Тема №6061 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 7)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 7) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко (Часть 7), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Группа Б
7.287. Пусть точки A, B и C не принадлежат одной прямой. Что из
себя представляет множество точек пространства, расстояния от которых
до плоскости α = (ABC) не превышают данной величины h и проекции
которых на прямые BC , CA, AB принадлежат одной прямой?
7.288. Доказать, что в сечении боковой поверхности цилиндра плос-
костью, не перпендикулярной оси цилиндра и не пересекающей его осно-
вания, получается эллипс. Указать наибольший и наименьший диаметры
этого эллипса.
180 Глава 7. Стереометрия
7.289. Что из себя представляет множества точек, находящихся на
данных расстояниях от плоскости α и от прямой l , наклоненной к этой
плоскости?
7.290. Два цилиндра, имеющие равные радиусы оснований, располо-
жены так, что их оси пересекают друг друга под прямым углом. Нарисо-
вать фигуру, получившуюся в пересечении этих цилиндров. Вычислить
ее объем, если радиусы оснований цилиндров равны r .
7.291. Вершина конической поверхности вращения совпадает с нача-
лом O прямоугольной системы координат Oxyz , ось вращения совпадает
с положительным направлением оси Oz , луч, вращением которого полу-
чается поверхность, образует с осью Oz угол ϕ. Написать уравнение этой
поверхности в координатах.
7.292. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы дан-
ный выпуклый четырехгранный угол мог быть вписан в коническую по-
верхность вращения так, чтобы ребра угла были образующими кониче-
ской поверхности?
7.293. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы в
данный выпуклый четырехгранный угол могла быть вписана коническая
поверхность вращения так, чтобы угол и коническая поверхность пере-
секались в точности по четырем образующим поверхности — лежащим в
гранях угла?
7.294. Доказать, что для того, чтобы в усеченный конус можно бы-
ло вписать сферу, касающуюся оснований и каждой образующей конуса,
необходимо и достаточно, чтобы длина высоты конуса была средним про-
порциональным между диаметрами верхнего и нижнего основания кону-
са: 2R : h = h : 2r (здесь r — радиус верхнего основания, R — радиус
нижнего основания, h — высота конуса).
7.295. При помощи циркуля и линейки построить диаметр данного
материального (например, из углепластика) шара.
7.296. Все четыре стороны пространственного четырехугольника ка-
саются сферы. Доказать, что четыре точки касания принадлежат одной
плоскости.
7.297. Рассмотрим гексаэдр (шестигранник), все грани которого —
четырехугольники, около которых можно описать окружность. Доказать,
7.3. Фигуры вращения 181
что существует единственная сфера, проходящая через все 8 вершин этого
многогранника.
7.298. Что из себя представляет множество точек пространства, не
содержащееся в одной плоскости, не совпадающее со всем пространством,
и такое, что через каждые три его точки проходит окружность, содержа-
щаяся в этом множестве?
7.299. Даны четыре попарно не пересекающиеся сферы равных ра-
диусов с центрами, не принадлежащими одной плоскости. а) Сколько су-
ществует сфер, касающихся одновременно всех четырех сфер? б) Как по-
строить эти сферы?
7.300. Пересечение сферы с двугранным углом, ребро которого прохо-
дит через центр сферы, называется сферическим двуугольником. Ограни-
чивающие его две полуокружности называются его сторонами, величина
двугранного угла, равная величине угла между касательными, проведен-
ными к полуокружностям в точке их пересечения, называется величиной
угла двуугольника. Доказать, что: а) если величины углов двух двууголь-
ников на одной сфере равны, то сами двуугольники конгруэнтны; б) ис-
ходя из того, что конгруэнтные сферические двуугольники имеют равные
площади, вывести для площади двуугольника формулу: Sα = 2R2α, где
R — радиус сферы, α — радианная мера угла двуугольника.
7.301. Сферическим треугольником называется пересечение сферы и
трехгранного угла с вершиной в центре сферы (или часть сферы, ограни-
ченная тремя дугами больших кругов). Вычислить площадь сферического
треугольника ABC , рассматривая его как пересечение трех двуугольни-
ков: одного с вершиной в точке A и соответствующем углом α, другого
с вершиной B и углом величины β и третьего с вершиной C и углом γ .
7.302 ∗
. Доказать, что если грани тетраэдра равновелики (т.е. имеют
равные площади), то описанная около него и вписанная в него сферы
концентрические.
7.303 ∗
. Вывести формулу Симпсона: если площадь S(x) сечения
пространственной фигуры плоскостью Px , проведенной перпендикуляр-
но некоторой координатной прямой Ox через точку с координатой x,
выражается многочленом от переменной x не выше второй степени, то
объем фигуры можно вычислить по формуле V = h(S0 + 4Sm + Sn)/6 ,
182 Глава 7. Стереометрия
где h — высота фигуры, S0 — площадь непустого сечения с наименьшей
координатой x = x0 , Sn — площадь непустого сечения с наибольшей ко-
ординатой x = x1 , Sm — площадь сечения с координатой x = (x0+x1)/2 .
Проверить справедливость этой формулы на уже известных формулах
для объемов.
7.304. Можно ли внутри куба с ребром 1 разместить три цилиндра
высоты 1 и диаметра 1/2 так, чтобы они не могли перемещаться внутри
куба?
7.305. С помощью циркуля и линейки построить на плоскости отре-
зок, равный радиусу данного деревянного шара.
7.306. Планета получена вращением квадрата со стороной a вокруг
его диагонали. Маршрут по поверхности этой планеты называется круго-
светным, если он замкнут и симметричен относительно центра квадрата.
Найти длину кратчайшего кругосветного маршрута.
7.307. а) Доказать, что если все сечения тела плоскостями являют-
ся кругами, то это тело — шар. б) Доказать, что если все сечения тела
плоскостями, проходящими через данную точку, являются кругами, то
это тело — шар.
7.308. а) Можно ли четырьмя шарами закрыть точечный источник
света? (Источник считается закрытым, если любой исходящий из него луч
пересекает хотя бы один из шаров.) б) Каким наименьшим числом шаров
одинакового радиуса можно закрыть точечный источник света?
7.309. В пространстве заданы тридцать ненулевых векторов. Дока-
зать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45◦
.
7.310. Три шара попарно касаются, а плоскость касается этих шаров
в точках A, B и C . Найти радиусы этих шаров, если стороны треуголь-
ника ABC равны a , b и c .
7.311. Два шара одного радиуса и два другого расположены так, что
каждый шар касается трех других и данной плоскости. Найти отношение
радиусов шаров.
7.312. В пространстве расположены четыре шара так, что каждый
касается трех других. Доказать, что шесть точек касания принадлежат
одной сфере или одной плоскости.
7.3. Фигуры вращения 183
7.313. В пространстве расположены четыре конуса с общей вершиной
и одинаковой образующей (но, вообще говоря, с разными радиусами ос-
нований). Каждый из этих конусов касается двух других. Доказать, что
четыре точки касания окружностей оснований конусов лежат на одной
окружности.
7.314. На плоскости лежат n равных конусов с общей вершиной
(n > 3 ). Каждый конус касается двух других конусов. Найти угол при
вершине осевого сечения конуса.
7.315. Оси трех равных попарно касающихся цилиндрических по-
верхностей взаимно перпендикулярны. Найти радиус наибольшей цилин-
дрической поверхности, которая может пройти между данными, если их
радиус равен r .
7.316. а) Две окружности, не лежащие в одной плоскости, пересе-
каются в двух точках A и B . Доказать, что существует единственная
сфера, содержащая эти окружности. б) Докажите справедливость утвер-
ждения предыдущего пункта в случае, когда обе окружности касаются
прямой l в точке A.
7.317. а) В пространстве расположены несколько окружностей, при-
чем любые две из них имеют пару общих точек. Доказать, что либо все
эти окружности имеют две общие точки, либо все они лежат на одной сфе-
ре (или в одной плоскости). б) Три окружности попарно касаются друг
друга (т.е. имеют общие точки и общие касательные в этих точках), при-
чем все точки касания различны. Доказать, что эти окружности лежат
на одной сфере (или в одной плоскости).
7.318. На сфере радиуса 2 расположены три попарно касающиеся
окружности радиуса 1. Найти радиус наименьшей окружности, располо-
женной на этой сфере и касающейся всех трех окружностей.
7.319. Доказать, что в четырехгранный угол можно вписать сферу
тогда и только когда, когда суммы его противоположных плоских углов
равны.
7.320 ∗
. Доказать, что многогранник, описанный около сферы радиуса
10 и целиком лежащий внутри сферы радиуса 11, имеет более двадцати
двух граней.
184 Глава 7. Стереометрия
7.321. Доказать, что если все грани многогранника являются вписан-
ными многоугольниками, а в каждой его вершине сходятся три ребра, то
этот многогранник можно вписать в шар.
7.322 ∗
. У белого многогранника некоторые грани покрашены черной
краской так, что никакие две черные грани не имеют общего ребра. До-
казать, что если выполнено хотя бы одно из условий: а) черных граней
больше половины; б) площадь черных граней больше площади полови-
ны площади поверхности многогранника, то в этот многогранник нельзя
вписать шар.
7.323 ∗
. У белого многогранника некоторые вершины покрашены чер-
ной краской так, что никакие две черные вершины не соединены ребром,
и черных вершин больше половины. Доказать, что в этот многогранник
нельзя вписать шар.
7.324 ∗
. Известно, что все ребра многогранника M равны и касаются
некоторого шара. а) Доказать, что если одна из граней M имеет нечетное
число сторон, то существует шар, описанный около M . б) Обязательно
ли в условиях пункта (а) существует вписанный в M шар? в) Доказать,
что если все грани M имеют одинаковое число сторон, то существует
вписанный в M шар. г) Обязательно ли в условиях пункта (в) существует
описанный около M шар?
7.325 ∗
. Сколько существует шаров, касающихся всех ребер данного
тетраэдра или их продолжений?
7.326. Найти радиус шара, вписанного в тетраэдр, если радиусы внев-
писанных шаров равны r1 , r2 , r3 и r4 .
7.327. Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC так,
что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пи-
рамиды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найти
объем пирамиды, если длина образующей конуса равна 1 , ∠ABS = π/2 ,
∠BSC = π/12 , ∠SCB = π/4 . (МФТИ. Билет 1, 1991)
7.328. Сфера, вписанная в треугольную пирамиду KLMN , касается
одной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань окружности.
Найти объем пирамиды, если MK = 5/4 , ∠NMK = π/2 , ∠KML =
= 3arctg (1/3), ∠NML = π/2 − arctg (1/3). (МФТИ. Билет 2, 1991)
7.3. Фигуры вращения 185
7.329. В четырехугольной пирамиде SABCD основанием является
трапеция ABCD (BC∥AD ), BC = 4AD/5 , ∠ASD = ∠CDS = π/2 .
Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, вы-
сота которого равна 2, а радиус основания равен 5/3 . Найти объем пира-
миды. (МФТИ. Билет 5, 1991)
7.330. В четырехугольной пирамиде SKLMN основанием являет-
ся параллелограмм KLMN , ∠LSM = ∠KSL = π/2 . Все вершины
пирамиды лежат на окружностях оснований усеченного конуса, высота
которого равна 3/2 , а радиусы оснований равны 1 и 5/4 . Найти объем
пирамиды. (МФТИ. Билет 8, 1991)
7.331. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD ребро AH
вдвое больше высоты пирамиды. По одну сторону от плоскости грани
ABCD расположен цилиндр, окружность основания которого проходит
через центр этой грани. Ортогональные проекции цилиндра на плоскости
SCD и SBC — прямоугольники с общей вершиной в точке C . Найти
отношение объемов цилиндра и пирамиды. (МФТИ. Билет 5, 1994)
7.332. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC име-
ет длину 11/5 и составляет с плоскостью основания ABC угол, равный
arctg (5√
2/4). Цилиндр расположен так, что окружность одного из его ос-
нований проходит через середину ребра AC и не пересекает грань SAB .
Ортогональные проекции цилиндра на плоскости SAB и SBC — прямо-
угольники с общей вершиной в точке S . Найти объем цилиндра. (МФТИ.
Билет 6, 1994)
7.333. Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет един-
ственную общую точку с окружностью его нижнего основания и делит
ось цилиндра в отношении 2 : 6 : 1 , считая от центра одного из основа-
ний. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается двух его
образующих, находящихся на расстоянии 2

6 друг от друга. (МФТИ.
Билет 9, 1994)
7.334. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 бо-
ковое ребро равно √
14 , длина стороны основания ABCD призмы равна
6. Окружность основания прямого кругового конуса вписана в треуголь-
ник BC1D , а вершина конуса лежит в плоскости ABC1 . Найти объем
конуса. (МФТИ. Билет 5, 1995)
186 Глава 7. Стереометрия
7.335. Окружность основания прямого кругового цилиндра вписана
в боковую грань SAB правильной четырехугольной пирамиды SABCD
(S — вершина), центр другого основания цилиндра лежит в плоскости
SBC . Найти объем цилиндра, если AB = 6 , SB = 5 . (МФТИ. Билет 6,
1995)
7.336. В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона осно-
вания ABC равна a . Внутри пирамиды расположен конус, окружность
основания которого вписана в треугольник ACD , а вершиной конуса яв-
ляется точка O , лежащая на высоте BE треугольника ABC так, что
BE : OB = 3 . Найти радиус основания конуса и радиус шара, касающе-
гося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой B . (МФТИ. Билет
9, 1996)
7.337. В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона осно-
вания ABC равна a . Внутри пирамиды расположен конус, окружность
основания которого вписана в треугольник ABD , а вершина конуса рас-
положена на средней линии треугольника ABC , параллельной стороне
AB . Найти боковое ребро пирамиды и радиус шара, касающегося конуса
и трех граней пирамиды с общей точкой C . (МФТИ. Билет 10, 1996)
7.338. Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар радиу-
са 3r/2 так, что каждый шар касается двух других и боковой поверхности
цилиндра, причем первые два равных шара касаются нижнего основания,
а третий шар касается верхнего основания цилиндра. Найти радиус осно-
вания цилиндра, если его высота равна 4r . (МФТИ. Билет 1,1997)
7.339. Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар ради-
уса r/2 так, что каждый шар касается двух других, нижнего основания
цилиндра и его боковой поверхности. Найти радиус основания цилиндра.
(МФТИ. Билет 2, 1997)
7.340. Три шара радиуса r касаются друг друга и шара радиуса R
внешним образом. При каком соотношении r и R это возможно? Счи-
тая, что R > r , найти радиус шара, касающегося всех четырех шаров
внешним образом. (МФТИ. Билет 5, 2001)
Глава 8
Задачи на максимум и минимум
8.1. Планиметрия
Группа А
8.1. В треугольнике ABC известно, что AB = 3, 8 , BC = 0, 6 . Найти
длину стороны AC , если ее длина выражается целым числом.
8.2. Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехуголь-
ника. Где нужно построить колодец, чтобы сумма расстояний от него до
всех домов была наименьшая?
8.3. Доказать, что медианы треугольника меньше полусумм сторон,
выходящих из той же вершины, но больше разности полупериметра и
длины стороны, к которой проведена эта медиана.
8.4. В некотором поселке четыре дома: столовая, баня, клуб и почта.
Расстояние между баней и клубом рано 1000м, между клубом и почтой —
500 м, между баней и столовой — 200 м , между столовой и почтой —
300м. На каком расстоянии находятся баня и почта?
8.5. а) По разные стороны от прямолинейного шоссе расположены
две деревни. В каком месте на шоссе надо построить автобусную останов-
ку, чтобы сумма расстояний от деревень до автобусной остановки была
наименьшей (шириной шоссе пренебречь)? б) Где нужно построить авто-
бусную остановку, если деревни расположены по одну сторону от шоссе?
8.6. В треугольнике ABC известно, что AB < BC < AC , а один
из углов вдвое меньше другого и втрое меньше третьего. Найти угол при
вершине A.
188 Глава 8. Задачи на максимум и минимум
8.7. Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.
8.8. Внутри треугольника ABC с периметром P взята точка O .
Доказать, что P/2 < AO + BO + CO < P .
8.9. Пусть CK — биссектриса треугольника ABC и AC > BC .
Доказать, что угол AKC — тупой.
8.10. В треугольнике P QR сторона P Q не больше, чем 9, сторона
P R не больше, чем 12. Площадь треугольника не меньше, чем 54. Найти
его медиану, проведенную из вершины P .
8.11. В треугольнике ABC сторона AC не длиннее, чем 3, сторона
BC не длиннее, чем 4, а его площадь не меньше, чем 6. Найти радиус
описанной вокруг треугольника ABC окружности.
8.12. Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сто-
рон AB и AC в точках M и N соответственно. Доказать, что
BN > MN .
8.13. Площадь треугольника равна 1. Доказать, что средняя по длине
сторона не меньше √
2 .
8.14. Диагонали четырехугольника, вписанного в окружность, пересе-
каются в точке E . На прямой AC взята точка M , причем ∠DME = 80◦
,
∠ABD = 60◦
, ∠CBD = 70◦
. Где расположена точка M : на диагонали
AC или на ее продолжении?
8.15. В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6 , BC = 9 ,
AC = 10 . Биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке M . На
отрезке BM выбрана точка O так, что BO : OM = 3 : 1 . Площадь
какого из треугольников ABO , BCO или ACO будет наименьшей?
8.16. Доказать, что расстояние между любыми двумя точками, взя-
тыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.
8.17. Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответ-
ствует меньшая высота.
8.18. Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответ-
ствует меньшая медиана.
8.19. Длины двух сторон треугольника 10 и 15. Доказать, что биссек-
триса угла между ними не больше 12.
8.1. Планиметрия 189
8.20. Доказать, что не существует двух трапеций (отличных от парал-
лелограмма) таких, что боковые стороны каждой из них соответственно
равны основаниям другой.
8.21. На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята
точка M , отличная от C . Доказать, что MA + MB > CA + CB .
8.22. Среди всех треугольников с данным основанием и данной пло-
щадью Найти треугольник наименьшего периметра.
8.23. Точки M и N расположены по разные стороны от прямой l .
Постройте на прямой l такую точку K , чтобы разность отрезков MK
и NK была наибольшей.
8.24. Внутри угла даны точки M и N . Постройте на сторонах уг-
ла точки K и L так, чтобы периметр четырехугольника KLMN был
наименьшим.
8.25. При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым
углом 30◦ и периметром 6 имеет наибольшую площадь?
Группа Б
8.26. На сторонах прямого угла с вершиной в точке O выбраны точ-
ки A и B . Точка C лежит во внутренней области угла. Доказать, что
полупериметр треугольника ABC больше OC .
8.27. Внутри квадрата выбрана произвольная точка. Доказать, что
расстояние от этой точки до любой вершины меньше суммы расстояний
до трех других вершин.
8.28. Пусть a, b, c — длины сторон некоторого треугольника. Дока-
зать, что существуют положительные числа x, y, z такие, что a = x + y ,
b = y + z , c = x + z .
8.29. Доказать, что в выпуклом четырехугольнике сумма длин сторон
меньше удвоенной суммы длин диагоналей, но больше суммы диагоналей.
8.30. Внутри острого угла выбрана точка C . Построить на сторо-
нах угла точка A и B так, чтобы треугольник ABC имел наименьший
периметр.
190 Глава 8. Задачи на максимум и минимум
8.31. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. Доказать, что ес-
ли периметр треугольника ABD меньше периметра треугольника ACD ,
то AB < AC .
8.32. Доказать, что удвоенный периметр выпуклого пятиугольника
больше суммы длин его диагоналей.
8.33. Два поселка расположены по разные стороны от реки с парал-
лельными прямолинейными берегами. В каком месте на реке нужно по-
строить мост, чтобы путь от одного поселка до другого был наименьший?
8.34. Существует ли треугольник, у которого две высоты больше 1м,
а площадь меньше 1см?
8.35. В треугольнике ABC на наибольшей стороне BC , равной b ,
выбирается точка M . Найти наименьшее расстояние между центрами
окружностей, описанных около треугольников BAM и ACM .
8.36. Доказать, что в параллелограмме против большего угла лежит
большая сторона.
8.37. Две высоты треугольника равны 12 и 20. Доказать, что третья
высота меньше 30.
8.38. Две высоты треугольника равны 10 и 6. Доказать, что третья
высота меньше 15.
8.39. Доказать, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не
больше медианы, проведенных из той же вершины.
8.40. Доказать, что в любом треугольнике со сторонами a, b, c выпол-
няется неравенство a
2 + b
2 > c2/2 .
8.41. Пусть m1 и m2 — медианы, проведенные к сторонам a и b
треугольника со сторонами a, b, c . Доказать, что m2
1 + m2
2 > 9c
2/2 .
8.42. Пусть a, b, c — стороны произвольного треугольника. Доказать,
что a
2 + b
2 + c
2 < 2(ab + bc + ac).
8.43. Пусть h1, h2, h3 — высоты треугольника, r — радиус вписанной
окружности. Доказать, что h1 + h2 + h3 > 9r .
8.44. Пусть h1 и h2 — высоты треугольника, r — радиус вписанной
окружности. Доказать, что 1
2r
<
1
h1
+
1
h2
<
1
r
.
8.1. Планиметрия 191
8.45. Все биссектрисы треугольника меньше 1. Доказать, что площадь
треугольника меньше 1.
8.46. Биссектриса угла при основании BC равнобедренного треуголь-
ника ABC пересекает боковую сторону AC в точке K . Доказать, что
BK < 2CK .
8.47. Известно, что в треугольнике ABC угол A равен 60◦
. Дока-
зать, что AB + AC 6 2BC .
8.48. Доказать, что площадь четырехугольника ABCD не превосхо-
дит (AB · CD + AD · BC)/2 .
8.49. В выпуклом четырехугольнике ABCD точка E — пересече-
ние диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE
и CDE равна 1, площадь всего четырехугольника не превосходит 4,
AD = 3 . Найти сторону BC .
8.50. Пусть M и N — середины сторон AB и CD выпуклого четы-
рехугольника ABCD и MN = (AB + CD)/2 . Доказать, что ABCD —
трапеция или параллелограмм.
8.51. В четырехугольнике ABCD диагональ AC делит другую диа-
гональ пополам и BC + CD = AB + AD . Доказать, что ABCD — па-
раллелограмм.
8.52. Возможен ли треугольник со сторонами 7 и 2, если известно,
что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является
средним геометрическим двух других высот?
8.53. На плоскости дана прямая l и две точки A и B по одну сторону
от нее. На прямой l выбрана точка M , сумма расстояний от которой до
точек A и B наименьшая, и точка N , для которой расстояния от A и B
равны. Доказать, что точки A, B , M , N лежат на одной окружности.
8.54. Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую,
на которой окружности высекают хорды, сумма которых наибольшая.
(Центры окружностей расположены по разные стороны от их общей хор-
ды.)
8.55. На сторонах прямого угла с вершиной O лежат концы отрезка
AB длины a . При каком положении отрезка площадь треугольника будет
наибольшей?
192 Глава 8. Задачи на максимум и минимум
8.56. Доказать, что из всех четырехугольников с данной площадью
наименьший периметр имеет квадрат.
8.57. Середины высот треугольника лежат на одной прямой. Наи-
большая сторона треугольника AB = 10 . Какое максимальное значение
может принимать площадь треугольника?
8.58. Площадь треугольника ABC равна 10. Какое наименьшее зна-
чение может принимать радиус окружности, описанной около треуголь-
ника ABC , если известно, что середины высот этого треугольника лежат
на одной прямой?
8.59. В треугольнике ABC со стороной AC = 8 проведена биссектри-
са BL. Известно, что площади треугольников ABL и BLC относятся,
как 3 : 1 . Найти биссектрису BL, при которой высота, опущенная из
вершины B на основание AC будет наибольшей.
8.60. В треугольнике KLM с основанием KM = 6 проведена меди-
ана LP . Известно, что расстояния от точки P до боковых сторон KL
и LM относятся, как 1 : 2 . Найти медиану LP , при которой площадь
треугольника KLM будет наибольшей.
8.61. В треугольник с периметром 2p вписана окружность. К этой
окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника.
Найти наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заклю-
ченной внутри треугольника.
8.62. На окружности, описанной около треугольника ABC , Найти
точку M такую, что расстояние между ее проекциями на прямые AC и
BC максимально.
8.63. На прямой, содержащей сторону AB остроугольного треуголь-
ника ABC , постройте такую точку M , что расстояние между ее проек-
циями на прямые AC и BC минимально. Чему равно это расстояние?
8.64. Около данного треугольника опишите равносторонний треуголь-
ник наибольшего периметра.
8.65. Даны угол XAY и точка O внутри него. Проведите через точку
O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей пло-
щади.
8.2. Стереометрия 193
8.66. На плоскости даны прямая и две точки P и Q, лежащие по
одну сторону от нее. Найти на прямой l такую точку M , что расстояние
между основаниями высот треугольника P QM , опущенных на стороны
PM и QM наименьшее.
8.67. От данного угла отрезком данной длины отрежьте треугольник
наибольшего периметра.
8.68. Пусть точка C — середина дуги AB , а D — любая другая
точка этой дуги. Доказать, что AC + BC > AD + BD .
8.69. Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного
угла треугольник наименьшего периметра.
8.70. Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответ-
ствует меньшая биссектриса.
8.2. Стереометрия
Группа А
8.71. Дан куб с ребром 1. Доказать, что сумма расстояний от произ-
вольной точки до его вершин не меньше 4

3 .
8.72. Доказать, что сумма двух плоских углов трехгранного угла боль-
ше третьего.
8.73. Доказать, что плоский угол выпуклого четырехгранного угла
меньше суммы трех остальных.
8.74. В каких пределах может меняться плоский угол трехгранного
угла, если два других плоских угла соответственно равны а) 70◦ и 100◦
;
б) 130◦ и 150◦
?
8.75. Доказать, что площадь одной грани тетраэдра меньше суммы
площадей трех остальных граней.
8.76. Найти длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба
между его противоположными вершинами.
8.77. Найти длину кратчайшего пути по поверхности единичного пра-
вильного тетраэдра между серединами противоположных ребер.
194 Глава 8. Задачи на максимум и минимум
8.78. Радиус основания конуса и образующая равны соответственно
2/3 и 2. Найти длину кратчайшего замкнутого пути, пересекающего все
образующие конуса и проходящего через конец одной из них, принадле-
жащий основанию.
8.79. Радиус основания и высота цилиндра равны r и h. Найти длину
кратчайшего пути по боковой поверхности цилиндра между диаметраль-
но противоположными точками разных оснований.
8.80. Ребро правильного октаэдра равно a . Найти кратчайший путь
по поверхности октаэдра между серединами двух его параллельных ребер.
8.81. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипе-
ды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых гра-
ней имеет периметр 6. Найти среди них параллелепипед большего объема.
Вычислите этот объем.
8.82. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипе-
ды, объем каждого из которых равен 4, а основания являются квадрата-
ми. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой
грани. Вычислите этот периметр.
8.83. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепи-
педы, объем каждого из которых равен 1/2, а одна из боковых граней
является квадратом. Найти среди них параллелепипед с наименьшим пе-
риметром основания. Вычислите этот периметр.
8.84. Найти высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объе-
ма, вписанного в сферу радиуса R.
8.85. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в конус, высота
которого равна 27, а радиус основания 9.
8.86. Найти наибольший объем конуса с образующей, равной a .
8.87. Найти радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписан-
ного в конус, радиус основания которого равен 3.
8.88. Вокруг сферы радиуса r описан конус. Найти наименьшее зна-
чение объема конуса и отношение его высоты к радиусу сферы в этом
случае.
8.89. Конус описан около куба так, что четыре вершины куба лежат в
плоскости основания конуса, а четыре другие вершины — на его боковой
8.2. Стереометрия 195
поверхности. Какой наименьший объем может иметь такой конус, если
ребро куба равно a ?
8.90. Около шара объема V описана треугольная пирамида. Какой
наименьший объем может быть у этой пирамиды?
8.91. В конусе расположены два единичных шара, центры которых
находятся на оси симметрии конуса. Один из шаров касается боковой
поверхности конуса, а другой — основания конуса и первого шара. Найти
угол между образующей конуса и основанием, при котором объем конуса
наименьший.
8.92. В конусе расположены два единичных шара, касающиеся осно-
вания конуса в точках, симметричных относительно центра основания.
Каждый из шаров касается боковой поверхности конуса и другого шара.
Найти угол между образующей конуса и основанием, при котором объем
конуса наименьший.
8.93. В правильной четырехугольной пирамиде расположены два ша-
ра радиуса r , касающиеся основания пирамиды в точках, принадлежа-
щих отрезку, соединяющему середины противоположных сторон основа-
ния. Каждый из шаров касается боковой грани пирамиды и другого шара.
Найти высоту пирамиды, при которой объем пирамиды наименьший.
8.94. Периметр равнобедренного треугольника равен P . Каковы долж-
ны быть длины его сторон, чтобы объем фигуры, полученной вращением
этого треугольника вокруг основания, был наибольшим?
8.95. Ребро AB тетраэдра ABCD является диагональю основания
четырехугольной пирамиды, ребро CD параллельно другой диагонали
этого основания, и концы его лежат на боковых ребрах пирамиды. Найти
наименьший объем пирамиды, если объем тетраэдра равен V .
8.96. Через вершину конуса проведено сечение наибольшей площа-
ди. Оказалось, что площадь сечения в два раза больше площади осевого
сечения конуса. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.
8.97. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
служит квадрат. Найти наибольший возможный угол между прямой BD1
и плоскостью BDC1 .
196 Глава 8. Задачи на максимум и минимум
Группа Б
8.98. Все плоские углы трехгранного угла прямые. Доказать, что лю-
бое его сечение, не проходящее через вершину, есть остроугольный тре-
угольник.
8.99. Доказать, что сумма углов пространственного четырехугольни-
ка не превосходит 360◦
.
8.100. Существует ли треугольная пирамида, высоты которой равны
1, 2, 3 и 6?
8.101. Верно ли, что у любого трехгранного угла есть сечение, явля-
ющееся правильным треугольником?
8.102. Пусть a, b, c — стороны параллелепипеда, d — одна из его
диагоналей. Доказать, что a
2 + b
2 + c
2 > d
2/3 .
8.103. В пространстве рассматриваются два отрезка AB и CD , не
лежащие в одной плоскости. Пусть M и K — середины этих отрезков.
Доказать, что MK < (AD + BC)/2 .
8.104. Ребро правильного тетраэдра равно a . Через вершину тетраэд-
ра проведено сечение, являющееся треугольником. Доказать, что
2a < P 6 3a .
8.105. В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине A равны
60◦
. Доказать, что AB + AC + AD 6 BC + CD + DB .
8.106. Можно ли в кубе вырезать отверстие, сквозь которое пройдет
куб того же размера?
8.107. На какое наименьшее количество непересекающихся трехгран-
ных углов можно разбить пространство?
8.108. Сфера радиуса 2 пересечена плоскостью, удаленной от центра
на расстояние, равное 1. Найти длину кратчайшего пути по поверхности
сферы между двумя наиболее удаленными точками сечения.
8.109. Сторона основания BCA правильной пирамиды P ABC равна
a , боковое ребро равно b . На каком расстоянии от прямой BC следует
провести сечение пирамиды, параллельное BC и AP , чтобы площадь
его была наибольшей?
8.2. Стереометрия 197
8.110. В основании пирамиды NKLM лежит правильный треуголь-
ник KLM со стороной a , KN = b . Высота пирамиды, опущенная из
вершины N , проходит через середину ребра LM . Пирамиду пересекает
плоскость β , параллельная ребрам KN и LM . На каком расстоянии
должна находиться плоскость β , чтобы площадь сечения пирамиды этой
плоскостью была наибольшей?
8.111. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб
ABCD , в котором угол BAD равен 60◦
. Известно, что SA = SC ,
SD = SB = AB . В каком отношении должна делить ребро CD точка
E , чтобы площадь треугольника SBE была наименьшая из возможных?
8.112. Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 рав-
ны a . Найти наименьшую длину отрезков, с концами на диагоналях BC1
И CA1 , параллельных плоскости ABB1 .
8.113. Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пи-
рамиды P ABCD равна a , а боковые ребра равны 2a . Найти наимень-
шую длину отрезков, с концами на ребрах AD И P C , параллельных
плоскости P AB .
8.114. Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 рав-
ны a . Найти наименьшую длину отрезков, с концами на прямых AB1 И
BC1 , перпендикулярных прямой AC1 .
8.115. Высота правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше
диагонали основания, объем пирамиды равен V . Рассматриваются все-
возможные правильные четырехугольные призмы, вписанные в пирамиду
так, что их боковые ребра параллельны диагонали основания пирамиды,
одна боковая грань принадлежит этому основанию, а вершины противо-
положной боковой грани лежат на боковой поверхности пирамиды. Найти
наибольшее значение объема рассматриваемых пирамид.
8.116. Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна a . Точки E и F
— середины ребер BB1 и CC1 соответственно. Рассматриваются тре-
угольники, вершинами которых служат точки пересечения плоскостей,
параллельных основаниям куба с прямыми AC1 , CE и DF . Найти наи-
меньшее значение площади этих треугольников.
8.117. В правильную четырехугольную пирамиду с ребром основания
a и высотой h вписана правильная четырехугольная призма так, что ее
198 Глава 8. Задачи на максимум и минимум
нижнее основание лежит внутри основания пирамиды, а вершины верхне-
го — на боковых ребрах пирамиды. Найти наибольшую площадь боковой
поверхности таких призм.
8.118. Образующая конуса имеет фиксированную длину и составляет
с высотой угол α. В конус вписана правильная шестиугольная призма с
равными ребрами (одно основание призмы лежит внутри основания кону-
са, а вершины другого основания лежат на боковой поверхности конуса).
При каком значении α площадь боковой поверхности призмы будет наи-
большей?

 

 

 

 


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (18.04.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar