Тема №5126 Задачи по геометрии объем
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии объем из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии объем, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

 

4409.    На боковых ребрах РА, РВ, PC (или на их продолжениях) треугольной пирамиды РАВС взяты точки М, N, К соответственно. Докажите, что отношение объемов пирамид
PMNK и РАВС равно
4410.    Известно, что в некоторую пирамиду можно вписать шар. Докажите, что объем этой пирамиды равен
i произведения радиуса этого шара на
О полную поверхность пирамиды.
4411.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды со сторо 
ной основания, равной а, и высотой, равной h.
4412.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и высотой, равной h.
4413.    Найдите объем правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 1.
4414.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и высотой, равной h.
4415.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и боковым ребром, равным Ъ.
4416.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и боковым ребром, равным Ъ.
4417.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и боковым ребром, равным Ъ.
4418.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4419.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным р.
4420.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ь, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4421.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с высотой, равной h, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4422.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4423.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным р.
4424.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ь, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным р.
4425.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой, равной /г, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным р.
4426.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания, равной о, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4427.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания, равной о, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным р.
4428.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным р.
4429.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным р.
4430.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и высотой, равной h.
4431.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и высотой, равной h.
4432.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и высотой, равной h.
4433.    Стороны основания прямого параллелепипеда равны о и Ъ и образуют угол в 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите объем параллелепипеда.
4434.    Основание призмы — квадрат со стороной, равной о. Одна из боновых граней — также квадрат, другая — ромб с углом 60° (рис. 182). Найдите полную поверхность призмы.
 

4435.    Высота пирамиды, в основании которой лежит правильный шестиугольник, равна 8. На расстоянии, равном 3, от вершины проведена плоскость, параллельная основанию. Площадь полученного сечения равна 4. Найдите объем пирамиды.
4436.    Найдите объем параллелепипеда, две грани которого — ромбы со стороной 1 и острым углом 60°, а остальные грани — квадраты.
4437.    Объем параллелепипеда ABCDA1B^ClD1 равен V. Найдите объем пирамиды ABCCj.
4438.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и площадью боковой грани, равной Q.
4439.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и площадью боковой грани равной Q.
4440.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и площадью боковой грани, равной Q.
4441.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4442.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой, равной h, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4443.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ь, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4444.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с высотой, равной h, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4445.    Пустьр, q и г — площади трех граней прямоугольного параллелепипеда. Найдите его объем.
4446.    Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует углы, равные 60° и 30°, с двумя из его ребер. Найдите объем параллелепипеда.
4447.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна 1, а боковое ребро равно 2.
4448.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с высотой, равной h, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным (3.
4449.    Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна d, а ребра, исходящие из одной вершины, относятся, как т : п : р.
4450.    Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом, равным и. Найдите объем призмы, если ее большая диагональ равна I и образует с плоскостью основания угол, равный р.
4451.    В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со
стороной 2 УЗ . Диагональ боковой грани образует с плоскостью соседней боковой грани угол, равный 30°. Найдите объем параллелепипеда.
4452.    Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом а. Большая диагональ призмы равна d и составляет с плоскостью основания угол Р Найдите объем призмы.
4453.    Развертка боковой поверхности цилиндра есть квадрат со стороной, равной 23Jn . Найдите объем цилиндра.
4454.    Основания трапеции равны 8 и 2. Углы, прилежащие к большему основанию, равны по 45°. Найдите объем тела, образованного вращением трапеции вокруг большего основания.
4455.    На боковом ребре пирамиды взяты две точки, делящие ребро на три равные части. Через них проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объем части пирамиды, заключенной между этими плоскостями, если объем всей пирамиды равен 1.
4456.    Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны о, б и с. Найдите объем пирамиды.
4457.    Найдите объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30°, а сторона основания равна о.
4458.    В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами 1 и 4 и острым углом 60° (рис. 183). Большая диагональ параллелепипеда равна 5. Найдите его объем.
 

4459.    Найдите объем октаэдра (правильного восьмигранника), ребро которого равно о.
4460.    Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии, равном Ъ, от этого основания. Сторона основания равна о. Найдите полную поверхность параллелепипеда.
4461.    Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и Ъ. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости боковой грани, содержащей сторону основания, равную Ь, под углом 30°. Найдите объем параллелепипеда.
4462.    Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и Ъ. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.
4463.    Найдите объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной а, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом 60°.
4464.    Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а. Найдите объем пирамиды, если известно, что ее боковая поверхность в 10 раз больше площади основания.
4465.    В основании прямой призмы лежит равносторонний треугольник. Плоскость, проходящая через одну из сторон нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания, наклонена к плоскости нижнего основания под углом, равным <р. Площадь полученного сечения равна Q. Найдите объем призмы.
4466.    Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны
V3 , Jb и 2. Найдите его объем.
4467.    В вершинах А, В и С равностороннего треугольника АВС со стороной, равной 1, восставлены к его плоскости перпендикуляры и на них взяты точки Aj, Вх и С1? находящиеся по одну сторону от плоскости АВС, причем А4г = 4, ВВ1 = 5 и СС1 6. Найдите объем многогранника АВСА^В^С^. 

4468.    Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее объем на две равные части. В каком отношении эта плоскость делит боковые ребра пирамиды?
4469.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с радиусом вписанной сферы, равным г, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным р.
4470.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с радиусом вписанной сферы, равным г, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным р.
4471.    Объем пирамиды ABCD равен 1. На ребрах AD, BD, CD взяты соответственно точки К, L и М, причем 2АК = KD, BL = 2LD и 2СМ = 3MD. Найдите объем многогранника ABCKLM.
4472.    Найдите объем наклонной треугольной призмы, у которой площадь одной из боковых граней равна S, а расстояние от плоскости этой грани до противолежащего ребра равно d.
4473.    В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и Ъ, острый угол между ними равен 60°. Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.
4474.    Основание наклонной призмы — параллелограмм со сторонами 3 и 6 и острым углом 45°. Боковое ребро призмы равно 4 и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем призмы.
4475.    Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна d и составляет с боковым ребром призмы угол 30°. Найдите объем призмы.
4476.    В правильной треугольной призме плоскость, проходящая через Сторону одного основания и противоположную ей вершину другого основания, образует с плоскостью основания угол, равный 45°. Площадь сечения равна S. Найдите объем призмы.
4477.    В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на плоскость основания равна 5, а высота равна 12. Сечение, перпендикулярное боковому ребру, есть ромб с площадью, равной 24, и диагональю, равной 8. Найдите боковую поверхность и объем параллелепипеда.
4478.    В основании призмы лежит трапеция. Найдите объем призмы, если площади параллельных боковых граней равны Sj и S2, а расстояние между ними равно h.
4479.    Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм, один из углов которого равен 30°. Площадь основания равна 4. Площади двух боковых граней параллелепипеда равны 6 и 12. Найдите объем параллелепипеда.
4480.    Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с углом 120° и сторонами, равными 3 и 4. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Найдите объем параллелепипеда.
4481.    Ромб, меньшая диагональ которого равна его стороне, равной 1, вращается около прямой, проходящей через конец большей диагонали перпендикулярно этой диагонали (рис. 184). Найдите объем полученного тела вращения.
 

4482.    Металлический шар радиуса,
равной ?/Гб , перелит в конус, боковая поверхность которого в три раза больше площади основания. Найдите высоту конуса. 
4483.    Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с двумя из его граней углы, равные а и (3 (рис. 185). Найдите объем параллелепипеда.
 

4484.    Каркас куба изготовлен из деревянных брусьев, сечением которых является квадрат со стороной 1. Ребро куба равно 8. Найдите объем каркаса.
4485.    Площадь основания пирамиды равна 3, объем пирамиды также равен 3. Проведены две плоскости, параллельные основанию пирамиды. Площади получившихся сечений равны 1 и 2. Найдите объем части пирамиды, расположенной между плоскостями.
4486.    Объем параллелепипеда ABCDA1BlC1D1 равен V. Найдите объем пирамиды ACB^D^.
4487.    Объем параллелепипеда равен V. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются центры граней данного параллелепипеда.
4488.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и плоским углом при вершине пирамиды, равным ф.
4489.    Пусть ABCDA^B— единичный куб. Найдите объем общей части треугольных пирамид ACBXD1 и A1C1HD.
4490.    Докажите, что объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние между плоскостью этой грани и противолежащим ей боковым ребром.
4491.    Найдите отношение объемов параллелепипеда ABCDA1B1CiDl и тетраэдра ACB1D1.
4492.    Ребро РА пирамиды РАВС перпендикулярно плоскости основания АВС и равно 1. В треугольнике АВС угол при вершине А — прямой, а каждый из катетов АВ и АС равен 2. Точки М и N — середины АС и ВС соответственно. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду PMNC.
4493.    Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Плоскость, проведенная через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует с плоскостью основания угол, равный 45°. Полученное сечение имеет площадь, равную Q. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.
4494.    Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием 6 и высотой 9. Каждое боковое ребро равно 13. Найдите объем пирамиды.
4495.    В треугольной пирамиде боковые ребра взаимно перпендикулярны и равны 770,799 и 7126. Найдите объем и площадь основания пирамиды.
4496.    Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого равна Q. Площади диагональных сечений равны Sj и S2 Найдите объем параллелепипеда.
4497.    Основание наклонной призмы — правильный треугольник со стороной, равной а. Одна из боковых граней призмы перпендикулярна плоскости основания и представляет собой ромб, диагональ которого равна Ь. Найдите объем призмы.
4498.    Основание пирамиды — равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 8. Каждое из боковых ребер пирамиды равно 9. Найдите объем пирамиды.
4499.    В шаре радиуса г проведены диаметр АВ и три равные хорды АС,
AD и AF под углом а друг к другу. Найдите объем тела, ограниченного плоскостями треугольников ACD, ADF, ACF, BCD, BDF и BCF.
4500°. В правильную четырехугольную пирамиду SABCD вписан куб (рис. 186). Все четыре вершины одной из граней куба лежат на основании ABCD пирамиды. Вершины противоположной грани куба лежат на боковых ребрах пирамиды. Известно, что SA =АВ = а, т. е. боковое ребро пирамиды равно а и равно стороне ее основания. Чему равен объем куба?
S
 

4501.    В правильную треугольную пирамиду SABC вписана правильная треугольная призма LMNL1M1N1. Все три вершины основания LMN призмы лежат на боковых ребрах пирамиды. Известно, что LL1 = LM, т. е. высота призмы равна стороне ее основания. Кроме того, SA = АВ = а, т. е. каждое ребро пирамиды равно а. Чему равен объем призмы?
4502.    Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4, площади боковых граней равны 9, 10 и 17. Найдите объем призмы.
4503.    Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция ABCD, в которой АВ = CD = 13, ВС = = 11, AD = 21. Площадь диагонального сечения призмы равна 180. Найдите площадь полной поверхности призмы.
4504.    Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной, равной а, и острым углом в 30°. Диагональ одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите полную поверхность и объем параллелепипеда.
4505°. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а высота, опущенная из вершины основания на противоположную ей боковую грань, равна Ъ. Найдите объем пирамиды.
4506.    Основания параллелепипеда — квадраты со стороной Ъ, а все боковые грани — ромбы. Одна из вершин верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего основания. Найдите объем параллелепипеда.
4507.    Каждое ребро наклонной треугольной призмы равно 2. Одно из боковых ребер образует со смежными сторонами основания углы, равные 60°. Найдите объем и площадь полной поверхности призмы.
4508.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой наклонены к плоскости основания под углом, равным а, и удалены от середины противоположной стороны основания на расстояние, равное I.
4509.    Около шара радиуса, равного 1, описан конус, высота которого вдвое больше диаметра шара. Найдите отношение полной поверхности конуса к поверхности шара.
4510.    Внутри шара проведены две параллельные плоскости по одну сторону от центра на расстоянии 3 друг от друга. Эти плоскости дают в сечении два малых круга, радиусы которых соответственно равны 9 и 12. Найдите объем шара.
4511°. Около правильного тетраэдра описан цилиндр так, что два противоположных ребра тетраэдра являются диаметрами оснований цилиндра. Найдите отношение объема цилиндра к объему тетраэдра.
4512.    Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пи 
рамиды равен 2а. Высота пирамиды равна h. Найдите объем конуса, описанного около пирамиды.

4513.    В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 1:3, считая от вершины пирамиды. Найдите объем пирамиды, если апофема пирамиды равна а.
4514.    Высота пирамиды равна 3, площадь основания равна 9. Найдите объем призмы, одно основание которой принадлежит основанию пирамиды, а противоположное основание является сечением пирамиды плоскостью, проходящей на расстоянии, равном 1, от вершины.
4515.    В вершинах единичного квадрата восставлены к его плоскости перпендикуляры и на них по одну сторону от плоскости квадрата взяты точки на расстояниях 2, 4, 6 и 5 от этой плоскости (в порядке обхода). Найдите объем многогранника, вершинами которого являются указанные точки и вершины квадрата.
4516°. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, площади диагональных сечений которого равны
Лз,2Л0 и3Л .
4517.    На ребре единичного правильного тетраэдра взята точка, которая делит это ребро в отношении 1:2. Через эту точку проведены две плоскости, параллельные двум граням тетраэдра. Эти плоскости отсекают от тетраэдра две треугольные пирамиды. Найдите объем оставшейся части тетраэдра.
4518.    Центр шара единичного радиуса расположен на ребре двугранного угла, равного а. Найдите радиус шара, объем которого равен объему части данного шара, находящейся внутри двугранного угла.
4519.    Найдите объем треугольной пирамиды, пять ребер которой равны
2, а шестое равно 7б.
4520.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и радиусом описанной сферы, равным R.
4521.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и радиусом вписанной сферы, равным г.
4522.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и радиусом описанной сферы, равным R.
4523.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ь, и площадью боковой грани, равной Q.
4524.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с высотой, равной h, и радиусом описанной сферы, равным R.
4525.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с высотой, равной h, и радиусом вписанной сферы, равным г.
4526.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с высотой, равной h, и площадью боковой грани, равной Q.
4527.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и радиусом описанной сферы, равным R.
4528.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и радиусом вписанной сферы, равным г.
4529.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ь, и радиусом описанной сферы, равным R.
4530.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ь, и площадью боковой грани, равной Q.
4531.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой, равной h, и радиусом описанной сферы, равным R.
4532.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой, равной Л, и радиусом вписанной сферы, равным г.
4533.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой, равной h, и площадью боковой грани,равной Q.
4534.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и радиусом описанной сферы, равным R.
4535.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и радиусом вписанной сферы, равным г.
4536.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ь, и радиусом описанной сферы, равным R.
4537.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и площадью боковой грани, равной Q.
4538.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с высотой, равной Л, и радиусом описанной сферы, равным R.
4539.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с высотой, равной h, и радиусом вписанной сферы, равным г.
4540.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с высотой, равной Л, и площадью боковой грани, равной Q.
4541.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и углом между боковыми гранями, равным у.
4542.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и плоским углом при вершине пирамиды, равным ср.
4543.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным р.
4544.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и углом между боковыми гранями, равным у.
4545.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с высотой, равной h, и углом между боковыми гранями, равным у.
4546.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с высотой, равной h, и плоским углом при вершине пирамиды, равным ср.
4547.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с радиусом описанной сферы, равным R, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4548.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с радиусом описанной сферы, равным R, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным (3.
4549.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с радиусом вписанной сферы, равным г, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным (3.
4550.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и плоским гулом при вершине, равным ср.
4551.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и углом между соседними боковыми гранями, равным у.
4552.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ъ, и плоским углом при вершине, равным ср.
4553.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой, равной h, и плоским углом при вершине, равным ср.
4554.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с радиусом описанной сферы, равным R, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4555.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с площадью боковой грани, равной Q, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4556.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с площадью боковой грани, равной Q, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным (3.
4557.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и углом между соседними боковыми гранями, равным у.
4558.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и плоским углом при вершине, равным ср.
4559.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ь, и углом между соседними боковыми гранями, равным ср.
4560.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром, равным Ь, и плоским углом при вершине, равным у.
4561.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с высотой, равной h, и углом между соседними боковыми гранями, равным у.
4562.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с высотой, равной h, и плоским углом при вершине, равным ср.
4563.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с радиусом описанной сферы, равным R, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4564.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с площадью боковой грани, равной Q, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4565.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с площадью боковой грани, равной Q, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным (3.
4566.    Ребро CD пирамиды ABCD равно 1 и перпендикулярно плоскости АВС. Известно также, что АЛ = 2, ВС = = 3 и Z. АВС = 90°. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду ABCD.
4567.    Объем тетраэдра ABCD равен V. На ребрах CD, DB и АВ взяты точки К, L и М соответственно (рис. 187), причем 2СК = CD, SDL = DB, 5ВМ = = 2АВ. Найдите объем тетраэдра KLMD.
D
 

4568.    На ребрах АВ, ВС и AD тетраэдра ABCD объема V взяты соответственно точки К, LuN, причем 2АХ = = АВ, 3BL = ВС, 5DN = AD. Найдите объем тетраэдра NKLB.
4569.    На ребрах ВС, CD и AD тетраэдра ABCD объема V взяты соответственно точки L,MuiN, причем SBL = = ВС, 4СМ = CD и 5DN = AD. Найдите объем тетраэдра NMLB.
4570.    На ребрах АВ, CD и AD тетраэдра ABCD объема V взяты соответственно точкиK,MaN, причем 2АК — = АВ, 4СМ = CD и 5DN = AD. Найдите объем тетраэдра KNMB.
4571.    На ребрах АВ, ВС и CD тетраэдра ABCD объема V взяты соответственно точки K,LVL М, причем 2АК = = АВ, 3BL = ВС и 4CN = CD. Найдите объем тетраэдра KLMB.
4572.    Дан правильный шестиугольник ABCDEF со стороной, равной а. Отрезок MN параллелен одной из сторон шестиугольника, равен его стороне и расположен на расстоянии, равном h, от его плоскости. Найдите объем многогранника ABCDEFMN.
4573.    В конус вписан шар. Отношение объемов конуса и шара равно 2. Найдите отношение полной поверхности конуса к поверхности шара.
4574.    Докажите, что из боковых граней четырехугольной пирамиды, основанием которой служит параллелограмм, можно составить треугольную пирамиду, причем ее объем вдвое меньше объема исходной четырехугольной пирамиды.
4575.    Высота РО правильной четырехугольной пирамиды PABCD равна 4, а сторона основания ABCD равна 6. Точки М и К — середины отрезков ВС и CD. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду РМКС.
4576.    На ребре DC треугольной пирамиды ABCD взята такая точка N, что CN = 2DN, а на продолжениях ребер СА и СВ за точки А и В соответственно — точки К и М, причем АС = = 2АК и МВ = 2ВС. В каком отношении плоскость, проходящая через точки М, N, К, делит объем пирамиды ABCD?
4577.    Основание пирамиды — параллелограмм со сторонами, равными 10 и 18, и площадью, равной 90. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 6. Найдите боковую поверхность пирамиды.
4578.    Сфера радиуса Jb с центром в точке О касается всех сторон треугольника АВС. Точка касания N делит сторону АВ пополам. Точка касания М делит сторону АС так, что AM =
= | МС. Найдите объем пирамиды
ОАВС, если известно, что AN = NB = 1.
4579.    Плоскость проходит через вершину А основания треугольной пирамиды SABC, делит пополам медиану SK треугольника SAB, а медиану SL треугольника SAC пересекает в точке D такой, что SD : DL = 1 : 2. В каком отношении делит эта плоскость объем пирамиды?
4580.    Правильная треугольная пирамида пересечена плоскостью, проходящей через вершину основания и середины двух боковых ребер. Найдите отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания, если известно, что секущая плоскость перпендикулярна одной из боковых граней (укажите, к какой именно).
4581.    Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна S. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами, равными 30° и 60°. Найдите объем пирамиды.
4582.    Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с углом а при вершине. Все двугранные углы при основании пирамиды равны |3. Найдите объем пирамиды, если радиус окружности, описанной около треугольника основания, равен R, а высота пирамиды проходит через точку, лежащую внутри треугольника.
4583.    Точка К расположена на ребре AD тетраэдра ABCD, точка N — на продолжении ребра АВ за точку В, а точка М — на продолжении ребра АС за точку С, причем АК : KD = 3:1, BN = АВ и СМ : АС =1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки К, М, N. В каком отношении эта плоскость делит объем тетраэдра?
4584.    Точка М расположена на ребре CD тетраэдра ABCD, точка N — на продолжении ребра АС за точку А, а точка К — на продолжении ребра СВ за точку В, причем DM : МС =1:3, AN : АС = 1 : 4 и ВК : ВС = 1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки К, М, N. В каком отношении эта плоскость делит объем тетраэдра?

4585.    Точка М расположена на ребре AD тетраэдра ABCD, точка N — на продолжении ребра АС за точку С, а точка К — на продолжении ребра АВ за точку В, причем DM :АМ =1:2,
CN = 3АС и В К : АВ =1:2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки К, М, N. В каком отношении эта плоскость делит объем тетраэдра?
4586.    Точка N расположена на ребре BD тетраэдра ABCD, точка М — на продолжении ребра АС за точку С, а точка К — на продолжении ребра АВ за точку В (рис. 188), причем BN : ND = = 2:1, АС = 3МС и ВК = АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K,M,N.B каком отношении эта плоскость делит объем тетраэдра?
 

4587.    Известно, что в заданную призму можно вписать сферу. Найдите площадь ее боковой поверхности, если площадь основания равна S.
4588.    Внутри куба с ребром, равным 10, рассматриваются следующие множества точек:
а)    точки, удаленные на расстояние, не превышающее 1, от трех граней куба;
б)    точки, удаленные на расстояние, не превышающее 1, от двух граней куба;
в)    точки, удаленные на расстояние, не превышающее 1, от одной грани куба.
Найдите объем тел, состоящих из этих точек.
4589.    Найдите высоту треугольной пирамиды, боковые ребра которой попарно перпендикулярны и равны 2, 3 и 4.
4590.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с радиусом вписанной сферы, равным г, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4591.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с площадью боковой грани, равной Q, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4592.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с площадью боковой грани, равной Q, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным (3.
4593.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с площадью боковой грани, равной Q, и углом между боковыми гранями, равным у.
4594.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с площадью боковой грани, равной Q, и плоским углом при вершине, равным ср.
4595.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с радиусом описанной сферы, равным R, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным (3.
4596.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с радиусом описанной сферы, равным R, и углом между соседними боковыми гранями, равным у.
4597.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с радиусом описанной сферы, равным R, и плоским углом при вершине, равным ср.
4598.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с радиусом вписанной сферы, равным г, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4599.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с радиусом вписанной сферы, равным г, и углом между соседними боковыми гранями, равным у.
4600.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с радиусом вписанной сферы, равным г, и плоским углом при вершине, равным ср. 
4601.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с площадью боковой грани, равной Q, и углом между соседними боковыми гранями, равным у.
4602.    Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды с площадью боковой грани, равной Q, и плоским углом при вершине, равным ср.
4603.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с радиусом описанной сферы, равным R, и углом боковой грани с плоскостью основания, равным Р
4604.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с радиусом описанной сферы, равным R, и углом между соседними боковыми гранями, равным у.
4605.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с радиусом описанной сферы, равным R, и плоским углом при вершине, равным <р.
4606.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с радиусом вписанной сферы, равным г, и углом бокового ребра с плоскостью основания, равным а.
4607.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с радиусом вписанной сферы, равным г, и углом между соседними боковыми гранями, равным у.
4608.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с площадью боковой грани, равной Q, и углом между соседними боковыми гранями, равным у.
4609.    Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды с площадью боковой грани, равной Q, и плоским углом при вершине, равным ф.
4610.    В каком отношении делит объем куба плоскость, перпендикулярная его диагонали и делящая диагональ в отношении: а) 2 : 1; б) 3 : 1?
4611.    В прямоугольнике ABCD АВ = 2, ВС = 3. Отрезок КМ параллелен АВ и расположен на расстоянии 1 от плоскости ABCD и КМ = 5 (рис. 189). Найдите объем многогранника ABCDKM.
 

4612.    Пусть Р и Q — площади двух граней тетраэдра, а — длина общего ребра, а — двугранный угол между этими гранями, V — объем тетраэдра.
Докажите, что V = ^ Sltl а .
3 а
4613.    Объем треугольной пирамиды 1. Найдите объем пирамиды с вершинами в точках пересечения медиан граней данной пирамиды.
4614.    На диагонали единичного куба взяты точки Милана скрещивающейся с ней диагонали грани — точки
Р и Q. Известно, что MN = i , a PQ = .
2    3
Найдите объем тетраэдра MNPQ.
4615.    Объем тетраэдра ABCD равен V. На ребре АВ взяты точки Милана ребре CD — точки Р и Q. Известно, что MN = а • АВ, PQ = Р ■ CD. Найдите объем тетраэдра MNPQ.
4616.    Даны прямоугольник ABCD и прямая MN, параллельная АВ и удаленная от плоскости прямоугольника на расстояние, равное h. Известно, что АВ = а, ВС = Ъ, MN = с. Найдите объем многогранника ABCDMN.
4617.    В треугольной пирамиде SABC на ребре SB взята точка М, делящая отрезок SB в отношении 3 : 5, считая от точки S. Через точки А и М параллельно медиане BD треугольника АВС проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
4618.    Противоположные ребра тетраэдра попарно равны. Основание тет 

раэдра — треугольник со сторонами а, Ъ, с. Найдите объем тетраэдра.
4619.    Основание пирамиды — квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 45°. Среднее по величине боковое ребро равно I. Найдите объем и полную поверхность пирамиды.
4620.    В четырехугольной пирамиде OABCD основанием является трапеция ABCD, а боковые грани OAD и ОВС перпендикулярны основанию. Площадь грани ОАВ равна 9, площадь грани OCD равна 20, ребро АВ равно 3, ребро CD равно 5. Найдите объем пирамиды.
4621.    В треугольной пирамиде ОАВС боковые грани ОАС и ОАВ перпендикулярны основанию. Через вершину О под углом 45° к основанию проведено сечение, пересекающее ребро АВ в точке D и ребро АС в точке Е, причем DE параллельно ВС. Площадь сечения ODE равна 1, площадь грани ОВС равна 6, ребро ВС равно 4. Найдите объем пирамиды.
4622.    Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник
АВС, сторона которого равна J3 . Основанием высоты, опущенной из вершины S, является точка О, лежащая внутри треугольника АВС. Расстояние от точки О до стороны АС равно 1. Синус угла ОБА относится к синусу угла ОВС, как 2:1. Площадь грани SAB . Найдите объем пирамиды.
4623.    В шаре радиуса, равного J3 , просверлено цилиндрическое отверстие; ось цилиндра проходит через центр шара, а диаметр основания цилиндра равен радиусу шара. Найдите объем оставшейся части шара.
4624.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с радиусом описанной сферы, равным R, и углом между боковыми гранями, равным у.

4625.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с радиусом описанной сферы, равным R, и плоским углом при вершине, равным ср.
4626.    На ребрах ААг и СС\ куба ABCDA1B1C1D1 отмечены соответственно точки Е и F такие, что АЕ = = 2A^E, CF = 2C1F. Через точки В,Е и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношение объема части, содержащей точку В1г к объему всего куба.
4627.    Основание пирамиды PABCD — параллелограмм ABCD. Точка N — середина ребра АР, точка К — середина медианы PL треугольника ВРС, точка М лежит на ребре РВ, причем РМ = 5МВ. В каком отношении плоскость, проходящая через точки М, N, К, делит объем пирамиды PABCD?
4628.    Основание пирамиды PABCD — параллелограмм ABCD. На ребрах АВ и PC взяты соответственно точки К и М, причем АК : КВ = = СМ : МР = 1 : 2. В каком отношении плоскость, проходящая через точки К и М параллельно прямой BD, делит объем пирамиды PABCD?
4629.    Если поверхность тетраэдра ABCD разрезать вдоль ребер AD, BD и CD, то его разверткой на плоскость АВС будет квадрат со стороной, равной а. Найдите объем тетраэдра.
4630.    Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD (Р — вершина) со стороной основания а и боковым ребром а. Сфера с центром в точке О проходит через точку А и касается ребер РВ и PD в их серединах. Найдите объем пирамиды OPCD.
4631.    Основание пирамиды — треугольник со сторонами, равными 6, 5 и 5. Боковые грани пирамиды образуют с плоскостью ее основания двугранные углы, равные 45°. Найдите объем пирамиды.
4632.    Даны четыре точки К, L, М, N, не лежащие в одной плоскости. Сфера касается плоскостей KLM и KLN в точках М и N соответственно. Найдите площадь поверхности сферы, если известно, что ML = 1, КМ = 2, /1 MNL = 60°, Z. KML = 90°.
4633.    Основание пирамиды PABCD — параллелограмм ABCD. ТочкаХ — середина ребра АР, точка N расположена на ребре СР, причем CN : NP =1:3, точка М расположена на продолжении ребра ВС за точку В, причем ВМ = 2ВС. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через токи К, М, N. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
4634.    Основание пирамиды PABCD — параллелограмм ABCD. Точка М расположена на ребре PC, причем PM : МС = 1:2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым АР и BD. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
4635.    Основание пирамиды PABCD — параллелограмм ABCD. Точки М и К расположены на ребрах АВ и СР соответственно (рис. 190), причем AM : МВ = 1 : 3 и РК : КС = = 2:3. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки М 1Л.К параллельно прямой BD. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
Р
 

4636.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с радиусом вписанной сферы, равным г, и углом между боковыми гранями, равным у.
4637.    Найдите объем правильной треугольной пирамиды с радиусом вписанной сферы, равным г, и плоским углом при вершине, равным ф.
4638.    Объем пирамиды равен 1. Две плоскости, параллельные АВ и CD, делят ребро ВС на три равные части. Найдите объем части пирамиды, расположенной между этими плоскостями.
4639.    В правильной четырехугольной пирамиде SBCDE с вершиной S боковое ребро равно Ь, а двугранный угол между боковыми гранями равен а. Найдите объем пирамиды, отсекаемой от данной пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ BD основания и середину бокового ребра SC.
4640.    В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к

стороне основания равно ^ , а радиус шара, вписанного в эту пирамиду, равен 1. Найдите объем пирамиды.
4641.    Две грани треугольной пирамиды — равносторонние треугольник со стороной, равной а. Две другие грани — равнобедренные прямоугольные треугольники. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.
4642.    Дан параллелепипед ABCDAiB^CiD^. На лучах С^С, С\В^ и С1Н1 отложены отрезки С^М, C^N и
С^К, равные соответственно | СС\,
5    к
С1Б1, ~C1D1. В каком отношении плоскость, проходящая через точки М, N, К, делит объем параллелепипеда ABCDA^C^DJ
4643.    На скрещивающихся прямых I и т взяты отрезки АВ и CD соответственно. Докажите, что объем пирамиды ABCD не зависит от положения отрезков АВ и CD на этих прямых. Найдите этот объем, если АВ = a, CD = = Ъ, а угол и расстояние между прямыми I и т равны соответственно а и с.
4644.    Докажите, что плоскость, пересекающая боковую поверхность правильной 2пугольной призмы, но не пересекающая ее оснований, делит ось призмы, ее боковую поверхность и объем в одном и том же отношении.
4645.    Не ребрах АВ, ВС, CD и AD тетраэдра ABCD объема V взяты соответственно точки К, L, М и N, причем 2АЙГ = АВ, 3BL = ВС, ACM — CD и 5DN = AD. Найдите объем тетраэдра KLMN.
4646.    Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 служит треугольник АВС, у которого АВ = 3, АС = 2, Z. ВАС = 45°. Через точки Е, F и G, лежащие на АХВХ, AxCj и АВ соответственно, проведено сечение, причем АгЕ = 2, A^F = 1 ,AG = 1. Найдите объем той части призмы, которая содержит ребро ВВг, если ВВ1 = 4.
4647.    Радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, равен г, а двугранный угол при боковом ребре равен а. Найдите объем пирамиды, вершины которой находятся в центре вписанного шара и точках его касания с боковыми гранями исходной пирамиды.
4648.    Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD, точки М и N — середины ребер SC и SD соответственно. Прямые SA, BN и CN попарно перпендикулярны. Найдите объем пирамиды, если SA = а, ВМ = Ъ, CN = с.
4649.    Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух противоположных ребер любой треугольной пирамиды, делит ее объем пополам.
4650.    Точки М и N — середины ребер ААХ и CCj параллелепипеда ABCDAlBiClD1. Прямые АХС, В^М и
BN попарно перпендикулярны. Найдите объем параллелепипеда, если известно, что АХС = а, ВХМ = Ъ, BN = с.
4651.    В треугольной пирамиде два противоположных ребра равны 12 и 4, а остальные ребра равны 7. В пирамиду вписана сфера. Найдите расстояние от центра этой сферы до ребра, равного 12.
4652.    В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S — вершина)
АВ = 3^2 , высота пирамиды равна 8. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через току А, а другая — через точки ВиД имеют равные площади. В каком отношении делят ребро SC плоскости сечений? Найдите расстояние между плоскостями сечений и объемы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями.
4653.    Точки М, N, К — середины ребер АВ, ВС, DDr параллелепипеда ABCDAyB^CyD^.
1)    Проведите сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М, N, К.
2)    В каком отношении эта плоскость делит ребро СС1 и диагональ DBX1
3)    В каком отношении эта плоскость делит объем параллелепипеда?
4654.    Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и ВС проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке М. При этом DM : МС = = 2:3. Найдите площадь сечения пирамиды указанной плоскостью, если расстояние от нее до вершины А равно 1.
4655.    На ребрах ВС и DC треугольной пирамиды ABCD взяты соответственно точки N к К, причем CN = = 2BN, DK : КС = 3:2. Известно, что М — точка пересечения медиан треугольника ABD. В каком отношении плоскость, проходящая через точки М, N, К, делит объем пирамиды ABCD?
4656.    В пирамиде ABCD через середины К и N ребер AD и ВС проведена плоскость, пересекающая ребро АВ в точке М, а ребро CD — в точке L. Площадь четырехугольника KLMN равна 16, а отношение отрезка AM к отрезку МВ равно 0,5. Вычислите расстояние от вершины А до плоскости KLMN, если объем многогранника NACLK равен 8.
4657.    Дана правильная треугольная пирамида SABC (S — вершина) со стороной основания а и боковым ребром Ь. Первая сфера с центром в точке Oj касается плоскостей SAB и SAC в точках В и С„ а вторая сфера с центром в точке Ог касается плоскостей SAC и SBC в точках А и В. Найдите объем пирамиды SOXBO2.
4658.    Точки К, М и N расположены соответственно на ребрах ВС, CD и AD тетраэдра ABCD (рис. 191), причем ВК : КС = 2 : 3, СМ : MD = 1 : 2 и AN: ND = 3:1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки К, М, N. В каком отношении эта плоскость делит объем тетраэдра?
D
 
Рис. 191

4659.    В правильной пирамиде SABC (S — вершина) точка Е — середина апофемы, лежащей в грани SBC, а точки F, L и М лежат на ребрах АВ, АС и SC соответственно, причем AL = = ~АС. Известно, чтоEFLM — равнобедренная трапеция с основанием EF, равным J7 . Найдите объем пирамиды.
4660.    На ребре SB пирамиды SABC выбраны точки D и Е так, что SD = = DE = 1, BE = 2. Сечения пирамиды плоскостями, перпендикулярными ребру SB и проходящими через точки D и Е, имеют площади 5 и 16 соответственно, причем первое из этих сечений — треугольник, одна из вершин которого делит ребро SA в отношении 2:1, считая от вершины S. Найдите объем пирамиды.
4661.    На продолжении за точку Aj ребра АА2 правильной треугольной призмы ABCAiBlC1 (АВС — основание) взята точка М. Через точку М и точку К — середину ребра ВС — проведена плоскость а, пересекающая ребро АС в точке К1 так, что Z. КК^М =
= arctg J55 . Известно, что сечение призмы плоскостью а — пятиуголь
•7
ник КК1К2К3КЛ, у которого К\К2 = ,
ККЛ_ = Щ., KSK3 = hp. Найдите объем призмы.

4662.    В треугольной пирамиде ABCD суммы трех плоских углов при каждой из вершин В и С равны 180° и AD = ВС. Найдите объем пирамиды, если площадь грани BCD равна 100, а расстояние от центра описанного шара до плоскости основания АВС равно 3.
4663.    В основании пирамиды PQRST лежит четырехугольник QRST, у которого стороны QT и RS параллельны, сторона ST равна 4, сторона RS равна 2, а угол RST равен 60°.
Ребро PS равно 4 >/2 . Найдите объем пирамиды, если известно, что через прямые QT и RS можно провести две плоскости, не совпадающие с основанием пирамиды и пересекающие пирамиду по равным четырехугольникам.
4664.    Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD, точка пересечения диагоналей которого есть ортогональная проекция вершины S на плоскость ABCD. Точки Е и F выбраны на ребрах BS и ВС соответственно так,
что BE = | BS, BF = | ВС. Точки PnQ
расположены на прямых АЕ и SF так, что прямая PQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Площадь параллелограмма ABCD равна 3, PQ = 12. Найдите объем пирамиды.
4665.    Треугольная призма ABCAjBjCi с нижним основанием АВС и боковыми ребрами ААХ, ВВ^ и СС] рассечена плоскостью, проходящей через точки Е, F, С, где Е — середина ребра ААХ, точка F лежит на ребре ВВ1,
IJ Г    1
причем     = г . Найдите объем части
FBi 2
призмы АВСА)ВуСх, заключенной между секущей плоскостью и нижним основанием призмы, если известно, что объем призмы равен V.
4666.    Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD с основаниями ВС и AD такими, что ВС :AD = 2:3. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е, а центр О вписанной в пирамиду сферы лежит на отрезке SE и делит его в отношении SO : ОЕ = 5:2. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если площадь боковой грани SBC равна 12.
4667.    На ребре АС правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 взята
точка А' так, что АК = , СК= . Через 4    4
точку К проведена плоскость, образующая с плоскостью АВС угол
arctg и рассекающая призму на два 6
многогранника, площади поверхностей которые равны. Найдите объем призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого — нет.
4668.    В треугольной пирамиде ABCD известно, что CD = а, а перпендикуляр, опущенный из середины ребра АВ на CD, равен Ъ и образует равные углы ос с гранями ACD и BCD. Найдите объем пирамиды.
4669.    Объем тетраэдра ABCD равен V. На ребрах АВ, ВС, CD и DA взяты соответственно точки К, L, М и N, причем АЙГ = АВ, BL = ВС, СМ= \CD,
3    4    5
DN = DA. Найдите объем тетраэдра 6
KLMN.
4670.    В пирамиде ABCD прямая, пересекающая ребра АС и BD и перпендикулярная им, проходит через середину ребра BD. Грань ADB равновелика грани BDC, а площадь грани ADC в два раза больше площади грани BDC. Внутри пирамиды есть точка М, сумма расстояний от которой до вершин В и D равна сумме расстояний до всех граней пирамиды. Найдите расстояние от точки М до вершины В, если
АС = J6,&BD=\.
4671.    В пирамиде ABCD грани ADC и BDC равновелики, а сумма площадей граней ADB и АВС в три раза больше площади грани ADC. Радиус шара, вписанного в пирамиду, в восемь раз меньше суммы расстояний от центра шара до вершин А и В. Найдите двугранный угол, образованный гранями АВВиАВС.
4672.    Объем правильной призмы АВСА1В1С1 равен V. Точка N — центр грани BBJCJC. Вторая призма симметрична призме АВСА1В1С1 относительно прямой AN, и объем общей части
этих призм равен . Найдите отношение A4j : АВ, если известно, что А4г < J3AB.
4673.    В пирамиде ABCD проведено сечение KMLN так, что точка К лежит на ребре AD, точка М — на ребре DC, точка N — на ребре АВ, точка L — на 
ребре ВС, О — точка пересечения диагоналей KL и MN четырехугольника KMLN. Сечение KMLN делит пирамиду на две части. Найдите отношение объемов этих частей, если известны следующие соотношения между длинами отрезков:
4OL = 3ОК, 25ON = 24ОМ,
DK • NA КА • BN = КА • NA.
4674.    Все высоты пирамиды ABCD, грани которой являются остроугольными треугольниками, равны между собой. Известно, что АВ — 9, ВС = 13, а угол ADC равен 60°. Найдите ребро BD.
4675.    Отрезок PQ параллелен плоскости, в которой лежит прямоугольник KLMN, причем KL = 1, PQ = 3. Все стороны прямоугольника KLMN и отрезки КР, LP, NQ, MQ, PQ касаются некоторого шара. Найдите объем этого шара.
4676.    Отрезок EF параллелен плоскости, в которой лежит прямоугольник ABCD, причем EF = 3, ВС = 5. Все стороны прямоугольника ABCD и отрезки АЕ, BE, CF, DF, EF касаются некоторого шара. Найдите площадь поверхности этого шара.
4677.    Объем пирамиды SABC равен V. Через точки М и N, лежащие на ребрах AS иАВ соответственно, и внутреннюю точку Р грани АВС проведена плоскость, пересекающая прямую CS в точке/, (рис. 192). Пусть Ни £ —точки пересечения прямых АР и ВР с ребрами ВС и АС соответственно. Известно, что AN = NC, AM = MS, АР = 3PD и BP = 2PE. Найдите объем пирамиды ACLN.

 

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Теги: объем | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar