Тема №5121 Задачи по геометрии перпиндикуляр
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии перпиндикуляр из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии перпиндикуляр, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

 

3760.    Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
3761.    Боковые ребра пирамиды равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.
3762.    Докажите, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна некоторой плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости.
3763.    Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
3764.    Докажите, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной прямой.
3765.    Докажите, что две различные плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
3766.    Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.
3767.    Докажите, что через данную точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости.
3768.    (Теорема о трех перпендикулярах.) Докажите, что прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ортогональной проекции этой наклонной на данную плоскость.
3769.    Докажите, что через одну из двух перпендикулярных скрещивающихся прямых можно провести единственную плоскость, перпендикулярную другой.
3770.    (Необходимое и достаточное условия перпендикулярности плоскостей.) Докажите, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой.
3771.    Точка А лежит в плоскости а, ортогональная проекция отрезка АВ на эту плоскость равна 1, АВ = 2. Найдите расстояние от точки В до плоскости а.
3772.    Верно ли утверждение, что две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны?
3773.    Найдите диагональ единичного куба.
3774.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным а. Докажите, что АА1 и ВС — скрещивающиеся прямые, постройте их общий перпендикуляр и найдите расстояние между ними.
3775.    Пусть А — некоторая точка пространства, В — ортогональная проекция точки А на плоскость а, I — некоторая прямая этой плоскости. Докажите, что ортогональные проекции точек А и В на эту прямую совпадают.
3776.    Точка М находится на расстоянии а от плоскости а и на расстоянии Ъ от некоторой прямой т этой плоскости. Пусть МХ — ортогональная проекция точки М на плоскость а. Найдите расстояние от точки Мх до прямой т.
3777.    В пирамиде ABCD ребра AD, BD и CD равны 5, расстояние от точки D до плоскости АВС равно 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
3778.    Найдите расстояние от центра грани единичного куба до вершин противоположной грани.
3779.    Высота прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу, равна 9,6. Из вершины С прямого угла восставлен к плоскости треугольника АВС перпендикуляр СМ, причем СМ = 28. Найдите расстояние от точке М до гипотенузы А_В.
3780.    Точка М равноудалена от вершин треугольника АВС. Докажите, что ортогональная проекция точки М на плоскость АВС есть центр описанной около треугольника АВС окружности.
3781.    Докажите, что в кубе АВСВА1В1С1В1 прямые АСХ и BD пер-пендикулярны (рис. 156).
 

3782.    Все боковые ребра пирамиды равны Ь, а высота равна h. Найдите радиус описанной около основания окружности.
3783.    Даны две неперпендикулярные скрещивающиеся прямые. Можно ли через одну из них провести плоскость, перпендикулярную другой?
3784.    Известно, что некоторая точка М в пространстве равноудалена от вершин плоского многоугольника. Докажите, что этот многоугольник является вписанным, причем центр его описанной окружности есть ортогональная проекция точки М на плоскость многоугольника.
3785.    Дан куб ABCDA1BlC1D1 с ребром, равным а. Найдите площадь сечения этого куба плоскостью, проходящей через вершины С, B1nD1.
3786.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным а. Найдите площадь сечения этого куба плоскостью, проходящей через вершину С и середины ребер
3787.    В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1CiD1 диагоналиАС и BD основания ABCD пересекаются в точке М, причем Z. АМВ = а. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, еслиB1M=b, Z. ВМВ1 = р.
3788.    Известно, что некоторая точка М равноудалена от двух пересекающихся прямых т и га. Докажите, что ортогональная проекция точки М на плоскость прямых /тайга лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми тип.
3789.    Прямая I проходит через точку, лежащую на окружности с центром О и радиусом г. Известно, что ортогональной проекцией прямой I на плоскость окружности является прямая, касающаяся этой окружности. Найдите расстояние от точки О до прямой I.
3790.    Все попарные расстояния между четырьмя точками в пространстве равны 1. Найдите расстояние от одной из этих точек до плоскости, определяемой тремя другими.
3791.    Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13, а диагонали боковых граней равны 4./10 и 3 № . Найдите его объем.
3792.    Дан куб АВСХ)А1В1С1Х>1 с ребром, равным а. Найдите расстояние между прямыми AAj и BD^ и постройте их общий перпендикуляр.
3793.    Верно ли, что в пространстве углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны или составляют в сумме 180°?
3794.    Найдите расстояние между серединами двух скрещивающихся ребер куба, полная поверхность которого равна 36.
3795.    В треугольной пирамиде ABCD найдите угол между прямыми AD и ВС, если АВ = АС и A DAB = = Z. DAC.
3796.    В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами а и Ъ. Боковые ребра равны I. Найдите высоту пирамиды.
3797.    Диагонали трех различных граней прямоугольного параллелепипеда равны /га, га и р. Найдите диагональ параллелепипеда.
3798.    Через диагональ куба, ребро которого равно а, проведена плоскость, параллельная диагонали одной из граней куба. Найдите площадь полученного сечения.
3799.    Докажите, что прямая и плоскость параллельны, если они пер-пендикулярны одной и той же прямой.
3800.    Через каждую вершину единичного куба проведены плоскости, перпендикулярные одной и той же диагонали куба. На какие части делится диагональ этими плоскостями?
3801.    Точки А и В лежат в плоскости а, М — такая точка в пространстве, для которой AM = 2, ВМ = 5 и ортогональная проекция на плоскость а отрезка ВМ в три раза больше ортогональной проекции на эту плоскость отрезка AM. Найдите расстояние от точки М до плоскости а.
3802.    В треугольной пирамиде ABCD известно, что АВ = 2, ВС = 3,
BD = 4, AD = 2^5, CD = 5 (рис. 157). Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости АВС.
D
 

3803.    Расстояния от концов отрезка до плоскости равны 1 и 3. Чему может быть равно расстояние от середины этого отрезка до той же плоскости?
3804.    Пусть А, В, С и D — четыре точки в пространстве. Докажите, что если АВ = ВС и CD = DA, то прямые АС и BD перпендикулярны.
3805.    В пирамиде ABCD медиана, проведенная к стороне AD треугольника ABD, равна половине AD, а медиана, проведенная к стороне CD треугольника BCD, равна половине CD. Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости АВС.
3806.    Докажите, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек пространства, есть плоскость, перпендикулярная отрезку с концами в этих точках и проходящая через середину этого отрезка.
3807.    Ортогональные проекции отрезка на три попарно перпендикулярные прямые равны 1, 2 и 3. Найдите длину этого отрезка.
3808.    Найдите расстояние между серединами непараллельных сторон разных оснований правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 2.
3809.    Пусть К, L и М — середины ребер соответственно AD, А1В1 и ССг прямоугольного параллелепипеда ABCHAjBjCiHj, в котором АВ = а,
AAj = b, AD = с. Найдите отношение суммы квадратов сторон треугольника KLM к квадрату диагонали параллелепипеда.
3810.    Даны скрещивающиеся прямые а и b и плоскость а, перпендикулярная прямой а и пересекающая ее в точке А. Докажите что расстояние между прямыми а и б равно расстоянию от точки А до ортогональной проекции Ь' прямой Ь на плоскость a, a угол между прямыми bub' дополняет до 90° угол между прямыми а и Ъ.
3811.    В правильной шестиугольной пирамиде, у которой боковые стороны — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Найдите площадь построенного сечения, если сто-рона основания равна а.
3812.    Даны три попарно перпендикулярные прямые. Четвертая прямая образует с данными прямыми углы а, (3, у соответственно. Докажите, что
cos2 а + cos2 Р + cos2 у = 1.
3813.    Докажите, что прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, перпендикулярна второй плоскости.
3814.    Через точку, лежащую в одной из двух перпендикулярных плоскостей, проведена прямая, перпендикулярная второй плоскости. Докажите, что эта прямая лежит в первой плоскости.
3815.    Высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения высот треугольника основания. Докажите, что противоположные ребра пирамиды попарно перпендикулярны.
3816.    Верно ли, что высоты любого тетраэдра пересекаются в одной точке?
3817.    Высоты, проведенные из вершин В и С тетраэдра ABCD, пересекаются. Докажите, что AD JL ВС.
3818.    Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны а, b и с. Найдите площадь его полной поверхности.
3819.    Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпен-дикулярной основанию и делящей две стороны основания пополам. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.
3820.    Дан куб ABCDAlBiClD1 с ребром а. Пусть М — середина ребра D1C1. Найдите периметр треугольника AXDM, а также расстояние от вершины Dx до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.
3821.    Можно ли расположить в пространстве четыре попарно перпендикулярные прямые?
3822.    Точка М находится на расстояниях, равных 5 и 4, от двух параллельных прямых т и п и на расстоянии, равном 3, от плоскости, проходящей через эти прямые. Найдите расстояние между прямыми тип.
3823.    Все ребра треугольной пирамиды равны между собой. Найдите расстояние между медианой одной из ее граней и скрещивающимся с этой медианой ребром пирамиды.
3824.    Все плоские углы при вершине треугольной пирамиды — прямые. Докажите, что ортогональная проекция этой вершины на плоскость основания совпадает с точкой пересечения высот основания.
3825.    Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.
3826.    Ребра прямоугольного параллелепипеда равныа,Ьис. Найдите углы между его диагоналями.
3827.    Ребра прямоугольного параллелепипеда равны а, Ь и с. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и скрещивающейся с ней диагональю грани со сторонами aub.
3828.    Расстояния от трех вершин параллелепипеда до противоположных граней равны 2, 3 и 4. Полная поверхность параллелепипеда равна 36. Найдите площади граней параллелепипеда.

3829.    Каждое из боковых ребер пирамиды равно . Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите объем пирамиды.
3830.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным о. Найдите расстояние между прямыми BD1 и DC± и постройте их общий перпендикуляр.
3831.    Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две про-тивоположные боковые грани перпендикулярны плоскости основания?
3832.    Концы отрезка АВ принадлежат граням двугранного угла, равного ср. Расстояния AAj иВВХ от точек АиВ до ребра двугранного угла равны а и b соответственно, А1В1 = с. Найдите АВ.
3833.    Прямоугольник ABCD со сторонами aub перегнули по диагонали BD так, что плоскости треугольников BAD и BCD стали взаимно перпендикулярны. Найдите АС.
3834.    Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна о. Через одно из ребер основания проведена плоскость, перпендикулярная противоположному боковому ребру и делящая это ребро в отношении т : п, считая от вершины основания (рис. 158). Найдите полную поверхность пирамиды.
 

3835.    В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 проведено сечение плоскостью, проходящей через середину М ребра АВ, точку Вх и точку К, лежащую на ребре АС и делящую его в отношении АК : КС =1:3. Найдите площадь сечения, если известно, что сторона основания призмы равна а, а высота призмы равна 2а.
3836.    В прямом параллелепипеде АВСЛА1В1С1Н1 с основаниями ABCD и A1B1C1D1 известно, что АВ = 29, AD = = 36, BD = 25, ААХ = 48. Найдите площадь сечения АВ1С1В.
3837.    Пусть проекция вершины А параллелепипеда АВСПА1В1С1П1 на некоторую плоскость лежит внутри проекции на эту плоскость треугольника А1ВВ. Докажите, что площадь проекции параллелепипеда в два раза больше площади проекции треугольника AXBD.
3838.    Дан единичный куб ABCDA^^C^^, М — середина ВВХ. Найдите угол и расстояние между прямыми АВХ и СМ. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок СМ?
3839.    Дан единичный куб ABCBA1B1C1D1, М — середина ВВХ. Найдите угол и расстояние между прямыми АХВ и СМ. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок СМ?
3840.    Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1, М — середина BBj. Найдите угол и расстояние между прямыми ABj и DM. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок DM?
3841.    Через середину диагонали куба перпендикулярно ей проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно а.
3842.    Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 и 8. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите расстояние между этим ребром и 
скрещивающейся с ним диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.
3843.    Основанием пирамиды SABCD является равнобедренная трапеция ABCD, в которой АВ = ВС = а, AD = 2а. Плоскости граней SAB и SCD перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Найдите высоту пирамиды, если высота грани SAD, проведенная из вершины S, равна 2а.
3844.    Известно, что в тетраэдре ABCD ребро АВ перпендикулярно ребру CD, а ребро ВС перпендикулярно ребру AD. Докажите, что ребро АС перпендикулярно ребру BD.
3845.    Докажите, что противоположные ребра тетраэдра ABCD попарно перпендикулярны тогда и только тогда, когда
АВ2 + СВ2 = АС2 + BD2 = AD2 + ВС2.
3846.    Докажите, что все грани тетраэдра равны тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, попарно перпендикулярны.
3847.    Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник,
сторона которого равна 2 J3 . Основанием высоты, опущенной из вершины S, является точка О, лежащая внутри треугольникаАВС. Расстояния от точки О до сторон АВ, ВС и СА находятся в отношении 2:1:3. Площадь грани
J^ . Найдите высоту пирамиды.
3848.    Точка М равноудалена от трех прямых АВ, ВС и АС. Докажите, что ортогональная проекция точки М на плоскость АВС является центром вписанной окружности либо одной из вневписанных окружностей треугольникаАВС.
3849.    Докажите, что если прямая р образует равные углы с тремя попарно пересекающимися прямыми плоскости, то прямая р перпендикулярна этой плоскости.
3850.    В основании пирамиды PABCD лежит четырехугольник ABCD, в котором АВ = ВС = 5, AD - = DC = АС = 2. Известно также, что РВ = 6, а ребро PD является высотой пирамиды. Найдите PD.
3851.    Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1, М — середина ВВХ (рис. 159). Найдите угол и расстояние между прямыми АСг и DM. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок DM?
 

3852.    В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 1, М — середина АВ. Найдите угол и расстояние между прямыми AD и СМ. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок СМ?
3853.    В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 1, М — середина АВ, N — середина ВС. Найдите угол и расстояние между прямыми СМ и DN. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок DN?
3854.    В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 1, М — середина АВ, К — середина CD. Найдите угол и расстояние между прямыми СМ и ВК. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок СМ?
3855.    На продолжении ребра SE за точку Е правильной четырехугольной пирамиды SEFGH с вершиной S взята точка Q так, что EQ = 5. Найдите расстояние от точки Q до плоскости SFG, если GH = 20, SH = 15.
3856.    Докажите, что прямая пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей, перпендикулярна третьей плоскости.
3857.    В тетраэдре ABCD известно, что AD ± ВС. Докажите, что высоты тетраэдра, проведенные из вершин В и С, пересекаются, причем точка их пересечения лежит на общем перпендикуляре скрещивающихся прямых AD и ВС.
3858.    В пирамиде ABCD даны ребра: АВ = 7, ВС = 8, CD = 4. Найдите ребро DA, если известно, что прямые АС и BD перпендикулярны.
3859.    Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 2. Плоскость, параллельная этим ребрам, делит параллелепипед на два неравных, но подобных между собой параллелепипеда. Найдите ребро, не параллельное данным.
3860.    Дано изображение призмы АВСА1В1С1. Постройте изображение точки М пересечения плоскостей AjBC, ABjC и АВСг. Пусть высота призмы равна h. Найдите расстояние от точки М до оснований призмы.
3861.    Основание четырехугольной пирамиды PABCD — параллелограмм ABCD, М — основание перпендикуляра, опущенного из точки А на BD. Известно, что BP = DP. Докажите, что расстояние от точки М до середины ребра АР равно половине ребра СР.
3862.    Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна а, точки О и Oj — центры оснований АВС и А1В1С1 соответственно. Проекция отрезка АОг на прямую ВгО
равна — . Найдите высоту призмы.
6
3863.    Дан куб ABCDAiB1C1D1 с ребром, равным а. Найдите расстояние между прямыми AjZ) и П1С и постройте их общий перпендикуляр.
3864.    Через середину диагонали куба проведена плоскость, перпендикулярная этой диагонали. Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно а.
3865.    Основание пирамиды — треугольник состоронами 10,13,13. Площади боковых граней соответственно равны 150, 195, 195. Найдите высоту пирамиды.
3866.    В правильной четырехугольной призме проведены два параллельных сечения: одно проходит через середины двух смежных сторон основания и середину оси, другое делит ось в отношении 1:3. Зная, что площадь первого сечения равна 12, найдите площадь второго.
3867.    Расстояния от вершин треугольника до некоторой плоскости равны 5, 6 и 7. Найдите расстояние от точки пересечения медиан этого треугольника до той же плоскости. Укажите все возможности.
3868.    Пусть А, В, С и D — четыре точки в пространстве, для которых АВ2 + CD2 = ВС2 + AD2. Докажите, что прямые АС и BD перпендикулярны.
3869.    Докажите, что если ортогональная проекция одной из вершин треугольной пирамиды на плоскость противоположной грани совпадает с точкой пересечения высот этой грани, то это же будет иметь место для любой другой вершины пирамиды.
3870.    В четырехугольной пирамиде SABCD основание ABCD — прямоугольник, SA = 2, SB = 3, SC = 4. Найдите SD.
3871.    В треугольной пирамиде SBCD угол BCD — прямой, SB = 4, SC = 5, SD = 6. Найдите расстояние от вершины S до точки А такой, что ABCD — прямоугольник.
3872.    В равнобедренной трапеции PQRS (QR II PS) известны стороны QR = 1, PS = 4. Точки Р\ Q', R\ S' лежат по одну сторону от плоскости трапеции, причем прямые РР', QQ', RR', SS' перпендикулярны этой плоскости,
РР'= 1, QQ' = 7,RR' = 2,SS' = 1. Точки К' и L' лежат на прямых P'R' и Q'S' со-ответственно. Найдите отрезок K'L', если Р’К’-.К'К = 3:2, Q'L': L'S' = = 2:3.
3873.    Дана правильная треугольная пирамида SABC. Точка S — вершина пирамиды,АВ= 1,AS = 2,BM — медиана треугольника ABC, AD — биссектриса треугольника SAB. Найдите отрезок DM.
3874.    Дана правильная треугольная пирамида SABC. Точка S — вершина пирамиды, SA = 2^3 , ВС = 3, ВМ — медиана основания пирамиды, AR — высота треугольника ASB. Найдите отрезок MR.
3875.    Ребро куба ABCDAlB1CiD1 равно 12. Точка К лежит на продолжении ребра ВС на расстоянии, равном 9, от вершины С (рис. 160). Точка L ребра АВ удалена от А на расстояние, равное 5. Точка М делит отрезок А1С1 в отношении 1:3, считая от А1. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки К, L, М.

3876.    Докажите, что все грани тетраэдра равны тогда и только тогда, когда точка пересечения медиан и центр описанной сферы совпадают.
3877.    В треугольной пирамиде боковые грани DBC и DCA взаимно пер-пендикулярны и представляют собой равные равнобедренные треугольники с основанием CD = 2 и боковой стороной, равной У19 . Найдите ребро АВ, а также площади тех сечений пирамиды, которые являются квадратами.
3878.    Расстояния от подряд идущих вершин параллелограмма до некоторой плоскости равны 1, 3 и 5. Найдите расстояние от четвертой вершины до этой плоскости.
3879.    На ребрах А^ВЛ и А,В, единичного куба ABCDAlB^C1D1 взяты соответственно точки К и М так, что АХК=А1М — х. Найдите х, если известно, что при повороте куба вокруг диагонали АСХ на угол а точка К переходит в точку М.
3880.    Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным а. Точка Е — середина ребра AD. Вершины М и N правильного тетраэдра MNPQ лежат на прямой EDX, а вершины Р и Q — на прямой, проходящей через точку Ах и пересекающей прямую ВС в точке R. Найдите:
а)    отношение BR : ВС;
б)    расстояние между серединами отрезков MN и PQ.
3881.    Основание четырехугольной пирамиды — квадрат, а все боковые грани — прямоугольные треугольники, у которых вершины прямых углов лежат на основании пирамиды. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 1, а один из двугранных углов при вершине равен 120°.
3882.    На прямой I в пространстве последовательно расположены точки А, В и С так, что АВ = 18 и ВС = 14. Найдите расстояние между прямыми I и т, если расстояния от точек А, В и С до прямой т равны 12,15 и 20 соответственно.
3883.    Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Докажите, что тетраэдр ABCD ортоцентрический тогда и только тогда, когда две пары его противоположных ребер перпендикулярны, т. е. АВ _L CD и AD J_ ВС (в этом случае ребра третьей пары также перпендикулярны, т. е. АС _L BD).
3884.    Противоположные ребра тетраэдра попарно перпендикулярны. Докажите, что общие перпендикуляры каждой пары противоположных ребер пересекаются в одной точке.
3885.    Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре общие перпендикуляра каждой пары противоположных ребер пересекаются в одной точке.
3886.    Высота пирамиды ABCD, опущенная из вершины D, проходит через точку пересечения высот тре- угольникаАВС. Кроме того, известно, что DB = b, DC = с, Z. BDC = 90°. Найдите отношение площадей граней ADB и ADC.
3887.    В основании пирамиды SABCD лежит четырехугольник ABCD, у которого стороны АВ и ВС параллельны, сторона АВ равна 4, сторона ВС равна 8, а угол АВС равен 60°.
Ребро SB равно 8 J2.. Найдите объем пирамиды, если известно, что через прямые АВ и ВС можно провести две плоскости, не совпадающие с основанием пирамиды и пересекающие пирамиду по равным четырехугольникам.
3888.    Измерения прямоугольного параллелепипеда равны а,Ьмс(а<Ь< < с). Некоторое его сечение является квадратом. Найдите сторону этого квадрата.
3889.    Прямая I, параллельная диагонали АСг единичного куба АВСВА1В1С1В1, равноудалена от прямых ВВ, AJBJ и СВг. Найдите расстояния от прямой I до этих прямых.
3890.    Дана треугольная пирамида ABCD с вершиной В, грани которой АВВ и ACD — прямоугольные треугольники, ребро АВ перпендикулярно медиане АК основания АВС и АВ = = АК. Сечением пирамиды плоскостью, не проходящей через середины ребер АВ и ВС, является равнобедренная трапеция EFGH с основаниями EF и GH, причем точка Е делит ребро BD пополам, а точка G лежит на ребре АС и AG= 3GC. Найдите отношение площади трапеции EFGH к площади основания АВС.
3891.    Из точки вне окружности проведены касательные и секущая, причем точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой трапеции. Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что угол между касательными равен 60°.
3892.    Докажите, что все грани тетраэдра равны тогда и только тогда, когда площади всех граней равны.
3893.    Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна
а, апофема равна ^. Ортогональной
проекцией пирамиды на плоскость, перпендикулярную одной из боковых граней, является равнобедренная трапеция. Найдите площадь этой трапеции.
3894.    Прямоугольные проекции плоского четырехугольника на две взаимно перпендикулярные плоскости являются квадратами со сторонами, равными 2. Найдите периметр четырехугольника, зная, что одна из его
сторон равна J5.
3895.    В правильном тетраэдре точки М и N — середины противоположных ребер. Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость, параллельную прямой MN, является четырехугольник с площадью S, один из углов которого равен 60°. Найдите площадь поверхности тетраэдра.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Теги: перпиндикуляр | Рейтинг: 2.0/1


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar