Тема №7259 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 3) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

2.1. Осевая симметрия

Группа А

2.1.    Каким движением является композиция двух осевых симметрий с параллельными осями?

2.2.    Каким движением является композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями?

2.3.    Две окружности с равными радиусами пересекаются в точках A и B. Доказать, что (AB) — ось симметрии фигуры, являющейся объединением данных окружностей.

2.4.    На разных сторонах данного острого угла выбраны точки A и B . Построить равнобедренный треугольник ABC так, чтобы все его вершины принадлежали сторонам данного угла.

2.5.    Дана прямая а и отрезок AB. Построить равнобедренный треугольник с основанием AB так, чтобы его вершина лежала бы на а.

2.6.    Известно, что Sa(A) = A. Как построить точку, симметричную произвольной точке B , с помощью одной линейки?

2.7.    С помощью осевой симметрии построить разность сторон AB и BC треугольника ABC .

2.8.    С помощью осевой симметрии построить сумму сторон AB и BC треугольника ABC .

2.9.    Можно ли с помощью осевой симметрии построить разность двух углов треугольника ABC ?

2.10.    Даны прямая l и две точки A, B по одну сторону от нее. Найти на прямой l точку X так, чтобы длина ломаной AXB была минимальна.

2.11.    Точки A, B, C принадлежат внутренней области полосы с краями li и l2 (li||l2)• Построить замкнутую ломаную AKBCLA наименьшей длины (K Е l1, L Е l2 )•

2.12.    Даны точки A и B и окружность с известным центром O и радиусом r. С помощью циркуля найти точки пересечения этой окружности и прямой AB .

2.13.    В окружности, центр которой не указан, проведены две параллельные, но не равные хорды. Пользуясь только одной линейкой, разделить эти хорды пополам.

2.14.    Даны точки A и B и прямая l, разделяющая их (т.е. точки лежат по разные стороны от этой прямой). Провести прямые а и b так, чтобы угол между ними делился прямой l пополам и A Е а, B Е b.

Группа Б

2.15.    Внутри угла ABC выбрана некоторая точка X . На лучах [BA) и [BC) найти такие точки M и N, чтобы периметр треугольника XMN был минимальным.

2.16.    Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и разности боковой стороны и основания.

2.17.    Построить треугольник ABC, если даны точки A и B и прямая, на которой лежит биссектриса угла C .

2.18.    Даны три прямые l1 ,l2,l3, пересекающиеся в одной точке, и точка A на прямой li . Построить треугольник ABC так, чтобы точка A была его вершиной, а биссектрисы треугольника лежали на прямых

l1, l2, l3 .

2.19.    Построить треугольник по серединам двух сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведенная к одной из этих сторон.

2.20.    Построить четырехугольник ABCD, у которого диагональ AC является биссектрисой угла A, зная длины его сторон.

2.21.    Построить четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность, зная длины двух соседних сторон AB и AD и углы при вершинах B и D.

2.22.    В данный остроугольный треугольник вписать треугольник наименьшего периметра.

2.23.    Известно, что aBAa. Какими движениями являются Т— о Sa и Sa о Т— ?

2.24. Известно, что AB\\a. Доказать, что Т— о Sa = Sa о Т— .

2.25.    Известно, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке. Доказать, что композиция Sc о Sb ◦ Sa является осевой симметрией.

2.26.    Доказать, что Т— о Sa — скользящая симметрия. Найти ось симметрии и вектор переноса.

2.27.    Каким движением является композиция двух скользящих симметрий с перпендикулярными осями?

2.28.    Доказать, что движение f — скользящая симметрия тогда и только тогда, когда f имеет единственную неподвижную прямую.

2.29.    Доказать, что если плоская фигура имеет ровно две оси симметрии, то эти оси перпендикулярны.

2.30.    Доказать, что если многоугольник имеет несколько (больше двух) осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

2.31.    Доказать, что если плоский многоугольник имеет четное число осей симметрии, то он имеет центр симметрии.

2.2. Центральная симметрия. Поворот

Группа А

2.32. Движение f имеет единственную неподвижную точку. Доказать, что f — поворот.

2.33.    Дан угол с вершиной в точке A и точка M, принадлежащая одной из его сторон. Найти на другой стороне этого угла такую точку P, сто сумма расстояний от точки P до точек M и A равна длине данного отрезка.

2.34.    Дана точка O внутри данного угла. На сторонах этого угла найти такие две точки M и N, чтобы O была бы серединой отрезка MN.

2.35.    Через данную точку A проведите прямую так, чтобы отрезок, заключенный между точками пересечения ее с данной прямой и данной окружностью, делился точкой A пополам.

2.36.    Пусть A — одна из точек пересечения окружностей и и2. Найти такие точки X Е и Y Е и2, чтобы A была бы серединой отрезка XY.

2.37.    Доказать, что четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда он имеет центр симметрии.

2.38.    Даны угол и внутри него точки A и B. Постройте параллелограмм, для которого точки A и B — противоположные вершины, а две другие вершины лежат на сторонах угла.

2.39.    Построить треугольник по двум сторонам и медиане к третьей стороне. В каких пределах может изменяться длина медианы, если длины сторон треугольника равны а и b ?

2.40.    Каким движением является композиция центральной симметрии и параллельного переноса?

2.41.    Построить треугольник, зная середины его сторон.

Группа Б

2.42.    Построить пятиугольник, зная середины его сторон.

2.43.    Даны т = 2n + 1 точек — середины сторон m-угольника. Постройте его вершины.

2.44.    Постройте треугольник по медианам ma, ть и углу C.

2.45.    Каким движением является композиция центральной и осевой симметрий, если центр симметрии лежит на оси симметрии?

2.46.    Верно ли, что ZO2 ◦ ZOl ◦ ZO = ZO ◦ ZOl ◦ ZO2 ?

2.47.    Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Доказать, что первый игрок имеет выигрышную стратегию.

2.48.    Может ли многоугольник иметь ровно один центр и одну ось симметрии?

2.49.    Доказать, что ограниченная фигура не может иметь более одного центра симметрии.

2.50.    Доказать, что никакая фигура не может иметь ровно двух центров симметрии.

2.51.    Дана точка, лежащая внутри треугольника, образованного средними линиями данного треугольника. Сколько существует отрезков с концами на сторонах данного треугольника, делящихся этой точкой пополам?

2.52.    Пусть даны точка O, прямая а и угол величины ф (O Е а). Найти прямую b, если Sa о RO = Sb.

2.53.    Постройте равносторонний треугольник так, чтобы его вершины принадлежали трем данным параллельным прямым.

2.54.    Постройте квадрат так, чтобы три его вершины принадлежали трем данным параллельным прямым.

2.55.    Пусть O — центр квадрата ABCD, aZb, O Е а П b. Доказать, что точки пересечения прямых а и b со сторонами данного квадрата также являются вершинами некоторого квадрата.

2.56.    Через центр равностороннего треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 60о и которые не содержат вершин треугольника. Доказать, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами треугольника, равны между собой.

2.57.    Отрезки, концами которых служат внутренние точки противоположных сторон квадрата, перпендикулярны. Доказать, что эти отрезки равны.

2.58.    Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди сохранились четыре столба на сторонах квадрата. Восстановить границу участка.

2.59.    На сторонах равностороннего треугольника вне его построены квадраты. Доказать, что треугольник, вершинами которого являются центры построенных квадратов, равносторонний.

2.60.    Каким движением является композиция двух поворотов?

2.61.    В данный квадрат вписать равносторонний треугольник так, чтобы одна из его вершин совпала с вершиной квадрата, а две другие принадлежали сторонам квадрата.

2.62.    На сторонах AB и AC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABNM и ACQP. Доказать, что \MC| = \BP\ и (MC)±(BP).

2.63.    Хорды одной и той же окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. Доказать, что они равны.

2.64.    Дан равносторонний треугольник ABC и точка M. Доказать, что длина любого из трех отрезков MA , MB и MC не больше суммы длин двух других отрезков. В каком случае длина отрезка равна сумме длин двух других отрезков?

2.65.    Дан остроугольный треугольник ABC . Найти такую точку P внутри этого треугольника, что сумма \PA\ + \PB\ + \PC\ минимальна (указать способ построения такой точки).

2.66.    Пусть N, M, L и K являются соответственно серединами сторон AB, BC, CD и DA квадрата ABCD. Доказать, что пересечение полос NCLA и BMDK является квадратом.

2.67.    На сторонах произвольного треугольника вне его построены равносторонние треугольники. Доказать, что треугольник, вершинами которого являются центры построенных треугольников, равносторонний.

2.68.    Доказать, что f = ZO тогда и только тогда, когда O — единственная неподвижная точка движения f и f о f = е.

2.3. Параллельный перенос

Группа А

2.69.    Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем ZAKB — прямой. Доказать, что \AB| = 2R.

2.70.    Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N. Пусть A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN. Доказать, что MN2 + AB2 = 4R2 .

2.71.    В каком месте следует построить мост MN, разделяющий деревни A и B, чтобы путь AMNB из A в B был кратчайшим? (Берега реки считаются параллельными прямыми, мост перпендикулярен берегам.)

2.72.    Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до пересечения с AB и т.д. Доказать, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.

2.73.    Пусть K, L, M и N соответственно являются серединами сторон AB, BC CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD. Доказать, что KM ^ (BC + AD)/2, причем равенство достигается только если (BC)\\(AD).

Группа Б

2.74. Даны две окружности ш1 и и2 и прямая l. Провести прямую li, параллельную прямой l так, чтобы и и2 высекали на li равные хорды.

2.75.    Построить четырехугольник ABCD по четырем углам и длинам сторон AB = а и CD = b.

2.76.    Построить четырехугольник ABCD по четырем углам и диагоналям.

2.77.    Найти геометрическое место точек, что сумма расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную величину.

2.78.    Дан угол ABC и прямая l. Построить прямую, параллельную прямой l, на которой стороны угла ABC высекают отрезок длины а.

2.79.    Даны две окружности и и2 и точка A. Провести через A прямую l так, чтобы и и2 высекали на ней равные хорды.

2.80.    Даны две пары параллельных прямых и точка P. Провести через точку P прямую так, чтобы обе пары параллельных прямых отсекали на ней равные отрезки.

2.81.    На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K соответственно, причем ZBAM = ZMAK. Доказать, что BM + KD = AK.

2.82.    На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K соответственно, причем периметр треугольника CMK равен удвоенной стороне квадрата. Найти величину угла MAK.

2.83.    Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты BK и BH. Известно, что KH = а и BD = b. Найти расстояние от точки B до точки пересечения высот треугольника BKH.

2.84.    На сторонах AB и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты. Доказать, что треугольник, вершинами которого являются центры построенных квадратов и середина отрезка AC, прямоугольный и равнобедренный.

2.85.    Доказать, что f = T— тогда и только тогда, когда движение f не имеет неподвижных точек, но через каждую точку плоскости проходит неподвижная прямая.

2.4. Гомотетия. Преобразования подобия

Группа А

2.86.    Даны две различные точки A и B . Найти такую точку O, что а) HO (A) = B; б) H-2(A) = B.

2.87.    Доказать, что при гомотетии а) прямая отображается в параллельную прямую; б) угол отображается в равный угол.

2.88.    Известно, что при гомотетия с центром в данной точке O отображает точку A (А = O) в точку А. Построить образ произвольной точки M при этой гомотетии, используя только циркуль и линейку.

2.89.    Отрезок А'Б' является образом отрезка AB при некоторой гомотетии, центр которой не задан. Построить образ произвольной точки M при этой гомотетии, используя только циркуль и линейку.

2.90.    Точка пересечения прямых а и б “недоступна”. Для произвольной точки M построить прямую, проходящую через M и “недоступную” точку пересечения прямых а и б .

2.91. Известно, что HOo (А) = А и HOo (Б) = Б'. Построить точку O.

2.92.    Даны два параллельных отрезка разной длины. Сколько существует гомотетий, отображающих один из этих отрезков на другой?

2.93.    Даны две окружности разного радиуса. Сколько существует гомотетий, отображающих одну из этих окружностей на другую? При каких условиях центры этих гомотетий совпадают?

2.94.    Записать координаты образа точки А(а, b) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом к.

2.95.    а) Записать уравнение прямой, на которую отображается прямая y = —2x + 1 гомотетией с центром в начале координат и к = 3. b) Записать уравнение окружности, на которую отображается окружность x2 + y2 = 16x — 8y — 64 гомотетией с центром в начале координат и к = —3.

2.96.    Записать координаты точки пересечения прямой y = — 5x + 1,5 и образа прямой y = x — 1 при гомотетии с центром в начале координат и к = —2/3.

2.97. На прямых y = 3x + 2 и y = —2x + 4 найти соответственно точки А и Б такие, что Н—2(А) = Б. Решить задачу аналитически.

2.98. Гомотетичны ли параболы y = x2 и y = 8x2 ? Если да, то чему равен коэффициент гомотетии?

2.99.    Можно ли гомотетией отобразить график функции y = 4/x на график функции y = 1/x ? Если да, то определить коэффициент гомотетий.

2.100.    Вписать в данный треугольник квадрат, две вершины которого лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах.

2.101.    Построить треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

2.102.    Построить треугольник по углу, противолежащей ему стороне и отношению 2 : 3 длин двух других сторон.

2.103.    Дан угол A ABC и точка P внутри этого угла. Провести через точку P прямую a, для точек M и N пересечения этой прямой со сторонами угла выполняется соотношение MP : PN =1:2.

2.104.    Даны две окружности и точка M. Найти на разных окружностях такие точки A и B, что M £ [AB] и AM : MB = 2:3.

2.105.    Две окружности с центрами в точках O1 и O2 касаются в точке K. Прямая, проходящая через точку K, пересекает первую и вторую окружности в точках A и B соответственно. Доказать, что прямые OiA и O2B параллельны.

2.106.    Две окружности касаются в точке K. Прямая, проходящая через точку K , пересекает эти окружности в точках A и B . Доказать, что касательные к окружностям, проведенные через точки A и B, параллельны.

2.107.    Две окружности касаются в точке K. Через точку K проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках A и B , вторую — в точках C и D. Доказать, что (AB)\\(CD).

2.108.    Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD продолжены до пересечения в точке O. Точки E и F — середины оснований трапеции. Доказать, что точки O, E и F лежат на одной прямой.

2.109.    Доказать, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

2.110.    На плоскости даны точки A, B и прямая l. По какой траектории движется точка пересечения медиан треугольников ABC, если точка C движется по прямой l ?

2.111.    Внутри угла выбрана точка M. Построить окружность, проходящую через эту точку и касающуюся сторон данного угла.

2.112.    На одной из двух данных параллельных прямых лежит отрезок AB. Пользуясь только линейкой а) разделить AB пополам; б) удвоить отрезок AB .

2.113.    Вписать в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.

2.114.    Вписать в данный треугольник ABC треугольник A1B1C1, стороны которого параллельны сторонам данного треугольника KLM.

Группа Б

2.115.    На основаниях BC и AD трапеции ABCD во внешнюю сторону построены квадраты BCMN и ADEF. Доказать, что прямые NE и MF проходят через точку пересечения диагоналей трапеции.

2.116.    Около окружности описана трапеция ABCD, меньшее основание BC которой касается ее в точке F. Прямая MF, где M — точка пересечения продолжений боковых сторон данной трапеции, пересекает AD в точке K . Доказать, что K — точка касания отрезка AD и окружности, вписанной в фигуру, являющуюся объединением основания AD и продолжений сторон BA и CD .

2.117.    Найти геометрическое место точек (ГМТ), из которых данный отрезок виден под углом у. Построить треугольник по медианам ma, шь и углу ZC.

2.118.    Чему равна композиция гомотетии и параллельного переноса?

2.119.    В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Доказать, что трапеция равнобедренная.

2.120.    Точки K и L являются серединами диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD, O — середина отрезка KL. Доказать, что

_1 /3

точка M = H0    (A) есть центр масс треугольника BCD.

2.121.    На плоскости дана прямая а и две точки A и B , лежащие по одну сторону от этой прямой. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

2.122.    Известно, что H — ортоцентр (т.е. точка пересечения высот) остроугольного треугольника ABC, а O — центр его описанной окружности. Пусть Ai — середина стороны BC. Доказать, что \AH| = 2|OAi|.

2.123.    На плоскости дана окружность ш и пересекающий ее угол ABC. Вписать в данный угол окружность так, чтобы она касалась данной окружности.

2.124.    Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Доказать, что в этот многоугольник можно вписать окружность.

2.125.    Доказать, что любой выпуклый многоугольник Ф содержит два выпуклых многоугольника Ф1 и Ф2, не имеющих общих внутренних точек и подобных данному многоугольнику с коэффициентом 1/2.

2.126.    На окружности фиксированы точки A и B , а точка C движется по этой окружности. Найти геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников ABC .

2.127.    Две окружности касаются в точке P. Через точку P проведены две секущие, пересекающие первую окружность в точках Ai и B1, вторую окружность — в точках A2 и B2 . Доказать, что треугольник PA1B1 подобен треугольнику PA2B2 .

2.128.    Внутри окружности S даны две точки A и B. Доказать, что существует окружность, проходящая через точки A и B , целиком лежащая внутри окружности S .

2.129.    На отрезке между центрами двух касающихся внешним образом окружностей как на диаметре построена окружность. Доказать, что все три окружности касаются одной прямой.

2.130.    Окружность ш касается равных сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC . Доказать, что середина отрезка PK является центром вписанной окружности треугольника ABC.

2.131.    Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Доказать, что AK = DC.

2.132.    Дан остроугольный треугольник ABC. Построить точки X и Y на сторонах AB и BC так, что а) AX = XY = YC; б) BX = XY = YC.

2.133.    Построить треугольник ABC по сторонам AB и AC и биссектрисе AD .

2.134.    На плоскости даны точки A и E. Построить ромб ABCD с заданной высотой, для которого E — середина стороны BC.

2.135.    Даны острый угол AOB и внутри его точка C. Найти на стороне OB точку M, равноудаленную от стороны OA и от точки C.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (30.07.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко, гольдин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar