Тема №7261 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 5)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 5) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 5), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

4.1. Алгебра векторов

Группа А

4.1.    Доказать, что сложение n векторов, где n > 2 , можно выполнять по правилу многоугольника: A\A2 + A2A3 + ... + An-1An = A\An.

4.2.    Доказать, что точки A, B и C лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существует такое число Л £ R, что аС = лаВ .

4.3.    Доказать, что точка B является серединой отрезка AC тогда и только тогда, когда для произвольной точки O выполняется оВ =

= 2 (oA + ос).

4.4. Известно, что —B = ЛаС . Доказать, что точка B лежит на

отрезке AC тогда и только тогда, когда Л £ [0; 1].

4.5.    Доказать, что B £ [AC] тогда и только тогда, когда для любой точки O найдется такое число Л £ [0; 1], что оВ = (1 — Л)OA + лоС. Доказать, что при этом Л = |щ-.

4.6.    Доказать, что точки A, B, C лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда для любой точки O найдется такое Л £ R , что выполняется равенство OObB = (1 — л)(—С + ЛОс . Доказать, что тогда Л = \AB\

Л = \AC\ .

4.7. Даны точки A(—1,— 4,3), B(3, —2, 8), C(—1, 2,1), D(11,x,y). При каких x и у векторы аВ и -оС являются коллинеарными?

4.8. Даны точки A(3, 2, 5), B(5,4,8), C(—3,x,y). При каких x и у точка C лежит на прямой AB ?

4.9. Даны точки А(—1, 2, —3) и B(17, -13,9). Найти координаты такой точки C отрезка AB, что \AC\ : \CB\ =2:1.

4.10. Пусть точка C лежит на отрезке AB и \AC\ : \CB\ = 1:3. Разложить вектор —C по векторам —A и oB .

4.11.    Пусть точка O —центр правильного многоугольника A1A2 ... An. Доказать, что —C + — С2 + ... + —An = 0 .

4.12. Пусть —OA + oB + —C = Iе и \OA\ = \OB\ = \OC\. Доказать, что ABC — правильный треугольник.

4.13.    _Пу сть M и N — середины отрезков AB и CD. Доказать, что

mnN = (—C + 0dD)/2 .

4.14.    Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

4.15. Даны три точки A, B, C. Для произвольной точки X пространства выбрана точка O так, что X—O = 1 (XA + xB + xC). Доказать, что: а) расположение точки O не зависит от выбора точки X; b) точка O является точкой пересечения медиан треугольника ABC .

4.16. Даны точки Ai, A2 , ..., An . Для произвольной точки X пространства выбрана точка O так, что хО = П (Xj\1 + X J32 + ... + XAn). Доказать, что расположение точки О не зависит от выбора точки X. (Точка О называется центром масссистемы материальных точек A1, A2 , ... ,An равной массы.)

4.17. Доказать, что точка О является центром масс системы матери-

альных точек A1 , A2 , . . . , A

 

n равной массы тогда и только тогда, когда

 

OAi + OA2 + • • • + OAn — 0

 

4.18.    Доказать, что центр масс системы материальных точек равной массы, расположенных в вершинах произвольного четырехугольника, совпадает с серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей этого четырехугольника.

4.19.    Пусть ABCD — произвольный тетраэдр. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины с центрами масс противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от вершины.

4.20. Пусть ABCD — произвольный тетраэдр. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

4.21.    Даны два треугольника ABC и AjB1C1 с центрами тяжести М и М1 соответственно. Доказать, что ММ1 = (AA1 + BB1 + CC1)/3.

4.22.    Назовем средней линией произвольного четырехугольника отрезок, соединяющий середины несмежных сторон. Доказать, что: а) средние линии четырехугольника точкой пересечения делятся пополам; b) центр масс системы материальных точек равной массы, расположенных в вершинах четырехугольника, совпадает с серединой средней линии этого четырехугольника; с) две средние линии и две диагонали четырехугольника (всего четыре отрезка) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда этот четырехугольник является параллелограммом; d) середины средних линий произвольного четырехугольника и середина отрезка, соединяющего середины диагоналей (всего три точки), совпадают.

4.23.    Медиатрисой выпуклого четырехугольника называется отрезок, соединяющий одну из вершин этого четырехугольника с точкой пересеч-ния медиан треугольника, образованного остальными тремя вершинами четырехугольника. а) Доказать, что четыре медиатрисы выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке. b) В каком отношении точка пересечения медиатрис делит каждую из них?

4.24. Дан треугольник ABC. Точки A1 и B1 выбраны так, что A1 е [BC], B1 е [AC], причем \BA1\ : \A1C\ = \AB1\ : \B1C\ = 1:2. Точка O является пересечением отрезков [AA1] и [BB1]. а) Разложить вектор аО по базису С = aC, С = aB ; b) определить, в каком отношении точка O делит отрезки AA1 и BB1.

4.25. Дан треугольник ABC. На отрезках BC и AC соответственно выбраны точки A1 и B1 так, что \BA1\ : \A1C\ =3:1 и \AB1\ : \B1C\ = = 1:2. Точка O является пересечением отрезков [AA1] и [BB1 ]. а) Разложить вектор АС по базису с = aC, с = aB ; b) определить, в каком отношении точка O делит отрезки AA1 и BB1.

4.26.    Даны четыре некомпланарных вектора ~ct, b , M , M. Вычислить сумму этих векторов, если известно, что для некоторых чисел x и у выполняются равенства: ~ct + b + ~t = xM, b + M + M = yM .

4.27.    Даны три некомпланарных вектора —, b , C. Найти k, если векторы — + b + k"t , — + kb + — , k~ct + b + C компланарны.

4.28.    Для трех произвольных векторов —, i, — Доказать, что векторы — + —, — + —, — — it компланарны.

4.29.    Известно, что векторы it,—,— не компланарны. Найти все значения p,q £ R, при которых векторы pit + q— + — и it + p— + q— коллинеарны.

4.30. Пусть ABCDEF — правильный шестиугольник, M — точка пространства, не лежащая в его плоскости. Принимая в качестве базис-

ных векторов - = MA. b = базису векторы M—D , mE , M—F, dF .

 

M—B , — = мС, разложить по этому

4.31. Пусть ABCDEF — правильный шестиугольник, M — точка пространства, не лежащая в его плоскости. Принимая в качестве базисных векторов — = аВ , — = аС , — = AM, разложить по этому базису векторы MbB, mC , mD , MF.

4.32. Пусть ABCDEF - правильный восьмиугольник, M — точка пространства, не лежащая в его плоскости. Принимая в качестве базисных векторов С = MA, b = A—B С = M—C, найти в этом базисе

выражения для векторов a ) ME, MtC; b) CY, где Y — середина MF.

4.33. Даны две тройки коллинеарных точек: A1,A2,A3 и B1,B2,B3 , причем (A1A2) || (B1B2). Известно, что для любого i £ {1,2,3} точка Ci лежит на отрезке AiBi и при этом выполняется равенство |AjCj| = = alAiBil, где а — некоторое положительное вещественное число. Доказать, что точки C1, C2, С3 коллинеарны.

4.34.    На каждой из прямых а и b последовательно отмечены по n точек: A1, A2,..., An £ а и B1,...,Bn £ b так, что |AiAi+1| = p и lBiBi+11 = q при всех i ^ n — 1. Пусть Ci — середина отрезка AiBi при всех i ^ n. Доказать, что точки C1,... ,Cnлежат на одной прямой.

4.35. При каком x векторы M = (1,2, 5), it = (—1,3,13) и M = = (5,x, —29) компланарны?

4.36.    Лежит ли точка M(1,1,1) в плоскости, проходящей через точки A(2,0,4), B(-3, -27, 5) и C(4, -2,10) ?

4.37. Даны точки A(4, -2,3), B(7,-12,8) и C(1,1, 3). При каком значении x точка D(15, —36, x) лежит в плоскости ABC?

4.38. Даны точки A(1, 2,3), B(7, 4,9), C(1,1,1) и D(3,8, 6). Определить взаимное расположение прямых AB и CD .

4.39. Даны точки A(11, -4,8), B(6, -3, 4), C(0, -1,0) и D(-1, 0,4). Пересекаются ли прямые AB и CD ? Если да, то найти координаты точки их пересечения.

4.40. Даны точки A(1,1,1), B (2,0, -1), C (3, 2,z) и 0(0,0,0) .При каких значениях z отрезки AB и OC пересекаются?

4.41.    Известно, что плоскость а проходит через точки A(2,1, 2), B (0,1,4), C (4,1,0) .На прямой а лежат точки E (11, -4,8) и F (6, -3,4). Пересекаются ли а и а ? Если да, то найти координаты точки их пересечения.

4.42. Дан параллелепипед ABCDAiBiCiDi. Точка P является серединой диагонали BCl. Выразить вектор Ар через векторы —B , aD

и

 

AAi

4.43. Даны точки A(1,2,3), B(12, -4,6), C(7, 2,4). Известно, что четырехугольник ABCD является параллелограммом. Найти координаты точки D .

4.44. Даны точки A(3, 2,1), B(-12,3, 5), C(6, 7,3). Найти координаты точки пересечения медиан треугольника ABC (т. е. его центра масс).

4.45.    Найти расстояние от начала координат до центра окружности, описанной около треугольника с вершинами (1,0,1), (1,1,0) и (1,1,1) (систему координат считать декартовой).

4.46.    Даны координаты двух вершин треугольника A(2, —1), B(—3, 5) и координаты точки пересечения медиан этого треугольника M(1, 1) . Найти координаты вершины C .

4.47.    Даны четыре вектора, сумма которых равна -р0 , а длина каждого равна единице. Доказать, что среди этих векторов можно выбрать два, которые будут противоположны друг другу, причем два оставшихся вектора также будут противоположны друг другу.

4.48. Через концы трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины, проведена плоскость. Определить, в каком отношении она делит диагональ параллелепипеда, выходящую из той же вершины.

Группа Б

4.49.    Пусть M1 — центр масс системы материальных точек A1, A2,..., An, M2 — центр масс системы материальных точек An+1, An+2 , ..., An+m (массы всех n + m точек одинаковы), M — центр масс системы всех этих n + m точек. Доказать, что выполняются два соотношения: a) M е [M1M2]; b) |MiM| : |MM2| = m : n.

4.50.    Доказать, что из медиан треугольника можно составить треугольник.

4.51.    Из медиан треугольника ABC составлен треугольник A1B1C1, а из медиан треугольника A1B1C1 составлен треугольник A2B2C2 . Доказать, что треугольники ABC и A2B2C2 подобны, причем коэффициент подобия равен 3/4.

4.52.    Даны два треугольника ABC и A1B1C1, не лежащие в одной плоскости, M, N — середины сторон AC ,v BC, а M1, N1 — середины сторон A1C1, B1C1. Доказать, что если aB = A1B1, то векторы M^, nN1, AC1 коллинеарны.

4.53.    Дана треугольная призма ABCA1B1C1. Доказать, что если A0 , B0, C0 — середины сторон BC, CA, AB соответственно, то прямые A0A1, B0B1, C0C1 пересекаются в одной точке.

4.54.    Даны два подобных четырехугольника OABC и OA1B1C1 с общей вершиной, лежащие в различных плоскостях. Доказать, что прямые (AA1), (BB1), (CC1) параллельны одной плоскости.

4.55.    Прямая а пересекает стороны AB и AD параллелограмма

ABCD, а также его диагональ AC в точках B1, D1 и C1 соответственно. Пусть AB1 = \ъаС , AC1 = XjCC, AD1 = \dAD. Доказать, что Ac — среднее гармоническое чисел Хъ и Xd, т. е.    ^.

4.56. Доказать, что если O — центр вписанной в треугольник ABC окружности, а H — чточка пересечения высот этого треугольника, то

сш = о! + oB + oC.

4.57. В пространстве даны точки O, A, B , C. Доказать, что точка M принадлежит треугольнику ABC тогда и только тогда, когда найдется такая тройка таких неотрицательных чисел x,y,z, что x + y + z = 1 и ссС = xoA + у- + zoC.

4.58.    В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M ребра BC проведена прямая, пересекающая прямые ACi и DD1 соответственно в точках N и P. Найти отношение \MN\ : \NP|.

4.59.    Дан параллелепипед ABCDAiB1C1D1, точка P — середина ребра AD. На прямых PB1 и BC1 взяты точки M, N так, что (MN)\\(A1C1). Найти \A1C1\ : \MN\.

4.60.    Пусть SABCD - четырехугольная пирамида, в основании которой лежит параллелограмм ABCD. Точка M - середина ребра AD, точка N является точкой пересечения медиан грани SBC. Точки P Е (AD), Q Е (SB) выбраны так, что(PQ)\\(MN). Найти \PA\ : \AD\ и \SQ\ : \QB\.

4.61.    Пусть SABCD - четырехугольная пирамида, в основании которой лежит трапеция ABCD ((AB)\\(CD)), причем 2\BC\ = \AD\. а) Выразить векторы sC, sD через векторы aB , aD , OS?; b) Пусть N — середина ребра SC; найти точки P Е (AD), Q Е (SB) так, чтобы (PQ) || (DN).

4.62.    ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. На диагоналях AC и DC1 выбраны соответственно точки M и N так, что (MN)\\(BD1). Найти |MN| : |BD1| .

4.63. На диагонали AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, взята точка M, а на прямой B1C точка N так, что (MN)\\(BD). Найти |BD| : |MN| .

4.64.    Точки M и N — середины ребер AB и CD тетраэдра ABCD . Точки P и Q расположены на ребрах AD и BC так, что отрезки MN и PQ пересекаются, а \AP\ : \ AD\ = 2:3. Найти \BQ\ : \BC\.

4.65.    Точки M, N, и P соответственно — середины ребер AB , CD и BC тетраэдра ABCD. Через точку P проведена плоскость, параллельная прямым DM и AN. В каком отношении эта плоскость разделит ребро AD ?

4.66.    Все ребра правильной треугольной призмы имеют длину a. Точка M лежит на диагонали BCi так, что \BM\ : jBCij = 1:3. На диагонали CA1 выбрана точка N так, что (MN)\\(ABB1A1). Найти длину отрезка MN .

4.67.    Дана шестиугольная пирамида SABCDEF, в основании которой лежит правильный шестиугольник ABCDEF. Точки P, Q, R — середины ребер DE, EF, AS. Найти отношения, в которых секущая плоскость делит боковые ребра.

4.68.    В тетраэдре ABCD проведены медианы AM и DN граней ACD и ADB , и на этих медианах взяты соответственно точки E и F так, что (EF)\\(BC). Найти отношение \EF\ : \BC\.

4.69.    В призме ABCA1B1C1 медианы оснований ABC и A1B1C1 пересекаются соответственно в точках O и O1. Через середину отрезка OO1 проведена прямая, параллельная прямой CA1. Найти длину отрезка этой прямой, лежащего внутри призмы, если \CA1\ = a.

4.70.    Основание пирамиды ABCDS — параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O . Через середину отрезка SO проведена прямая, параллельная медиане BM грани SAB . Найти длину отрезка этой прямой, лежащего внутри пирамиды, если |BM| = a .

4.71.    ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Проведена прямая, пересекающая прямые AA1, BC и C1D1 соответственно в точках M, N и P так, что \MN\ : \MP\ = 2. Найти \CN\ : \BC\ (найти все решения).

4.72.    Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки K, L лежат на ребрах AD и CC1 соответственно, причем \KD\ : \AK\ = 3, \CL\ : : |C1 L| = 2 . Через точки K , L параллельно диагонали AC1 проведена плоскость. а) В каком отношении эта плоскость делит ребро BC ? b) В каком отношении она делит объем параллелепипеда?

4.73.    Ребро куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину a. На прямой BC1 взята точка M так, что прямые DA1, AB1 и D]_M параллельны одной плоскости. Найти длину отрезка D]_M.

4.74.    Соответственно на ребре AD и диагонали A1C параллелепипеда ABCDA\B1C1D1 взяты точки M и N так, что прямая MN параллельна плоскости BDC1 и \AM\ : \AD\ = 1:5. Найти \CN\ : jCAij.

4.75.    Пусть ABCDS — правильная четырехугольная пирамида. На ребрах AS и BS соответственно выбраны точки K и L так, что \AK\ : \KS\ = \SL\ : \LB\ = 1:3, а точка M — середина ребра SC. Точка N выбрана на прямой CD так, что прямые KL и NM пересекаются. Найти \DN\ : \NC\.

4.76.    В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка M — середина ребра CD , N Е [BC1], P Е [AB1), при этом точки M, N, P лежат на одной прямой. Найти \PN\ : \MN\.

4.77.    В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка M — середина ребра CD , P Е [BC1], N Е [AB1), при этом точки M, N, P лежат на одной прямой. Найти отношения \NP\ : \PM\, \BP\ : \PC1\ и \AB1\ : \AN\.

4.78.    Даны две скрещивающиеся прямые m и n. На прямой m даны точки P, Q, R, а на прямой m — точки P1, Q1, R1, причем \PQ\ = = k\PR\, \P1Q1\ = k\P1R1\. Доказать, что прямые (PP1), (QQ1), (RR1) параллельны одной плоскости.

4.79 *. Даны два четырехугольника ABCD, A1B1C1D1, лежащие в различных плоскостях, O, O1 — точки пересечения их диагоналей. Доказать, что если \AO\ : \OC\ = \A1O1\ : \O1 C1\ и \BO\ : \OD\ = = \B1O1\ : \O1D1\, то прямые(AA1), (BB1), (CC1), (DD1) параллельны одной плоскости.

4.80 *. Дан тетраэдр ABCD и точка M. Через эту точку и точки пересечения медиан граней A1, B1, C1, D1 проведены прямые a1, b1, c1, d1. Доказать, что прямые a2 , b2 , c2 , d2 , проведенные через вершины A, B , C, D , параллельно прямымa1, b1, c1, d1, пересекаются в одной точке.

4.81    *. Даны два треугольника. Доказать, что если медианы одного из них параллельны сторонам другого, то и медианы второго из них параллельны сторонам первого.

4.82    *. Дан треугольник ABC. Прямая l пересекает прямые BC, CA , AB в точках A1 , B1 , C1 соответственно. Доказать, что векторы aB + A1B1, bC + B1C1, CA + C1A1 коллинеарны.

4.83.    Найти сечение параллелепипеда ABCDAiB1C1D1 плоскостью а (определите в каком отношении плоскость делит ребра параллелепипеда), проходящей через вершину A, точку P - середину ребра AiBi и точку Q на ребре CiC такую, что\CQ\ = \QCi \ /3. Определить, в каком отношении плоскость а делит диагональ параллелепипеда.

4.84.    Доказать, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в одной плоскости.

4.85.    Дан трехгранный угол. Доказать, что биссектрисы трех углов, смежных с его плоскими углами, лежат в одной плоскости.

4.86.    Доказать, что три плоскости, каждая из которых проходит через биссектрису одного из плоских углов трехгранного угла и противолежащее этому плоскому углу ребро, пересекаются по некоторой прямой.

4.2. Скалярное произведение векторов. Разные задачи

Группа А

4.89.    Длина вектора ~ct равна 3, длина вектора b равна 4, а угол между этими векторами равен 2п/3. Вычислить (3~ct — 2 b )(~ct + 2 b ).

4.90.    Длина вектора ~ct равна 2, длина вектора b равна 3. Известно, что (~ct — b )2 + (2~a — b )2 = 56. Найти угол между векторами ~ct и b .

4.91. Длины векторов ~ct, b и ~С равны 3, 1 и 4 соответственно, а сумма этих векторов равна 0 . Вычислить ~ct b + b ~С + ~C~ct.

4.92.    Какому условию должны удовлетворять векторы ~cc и b , чтобы выполнялось равенство \~ct — b \ = \~ct + b \ ?

4.93. Доказать, что вектор (~ct • b )~С — (~ct • ~C) b перпендикулярен вектору ~ct.

4.94. Даны векторы ~ct, b и ~C, причем ~ct и н не перпендикулярны. Существует ли такое число к, что векторы ~3 и b + k~C перпендикулярны?

4.95. Даны три произвольных вектора ~3, b , ~С. Доказать, что векторы ( b • н)~ct — (~ct • ~C) b и ~C перпендикулярны.

4.96. Доказать, что aB • CD + cA • bD + aD • bC = o каковы бы ни были точки A, B , C, D .

4.97.    Используя векторы, доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

4.98.    Используя векторы, доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.

4.99.    Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, aB = = (6, —2), аС = (3,4). Найти координаты вектора aH .

4.100.    Пусть O — начало координат. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку N(3, 5, 2) и перпендикулярной вектору ON.

4.101.    Плоскости а и в заданы уравнениями x + 2y — z + 1= 0 и 2x + 4y — 2z — 7 = 0 соответственно. Записать уравнение плоскости, параллельной обеим заданным плоскостям и находящейся от них на равных расстояниях.

4.102.    Найти координаты точки, симметричной началу координат относительно плоскости, заданной уравнением 3x — 2y + z + 1 = 0.

4.103.    Являются ли точки (2, —5,3) и (4, —1,1) симметричными относительно плоскости, заданной уравнением x + 2y — z — 5 = 0 ?

4.104.    Найти угол между плоскостями MNK и MND , если M(0,0,0), N(1,1,1), K(3,2,1), D(3,1,2).

4.105.    Найти угол между плоскостями ABC и PQR, если A(—1,0,0), B(0, —1,0), C(0, 0, —1), P(2,1, 2), Q(0,1,4), R(4,0,0).

4.106.    Найти координаты точки пересечения прямой AB с плоскостью, задаваемой уравнением 2x + 2y — z + 4 = 0 , если A(2, 1, 1) ,

B(—3,4,0).

4.107.    Ребро куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину 1. Точки E и F лежат на ребрах BC и CiDi соответственно, причем \BE\ = 4 , jFDij =

= 5 . Точка M — центр куба. Найти расстояние от точки Ai до плоскости EFM.

4.108.    Ребро куба KLMNK1L1M1N1 имеет длину 1. Точки A и B лежат на ребрах KL и MM1 соответственно, причем \KA\ = 1, \BM1\ =

= 5 . Точка O — центр куба, точка P — проекция точки K1 на плоскость (ABO). Найти \AP\.

4.109.    Ребро куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину 2. Точки L и K — середины ребер AD и CC1 соответственно. Найти расстояние от точки A1 до плоскости BLK .

4.110.    Найти угол между плоскостями, которые заданы уравнениями x — y + 3z = 2 и —x — 3y + z = 2 .

4.111.    Найти координаты точек пересечения сферы, заданной уравнением x2 + y2 + z2 = 25, и прямой, проходящей через точку (2,1,1) параллельно вектору (2, —4, —1) .

4.112.    Найти расстояние от плоскости до сферы, если они соответственно заданы уравнениями 2x + 2y — z + 15 = 0 и x2 + y2 + z2 = 4.

4.113.    Дан куб ABCDAiBiC\Di; точка M — середина ребра [CC1]. Найти косинус угла между векторами DAi и DM.

4.114.    Дан куб ABCDA1B1C1D1. Используя векторы, найти угол между прямыми DA1 и AB1.

4.115.    Тройка векторов 1, 1 и е3 имеющих длины 1, 2 и 3 соответственно, образует базис пространства. Известно, что е|, 1 = 30°, 1, ё3 = et, 1 = 60°. Найти скалярное произведение векторов 1 = = 3et + 2-1 и 1 = 1 + 1 + 2ёз .

4.116.    Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка M — середина ребра [CC1]. Найти: а) угол между прямыми BM и DC1; b) расстояние от точки M до плоскости, проходящей через прямую DC1 параллельно прямой BM , если длина ребра куба равна a.

4.117.    Используя векторы, найти угол и расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба с ребром 1.

4.118.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1, точка M — центр грани CC1D1D. Найти расстояние от точки A до прямой BM.

4.119.    Найти координаты точки, симметричной точке (0,1,0) относительно прямой, проходящей через точки (1, 0,0) и (1, 2,1).

4.120. а) Найти координаты точки, симметричной точке (1, 2,1) относительно прямой, проходящей через точки (0, 0, 1) и (1, 1, 0) . b) Найти расстояние от точки (1, 2,1) до этой прямой.

4.121.    Ребро куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину 2. Точки E, F и G — середины ребер D1C1, B1C1 и AB соответственно; а = (EFG), в = (BB1D1). а) Найти расстояние от точки A1 до плоскости а. b) Найти координаты точки, симметричной точкеA1 относительно плоскости а . с) Найти угол между плоскостями а и в. d) Точка X получена симметричным отражением точки A1 относительно а , а затем отражением результата относительно в; точка Y получена симметричным отражением точки A1 относительно в , а затем отражением результата относительно а .Сравнить \A1X | и \A1Y |.

4.122.    В кубе ABCDA1B1C1D1 выбраны точки: K — середина ребра AA1, H Е [AD], M — центр грани CC1D1D, (KM)X(B1H). В каком отношении точка H делит отрезок AD ?

4.123.    ABCA1B1C1 — прямая треугольная призма, объем которой равен 3. Известно, что A(1, 0,1), B(2,0,0), C(0,1,0). Найти координаты точки Ai. Для тех, кто забыл: объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на длину бокового ребра.

4.124.    Плоскость, заданная уравнением x + y + z + D = 0, касается сферы, заданной уравнением x2 + y2 + z2 = 2x + 2y + 2z. Найти число D и координаты точки касания.

Группа Б

4.125.    Используя векторы, доказать теорему Лейбница: если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, то для любой точки X выполняется равенство

\XA\2 + \XB |2 + \XC |2 = 3|XM |2 + \MA\2 + \MB |2 + \MC\2.

4.126.    Найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин данного треугольника минимальна.

4.127.    Известно, что O — центр вписанной в треугольник ABC окружности, H — точка пересечения высот этого треугольника, R — радиус описанной около него окружности. Доказать, что выполняется равенство \OH\2 = 9R2 - (\OA\2 +\OB\2 + \OC\2).

4.128.    Точка I - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Доказать, что \BC\ ■ -A + \CA\ ■ —C + \AB\ ■ —C = if.

4.129.    Дан треугольник ABC, H - ортоцентр треугольника. Доказать, что HA ■ H C = hB •hC = hC ■ HA = k. Выразить k через стороны треугольника.

4.130.    Даны две различные точки A , B . Найти геометрическое место точек M, для которых MA ■ mB = k2 , k = 0.

4.131.    Даны две различные точки A, B . Найти геометрическое место точек M, для которых \MA\ = k ■ \MB\, k > 0.

4.132.    Дан параллелограмм ABCD. Около треугольника ABC описана окружность с центром O радиуса R . Доказать, что выполняется равенство \OD\2 = R2 + a2 + c2 — b2 .

4.133. Пусть a, b и c — длины сторон треугольника, а ma и mb — длины медиан, проведенных к соответствующим сторонам. Доказать, что эти медианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда a2 + b2 = 5c2 .

4.134.    Точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC. Доказать, что О A • sin 2а + oB • sin2e + oC • sin2y = "0 (здесь

— соответственно величины углов A, B и C данного треугольника).

4.135.    В правильном тетраэдре DABC точка M — центр грани BCD, а точка K — середина ребра AC. Найти угол между прямыми AM и BK.

4.136.    В правильном тетраэдре DABC точка O — центр грани ABC, а точки N, K и M — середины ребер AB, CD и AD соответственно. Найти угол между прямыми MO и KN.

4.137.    Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 с длиной ребра основания 1; O и O1 — центры треугольников ABC и A1B1C1 соответственно. Известно, что длина ортогональной проекции отрезка AO1 на прямую B1O равна |. Найти длину бокового ребра призмы.

4.138.    Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 с длиной ребра основания 1; O — центр треугольника ABC. а) Известно, что длина проекции отрезка A1O на прямую CB1 равна 1. Найти длину бокового ребра призмы. b) Найти расстояние от точки A1 до прямой OM, где M — центр грани BCC1B1.

4.139.    DABC — правильный тетраэдр с длиной ребра 2, M, N и K — середины ребер AD , AB и DC соответственно, O — центр треугольника ABC. Найти: а) угол между прямыми MO и KN; b) расстояние от точки N до плоскости MKB; с) расстояние между прямыми BO и KN .

4.140. DABC — правильный тетраэдр, [AK] и [DL] — медианы граней ADC и DCB соответственно. Найти угол и расстояние между прямыми AK и DL .

4.141.    В основании тетраэдра SABC лежит правильный треугольник ABC с длиной стороны 2у/2. Боковое ребро AS имеет длину 1 и перпендикулярно плоскости основания. Точки K и M — середины ребер

SB и CB соответственно. Найти: а) расстояние от точки A до плоскости SCB ; b) угол между плоскостями ABS и CBS; с) угол между прямыми AK и SM; d) расстояние между прямыми AK и SM.

4.142.    Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник ABC со стороной 4\/2. Ребро SC перпендикулярно плоскости ABC, \SC\ = 2, точки E и D — середины ребер BC и AB соответственно. Найти угол и расстояние между прямыми SE и CD.

4.143.    Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a. Квадрат A1B1C1D1 является основанием правильной пирамиды SA1B1C1D1 (точка S лежит вне куба), боковое ребро которой также равно a. Найти угол между прямыми AB и SCi.

4.144.    Ребро куба ABCDAiB1C1D1 имеет длину 2, точка P — центр грани CDD1C1. а) Найти координаты точки X — ортогональной проекции точки B1 на плоскость DA1C1. b) Найти расстояние от точки X до прямой AP .

4.145.    Ребро куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину 2, точка P — центр грани CDD1C1, точка K лежит на луче [BB1) так, что \BK\ = 4. Жуки Вася и Петя таковы, что их размерами можно пренебречь, однако каждый из них имеет одну лапу длины . Вася ползает по прямой AP, а Петя — по прямой DK .а) Смогут ли Вася и Петя обменяться лапопожатием? b) Если да, то найти координаты точки, в которой встретятся лапы Васи и Пети в тот момент, когда расстояние между ними будет наименьшим.

4.146.    Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, \AD\ = 4, \AB\ = 1, \AA1\ = 2. Плоскость а такова, что она перпендикулярна прямой AC1 и содержит точку B1 . а) В каком отношении плоскость а делит отрезок AD ? b) Построить сечение параллелепипеда плоскостью а. с) Найти расстояние от точки C1 до плоскости а. d) Построить точку M, симметричную точке C1 относительно а.

4.147.    Доказать, что из равенства длин отрезков, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра, вытекает перпендикулярность пар противоположных ребер.

4.148.    Известно, что в тетраэдре суммы квадратов противоположных ребер попарно равны. Доказать, что противоположные ребра взаимно перпендикулярны.

4.149.    Дана четырехугольная пирамида SABCD, основанием которой является прямоугольник ABCD. Высота пирамиды проходит через вершину A. Найти величину двугранного угла между плоскостями SBC и SCD , если \AD\ = \SA\ = 2a, \AB\ = a.

4.150. Дан прямоугольник ABCD, у которого \AD\ : \AB\ = л/3. Прямоугольник перегнули по диагонали AC так, что угол между плоскостями ABC и ADC стал равным 30° . Какой угол будет образовывать прямая AB с плоскостью ADC ?

4.151.    Пусть ABCD - равнобедренная трапеция. Ее большее основание равно a, острый угол равен 60°, а меньшее основание равно боковой стороне. Трапецию согнули по диагонали AC так, что угол между плоскостями ABC и ACD стал равным 45°. Найти расстояние между точками B и D .

4.152.    В грани двугранного угла, равного 120°, проведена прямая, образующая угол 60° c ребром двугранного угла. Найти угол между этой прямой и другой гранью.

4.153.    В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит правильный треугольник ABC со стороной 1, прямые AC1 и BA1 перпендикулярны. Найти объем призмы.

4.154.    а) Доказать, что сумма квадратов проекций всех ребер единичного куба на произвольную прямую не зависит от выбора этой прямой. b) Найти эту сумму.

4.155.    В единичный куб вписана сфера. а) Доказать, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки сферы до всех вершин куба не зависит от выбора этой точки. b) Найти эту сумму.

4.156.    Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, длины всех ребер которой равны a. Точки M и K выбраны так, что M Е Е [BC]] , K Е [CA1], причем (MK)\\(ABB1A1). а) Найти \MK\, если \BM\ : \BC1 \ = 1 : 3. b) Найти минимально возможную длину отрезка MK.

4.157.    Дана пирамида DABC с основанием ABC, грани которой ABD и ACD — прямоугольные треугольники. Ребро AD перпендикулярно медиане AK основания пирамиды. Известно, что \AD\ = \AK\, точка E — середина отрезка BD, а точка G лежит на отрезке AC так, что \AG\ = 3|GC|. Кроме того, в пространстве взята точка H так, что EFGH — равнобедренная трапеция с основаниями EF и GH, причем плоскость EFGH не проходит через середины отрезков AD и BC. Найти отношение площадей трапеции EFGH и треугольника BCD.

4.158.    В треугольной пирамиде ABCD все ребра имеют одинаковую длину. Точка M — середина ребра AD, точка O — центр треугольника ABC, точка N — середина ребра AB и точка K — середина ребра CD . Найти угол между прямымиMO и KN.

4.159.    В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина, \SA\ = 4) точка D лежит на ребре SC, \CD\ = 3, а расстояние от точки A до прямой BD равно 2. Найти объем пирамиды.

4.160.    В основании прямой призмы ABCDAiBiCiDi лежит ромб ABCD с острым углом A = 60° . Все ребра призмы имеют длину а. Точка K является ортогональной проекцией точки Bi на плоскость (DAiCi), а точка L — ортогональной проекцией точки K на плоскость (DDiCiC). Найти объем пирамиды DCLK.

4.161.    В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны BC, а точка M — середина стороны CD. Найти \AD\, если \AK\ = 6, \AM\ =3 и AKAM = 60°.

4.162.    В правильном тетраэдре ABCD отрезок MN соединяет середину ребра AC с центром грани BDC, а точка E — середина ребра AB . Найти угол между прямыми MN и DE .

4.163.    В основании треугольной призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC , длины катетов AB и AC которого равны a. Боковые ребра AA', BB', CC образуют с плоскостью основания углы в 60°, а диагональ BCбоковой грани CBB'C перпендикулярна ребру AC. Найти объем призмы, если длина диагонали BC равна ал/б.

4.164.    В правильной треугольной призме ABCAiBiCi длина стороны основания равна а, длина бокового ребра равна а/2. Точка D является ортогональной проекцией середины ребра AiCi на плоскость ABiC, а точка E — ортогональной проекцией точки D на плоскость AAiBiB. Найти объем пирамиды AiBiDE.

4.165.    Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD имеет длину а, боковое ребро — длину 2а. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали BD основания и боковом ребре SC, параллельные плоскости (SAD). а) Один из этих отрезков проведен через точку M диагонали BD так, что \DM| : \DB| = 1:3. Найти его длину. b) Найти наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.

4.166.    В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 1, ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, \SA\ = л/3. Плоскость а параллельна прямым SB и AC, плоскость впараллельна прямым SC и AB. Определить величину угла между плоскостями а и в.


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (30.07.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко, гольдин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar