Тема №7265 Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 9)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 9) из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии для самостоятельного решения Ануфриенко, Гольдин (Часть 9), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

8.1. Планиметрия

Группа А

8.1.    В треугольнике ABC известно, что AB = 3,8, BC = 0, 6. Найти длину стороны AC, если ее длина выражается целым числом.

8.2.    Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. Где нужно построить колодец, чтобы сумма расстояний от него до всех домов была наименьшая?

8.3.    Доказать, что медианы треугольника меньше полусумм сторон, выходящих из той же вершины, но больше разности полупериметра и длины стороны, к которой проведена эта медиана.

8.4.    В некотором поселке четыре дома: столовая, баня, клуб и почта. Расстояние между баней и клубом рано 1000м, между клубом и почтой — 500 м, между баней и столовой — 200 м , между столовой и почтой — 300м. На каком расстоянии находятся баня и почта?

8.5.    а) По разные стороны от прямолинейного шоссе расположены две деревни. В каком месте на шоссе надо построить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от деревень до автобусной остановки была наименьшей (шириной шоссе пренебречь)? б) Где нужно построить автобусную остановку, если деревни расположены по одну сторону от шоссе?

8.6.    В треугольнике ABC известно, что AB < BC < AC, а один из углов вдвое меньше другого и втрое меньше третьего. Найти угол при вершине A .

8.7.    Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.

8.8.    Внутри треугольника ABC с периметром P взята точка O. Доказать, что P/2 < AO + BO + CO < P.

8.9.    Пусть CK — биссектриса треугольника ABC и AC > BC. Доказать, что угол AKC — тупой.

8.10.    В треугольнике PQR сторона PQ не больше, чем 9, сторона PR не больше, чем 12. Площадь треугольника не меньше, чем 54. Найти его медиану, проведенную из вершины P.

8.11.    В треугольнике ABC сторона AC не длиннее, чем 3, сторона BC не длиннее, чем 4, а его площадь не меньше, чем 6. Найти радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности.

8.12.    Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB и AC в точках M и N соответственно. Доказать, что BN > MN.

8.13.    Площадь треугольника равна 1. Доказать, что средняя по длине сторона не меньше \[2.

8.14.    Диагонали четырехугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точке E. На прямой AC взята точка M, причем ZDME = 80° , ZABD = 60°, ZCBD = 70°. Где расположена точка M: на диагонали AC или на ее продолжении?

8.15.    В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6, BC = 9, AC = 10. Биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке M. На отрезке BM выбрана точка O так, что BO : OM = 3:1. Площадь какого из треугольников ABO, BCO или ACO будет наименьшей?

8.16.    Доказать, что расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.

8.17.    Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая высота.

8.18.    Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая медиана.

8.19.    Длины двух сторон треугольника 10 и 15. Доказать, что биссектриса угла между ними не больше 12.

8.20.    Доказать, что не существует двух трапеций (отличных от параллелограмма) таких, что боковые стороны каждой из них соответственно равны основаниям другой.

8.21.    На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M, отличная от C. Доказать, что MA + MB > CA + CB .

8.22.    Среди всех треугольников с данным основанием и данной площадью Найти треугольник наименьшего периметра.

8.23.    Точки M и N расположены по разные стороны от прямой l. Постройте на прямой l такую точку K, чтобы разность отрезков MK и NK была наибольшей.

8.24.    Внутри угла даны точки M и N. Постройте на сторонах угла точки K и L так, чтобы периметр четырехугольника KLMN был наименьшим.

8.25.    При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 30° и периметром 6 имеет наибольшую площадь?

Группа Б

8.26.    На сторонах прямого угла с вершиной в точке O выбраны точки A и B. Точка C лежит во внутренней области угла. Доказать, что полупериметр треугольника ABC больше OC .

8.27.    Внутри квадрата выбрана произвольная точка. Доказать, что расстояние от этой точки до любой вершины меньше суммы расстояний до трех других вершин.

8.28.    Пусть a,b,c — длины сторон некоторого треугольника. Доказать, что существуют положительные числа x,y,z такие, что a = x + y, b = y + z, c = x + z.

8.29.    Доказать, что в выпуклом четырехугольнике сумма длин сторон меньше удвоенной суммы длин диагоналей, но больше суммы диагоналей.

8.30.    Внутри острого угла выбрана точка C. Построить на сторонах угла точка A и B так, чтобы треугольник ABC имел наименьший периметр.

8.31.    Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. Доказать, что если периметр треугольника ABD меньше периметра треугольника ACD , то AB < AC.

8.32.    Доказать, что удвоенный периметр выпуклого пятиугольника больше суммы длин его диагоналей.

8.33.    Два поселка расположены по разные стороны от реки с параллельными прямолинейными берегами. В каком месте на реке нужно построить мост, чтобы путь от одного поселка до другого был наименьший?

8.34.    Существует ли треугольник, у которого две высоты больше 1м, а площадь меньше 1см?

8.35.    В треугольнике ABC на наибольшей стороне BC, равной b, выбирается точка M. Найти наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BAM и ACM.

8.36.    Доказать, что в параллелограмме против большего угла лежит большая сторона.

8.37.    Две высоты треугольника равны 12 и 20. Доказать, что третья высота меньше 30.

8.38.    Две высоты треугольника равны 10 и 6. Доказать, что третья высота меньше 15.

8.39.    Доказать, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из той же вершины.

8.40.    Доказать, что в любом треугольнике со сторонами a, b, c выполняется неравенство a2 + b2 > c2/2 .

8.41.    Пусть m1 и m2 — медианы, проведенные к сторонам а и b треугольника со сторонами a,b,c. Доказать, что ml + m2 > 9c2/2 .

8.42.    Пусть a,b,c — стороны произвольного треугольника. Доказать, что a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac).

8.43.    Пусть h1,h2,h3 — высоты треугольника, r — радиус вписанной окружности. Доказать, что h1 + h2 + h3 ^ 9r.

8.44. Пусть h1 и h2 — высоты треугольника, r — радиус вписанной окружности. Доказать, что -1 <    < 1.

8.45.    Все биссектрисы треугольника меньше 1. Доказать, что площадь треугольника меньше 1.

8.46.    Биссектриса угла при основании BC равнобедренного треугольника ABC пересекает боковую сторону AC в точке K. Доказать, что BK < 2CK.

8.47.    Известно, что в треугольнике ABC угол A равен 60°. Доказать, что AB + AC ^ 2BC.

8.48.    Доказать, что площадь четырехугольника ABCD не превосходит (AB • CD + AD • BC)/2.

8.49.    В выпуклом четырехугольнике ABCD точка E — пересечение диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE и CDE равна 1, площадь всего четырехугольника не превосходит 4, AD = 3. Найти сторону BC.

8.50.    Пусть M и N — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD и MN = (AB + CD)/2. Доказать, что ABCD — трапеция или параллелограмм.

8.51.    В четырехугольнике ABCD диагональ AC делит другую диагональ пополам и BC + CD = AB + AD. Доказать, что ABCD — параллелограмм.

8.52.    Возможен ли треугольник со сторонами 7 и 2, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?

8.53.    На плоскости дана прямая l и две точки A и B по одну сторону от нее. На прямой l выбрана точка M, сумма расстояний от которой до точек A и B наименьшая, и точка N , для которой расстояния от A и B равны. Доказать, что точки A, B,M, N лежат на одной окружности.

8.54.    Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую, на которой окружности высекают хорды, сумма которых наибольшая. (Центры окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды.)

8.55.    На сторонах прямого угла с вершиной O лежат концы отрезка AB длины a. При каком положении отрезка площадь треугольника будет наибольшей?

8.56.    Доказать, что из всех четырехугольников с данной площадью наименьший периметр имеет квадрат.

8.57.    Середины высот треугольника лежат на одной прямой. Наибольшая сторона треугольника AB = 10. Какое максимальное значение может принимать площадь треугольника?

8.58.    Площадь треугольника ABC равна 10. Какое наименьшее значение может принимать радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что середины высот этого треугольника лежат на одной прямой?

8.59.    В треугольнике ABC со стороной AC = 8 проведена биссектриса BL. Известно, что площади треугольников ABL и BLC относятся, как 3:1. Найти биссектрису BL, при которой высота, опущенная из вершины B на основание AC будет наибольшей.

8.60.    В треугольнике KLM с основанием KM = 6 проведена медиана LP. Известно, что расстояния от точки P до боковых сторон KL и LM относятся, как 1:2. Найти медиану LP, при которой площадь треугольника KLM будет наибольшей.

8.61.    В треугольник с периметром 2р вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найти наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключенной внутри треугольника.

8.62.    На окружности, описанной около треугольника ABC, Найти точку M такую, что расстояние между ее проекциями на прямые AC и BC максимально.

8.63.    На прямой, содержащей сторону AB остроугольного треугольника ABC, постройте такую точку M, что расстояние между ее проекциями на прямые AC и BC минимально. Чему равно это расстояние?

8.64.    Около данного треугольника опишите равносторонний треугольник наибольшего периметра.

8.65.    Даны угол XAY и точка O внутри него. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

8.66.    На плоскости даны прямая и две точки P и Q, лежащие по одну сторону от нее. Найти на прямой l такую точку M, что расстояние между основаниями высот треугольника PQM, опущенных на стороны PM и QM наименьшее.

8.67.    От данного угла отрезком данной длины отрежьте треугольник наибольшего периметра.

8.68.    Пусть точка C — середина дуги AB, а D — любая другая точка этой дуги. Доказать, что AC + BC > AD + BD .

8.69.    Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшего периметра.

8.70.    Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса.

8.2. Стереометрия

Группа А

8.71.    Дан куб с ребром 1. Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4л/3.

8.72.    Доказать, что сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего.

8.73.    Доказать, что плоский угол выпуклого четырехгранного угла меньше суммы трех остальных.

8.74.    В каких пределах может меняться плоский угол трехгранного угла, если два других плоских угла соответственно равны а) 70° и 100° ; б) 130° и 150° ?

8.75.    Доказать, что площадь одной грани тетраэдра меньше суммы площадей трех остальных граней.

8.76.    Найти длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между его противоположными вершинами.

8.77.    Найти длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного тетраэдра между серединами противоположных ребер.

8.78.    Радиус основания конуса и образующая равны соответственно 2/3 и 2. Найти длину кратчайшего замкнутого пути, пересекающего все образующие конуса и проходящего через конец одной из них, принадлежащий основанию.

8.79.    Радиус основания и высота цилиндра равны r и h. Найти длину кратчайшего пути по боковой поверхности цилиндра между диаметрально противоположными точками разных оснований.

8.80.    Ребро правильного октаэдра равно a. Найти кратчайший путь по поверхности октаэдра между серединами двух его параллельных ребер.

8.81.    Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найти среди них параллелепипед большего объема. Вычислите этот объем.

8.82.    Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 4, а основания являются квадратами. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани. Вычислите этот периметр.

8.83.    Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 1/2, а одна из боковых граней является квадратом. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром основания. Вычислите этот периметр.

8.84.    Найти высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в сферу радиуса R.

8.85.    Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 27, а радиус основания 9.

8.86.    Найти наибольший объем конуса с образующей, равной a.

8.87.    Найти радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.

8.88.    Вокруг сферы радиуса r описан конус. Найти наименьшее значение объема конуса и отношение его высоты к радиусу сферы в этом случае.

8.89.    Конус описан около куба так, что четыре вершины куба лежат в плоскости основания конуса, а четыре другие вершины — на его боковой

поверхности. Какой наименьший объем может иметь такой конус, если ребро куба равно a ?

8.90.    Около шара объема V описана треугольная пирамида. Какой наименьший объем может быть у этой пирамиды?

8.91.    В конусе расположены два единичных шара, центры которых находятся на оси симметрии конуса. Один из шаров касается боковой поверхности конуса, а другой — основания конуса и первого шара. Найти угол между образующей конуса и основанием, при котором объем конуса наименьший.

8.92.    В конусе расположены два единичных шара, касающиеся основания конуса в точках, симметричных относительно центра основания. Каждый из шаров касается боковой поверхности конуса и другого шара. Найти угол между образующей конуса и основанием, при котором объем конуса наименьший.

8.93.    В правильной четырехугольной пирамиде расположены два шара радиуса r, касающиеся основания пирамиды в точках, принадлежащих отрезку, соединяющему середины противоположных сторон основания. Каждый из шаров касается боковой грани пирамиды и другого шара. Найти высоту пирамиды, при которой объем пирамиды наименьший.

8.94.    Периметр равнобедренного треугольника равен P. Каковы должны быть длины его сторон, чтобы объем фигуры, полученной вращением этого треугольника вокруг основания, был наибольшим?

8.95.    Ребро AB тетраэдра ABCD является диагональю основания четырехугольной пирамиды, ребро CD параллельно другой диагонали этого основания, и концы его лежат на боковых ребрах пирамиды. Найти наименьший объем пирамиды, если объем тетраэдра равен V .

8.96.    Через вершину конуса проведено сечение наибольшей площади. Оказалось, что площадь сечения в два раза больше площади осевого сечения конуса. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

8.97.    Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ служит квадрат. Найти наибольший возможный угол между прямой BD\ и плоскостью BDC\.

Группа Б

8.98.    Все плоские углы трехгранного угла прямые. Доказать, что любое его сечение, не проходящее через вершину, есть остроугольный треугольник.

8.99.    Доказать, что сумма углов пространственного четырехугольника не превосходит 360°.

8.100.    Существует ли треугольная пирамида, высоты которой равны 1, 2, 3 и 6?

8.101.    Верно ли, что у любого трехгранного угла есть сечение, являющееся правильным треугольником?

8.102.    Пусть a,b,c — стороны параллелепипеда, d — одна из его диагоналей. Доказать, что a2 + b2 + c2 ^ d2/3.

8.103.    В пространстве рассматриваются два отрезка AB и CD, не лежащие в одной плоскости. Пусть M и K — середины этих отрезков. Доказать, что MK < (AD + BC)/2.

8.104.    Ребро правильного тетраэдра равно a. Через вершину тетраэдра проведено сечение, являющееся треугольником. Доказать, что 2a < P ^ 3а.

8.105.    В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине A равны 60° . Доказать, что AB + AC + AD ^ BC + CD + DB .

8.106.    Можно ли в кубе вырезать отверстие, сквозь которое пройдет куб того же размера?

8.107.    На какое наименьшее количество непересекающихся трехгранных углов можно разбить пространство?

8.108.    Сфера радиуса 2 пересечена плоскостью, удаленной от центра на расстояние, равное 1. Найти длину кратчайшего пути по поверхности сферы между двумя наиболее удаленными точками сечения.

8.109.    Сторона основания BCA правильной пирамиды PABC равна a , боковое ребро равно b . На каком расстоянии от прямой BC следует провести сечение пирамиды, параллельное BC и AP , чтобы площадь его была наибольшей?

8.110.    В основании пирамиды NKLM лежит правильный треугольник KLM со стороной a, KN = b. Высота пирамиды, опущенная из вершины N, проходит через середину ребра LM. Пирамиду пересекает плоскость в, параллельная ребрам KNи LM. На каком расстоянии должна находиться плоскость в, чтобы площадь сечения пирамиды этой плоскостью была наибольшей?

8.111.    В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD, в котором угол BAD равен 60°. Известно, что SA = SC, SD = SB = AB . В каком отношении должна делить ребро CD точка E, чтобы площадь треугольника SBE была наименьшая из возможных?

8.112.    Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны a. Найти наименьшую длину отрезков, с концами на диагоналях BC\^ И CA1, параллельных плоскости ABB\^.

8.113.    Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды PABCD равна a, а боковые ребра равны 2а. Найти наименьшую длину отрезков, с концами на ребрах AD И PC, параллельных плоскости PAB .

8.114.    Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны a . Найти наименьшую длину отрезков, с концами на прямых AB1 И BC , перпендикулярных прямой AC1.

8.115.    Высота правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше диагонали основания, объем пирамиды равен V. Рассматриваются всевозможные правильные четырехугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что их боковые ребра параллельны диагонали основания пирамиды, одна боковая грань принадлежит этому основанию, а вершины противоположной боковой грани лежат на боковой поверхности пирамиды. Найти наибольшее значение объема рассматриваемых пирамид.

8.116.    Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна а. Точки E и F — середины ребер BB1 и CC1 соответственно. Рассматриваются треугольники, вершинами которых служат точки пересечения плоскостей, параллельных основаниям куба с прямыми AC1, CE и DF. Найти наименьшее значение площади этих треугольников.

8.117.    В правильную четырехугольную пирамиду с ребром основания а и высотой h вписана правильная четырехугольная призма так, что ее нижнее основание лежит внутри основания пирамиды, а вершины верхнего — на боковых ребрах пирамиды. Найти наибольшую площадь боковой поверхности таких призм.

8.118. Образующая конуса имеет фиксированную длину и составляет с высотой угол а. В конус вписана правильная шестиугольная призма с равными ребрами (одно основание призмы лежит внутри основания конуса, а вершины другого основания лежат на боковой поверхности конуса). При каком значении а площадь боковой поверхности призмы будет наибольшей?

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (30.07.2016)
Просмотров: | Теги: Ануфриенко, гольдин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar