Тема №7263 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 7)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 7) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 7), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

7.48.    Доказать, что плоскости, проведенные через ребра двугранного угла и биссектрисы противоположных граней, пересекаются по одной прямой.

7.49.    Дан трехгранный угол, среди двугранных углов которого нет прямых углов. Доказать, что плоскости, проведенные через ребра двугранного угла перпендикулярно противоположным граням, пересекаются по одной прямой.

7.50.    В грани двугранного угла, равного 120°, проведена прямая, образующая угол 60° с ребром двугранного угла. Найти угол между этой прямой и другой гранью.

7.51.    Дан прямоугольный треугольник ABC (AC = 90°), у которого AB = 60°. Треугольник перегнули вдоль биссектрисы BD так, что плоскости DBC и DBA образовали угол 45°. Какой угол будут образовывать прямая AD с плоскостью DBC ?

7.52.    Все три плоских угла трехгранного угла являются острыми. Один из них равен a, двугранные углы, прилегающие е этому плоскому углу, равны в, Y. Найти два других плоских угла.

7.53. Три луча a = [OA), b = [OB), c = [OC) образуют следующие углы: Aa,c = Ab,c = ф, Aa,b = ф. Найти углы между парами плоскостей OAB и OAC , OAC и OBC .

7.54.    Прямоугольный равнобедренный треугольник повернут вокруг биссектрисы прямого угла на угол 45° . На какие углы повернулись катеты?

7.55.    В прямоугольном треугольнике через биссектрису прямого угла проведена плоскость, которая составляет с плоскостью треугольника угол a . Какие углы она составляет с катетами?

7.56.    Плоскость отсекает на ребрах прямого трехгранного угла отрезки a , b , c . Вычислить площадь полученного сечения.

7.57.    Через вершину S прямого трехгранного угла Sabc проведен луч d. Доказать, что cos2 a,d + cos2 b,d + cos2 c,d = 1.

7.58.    Доказать, что у всякого четырехгранного угла с равными плоскими углами есть сечение, являющееся ромбом.

7.59.    Доказать. что сумма двугранных углов выпуклого n-гранного угла больше (n — 2)п.

7.60.    Сумма плоских углов некоторого выпуклого n -гранного угла равна сумме его двугранных углов. Доказать, что n = 3.

7.61.    В выпуклый четырехгранный угол вписана сфера. Доказать, что суммы его противоположных плоских углов равны.

7.62.    В трехгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром O. Доказать, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна прямой SO.

Группа Б

7.63.    Даны две скрещивающиеся прямые l и m. Найти геометрическое место точек, делящих в данном отношении отрезки LM, где L Е l, M Е m.

7.64.    Провести прямую, пересекающую три данные прямые так, чтобы отрезки, отсекаемые на ней этими прямыми, имели данное отношение.

7.65.    Построить отрезок, имеющий заданную длину и параллельный данной плоскости, концы которого принадлежат двум данным прямым.

7.66.    Найти множество всех точек, сумма расстояний от которых до двух данных пересекающихся плоскостей постоянна и равна p.

7.67.    Даны скрещивающиеся перпендикулярные прямые l, m и точка P. Найти множество всех точек M, таких, что сумма длин проекций отрезков PM на прямые l и m постоянна.

7.68.    Треугольники ABC и A\B\Ci не лежат в одной плоскости, а прямые AB и AiBi, BC и BiCi, CA и CiAi попарно пересекаются. Доказать, что: а) точки пересечения указанных прямых коллинеарны; б) прямые AAi, BBi, CCi пересекаются в одной точке или параллельны.

7.69.    Углы между некоторой плоскостью и сторонами правильного треугольника равны а, в, Y • Доказать, что синус одного из этих углов равен сумме синусов двух других углов.

7.70.    В основании пирамиды лежит многоугольник с нечетным числом сторон. Можно ли на его ребрах так расставить стрелки, что сумма полученных векторов равна нулю?

7.71.    Дана плоскость п и точки A, B вне ее. Найти множество всех точек X плоскости п, для которых прямые AX и BX образуют равные углы с плоскостью п •

7.72.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a. Пусть P, K, L — середины ребер AAi, A1D1 и BiCi; Q — центр грани CC1D1D. Отрезок MN с концами на прямых AD и KL пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка.

7.73.    Ортогональные проекции треугольника ABC на две взаимно перпендикулярные плоскости являются правильными треугольниками со сторонами, равными 1. Найти периметр ABC, если AB = ^/5/2.

7.74.    Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Точка M — середина ребра SB, а N £ (AB), причем NB = 2AB. Где на боковом ребре SC лежит точка P, если в сечении пирамиды плоскостью MNP получился четырехугольник?

7.75.    В треугольной пирамиде SABC суммы всех плоских углов при каждой из вершин A, B и C равны 180°. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми SA и BC, если BC = 4, AC = 5 , AB = 6.

7.76.    Дан трехгранный угол с плоскими углами а, в, Y. Найти угол наклона каждого ребра к плоскости противоположной грани.

7.77.    Сумма плоских углов трехгранного угла равна 180° . Доказать, что сумма косинусов его двугранных углов равна 1.

7.78.    В трехгранный угол Oabc вписана сфера, касающаяся граней Obc, Oca и Oab в точках A1, B1, C1. Выразить величину угла aOB1 через плоские углы трехгранного угла.

7.2. Многогранники

Группа А

7.79.    Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найти угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через противоположные вершины боковой грани и середину противолежащего ей бокового ребра.

7.80.    Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 2. Найти объем пирамиды, а также радиусы вписанного и описанного шаров.

7.81.    В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 6. Найти объем этой призмы, если известно, что в нее можно вписать шар.

7.82.    Внутри куба расположены два равных, касающихся друг друга шара. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех других граней куба. Найти радиусы шаров, если ребро куба равно a.

7.83.    Найти объем треугольной пирамиды, в основании которой лежит треугольник со сторонами 3, 4, 5, а двугранные углы при основании равны 60°.

7.84.    Внутри треугольной пирамиды, все ребра которой равны a, расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трех других шаров, а также трех граней пирамиды. Найти радиусы шаров.

7.85.    Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а радиус вписанного шара — 1/2. Найти величину двугранного угла между боковыми гранями пирамиды.

7.86.    Найти двугранный угол между соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что радиус вписанного в нее шара в три раза меньше стороны основания.

7.87.    Найти радиус шара, вписанного в треугольную пирамиду, пять ребер которой равны 2, а одно ребро равно 1.

7.88.    Ребро куба равно 1. Найти объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в центрах трех смежных граней и в вершине куба, не принадлежащей этим граням.

7.89.    Пусть ABCD — правильный тетраэдр с ребром a. Найти радиус шара, касающегося ребра AB в его середине, а также ребер AC и CD.

7.90.    Дан куб ABCDAiBiCiDi с ребром 1. Найти объем общей части двух треугольных пирамид ACBiDi и A\C\BD .

7.91.    В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, AB = 3. Высота пирамиды равна 4 и проходит через середину AD. Найти AD, если известно, что в пирамиду можно вписать шар.

7.92.    В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, AB = 3, BC = 4. Высота пирамиды равна 3 и проходит через середину BC . Найти радиус наибольшего шара, который можно поместить внутри пирамиды.

7.93.    ABCDAiBiCiDi — параллелепипед. В каком отношении плоскость, проходящая через D, Ci и середину AiBi, делит диагональ DiB ?

7.94.    SABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1. Найти расстояние от середины ребра AB до плоскости, проходящей через C и середины ребер SB и SD .

 

7.101.    Доказать, что биссекторная плоскость двугранного угла, образованного смежными гранями тетраэдра, делит противоположное ребро на части, пропорциональные площадям этих граней. Доказать также, что отношение этих частей также равно отношению объемов тетраэдров, на которые биссекторная плоскость разбивает данный тетраэдр.

7.102.    Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD. На ребре SA взята точка M так, что SM = 2AM. Через M и середины ребер SB и SD проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

7.103. Дан куб ABCDAiBiCiD\. Через середину DiCi проведена прямая l, пересекающая прямые BAi и ADi. Какой угол образует прямая l с BAi ?

7.104.    SABC — правильный тетраэдр с ребром 6. Точка M — середина AB, K — такая точка на BC, что BK = 2KC. Найти расстояние от K до середины отрезка DM.

7.105.    Найти радиус шара, касающегося всех ребер правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 2 , а боковое ребро равно 3.

7.106.    В каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая через центры трех его смежных граней.

7.107.    Радиус шара, описанного около правильной шестиугольной пирамиды, равен 2, боковое ребро равно 1. Найти объем пирамиды.

7.108.    В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 1. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами. Одно боковое ребро равно л/7, а два других меньше его. Найти объем пирамиды.

7.109.    Дан куб с ребром a. Две вершины правильного тетраэдра лежат на его диагонали, а две оставшиеся — на диагонали его грани. Найти длину ребра тетраэдра.

7.110.    Сфера проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани. Найти радиус сферы, если ребро куба равно a .

7.111.    Ребро куба ABCDAiBiCiDi равно a. Найти радиус сферы, проходящей через середины ребер AAi и BBi и вершины A и Ci.

7.112.    Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром a . Найти радиус сферы, проходящей через C , D и середины ребер AB и AC .

7.113.    В треугольной призме ABCAiBiCi проведены две плоскости: одна проходит через A, B , Ci, другая — через Ai, Bi, C. Эти плоскости разделили призму на четыре части. Объем меньшей из этих частей равен V. Найти объем призмы.

7.114.    В каком отношении делит объем треугольной пирамиды плоскость, параллельная двум ее скрещивающимся ребрам и делящая одно из других ребер в отношении 2:1 ?

7.115.    Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Сечение призмы проходит через сторону нижнего основания и параллельную ей среднюю линию верхнего основания. В каком отношении эта плоскость делит объем призмы?

7.116.    Объем пирамиды ABCD равен V. Найти объем пирамиды KNPB, если B — середина AP, K лежит на ребре AD и AK : KD = = 3, N — точка пересечения медиан грани BCD.

7.117.    В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен углу между боковым ребром и плоскостью основания. Найти двугранные углы между соседними боковыми гранями.

7.118.    Найти двугранный угол между основанием и боковой гранью правильной усеченной треугольной пирамиды, если известно, что в нее можно вписать шар, и, кроме того, существует шар, касающийся всех ее ребер.

7.119. Дан куб ABCDAiBiCiDi. Через ребро AA\ проведена плоскость, образующая равные углы с прямыми BC и B\D. Найти эти углы.

7.120.    Точка K — середина ребра AAi куба ABCDA1B1C1D1, точка L лежит на ребре BC. Отрезок KL касается шара, вписанного в куб. В каком отношении отрезок KL делится точкой касания?

7.121.    В треугольной пирамиде ABCD грани ABC и ABD имеют площади S1 и S2 и образуют между собой угол а. Найти площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро AB и центр вписанного в пирамиду шара.

7.122.    Точки K и L являются серединами ребер AB и CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Найти радиус шара, вписанного в трехгранный угол с вершиной A и касающегося прямой KL, если ребро куба равно a.

7.123.    Пусть ABCD — правильный тетраэдр с ребром a, M — центр грани ADC, N — середина ребра BC. Найти радиус шара, вписанного в трехгранный угол A и касающегося прямой MN.

7.124.    В треугольной пирамиде SABC известно, что AC = AB, а ребро SA наклонено к плоскостям граней ABC и SBC под углом 45°. Известно, что вершина A и середины всех ребер пирамиды, кроме SA, лежат на сфере радиуса 1. Доказать, что центр сферы расположен на ребре SA и найти площадь грани ASC .

7.125.    Внутри правильного тетраэдра ABCD расположены два шара радиусов 2R и 3R, касающиеся друг друга внешним образом, причем один шар вписан в трехгранный угол тетраэдра с вершиной A , а другой — в трехгранный угол с вершиной B. Найти ребро тетраэдра.

7.126.    В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна a , а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен а . Плоскость, параллельная диагонали основания AC и боковому ребру SB пересекает пирамиду так, что в сечении получается пятиугольник, в который можно вписать окружность. Определить радиус этой окружности.

7.127.    В правильном тетраэдре точки M и N являются серединами противоположных ребер. Проекция тетраэдра на плоскость, параллельную MN , представляет собой четырехугольник площадью S , один из углов которого равен 60°. Найти площадь поверхности тетраэдра.

7.128.    Длина стороны основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна а. Точки M и N являются соответственно серединами ребер AiBi и AAi. Проекция отрезка BM на прямую CiN равна а/(2л/5) . Определить высоту призмы.

7.129.    В треугольной призме ABCA1B1C1 проведены два сечения. Первое сечение проходит через ребро AB и середину ребра CC1, а второе — через ребро A1B1 и середину ребра BC. Найти отношение длины отрезка линии пересечения этих сечений, заключенного внутри призмы, к длине ребра AB .

7.130.    Основанием призмы ABCA1B1C1 является правильный треугольник ABC со стороной а. Проекцией призмы на плоскость основания является трапеция с боковой стороной AB и площадью, в два раза большей площади основания. Радиус сферы, проходящей через вершины A, B, A1, C1 равен а. Найти объем призмы.

7.131.    Правильный тетраэдр объемом V повернут около прямой, соединяющей середины его скрещивающихся ребер, на угол а = 90° . Найти объем общей части данного тетраэдра и повернутого. Решить задачу для произвольного а, 0 < а <180°.

7.132. Дан куб ABCDA1B1C1D1. M — центр грани ABB1A1, N — точка на ребре B1C1, L — середина A1B1, K — основание перпендикуляра, опущенного из N на BC\^ .В каком отношении точка N делит B1C1, если ZLMK = ZMKN ?

7.133.    Высота усеченной пирамиды равна h, площадь среднего сечения равна S. В каких пределах может изменяться объем пирамиды?

7.134.    Квадрат ABCD является основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Найти наибольшую возможную величину угла между прямой BD1 и плоскостью BDC\^.

7.135.    В правильной четырехугольной пирамиде центр описанной сферы лежит на поверхности вписанной. Найти величину плоского угла при вершине пирамиды.

7.136.    В правильной шестиугольной пирамиде центр описанной сферы лежит на поверхности вписанной. Найти отношение радиусов описанной и вписанной сфер.

7.137.    Найти чему равна площадь сечения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D\ плоскостью, параллельной A1BD и проходящей через точку Di, если AD = 2 и AB = AAi = 1.

7.138.    Через вершину Ai и середины ребер AC и BC правильной треугольной призмы ABCAiBiC1 проведена плоскость. Найти периметр многоугольника, полученного в сечении, если сторона основания призмы равна 8, а боковое ребро равно 3.

7.139.    Основанием пирамиды ABCD служит правильный треугольник ABC со стороной, длина которой равна 4. Ребро BD перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 1. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной скрещивающимся ребрам AC и BD так, что в сечении получился квадрат. Найти длину стороны этого квадрата.

7.140.    Центр вписанного шара делит высоту правильной четырехугольной пирамиды в отношении 4:3, считая от вершины. Найти отношение радиусов описанного и вписанного шаров.

7.141.    В основании пирамиды с объемом 4,8 лежит треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Найти площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота составляет равные углы с боковыми гранями, а основание высоты лежит внутри основания пирамиды.

7.142.    В правильной треугольной пирамиде, сторона основания которой равна а, а боковое ребро — 3а, проведено сечение, параллельное боковому ребру. Найти площадь этого сечения, если оно является ромбом.

7.143.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром а. Найти радиус сферы, проходящей через вершины A, B и середины ребер A1B1, AD.

7.144.    В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через середины ребер SA, SC и вершину B проведена плоскость. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, если сторона основания равна a , а боковое ребро равно b.

7.145.    В основании четырехугольной пирамиды с вершиной S лежит параллелограмм ABCD . Через точку A и середины ребер CD и SB проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит ребро SC ?

7.146.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Сфера касается ребер BC и CD и проходит через вершины A и A1 . Найти радиус сферы и

расстояние от центра сферы до центра грани ABCD.

7.147.    В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB = BC), а угол между прямыми AB1 и BC равен 60°. Найти угол между прямой BC\^ и плоскостью грани AA1C1C.

7.148.    Пусть ABCDS — четырехугольная пирамида, в основании которой лежит параллелограмм ABCD. Известно, что P £ [BC], Q £ [CD], причем BP : PC = 1:2, CQ = QD. Через вершину C проведена плоскость а, параллельная прямым APи QS. Найти точку пересечения плоскости а и прямой SA.

7.149. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Известно, что P £ [A1B1], Q £ [CC1], причем A1P : PB1 = 2, C1Q : QC =1:2. Найти такие точки R £ (AA1), S £ (CD), что прямые PQ и RS были бы параллельны.

7.150. Дан прямоугольный треугольник ABC (ZC = 90°) и плоскость а. Известно, что AC : BC = 3:4, (AB)||а и угол между плоскостью ABC и плоскостью а равен 60° . Найти угол между плоскостью а и прямой AC .

7.151.    Основанием пирамиды с вершиной S служит правильный пятиугольник ABCDE. Высота пирамиды проходит через точку E и образует с плоскостью SBC угол 30° . Найти величину угла, образованного гранью SAB и основанием пирамиды.

7.152.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Точки P, Q, R лежат на ребрах DD1 , CD и AB соответственно, причем DQ = QD1 , BR = = 2AR, PD = PD\^. Найти угол и расстояние между (PR) и (B1Q).

7.153.    В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равной a. Высота пирамиды проходит через вершину A. Через центр основания параллельно боковой грани SCD проведена плоскость, причем площадь полученного сечения равна 3а2л/2/8. Найти высоту пирамиды.

7.154.    Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями соседних граней.

7.155.    В правильной шестиугольной пирамиде через центр основания проведено сечение, параллельное боковой грани. Найти отношение

площади сечения к площади боковой грани.

7.156.    Два боковых ребра пирамиды, равные а и b, образуют угол п/3. Угол между их проекциями на плоскость основания равен 2п/3. Найти высоту пирамиды.

7.157.    На диагоналях AC и DC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 выбраны точки M, N так, что (MN)||(BD1). Найти MN : BD1.

7.158.    В тетраэдре ABCD выполняется: (AB)B(CD), (AC)A(BD). Доказать, что (AD)A(BC).

7.159.    Ребро куба равно а. Через диагональ AC грани ABCD проведена плоскость так, что в сечении куба этой плоскостью получилась трапеция, острый угол которой равен arccos (1/л/ТО). Найти расстояние от вершины B до этой плоскости.

7.160.    В правильной треугольной пирамиде расстояние от середины высоты до боковой грани и бокового ребра равно а и b соответственно. Найти высоту пирамиды.

7.161.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Точки E, F лежат на ребрах AAi, BC соответственно, причем AE = 1/3, BF = 1/4. Через точки E , F и через центр куба проведена плоскость. Найти расстояние от вершины B до этой плоскости.

7.162.    В плоскости п дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC = l, AC = 2а). Шар радиуса r касается плоскости п в точке B. Две скрещивающиеся прямые проходят через точки A , C и касаются шара. Угол между каждой из этих прямых и плоскостью п равен а. Найти расстояние между прямыми.

7.163.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Сфера касается ребер AD, DD1, CD и прямой BC1. Найти радиус сферы.

7.164.    Сфера радиуса R делит каждое из ребер SA, SC, AB и CB треугольной пирамиды SABC на три равные части и проходит через середины ребер AC и SB. Найти длину высоты, опущенной из S.

7.165.    В пирамиде SABC двугранные углы при ребрах AB, BC, CA равны 90°, 30°, 90° соответственно. Плоскость пересекает ребра

SB, SC, AC и AB в точках K, L, M, Ж, причем KLMN — трапеция, основание KL которой втрое больше основания MN. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 13, AS = BS = 13.

7.166.    Высота пирамиды равна 5 , а основанием служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9. Сфера касается плоскостей всех боковых граней в точках, лежащих на сторонах основания. Найти радиус сферы.

7.167.    Три параллельные прямые касаются в точках A, B, C сферы радиуса 4 с центром в точке O. Найти угол BAC, если известно, что площадь треугольника OBC равна 4, а площадь треугольника ABC больше 16.

7.168.    Пусть DABC — треугольная пирамида. Точка Q — середина ребра AC, точка R лежит на ребре BD , причем DR = 2RB . Точки M, N лежат на прямых AR и DQ соответственно и (MN)\\(BC). Найти отношения MN : BC и DN : NQ.

7.169.    Дана четырехугольная пирамида FABCD. Ее основанием является параллелограмм ABCD (AB = 2, AD = 1, ZBAD = 60°). Известно, что AF = л/3, ZFAD = 30° и двугранный угол между плоскостями FAB и DAB равен 60°. Найти длину ребра FD и угол, образованный ребром FA с плоскостью основания.

7.170.    Дана четырехугольная пирамида SABCD . Ее основанием является прямоугольник ABCD . Высота пирамиды проходит через вершину A. Найти величину двугранного угла между плоскостями SBC и SCD, если AD = SA = 2a, AB = a.

7.171.    Дан параллелепипед ABCDA\B\CiDi. Точки P, M лежат на ребрах BC и DD\ соответственно, причем BP = 2PC, DM = = 5MD\/4. Через точки P, M параллельно диагонали BD\ проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит ребро AD ? В каком отношении она делит объем?

7.172.    Пусть ABCD — равнобедренная трапеция. Ее большее основание AD равно a , острый угол равен 60° , а меньшее основание равно боковой стороне. Трапецию согнули вдоль диагонали AC так, что угол между плоскостями ABC и ACDстал равным 45°. Найти расстояние между точками B и D .

7.173.    В основании треугольной пирамиды PQRS лежит правильный треугольник QRS. Высота пирамиды, опущенная из вершины P, проходит через середину ребра RS. Известно, что PQ = шл/2, QR = m. Пирамиду пересекает плоскость, параллельная ребрам PQ и RS и отстоящая от вершины Q на расстоянии d. Найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

7.174.    Треугольная призма ABCA1B1C1 с нижним основанием ABC и боковыми ребрами AAi, BBi, CCi рассечена плоскостью, проходящей через точки E, F, C, где E — середина ребра AA1, F лежит на ребре BB1, причем FB1 = 2BF. Найти объем части призмы, заключенной между секущей плоскостью и нижним основанием, если объем призмы равен V.

7.175.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 сребром 1. Пусть O — центр сферы, касающейся AA1, A1B1, B^i_. Найти радиус сферы, если расстояние от точки O до прямой BD равно 1/3.

7.176.    Рассматривается ортогональная проекция куба с ребром а на плоскость, перпендикулярную диагонали куба. Во сколько раз площадь проекции будет больше площади сечения куба плоскостью, проходящей через середину диагонали перпендикулярно к ней?

 

7.178.    Доказать, что если точка перемещается в плоскости основания правильной пирамиды, оставаясь внутри этого основания, то сумма расстояний от этой точки до боковых граней постоянна.

7.179.    Доказать, что если все двугранные углы некоторой треугольной пирамиды равны, то и все ребра этой пирамиды равны.

7.180.    Доказать, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения одинаково удалены от ребра.

7.181.    В треугольной пирамиде проводятся сечения, параллельные двум ее пересекающимся ребрам. Найти сечение с наибольшей площадью.

Группа Б

7.182.    Основание треугольной пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). Известно, что AC = 48, а площадь треугольника ABC равна 432. Высота пирамиды проходит через середину боковой стороны. Точки A,B,Cи середина высоты пирамиды лежат на сфере радиуса 30. Найти объем пирамиды, если ее высота меньше чем 70.

7.183.    Пусть SABCD — четырехугольная пирамида, в основании которой лежит параллелограмм ABCD . Точки K, L, M лежат на ребрах SB, SA, AD соответственно, причем AL = 2LS, AM = MD, KB = 3SK. На прямой (LM) выбрана точка X, а на прямой (SC) — точка Y так, что (XY)||(AK). Найти LX : XM.

7.184.    В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC. Боковое ребро [SA] образует с плоскостью основания угол ф = arctg(2/\/5), а боковые ребра [SC] и [SB] одинаково наклонены к плоскости основания. Параллельно ребрам [SA] и [BC] проведена плоскость а, причем расстояние от точки S до плоскости а равно 1. Известно, что существует сфера с центром O, касающаяся всех граней пирамиды и плоскости а. Найти радиус этой сферы, если известно, что точки S и O лежат по одну сторону от плоскости а .

7.185.    В правильный тетраэдр ABCD с длиной ребра 1 вписан шар. Найти радиус шара, касающегося этого шара и трех граней ADC , ABC и ADB .

7.186.    В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит правильный треугольник ABC. Все ребра призмы имеют длину 1; MN — средняя линия грани BCC]_B\^, параллельная ребру BC. Через центр треугольника ABC проходит прямая, пересекающая прямые AB1 и MN в точках P и Q соответственно. Найти длину отрезка PQ.

7.187.    Основанием пирамиды SABC служит треугольник ABC со сторонами \AB| = 6, \AC| = 10 и \BC| = 14. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. На биссектрисе ABAC выбрана точка E так, что радиус шара, вписанного в трехгранный угол с вершиной A и касающегося прямой SE, равен 2/13. Найти длину отрезка AE.

7.188.    В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD с острым углом при вершине A. Высота ромба равна 4, точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от центра сферы до прямой AC равно 2AB\/2/3. (МФТИ. Билет 9, 1991)

7.189.    В сферу радиуса 5/8 вписана четырехугольная пирамида SABCD , основанием которой служит параллелограмм ABCD . Точка пересечения диагоналей параллелограмма является ортогональной проекцией вершины S на плоскостьABCD. Плоскость каждой грани пирамиды касается второй сферы, расстояние от центра которой до прямой AD вдвое больше расстояния до прямой BC . Найти радиус второй сферы и расстояние от ее центра до вершины S, если AD : AB = 5:3. (МФТИ. Билет 10, 1991)

7.190.    В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина) точки D и E являются серединами ребер AC и BC соответственно. Через точку E проведена плоскость в, пересекающая ребра AB и SB и удаленная от точек D и В на одинаковое расстояние, равное 1/2. Найти Длины отрезков, на которые плоскость делит ребро SB, если BC = 4, SC = 3. (МФТИ. Билет 1, 1992)

7.191.    Сфера вписана в четырехугольную пирамиду SABCD, основанием которой является трапеция ABCD , а также вписана в правильный тетраэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды SABCD . Найти радиус сферы, если объем пирамиды SABCD равен 64. (МФТИ. Билет 5, 1992)

7.192.    Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SKLMN (S — вершина), и вписана в прямую треугольную призму ABCA'B' C, у которой AB = AC, BC = 4\р2, а боковое ребро AA лежит на прямой KL . Найти радиус сферы, если известно, что прямая SM параллельна плоскости BBCC. (МФТИ. Билет 8, 1992)

7.193.    Основание прямой призмы ABCA1B1C1 — равнобедренный треугольник ABC, в котором AC = CB = 5, ZACB = 2arcsin (3/5). Плоскость, перпендикулярная прямой AiC, пересекает ребра AC и A1C1 в точках D, E соответственно, причемAD = AC/3, EC1 = A1C1 /3. Найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью. (МФТИ. Билет 9, 1992)

7.194.    Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 — равнобедренная трапеция ABCD, в которой (BC)\\(AD), BC = 1, AD = 5, ZBAD = arctg (3/2). Плоскость, перпендикулярная прямой A1D, пересекает ребра AD и A1D1 в точках E и Fсоответственно, причем AE = FD1 = 5/3. Найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью. (МФТИ. Билет 10, 1992)

7.195.    Через середину ребра AC правильной треугольной пирамиды SABC (S — вершина) проведены плоскости а, в, каждая из которых образует угол п/6 с плоскостью ABC. Найти площади сечений пирамиды SABC плоскостями а, в, если эти сечения имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани ABC, и aE(SA). (МФТИ. Билет 1, 1993)

7.196.    На сторонах BC и AD правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S — вершина) взяты точки P, Q. Сечения пирамиды двумя перпендикулярными плоскостями а , в , проходящими через прямую PQ, — трапеции с равными основаниями. Грань SAB образует угол п/4 с пересекающей ее плоскостью сечения, а угол между гранями SAB и ABCD равен arctg 2 . Найти площади сечений, если PQ = 13. (МФТИ. Билет 2, 1993)

7.197.    Основание прямой призмы KLMNK'L'M'N' — ромб KLMN с углом 60° при вершине K. Точки E и F — середины ребер LL' и LM призмы. Ребро SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD ( S — вершина) лежит на прямой LN , вершины D и B — на прямых MM' и EF соответственно. Найти отношение объемов призмы и пирамиды, если SA = 2AB. (МФТИ. Билет 5, 1993)

7.198.    Точки E и F — середины ребер CC и C'D' прямоугольного параллелепипеда ABCDA B C D . Ребро KL правильной треугольной пирамиды KLMN ( K — вершина) лежит на прямой AC , а вершины N и M — на прямых DD и EFсоответственно. Найти отношение объемов призмы и пирамиды, если AB : BC = 4:3, KL : MN = 2:3. (МФТИ.

Билет 6, 1993)

7.199.    Внутри правильной треугольной пирамиды расположена прямая призма, в основании которой лежит ромб. Одна из граней призмы принадлежит основанию пирамиды, другая грань — боковой грани пирамиды. Какой наибольший объем может иметь призма, если ребро основания пирамиды равно 2, а высота пирамиды равна 2л/2 ? (МФТИ. Билет 9, 1993)

7.200.    Внутри правильной четырехугольной пирамиды расположена прямая призма KLMNK'L'M' N', в основании которой лежит ромб KLMN с углом 60° при вершине L. Ребро KK' принадлежит основанию пирамиды, а ребро LL' — диагонали этого основания. Какой наибольший объем может иметь призма, если диагональ основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна л/3? (МФТИ. Билет 10, 1993)

7.201.    В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с углом BAD , равным 2arccos (1/3). Сфера касается всех звеньев ломаной ABCCiAi и пересекает ребро BBi в точках Bi и M. Найти объем призмы и радиус сферы, еслиB1M = 1. (МФТИ. Билет 1, 1994)

7.202.    Сфера пересекает ребро CCi правильной треугольной призмы ABCAiBiC1 в точках Ci и K и касается всех звеньев ломаной BCAA1B1. Найти объем призмы и радиус сферы, если C1K = 4. (МФТИ. Билет 3, 1994)

7.203.    В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S — вершина) AB = 3ф2, высота пирамиды равна 8. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку A , а другая - через точки B и D, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро SC плоскости сечений? Найти расстояние между плоскостями сечений и объемы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями. (МФТИ. Билет 1, 1995)

7.204.    Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ABC, AB = 2, AC = 1, ABAC = 120°, SA = 3л/2. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку C и середину ребра AB, а другая — через точку B , имеют равные площади. В каком отношении делят ребро SA плоскости сечений? Найти объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости сечений, а также расстояние между этими плоскостями. (МФТИ. Билет 2, 1995)

7.205.    На ребре AC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 взята точка K так, что AK = 1/4, CK = 3/4. Через точку K проведена плоскость, образующая с плоскостью ABC угол arctg (7/6) и рассекающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого — нет. (МФТИ. Билет 9,1995)

7.206.    В основании прямой призмы ABCAiBiCi лежит треугольник ABC со сторонами AB = AC = 25, BC = 40. На ребре AB взята точка M так, что BM = 15. Через точку M проведена плоскость, образующая с плоскостью ABC угол arctg (11/15) и рассекающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого — нет. (МФТИ. Билет 10, 1995)

7.207.    В основании призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD. Острые углы D1DA и D1DC равны между собой, угол между ребром D1D и плоскостью основания призмы равен arccos (1/л/Т3), a CD = 5\/6. Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найти длину BC, угол между плоскостями D1DC и ABC, а также расстояние от точки D до центра сферы. (МФТИ. Билет 1, 1996)

 

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (30.07.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко, гольдин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar