Тема №7257 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 1) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

1.1. Равенство и подобие треугольников

Группа А

1.1.    В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. Доказать, что AC2 = AB • AH и CH2 = AH • BH.

1.2.    Основания трапеции равны а и b (a > b). а) Найти длину отрезка, высекаемого диагоналями на средней линии. б) Найти длину отрезка, высекаемого боковыми сторонами трапеции на прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. в) Найти длину отрезка MN, концы которого делят боковые стороны AB и CD в отношении AM : MB = DN : NC = p : q.

1.3.    Один из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти длину меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, а одно из оснований 8 см.

1.4.    На стороне BC треугольника ABC взята точка Ai так, что BAi : A1C = 2 : 1 .В каком отношении медиана CC1 делит отрезок

AA1 ?

1.5. Точки A1 и B1 делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях BA1 : A1C = 1 : p и AB1 : B]_C = 1 : q .В каком отношении отрезок AA1 делится отрезком BB1 ?

1.6.    В треугольник ABC вписан квадрат PQRS так, что вершины P и Q лежат на сторонах AB и AC, а вершины R и S — на стороне

BC. Выразить длину стороны квадрата через a = BC и ha — длину высоты треугольника, проведенной из вершины A.

1.7.    Биссектриса AD треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке P. Доказать, что треугольники ABP и BDP подобны.

1.8.    Доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Для каких четырехугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких — ромбом, для каких — квадратом?

1.9.    Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу величиной 60°. На этой дуге взята точка M. Доказать, что прямая, проходящая через середины отрезков MA и OB, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезковMB и OA .

1.10.    На одной из сторон угла расположены два отрезка длиной 3 и 4. Через их концы проведены параллельные прямые, образующие на другой стороне также два отрезка. Длина наибольшего равна 6. Найти длину другого отрезка.

1.11.    Основания трапеции равны 4 и 3, а боковые стороны пересекаются под прямым углом. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

1.12.    В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M так, что ZABM = ZBCM. Известно, что AM = 1, MC = 3. Найти длину стороны AB .

1.13.    Все стороны треугольника различны. Один из углов равен 40° . Биссектриса этого угла делит треугольник на два треугольника, один из которых подобен исходному. Найти наибольший угол исходного треугольника.

1.14.    У двух неравных, но подобных между собой треугольников имеются две пары соответственно равных между собой сторон, длины которых 12 и 18. Найдите остальные стороны каждого треугольника.

1.15.    Диагональ трапеции делит ее на два подобных между собой треугольника. Отношение боковых сторон трапеции равно 2. Найти отношение оснований трапеции.

1.16.    В трапеции известны основания: AD = 7, BC = 3. Прямая, параллельная основаниям трапеции, пересекает боковые стороны AB и CD в точках K и M. Известно, что AK : KB = 7:3. Найти KM.

1.17.    На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что AP : AD = 1 : n; Q — точка пересечения прямых AC и BP. Доказать, что AQ : AC = 1 : (n + 1).

1.18.    Вершины параллелограмма A1B1C1D1 лежат на сторонах параллелограмма ABCD (точка Ai лежит на стороне AB, точка Bi — на стороне BC и т.д.). Доказать, что центры обоих параллелограммов совпадают.

1.19.    Одна из диагоналей вписанного в окружность четырехугольника является диаметром. Доказать, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.

1.20.    В треугольнике ABC проведена биссектриса BD внутреннего или внешнего угла. Доказать, что AD : DC = AB : BC.

1.21.    Доказать, что центр O вписанной окружности треугольника ABC делит биссектрису AA1 в отношении AO : OA1 = (b + c) : a, где a,b,c — длины сторон треугольника.

1.22.    Длины двух сторон треугольника равны a , а длина третьей стороны равна b . Вычислить радиус его описанной окружности.

1.23.    Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых — треугольники с площадями S1, S2 , S3 . Найти площадь данного треугольника.

1.24.    Доказать, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.

1.25.    а) Доказать, что площадь четырехугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырехугольника ABCD , равна половине площади ABCD . б) Доказать, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

1.26.    Точка O, лежащая внутри выпуклого четырехугольника площади S , отражается симметрично относительно середин его сторон. Найти

площадь четырехугольника с вершинами в полученных точках.

1.27.    Пусть AA1 и BB1 — высоты треугольника ABC. Доказать, что AA1B1C ~ AABC. Чему равен коэффициент подобия?

1.28.    Из вершины C остроугольного треугольника ABC опущена высота CH, а из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на стороны BC и AC соответственно. Доказать, что AMNC ~ AABC.

1.29.    Пусть BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC. а) Доказать, что касательная в точке A к описанной окружности параллельна прямой B1C1. б) Доказать, что B1C1 A OA, где O — центр описанной окружности.

1.30.    В равнобедренном треугольнике ABC из середины основания BC опущен перпендикуляр HE на боковую сторону AC; O — середина отрезка HE. Доказать, что прямые AO и BE перпендикулярны.

1.31.    Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что произведение длин оснований трапеции равно сумме произведений длин отрезков одной диагонали и длин отрезков другой диагонали, но которые они делятся точкой пересечения.

1.32.    Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая. Вычислить сумму квадратов расстояний от четырех вершин квадрата до этой прямой.

Группа Б

1.33.    Прямая, соединяющая точку P пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых AB и CD, делит сторону AD пополам. Доказать, что она делит пополам и сторону BC.

1.34.    В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1. Доказать, что расстояние от любой точки M отрезка A1B1 до прямой AB равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC .

1.35.    На продолжении оснований AD и BC трапеции ABCD за точки A и C взяты точки K и L. Отрезок KL пересекает стороны AB и CD в точках M и N , а диагонали AC и BD в точках O и P . Доказать, что если KM = NL, то KO = PL.

1.36.    Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причем AB = CD = EF = R. Доказать, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной R .

1.37.    На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL. Доказать, что треугольник AKL правильный.

1.38.    На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Доказать, что их центры образуют квадрат.

1.39.    На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники ABiC и ACiB внешним образом и BA1C внутренним образом. Доказать, что AB1A1C1 — параллелограмм.

1.40.    На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены внешним образом правильные треугольники. Доказать, что их центры образуют правильный треугольник, причем его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC .

1.41.    ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC и острым углом при вершине B, CD — биссектриса угла C. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе CD. Эта прямая пересекает продолжение основанияAC в точке E . Докажите, что AD = EC/2.

1.42.    Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Доказать, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.

1.43.    На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, на которой взяты точки K и L, делящие полуокружность на равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.

1.44. а) Доказать, что высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC делят углы A1B1C1 пополам. б) На сторонах AB, BC и

CA остроугольного треугольника ABC взяты точки Ci, Ai и Bi соответственно. Доказать, что если ZBiAiC = ZBAiCi, ZAiBiC = ZABiCi и ZAiCiB = ZACiBi, то точки Ai, Bi и Ci являются основаниями высот треугольника ABC .

1.45.    В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AAi, BBi и CCi . Доказать, что точка, симметричная Ai относительно прямой AC, лежит на прямой Bi Ci.

1.46.    В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AAi, BBi и CCi. Доказать, что если AiBi^AB и BiCi^BC, то AiCi^AC.

1.47.    Пусть p — полупериметр остроугольного треугольника ABC, q — полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот. Доказать, что p : q = R : r, где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольникаABC .

1.48. Точки Ai, Bi и Ci симметричны центру описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон. Доказать, что AABC = = AAiBiCi.

1.49.    Доказать, что проекции основания высоты треугольника на стороны, ее заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

1.50.    В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя линия AiCi. Прямые AD и AiCi пересекаются в точке K. Доказать, что 2AiK = \b — c\.

1.51.    Три прямые, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три треугольника, причем остается правильный шестиугольник. Найти длину стороны этого шестиугольника, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

1.52.    Прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольника ABC, пересекает стороны BA и BC в точках P и Q соответственно. Известно, что AB = 1, BC = 2 и BP • BQ = 8/9. Найти длину отрезка BP .

 

1.58.    В треугольнике ABC со сторонами BC = а и AC = b проведена биссектриса CC1, длина которой равна lc. Пусть также BC1 = ac и AC1 = bc. Доказать, что lc = у/ab — acbc.

1.59.    В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Определить площадь треугольника.

1.60.    Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на большей стороне треугольника. Найти отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

1.61.    В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы треугольника.

1.62.    Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18.

1.63.    Дан треугольник ABC такой, что AB = 15, BC = 12 и AC = 18. Вычислить, в каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису угла C.

1.64.    Дан равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b. Найти в каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису угла при основании треугольника.

1.65.    В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угла при основании треугольника.

1.66.    В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 72° , а биссектриса этого угла равна m. Найти длины сторон этого треугольника.

1.67.    В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 36°, а биссектриса угла при основании равна л/20. Найти длины сторон треугольника.

1.68.    Найти величину cos 36° .

1.69.    В прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 из вершины прямого угла проведена биссектриса CM. Окружности, вписанные в треугольники ACM и BCM, касаются отрезка CM в точках K и L. Найти длину отрезка KL.

1.70.    Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке L , проходит через вершину C и пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответственно. Найти AB и AC, если известно, что CQ = 9, QB = 3, AP = 4 и CL является биссектрисой угла C.

1.71.    В треугольнике ABC сторона AB = 15, окружность, проходящая через вершину C, касается стороны AB в точке L и пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответственно. Найти AC и BC, если известно, что AP = 3, BQ = 2 и CL — биссектриса угла C.

1.72.    Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику.

1.73.    Пусть h — длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ac, bc — проекции катетов а и b на гипотенузу c. Доказать, что h2 = ac • bc, а2 = c • ac, и b2 = c • bc.

1.74.    Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников.

1.75.    Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника с площадями Q и q. Найти катеты.

1.76.    На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки Ai, Bi, Ci так, что отрезки AAi, BBi и CCi пересекаются в одной точке O. Доказать, что отношение площадей треугольников AOB и AOC равно BAi/CAi.

1.77.    На отрезке AB выбраны точки X и Y так, что AX : XB = AY : YB. Доказать, что X = Y.

1.78.    (Теорема Чевы). На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки Ai , Bi , Ci . Доказать, что отрезки AAi, BBi и CCi пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

ACi BAi CBi = .

Cb • Ac • Ba = '

1.79.    Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

1.80.    Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

1.81.    Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

1.82.    В треугольнике проведены три отрезка, каждый из которых соединяет вершину треугольника с точкой касания вписанной в треугольник окружности с противоположной стороной. Доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке.

1.83.    Пусть точки X и Y лежат на прямой (AB), но не принадлежат отрезку [AB]. Доказать, что если BX : XA = BY : YA, то X = Y.

1.84.    (Теорема Менелая). На сторонах BC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки Ai и Ci, а на продолжении стороны AC выбрана точка B1. Доказать, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

AC1 BA1 CB1 =

Cb ' Ac ' ba =1

1.85.    На сторонах BC и AC треугольника ABC выбраны соответственно точки A1 и B1 так, что BA1 : A1C =1:3 и AB1 : B1C = 2:1. Отрезки AA1 и BB1 пересекаются в точке O. а) Найти отношение B1O : : OB. б) Найти площадь треугольникаAOB1, если площадь треугольника ABC равна 6.

1.86.    На сторонах BC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки А1 и С1 так, что BA1 : A1C = 2:3 и AC1 : C1B = 1 : : 2 . Отрезки AA1 и CC1 пересекаются в точке O . а) Найти отношение AO : OA1. б) Найти площадь четырехугольника BC1OA1, если площадь треугольника ABC равна 1 .

1.87.    Отрезок BM является медианой треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны соответственно точки P и Q так, что AP : : PB = 2:5 и BQ : QC = 10 : 1. Отрезок PQ пересекает BM в точке R. Найти отношение BR : RM.

1.88.    Катеты прямоугольного треугольника ABC равны АС = 4 и BC = 3 .В треугольнике проведены биссектриса CD и медиана AM. Они пересекаются в точке E. Найти площадь треугольника CEM.

Группа Б

1.89. На сторонах AB, BC, АС треугольника ABC взяты соответственно точки С1, А1, В1 так, что АС1 : C1B = BA1 : А1С = CB1 : : B1 C = 1 : 2 . Точки P , Q , R являются попарным пересечением отрезков АА1, ВВ1, СС1. Найти отношение площади треугольников АВС и PQR.

1.90.    Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена высота CK, и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая, проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в точке F. Доказать, что прямая EF делит отрезок AC пополам.

1.91.    На прямых BC, CA и AB взяты точки Ai, Bi и Ci, причем точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой. Прямые, симметричные прямым AAi, BB1 и CCi относительно соответствующих биссектрис треугольника ABC, пересекают прямые BC,CA и AB в точках A2, B2 и C2. Доказать, что точки A2, B2 и C2 лежат на одной прямой.

1.92.    Прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O. Доказать, что точки пересечения прямых AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1 лежат на одной прямой (теорема Дезарга).

1.93.    На одной прямой взяты точки A1, B1 и C1, а на другой — точки A2, B2 и C2. Прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, A2C1 и A1C2 пересекаются в точках C , A и B соответственно. Доказать, что точки C, A и B лежат на одной прямой (теорема Паппа).

1.94.    На сторонах AB, BC и CD четырехугольника ABCD (или на их продолжениях) взяты точки K, L и M. Прямые KL и AC пересекаются в точке P, LM и BD — в точке Q. Доказать, что точка пересечения прямых KQ и MP лежит на прямой AD.

1.95.    Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A1 , B1 и C1 . Доказать, что: а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP , BP и CP пересекаются в одной точке; б) прямые, соединяющие середины сторон BC , CA и AB с серединами отрезков AA1 , BB1 и CCi, пересекаются в одной точке.

1.96.    На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1 , B1 и C1 так, что отрезки AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Прямые A1B1 и A1C1 пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C2 и B2 соответственно. Доказать, что AB2 = AC2 .

1.97.    а) Пусть а, в и 7 — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше 180° . На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники A1BC, AB1C и ABC1, имеющие при вершинах A, B и C углы а, в и у. Доказать, что прямые AAi, BBi и CCi пересекаются в одной точке. б) Доказать аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.

1.98.    Стороны BC, CA и AB треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках A1, B1 и C1. На лучах OA1, OB1 и OC]_ отложены равные отрезки OA2 , OB2 и OC2 . Доказать, что прямые AA2 , BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.

1.99.    На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке P. Доказать, что прямые AA2, BB2 и CC2, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q (такие точки P и Q называют изогонально сопряженными относительно треугольника ABC).

1.100.    Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно параллельны. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

1.101.    Из некоторой точки P опущены перпендикуляры PA1 и PA2

на сторону BC треугольника ABC и на высоту AA3. Аналогично определяются точки    B1,    B2    и    C1,    C2.    Доказать, что прямые    A1A2,    B1B2 и

C1C2 пересекаются в одной точке или параллельны.

1.102.    Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки B и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB и CD — в точке Q. Доказать, что прямая PQ проходит через точку S .

1.103.    В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Биссектрисы AA1 и CC1 пересекают отрезки C1B1 и B1A1 в точках M и N. Доказать, что ZMBB1 = ANBB1.

1.104.    В треугольнике ABC таком, что AB = BC = 4 и AC = 2 проведены медиана AA1, биссектриса BB1 и высота CC1. Найти площадь треугольника, образованного пересечением прямых: а) AB, AA1, BB1; б) AA1, BB1, CC1.

1.105.    Через середину стороны AB равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке K и продолжение стороны AC за точку C — в точке P. Найти площадь треугольника ABC, если BK = 2 ,AP = 5 и ZACB = arccos (1/4).

1.106.    Дан треугольник ABC , в котором AB = BC = 5 , медиана AD = \/97/2. На биссектрисе CE выбрана точка F такая, что CF = = CE/5. Через точку F проведена прямая l, параллельная BC. Найти расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до прямой l .

1.107.    Дан треугольник ABC, в котором AB = BC = 5, а радиус описанной окружности равен 25/8. На высоте CD выбрана точка E такая, что CE = CD/4 и через точку E проведена прямая l , параллельная BC . Найти расстояние от центра окружности, вписанной в треугольник ABC, до прямой l.

1.108.    В треугольнике ABC на сторонах AC и BC расположены точки D и E соответственно так, что BD — биссектриса треугольника ABC, DC = CE = 4/3, BD = 2, AABC = AADB. Найти BC и площадь треугольника ABC .

1.3. Окружность

Группа А

1.109.    Из точки B , лежащей вне окружности, выходят лучи BA и BC, пересекающие эту окружность. Выразить величину угла ABC через угловые величины дуг окружности, заключенных внутри этого угла.

1.110.    Вершина угла BAC расположена внутри окружности. Выразить величину угла BAC через угловые величины дуг окружности, заключенных внутри угла BAC и внутри угла, симметричному ему относительно вершины A .

1.111.    Из точки P , расположенной внутри острого угла BAC , опущены перпендикуляры PCi и PBi на прямые AB и AC. Доказать, что ACiAP = AC1B1P.

1.112.    Треугольник ABC прямоугольный. На гипотенузе AB во внешнюю строну построен квадрат. Точка O — его центр. Доказать, что CO — биссектриса угла ACB .

1.113.    Центр вписанной окружности треугольника ABC симметричен центру описанной окружности относительно стороны AB . Найти углы треугольника ABC .

1.114.    Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Доказать, что ZBAH = ZOAC.

1.115.    В треугольнике ABC проведены медианы AAi и BBi. Докажите, что если ACAA1 = ACBB1, то AC = BC.

1.116.    Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E; AD - биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED .

1.117.    На отрезке AB как на диаметре построена полуокружность. Прямая l касается этой полуокружности в точке C. Из точек A и B на прямую l опущены перпендикуляры AM и BN. Пусть D — проекция точки C на AB. Доказать, что CD2 = AM • BN.

1.118.    Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C , вторую — в точках B и D . Доказать, что AC параллельна BD .

1.119.    Доказать, что биссектрисы углов любого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.

1.120.    Через середину C дуги AB проводят две произвольные прямые, которые пересекают окружность в точках D,E и хорду AB — в точках F и G. Доказать, что четырехугольник DEGF может быть вписан в окружность.

1.121.    Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке M . AB — общая касательная этих окружностей, не проходящая через M (A и B — точки касания). Доказать, что M лежит на окружности с диаметром AB .

1.122.    Через точку O проведены три прямые, попарные углы между которыми равны 60°. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки A на эти прямые, служат вершинами правильного треугольника.

1.123.    N диаметров делят окружность на равные дуги. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки M внутри окружности на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника.

1.124.    Прямоугольный треугольник ABC (ABAC — прямой) двигается по плоскости таким образом, что вершины B и C скользят по сторонам заданного прямого угла. Доказать, что геометрическим местом точек A является некоторый отрезок и найти его длину.

1.125.    На окружности даны точки A, B , C, D в указанном порядке. Ai, Bi, Ci, Di — середины дуг AB, BC, CD, DA соответственно. Найти угол между прямыми A1C1 и B1D1.

1.126.    AB и CD — диаметры одной окружности. Из точки M этой окружности опущены перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и CD. Доказать, что длина отрезка PQ не зависит от положения точки M.

1.127.    Две окружности пересекаются в точках A и B. Точка X лежит на прямой AB , но не на отрезке AB . Доказать, что длины отрезков касательных, проведенных из точки X к окружностям, равны.

1.128.    Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом (т.е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найти длину общей касательной к этим окружностям.

1.129.    Пусть а и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. а) Доказать, что радиус вписанной в этот треугольник окружности равен (а + b — c)/2. б) Доказать, что радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (а + b + c)/2 .

1.130.    Прямые AB и AC — касательные к окружности с центром в точке O (B и C — точки касания). Выбирается произвольная точка X дуги BC. Через X проведена касательная, пересекающая отрезки AB и AC в точках M и N. Доказать, что периметр треугольника AMN не зависит от выбора точки X .

1.131.    Две непересекающиеся окружности вписаны в угол.

а)    К этим окружностям проведена общая внутренняя касательная. Обозначим точки пересечения этой касательной со сторонами угла через Ai и A2, а точки касания — через В1 и B2. Доказать, что A1B1 = A2B2.

б)    Через две точки касания окружностей со сторонами угла, лежащие на разных сторонах этого угла и на разных окружностях, проведена прямая. Доказать, что эта прямая высекает на окружностях хорды равной длины.

1.132.    В треугольник ABC вписана окружность. Она касается стороны AB в точке K. Доказать, что AK = p — a, где a = BC и p — полупериметр треугольника ABC.

1.133.    Доказать, что длина отрезка AL, где L — точка касания с лучом [AB) вневписанной окружности треугольника ABC, равна p, где p — полупериметр треугольника ABC.

1.134. Пусть BC = a, r и ra — радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC (окружность радиуса ra касается стороны BC), p — его полупериметр. Доказать, что pr = ra(p — a).

1.135.    Пусть AC = b, AB = c, r и ra — радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC (окружность радиуса ra касается стороны BC), p — полупериметр треугольника ABC. Доказать, что rra = (p — b)(p — c).

1.136.    Доказать формулу Герона для треугольника ABC (AC = b, AB = c, BC = a, p = (a + b + c)/2): SAbc = \Jp(p — a)(p — b)(p — c).

1.137.    Пусть r и ra, гъ , rc — радиусы вписанной и трех вневписанных

окружностей треугольника ABC. Доказать, что - =--1---1--.

r    ra    Гъ    Гс

1.138. Пусть r и ha , hb, hc — радиус вписанной окружности и длины

трех высот треугольника ABC. Доказать, что - = + -—+ — .

r    ha    hb    hc

1.139.    Пусть Oa , Ob , и Oc — центры трех вневписанных окружностей треугольника ABC (окружность с центром в О а касается стороны BC, с центром в Ов — стороны AC, с центром в Ос — стороны AB). а) Доказать, что B £ [OaOc] . б) Доказать, что (AOa) А (ОвОс).

1.140.    Пусть BC = a, ть и rc — радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC (окружность радиуса ть касается стороны AC, радиуса rc — стороны AB), p — полупериметр треугольника ABC. Доказать, что тьтс = p(p — a).

1.141. Пусть т и ra, ть, тс — радиусы вписанной и трех вневписанных окружностей треугольника ABC. Доказать, что Sabc = \/rrarbrc.

1.142.    На окружности взяты точки A, B , C и D .Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Докажите, что AC • AD/AM = BC • BD/BM.

1.143.    Центр O данной окружности радиуса R соединен с точкой C, произвольно взятой на хорде AB. Доказать, что OC2 + AC • BC = R2.

1.144.    На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая, проведенная через точку P, пересекает окружность в точках A и B . Доказать, что произведение PA • PB не зависит от выбора прямой. (Эта величина, взятая со знаком плюс для точки P вне окружности и со знаком минус для точки P внутри окружности, называется степенью точки P относительно окружности S.)

1.145.    Три окружности Si,S2, S3 попарно касаются друг друга в трех различных точках. Доказать, что прямые, соединяющие точку касания Si и S2 с двумя другими точками касания, пересекают окружность S3 в точках, являющихся концами ее диаметра.

1.146.    Доказать, что для точки P, лежащей вне окружности S, ее степень относительно S равна квадрату длины касательной, проведенной из этой точки.

1.147.    Доказать, что степень точки P относительно окружности S равна d2 — R2 , где R — радиус S, d — расстояние от точки P до центра окружности S.

1.148.    На плоскости даны две неконцентрические окружности Si и S2. Доказать, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно Si равна степени относительно S2, является прямая. (Эту прямую называют радикальной осью окружностей S\ и S2 .)

1.149.    Доказать, что радикальная ось двух окружностей проходит через точки их пересечения.

1.150.    На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Проведем радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Доказать, что все три радикальные оси пересекаются в одной точке. (Эту точку называютрадикальным центром трех окружностей.)

1.151.    На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения любых двух из них проведена прямая. Доказать, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

1.152. Даны две неконцентрические окружности Si и S2. Доказать, что множество центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальной осью, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена общая хорда.

1.153.    а) Доказать, что середины четырех общих касательных к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой. б) Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя окружностями проведена прямая. Доказать, что окружности высекают на этой прямой равные хорды.

1.154.    Две касающиеся окружности с центрами O\ и O2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найти периметр треугольника OO\O2.

1.155.    В окружность радиуса 17 вписан четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 и 9 от центра окружности. Найти длины сторон четырехугольника.

1.156.    В равнобедренную трапецию ABCD (AD,BC — основания) вписана окружность с центром в точке O, OC = 3, OD = 4. Чему равен периметр трапеции?

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (30.07.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко, гольдин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar