнобедренная трапеция. Ее большее осно-
вание AD равно a , острый угол равен 60◦
, а меньшее основание равно
боковой стороне. Трапецию согнули вдоль диагонали AC так, что угол
между плоскостями ABC и ACD стал равным 45◦
. Найти расстояние
между точками B и D .
164 Глава 7. Стереометрия
7.173. В основании треугольной пирамиды P QRS лежит правильный
треугольник QRS . Высота пирамиды, опущенная из вершины P , про-
ходит через середину ребра RS . Известно, что P Q = m

2 , QR = m.
Пирамиду пересекает плоскость, параллельная ребрам P Q и RS и отсто-
ящая от вершины Q на расстоянии d . Найти площадь сечения пирамиды
этой плоскостью.
7.174. Треугольная призма ABCA1B1C1 с нижним основанием ABC
и боковыми ребрами AA1 , BB1 , CC1 рассечена плоскостью, проходящей
через точки E , F , C , где E — середина ребра AA1 , F лежит на ребре
BB1 , причем F B1 = 2BF . Найти объем части призмы, заключенной
между секущей плоскостью и нижним основанием, если объем призмы
равен V .
7.175. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Пусть O — центр сферы,
касающейся AA1 , A1B1 , B1C1 . Найти радиус сферы, если расстояние от
точки O до прямой BD равно 1/3 .
7.176. Рассматривается ортогональная проекция куба с ребром a на
плоскость, перпендикулярную диагонали куба. Во сколько раз площадь
проекции будет больше площади сечения куба плоскостью, проходящей
через середину диагонали перпендикулярно к ней?
7.177. Из точки O , лежащей в основании ABC треугольной пирами-
ды SABC , проведены прямые OA1 , OB1 , OC1 , параллельные ребрам
SA, SB , SC соответственно — до пересечения с гранями SBC , SCA,
SAB в точках A1 , B1 , C1 . Доказать, что
OA1
SA +
OB1
SB +
OC1
SC = 1.
7.178. Доказать, что если точка перемещается в плоскости основа-
ния правильной пирамиды, оставаясь внутри этого основания, то сумма
расстояний от этой точки до боковых граней постоянна.
7.179. Доказать, что если все двугранные углы некоторой треугольной
пирамиды равны, то и все ребра этой пирамиды равны.
7.180. Доказать, что прямая, пересекающая две грани двугранного
угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки
пересечения одинаково удалены от ребра.
7.2. Многогранники 165
7.181. В треугольной пирамиде проводятся сечения, параллельные
двум ее пересекающимся ребрам. Найти сечение с наибольшей площадью.

Группа Б
7.182. Основание треугольной пирамиды DABC является равнобед-
ренный треугольник ABC (AB = BC ). Известно, что AC = 48 , а пло-
щадь треугольника ABC равна 432. Высота пирамиды проходит через
середину боковой стороны. Точки A, B, C и середина высоты пирами-
ды лежат на сфере радиуса 30. Найти объем пирамиды, если ее высота
меньше чем 70.
7.183. Пусть SABCD — четырехугольная пирамида, в основании
которой лежит параллелограмм ABCD . Точки K , L, M лежат на реб-
рах SB , SA, AD соответственно, причем AL = 2LS , AM = MD ,
KB = 3SK . На прямой (LM) выбрана точка X , а на прямой (SC) —
точка Y так, что (XY )∥(AK). Найти LX : XM .
7.184. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный
треугольник ABC . Боковое ребро [SA] образует с плоскостью основания
угол ϕ = arctg(2/

5), а боковые ребра [SC] и [SB] одинаково наклоне-
ны к плоскости основания. Параллельно ребрам [SA] и [BC] проведена
плоскость α, причем расстояние от точки S до плоскости α равно 1 .
Известно, что существует сфера с центром O , касающаяся всех граней
пирамиды и плоскости α. Найти радиус этой сферы, если известно, что
точки S и O лежат по одну сторону от плоскости α.
7.185. В правильный тетраэдр ABCD с длиной ребра 1 вписан шар.
Найти радиус шара, касающегося этого шара и трех граней ADC , ABC
и ADB .
 

 

 

 

 


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (18.04.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar