Тема №6060 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 6)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 6) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 6), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

7.186. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит правильный
треугольник ABC . Все ребра призмы имеют длину 1; MN — средняя ли-
ния грани BCC1B1 , параллельная ребру BC . Через центр треугольника
ABC проходит прямая, пересекающая прямые AB1 и MN в точках P
и Q соответственно. Найти длину отрезка P Q.
7.187. Основанием пирамиды SABC служит треугольник ABC со
сторонами |AB| = 6 , |AC| = 10 и |BC| = 14 . Все двугранные углы при
166 Глава 7. Стереометрия
основании пирамиды равны 60◦
. На биссектрисе ∠BAC выбрана точка
E так, что радиус шара, вписанного в трехгранный угол с вершиной A
и касающегося прямой SE , равен 2/13 . Найти длину отрезка AE .
7.188. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб
ABCD с острым углом при вершине A. Высота ромба равна 4, точка
пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины
S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех
граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от центра
сферы до прямой AC равно 2AB√
2/3 . (МФТИ. Билет 9, 1991)
7.189. В сферу радиуса 5/8 вписана четырехугольная пирамида
SABCD , основанием которой служит параллелограмм ABCD . Точка
пересечения диагоналей параллелограмма является ортогональной про-
екцией вершины S на плоскость ABCD . Плоскость каждой грани пи-
рамиды касается второй сферы, расстояние от центра которой до прямой
AD вдвое больше расстояния до прямой BC . Найти радиус второй сфе-
ры и расстояние от ее центра до вершины S , если AD : AB = 5 : 3 .
(МФТИ. Билет 10, 1991)
7.190. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина)
точки D и E являются серединами ребер AC и BC соответственно.
Через точку E проведена плоскость β , пересекающая ребра AB и SB и
удаленная от точек D и В на одинаковое расстояние, равное 1/2 . Найти
Длины отрезков, на которые плоскость делит ребро SB , если BC = 4 ,
SC = 3 . (МФТИ. Билет 1, 1992)
7.191. Сфера вписана в четырехугольную пирамиду SABCD , осно-
ванием которой является трапеция ABCD , а также вписана в правиль-
ный тетраэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пи-
рамиды SABCD . Найти радиус сферы, если объем пирамиды SABCD
равен 64. (МФТИ. Билет 5, 1992)
7.192. Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SKLMN
(S — вершина), и вписана в прямую треугольную призму ABCA′B′C

,
у которой AB = AC , BC = 4√
2 , а боковое ребро AA′ лежит на прямой
KL. Найти радиус сферы, если известно, что прямая SM параллельна
плоскости BB′C
′C . (МФТИ. Билет 8, 1992)
7.193. Основание прямой призмы ABCA1B1C1 — равнобедренный
7.2. Многогранники 167
треугольник ABC , в котором AC = CB = 5 , ∠ACB = 2arcsin (3/5).
Плоскость, перпендикулярная прямой A1C , пересекает ребра AC и A1C1
в точках D , E соответственно, причем AD = AC/3 , EC1 = A1C1/3 .
Найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью. (МФТИ. Билет 9,
1992)
7.194. Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 — равнобедрен-
ная трапеция ABCD , в которой (BC)∥(AD), BC = 1 , AD = 5 ,
∠BAD = arctg (3/2). Плоскость, перпендикулярная прямой A1D , пе-
ресекает ребра AD и A1D1 в точках E и F соответственно, причем
AE = FD1 = 5/3 . Найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
(МФТИ. Билет 10, 1992)
7.195. Через середину ребра AC правильной треугольной пирамиды
SABC (S — вершина) проведены плоскости α, β , каждая из которых
образует угол π/6 с плоскостью ABC . Найти площади сечений пирами-
ды SABC плоскостями α, β , если эти сечения имеют общую сторону
длины 1, лежащую в грани ABC , и α⊥(SA). (МФТИ. Билет 1, 1993)
7.196. На сторонах BC и AD правильной четырехугольной пира-
миды SABCD (S — вершина) взяты точки P , Q. Сечения пирамиды
двумя перпендикулярными плоскостями α, β , проходящими через пря-
мую P Q, — трапеции с равными основаниями. Грань SAB образует угол
π/4 с пересекающей ее плоскостью сечения, а угол между гранями SAB
и ABCD равен arctg 2 . Найти площади сечений, если P Q = 13 . (МФТИ.
Билет 2, 1993)
7.197. Основание прямой призмы KLMNK′L
′M′N′ — ромб KLMN
с углом 60◦ при вершине K . Точки E и F — середины ребер LL′ и
LM призмы. Ребро SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD
(S — вершина) лежит на прямой LN , вершины D и B — на прямых
MM′ и EF соответственно. Найти отношение объемов призмы и пира-
миды, если SA = 2AB . (МФТИ. Билет 5, 1993)
7.198. Точки E и F — середины ребер CC′ и C
′D′ прямоугольного
параллелепипеда ABCDA′B′C
′D′
. Ребро KL правильной треугольной
пирамиды KLMN ( K — вершина) лежит на прямой AC , а вершины N
и M — на прямых DD′ и EF соответственно. Найти отношение объемов
призмы и пирамиды, если AB : BC = 4 : 3 , KL : MN = 2 : 3 . (МФТИ.
168 Глава 7. Стереометрия
Билет 6, 1993)
7.199. Внутри правильной треугольной пирамиды расположена пря-
мая призма, в основании которой лежит ромб. Одна из граней призмы
принадлежит основанию пирамиды, другая грань — боковой грани пира-
миды. Какой наибольший объем может иметь призма, если ребро основа-
ния пирамиды равно 2, а высота пирамиды равна 2

2 ? (МФТИ. Билет 9,
1993)
7.200. Внутри правильной четырехугольной пирамиды расположе-
на прямая призма KLMNK′L
′M′N′
, в основании которой лежит ромб
KLMN с углом 60◦ при вершине L. Ребро KK′ принадлежит осно-
ванию пирамиды, а ребро LL′ — диагонали этого основания. Какой наи-
больший объем может иметь призма, если диагональ основания пирамиды
равна 6, а высота пирамиды равна √
3 ? (МФТИ. Билет 10, 1993)
7.201. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб
ABCD с углом BAD , равным 2arccos(1/3). Сфера касается всех звеньев
ломаной ABCC1A1 и пересекает ребро BB1 в точках B1 и M . Найти
объем призмы и радиус сферы, если B1M = 1 . (МФТИ. Билет 1, 1994)
7.202. Сфера пересекает ребро CC1 правильной треугольной приз-
мы ABCA1B1C1 в точках C1 и K и касается всех звеньев ломаной
BCAA1B1 . Найти объем призмы и радиус сферы, если C1K = 4 . (МФ-
ТИ. Билет 3, 1994)
7.203. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S — вер-
шина) AB = 3√
2 , высота пирамиды равна 8. Сечения пирамиды двумя
параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку A, а
другая - через точки B и D , имеют равные площади. В каком отношении
делят ребро SC плоскости сечений? Найти расстояние между плоскостя-
ми сечений и объемы многогранников, на которые пирамида разбивается
этими плоскостями. (МФТИ. Билет 1, 1995)
7.204. Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ABC ,
AB = 2 , AC = 1 , ∠BAC = 120◦
, SA = 3√
2 . Сечения пирамиды двумя
параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку C и
середину ребра AB , а другая — через точку B , имеют равные площади.
В каком отношении делят ребро SA плоскости сечений? Найти объемы
7.2. Многогранники 169
многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости сечений, а
также расстояние между этими плоскостями. (МФТИ. Билет 2, 1995)
7.205. На ребре AC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1
взята точка K так, что AK = 1/4 , CK = 3/4 . Через точку K прове-
дена плоскость, образующая с плоскостью ABC угол arctg (7/6) и рас-
секающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых
равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих
многогранников можно описать сферу, а около другого — нет. (МФТИ.
Билет 9,1995)
7.206. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник
ABC со сторонами AB = AC = 25 , BC = 40 . На ребре AB взята
точка M так, что BM = 15 . Через точку M проведена плоскость, обра-
зующая с плоскостью ABC угол arctg (11/15) и рассекающая призму на
два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем
призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно
описать сферу, а около другого — нет. (МФТИ. Билет 10, 1995)
7.207. В основании призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник
ABCD . Острые углы D1DA и D1DC равны между собой, угол между
ребром D1D и плоскостью основания призмы равен arccos(1/

13), a
CD = 5√
6 . Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найти длину
BC , угол между плоскостями D1DC и ABC , а также расстояние от
точки D до центра сферы. (МФТИ. Билет 1, 1996)
7.208. Все грани призмы ABCDA1B1C1D1 касаются некоторого ша-
ра. Основанием призмы служит квадрат ABCD со стороной, равной 5.
Угол C1CD — острый, a ∠C1CB = arctg (5/3). Найти ∠C1CD , угол
между боковым ребром и плоскостью основания призмы, а также рассто-
яние от точки C до точки касания шара с плоскостью AA1D . (МФТИ.
Билет 2, 1996)
7.209. В кубе ABCDA1B1C1D1 , ребро которого равно 6, точки M и
N — середины ребер AB и B1C1 соответственно, а точка K расположена
на ребре DC так, что DK = 2KC . Найти: 1) расстояние от точки N до
прямой AK ; 2) расстояние между прямыми MN и AK ; 3) расстояние
от точки A1 до плоскости треугольника MNK . (МФТИ. Билет 5, 1996)
7.210. В кубе ABCDA1B1C1D1 , ребро которого равно 4, точки E и
170 Глава 7. Стереометрия
F — середины ребер AB и B1C1 соответственно, а точка P расположена
на ребре CD так, что CP = 3PD . Найти: 1) расстояние от точки F до
прямой AP ; 2) расстояние между прямыми EF и AP ; 3) расстояние от
точки A1 до плоскости треугольника EF P . (МФТИ. Билет 6, 1996)
7.211. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое
ребро равно a и равно диагонали основания ABCD . Через точку A
параллельно прямой BD проведена плоскость P , образующая с прямой
AD угол, равный arcsin (

2/4). Найти площадь сечения пирамиды плос-
костью P и радиус шара, касающегося плоскости P и четырех прямых,
которым принадлежат боковые ребра пирамиды. (МФТИ. Билет 5, 1997)
7.212. В треугольной пирамиде ABCD ребра AB и CD взаимно
перпендикулярны, AD = BC , расстояние от середины E ребра AB до
плоскости ACD равно h, ∠DAC = π/2 , ∠ACD = π/4 , угол между
ребром DC и гранью ABC равен π/6 . Найти расстояние от точки E до
плоскости BCD , угол между ребром AB и гранью ACD , а также угол
между гранями ABD и ABC . (МФТИ. Билет 9, 1997)
7.213. Сторона основания ABC правильной треугольной призмы
ABCA1B1C1 равна 6, а высота равна 3/

7 . На ребрах AC , A1C1 и
BB1 расположены соответственно точки P , F и K так, что AP = 1 ,
A1F = 3 и BK = KB1 . Построить сечение призмы плоскостью, прохо-
дящей через точки P , F и K . Найти площадь сечения и угол между
плоскостью основания призмы и плоскостью сечения. (МФТИ. Билет 1,
1998)
7.214. Две противоположные боковые грани четырехугольной пи-
рамиды SABCD перпендикулярны основанию, высота пирамиды рав-
на √
5 . В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция ABCD
(AD = BC ), описанная около окружности и такая, что AB = 6 ,
∠BAD = π/3 . Найти расстояние от точки D до плоскости SAB . Внутри
пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана
в треугольник SCD , а вершина принадлежит грани SAB . Найти объем
конуса. (МФТИ. Билет 5, 1998)
7.215. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a , точка K —
середина ребра AB , точка E лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 2 ,
точка F — центр грани ABC . Найти угол между прямыми BC и KE ,
7.2. Многогранники 171
расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через
точки A, B , E и F . (МФТИ. Билет 1, 1999)
7.216. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD
равна 2, высота пирамиды, опущенная на основание, равна 2

2 . На реб-
рах SA и SD расположены точки E и F так, что AE = 2ES , SF =
= 5DF . Через точки E и F проведена плоскость α, параллельная CD .
Найти: 1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плос-
костью α; 2) радиус сферы с центром в точке A, касающейся плоскости
α; 3) угол между плоскостью α и плоскостью ABC . (МФТИ. Билет 5,
1999)
7.217. В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основа-
ния ABC равна 12, ∠ADB = 2arctg (3/4). В треугольнике ABD прове-
дена биссектриса BA1 , а в треугольнике BCD проведены медиана BC1
и высота CB1 . Найти: 1) объем пирамиды A1B1C1D ; 2) площадь проек-
ции треугольника A1B1C1 на плоскость ABC . (МФТИ. Билет 1, 2000)
7.218. В правильной треугольной пирамиде ABCD угол ADC равен
2arcsin (1/6), а сторона основания ABC равна 2. Точки K , M , N — се-
редины ребер AB , CD , AC соответственно. Точка E лежит на отрезке
KM и 3ME = KE . Через точку E проходит плоскость α перпендику-
лярно отрезку KM . В каком отношении плоскость α делит ребра пира-
миды? Найти площадь сечения пирамиды плоскостью α и расстояние от
точки N до плоскости α. (МФТИ. Билет 5, 2000)
7.219. Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами по-
ставлено гранью ABC на плоскость. Точка F — середина ребра CD ,
точка S лежит на прямой AB , S ̸= A, AB = BS . В точку S сажают
муравья. Как должен муравей ползти в точку F , чтобы пройденный им
путь был минимальным? (МФТИ. Билет 1, 2001)
7.220. Сторона основания ABC правильной пирамиды ABCD равна
4

3 , ∠DAB = arctg √
37/3 . Точки A1 , B1 , C1 — середины ребер AD ,
BD , CD соответственно. Найти: 1) угол между прямыми BA1 и AC1 ;
2) расстояние между прямыми BA1 и AC1 ; 3) радиус сферы, касающейся
плоскости ABC и отрезков AC1 , BA1 и CB1 . (МФТИ. Билет 5, 2001)
7.221. Апофема правильной пирамиды SABCD равна 2, боковое
ребро образует с основанием ABCD угол, равный arctg√
3/2 . Точки
172 Глава 7. Стереометрия
E , F , K выбраны соответственно на ребрах AB , AD и SC так, что
AE/EB = AF/F D = SK/KC = 1/2 . Найти: 1) площадь сечения пира-
миды плоскостью EFK ; 2) расстояние от точки D до плоскости EFK ;
3) угол между прямой SD и плоскостью EFK . (МФТИ. Билет 9, 2001)
7.222. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD
равна 2. Плоскость α, параллельная прямым SB и AD , пересекает пи-
рамиду так, что в сечение можно вписать окружность радиуса √
15/5 .
Найти: 1) в каком отношении плоскость α делит ребра пирамиды; 2) от-
ношение объемов частей, на которые плоскость α разбивает пирамиду;
3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плоскости
α. (МФТИ. Билет 3, 2002)
7.223. Расстояние от центра O шара радиуса 12, описанного около
правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно 4

2 .
Найти: 1) высоту пирамиды; 2) расстояние от точки O до боковой грани
пирамиды; 3) радиус вписанного в пирамиду шара. (МФТИ. Билет 5,
2002)
7.224. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD
равна 8, высота SO равна 3. Точка M — середина ребра SB , точка
K — середина ребра BC . Найти: 1) объем пирамиды AMSK ; 2) угол
между прямыми AM и SK ; 3) расстояние между прямыми AM и SK .
(МФТИ. Билет 9, 2002)
7.225. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найти радиус сферы,
касающейся: а) ребер BA, BB1 , BC и плоскости A1DC1 ; б) ребер BA,
BB1 , BC и прямой DA1 (МФТИ. Билет 5, 2003)
7.226. Основание прямой призмы ABCA1B1C1 — треугольник ABC ,
в котором AB = BC = 5 , AC = 6 . Высота призмы равна √
6 . На
сторонах AC , BC и A1C1 выбраны соответственно точки D , E и D1
так, что DC = AC/4 , BE = CE , A1D1 = A1C1/3 , и через эти точки
проведена плоскость α. Найти: 1) площадь сечения призмы плоскостью
α; 2) угол между плоскостью α и плоскостью ABC ; 3) расстояние от
точек C1 и C до плоскости α. (МФТИ. Билет 9, 2003)
7.227. В пирамиде ABCD длина отрезка BD равна 5/2 , точка E —
середина AB , a F — точка пересечения медиан грани BCD , причем
EF = 8 . Сфера радиуса 5 касается плоскостей ABD и BCD в точках
7.3. Фигуры вращения 173
E и F соответственно. Найти двугранный угол между гранями ABD и
BCD , площадь грани BCD и объем пирамиды ABCD . (МФТИ. Би-
лет 1, 2004)
7.228. Вписанные окружности граней SBC , SAC и SAB треуголь-
ной пирамиды SABC попарно пересекаются и имеют радиусы √
3 ,

5
и

7 соответственно. Точка K является точкой касания окружностей
со стороной SA, причем SK = 5 . Найти длину отрезка AK , периметр
и радиус вписанной окружности треугольника ABC . (МФТИ. Билет 5,
2004)
7.229. Задан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 1. Найти: а) пло-
щадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину B1 , середину
ребра AD и параллельной прямой A1C1 ; б) площадь сечения куба плос-
костью, проходящей через вершину B1 и параллельной прямой A1C1 , у
которой площадь проекции сечения на плоскость A1C1A максимальна.
(МФТИ. Билет 9, 2004)
7.3. Фигуры вращения
Группа А
7.230. Радиусы двух шаров равны 2 и 5. Через их единственную об-
щую точку проведена плоскость, площадь сечения которой меньшего ша-
ра равна 0,4. Найти площадь сечения этой плоскостью большего шара.
7.231. Расстояние от центра верхнего основания цилиндра до плос-
кости нижнего основания цилиндра равно радиусу основания цилиндра и
равно 6. Найти расстояние от центра верхнего основания до хорды ниж-
него основания, стягивающего дугу 90◦
.
7.232. Площадь сечения усеченного конуса плоскостью, проходящей
через ось его симметрии, равна 5, а один из углов между диагоналями
сечения равен α. Найти высоту конуса.
7.233. Радиус основания конуса равен R, а боковая поверхность равна
сумме площадей основания и осевого сечения. Определить объем конуса.
174 Глава 7. Стереометрия
7.234. Высота конуса равна h. Разверткой боковой поверхности этого
конуса является сектор с центральным углом 120◦
. Вычислить объем
конуса.
7.235. Радиус основания конуса равен R. Разверткой боковой поверх-
ности этого конуса является сектор с центральным углом 90◦
. Вычислить
объем конуса.
7.236. Определить боковую поверхность и объем усеченного конуса с
образующей, равной l , описанного около шара радиуса r .
7.237. Радиус основания конуса равен R. Две взаимно перпендику-
лярные образующие делят площадь боковой поверхности конуса на части
в отношении 1 : 2 . Найти объем конуса.
7.238. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересекает ос-
нование по хорде, длина которой равна радиусу этого основания. Опре-
делить отношение объемов полученных частей конуса.
7.239. Около шара описан усеченный конус, площадь нижнего осно-
вания которого в a раз больше площади верхнего основания. Во сколько
раз объем усеченного конуса больше объема шара?
7.240. В конус вписан шар. Доказать, что отношение полной поверх-
ности конуса к поверхности шара равно отношению их объемов.
7.241. Высота цилиндра равна радиусу его основания и имеет длину
a . Через ось цилиндра проведена другая цилиндрическая поверхность,
делящая окружность основания на две дуги, длины которых относятся,
как 2 : 1 . Эта цилиндрическая поверхность делит данный цилиндр на две
части. Найти боковую поверхность и объем большей части цилиндра.
7.242. Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него
шара равно q . Найти отношение объемов этих тел. При каких значениях
q задача не имеет решения?
7.243. Конус лежит на плоскости и катится по ней, вращаясь вокруг
своей неподвижной вершины. Высота конуса и его образующая равны h
и l . Вычислить площадь поверхности, описываемой высотой конуса.
7.244. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы пря-
мую призму можно было вписать в цилиндр?
7.3. Фигуры вращения 175
7.245. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы ци-
линдр можно было вписать в прямую призму?
7.246. Цилиндр рассечен плоскостью, не параллельной основаниям и
их не пересекающей. Какие измерения нужно произвести, чтобы вычис-
лить объем одной из отсеченных частей?
7.247. Фигура получена вращением прямоугольника около оси, па-
раллельной одной из его сторон и лежащей в плоскости прямоугольника,
но его не пересекающей. Доказать, что объем этой фигуры равен произве-
дению площади прямоугольника на длину окружности, описываемой при
вращении центром прямоугольника.
7.248. Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна
диаметру основания. В правильный тетраэдр с ребром a вписать равно-
сторонний цилиндр так, чтобы одно из оснований цилиндра содержалось
в одной из граней тетраэдра, а окружность второго основания касалась
трех других граней. Вычислить объем и площадь боковой поверхности
этого цилиндра.
7.249. В куб с ребром a вписать равносторонний цилиндр так, чтобы
ось цилиндра содержала диагональ куба, а окружности оснований цилин-
дра касались граней куба. Вычислить объем этого цилиндра.
7.250. Диаметр основания цилиндра увеличили вдвое и одновременно
уменьшили вдвое его высоту. Как изменилась площадь боковой поверх-
ности и объем цилиндра?
7.251. В каком случае площадь треугольника, получающегося в се-
чении конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса, имеет наи-
большую величину?
7.252. В конус высоты h и с радиусом основания R вписать цилиндр
с максимальной площадью боковой поверхности и найти эту площадь.
7.253. Дана сфера радиуса R. На расстоянии, равном 2R от центра
сферы, взята точка S и из нее проведены все прямые, касающиеся сферы
(т.е. имеющие с ней ровно одну общую точку). Что из себя представляет
объединение этих касательных? Вычислить площадь поверхности, состав-
ленных из отрезков касательных от точки S до точек касания.
176 Глава 7. Стереометрия
7.254. В сферу радиуса R вписать правильный тетраэдр (описать
построение). Найти объем этого тетраэдра.
7.255. В сферу радиуса R вписать куб (описать построение). Найти
объем этого куба.
7.256. Около сферы радиуса R описать правильный тетраэдр (опи-
сать построение). Найти объем этого тетраэдра.
7.257. Около сферы радиуса R описать правильный октаэдр (описать
построение). Найти объем этого октаэдра.
7.258. Три образующие конуса содержатся в прямых — осях прямо-
угольной системы координат. В этот конус вписана сфера радиуса R.
Вычислить боковую поверхность конуса.
7.259. Каждое ребро куба разделено на три конгруэнтные части. До-
казать, что полученные двадцать четыре точки деления принадлежат од-
ной сфере. Вычислить площадь поверхности этой сферы, если длина реб-
ра куба равна a .
7.260. Гранями параллелепипеда с ребрами длины a являются ром-
бы с острым углом 60◦
. Вычислить объем вписанного в параллелепипед
шара.
7.261. Из бумажного прямоугольника со сторонами a и b склеивают
боковую поверхность цилиндра. Какие стороны следует склеить между
собой, чтобы цилиндр с такой боковой поверхностью имел наибольший
объем?
7.262. Доказать, что плоскость, пересекающая боковую поверхность
цилиндра, но не пересекающая его основания, делит ось цилиндра, боко-
вую поверхность и объем в одинаковом отношении.
7.263. Цилиндр пересекается плоскостью, не перпендикулярной его
образующей и не пересекающей его основания. Какая кривая получит-
ся, если развернуть линию пересечения вместе с боковой поверхностью
цилиндра на плоскость?
7.264. Найти геометрическое место центров кругов, образуемых при
сечении данного шара плоскостями, проходящими: а) через данную пря-
мую a ; б) через данную точку A.
7.3. Фигуры вращения 177
7.265. Доказать, что отношение объемов шара и описанного около
него усеченного конуса равно отношению площадей их полных поверхно-
стей.
7.266. Плоскость касается двух касающихся шаров радиусов R и r
в точках A и B . Найти длину отрезка AB .
7.267. Центры трех сфер радиусов 3, 4 и 6 расположены в вершинах
правильного треугольника со стороной 11. Сколько существует плоско-
стей, касающихся одновременно этих сфер?
7.268. Внутри конуса находятся четыре шара равного радиуса. Три
шара касаются его основания, каждый шар касается боковой поверхности
конуса, кроме того, каждый шар касается трех других. Найти угол при
вершине осевого сечения конуса.
7.269. Радиус основания и высота конуса равны 1. Внутри конуса
находятся три шара равного радиуса. Каждый шар касается двух других,
основания конуса и боковой поверхности конуса. Найти радиус каждого
из этих шаров.
7.270. Два равных конуса с общей вершиной S , высотой h и радиу-
сом основания R (R < h) касаются друг друга и плоскости P , находясь
по одну сторону от этой плоскости. Пусть l — прямая, по которой пе-
ресекаются плоскости оснований конусов. Найти угол между прямой l и
плоскостью P .
7.271. Два конуса, осевое сечение каждого из которых является пра-
вильным треугольником со стороной a , лежат на горизонтальной плос-
кости, касаясь друг друга и имея общую вершину. На какой высоте над
этой плоскостью находится точка касания оснований этих конусов?
7.272. Через центр шара проведены три попарно перпендикулярные
плоскости, разделившие шар на 8 частей. В каждую из этих частей впи-
сано по шару. а) Найти отношение объема вписанного в одну из частей
шара к объему исходного шара. б) Центры вписанных шаров являются
вершинами многогранника. Найти отношение объема этого многогранни-
ка и данного шара.
7.273. Найти объем конуса, разверткой боковой поверхности которого
является полукруг радиуса R.
178 Глава 7. Стереометрия
7.274. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 150◦
. Че-
рез вершину конуса проведено сечение, являющееся прямоугольным тре-
угольником. Найти угол между плоскостью сечения и плоскостью осно-
вания конуса.
7.275. Осевое сечение конуса является правильным треугольником.
Через ось конуса проведены две взаимно перпендикулярные плоскости.
Рассмотрим два шара, каждый из которых касается этих двух плоскостей,
плоскости основания и боковой поверхности конуса, только один касается
изнутри, а другой — снаружи. Найти отношение радиусов шаров.
7.276. Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна √
2 . Две
вершины правильного треугольника расположены на грани одного осно-
вания цилиндра, а одна вершина — на границе другого основания. Найти
сторону правильного треугольника.
7.277. Высота конуса равна диаметру его основания. В конус впи-
сан куб, четыре вершины которого расположены на основании конуса, а
четыре — на его боковой поверхности. Найти отношение объемов куба и
конуса.
7.278. Три одинаковых шара касаются попарно между собой, а так-
же касаются боковой поверхности и плоскости основания конуса. Центры
шаров находятся внутри конуса. Найти угол в осевом сечении конуса, ес-
ли известно, что точка касания каждого шара с боковой поверхностью
конуса делит соответствующую образующую пополам.
7.279. В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC , у
которого AB = AC = 2 , ∠BAC = 30◦
. Ребро SA перпендикулярно
плоскости ABC . Известно, что существует конус, вершина которого сов-
падает с точкой A, а основание вписано в треугольник SBC . Найти
объем пирамиды.
7.280. Найти объем тела, полученного при вращении прямоугольника
со сторонами 1 и 2 вокруг диагонали.
7.281. Две противоположные вершины куба совпадают с центрами ос-
нований цилиндра, а остальные лежат на боковой поверхности цилиндра.
Найти отношение объемов цилиндра и куба.
7.282. ABC — правильный треугольник со стороной 3, M и K —
7.3. Фигуры вращения 179
точки на BA и CA такие, что BM = CK = 1 . Найти объем тела,
полученного при вращении треугольника ABC вокруг прямой MK .
7.283. Основанием пирамиды ABCD является правильный треуголь-
ник ABC со стороной 12. Ребро BD перпендикулярно плоскости ABC
и равно 10√
3 . Все вершины этой пирамиды лежат на боковой поверхно-
сти прямого кругового цилиндра, ось которого пересекает ребро BD и
плоскость ABC . Найти радиус основания цилиндра.
7.284. Шар касается плоскости основания ABCD правильной четы-
рехугольной пирамиды SABCD в точке A и, кроме того, касается впи-
санного в пирамиду шара. Через центр первого шара и сторону основания
BC проведена секущая плоскость. Найти угол наклона этой плоскости к
плоскости основания, если диагонали сечения перпендикулярны ребрам
SA и SD .
7.285. Внутри прямого кругового конуса расположен куб так, что
одно ребро куба лежит на диаметре основания конуса, вершины, не при-
надлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности конуса, центр
куба лежит на высоте конуса. Найти отношение объемов конуса и куба.
7.286. Основанием пирамиды служит квадрат ABCD со стороной
a , боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно b ,
M — точка на ребре SA. Точки M , B , D лежат на поверхности пря-
мого кругового конуса с вершиной в точке A, точка C — в плоскости
основания конуса. Найти площадь боковой поверхности конуса.

 

 

 

 


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (18.04.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar