Тема №7262 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 6)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 6) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 6), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Группа А

5.1.    Найти ГМТ середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

5.2.    Найти ГМТ, удаленных от данного отрезка AB на расстояние r > 0 (расстояние от точки X до отрезка AB — это наименьшее из расстояний от точки X до всех точек отрезка AB).

5.3.    Найти ГМТ, из которых данный отрезок AB виден под углом 60°.

5.4.    На данной прямой или окружности найти точку, из которой данный отрезок виден под данным углом.

5.5.    Найти ГМТ середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.

5.6.    Найти ГМТ, из которых граница данного квадрата ABCD видна под углом 45°.

5.7.    Даны две параллельные прямые а и b и перпендикулярная к ним прямая c. Найти ГМТ плоскости, равноудаленных от этих трех прямых.

5.8.    Найти ГМТ плоскости, равноудаленных от трех данных попарно пересекающихся прямых.

5.9.    Найти ГМТ плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных параллельных прямых равна данному отрезку.

5.10.    Найти ГМТ плоскости, для которых разность расстояний от двух данных параллельных прямых равна данному отрезку. Рассмотреть три возможных случая.

5.11.    Найти ГМТ, расположенных внутри данного угла ZAOB, которые вдвое дальше отстоят от стороны OA, чем от стороны OB.

5.12.    Найти геометрическое место центров окружностей данного радиуса, пересекающих данную окружность под прямым углом.

5.13.    Две окружности, касающиеся одна другой, касаются данной прямой в двух данных точках A и B . Найти геометрическое место точек касания всех пар окружностей, удовлетворяющих этому условию.

5.14.    Дан остроугольный треугольник. Найти геометрическое место центров прямоугольников, вписанных в этот треугольник так, что основания прямоугольников лежат на основании треугольника, а две вершины — на боковых сторонах треугольника.

5.15.    Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти площадь ГМТ, удаленных от границы этого треугольника на расстояние не больше, чем ал/3/12.

5.16.    Найти ГМТ, сумма расстояний которых от сторон данного равностороннего треугольника равна его высоте.

5.17.    Дан прямоугольник ABCD. Найти ГМТ X, для которых выполняется равенство AX + BX = CX + DX .

5.18. Два колеса радиусов r\ и r2 катаются по прямой l. Найти множество точек пересечения M их общих внутренних касательных.

5.19.    Даны две точки A и B . Две окружности касаются прямой AB (одна — в точке A , другая — в точке B ) и касаются друг друга в точке M . Найти ГМТ M .

5.20.    Точка P перемещается по описанной окружности квадрата ABCD. Прямые AP и BD пересекаются в точке Q, а прямая, проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает прямую BP в точке X . Найти ГМТ X .

Группа А

5.47.    Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

5.48.    Построить трапецию по основаниям и боковым сторонам.

5.49.    Построить трапецию по основаниям и диагоналям.

5.50.    Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

5.51.    Построить параллелограмм по данным стороне, углу и диагонали.

5.52.    Построить треугольник, зная расстояния от центра вписанной окружности до концов основания и основание.

5.53.    Даны окружность и две точки A и B внутри ее. Вписать в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты проходили через данные точки.

5.54.    Продолжения сторон AB и CD прямоугольника ABCD пересекают некоторую прямую в точках M и N, а продолжения сторон AD и BC пересекают ту же прямую в точках P и Q. Построить прямоугольник ABCD, если даны точки M, N,P, Q и длина а стороны AB .

В задачах 5.55-5.62 требуется построить треугольник по указанным в условии элементам.

5.55. c, ma и mb.    5.56. a, b и ha.

5.57. ZA, hb и hc. 5.59. ma, ha и hb. 5.61. a, ha и R.

5.58. a, hb и mb.

5.60. a, b и mc.

5.62. a, mc и ZA.

5.63.    Построить равнобедренный треугольник, если заданы основания его биссектрис.

5.64.    Построить треугольник ABC, зная положение трех точек Ai, Bi, C1, являющихся центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.

5.65.    Внутри угла даны две точки A и B. Построить окружность, проходящую через эти точки и высекающую на сторонах угла равные отрезки.

5.66.    Даны три точки A, B и C. Построить три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

5.67.    а) На параллельных прямых а и b даны точки A и B . Провести через данную точку C прямую l, пересекающую прямые а и b в таких точках Ai и Bi, что AAi = BBi. б) Провести через точку C прямую, равноудаленную от данных точек Aи B .

5.68.    С помощью циркуля и линейки разделить угол 19° на 19 равных частей.

5.69.    Построить прямую, касающуюся двух данных окружностей (разобрать все возможные случаи).

5.70.    Построить треугольник, если известны отрезки, на которые высота делит основание, и медиана, проведенная к боковой стороне.

5.71.    Построить параллелограмм ABCD по вершине A и серединам сторон BC и CD.

5.72.    Построить четырехугольник по двум смежным сторонам, углу между ними, по данной диагонали, выходящей из вершины данного угла и углу между диагоналями.

5.73.    Построить четырехугольник, зная три стороны и радиус описанной окружности.

5.74.    Построить ромб по данным высоте и диагонали.

5.75.    Построить ромб так, чтобы две противоположные его вершины были в двух данных точках, а третья на данной окружности.

5.76.    Построить параллелограмм по двум данным сторонам и высоте.

5.77.    Найти точку, из которой две данные окружности видны под данными углами.

Группа Б

5.78.    Дан четырехугольник ABCD . Вписать в него параллелограмм с заданными направлениями сторон.

В задачах 5.79-5.84 требуется построить треугольник по указанным в условии элементам.

5.79.    ma, mb и mc. 5.80. ma, hb и hc.

5.81. ma, ha и ZA. 5.82. ha, p и ZA.

5.83. a, r и ZA.    5.84. a, b и ZA = 3ZB.

5.85.    Построить треугольник ABC, если дана прямая l, на которой лежит сторона AB, и точки Ai, Bi — основания высот, опущенных на стороны BC и AC.

5.86.    Построить треугольник ABC по основаниям его высот.

5.87. а) Построить треугольник ABC, зная три точки A0 , B0 , C0 , в которых биссектрисы его углов пересекают описанную окружность (оба треугольника остроугольные). б) Построить треугольник ABC, зная три точки A0 , B0 , Co , в которых высоты треугольника пересекают описанную окружность (оба треугольника остроугольные).

5.88. Построить треугольник ABC, зная три точки A0, B0, C0, симметричные центру O описанной окружности этого треугольника относительно сторон BC, CA, AB.

5.89.    Построить треугольник ABC, зная три точки A0 , B0 , C0 , симметричные точке пересечения высот треугольника относительно сторон BC, CA, AB (оба треугольника остроугольные).

5.90.    Построить треугольник ABC, зная три точки P, Q, R, в которых высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины C, пересекают описанную окружность.

5.91.    Построить треугольник ABC по центру описанной окружности O, точке пересечения медиан M и основанию H высоты CH.

5.92.    Построить треугольник ABC по центрам вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей.

5.93.    Построить точки X и Y на сторонах AB и BC треугольника ABC так, что AX = BY и (XY)\\(AC).

5.94.    Вписать в данный треугольник ABC прямоугольник PQRS (вершины R и Q лежат на сторонах AB и BC, P и S — на стороне AC ) так, чтобы его диагональ имела данную длину.

5.95.    Провести через данную точку M прямую так, чтобы она отсекала от данного угла с вершиной A треугольник ABC данного периметра

2р.

5.96.    Построить квадрат, три вершины которого лежат на трех данных параллельных прямых.

5.97.    Построить ромб, две стороны которого лежат на двух данных параллельных прямых, а две другие проходят через две данные точки.

5.98.    Построить четырехугольник ABCD по четырем сторонам и углу между (AB) и (CD).

5.99.    Через вершину A выпуклого четырехугольника ABCD провести прямую, делящую его на две равновеликие части.

5.100.    Даны середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Построить этот четырехугольник.

5.101.    Даны три вершины вписанного и описанного четырехугольника. Построить его четвертую вершину.

5.102.    Построить выпуклый четырехугольник, если даны длины всех его сторон и одной средней линии.

5.103.    Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести окружность так, чтобы построенные окружности были взаимно ортогональны.

5.104.    а) Даны две точки A, B и прямая l. Построить окружность, проходящую через точки A, B и касающуюся прямой l. б) Даны две точки A и B и окружность S. Построить окружность, проходящую через точки A и B и касающуюся окружности S.

5.105.    Построить окружность, равноудаленную от четырех данных точек.

5.106.    Доказать, что угол величиной п°, где n — целое число, не делящееся на 3, можно разделить на n равных частей с помощью циркуля и линейки.

5.107.    Построить трапецию, боковые стороны которой лежат на данных прямых, диагонали пересекаются в данной точке, а одно из оснований имеет данную длину.

5.108.    Даны две окружности. Повести прямую так, чтобы она касалась одной окружности, а вторая окружность высекала на ней хорду данной длины.

5.109.    Даны две концентрические окружности и еще окружность. Провести окружность, касательную ко всем трем окружностям.

5.110.    Провести через вершину C треугольника ABC прямую l так, чтобы площади треугольников AAiC и BB\C, где Ai и Bi — проекции точек A и B на прямую l, были равны.

5.111.    Построить треугольник ABC по сторонам AB и AC, зная, что биссектриса AD, медиана BM и высота CH пересекаются в одной точке.

5.112. Даны точки A1, B1 и C1, делящие стороны BC, CA и AB треугольника ABC в отношении 1:2 . Восстановить по ним треугольник ABC.

5.113.    В данной окружности провести хорду, которая была бы видна из данных трех точек под равными углами.

5.114.    Трапецию разделить на 5 равновеликих частей прямыми, параллельными данной прямой, которая пересекается с основаниями трапеции.

6.1. Движения пространства

Группа А

6.1.    Доказать, что любое движение пространства а) сохраняет отношение лежать между; b) переводит отрезок в отрезок; с) отображает выпуклую фигуру на выпуклую фигуру; d) отображает прямую на прямую; е) сферу отображает на сферу.

6.2.    Доказать, что если прямые а и b параллельны, то и образы их при любом движении пространства также будут параллельными прямыми.

6.3.    Доказать, что при любом движении пространства плоскость отображается на плоскость, а пара параллельных плоскостей отображаются в пару параллельных плоскостей.

6.4.    Доказать, что множество всех параллельных переносов пространства с операцией композиция является абелевой группой.

6.5.    Пусть f — движение пространства. Доказать, что f — параллельный перенос, тогда и только тогда, когда для произвольной прямой а выполнено f (а)||а.

6.6.    Доказать, что для произвольного движения f и произвольной пары векторов 1 и it справедливо равенство f 1+1 ) = f 1 )+f г1).

6.7.    Доказать, что для произвольных движения f, вектора it и числа Л выполняется f (XI1) = Xf (1).

6.8. Пусть плоскости а и в пересекаются по прямой а. Доказать, что для любой плоскости ai, проходящей через прямую a, найдется пара плоскостей в1 и в2, также проходящих через а и для которых справедливы равенства

Ja SPi ° Sai    Sai ◦ Sвл'

 

о О    О О    о о

Se ◦ Sa    Sвл ◦ Sai    Sai ◦ S в

6.9.    Может ли движение пространства иметь ровно две неподвижные точки? Описать все движения, имеющие по крайней мере две неподвижные точки.

6.10.    Пусть Sa — зеркальная симметрия относительно плоскости а, A ф а и A = Sa(A). Доказать, что прямая и плоскости, проходящие одновременно через A и A инвариантны, т.е. отображаются сами на себя; эти прямая и плоскости перпендикулярны плоскости а.

6.11.    Найти все движения, множество неподвижных точек которых содержит некоторую окружность ш .

вектор ClD , что T— ◦ S(

 

6.12. Известно, что aBАа. Доказать, что Т— ◦ Sa и Sa ◦ T— являются зеркальными симметриями относительно плоскостей в и у. Найти в и у.

6.13.    Известно, что A BАа. Найти такой Sa ◦ TAaD •

6.14.    Говорят, что движение f меняет направление на противоположное, если для любого вектора it выполняется f (it) = —At. Описать все движения, которые меняют направление на противоположное.

6.15.    Движение пространства имеет три неподвижные точки, не лежащие на одной прямой. Доказать, что плоскость, проходящая через эти точки, является неподвижной. Верно ли, что указанная плоскость будет плоскостью неподвижных точек?

6.16.    Даны плоскость а и не принадлежащие ей точки A и B. Найти на плоскости а такую точку M, чтобы сумма \MA\ + \MB\ была наименьшей.

6.17.    Даны плоскость а и не принадлежащие ей точки A и B. Найти на плоскости а такую точку N, чтобы число \\MA\ — \MB\\ было наибольшим.

6.18.    Через данную точку P провести прямую, перпендикулярную двум скрещивающимся прямым а и b.

6.19.    Найти геометрическое место центров симметрии двух параллельных плоскостей.

6.20.    Отрезок постоянной длины “скользит” своими концами по двум взаимно перпендикулярным скрещивающимся прямым. Какую линию при этом описывает середина отрезка?

6.21. Пусть Zo — симметрия с центром O. Доказать, что Zo(l)\\l и Zo (а) ||а.

6.22.    Доказать, что композиция трех зеркальных симметрий относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей есть центральная симметрия. Как найти ее центр? Как, обратно, представить центральную симметрию в виде композиции трех симметрий относительно плоскостей?

6.23.    Даны прямая l и не принадлежащие ей точки A и B . Найти на прямой l такую точку M, чтобы сумма \MA\ + \MB\ была наименьшей.

6.24.    Даны два конгруэнтных треугольника AOB и AOB', не лежащих в одной плоскости. Доказать, что существует поворот, отображающий один треугольник на другой.

6.25.    Даны биссектрисы трех плоских углов трехгранного угла. Восстановить по ним трехгранный угол.

6.26.    Внутри двугранного угла дана точка. Провести через эту точку прямую, перпендикулярную к ребру, и притом так, чтобы отрезок этой прямой между сторонами угла делился данной точкой пополам.

6.27.    Дан произвольный тетраэдр. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

6.28.    Найти поворот, переводящий отрезок в конгруэнтный отрезок.

6.29.    Найти поворот, переводящий угол в конгруэнтный угол.

6.30.    Доказать, что существует бесконечно много поворотов, переводящих одну прямую в другую.

6.31.    На данной прямой найти точку так, чтобы сумма ее расстояний до двух данных прямых была наименьшей.

6.32.    Даны две прямые. Найти осевые симметрии, переводящие одну прямую в другую.

6.33. Доказать, что если Sp(m) = n и Sq(n) = m, то прямые p и q пересекаются.

6.34.    а) Доказать, что композиция двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельным переносом пространства. Как определить длину и направление этого переноса (вектора)? b) Доказать, что любой параллельный перенос пространства можно представить как композицию двух осевых симметрий. Как построить оси таких симметрий?

6.35.    Найти все движения, при которых данная прямая является неподвижной.

6.36.    Найти все движения, при которых данная плоскость является неподвижной.

6.37.    Найти неподвижные плоскости винтового движения.

6.38.    Доказать, что винтовое движение является композицией двух осевых симметрий со скрещивающимися осями.

6.39.    Доказать, что композиция двух поворотов со скрещивающимися осями не может быть поворотом.

6.40.    В пространстве даны две перпендикулярные прямые а и b (не обязательно пересекающиеся). Чему равна композиция Sb ◦ Sa ?

6.41.    Даны две скрещивающиеся прямые а и а'. На первой из них дана точка A, на второй — точка Л'. Найти поворот пространства относительно оси, отображающий а на а' и Л на Л (построить ось этого поворота).

6.42.    Даны скрещивающиеся прямые а и b, образующие с некоторой прямой l равные углы. Доказать, что существует поворот с осью l, отображающий прямую а на прямую а', параллельную b.

6.43.    Описать все движения, представимые в виде композиции трех зеркальных симметрий.

6.44.    Доказать, что если движение представлено в виде композиции пяти зеркальных симметрий, то его можно представить и в виде композиции трех зеркальных симметрий.

6.45.    Показать, что тождественное преобразование не может быть представлено в виде композиции нечетного числа зеркальных симметрий.

6.46.    Доказать, что если движение представлено в виде композиции четного (нечетного) числа зеркальных симметрий, то его нельзя представить в виде композиции нечетного (соответственно, четного) числа зеркальных симметрий.

6.47.    Движение называется сохраняющим (меняющим) ориентацию, если оно может быть представлено в виде композиции четного (соответственно, нечетного) числа зеркальных симметрий. Описать все движения, которые а) сохраняют ориентацию; b) меняют ориентацию.

6.48.    Пусть f — скользящая симметрия. Доказать, что для любого вектора j движения f о Tj и Tj о f также являются скользящими симметриями.

6.49.    Пусть f — винтовой поворот. Доказать, что для любого вектора j движения f о Tj и Tj о f также являются винтовыми поворотами.

6.50.    Пусть f — зеркальный поворот. Доказать, что для любого вектора j движения f о Tj и Tj о f также являются зеркальными поворотами.

Группа Б

6.51.    Через середину каждого ребра тетраэдра проведена плоскость, перпендикулярная противоположному ребру. Доказать, что все шесть таких плоскостей пересекаются в одной точке (точка Монжа).

6.52.    Доказать, что если точка Монжа лежит в какой либо грани тетраэдра, то основание высоты, опущенной на эту грань, лежит на описанной окружности.

6.53.    Даны три правильных конгруэнтных пятиугольника: OAMNB, OBPQC, OCRSA. Доказать, что прямые ON, OQ, OS взаимно перпендикулярны.

6.54.    Дан произвольный тетраэдр и точка N. Через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, параллельная отрезку, соединяющему N с серединой противоположного ребра. Доказать, что все шесть плоскостей пересекаются в одной точке.

6.55.    Если некоторая фигура имеет две пересекающиеся перпендикулярные оси симметрии, то она имеет еще одну ось симметрии. Доказать.

6.56.    Ограниченная фигура имеет центр симметрии и плоскость симметрии. Доказать, что центр симметрии лежит в плоскости симметрии.

6.57.    Ограниченная фигура имеет несколько плоскостей симметрии. Доказать, что все они проходят через одну точку.

6.58.    Ограниченная фигура имеет несколько осей симметрии. Доказать, что все оси симметрии проходят через одну точку.

6.59.    Плоскости а, в, Y и 6 содержат все грани некоторого тетраэдра ABCD . Каким движением является композиция S§ ◦ SY ◦ Sp ◦ Sa ?

6.2. Гомотетия. Преобразования подобия

Группа А

6.60.    Даны две произвольные сферы. Существует ли гомотетия, отображающая одну из этих сфер на другую? Если да, то сколько таких гомотетий?

6.61.    Доказать, что центроиды граней тетраэдра являются вершинами тетраэдра, гомотетичного данному. Указать центр и коэффициент гомотетии.

6.62.    Для каждой вершины тетраэдра строится точка, симметричная ей относительно центроида противоположной грани. Доказать, что построенные точки являются вершинами тетраэдра, гомотетичного данному. Указать центр и коэффициент гомотетии.

6.63.    Построить куб по данной его диагонали.

6.64.    Построить куб по данной величине разности между длинами его диагонали и стороны.

6.65.    Доказать, что два подобных, но неравных треугольника можно перевести друг в друга композицией гомотетии и поворота вокруг оси.

6.66.    Доказать, что преобразование подобия с коэффициентом к = 1, переводящее каждую плоскость в себя или в параллельную ей плоскость, является гомотетией.

6.67. Даны четыре точки A1, A2, A3 и А4, не расположенные в одной плоскости. Доказать, что если для двух подобий f и g выполняется f (Ai) = g(Ai) при всех i g {1, 2,3,4} , то f = g (т.е. для любой точки А пространства f (A) = g(A)).

Группа Б

6.68.    В данную правильную четырехугольную пирамиду вписать куб так, чтобы четыре вершины одной из его граней лежали на четырех боковых ребрах пирамиды.

6.69.    Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих точку вне сферы с точками этой сферы.

6.70. Даны четыре отрезка [AiBi], [A2B2], [A3B3], [A3B3], из которых никакие три не лежат в одной плоскости, причем все они параллельны друг другу и в то же время попарно не равны. Как расположены центры шести гомотетий, отображающих Ai на Ak и Bi на Bk (i,k = 1,2,3,4) ?

6.71.    В плоскости боковой грани правильной чтырехугольной пирамиды взята вигура Ф. Пусть Ф1 - проекция Ф на плоскость основания пирамиды, а Ф2 - проекция Ф на плоскость смежной боковой грани. Доказать, что фигуры Ф1 и Ф2подобны.


Категория: Геометрия | Добавил: Админ (30.07.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко, гольдин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar