Тема №5114 Задачи по геометрии площадь
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии площадь из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии площадь, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

1852.    Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
1853.    Докажите, что площадь треугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.
1854.    Докажите, что площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
1855.    Точка М делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 2:5. В каком отношении отрезок СМ делит площадь треугольника АВС?
1856.    Докажите, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.
1857.    В треугольнике основание на 4 меньше высоты, а площадь этого тре-угольника равна 96. Найдите основание и высоту треугольника.
1858.    Какую часть площади, считая от вершины, отсекает средняя линия треугольника?
1859.    Проекция диагонали равнобедренной трапеции на ее большее основание равна а, боковая сторона равна Ъ. Найдите площадь трапеции, если угол при ее меньшем основании равен 150°.
1860.    Разделите данный треугольник на три равновеликих треугольника прямыми, выходящими из одной вершины.
1861.    Через точки М и N, делящие сторону АВ треугольника АВС на три равные части, проведены прямые, параллельные стороне АС (рис. 74). Найдите площадь части треугольника, заключенной между этими прямыми, если площадь треугольника АВС равна 1.
В
 

1862.    Через точку Е, делящую сторону АВ треугольника АВС в отношении — , считая от вершины А, провели
п
прямую, параллельную ВС. В каком отношении находятся площадь отсеченного треугольника и площадь получившейся трапеции?
1863.    Три средних линии треугольника разбивают его на четыре части. Площадь одной из них равна S. Найдите площадь данного треугольника.
1864.    Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 10, а его площадь равна 12. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник.
1865.    Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12, а радиус вписанной окружности равен 5. Найдите площадь четырехугольника.
1866.    Каждая из трех окружностей радиуса г касается двух других. Найдите площадь треугольника, образованного общими внешними касательными к этим окружностям.
1867.    Каждая из трех окружностей радиуса г касается двух других. Найдите площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключенными между точками касания.
1868.    Дан треугольник со сторонами 12, 15, 18. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на большей стороне. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.
1869.    Катеты прямоугольного треугольника относятся, как 5 : 6, а гипотенуза равна 122. Найдите отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой.
1870.    В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен а, а площадь равна S. Найдите основание.
1871.    Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна h и вдвое больше своей проекции на боковую сторону. Найдите площадь треугольника.
1872.    Данный параллелограмм разделите на четыре равновеликих части прямыми, выходящими из одной вершины.
1873.    На сторонах АВ и АС треугольника АВС, площадь которого равна 36, взяты соответственно точки М и К так, что AM: МВ = 1:3, а АК : КС =2:1. Найдите площадь треугольника AM К.
1874.    На стороне АВ треугольника АВС взяты точки М и N так, что AM : MN : NB = 2:2:1, а на стороне АС — точка К так, что АК : КС =1:2. Найдите площадь треугольника MNK, если площадь треугольника АВС равна 1.
1875.    На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты точки Clt At HBJ соответственно, причем АСj : С^В = = ВАХ : АгС = СВ1 : В±А =2:1. Найдите площадь треугольника AXBJCJ, если площадь треугольника АВС равна 1.
1876.    Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.
1877.    Боковая сторона треугольника разделена в отношении 2:3:4, считая от вершины, и из точек деления проведены прямые, параллельные основанию. В каком отношении разделилась площадь треугольника?
1878.    Докажите, что если диагональ какого-нибудь четырехугольника делит другую диагональ пополам, то она делит пополам и площадь четырехугольника.
1879.    Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, делит ее на две равновеликие части.
1880°. В треугольнике АВС известно, что Z ВАС = а, А ВСА = у, АВ = с. Найдите площадь треугольника АВС.
1881.    Три окружности радиусов 6, 7 и 8 попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах этих окружностей.
1882.    Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса R в точках С и В так, что треугольник АВС — равносторонний. Найдите его площадь.
1883.    На катете АС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре по-строена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К. Найдите площадь треугольника СКВ, если катет АС равен b,a A АВС = р.
1884.    В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена высота CD. Угол ВАС равен а. Радиус окружности, проходящей через точки А, С и D, равен R. Найдите площадь треугольника АВС.
1885.    Из точкиА, находящейся вне круга радиуса г, проведены касательные к окружности АВ и АС (В и С — точки касания), причем А ВАС = а. Найдите площадь треугольника АВС.
1886.    В прямоугольном треугольнике АВС из вершины В прямого угла опущена высота BD на гипотенузу АС. Известно, что АВ = 13, BD = 12. Найдите площадь треугольника АВС.
1887.    В прямоугольном треугольнике АВС из вершины В прямого угла опущена высота В К на гипотенузу АС. Известно, что АК = 5, АВ = 13. Найдите площадь треугольника АВС.
1888.    На одной стороне угла взяты точки А и В, на другой — точки С и D. Найдите геометрическое место точек М плоскости таких, что треугольники АВМ и CDM равновелики.
1889.    Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона равны (рис. 75). Найдите среднюю линию трапеции, если высота трапеции равна 2, а боковая сторона равна 4.
 

1890.    Зная большее основание равнобедренной трапеции а, ее высоту h и угол а при основании, найдите площадь трапеции.
1891.    Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите основания трапеции.
1892.    Найдите площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51, а диагонали равны 40 и 74.
1893.    Из середины основания треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что площадь полученного таким образом параллелограмма равна половине площади треугольника.
1894.    Точка X расположена внутри параллелограмма ABCD. Докажите, что
S(ABX) + S(CDX) =
= S(BCX) + S(ADX).
1895.    Докажите, что если в трапеции середину М одной боковой стороны АВ соединить с концами другой боковой стороны CD, то площадь полученного треугольника CMD составит половину площади трапеции.
1896.    Середина одной из диагоналей выпуклого четырехугольника соединена с концами другой диагонали. Докажите, что полученная ломаная делит четырехугольник на две равновеликие части.
1897.    Площадь треугольника АВС равна S, А ВАС = а, АС = Ъ. Найдите ВС.
1898.    В треугольнике АВС высота АЛ равна h, А ВАС = а, А ВСА = у. Найдите площадь треугольника АВС.
1899.    Около трапеции ABCD с основаниями АВ и ВС описана окружность радиуса 6. Центр этой окружности лежит на основании АВ. Основание ВС равно 4. Найдите площадь трапеции.
1900.    В равнобедренную трапецию вписан круг. Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга равно отношению периметра трапеции к длине окружности.
1901.    На окружности радиуса г выбраны три точки таким образом, что окружность оказалась разделенной на три дуги, которые относятся, как 3:4: 5. В точках деления к окружности проведены касательные. Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными.
1902.    Хорды АВ и АС равны. Образованный ими вписанный в окружность угол равен 30°. Найдите отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга.
1903.    На основании равностороннего треугольника как на диаметре построена полуокружность, рассекающая треугольник на две части. Сторона треугольника равна а. Найдите площадь той части треугольника, которая лежит вне круга.
1904.    Прямая, проходящая через точки А и В окружности, рассекает ее на две дуги. Длины этих дуг относятся как 1: 11. В каком отношении хорда АВ делит площадь круга, ограниченного данной окружностью?
1905.    Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности, если известно, что хорда длиной 4 этой окружности удалена от ее центра на 5.
1906.    В равнобедренной трапеции PQRS диагонали перпендикулярны и в точке пересечения О делятся в отношении 1 : JS. Длина большего основания PS трапеции равна 1. Найдите площадь общей части кругов, описанных около треугольников PQO и POS.
1907.    В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. Найдите площадь трапеции.
1908.    В равнобедренную трапецию площадью 28 вписана окружность радиуса 2. Найдите боковую сторону трапеции.
1909.    Точки М и N расположены на стороне ВС треугольника АВС, а точка К — на стороне АС, причем ВМ : MN : NC = 1 : 1 : 2 и С К : АК = = 1:4. Известно, что площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь четырехугольника АМА АТ.
1910.    Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции, пересекаются под прямым углом (рис. 76). Найдите стороны трапеции, если ее площадь равна 12, а высота равна 2.
 

1911.    Основание равнобедренного треугольника равно Ъ, а высота, опущенная на боковую сторону, равна h. Найдите площадь треугольника.
1912°. В параллелограмме ABCD угол BAD равен 60°, а сторона АВ равна 3. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите площадь треугольника АВЕ.
1913°. В выпуклом четырехугольнике MNLQ углы при вершинах А и L — прямые, а угол при вершине М равен arctg 3. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что сторона NL вдвое больше стороны LQ и на 5 больше стороны AM.
1914°. Периметр ромба равен 48, а сумма длин диагоналей равна 26. Найдите площадь ромба.

1915.    В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) высота АЕ = 12, а основание АС =15. Найдите площадь треугольника.
1916.    В равнобедренном треугольнике АВС с тупым углом А, равным а, проведены высоты BN и СМ. Найдите отношение площади четырехугольника BMNC к площади треугольника АВС.
1917.    ДиагоналиАС и BD выпуклого четырехугольника ABCD, площадь которого равна 28, пересекаются в точке О. Через середины отрезков ВО и DO проведены прямые, параллельные диагонали АС. Найдите площадь части четырехугольника, заключенной между этими прямыми.
1918.    Площадь данного выпуклого четырехугольника равна S. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в серединах сторон данного.
1919°. Основание треугольника равно 36. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найдите отрезок этой прямой, заключенный между сторонами треугольника.
1920. На сторонах АВ, ВС и AD параллелограмма ABCD взяты соответственно точки К, М и L таким образом, что АйГ : КВ = 2 : 1, ВМ : МС = 1:1, AL : LD = 1:3. Найдите отношение площадей треугольников KBL и BML. 
1921°. Через каждую вершину выпуклого четырехугольника проведены прямые, параллельные диагонали, не проходящей через эту вершину. Докажите, что площадь полученного таким образом параллелограмма вдвое больше площади данного четырехугольника.
1922.    В четырехугольнике ABCD площади треугольников АВС и ACD равны. Докажите, что диагональ BD делится другой диагональю пополам.
1923.    Около окружности описана равнобедренная трапеция с боковой стороной I. Одно из оснований трапеции равно а. Найдите площадь трапеции.
1924.    Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при ее основании равен а.
1925.    В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса R. Верхнее основание трапеции в два раза меньше ее высоты. Найдите площадь трапеции.
1926.    Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S, а высота трапеции в два раза меньше ее боковой стороны. Найдите радиус круга.
1927.    В равнобедренную трапецию, боковая сторона которой равна 5, а одно из оснований 2, можно вписать окружность. Найдите высоту трапеции.
1928°. На катете ВС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в точке К. Найдите площадь треугольника ВСК, если ВС = а, СА = Ь.
1929. В окружность вписана трапеция ABCD, причем ее основания АВ = 1 и DC = 2. Обозначим точку пересечения диагоналей этой трапеции через F. Найдите отношение суммы площадей треугольников ABF и CDF к сумме площадей треугольников AFD и BCF.
1930°. Найдите площадь трапеции, если ее диагонали равны 17 и 113, а высота равна 15.
1931°. Стороны треугольника равны 10,17 и 21. Найдите высоту, проведенную к большей стороне.
1932.    В трапеции большее основание равно 5, одна из боковых сторон равна 3. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и основанием пополам. Найдите площадь трапеции.
1933.    Одно из оснований трапеции служит диаметром окружности радиуса R, а другое является хордой и отсекает от окружности дугу в а радиан (0 < а <п). Найдите площадь трапеции.
1934.    Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.
1935.    В прямоугольный равнобедренный треугольник АВС с прямым углом при вершине В вписан прямоугольник MNKB так, что две его стороны МВ и КВ лежат на катетах, а вершина N — на гипотенузе АС. В каком отношении точка N должна делить гипотенузу, чтобы площадь параллелограмма составляла 18% площади тре-угольника?
1936.    В треугольнике АВС даны три стороны: АВ = 26, ВС = 30 и АС = = 28. Найдите часть площади этого треугольника, заключенную между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В.
1937.    Данный параллелограмм разделите на три равновеликие части прямыми, выходящими из одной вершины.
1938.    Точки MHN принадлежат соответственно сторонам АВ и АС треугольника АВС или их продолжени-
ям, причем ^ = — • ТВ “ ^' Д°ка' АВ п АС q
жите, что площади треугольников AMN и АВС относятся как
п q
1939°. Докажите, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.
1940.    Пусть М, N, К и L — середины сторон CD, DA, АВ и ВС квадрата ABCD, площадь которого равна S (рис. 77). Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми AM, BN, СК и DL.
 

1941.    Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части, площади которых относятся как 2:1, считая от вершины. В каком отношении она делит боковые стороны?
1942.    Через точки RuE, принадлежащие сторонам АВ и AD параллело-
о
грамма ABCD и такие, что AR = ^ АВ,
О
АЕ = -AD, проведена прямая. Найди-
3
те отношение площади параллелограмма к площади полученного треугольника.
1943.    В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Известно, что BD = 4, DC = 6. Найдите площадь треугольника ADC.
1944.    Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника, разделил его на два четырехугольника, имеющих равные площади. Докажите, что эти стороны параллельны.
1945.    Боковые стороны трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника, причем наименьшая из площадей этих треугольников в 7 раз меньше среднего значения площади. Найдите основания трапеции.
1946.    Дан треугольник со сторонами 10, 24 и 26. Две меньшие стороны являются касательными к окружности, центр которой лежит на большей стороне. Найдите радиус окружности.
1947.    В треугольник со сторонами а и Ъ и углом между ними а вписан полукруг, диаметр которого лежит на третьей стороне. Найдите его радиус.
1948.    Пятиугольник ABCDE вписан в окружность единичного радиуса.
Известно, что АВ = J2., ААВЕ = 45°, A EBD = 30° и ВС = CD. Найдите площадь пятиугольника.
1949.    В прямоугольный треугольник АВС вписан прямоугольник DEKM вдвое меньшей площади. Вершины D и Е лежат на гипотенузе ВС, вершины К и М — на катетах. Найдите углы треугольника АВС, если сторона DE прямоугольника относится к стороне DM, как 5:2.
1950.    Дан равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС, А АВС = 120°. Расстояние от середины стороны АВ до основания АС равно а. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник АВС.
1951.    Боковые стороны трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей котоК
рых равно — • Найдите основания трапеции.
1952.    Центр О окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что ОС = 5.
1953.    В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса прямого угла В пересекает гипотенузу АС в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если расстояние от точки М до катета ВС равно 4, аАМ = 5.
1954.    В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса прямого угла В пересекает гипотенузу АС в точке М. Найдите расстояние от точки М до катета ВС, если катет АВ равен 5, а катет ВС равен 8.
1955.    Прямая делит длину дуги окружности в отношении 1 : 3. В каком отношении делит она площадь круга?
1956.    Даны две концентрические окружности. Касательная к меньшей окружности делит длину дуги большей окружности в отношении 1:5. Найдите отношение площадей кругов, ограниченных этими окружностями.
1957.    Дан ромб с острым углом а. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?
1958.    В равнобедренной трапеции ABCD основание AD равно а, основание ВС равно Ъ, АВ = d. Через вершину В проведена прямая, делящая пополам диагональ АС и пересекающая AD в точке К. Найдите площадь треугольника BDK.
1959.    Площадь равнобедренной трапеции равна 32. Котангенс угла между диагональю и основанием равен 2. Найдите высоту трапеции.
1960.    Внутри прямого угла дана точка М, расстояния которой от сторон угла равны 4 и 8. Прямая, проходящая через точку М, отсекает от прямого угла треугольник площадью 100. Найдите катеты треугольника.
1961.    Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3, периметр равен 42. Найдите площадь трапеции.
1962.    Основания трапеции равны а и Ъ, углы при большем основании равны 30° и 45°. Найдите площадь трапеции.
1963.    В равнобедренной трапеции ABCD (рис. 78) боковая сторона АВ и меньшее основание ВС равны 2, a BD перпендикулярна АВ. Найдите площадь трапеции.
 

1964.    Найдите площадь равнобедренной трапеции, зная ее диагональ I и угол а между этой диагональю и большим основанием.
1965.    Из точки А к окружности с центром в точке N проведены две касательные, которые касаются окружности в точках В и М. Хорда ВМ пересекает отрезок NA в точке К. Отрезок NK
7
в - раза меньше отрезка КА; АВ = 4.
Найдите площадь треугольника ВАК.
1966.    Найдите высоту равнобедренной трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны, а площадь трапеции равна S.
1967°. В прямоугольном треугольнике АВС расположен прямоугольник ЕКМР так, что сторона ЕК лежит на гипотенузе ВС, а вершины МпР — на катетахАС и АВ соответственно. Катет АС равен 3, а катет АВ равен 4. Найдите стороны прямоугольника ЕКМР,
если его площадь равна - , а периметр
5
меньше 9.
1968.    В равносторонний треугольника АВС вписан прямоугольник PQRS так, что основание прямоугольника RS лежит на стороне ВС, а вершины Р и Q — на сторонах АВ и АС соответственно. В каком отношении точка Q должна делить сторону АС, чтобы площадь прямоугольника PQRS со- 45
ставляла — площади треугольника 98
АВС?
1969.    В треугольнике АВС сторона ВС равна 6, сторона АС равна 5, а угол при вершине В равен 30°. Найдите площадь треугольника, если расстояние от вершины А до прямой ВС меньше чем -5- .
Л
1970.    Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана третьей стороны равна 26.
1971.    Прямоугольные треугольника ABC и АВВ имеют общую гипотенузу АВ = 5. Точки С и D расположены по разные стороны от прямой, проходящей через точки Ап В, ВС = BD = 3. Точка Е лежит на АС, ЕС = 1. Точкам лежит на AD, FD = 2. Найдите пло-щадь пятиугольника ECBDF.
1972°. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее средняя линия равна 5.
1973.    Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите острый угол и большее основание трапеции, если меньшее основание равно 3 и высота трапеции равна 2.
1974.    В треугольнике АВС точка D лежит на АС, причем АН = 2DC. Точка Е лежит на ВС. Площадь треугольника АВD равна 3, площадь треугольника AED равна 1. Отрезки АЕ и BD пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей треугольников АВО и OED.
1975.    В треугольнике АВС проведены высоты АЕ и CD. Найдите сторону АВ, если BD =18, DC = 30, АЕ = 20.
1976.    В равнобедренном треугольнике АВС боковые стороны ВС и АС в два раза больше основания АВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке М. Какую часть треугольника АВС составляет площадь треугольника AM В ?
1977.    Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
1978.    В треугольнике АВС проведены биссектрисы CF и AD. Найдите отношение площадей треугольников AFD и АВС, если АВ : АС : ВС = = 21 : 28 : 20.
1979.    Найдите площадь трапеции ABCD (АВ || ВС), если ее основания относятся как 5 : 3, а площадь треугольника ADM равна 50, где М — точка пересечения прямых АВ и CD.

1980.    Основание треугольника равно 20; медианы, проведенные к боковым сторонам, равны 18 и 24. Найдите площадь треугольника.
1981.    В треугольнике АВС проведены медианы BD и СЕ; М — их точка пересечения. Докажите, что треугольник ВМС равновелик четырехугольнику ADME.
1982.    В параллелограмме ABCD на диагонали АС взята точка Е, где расстояние АЕ составляет треть АС, а на стороне АВ взята точка F, где расстояние AF составляет четверть AD. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника ABGE, где G — точка пересечения прямой FE со стороной ВС, равна 8.
1983.    В выпуклом четырехугольнике ACBD, площадь которого равна 25, проведены диагонали. Известно, что площадь треугольника АВС вдвое больше площади треугольника ACD, а площадь треугольника BCD втрое больше площади треугольника BDA. Найдите площади треугольников ABC, ACD, ADB и BCD.
1984.    В ромбе ABCD, где L BAD = = 60°, перпендикуляр к стороне АВ, восставленный из середины АВ, пересекает диагональ АС в точке N. Найдите отношение площади треугольника MND к площади ромба ABCD.
1985.    В параллелограмме ABCD (рис. 79) сторона АВ равна 6, а высота, проведенная к основанию АН, равна 3. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М так, что МС = 4; N — точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Найдите площадь треугольника BNM.
 
Рис. 79

1986.    В параллелограмме ABCD на стороне АВ взята точка М так, что АВ = ЗАМ; N — точка пересечения прямых АС и DM. Найдите отношение площади треугольника AMN к площади всего параллелограмма.
1987.    В параллелограмме ABCD известно, что АВ = 4, AD = 6. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в
точке М, при этом AM — 4    . Найдите
площадь четырехугольника AMCZ).
1988.    Точки Е, F, М расположены соответственно насторонахАВ, ВС, АС треугольник а АВС. Отрезок АЕ составляет одну треть стороны АВ, отрезок BF составляет одну шестую стороны ВС, отрезок AM составляет две пятых стороны АС. Найдите отношение площади треугольника EFM к площади треугольника АВС.
1989.    А, В, С, D— последовательные вершины параллелограмма. Точки Е, F, Р, Н лежат соответственно на сторонах АВ, ВС, CD, AD. Отрезок АЕ
составляет - стороны АВ, отрезок BF 3
составляет | стороны ВС, а точки Р и
Н делят пополам стороны, на которых они лежат. Найдите отношение площади четырехугольника EFPH к площади параллелограмма ABCD.
1990.    В треугольнике АВС проведены биссектриса BD угла АВС и биссектриса AF угла ВАС (точка D лежит на стороне АС, а точка F — на стороне ВС). Найдите отношение площадей треугольников АВС и CDF, если известно, что АВ = 6, ВС = 4 иАС = 3.
1991.    Через точку, взятую на диагонали АС параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам. Данный параллелограмм делится, таким образом, на четыре параллелограмма, из которых два имеют своими диагоналями части диагонали АС. Докажите, что два других параллелограмма равновелики.
1992.    На отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, взята точка и соединена со всеми вершинами трапеции. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.
1993.    Медианы AN и ВМ треугольника АВС равны 6 и 9 соответственно и пересекаются в точке К, причем угол АКБ равен 30°. Найдите площадь треугольника АВС.
1994.    Из внешней точки А проведены к кругу касательная АВ и секущая ACD. Найдите площадь треугольника CBD, если АС : АВ = 2 : 3 и площадь треугольника АВС равна 20.
1995.    АВ и CD — две непересекающиеся хорды, причем иАВ = 120° и uCD = 90°; М — точка пересечения хорд AD и ВС. Найдите площади треугольников АМВ и CMD, если их сумма равна 100.
1996.    Докажите, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне.
1997.    Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри равно-
стороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника.
1998.    Точка D лежит на стороне СВ прямоугольного треугольника АВС (А. С = 90°), причем АВ = 5, Z1ADC =
= arccos —— , DB = 1^19 . Найдите
Л6    3
площадь треугольника АВС.
1999.    Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.
2000.    В треугольнике АВС биссектриса угла АВС пересекает сторону АС в точке К. Известно, что ВС = 2, КС = 1, . Найдите площадь треугольника АВС.
2034.    Около трапеции ABCD описана окружность, центр которой лежит на основании AD. Найдите площадь
О
трапеции, если АВ =    , АС = 1.
2035.    Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 3, ВС = 4, а медианы АК и BL взаимно перпендикулярны.
2036.    Дан параллелограмм ABCD со сторонами АВ = 2 и ВС = 3. Найдите площадь этого параллелограмма, если известно, что диагональ АС перпендикулярна отрезку BE, соединяющему вершину В с серединой Е стороны AD.
2037.    В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектриса угла АВС пересекает сторону AD в точке М, а перпендикуляр, опущенный из вершины
А на сторону ВС, пересекает ВС в точке N так, что BN = NC и AM = 2MD (рис. 81). Найдите стороны и площадь четырехугольника ABCD, если его периметр равен 5 + Jz , A BAD = 90° и А АВС = 60°.
2139.    Медиана AD и высота СЕ равнобедренного треугольника АВС (АВ = = ВС) пересекаются в точке Р. Найдите площадь треугольника АВС, если СР = 5, РЕ = 2.
2140.    Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного треугольника ABC (Z. В = 90°) пересекаются в точке
О.    Найдите площадь треугольника АВС, если СО = 9, OD = 5.
2178.    В ромбе ABCD со стороной а угол при вершине А равен 120°, точки Е и F лежат на сторонах ВС viAD соответственно. Отрезок EF и диагональ ромба АС пересекаются в точке М. Площади четырехугольников BEFA и 
ECDF относятся, как 1:2. Найдите ЕМ.
2179.    Докажите, что медиана AM треугольника АВС делит пополам любой отрезок с концами наАВ и АС, параллельный стороне ВС.
2214.    В окружность с центром О вписана трапеция ABCD, в которой AD параллельно ВС, AD = 7, ВС = 3,
Z.    BCD = 120°. Хорда ВМ окружности пересекает отрезок AD в точке N такой, что ND = 2. Найдите площадь треугольника ВОМ.
2215.    Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D так, что CD = 8 и точка В лежит между точками С и D. Найдите площадь треугольника ACD.
2216.    Около прямоугольного треугольника АВС с катетами АС = 5 и ВС = 12 описана окружность. Точки Е и G — середины меньших дуг АС и ВС этой окружности, точка F — середина дуги АВ, не содержащей точки С. Найдите площадь четырехугольника AEGF.
2217.    Через точку М, расположенную на диаметре окружности радиуса 4, проведена хорда АВ, образующая с диаметром угол 30°. Через точку В проведена хорда ВС, перпендикулярная данному диаметру. Найдите площадь треугольника АВС, если AM : МВ = 2:3.
2218.    Диаметр АВ и хорда CD окружности пересекаются в точке Е, причем СЕ = DE. Касательные к окружности в точках В и С пересекаются в точке К. Отрезки АК и СЕ пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника СКМ, если АВ = 10, АВ = 1.
2219.    На продолжении стороны ВС параллелограмма ABCD за точку С взята точка F. Отрезок АВ пересекает диагональ BD в точке В, а сторону CD — в точке G, причем GF = 2, а АВ на 1 больше EG. Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника ADE?
2220.    В треугольнике АВС длина биссектрисыАВ равна I; в треугольник ABL вписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке К, ВК = Ь. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС выбраны точки М и N соответственно так, что прямая MN проходит через центр окружности, вписанной в треугольник АВС, причем МВ + BN = с.
Найдите отношение площадей треугольников ABL и MBN.
2241.    На стороне АС остроугольного треугольника АВС взята точка D так, что AD = 1, DC — 2 и BD является высотой треугольника АВС. Окружность радиуса, равного 2, проходящая через точки А и D, касается в точке D окружности, описанной около треугольника В DC. Найдите площадь треугольника АВС.
2242.    Точки К, L,M делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении АК : ВК = CL : BL = = СМ : DM =1:2. Радиус описанной окружности треугольника KLM равен
|, KL = 4, LM = 3. Какова площадь четырехугольника ABCD, если известно, что КМ < KL?
2243.    Трапеция ABCD с основаниями ВС = 1 и AD = 3 такова, что в нее можно вписать окружность и вокруг нее можно описать окружность. Определите, где находится центр описанной вокруг трапеции АВСН окружности, т. е. расположен ли он внутри, или вне, или же на одной из сторон трапеции ABCD. Найдите также площадь описанного круга.
2244.    В треугольнике АВС основание высоты CD лежит на стороне АВ, медиана АЕ равна 5, высота CD равна 6. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что площадь треугольника ADC в три раза больше площади треугольника BCD.
2245.    В трапеции ABCD известны длины оснований AD = 23 и ВС = 8 и диагоналей АС =13, BD = 5 Jl7 . Найдите площадь трапеции.
2246.    В треугольник вписан круг радиуса 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, равные 6 и 8. Найдите две другие стороны треугольника.
2247.    Окружность с центром в точке пересечения диагоналей АС и ВС равно-бедренной трапеции ABCD касается меньшего основания ВС и боковой стороны АВ. Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что ее высота равна 16, а радиус окружности равен 3.
2248.    Квадрат ABCD и окружность расположены так, что окружность касается прямой АС в точке С, а центр окружности лежит по ту же сторону от прямой АС, что и точка D. Касательные к окружности, проведенные из точки D, образуют угол 120°. Найдите отношение площади квадрата к площади круга, ограниченного данной ок-ружностью.
2249.    Основание АС равнобедренного треугольника АВС является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольника АВС. Прямые, проходящие через точку В, касаются окружности в точках D и Е. Найдите площадь треугольника DBE, если
АВ = ВС — 2, Z. АВС = 2 arcsin — , араЛ
диус окружности равен 1.
2250.    Окружность, построенная на стороне АС треугольника АВС как на диаметре, проходит через середину стороны ВС и пересекает сторону АВ в
точке D так, что AD = -АВ. Найдите
3
площадь треугольника АВС, если АС = 1.
2251.    В треугольнике АВС угол А равен arccos Ч- , ВС = а, а высота, опу-
О
щенная из вершины А, равна сумме двух других высот. Найдите площадь треугольника АВС.
2252.    В круге радиуса 1 проведены
хорды АВ = ./2 и ВС = ^. Найдите
площадь части круга, лежащей внутри угла АВС, если угол ВАС — острый.
2253°. Через центр О вписанной в треугольник АВС окружности проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М VLN. Периметр треугольника AMN равен 3 \]2 ,
сторона ВС равна \J2 , а отрезок АО в три раза больше радиуса вписанной в треугольник АВС окружности. Найдите площадь треугольника АВС.
2254.    В окружности проведены хорды АС и BD, пересекающиеся в точке Е, причем касательная к окружности, проходящая через точку А, параллельна BD. Известно, что CD : ED = 3 : 2 и S(ABE) = 8. Найдите площадь треугольника АВС.
2255.    В параллелограмме соединены середина каждой стороны с концом следующей стороны, отчего получился внутренний параллелограмм. Докажите, что его площадь составляет
\ площади данного параллелограмма.
5
2256.    Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р — середина боковой стороны АВ. Точкам на стороне CD выбрана так, что 2CD = 3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника APQ, если AD = 2ВС.
2257.    Медианы треугольника равны 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.
2258.    Медианы треугольника равны 5, 6 и 5. Найдите площадь треугольника.
2259.    Произвольный четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника; площади трех из них равны 10, 20 и 30, и каждая меньше площади четвертого треугольника.
Найдите площадь данного четырехугольника.
2260.    В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена биссектриса АВ. Площади треугольников ABD и АВС равны соответственно Sj и S2. Найдите АС.
2287.    Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность
радиуса 2 J5 , отсекающая от прямой
ВС отрезок 4 Jb и касающаяся прямой АС в точке А. Из точки В проведен пер-пендикуляр к прямой ВС до пересечения с прямой АС в точке F. Найдите площадь треугольника АВС, если BF = 2.
2288.    На стороне ВС треугольника BCD выбрана точка £, а на стороне BD — точка F так, что угол BEF равен углу BDC. Площадь круга, описанного около треугольника CFD, в 5 раз меньше площади круга, описанного около треугольника BEF. Отношение площади четырехугольника CEFD к площади треугольника BEF равно — .
16
Угол FDE равен 45°. Найдите угол CED.
2289.    В трапеции ABCD диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны, Z. ВАС = Z. CDB. Продолжения боковых сторон АВ и DC пересекаются в точке К, образуя угол AKD, равный 30°. Найдите площадь треугольника AKD, если площадь трапеции равна Р.
2290.    В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD, а диагональ DB перпендикулярна боковой стороне АВ. Продолжения боковых сторон АВ и DC пересекаются в точке К, образуя треугольник AKD с углом 45° при вершине К. Площадь трапеции АВСП равна Р. Найдите площадь треугольника AKD.
2291.    На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Докажите, что разность расстояний от этой точки до прямых, содержащих боковые стороны треугольника, равна высоте, опущенной на боковую сторону.
2292.    Остроугольный равнобедренный треугольник и трапеция вписаны в окружность. Одно основание трапеции является диаметром окружности, а боковые стороны параллельны боковым сторонам треугольника. Найдите отношение площадей трапеции и треугольника.
2293.    В равнобедренном треугольнике АВС точки М и N находятся на боковых сторонах АВ и ВС соответственно. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что AM = 5,
AN = 2j37 , СМ =11, CN= 10.
2294.    Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
2295.    Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Одна из них равна 6. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4,5. Найдите площадь трапеции.
2296.    Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны 30° и 60°. Найдите площадь трапеции.
2297.    Отношение оснований трапеции равно 3 : 2, а отношение боковых сторон равно 5:3. Точка пересечения биссектрис углов при большем основании трапеции лежит на меньшем основании. Найдите углы трапеции.
2298.    В равнобедренной трапеции ABCD углы при основании AD равны 30°, диагональ АС является биссектрисой угла BAD. Биссектриса угла BCD пересекает основание AD в точке М, а отрезок ВМ пересекает диагональ АС в точке N. Найдите площадь треугольника ANM, если площадь трапеции ABCD равна 2 + J3 .
2299.    В прямоугольной трапеции ABCD (ВС параллельно AD, АВ пер-пендикулярно AD) меньшее основание AD равно 3, а боковая сторона CD равна 6. Точка Е, середина стороны CD, соединена отрезком прямой с точкой В. Известно, что Z. СВЕ = а. Найдите площадь трапеции ABCD.
2300.    В параллелограмме ABCD угол С — острый, сторона АВ равна 3, сторона ВС равна 6. Из вершины С опущен перпендикуляр СЕ на продолжение стороны АВ. Точка Е, основание перпендикуляра СЕ, соединена отрезком прямой с точкой F, серединой стороны AD. Известно, что Z.AEF = а. Найдите площадь четырехугольника AECD.
2353.    В выпуклом четырехугольнике ABCD отношение диагоналей BD 
и АС равно k. Найдите отношение площади этого четырехугольника к площади ромба, вершины которого лежат на сторонах четырехугольника, а стороны параллельны диагоналям четырехугольника.
2354.    Точка внутри правильного 2п-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2п-треугольники раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных: а) для п = 4, б) для п = 3, в) для произвольного п.
2355.    В треугольнике АВС дано: А АС В = 60°, А АВС = 45°. На продолжении АС за вершину С берется точка К так, что АС = СК. На продолжении ВС за вершину С берется точка М так, что треугольник с вершинами С, Мм К подобен исходному. Найдите ВС : МК, если известно, что СМ : МК < 1.
2356.    Прямоугольный треугольник АВС имеет периметр 54, причем катет АС больше, чем 10. Окружность радиуса 6, центр которой лежит на катете ВС, касается прямых АВ и АС. Найдите площадь треугольника АВС.
2357.    Дана окружность, диаметр MN которой равен 16. На касательной к этой окружности в точке М отложен отрезок МР, длина которого больше, чем 15. Из точки Р проведена вторая касательная к окружности, пересекающая прямую MN в точке Q. Найдите площадь треугольника MPQ, если его периметр равен 72.
2358.    Точки К, L, М, N, Р расположены последовательно на окружности
радиуса 2 J2 . Найдите площадь треугольника KLM, если LMIIKN, КМ II NP, MN || LP, а угол LOM равен 45°, где О — точка пересечения хорд LNMMP.
2359.    Трапеции ABCD и ACDE с равными большими основаниями (со-ответственно AD и АС) вписаны в ок 
ружность (рис. 94). Чему равен радиус этой окружности, если площадь треугольника АНЕ равна 1 + ,/3, а угол COD равен 60°, где О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD.
2398°. На окружности по разные стороны от диаметра АС расположены
точки В и Н. Известно, что АВ = JG , CD = 1, а площадь треугольника АВС втрое больше площади треугольника BCD. Найдите радиус окружности.
2399°. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Найдите площадь параллелограмма, если А А = 2 arcsin ,
Лз
ОА = 2 Л0 , ОН = 5. (Найдите все решения).
2400°. Стороны четырехугольника равны а, Ь, с и d. Известно, что в этот четырехугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь равна Jabcd.
2401°. На сторонах АВ, АС и ВС правильного треугольника АВС расположены соответственно точки Су, В1 и Аг так, что треугольник А1В1С1 является правильным. Отрезок BBj пересекает сторону СуАу в точке О, причем ио
—— = h. Найдите отношение площади ОН,
треугольника АВС к площади треугольника АуВуСу.
2402°. Продолжения сторон AD и ВС выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке М, а продолжения сторон АВ и CD — в точке О. Отрезок МО перпендикулярен биссектрисе угла AOD. Найдите отношение площадей треугольника AOD и четырехугольника ABCD, если ОА = 12, OD = 8, CD = 2.
2403°. Через середину каждой диагонали выпуклого четырехугольника проведена прямая, параллельная другой диагонали; точка пересечения этих прямых соединена с серединами сторон четырехугольника. Докажите, что четырехугольник разбивается таким образом на четыре равновеликие части.
2404°. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE. Площадь каждого из тре-угольников ABC, BCD, CDE, DEA, ЕАВ равна S. Найдите площадь данного пятиугольника.
2405°. На сторонах АВ и CD выпуклого четырехугольника ABCD выбираются произвольные точки Е и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AF, BF, СЕ и DE являются вершинами выпуклого четырехугольника, причем его площадь не зависит от выбора точек Е и F.
2406.    В трапеции ABCD точка К — середина основания АВ, М —середина CD. Найдите площадь трапеции, если известно, что DK — биссектриса угла D,BM —биссектриса угла В, наибольший из углов при нижнем основании равен 60°, а периметр равен 30.
2407.    Две окружности пересекаются в точках К к С. Их центры расположены по одну сторону от прямой, содержащей отрезок КС. Точки А и В лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая отрезок АК, касается одной окружности в точке К. Прямая, содержащая отрезок ВК, касается другой окружности также в точке К.
Известно, что АК = 2, ВК = J3,
tg А АКБ = — —i-. Найдите площадь
2j2
треугольника АВС.
2408.    Пусть а, b, с, d — последовательные стороны четырехугольника. Докажите, что если S — его площадь,
то S < ac+^bd ' ПрИЧем равенство имеет
место только для вписанного четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
2409.    В окружность с центром О вписан треугольник АВС (А А > 90°). Продолжение биссектрисы AF угла А этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус АО пересекает сторону ВС в точке Е. Пусть АН — высота треугольника АВС. Найдите отношение площади треугольника OAL к площади четырехугольника
OEFL, если известно, что AL = A J2, АН = J2J3 и ААЕН = 60°.
2410.    Около треугольника ABC (А А > 90°) описана окружность с центром О. Продолжение биссектрисы AL этого треугольника пересекает окружность в точке F. Обозначим через Е точку пересечения радиуса АО со стороной ВС. Пусть АН — высота треугольника АВС. Найдите отношение площади четырехугольника FOEL к площади треугольника A£L, если известно, что АН
= ^-,AF = 2j3, ААЕН=30°.
2411.    Два одинаковых правильных треугольника АВС и CDE со стороной 1 расположены так, что имеют только одну общую точку С и угол BCD меньше, чем 60° (рис. 96). Точка К — середина АС, точка!/ — середина СЕ, точка М — середина BD. Площадь треуголь-
/5
ника KLM равна А- . Найдите BD.
5
 

2412.    В круг радиуса R с центром в точке О вписана трапеция ABCD (ВС < <AD и точка О лежит внутри трапеции). Непараллельные стороны трапеции АВ и CD равны R. Точка К — середина радиуса ОА, точка L — середина радиуса OD, точка М — середина стороны ВС. Отношение площади трапеции к площади треугольника KLM равно 4. Найдите МС.
2413.    Углы треугольника АВС удовлетворяют равенству cos2A + + cos2 В + cos2 С = 1. Найдите площадь этого треугольника, если радиусы вписанной и описанной окружностей
равны V3 иЗл/2 соответственно.
2414.    Две прямые делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника на три равные части. Докажите, что между этими прямыми заключена треть площади четырехугольника.
2415.    В трапеции ABCD угол BAD равен 60°, а меньшее основание ВС равно 5. Найдите боковую сторону CD, если площадь трапеции равна
\{AD • ВС + АВ ■ CD).
2416.    Точка Е стороны ВС и точкам стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD расположены так, что BE = 2ЕС, AF = 2FD. На отрезке АЕ находится центр окружности радиуса г, касающейся сторон AS, ВС и CD. На отрезке BF находится центр окружности такого же радиуса г, касающейся сторон AS, AD и CD. Найдите площадь четырехугольника ABCD, зная, что указанные окружности внешним образом касаются друг друга.
2417.    В остроугольном треугольнике АВС (АВ > ВС) проведены высоты AM и CN. Точка О — центр описанной около треугольника АВС окружности. Известно, что угол АВС равен (3, а площадь четырехугольника NOMB равна S. Найдите АС.
2418.    Диагонали BD и АС выпуклого четырехугольника ABCD перпенди-кулярны, пересекаются в точке О, АО = 2, ОС = 3. Точка К лежит на стороне ВС, причем ВК : КС =1:2. Треугольник AKD — равносторонний. Найдите его площадь.
2419.    В треугольнике АВС известно, что АВ = АС и угол ВАС — тупой. Пусть D — точка пересечения биссектрисы угла АВС со стороной АС, М — основание перпендикуляра, опущенного из А на сторону ВС, Е — основание перпендикуляра, опущенного из D на сторону ВС. Через точку В проведен также перпендикуляр к BD до пересечения со стороной ВС в точке F. Известно, что ME = FC = а. Найдите пло-щадь треугольника АВС.

2420.    Из точки Р, расположенной внутри остроугольного треугольника АВС, опущены перпендикуляры на стороны АВ, ВС и С А. Длины перпендикуляров соответственно равны I, т, п. Вычислите площадь треугольника
ABC,    если величины углов ВАС, АВС и АСВ соответственно равны а, |3 и у.
2421.    Поделим каждую сторону выпуклого четырехугольника ABCD на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах. Докажите, что площадь «среднего» четырехугольника в 9 раз меньше площади четырехугольника ABCD.
2422.    Докажите, что прямая, делящая пополам периметр и площадь тре-угольника, проходит через центр его вписанной окружности.
2423.    На дуге окружности, стягиваемой хордойKN, взяты точки!/иМ. Биссектрисы углов КЕМ и LMN пересекаются в точке Р, лежащей на хорде
KN.    Известно, что KL : KN = 2:5. Найдите:
а)    отношение расстояний от точки Р до прямых KL и MN;
б)    отношение площадей треугольников KLP и MPN.
2424.    В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 и 2 J2,, а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника. Найдите площадь треугольника.
2425.    Докажите, что прямая делит периметр и площадь описанного много-угольника в равных отношениях тогда и только тогда, когда она проходит через центр вписанной окружности.
2426.    НаотрезкеАСвзятаточкаВи на отрезках АВ, ВС, СА как на диаметрах построены полуокружности S1? S2, S3 по одну сторону от АС. Най-
дите радиус окружности, касающейся всех трех полуокружностей, если известно, что ее центр удален от прямой АС на расстояние, равное а.
2427.    Площадь трапеции ABCD равна S, отношение оснований — AD : ВС = 2:1. Отрезок MN расположен так, что он параллелен диагонали BD, пересекает диагональ АС, а отрезок AM параллелен отрезку CN. Найдите площадь четырехугольника AMND, если CN : AM = 3 : 1 ,BD:MN = = 6:1. (Найдите все решения.)

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Теги: площадь | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar