Тема №7264 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 8)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 8) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 8), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

7.208.    Все грани призмы ABCDA1B1C1D1 касаются некоторого шара. Основанием призмы служит квадрат ABCD со стороной, равной 5. Угол C1CD — острый, a ZC1CB = arctg (5/3). Найти ZC1CD, угол между боковым ребром и плоскостью основания призмы, а также расстояние от точки C до точки касания шара с плоскостью AA]_D. (МФТИ. Билет 2, 1996)

7.209.    В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6, точки M и N — середины ребер AB и B1C1 соответственно, а точка K расположена на ребре DC так, что DK = 2KC. Найти: 1) расстояние от точки N до прямой AK; 2) расстояние между прямыми MN и AK; 3) расстояние от точки A1 до плоскости треугольника MNK. (МФТИ. Билет 5, 1996)

7.210.    В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 4, точки E и

F — середины ребер AB и B1C1 соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP = 3PD. Найти: 1) расстояние от точки F до прямой AP; 2) расстояние между прямыми EF и AP; 3) расстояние от точки Ai до плоскости треугольникаEFP. (МФТИ. Билет 6, 1996)

7.211.    В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро равно а и равно диагонали основания ABCD. Через точку A параллельно прямой BD проведена плоскость P , образующая с прямой AD угол, равный arcsin (л/2/ 4). Найти площадь сечения пирамиды плоскостью P и радиус шара, касающегося плоскости P и четырех прямых, которым принадлежат боковые ребра пирамиды. (МФТИ. Билет 5, 1997)

7.212.    В треугольной пирамиде ABCD ребра AB и CD взаимно перпендикулярны, AD = BC, расстояние от середины E ребра AB до плоскости ACD равно h, ZDAC = п/2, ZACD = п/4, угол между ребром DC и гранью ABC равен п/6. Найти расстояние от точки E до плоскости BCD , угол между ребром AB и гранью ACD , а также угол между гранями ABD и ABC . (МФТИ. Билет 9, 1997)

7.213.    Сторона основания ABC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 6, а высота равна 3Д/7. На ребрах AC, A1C1 и BB1 расположены соответственно точки P, F и K так, что AP = 1, A1F = 3 и BK = KB1. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки P , F и K . Найти площадь сечения и угол между плоскостью основания призмы и плоскостью сечения. (МФТИ. Билет 1, 1998)

7.214.    Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды SABCD перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна л/5 . В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция ABCD (AD = BC), описанная около окружности и такая, что AB = 6, ZBAD = п/3. Найти расстояние от точки D до плоскости SAB . Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник SCD , а вершина принадлежит грани SAB . Найти объем конуса. (МФТИ. Билет 5, 1998)

7.215.    Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка K — середина ребра AB, точка E лежит на ребре CD и EC : ED = 1:2, точка F — центр грани ABC . Найти угол между прямыми BC и KE , расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки A, B, E и F. (МФТИ. Билет 1, 1999)

7.216.    Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2, высота пирамиды, опущенная на основание, равна 2л/2. На ребрах SA и SD расположены точки E и F так, что AE = 2ES, SF = = 5DF. Через точки E и F проведена плоскость а, параллельная CD. Найти: 1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоскостью а; 2) радиус сферы с центром в точке A, касающейся плоскости а; 3) угол между плоскостью а и плоскостью ABC. (МФТИ. Билет 5, 1999)

7.217.    В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна 12, ZADB = 2arctg (3/4). В треугольнике ABD проведена биссектриса BAi, а в треугольнике BCD проведены медиана BCi и высота CB1. Найти: 1) объем пирамиды A1B1C1D; 2) площадь проекции треугольника A1B1C1 на плоскость ABC. (МФТИ. Билет 1, 2000)

7.218.    В правильной треугольной пирамиде ABCD угол ADC равен 2arcsin (1/6), а сторона основания ABC равна 2. Точки K, M, N — середины ребер AB , CD , AC соответственно. Точка E лежит на отрезке KM и 3ME = KE . Через точку Eпроходит плоскость а перпендикулярно отрезку KM .В каком отношении плоскость а делит ребра пирамиды? Найти площадь сечения пирамиды плоскостью а и расстояние от точки N до плоскости а . (МФТИ. Билет 5, 2000)

7.219.    Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами поставлено гранью ABC на плоскость. Точка F — середина ребра CD , точка S лежит на прямой AB, S = A, AB = BS .В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точкуF, чтобы пройденный им путь был минимальным? (МФТИ. Билет 1, 2001)

7.220.    Сторона основания ABC правильной пирамиды ABCD равна W3, ADAB = arctg у/37/3. Точки A1, B1, C1 — середины ребер AD, BD, CD соответственно. Найти: 1) угол между прямыми BA1 и AC1; 2) расстояние между прямыми BA1 и AC1; 3) радиус сферы, касающейся плоскости ABC и отрезков AC1, BA1 и CB1. (МФТИ. Билет 5, 2001)

7.221.    Апофема правильной пирамиды SABCD равна 2, боковое ребро образует с основанием ABCD угол, равный arctg у/3/2. Точки

E, F, K выбраны соответственно на ребрах AB, AD и SC так, что AE/EB = AF/FD = SK/KC =1/2. Найти: 1) площадь сечения пирамиды плоскостью EFK; 2) расстояние от точки D до плоскости EFK; 3) угол между прямой SD и плоскостьюEFK. (МФТИ. Билет 9, 2001)

7.222.    Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2. Плоскость а, параллельная прямым SB и AD, пересекает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность радиуса л/15/5. Найти: 1) в каком отношении плоскость а делит ребра пирамиды; 2) отношение объемов частей, на которые плоскость а разбивает пирамиду; 3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плоскости а . (МФТИ. Билет 3, 2002)

7.223.    Расстояние от центра O шара радиуса 12, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно 4\[2. Найти: 1) высоту пирамиды; 2) расстояние от точки O до боковой грани пирамиды; 3) радиус вписанного в пирамиду шара. (МФТИ. Билет 5, 2002)

7.224.    Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 8, высота SO равна 3. Точка M — середина ребра SB, точка K — середина ребра BC. Найти: 1) объем пирамиды AMSK; 2) угол между прямыми AM и SK ; 3) расстояние между прямыми AM и SK . (МФТИ. Билет 9, 2002)

7.225.    Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найти радиус сферы, касающейся: а) ребер BA, BB1, BC и плоскости A1DC1; б) ребер BA, BBi, BC и прямой DAi (МФТИ. Билет 5, 2003)

7.226.    Основание прямой призмы ABCAiBiC1 — треугольник ABC, в котором AB = BC = 5, AC = 6. Высота призмы равна л/6. На сторонах AC, BC и A1C1 выбраны соответственно точки D, E и D1 так, что DC = AC/4, BE = CE, A1D1 = A1C1/3, и через эти точки проведена плоскость а . Найти: 1) площадь сечения призмы плоскостью а ; 2) угол между плоскостью а и плоскостью ABC ; 3) расстояние от точек C1 и C до плоскости а . (МФТИ. Билет 9, 2003)

7.227.    В пирамиде ABCD длина отрезка BD равна 5/2, точка E — середина AB , a F — точка пересечения медиан грани BCD , причем EF = 8. Сфера радиуса 5 касается плоскостей ABD и BCD в точках

E и F соответственно. Найти двугранный угол между гранями ABD и BCD, площадь грани BCD и объем пирамиды ABCD. (МФТИ. Билет 1, 2004)

7.228.    Вписанные окружности граней SBC, SAC и SAB треугольной пирамиды SABC попарно пересекаются и имеют радиусы л/3, л/5 и /7 соответственно. Точка K является точкой касания окружностей со стороной SA, причем SK = 5. Найти длину отрезка AK, периметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC. (МФТИ. Билет 5, 2004)

7.229.    Задан куб ABCDAiBiCiDi с ребром длины 1. Найти: а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину Bi, середину ребра AD и параллельной прямой AiCi; б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину Bi и параллельной прямой AiCi, у которой площадь проекции сечения на плоскость AiCiA максимальна. (МФТИ. Билет 9, 2004)

7.3. Фигуры вращения

Группа А

7.230.    Радиусы двух шаров равны 2 и 5. Через их единственную общую точку проведена плоскость, площадь сечения которой меньшего шара равна 0,4. Найти площадь сечения этой плоскостью большего шара.

7.231.    Расстояние от центра верхнего основания цилиндра до плоскости нижнего основания цилиндра равно радиусу основания цилиндра и равно 6. Найти расстояние от центра верхнего основания до хорды нижнего основания, стягивающего дугу 90° .

7.232.    Площадь сечения усеченного конуса плоскостью, проходящей через ось его симметрии, равна 5, а один из углов между диагоналями сечения равен а. Найти высоту конуса.

7.233.    Радиус основания конуса равен R, а боковая поверхность равна сумме площадей основания и осевого сечения. Определить объем конуса.

7.234.    Высота конуса равна h. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 120°. Вычислить объем конуса.

7.235.    Радиус основания конуса равен R. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 90° . Вычислить объем конуса.

7.236.    Определить боковую поверхность и объем усеченного конуса с образующей, равной l, описанного около шара радиуса r.

7.237.    Радиус основания конуса равен R. Две взаимно перпендикулярные образующие делят площадь боковой поверхности конуса на части в отношении 1:2. Найти объем конуса.

7.238.    Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересекает основание по хорде, длина которой равна радиусу этого основания. Определить отношение объемов полученных частей конуса.

7.239.    Около шара описан усеченный конус, площадь нижнего основания которого в а раз больше площади верхнего основания. Во сколько раз объем усеченного конуса больше объема шара?

7.240.    В конус вписан шар. Доказать, что отношение полной поверхности конуса к поверхности шара равно отношению их объемов.

7.241.    Высота цилиндра равна радиусу его основания и имеет длину а. Через ось цилиндра проведена другая цилиндрическая поверхность, делящая окружность основания на две дуги, длины которых относятся, как 2:1. Эта цилиндрическая поверхность делит данный цилиндр на две части. Найти боковую поверхность и объем большей части цилиндра.

7.242.    Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно q. Найти отношение объемов этих тел. При каких значениях q задача не имеет решения?

7.243.    Конус лежит на плоскости и катится по ней, вращаясь вокруг своей неподвижной вершины. Высота конуса и его образующая равны h и l. Вычислить площадь поверхности, описываемой высотой конуса.

7.244.    Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы прямую призму можно было вписать в цилиндр?

7.245.    Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы цилиндр можно было вписать в прямую призму?

7.246.    Цилиндр рассечен плоскостью, не параллельной основаниям и их не пересекающей. Какие измерения нужно произвести, чтобы вычислить объем одной из отсеченных частей?

7.247.    Фигура получена вращением прямоугольника около оси, параллельной одной из его сторон и лежащей в плоскости прямоугольника, но его не пересекающей. Доказать, что объем этой фигуры равен произведению площади прямоугольника на длину окружности, описываемой при вращении центром прямоугольника.

7.248.    Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания. В правильный тетраэдр с ребром а вписать равносторонний цилиндр так, чтобы одно из оснований цилиндра содержалось в одной из граней тетраэдра, а окружность второго основания касалась трех других граней. Вычислить объем и площадь боковой поверхности этого цилиндра.

7.249.    В куб с ребром а вписать равносторонний цилиндр так, чтобы ось цилиндра содержала диагональ куба, а окружности оснований цилиндра касались граней куба. Вычислить объем этого цилиндра.

7.250.    Диаметр основания цилиндра увеличили вдвое и одновременно уменьшили вдвое его высоту. Как изменилась площадь боковой поверхности и объем цилиндра?

7.251.    В каком случае площадь треугольника, получающегося в сечении конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса, имеет наибольшую величину?

7.252.    В конус высоты h и с радиусом основания R вписать цилиндр с максимальной площадью боковой поверхности и найти эту площадь.

7.253.    Дана сфера радиуса R. На расстоянии, равном 2R от центра сферы, взята точка S и из нее проведены все прямые, касающиеся сферы (т.е. имеющие с ней ровно одну общую точку). Что из себя представляет объединение этих касательных? Вычислить площадь поверхности, составленных из отрезков касательных от точки S до точек касания.

7.254.    В сферу радиуса R вписать правильный тетраэдр (описать построение). Найти объем этого тетраэдра.

7.255.    В сферу радиуса R вписать куб (описать построение). Найти объем этого куба.

7.256.    Около сферы радиуса R описать правильный тетраэдр (описать построение). Найти объем этого тетраэдра.

7.257.    Около сферы радиуса R описать правильный октаэдр (описать построение). Найти объем этого октаэдра.

7.258.    Три образующие конуса содержатся в прямых — осях прямоугольной системы координат. В этот конус вписана сфера радиуса R . Вычислить боковую поверхность конуса.

7.259.    Каждое ребро куба разделено на три конгруэнтные части. Доказать, что полученные двадцать четыре точки деления принадлежат одной сфере. Вычислить площадь поверхности этой сферы, если длина ребра куба равна а.

7.260.    Гранями параллелепипеда с ребрами длины а являются ромбы с острым углом 60°. Вычислить объем вписанного в параллелепипед шара.

7.261.    Из бумажного прямоугольника со сторонами а и b склеивают боковую поверхность цилиндра. Какие стороны следует склеить между собой, чтобы цилиндр с такой боковой поверхностью имел наибольший объем?

7.262.    Доказать, что плоскость, пересекающая боковую поверхность цилиндра, но не пересекающая его основания, делит ось цилиндра, боковую поверхность и объем в одинаковом отношении.

7.263.    Цилиндр пересекается плоскостью, не перпендикулярной его образующей и не пересекающей его основания. Какая кривая получится, если развернуть линию пересечения вместе с боковой поверхностью цилиндра на плоскость?

7.264.    Найти геометрическое место центров кругов, образуемых при сечении данного шара плоскостями, проходящими: а) через данную прямую а; б) через данную точку A.

7.265.    Доказать, что отношение объемов шара и описанного около него усеченного конуса равно отношению площадей их полных поверхностей.

7.266.    Плоскость касается двух касающихся шаров радиусов R и r в точках A и B. Найти длину отрезка AB.

7.267.    Центры трех сфер радиусов 3, 4 и 6 расположены в вершинах правильного треугольника со стороной 11. Сколько существует плоскостей, касающихся одновременно этих сфер?

7.268.    Внутри конуса находятся четыре шара равного радиуса. Три шара касаются его основания, каждый шар касается боковой поверхности конуса, кроме того, каждый шар касается трех других. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

7.269.    Радиус основания и высота конуса равны 1. Внутри конуса находятся три шара равного радиуса. Каждый шар касается двух других, основания конуса и боковой поверхности конуса. Найти радиус каждого из этих шаров.

7.270.    Два равных конуса с общей вершиной S, высотой h и радиусом основания R (R < h) касаются друг друга и плоскости P, находясь по одну сторону от этой плоскости. Пусть l — прямая, по которой пересекаются плоскости оснований конусов. Найти угол между прямой l и плоскостью P .

7.271.    Два конуса, осевое сечение каждого из которых является правильным треугольником со стороной a, лежат на горизонтальной плоскости, касаясь друг друга и имея общую вершину. На какой высоте над этой плоскостью находится точка касания оснований этих конусов?

7.272.    Через центр шара проведены три попарно перпендикулярные плоскости, разделившие шар на 8 частей. В каждую из этих частей вписано по шару. а) Найти отношение объема вписанного в одну из частей шара к объему исходного шара. б) Центры вписанных шаров являются вершинами многогранника. Найти отношение объема этого многогранника и данного шара.

7.273.    Найти объем конуса, разверткой боковой поверхности которого является полукруг радиуса R .

7.274.    Угол при вершине осевого сечения конуса равен 150°. Через вершину конуса проведено сечение, являющееся прямоугольным треугольником. Найти угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

7.275.    Осевое сечение конуса является правильным треугольником. Через ось конуса проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Рассмотрим два шара, каждый из которых касается этих двух плоскостей, плоскости основания и боковой поверхности конуса, только один касается изнутри, а другой — снаружи. Найти отношение радиусов шаров.

7.276.    Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна л/2. Две вершины правильного треугольника расположены на грани одного основания цилиндра, а одна вершина — на границе другого основания. Найти сторону правильного треугольника.

7.277.    Высота конуса равна диаметру его основания. В конус вписан куб, четыре вершины которого расположены на основании конуса, а четыре — на его боковой поверхности. Найти отношение объемов куба и конуса.

7.278.    Три одинаковых шара касаются попарно между собой, а также касаются боковой поверхности и плоскости основания конуса. Центры шаров находятся внутри конуса. Найти угол в осевом сечении конуса, если известно, что точка касания каждого шара с боковой поверхностью конуса делит соответствующую образующую пополам.

7.279.    В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC, у которого AB = AC = 2, ABAC = 30°. Ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. Известно, что существует конус, вершина которого совпадает с точкой A, а основание вписано в треугольник SBC. Найти объем пирамиды.

7.280.    Найти объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 1 и 2 вокруг диагонали.

7.281.    Две противоположные вершины куба совпадают с центрами оснований цилиндра, а остальные лежат на боковой поверхности цилиндра. Найти отношение объемов цилиндра и куба.

7.282.    ABC — правильный треугольник со стороной 3, M и K — точки на BA и CA такие, что BM = CK = 1. Найти объем тела, полученного при вращении треугольника ABC вокруг прямой MK.

7.283.    Основанием пирамиды ABCD является правильный треугольник ABC со стороной 12. Ребро BD перпендикулярно плоскости ABC и равно 10л/3. Все вершины этой пирамиды лежат на боковой поверхности прямого кругового цилиндра, ось которого пересекает ребро BD и плоскость ABC. Найти радиус основания цилиндра.

7.284.    Шар касается плоскости основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD в точке A и, кроме того, касается вписанного в пирамиду шара. Через центр первого шара и сторону основания BC проведена секущая плоскость. Найти угол наклона этой плоскости к плоскости основания, если диагонали сечения перпендикулярны ребрам SA и SD .

7.285.    Внутри прямого кругового конуса расположен куб так, что одно ребро куба лежит на диаметре основания конуса, вершины, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности конуса, центр куба лежит на высоте конуса. Найти отношение объемов конуса и куба.

7.286.    Основанием пирамиды служит квадрат ABCD со стороной a, боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно b, M — точка на ребре SA. Точки M, B, D лежат на поверхности прямого кругового конуса с вершиной в точке A, точка C — в плоскости основания конуса. Найти площадь боковой поверхности конуса.

Группа Б

7.287.    Пусть точки A, B и C не принадлежат одной прямой. Что из себя представляет множество точек пространства, расстояния от которых до плоскости а = (ABC) не превышают данной величины h и проекции которых на прямые BC , CA ,AB принадлежат одной прямой?

7.288.    Доказать, что в сечении боковой поверхности цилиндра плоскостью, не перпендикулярной оси цилиндра и не пересекающей его основания, получается эллипс. Указать наибольший и наименьший диаметры этого эллипса.

7.289.    Что из себя представляет множества точек, находящихся на данных расстояниях от плоскости а и от прямой l, наклоненной к этой плоскости?

7.290.    Два цилиндра, имеющие равные радиусы оснований, расположены так, что их оси пересекают друг друга под прямым углом. Нарисовать фигуру, получившуюся в пересечении этих цилиндров. Вычислить ее объем, если радиусы оснований цилиндров равны r.

7.291.    Вершина конической поверхности вращения совпадает с началом O прямоугольной системы координат Oxyz, ось вращения совпадает с положительным направлением оси Oz, луч, вращением которого получается поверхность, образует с осью Oz угол ф. Написать уравнение этой поверхности в координатах.

7.292.    Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы данный выпуклый четырехгранный угол мог быть вписан в коническую поверхность вращения так, чтобы ребра угла были образующими конической поверхности?

7.293.    Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы в данный выпуклый четырехгранный угол могла быть вписана коническая поверхность вращения так, чтобы угол и коническая поверхность пересекались в точности по четырем образующим поверхности — лежащим в гранях угла?

7.294.    Доказать, что для того, чтобы в усеченный конус можно было вписать сферу, касающуюся оснований и каждой образующей конуса, необходимо и достаточно, чтобы длина высоты конуса была средним пропорциональным между диаметрами верхнего и нижнего основания конуса: 2R : h = h : 2r (здесь r — радиус верхнего основания, R — радиус нижнего основания, h — высота конуса).

7.295.    При помощи циркуля и линейки построить диаметр данного материального (например, из углепластика) шара.

7.296.    Все четыре стороны пространственного четырехугольника касаются сферы. Доказать, что четыре точки касания принадлежат одной плоскости.

7.297.    Рассмотрим гексаэдр (шестигранник), все грани которого — четырехугольники, около которых можно описать окружность. Доказать, что существует единственная сфера, проходящая через все 8 вершин этого многогранника.

7.298.    Что из себя представляет множество точек пространства, не содержащееся в одной плоскости, не совпадающее со всем пространством, и такое, что через каждые три его точки проходит окружность, содержащаяся в этом множестве?

7.299.    Даны четыре попарно не пересекающиеся сферы равных радиусов с центрами, не принадлежащими одной плоскости. а) Сколько существует сфер, касающихся одновременно всех четырех сфер? б) Как построить эти сферы?

7.300.    Пересечение сферы с двугранным углом, ребро которого проходит через центр сферы, называется сферическим двуугольником. Ограничивающие его две полуокружности называются его сторонами, величина двугранного угла, равная величине угла между касательными, проведенными к полуокружностям в точке их пересечения, называется величиной угла двуугольника. Доказать, что: а) если величины углов двух двуугольников на одной сфере равны, то сами двуугольники конгруэнтны; б) исходя из того, что конгруэнтные сферические двуугольники имеют равные площади, вывести для площади двуугольника формулу: Sa = 2R2a, где R — радиус сферы, а — радианная мера угла двуугольника.

7.301.    Сферическим треугольником называется пересечение сферы и трехгранного угла с вершиной в центре сферы (или часть сферы, ограниченная тремя дугами больших кругов). Вычислить площадь сферического треугольника ABC, рассматривая его как пересечение трех двуугольников: одного с вершиной в точке A и соответствующем углом а, другого с вершиной B и углом величины в и третьего с вершиной C и углом у.

7.302    *. Доказать, что если грани тетраэдра равновелики (т.е. имеют равные площади), то описанная около него и вписанная в него сферы концентрические.

7.303    *. Вывести формулу Симпсона: если площадь S(x) сечения пространственной фигуры плоскостью Px, проведенной перпендикулярно некоторой координатной прямой Ox через точку с координатой x, выражается многочленом от переменной x не выше второй степени, то объем фигуры можно вычислить по формуле V = h(S0 + 4STO + Sn)/6, где h — высота фигуры, S0 — площадь непустого сечения с наименьшей координатой x = x0, Sn — площадь непустого сечения с наибольшей координатой x = xi, Sm — площадь сечения с координатой x = (x0+xi)/2 . Проверить справедливость этой формулы на уже известных формулах для объемов.

7.304.    Можно ли внутри куба с ребром 1 разместить три цилиндра высоты 1 и диаметра 1/2 так, чтобы они не могли перемещаться внутри куба?

7.305.    С помощью циркуля и линейки построить на плоскости отрезок, равный радиусу данного деревянного шара.

7.306.    Планета получена вращением квадрата со стороной а вокруг его диагонали. Маршрут по поверхности этой планеты называется кругосветным, если он замкнут и симметричен относительно центра квадрата. Найти длину кратчайшего кругосветного маршрута.

7.307.    а) Доказать, что если все сечения тела плоскостями являются кругами, то это тело — шар. б) Доказать, что если все сечения тела плоскостями, проходящими через данную точку, являются кругами, то это тело — шар.

7.308.    а) Можно ли четырьмя шарами закрыть точечный источник света? (Источник считается закрытым, если любой исходящий из него луч пересекает хотя бы один из шаров.) б) Каким наименьшим числом шаров одинакового радиуса можно закрыть точечный источник света?

7.309.    В пространстве заданы тридцать ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.

7.310.    Три шара попарно касаются, а плоскость касается этих шаров в точках A, B и C. Найти радиусы этих шаров, если стороны треугольника ABC равны а, b и c.

7.311.    Два шара одного радиуса и два другого расположены так, что каждый шар касается трех других и данной плоскости. Найти отношение радиусов шаров.

7.312.    В пространстве расположены четыре шара так, что каждый касается трех других. Доказать, что шесть точек касания принадлежат одной сфере или одной плоскости.

7.313.    В пространстве расположены четыре конуса с общей вершиной и одинаковой образующей (но, вообще говоря, с разными радиусами оснований). Каждый из этих конусов касается двух других. Доказать, что четыре точки касания окружностей оснований конусов лежат на одной окружности.

7.314.    На плоскости лежат n равных конусов с общей вершиной (n ^ 3). Каждый конус касается двух других конусов. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

7.315.    Оси трех равных попарно касающихся цилиндрических поверхностей взаимно перпендикулярны. Найти радиус наибольшей цилиндрической поверхности, которая может пройти между данными, если их радиус равен r.

7.316.    а) Две окружности, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в двух точках A и B. Доказать, что существует единственная сфера, содержащая эти окружности. б) Докажите справедливость утверждения предыдущего пункта в случае, когда обе окружности касаются прямой l в точке A.

7.317.    а) В пространстве расположены несколько окружностей, причем любые две из них имеют пару общих точек. Доказать, что либо все эти окружности имеют две общие точки, либо все они лежат на одной сфере (или в одной плоскости). б) Три окружности попарно касаются друг друга (т.е. имеют общие точки и общие касательные в этих точках), причем все точки касания различны. Доказать, что эти окружности лежат на одной сфере (или в одной плоскости).

7.318.    На сфере радиуса 2 расположены три попарно касающиеся окружности радиуса 1. Найти радиус наименьшей окружности, расположенной на этой сфере и касающейся всех трех окружностей.

7.319.    Доказать, что в четырехгранный угол можно вписать сферу тогда и только когда, когда суммы его противоположных плоских углов равны.

7.320 *. Доказать, что многогранник, описанный около сферы радиуса 10 и целиком лежащий внутри сферы радиуса 11, имеет более двадцати двух граней.

7.321. Доказать, что если все грани многогранника являются вписанными многоугольниками, а в каждой его вершине сходятся три ребра, то этот многогранник можно вписать в шар.

7.322    *. У белого многогранника некоторые грани покрашены черной краской так, что никакие две черные грани не имеют общего ребра. Доказать, что если выполнено хотя бы одно из условий: а) черных граней больше половины; б) площадь черных граней больше площади половины площади поверхности многогранника, то в этот многогранник нельзя вписать шар.

7.323    *. У белого многогранника некоторые вершины покрашены черной краской так, что никакие две черные вершины не соединены ребром, и черных вершин больше половины. Доказать, что в этот многогранник нельзя вписать шар.

7.324    *. Известно, что все ребра многогранника M равны и касаются некоторого шара. а) Доказать, что если одна из граней M имеет нечетное число сторон, то существует шар, описанный около M. б) Обязательно ли в условиях пункта (а) существует вписанный в M шар? в) Доказать, что если все грани M имеют одинаковое число сторон, то существует вписанный в M шар. г) Обязательно ли в условиях пункта (в) существует описанный около M шар?

7.325    *. Сколько существует шаров, касающихся всех ребер данного тетраэдра или их продолжений?

7.326.    Найти радиус шара, вписанного в тетраэдр, если радиусы внев-писанных шаров равны r\, r2, r3 и r4.

7.327.    Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC так, что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пирамиды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найти объем пирамиды, если длина образующей конуса равна 1, ZABS = п/2 , ZBSC = п/12 , ZSCB = п/4. (МФТИ. Билет 1, 1991)

7.328.    Сфера, вписанная в треугольную пирамиду KLMN, касается одной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань окружности. Найти объем пирамиды, если MK = 5/4, ZNMK = п/2, ZKML = = 3arctg (1/3), ZNML = п/2 — arctg (1/3). (МФТИ. Билет 2, 1991)

7.329.    В четырехугольной пирамиде SABCD основанием является трапеция ABCD (BC\\AD), BC = 4AD/5, LASD = LCDS = п/2. Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, высота которого равна 2, а радиус основания равен 5/3. Найти объем пирамиды. (МФТИ. Билет 5, 1991)

7.330.    В четырехугольной пирамиде SKLMN основанием является параллелограмм KLMN, ZLSM = ZKSL = п/2. Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований усеченного конуса, высота которого равна 3/2, а радиусы оснований равны 1 и 5/4. Найти объем пирамиды. (МФТИ. Билет 8, 1991)

7.331.    В правильной четырехугольной пирамиде SABCD ребро AH вдвое больше высоты пирамиды. По одну сторону от плоскости грани ABCD расположен цилиндр, окружность основания которого проходит через центр этой грани. Ортогональные проекции цилиндра на плоскости SCD и SBC — прямоугольники с общей вершиной в точке C. Найти отношение объемов цилиндра и пирамиды. (МФТИ. Билет 5, 1994)

7.332.    Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC имеет длину 11/5 и составляет с плоскостью основания ABC угол, равный arctg (5л/2/4) . Цилиндр расположен так, что окружность одного из его оснований проходит через середину ребра AC и не пересекает грань SAB . Ортогональные проекции цилиндра на плоскости SAB и SBC — прямоугольники с общей вершиной в точке S. Найти объем цилиндра. (МФТИ. Билет 6, 1994)

7.333.    Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с окружностью его нижнего основания и делит ось цилиндра в отношении 2:6:1, считая от центра одного из оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии 2у/6 друг от друга. (МФТИ. Билет 9, 1994)

7.334.    В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 боковое ребро равно у/14, длина стороны основания ABCD призмы равна 6. Окружность основания прямого кругового конуса вписана в треугольник BC1D, а вершина конуса лежит в плоскости ABCi. Найти объем конуса. (МФТИ. Билет 5, 1995)

7.335.    Окружность основания прямого кругового цилиндра вписана в боковую грань SAB правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S — вершина), центр другого основания цилиндра лежит в плоскости SBC. Найти объем цилиндра, если AB = 6, SB = 5. (МФТИ. Билет 6, 1995)

7.336.    В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна a. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник ACD , а вершиной конуса является точка O, лежащая на высотеBE треугольника ABC так, что BE : OB = 3. Найти радиус основания конуса и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой B . (МФТИ. Билет 9, 1996)

7.337.    В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна a. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник ABD , а вершина конуса расположена на средней линии треугольника ABC , параллельной стороне AB . Найти боковое ребро пирамиды и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой C. (МФТИ. Билет 10, 1996)

7.338.    Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар радиуса 3r/2 так, что каждый шар касается двух других и боковой поверхности цилиндра, причем первые два равных шара касаются нижнего основания, а третий шар касается верхнего основания цилиндра. Найти радиус основания цилиндра, если его высота равна 4r. (МФТИ. Билет 1,1997)

7.339.    Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар радиуса r/2 так, что каждый шар касается двух других, нижнего основания цилиндра и его боковой поверхности. Найти радиус основания цилиндра. (МФТИ. Билет 2, 1997)

7.340.    Три шара радиуса r касаются друг друга и шара радиуса R внешним образом. При каком соотношении r и R это возможно? Считая, что R > r, найти радиус шара, касающегося всех четырех шаров внешним образом. (МФТИ. Билет 5, 2001)

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (30.07.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко, гольдин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar