Тема №5108 Задачи по геометрии параллелограмм
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии параллелограмм из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии параллелограмм, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

427.    Докажите, что медианы тре¬угольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин треугольника.
428.    Докажите, что прямая, содер¬жащая среднюю линию треугольника, параллельна стороне треугольника, а средняя линия треугольника равна по¬ловине этой стороны.
429.    Докажите, что высоты тре¬угольника пересекаются в одной точке.
430.    Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
431.    Сторона параллелограмма втрое больше другой его стороны. Най¬дите стороны параллелограмма, если его периметр равен 24.
432.    Один из углов параллелограм¬ма на 50° меньше другого. Найдите уг¬лы параллелограмма.
433.    ABCD — данный прямоуголь¬ник; М — середина стороны ВС. Дано, что прямые МА и MD взаимно перпен¬дикулярны и что периметр прямо¬угольника ABCD равен 24. Найдите его стороны.
434.    Периметр треугольника равен 28, середины сторон соединены отрез¬ками (рис. 18). Найдите периметр по¬лученного треугольника.
 

435.    В треугольнике АВС медиана AM продолжена за точку М до точки D на расстояние, равное AM (так что AM = MD). Докажите, что ABDC — параллелограмм.
436.    Периметр треугольника равен
6.    Найдите периметр треугольника, стороны которого параллельны сторо¬нам данного и проходят через его вер¬шины.
437.    Боковые стороны трапеции равны 7 и 11, а основания — 5 и 15. Прямая, проведенная через вершину меньшего основания параллельно большей боковой стороне, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его стороны.
438.    Найдите углы ромба, если вы¬сота, проведенная из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.
439.    Периметр ромба равен 8, высо¬та равна 1. Найдите тупой угол ромба.
440.    Постройте ромб по данным ди¬агоналям.
441.    Докажите, что три средние ли¬нии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.
442.    Наибольший угол прямо¬угольной трапеции равен 120°, а боль¬шая боковая сторона равна с. Найдите разность оснований.
443.    Средняя линия, параллельная стороне АС треугольника АВС, равна половине стороны АВ. Докажите, что треугольник равнобедренный.
444.    Около круга описана трапе¬ция, периметр которой равен 12. Най¬дите среднюю линию трапеции.
445.    Докажите, что если в паралле¬лограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.
446.    На диагонали АС квадрата ABCD взята точкам так, что AM = АВ. Через точку М проведена прямая, пер¬пендикулярная прямой АС и пересе¬кающая ВС в точке Н. Докажите, что ВН = НМ = МС.
447.    На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырехугольника АВСВ отмечены со-ответственно точки М, N, Р и Q так, что AM = CP, BN = DQ, ВМ = DP, NC — QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.
448.    В прямоугольный треуголь¬ник, каждый катет которого равен 6, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.
449.    В равнобедренный прямо¬угольный треугольник вписан прямо¬угольник так,что две его вершины на¬ходятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Найдите стороны прямо¬угольника, если известно, что они от¬носятся, как 5 : 2, а гипотенуза тре¬угольника равна 45.
450.    Определите вид четырехуголь¬ника, вершинами которого служат се¬редины сторон данного: 1) произволь¬ного четырехугольника; 2) паралле¬лограмма; 3) прямоугольника; 4) ром¬ба; 5) квадрата; 6)трапеции.
451.    Точки М и N — середины про¬тивоположных сторон ВС и AD парал-лелограмма ABCD. Докажите, что че¬тырехугольник AMCN — параллело¬грамм.
452°. Постройте параллелограмм по двум соседним сторонам и углу между ними.
453.    Постройте параллелограмм по диагоналям и углу между ними.
454.    Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Пери¬метр параллелограмма равен 12, а раз¬ность периметров треугольников ВОС и COD равна 2. Найдите стороны па¬раллелограмма.
455.    Постройте прямоугольник по диагонали и одной из сторон.
456.    Угол при вершине А ромба ABCD равен 20°. Точки М и N — осно¬вания перпендикуляров, опущенных из вершины В на стороны AD и CD. Найдите углы треугольника BMN.
457.    Стороны треугольника равны а и Ь. Через середину третьей стороны проведены прямые, параллельные двум другим сторонам. Найдите пери¬метр полученного четырехугольника.
458.    Из произвольной точки осно¬вания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные бо¬ковым сторонам. Докажите, что пери¬метр получившегося параллелограмма не зависит от положения точки и равен сумме боковых сторон треугольника.
459.    Докажите, что середины сто¬рон любого четырехугольника явля¬ются вершинами параллелограмма.
460.    Постройте треугольник по сто¬роне и медианам, проведенным к двум другим сторонам.
461.    У четырехугольника диагона¬ли равны а и Ъ. Найдите периметр че-тырехугольника, вершинами которо¬го являются середины сторон данного четырехугольника.
462.    Найдите периметр паралле¬лограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллело¬грамма на отрезки 7 и 14.
463.    Дан прямоугольник (рис. 19); перпендикуляр, опущенный из вер¬шины на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении 1:3. Найдите угол между этим перпенди¬куляром и другой диагональю.
 

464.    Точки пересечения биссектрис внутренних углов параллелограмма являются вершинами некоторого че¬тырехугольника. Докажите, что этот четырехугольник — прямоугольник.
465.    Высота, проведенная из вер¬шины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание на отрезки, равные о и Ь (а > Ь). Найдите среднюю линию трапеции.
466.    Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, равна 2 и делит сторону параллело¬грамма пополам. Острый угол парал¬лелограмма равен 30°. Найдите диаго¬наль, проведенную из вершины тупого угла, и углы, которые она образует со сторонами.
467.    ТочкиМ nN расположены со¬ответственно на сторонах АВ и АС тре¬угольника АВС, причем ВМ = ЗАМ и CN = ЗАЛ7. Докажите, что MN II ВС, и найдите MN, если ВС =12.
468.    Пусть Р — основание перпен¬дикуляра. опущенного из вершины С меньшего основания ВС равнобедрен¬ной трапеции ABCD на ее большее ос¬нование AD. Найдите DP и АР, если ос¬нования трапеции равны а и b (о > Ь).
469.    Найдите углы и стороны четы¬рехугольника с вершинами в середи¬нах сторон равнобедренной трапеции, диагонали которой равны 10 и пересе¬каются под углом, равным 40°.
470.    Около круга описана равно¬бедренная трапеция с углом в 30°. Средняя линия ее равна 1. Найдите ра¬диус круга.
471.    Стороны параллелограмма равны 8 и 3; биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, делят противолежа¬щую сторону на 3 части. Найдите каж¬дую из них.
472.    Параллелограмм с перимет¬ром 44 разделен диагоналями на 4 треугольника. Разность между пери¬метрами двух смежных треугольни¬ков равна 6. Найдите длины сторон па¬раллелограмма.
473.    В круг вписан прямоугольник. Середины сторон последовательно со-единены отрезками. Докажите, что периметр образовавшегося четырех¬угольника равен удвоенному диа¬метру данного круга. 

474.    Каждая из боковых сторон равнобедренного треугольника равна
7.    Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося па-раллелограмма.
475.    Через вершину А остроуголь¬ного треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС, равной а, и пересекающая окружнос¬ти, построенные на сторонах АВ и АС как на диаметрах, в точках М HN, ОТ¬ЛИЧНЫХ от А. Найдите MN.
476.    Точки К, L, М KN — середины сторон соответственно АВ, ВС, CD и AD паралелограммаABCD. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения прямых AL, ВМ, CN и DK — параллелограмм.
477.    Из произвольной точки осно¬вания равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной а, проведе¬ны прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получив¬шегося четырехугольника.
478.    Диагонали прямоугольника равны 8 и пересекаются под углом в 60°. Найдите меньшую сторону прямо¬угольника.
479.    Дан четырехугольник, сумма диагоналей которого равна 18. Найди¬те периметр четырехугольника с вер¬шинами в серединах сторон данного.
480°. Найдите периметр четырех¬угольника с вершинами в серединах сторон прямоугольника с диагональю, равной 8.
481.    Найдите стороны и углы четы¬рехугольника с вершинами в середи¬нах сторон ромба, диагонали которого равны 6 и 10.
482.    Докажите, что медиана пря¬моугольного треугольника, проведен¬ная из вершины прямого угла, равна отрезку, соединяющему середины ка¬тетов.
483.    Высота равнобедренной трапе¬ции, проведенная из вершины мень¬шего основания, делит ее большее ос¬нование на отрезки, равные 4 и 8. Най¬дите основания трапеции.
484.    Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если высо¬та, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых на 5 боль¬ше другого.
485.    В равнобедренной трапеции острый угол равен 60°. Докажите, что меньшее основание равно разности большего основания и боковой стороны.
486.    Расстояния от концов диа¬метра окружности до некоторой каса¬тельной равны а и Ь. Найдите радиус окружности.
487.    Окружность касается всех сто¬рон равнобедренной трапеции. Дока¬жите, что боковая сторона трапеции равна средней линии.
488.    Пусть MKN — середины осно¬ваний трапеции. Докажите, что если прямая MN образует равные углы с боковыми сторонами трапеции, то эта трапеция равнобочная.
489.    Пусть в трапецию вписана ок¬ружность (рис. 20). Докажите, что от¬резки, соединяющие центр этой ок¬ружности с концами боковой стороны, взаимно перпендикулярны.
 

490.    Через вершины А, В и С тре¬угольника АВС проведены прямые, параллельные противолежащим сто¬ронам. Эти прямые пересекаются в точках Сг, Aj и Вг. Докажите, что сто¬роны треугольника АВС являются сред¬ними линиями треугольника AJBJCJ.
491.    В треугольнике АВС биссект¬риса угла А пересекает сторону ВС в точке D; прямая, проведенная из точ¬ки D параллельно СА, пересекает АВ в точке Е; прямая, проведенная из Е па¬раллельно ВС, пересекает АС в F. До¬кажите, что ЕА = FC.
492.    В трапеции ABCD (AD — боль¬шее основание) диагональ АС перпен-дикулярна стороне CD и делит угол BAJD пополам; A CDA = 60°; периметр трапеции равен 2. Найдите AD.
493.    В равнобедренной трапеции высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.
494.    В четырехугольнике ABCD от¬резок, соединяющий середины сторон АВ и CD, равен 1. Прямые ВС и AD пер¬пендикулярны. Найдите длину отрез¬ка, соединяющего середины диагона¬лей АС и BD.
495.    Через точку на стороне четы¬рехугольника проведена прямая, па¬раллельная диагонали, до пересече¬ния с соседней стороной четырех¬угольника. Через полученную точку проведена прямая, параллельная дру¬гой диагонали, и т. д. Докажите, что пятая точка, полученная таким спосо¬бом, совпадает с исходной.
496.    Диагонали вписанного четы¬рехугольника взаимно перпендику¬лярны. Докажите, что расстояние от точки пересечения диагоналей до центра описанной окружности равно расстоянию между серединами диаго¬налей.
497.    Биссектриса угла параллело¬грамма делит сторону параллелограм¬ма на отрезки, равные а и ft. Найдите стороны параллелограмма.
498.    Треугольники АВС и АВ1С1 имеют общую медиану AM. Докажи¬те, что ВС1 = BjC.
499.    Докажите, что концы двух различных диаметров окружности яв¬ляются вершинами прямоугольника.
500.    Докажите, что около любого прямоугольника можно описать ок¬ружность. Где расположен ее центр?
501.    Около данной окружности опишите ромб с данным углом.
502.    Докажите, что отрезок, соеди¬няющий середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через его центр.
503.    Две медианы треугольника равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.
504.    Докажите, что углы при осно¬вании равнобедренной трапеции рав¬ны.
505.    Углы при одном из оснований трапеции равны. Докажите, что тра¬пеция равнобедренная.
506.    Высота равнобедренной трапе¬ции, опущенная из вершины меньше¬го основания, делит большее основа¬ние в отношении 1 : 3. Найдите отно¬шение оснований трапеции.
507.    Докажите равенство треуголь¬ников по стороне и медианам, прове¬денным к двум другим сторонам.
508.    Вершины параллелограмма AiB1C1D1 лежат на сторонах паралле¬лограмма ABCD (точка А1 лежит на стороне АВ, точка Вг — на стороне ВС и т. д.). Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают.
509.    Середины Е и Г параллельных сторон ВС и AD параллелограмма ABCD соединены прямыми с вершина¬ми D и В. Докажите, что эти прямые делят диагональ АС на три равные части.
510.    Постройте треугольник по се¬рединам трех его сторон.
511.    Меньшее основание равнобед¬ренной трапеции равно боковой сторо¬не, а диагональ перпендикулярна бо¬ковой стороне. Найдите углы трапе¬ции.
512.    Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит ее в отношении 1 : 3 (рис. 21). Найдите длину диагонали, если известно, что точка ее пересече¬ния с другой диагональю удалена от большей стороны на расстояние, рав¬ное 2.
 

513.    Найдите отношение меньшего основания трапеции к большему, если известно, что углы при большем осно¬вании равны 90° и 60° и что в трапе¬цию можно вписать окружность.
514.    Один из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найдите меньшую бо¬ковую сторону трапеции, если ее сред¬няя линия равна 10, а одно из основа¬ний равно 8.
515.    В квадрат вписан прямоуголь¬ник так, что на каждой стороне квад¬рата находится одна вершина прямо¬угольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны этого прямоуголь¬ника, зная, что одна из них вдвое боль¬ше другой и что диагональ квадрата равна 12.
516.    Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Бис-сектрисы углов Аи В пересекают пря¬мую CD в точках М nN, причем MN = = 12. Найдите стороны параллело¬грамма.
517.    Две равные окружности с центрами Oj и Ог пересекаются в точ¬ках А и В. Отрезок OiOz пересекает эти окружности в точках М и N. Докажи¬те, что четырехугольники ОгА02В и AMBN — ромбы.
518.    Острый угол А ромба ABCD ра¬вен 45°, проекция стороны АВ на сто¬рону AD равна 12. Найдите расстояние от центра ромба до стороны CD.
519.    Расстояние между серединами взаимно перпендикулярных хорд АС и ВС некоторой окружности равно 10. Найдите диаметр окружности.
520.    Расстояние от середины хорды ВС до диаметра АВ равно 1. Найдите хорду АС, если А ВАС = 30°.
521.    Биссектрисы углов при одном основании трапеции пересекаются на втором ее основании. Докажите, что второе основание равно сумме боко¬вых сторон.
522.    Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое мень¬ше другого. Докажите, что вторая бо¬ковая сторона перпендикулярна од¬ной из диагоналей трапеции.
523.    Постройте трапецию по осно¬ваниям и боковым сторонам.
524.    Докажите, что середины двух противоположных сторон любого че-тырехугольника и середины его диаго¬налей являются вершинами паралле¬лограмма.
525.    В трапеции ABCD известно, что АВ = а, ВС = b (а * b). Определите, что пересекает биссектриса угла А: ос¬нование ВС или боковую сторону CD.
526.    Биссектрисы углов, прилежа¬щих к одной из боковых сторон трапе¬ции, 

пересекаются под прямым углом. Докажите, что точка их пересечения принадлежит средней линии трапе¬ции.
527.    Пусть О, Q, М и Н соответ¬ственно центры описанной, вписанной окружности, точка пересечения меди¬ан и точка пересечения высот тре¬угольника АВС. Докажите, что если две любые из этих точек совпадают, то этот треугольник — равносторонний.
528.    Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. Где рас¬положен ее центр?
529.    Квадрат вписан в равнобедрен¬ный прямоугольный треугольник, причем одна вершина квадрата распо¬ложена на гипотенузе, противополож¬ная ей вершина совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а осталь¬ные лежат на катетах. Найдите сторо¬ну квадрата, если катет треугольника равен а.
530.    Две вершины квадрата распо¬ложены на гипотенузе равнобедренно¬го прямоугольного треугольника, а две другие — на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна а.
531.    На каждой стороне квадрата взяли по одной точке. При этом оказа¬лось, что эти точки являются верши¬нами прямоугольника, стороны кото¬рого параллельны диагоналям квадра¬та. Найдите периметр прямоугольни¬ка, если диагональ квадрата равна 6.
532.    Найдите расстояние от центра ромба до его стороны, если острый угол ромба равен 30°, а сторона равна 4.
533°. На сторонах АВ и CD прямо¬угольника ABCD взяты точки К и М так, что АКСМ — ромб. Диагональ АС составляет со стороной АВ угол 30°. Найдите сторону ромба, если наиболь¬шая сторона прямоугольника ABCD равна 3.
534.    Через середину диагонали КМ прямоугольника KLMN перпендику¬лярно этой диагонали проведена пря¬мая, пересекающая стороны KL и MN в точках А и В соответственно. Извест¬но, что АВ = ВМ = 6. Найдите большую сторону прямоугольника.
535.    Прямая, проходящая через центр прямоугольника перпендику¬лярно диагонали, пересекает большую сторону прямоугольника под углом, равным 60°. Отрезок этой прямой, за¬ключенный внутри прямоугольника, равен 10. Найдите большую сторону прямоугольника.
536.    Через произвольную точку Р внутри квадрата проведены две взаим¬но перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противопо¬ложные стороны квадрата (рис. 22). Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные внутри квадрата, равны.
 

537.    Докажите, что отрезок, соеди¬няющий середины сторон АВ и АС тре-угольника АВС, и медиана, проведен¬ная из вершины А, делят друг друга пополам.
538.    Высоты остроугольного тре¬угольника АВС, проведенные из вер¬шин В и С, равны 7 и 9, а медиана AM равна 8. Точки Р и Q симметричны точке М относительно сторон АС и АВ соответственно. Найдите периметр че¬тырехугольника APMQ.
539.    Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что средняя линия трапе¬ции равна высоте.
540.    Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна 5. Найдите отрезок, соединяю¬щий середины оснований.
541.    Диагональ равнобедренной трапеции равна 10 и образует угол, равный 60°, с основанием трапеции. Найдите среднюю линию трапеции.
542.    Меньшая боковая сторона пря¬моугольной трапеции равна 3, а боль¬шая образует угол, равный 30°, с од¬ним из оснований. Найдите это основа¬ние, если на нем лежит точка пересе¬чения биссектрис углов при другом ос¬новании.
543.    В трапеции ABCD меньшее ос¬нование ВС равно 3, боковые стороны АВ и CD равны по 3. Диагонали трапе¬ции образуют между собой угол в 60°. Найдите основание AD.
544.    Прямая, проходящая через точку Oj, касается окружности с цент¬ром 02 в точке М, а прямая, проходя¬щая через точку 02, касается окруж¬ности с центром 01 в точке N. Прямые ОгМ и 02N пересекаются в точке Р, а прямые OxN и OzN — в точке Q. Дока¬жите, что PQ _1_ 0г02.
545.    Медианы ВВ1 и СС1 треуголь¬ника АВС пересекаются в точке М. Из¬вестно, что AM _1_ В1С1. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
546.    Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника (не являюще¬гося квадратом) своим пересечением образуют квадрат.
547.    Внутри произвольного угла взята точка М. Проведите через точку М прямую так, чтобы отрезок ее, за¬ключенный между сторонами угла, делился точкой М пополам.
548.    Докажите, что если отрезки, соединяющие середины противопо¬ложных сторон четырехугольника:
а)    равны, то диагонали четырех¬угольника перпендикулярны;
б)    перпендикулярны, то диагонали четырехугольника равны.
549.    Пусть Р и Q — середины сто¬рон АВ и CD четырехугольника ABCD, М и N — середины диагоналей АС и
BD.    Докажите, что если MN и PQ пер¬пендикулярны, то ВС = AD.
550.    На сторонах АВ, ВС, CD, DA квадрата ABCD взяты соответственно точки N, К, L, М, делящие эти сторо¬ны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN также квадрат.
551.    Середины сторон выпуклого пятиугольника последовательно со¬единены отрезками. Найдите пери¬метр полученного пятиугольника, ес¬ли сумма всех диагоналей данного рав¬на а.
552.    Докажите, что диагонали рав¬нобедренной трапеции равны.
553.    Диагонали трапеции равны. Докажите, что трапеция равнобедрен¬ная.
554.    Докажите, что сумма противо¬положных углов равнобедренной тра¬пеции равна 180°. Верно ли обратное: если сумма противоположных углов трапеции равна 180°, то она равнобед¬ренная?
555.    Точки М и N — середины бо¬ковых сторон АВ и CD трапеции ABCD. Могут ли прямые BN и DM быть параллельными?
556.    Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Одна из них равна 6, а вторая образует с основанием угол, равный 30°. Найдите среднюю линию трапеции.
557.    Точка М — середина отрезка АВ. Точки А1? М1 иВх — проекции то¬чек А, М и В на некоторую прямую. Докажите, что М j — середина отрезка А^.

558.    На прямую, проходящую че¬рез вершину А треугольника АВС, опущены перпендикуляры BD и СЕ (рис. 23). Докажите, что середина сто¬роны ВС равноудалена от точек D и Е.
 

559.    В ромбе ABCD угол А равен 60°. Точки М и N лежат на сторонах CD и AD соответственно. Докажите, что если один из углов треугольника BMN равен 60°, то и остальные тоже равны по 60°.
560.    Диагонали выпуклого четы¬рехугольника делят его на четыре тре¬угольника. Известно, что любые два противоположных треугольника по¬добны, но не все они равны. Верно ли, что этот четырехугольник является равнобочной трапецией?
561.    Основания трапеции равны а и b (а > Ь). Найдите отрезок, соединяю¬щий середины диагоналей трапеции.
562.    Сумма углов при одном из ос¬нований трапеции равна 90°. Докажи¬те, что отрезок, соединяющий середи¬ны оснований трапеции, равен их по¬луразности.
563.    Найдите отношение основа¬ний трапеции, если известно, что ее средняя линия делится диагоналями на три равные части.
564.    Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Дока¬жите, что точки пересечения биссект¬рис каждого из треугольников АВО, ВСО, CDO и DAO являются вершина¬ми ромба.
565.    На сторонах АВ, ВС, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соот¬ветственно точки М, N, К, L, делящие эти стороны в одном и том же отноше¬нии (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN — параллело¬грамм, причем его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.
566.    Через центр параллелограмма ABCD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны АВ и CD соот¬ветственно в точках М и К, вторая — стороны ВС YLAD соответственно в точ¬ках N и L. Докажите, что четырех¬угольник MNKL — параллелограмм.
567.    Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через вер¬шину В и середину стороны ВС. Най¬дите углы параллелограмма.
568.    Окружность проходит через середины гипотенузы АВ и катета ВС прямоугольного треугольника АВС и касается катета АС. В каком отноше¬нии точка касания делит катет АС?
569.    Точки М и N — середины со¬седних сторон ВС и CD параллелограм¬ма ABCD. Докажите, что прямые DM и BN пересекаются на диагонали АС.
570.    Точки М и N — середины со¬седних сторон ВС и CD параллело¬грамма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.
571.    Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°, большее основа¬ние равно 12. Найдите отрезок, соеди¬няющий середины диагоналей, если известно, что меньшая диагональ тра¬пеции равна ее большему основанию.
572.    Две окружности касаются внешним образом в точке К. Одна пря¬мая касается этих окружностей в раз¬личных точках А и В, а вторая — соот¬ветственно в различных точках С и О. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку К, пересека¬ется с этими прямыми в точках MYLN. Найдите MN, если АС = a, BD = Ь.
573.    Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведен¬ной к третьей.
574.    Стороны прямоугольника рав¬ны 1 и 3. Найдите диагонали четырех-угольника, образованного биссектри¬сами внутренних углов.
575.    Постройте трапецию по осно¬ваниям и диагоналям.
576.    Большее основание трапеции равно 24. Найдите ее меньшее основа¬ние, зная, что расстояние между сере¬динами ее диагоналей равно 4.
577.    Дана трапеция ABCD с основа¬нием AD. Биссектрисы внешних углов при вершинах А и В пересекаются в точке Р, а при вершинах С и В — в точ¬ке Q. Докажите, что длина отрезка PQ равна полупериметру трапеции.
578.    В прямоугольнике ABCD точ¬ка М — середина стороны ВС, точка N — середина стороны CD, Р — точка пересечения отрезков DM и BN. Дока¬жите, что угол MAN равен углу ВРМ.
579.    Из вершины А треугольника АВС опушены перпендикуляры AM и АР на биссектрисы внешних углов В и С. Докажите, что отрезок РМ равен по¬ловине периметра треугольника АВС.
580.    Через точку на стороне тре¬угольника проведена прямая, парал¬лельная другой стороне, до пересече¬ния с третьей стороной треугольника. Через полученную точку проведена прямая, параллельная первой стороне треугольника, и т. д. Докажите, что:
а)    если исходная точка совпадает с серединой стороны треугольника, то четвертая точка, полученная таким способом, совпадет с исходной;
б)    если исходная точка отлична от середины стороны треугольника, то седьмая точка, полученная таким спо¬собом, совпадет с исходной.
581.    Диагонали ромба ABCD пере¬секаются в точке О. Докажите, что точки пересечения биссектрис каждо¬го из треугольников ABO, ВСО, CDO и DAO являются вершинами квадрата.
582.    Вершины М и N равносторон¬него треугольника BMN лежат соот¬ветственно на сторонах AD и CD квад¬рата ABCD. Докажите, что MN || АС.
583.    Прямая имеет с параллело¬граммом ABCD единственную общую точку В. Вершины А и С удалены от этой прямой на расстояния, равные а и Ъ. На какое расстояние удалена от этой прямой вершина £>?
584.    Докажите, что середины сто¬рон равнобочной трапеции служат вершинами ромба.
585.    Через точку, расположенную внутри треугольника, проведены пря¬мые, параллельные его сторонам (рис. 24). Эти прямые разбивают тре¬
 

угольник на три треугольника и три четырехугольника. Пусть а, b и с — параллельные высоты этих трех тре¬угольников. Найдите параллельную им высоту исходного треугольника.
586.    Докажите, что сумма расстоя¬ний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до бо¬ковых сторон постоянна.
587.    Через каждую вершину парал¬лелограмма проведена прямая, пер-пендикулярная диагонали, не прохо¬дящей через эту вершину. Докажите, что диагонали четырехугольника, об¬разованного пересечениями четырех проведенных прямых, перпендику¬лярны сторонам параллелограмма.
588.    Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведе¬ны диаметры АС и AD этих окружнос¬тей. Найдите сумму отрезков ВС и BD, если расстояние между центрами ок¬ружностей равно а, а центры окруж¬ностей лежат по разные стороны от об¬щей хорды АВ.
589.    Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведе¬ны диаметры АС и AD этих окружнос¬тей. Найдите модуль разности отрез¬ков ВС и BD, если расстояние между центрами окружностей равно а, а центры окружностей лежат по одну сторону от общей хорды АВ.
590.    Сторона треугольника равна а. Найдите отрезок, соединяющий сере¬дины медиан, проведенных к двум другим сторонам.
591.    Найдите геометрическое место середин всех отрезков, один конец ко¬торых лежит на данной прямой, а вто¬рой совпадает с данной точкой, не ле¬жащей на этой прямой.
592.    Докажите, что если отрезок, соединяющий середины оснований тра¬пеции, равен ее средней линии, то диа¬гонали трапеции перпендикулярны.
593.    В выпуклом четырехугольни¬ке ABCD отрезок, соединяющий сере¬дины диагоналей, равен отрезку, со¬единяющему середины сторон AD и
ВС. Найдите угол, образованный про¬должением сторон АВ и CD.
594.    Средняя линия трапеции рав¬на 5, а отрезок, соединяющий середи¬ны оснований, равен 3. Углы при боль¬шем основании трапеции равны 30° и 60°. Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции.
595.    Дан четырехугольник ABCD, в котором ВС || AD. Точки КшМ — сере¬дины сторон CD и AD соответственно. Известно, что отрезки АК и СМ пересе¬каются на диагонали BD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
596.    Постройте общие касательные к двум данным окружностям.
597.    Точки А и Б высекают на ок¬ружности с центром О дугу величиной 60°. На этой дуге взята точка М. Дока¬жите, что прямая, проходящая через середины отрезков МА и ОБ, перпен¬дикулярна прямой, проходящей через середины отрезков МВ и ОА.
598.    Внутри треугольника АВС взя¬та произвольная точка О и построены точки А1? В1 и Су, симметричные точке О относительно середин сторон ВС, СА и АВ. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны и прямые ААг, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.
599.    От параллелограмма с по¬мощью прямой, пересекающей две его противоположные стороны, отрезали ромб. От оставшегося параллелограм¬ма таким же образом вновь отрезали ромб. И от этого вновь оставшегося па¬раллелограмма опять отрезали ромб. В результате остался параллелограмм со сторонами 1 и 2. Найдите стороны исходного параллелограмма.
600.    Докажите, что биссектрисы внешних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоуголь¬ник, диагональ которого равна сумме двух 

соседних сторон параллелограм¬ма.
601.    Докажите, что если радиус вневписанной окружности равен по¬лупериметру треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.
602.    В четырехугольнике ABCD точка Е — середина АВ, F — середина CD. Докажите, что середины отрезков AF, СЕ, BF и DE являются вершинами параллелограмма.
603.    Противоположные стороны шестиугольника попарно равны и па-раллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие противоположные вер¬шины, пересекаются в одной точке.
604.    На сторонах АВ, ВС, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соот¬ветственно точки М, N, К, L, делящие эти стороны в одном и том же отноше¬нии (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что при пересечении пря¬мых AN, ВК, CL и DM получится па¬раллелограмм, причем его центр сов¬падает с центром параллелограмма ABCD.
605.    ВВг и CCj — медианы тре¬угольника АВС. На продолжении ме¬дианы ССг за точку Cj отложен отре¬зок С±С2, равный i CCj. Оказалось, что
О
С2В1 = ABj. Докажите, что медианы ССу и ВВу взаимно перпендикулярны.
606.    Из вершины А треугольника АВС опущены перпендикуляры AM и АР на биссектрисы внешних углов В и С. Найдите отрезок РМ, если пери¬метр треугольника АВС равен 10.
607.    Диагональ АС параллелограм¬ма ABCD втрое больше диагонали BD и пересекается с ней под углом в 60°. Найдите отрезок, соединяющий вер¬шину D с серединой стороны ВС, если АС = 24, а угол В DC — тупой.
608.    Докажите, что отрезок, соеди¬няющий середины оснований трапе¬ции, меньше полусуммы ее боковых сторон.
609.    Дана трапеция ABCD с основа¬ниями AD и ВС. Биссектрисы углов при вершинах А и В пересекаются в точке М, а биссектрисы углов при вер¬шинах С и D — в точке N. Найдите MN, если известно, что АВ = а, ВС = Ь, CD = с и AD — d.
610.    Одна из боковых сторон трапе¬ции (рис. 25) равна сумме оснований. Докажите, что биссектрисы углов при этой стороне пересекаются на другой боковой стороне.
 

611.    Высоты BBj и CCj остроуголь¬ного треугольника АВС пересекаются в точке Н, причем СН = СгН и ВН = = 2В1Н. Найдите угол ВАС.
612.    Докажите равенство треуголь¬ников по трем медианам.
613.    Через середину В отрезка MN, концы которого лежат на боковых сто¬ронах равнобедренного треугольника, проведена прямая, параллельная ос¬нованию треугольника и пересекаю¬щая боковые стороны в точках К и L. Докажите, что проекция отрезка MN на основание треугольника равна от¬резку KL.
614.    Средняя линия трапеции рав¬на 4, углы при одном из оснований равны 40° и 50°. Найдите основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины этих оснований, равен 1.
615.    Пусть В и С — две точки на сто¬ронах угла с вершиной А. Окружности с диаметрамиАС и АВ вторично пересе¬каются в точке D. Прямая АВ вторично пересекает окружность с диаметром АС в точке К, а прямая АС вторично пе¬ресекает окружность с диаметром АВ в точке М. Докажите, что прямые ВМ, СК иАВ пересекаются в одной точке.
616.    На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС взяты соответственно точки М и N так, что ВМ = CN. Докажите, что сере¬дина отрезка MN лежит на средней ли¬нии треугольника АВС, параллельной его основанию.
617.    Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма при пересечении образуют прямо¬угольник, диагональ которого равна разности двух соседних сторон парал¬лелограмма.
618.    АВ — диаметр окружности, CD — хорда этой окружности. Перпен¬дикуляры к хорде, проведенные через ее концы С и О, пересекают прямую АВ в точках К и М соответственно. До¬кажите, что АК = ВМ.
619.    Пусть М — основание перпен¬дикуляра, опущенного из вершины D параллелограмма ABCD на диагональ АС. Докажите, что перпендикуляры к прямым АВ и ВС, проведенные через точки А и С соответственно, пересекут¬ся на прямой DM.
620.    Сторона АВ треугольникаАВС больше стороны АС, а А А = 40°. Точка D лежит на стороне АВ, причем BD = = АС. Точки MVLN — середины отрез¬ков ВС и AD соответственно. Найдите угол BNM.
621.    Востроугольном треугольнике АВС проведены высоты BD и СЕ. Из вершин В и С на прямую ED опущены перпендикуляры BF и CG. Докажите, что EF = DG.
622.    На сторонах ВС и CD паралле¬лограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники ВСК и DCL. Докажите, что треуголь¬ник AKL — правильный.
623.    Постройте треугольник по трем медианам.
624.    В треугольнике АВС проведе¬ны медиана ВМ и высота АН. Извест¬но, что ВМ = АН. Найдите угол МВС.
625.    Четырехугольник ABCD, диа¬гонали которого взаимно перпендику¬лярны, вписан в окружность с цент¬ром О. Найдите расстояние от точки О до стороны АВ, если известно, что CD = о.
626.    Точка М — середина стороны CD параллелограмма ABCD, точка Н — проекция вершины В на прямую AM. Докажите, что треугольник СВН — равнобедренный.
627.    Одна из сторон вписанного че¬тырехугольника является диаметром окружности. Докажите, что проекции сторон, прилегающих к этой стороне, на четвертую сторону (на прямую, за¬дающую четвертую сторону) равны между собой.
628.    На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажи¬те, что их центры сами образуют квад¬рат.
629.    Постройте пятиугольник по серединам его сторон.
630.    Докажите, что расстояние от вершины треугольника до точки пере¬сечения высот вдвое больше, чем рас¬стояние от центра описанного круга до противоположной стороны.
631.    Два равносторонних треуголь¬ника АВС и CDE расположены по одну сторону от прямой АЕ и имеют единст¬венную общую точку С (рис. 26). Пусть М, N и К — середины отрезков BD, АС и СЕ соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
 

632.    Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD, Р — проекция вершины С на прямую АВ, М —середина стороны AD. Докажите, что A DMP = 3 ■ А АРМ.
633.    Внутри треугольника АВС взя¬та точкаР так, что А РАС = А РВС. Из точки Р на стороны ВС и СА опущены перпендикуляры РМ и РК соответ¬ственно. Пусть D — середина стороны АВ. Докажите, что DK = DM.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Теги: параллелограмм | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar