Тема №7258 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 2) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Группа Б

1.157. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AAi, BBi , CCi . Доказать, что эти высоты являются биссектрисами углов треугольника A1B1C1.

1.158.    Доказать, что во всяком треугольнике точки, симметричные с точкой пересечения высот относительно трех сторон треугольника, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

1.159.    Окружность Si касается сторон угла ABC в точках A и C. Окружность S2 касается прямой AC в точке C и проходит через точку B, окружность Si она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

1.160.    В треугольнике ABC угол B равен 60°, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.

1.161.    В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40°: BD - биссектриса угла B. Докажите, что BD + DA = BC.

1.162.    Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной AB пересекаются в точке P. Докажите, что центр O ее описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника APB.

1.163.    Через точку M, лежащую внутри окружности S, проведена хорда AB; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через точки A и B . Докажите, что величина 1 /PM + 1/QM не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M.

1.164.    Две окружности пересекаются в точках A и B .В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q (P на прямой BM, Q на прямойBN). Доказать, что отрезки MP и NQ равны.

1.165.    Доказать, что если через одну из точек пересечения двух окружностей провести диаметр в каждой окружности, то прямая, соединяющая другие концы этих диаметров, пройдет через вторую точку пересечения этих окружностей.

1.166.    Две окружности касаются внутренним образом в точке M . Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Доказать, что MT — биссектриса угла AMB.

1.167.    По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?

1.168.    На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D. В треугольники ABD и ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Доказать, что длина отрезка AKне зависит от выбора точки D.

1.169.    Дана окружность и точки P, K вне ее. Через точку P проведена секущая PAB (A,B — точки на окружности) и построена окружность, проходящая через точки K, A, B . Доказать, что все такие окружности походят, кроме K , еще через одну общую точку, не зависящую от выбора секущей PAB.

1.170.    Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC и AD — в точке E. Доказать, что окружности с диаметрами AC, BD и EF имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников ABE, CDE , ADF и BCF .

1.171.    Доказать, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (теорема Брианшона).

1.172.    В треугольник вписана окружность радиуса r. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника. Пусть ri, r2, r3 — радиусы вписанных в эти треугольники окружностей. Докажите, что r1 + r2 + r3 = r .

1.173.    В треугольнике ABC угол A равен 60° , а длина высоты, опущенной из вершины C, равна 5л/3. Найти длины сторон треугольника ABC, если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 2у/3.

1.174.    Через точку O — центр окружности радиуса 15 см, описанной около равнобедренного треугольника ABC , проведен диаметр, который пересекает боковые стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найти длины отрезков BM иBN, если известно, что длины отрезков MO и NO соответственно равны 4 и 15/4 см.

1.175.    Через вершины A и C треугольника ABC, площадь которого равна 10V3, проведена окружность, пересекающая стороны [AB] и [BC] в точках M и N соответственно. Центр окружности, описанной около треугольника ABC лежит на отрезке [MN]. Найти длину [MN], если известно, что \BC| = 5 , а AABC = 60° .

1.176.    Около треугольника ABC с периметром 15 и AABC = 120° описана окружность радиуса 7Д/3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC и биссектрису BK.

1.177.    Около равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) описана окружность. Диаметр AD этой окружности пересекает сторону BC в точке K, BK : KC =5:6. Найти радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 32.

1.178.    Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC. Окружность , вписанная в треугольник ABD, касается отрезка BD в точке M; окружность и2 , вписанная в треугольник BOD — в точке N. Отношение радиусов окружностей и и2 равно 7/4. Известно, что BM = 3, MN = ND = 1. Найти длины сторон треугольника ABC.

1.179.    На окружности по разные стороны от диаметра AC расположены точки B и D. Известно, что AB = у/6 и CD = 1, а площадь треугольника ABC втрое больше площади треугольника BCD . Найти радиус окружности.

1.180.    В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC вершины A, B и точка пересечения высот треугольника E лежат на окружности, которая пересекает отрезок BC в точке D. Найти радиус окружности, если CD = 4 и BD = 5.

1.181.    Окружности и и2 внешне касаются в точке A. Прямая

l касается окружности в точке B, а окружности и2 — в точке C. Через точку A проведены две прямые: одна проходит через точку B, а другая касается окружностей    и и2 и пересекает прямую l в точке D.

Найти радиусы окружностей    и и2, если AD = 3 и AC = 2у/3.

1.182.    Через точку A проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке B , а другая пересекает окружность в точках C и D так, что точка D лежит на отрезке AC . Найти длины отрезков AB и CD и радиус окружности, если BC = 4, BD = 3, ABAC = arccos (1/3).

1.183.    Один из углов треугольника равен п/4, радиус вписанной в него окружности равен 2(2 — \[2), а радиус описанной около него окружности равен 3. Найти площадь этого треугольника.

1.184.    Окружность с центром на стороне AB равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) проходит через точку A, пересекает отрезок AC в точке F, касается отрезка BC в точке G и пересекает отрезок AB в точке E, причем GC = BG, FC = a. Найти радиус окружности.

1.185.    Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок ACв точке E , а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F. Найти отношение AE : EC, если AB = 5, BC = 9. Сравнить площади треугольников ABC и ABF .

1.186.    Окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках A и B соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка K так, что расстояние он нее до продолжений сторон AC и BC равны 39 и 156 соответственно. Найти расстояние от точки K до прямой AB .

1.187.    Окружность с центром на стороне AC равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) касается сторон AB и BC. Найти радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 25, а отношение высоты BD к стороне AC равно 3/8.

1.188.    Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, Ia — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Доказать, что: а) d2 = R2 — 2Rr, где d = OI и R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC (формула Эйлера); б) d2a = R2 + 2Rra, где da = OIa и R и ra — радиусы описанной и вневписанной окружностей (последняя — с центром в точке Ia) треугольника ABC.

1.4. Четырехугольники

Группа А

1.189.    Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.

1.190.    Величина одного из углов параллелограмма равна 60° , а меньшая диагональ — 2\/3Т см. Длина перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к большей стороне, равна л/75/2 см. Найти длины сторон и большей диагонали параллелограмма.

1.191.    Точки K, L, M и N лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD, причем AK : KB = 1:2, BL : LC =1:3, CM : MD = 1:1 и DN : NA =1:1. Найти отношение площадей четырехугольников KLMN и ABCD.

1.192.    Точки K, L, M и N лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD, причем AK : KB = 3:1, BL : LC = 2:3, CM : MD = 1:2 и DN : NA =1:1. Найти отношение площадей четырехугольников KLMN и ABCD .

1.193.    В треугольник вписан параллелограмм со сторонами 3 и 5 см и диагональю, равной 6 см. Найти стороны треугольника, если известно, что диагонали параллелограмма параллельны боковым сторонам треугольника, а меньшая из его сторон лежит на основании треугольника.

1.194.    В треугольник с боковыми сторонами 9 и 15 см вписан параллелограмм так, что одна из его сторон длиной 6 см лежит на основании треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны боковым сторонам треугольника. Найти другую сторону параллелограмма и основание треугольника.

1.195.    Из вершины острого угла ромба проведены перпендикуляры к прямым, содержащим стороны ромба, которым не принадлежит эта вершина. Длина каждого перпендикуляра равна 3 см, а расстояние между их основаниями 3л/3 см. Вычислить длины диагоналей ромба.

1.196.    Точки M, N, P и Q являются серединами сторон AB, BC, CD и DA ромба ABCD. Вычислить площадь фигуры, являющейся пересечением четырехугольников ABCD, ANCQ и BPDM, если площадь ромба равна 100 см2 .

1.197.    Диагональ BD параллелограмма ABCD равна 2, а угол CAD равен 30°. Прямая CD является касательной к окружности, описанной около треугольника ABD. Найти площадь параллелограмма ABCD.

1.198.    Доказать, что трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.

1.199.    Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

1.200.    Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции.

1.201.    Найти длины боковой стороны и диагонали равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.

1.202.    В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой нижнее основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найти площадь трапеции.

1.203.    Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найти площадь трапеции.

1.204.    Большее основание трапеции имеет длину 24 см. Найти длину ее меньшего основания, если известно, что расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 4 см.

1.205.    Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Найти отношение площадей треугольников, прилегающих к боковым сторонам трапеции.

1.206.    Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом ее основании. Найти все стороны трапеции, если ее высота равна 12 см, а длины биссектрис 15 и 13 см.

1.207.    Основания трапеции равны 4 и 16 см. Найти радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно, что эти окружности существуют.

1.208.    Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 4 и 12 см.

1.209.    Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны а и b.

1.210.    Найти площадь трапеции, если ее диагонали равны 7 и 8 см, а основания — 3 и 6 см.

1.211.    Основания трапеции равны а и b. Определить длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.

1.212.    В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки длиной m и n. Определить площадь трапеции.

1.213.    Длина основания AD трапеции ABCD равна 5, а длина боковой стороны CD — 3. Известно, что диагональ AC перпендикулярна CD , а диагональ BD делит угол D пополам. Найти площадь трапеции.

1.214.    Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины одной из боковых сторон и перпендикуляра, проведенного через середину другой боковой стороны к первой.

1.215.    Отрезок AE является биссектрисой угла A трапеции ABCD (AD\\BC и точка E лежит на прямой BC). Окружность, вписанная в треугольник ABE касается сторон AB и BE в точках K и L. Найти величину угла ZBAD, если KL =1 а боковая сторона AB равна 2.

1.216.    В трапеции PQRN (PN\\QR) проведена высота RH. Известно, что PH = 8, QR = 4, PQ = ^28, ZPNR = 60° . На основании PN выбрана точка M так, что отрезок RM делит площадь трапеции пополам. Найти длину отрезка RM.

1.217.    В трапеции ABCD даны основания AD = а и BC = b. На продолжении BC выбрана точка M так, что прямая AM отсекает от площади трапеции 1/4 ее часть. Найти длину отрезка CM.

1.218.    В трапеции ABCD даны основания AD = 12 и BC = 8. На продолжении BC выбрана точка M так, что прямая AM делит трапецию на две равновеликие фигуры. Найти длину отрезка CM.

1.219.    Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 5 см2. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.

1.220.    Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований трапеции.

1.221.    В выпуклом четырехугольнике диагонали равны 1 и 2, а длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны. Найти площадь четырехугольника.

1.222.    Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке E. Найти площадь треугольника BCE, если длины оснований трапеции AB = 30, CD = 24, боковой стороны AD = 3, и угол DAB = 60° .

1.223.    В трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность с центром O. Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, OC = 3 и OD = 4.

1.224.    Около четырехугольника ABCD описана окружность, продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке K, BC : AD = 1:3, KC = CD. Чему равно отношение AB : CD ?

1.225.    В трапеции ABCD основание AB вдвое больше основания CD и вдвое больше стороны AD. Диагональ AC равна p, а сторона BC — q. Найти площадь трапеции.

Группа Б

1.226.    Около окружности радиуса R описана трапеция ABCD, длина меньшего основания BC которой равна a. Пусть E — точка касания окружности со стороной AB и длина отрезка BE равна b. Найти площадь трапеции.

1.227.    Косинус угла между боковыми сторонами AB и CD трапеции ABCD равен 4/5 . В трапецию вписана окружность, причем сторона AB делится точкой касания на отрезки длины 4 и 1, считая от вершины B. Найти длину стороны CD .

1.228.    Четырехугольник ABCD вписан в окружность, K — точка пересечения диагоналей этого четырехугольника. Известно, что окружность, описанная около треугольника CKD, касается прямых AD и BC. Найти CD , если AB = a , CK = b .

1.229. Трапеция ABCD прямоугольная, (AD)\\(BC), (CD) В (AD), ACAD = 45°, AD = 2. Окружность, построенная на стороне AD как на диаметре, пересекает сторону AB в точке L, AL = AB\/3/4. Найти: а) площадь трапеции; б) площадь части круга, заключенной внутри трапеции.

1.230.    В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол ADB в два раза меньше угла ACB, BC = AC = 5, AD = 6. Найти площадь трапеции и длину боковой стороны.

1.231.    В равнобедренной трапеции ABCD окружность касается меньшего основания BC , боковых сторон AB и CD и проходит через точку пересечения диагоналей. Найти радиус окружности, если BC : AD = = 4:5 и площадь трапеции равна 3.

1.232.    В окружность вписан выпуклый 4-х угольник ABCD со сторонами a, b, c и d .а) Доказать, что площадь его равна Sabcd = = yj(p — a)(p — b)(p — c)(p — d), где p — полупериметр ABCD . б) Доказать, что если в этот четырехугольник еще можно и вписать окружность, то Sabcd = л/abcd.

1.233.    В ромбе ABCD из вершины D опущен перпендикуляр DK на сторону BC. Найти длину стороны ромба, если AC = 2л/6 и AK = \[\4.

1.234.    В равнобедренную трапецию ABCD вписана окружность радиуса R, касающаяся основания AD в точке P и пересекающая отрезок BP в точке S такой, что PS = 3BS. Найти углы и площадь трапеции.

1.235.    Окружность, проходящая через вершины B, C и D параллелограмма ABCD , касается прямой AD и пересекает прямую AB в точках B и E. Найти длину отрезка AE, если AD = 4 и CE = 5.

1.236.    В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 5. Найти сторону AB .

1.237.    Вершины A и C параллелограмма ABCD лежат на одной окружности, а вершины B и D — на другой, пересекающей первую, причем центры окружностей лежат в плоскости параллелограмма. Расстояние между центрами окружностей равно 10. Диагонали параллелограмма

равны 26 и 6 соответственно. Найти расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до прямой, содержащей общую хорду окружностей.

1.238.    Окружность с центром на диагонали AC трапеции ABCD проходит через вершины A, B, C и касается прямой CD в точке C. Найти площадь трапеции, если BC = 4, CD = 3\/l3.

1.239.    Диагонали BD и AC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O и перпендикулярны друг другу, AO = 2, OC = = 3. Точка K лежит на стороне BC, причем BK : KC =1:2. Треугольник AKD — правильный. Найти его площадь.

1.240.    В трапеции ABCD с большим основанием BC и площадью, равной 4\/3, прямые BC и AD касаются окружности диаметра 2 в точках B и D соответственно. Боковые стороны AB и CD пересекают окружность в точках M и Nсоответственно. Длина MN равна л/3. Найти величину угла MDN и длину основания BC.

1.241.    Точка E лежит на стороне CD равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC. Известно, что AE = BE = 5л/2 , AB = 10, DE = DC/3. Найти углы и площадь трапеции.

1.242.    Четырехугольник, один из углов которого равен arctg (4/3), вписан в окружность радиуса л/6 и описан около окружности радиуса 1. Найти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями.

1.243.    Четырехугольник, один из углов которого равен arcsin (4/5), вписан в окружность радиуса л/15 и описан около окружности радиуса 2 . Найти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями.

1.244.    Сторона ромба ABCD равна 6. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и BCD, равно 8. Найти радиусы этих окружностей.

1.245.    Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 5. Найти сторону ромба.

1.246.    Вокруг окружности с центром O описана трапеция ABCD, в которой BC — меньшее основание. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке M. Найти радиус окружности, если MB = = BC, OB = V5, OC = V2.

1.247.    Окружность с центром на диагонали AC параллелограмма ABCD касается прямой AB и проходит через точки C и D. Найти стороны параллелограмма, если его площадь равна 2у/5 и ABAC = = arctg (2/л/б).

1.248.    В параллелограмме ABCD прямые l\ и l2 являются биссектрисами углов A и C соответственно, а прямые т\ и т2 — биссектрисами углов B и D соответственно. Расстояние между li и l2 в л/3 раза больше расстояния между т1 и т2. Найти угол BAD и радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если AC = 3, BD = ^59/3.

1.249.    В параллелограмме ABCD прямые l1 и l2 являются биссектрисами углов A и C соответственно, а прямые т1 и т2 — биссектрисами углов B и D соответственно. Расстояние между l1 и l2 в л/3 раза меньше расстояния между т1 и т2. Найти угол BAD и радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, если AC = у/41/3, BD = 3.

1.250.    В выпуклом четырехугольнике PQRS диагонали PR и QS перпендикулярны соответственно сторонам RS и QP, а длина стороны PS равна 4. На стороне PS взята точка K такая, что AQKP = ASKR. Известно, что ARPS — APSQ = 45°. Найти длину ломаной QKR и площадь четырехугольника PQRS, если QK : RK = л/3 : 3.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (30.07.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко, гольдин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar