Тема №5839 Задачи по геометрии с решениями 112
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии с решениями 112 из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии с решениями 112, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

1. По заданным катетам а и b определить биссектрису прямого угла. 

2. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный
катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника. 

3. Найти площадь прямоугольного треугольника, если даны радиусы R и r описанного и
вписанного в него кругов. 

4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник
на два треугольника с площадями 384 и 216 см2. Найти гипотенузу. 

5. В треугольнике известны длины двух сторон — 6 и 3 см. Найти длину третьей
стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте. 

6. Трапеция разделена диагоналями на четыре части. Определить ее площадь, если
известны площади ее частей, прилежащих к основаниям S1 и S2. 

7. Стороны треугольника 13, 14, 15см. Определить площадь и радиусы описанной (R) и
вписанной (r) окружностей. 

8. По трем высотам треугольника ha, hb, hc вычислить его площадь. 

9. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его части, площади которых
относятся как 2:1, считая от вершины. В каком отношении она делит боковые стороны? 

10. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые,
параллельные его сторонам. Эти прямые разделяют площадь треугольника на шесть частей,
три из которых — треугольники с площадями, равными . S1 , S2 , S3 Найти площадь данного
треугольника. 

11. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см
проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников. 

12. Дан параллелограмм, в котором острый угол 60°. Определить отношение длин
сторон, если отношение квадратов длин диагоналей равно 19/7. 

13. Основание треугольника равно a. Определить длину прямой, параллельной
основанию и делящей площадь треугольника пополам. 

14. Длины оснований трапеции а и b. Найти длину отрезка прямой, параллельной
основаниям трапеции и делящей ее на две равновеликие фигуры. 

15. Расстояния от центра окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, до
вершин его острых углов равны 5 и 10 . Найти катеты. 

16. Основания трапеции а и b, углы при большем основании π/6 и π/4. Найти площадь
трапеции. 

17. Две стороны треугольника 6 и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам,
взаимно перпендикулярны. Найти третью сторону.

18. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны 52 и 73 . Найти
гипотенузу.

19. Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны которой содержат 16 и 44 см, а
непараллельные – 17 и 25 см.

20. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит
гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти катеты и радиус окружности.

21. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21см вписан прямоугольник с периметром 24 см
так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найти стороны
прямоугольника.

22. Сторона треугольника равна а, а прилежащие к ней углы соответственно равны α и β.
Определить:
а) стороны а и b;
б) радиус описанной окружности;
в) площадь треугольника.

23. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и
12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании
трапеции.

24. В треугольнике АВС, в котором AB = 6 см, ВС = 7 см, АС = 5 см, биссектриса угла С
пересекает сторону AB в точке D. Определить площадь треугольника ADC.

25. Дан треугольник АВС, в котором угол В равен 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В
пересекает сторону АС в точке D. Определить площадь ∆ABD.

26. Центр вписанной окружности делит высоту равнобедренного треугольника на
отрезки, равные 5 и 3 см, считая от вершины. Найти стороны треугольника.

27. Найти сторону квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник со сторонами,
равными 3 и 4 см. Одна сторона квадрата лежит на гипотенузе.

Ответ: сторона квадрата равна 60/37 см.
28. Около круга описана равнобочная трапеция, площадь которой равна S и острый угол
α . Найти длину средней линии.

29. Внутри круга радиуса 15 см взята точка М на расстоянии 13 см от центра. Через
точку М проведена хорда длиной 18 см. Найти длины отрезков, на которые точка М делит
хорду.

30. Из точки вне круга проведены две секущие. Внутренний отрезок первой равен 47 м, а
внешний 9 м; внутренний второй секущей на 72 м больше внешнего ее отрезка. Определить
длину второй секущей.

31. Во сколько раз наибольшая сторона треугольника больше средней, если один из его
углов равен 120° и известно, что стороны образуют арифметическую прогрессию.

32. В прямоугольном треугольнике один катет в два раза длиннее другого, а гипотенуза
равна 3 . 10 Найти длину биссектрисы прямого угла.

33. В треугольнике АВС к стороне АВ проведены высота СК и медиана СМ. Найти
косинус угла КСМ, если АС = 2 см, ВС = 1 см, АМ = МС.

34. В прямоугольный треугольник, периметр которого 36 см, вписана окружность.
Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длину гипотенузы. 

35. В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана,
выходящие из вершины прямого угла, относятся как 40:41. 

36. Найти площадь равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса R,
если угол при вершине равен α . 

37. Найти площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности
равен 8,5 см, а вписанной — 3 см. 

38. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов α .
Определить радиус вписанного круга. 

39. Стороны ∆АВС — 11, 13, 12 см. Вычислить длину медианы, проведенной к большей
стороне. 

40. Определить угол прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанного около
него круга относится к радиусу вписанного как 5:2. 

41. Дан треугольник со сторонами 10, 24 и 26 см. Две меньшие стороны являются
касательными к окружности, центр которой лежит на большей стороне. Найти радиус
окружности. 

42. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого
катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник. 

43. В правильный треугольник вписан квадрат, сторона которого m. Найти сторону
треугольника. 

 44. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8 2 см .
Определить стороны трапеции, если угол при основании равен 30°. 

45. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15° и 60°. Найти площадь
треугольника. 

46. Диаметр CD параллелен хорде АВ той же окружности. Найти длину этой хорды, если
АС = 3, ВС = 4. 

47. В равнобедренном треугольнике основание равно 5 см, а боковая сторона — 20 см.
Найти длину биссектрисы угла при основании треугольника. 

48. Найти площадь равнобедренного треугольника с углом 120°, если радиус вписанного
круга равен 12. 4 

 

49. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а радиус окружности,
вписанной в треугольник, равен 3 см. Найти площадь треугольника. 

50. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15° и 60°. Найти площадь
треугольника. 

51. Через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям проведена
прямая, пересекающая боковые стороны в точках М и N. Найти MN, если основания равны а
и b. 

52. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника проведен перпендикуляр,
который делит гипотенузу на отрезки длиной 25,6 и 14,4 см. Найти радиус вписанного круга. 

53. Внутри равностороннего треугольника взята точка М, отстоящая от его сторон на
расстояниях m, n, p. Найти высоту треугольника. 

54. Через одну и туже точку окружности проведены две хорды, равные а и b. Если
соединить их концы, то получится треугольник площади S. Определить радиус окружности. 

55. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен α . Определить отношение
радиусов вписанного и описанного кругов. 

56. Найти площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника, длины
катетов которого являются корнями уравнения , 0 2
ax + bx + c = где 1 x и 2 x — катеты. 

57. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2, 3 и 4 см,
вписана окружность радиуса 1,2 см. Найти площадь этого четырехугольника. 

58. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен α . Вычислить основание,
если высота больше радиуса вписанного круга на m. 

59. Радиусы описанного и вписанного в треугольник кругов R и r. Определить площадь
треугольника, если его углы образуют арифметическую прогрессию.

60. Найти периметр равнобедренной трапеции, описанной около круга, если большее
основание равно а, а острый угол равен α . 

61. Боковые стороны трапеции продолжены до их взаимного пересечения. Найти
площадь трапеции, если длины ее оснований относятся как 5:3 и площадь всего
образовавшегося треугольника равна 50 2 см . 

62. Найти площадь сегмента, если его периметр равен Р, а дуга содержит 120°. 

63. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов боковой
стороны на расстояния 8 и 4 см. Найти среднюю линию. 

64. Медианы треугольника равны 50 , 52 и 73 см. Доказать, что треугольник —
прямоугольный.

65. Средняя линия трапеции равна 10 см и делит площадь трапеции в отношении 3:5.
Найти длины оснований. 

66. Основание треугольника 15 см, а боковые стороны 13 и 14 см. Высота разделена в
отношении 2:3 (считая от вершины) и через точку деления проведена прямая, параллельная
основанию. Определить площадь получившейся при этом трапеции. 

67. Основание равнобедренного треугольника равно 4 2 см, а медиана боковой стороны
— 5 см. Найти длины боковых сторон. 

68. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна h, радиус
вписанной окружности равен r. Найти гипотенузу. 

 

69. Диагональ равнобедренной трапеции делит тупой угол пополам. Меньшее основание
трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найти площадь трапеции. 

70. В равнобедренной трапеции одно основание равно 40 см, а другое — 24 см.
Диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны. Найти ее площадь. 

71. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8 см .
Определить стороны трапеции, если угол, при основании равен 30°. 

72. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, его площадь равна 24 . см2
Найти площадь описанного круга. 

73. В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана,
выходящие из вершины прямого угла, относятся как 40:41.

74. Найти радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции
катетов на гипотенузу равны 9 и 16м. 

75. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, площадь его равна 24 см .
Найти радиус описанной окружности. 

76. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В биссектриса угла А
пересекает сторону ВС в точке D. Известно, что BD = 4, DC = 6. Определить площадь ∆ADC. 

77. Дана трапеция ABCD. Параллельно ее основаниям проведена прямая, пересекающая
боковые стороны трапеции AB и CD в точках Р и Q, а диагонали АС и BD в точках L и R.
Диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Известно, что ВС = 1, AD = 2, а площади ∆ВОС
и ∆LOR равны. Найти длину отрезка PQ. 

78. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота CD. Радиусы окружностей,
вписанных в треугольники BCD и ACD, равны 1r и 2r . Найти радиус окружности, вписанной
в ∆АВС. 

79. В равнобочную трапецию вписана окружность. Боковая сторона трапеции делится
точкой касания на отрезки длиной m и n, считая от меньшего основания. Определить
площадь трапеции. 

80. В равнобедренной трапеции даны основания а = 11 см, b = 9 см, высота h = 8 см.
Найти радиус описанного крута. 

81. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу
в отношении 2:3. Найти стороны, если центр вписанной окружности удален от вершины
прямого угла на 8 см. 

82. Найти угол между медианами катетов равнобедренного прямоугольного
треугольника. 

83. Вычислить длину биссектрисы угла A ∆ABC с длинами сторон а = 18см, b = 15см,
с = 12см.

84. Сумма длин диагоналей ромба равна m, а его площадь S. Найти сторону ромба. 

85. Периметр ромба равен 2 м, длины его диагоналей относятся как 3:4. Найти площадь
ромба. 

86. В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника,
вписана окружность радиусом 2 см. Найти сторону ромба. 

87. Сумма катетов прямоугольного треугольника постоянна и равна m. Для какого
треугольника гипотенуза имеет наименьшую длину? 

88. Какой из вписанных в данный треугольник прямоугольников имеет наибольшую
площадь? 

89. Каким должно быть основание равнобедренного треугольника с заданной площадью
S, чтобы его периметр был наибольшим? 

90. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник наибольшей площади. Определить
периметр этого прямоугольника. 

91. На основании равнобедренного треугольника, как на хорде, построена окружность,
касательная к равным сторонам треугольника. Найти радиус окружности, если основание
треугольника а и высота h. 

92. В равносторонний треугольник вписаны три равных круга так, что каждый касается
двух сторон треугольника и двух других кругов. Определить радиус этих кругов, если
сторона треугольника равна а. 

93. Определить площадь равнобедренного треугольника, зная площади 4π вписанного и
25π описанного около него кругов. 

94. Сторону правильного десятиугольника выразить через радиус описанной
окружности. 

95. Определить острые углы прямоугольного треугольника, если отношение радиусов
описанной и вписанной окружностей равно 3 +1. 

96. Вычислить площадь вписанного четырехугольника по заданным его сторонам а, b, с, d. 

97. Точка К — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Площадь треугольника
АВК равна S. Найти площадь трапеции. 

99. В трапецию вписана окружность. Найти площадь трапеции, если известны длина а
одного из оснований и отрезки b и d, на которые разделена точкой касания одна из боковых
сторон (отрезок b примыкает к данному основанию а). 

100. Из точки, лежащей вне круга, проведены две секущие, внешние части которых
равны по 2 м. Определить площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки
пересечения секущих с окружностью, зная, что длины двух противоположных сторон равны
6 и 2,4 м. 

101. Радиус сектора равен R, а хорда его дуги равна а. Определить радиус круга,
вписанного в этот сектор. 

102. Дан прямоугольник; перпендикуляр, опущенный из вершины на диагональ, делит
прямой угол на две части в отношении 3:1. Найти угол между этим перпендикуляром и
другой диагональю. 

103. Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения и через
полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найти длину
отрезка этой прямой, ограниченного продолжениями диагоналей, если длины оснований
равны а и b. 

104. Найти угол между высотой и медианой треугольника, проведенными из одной и той
же вершины, зная углы α , β и γ треугольника. 

105. Через точку М основания АС треугольника АВС проведены прямые MN и MP,
параллельные сторонам треугольника. Точки N и Р пересечения этих прямых со сторонами
треугольника соединены отрезком прямой. Найти площадь ∆NBP, если площади ∆ANM и
∆МРС равны S1 и S2 . 

106. По трем медианам треугольника , ma , mb mc вычислить его площадь. 

107. По трем медианам треугольника , ma , mb mc вычислить стороны треугольника a, b, с. 

108. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, площадь которого равна 1, взяты
точки К на АВ, L на ВС, М на CD и N на AD. При этом

109. Площадь треугольника равна S. Каждая сторона треугольника разделена на три
части в отношении m:n:m. Определить площадь шестиугольника, вершинами которого
служат точки деления. 

110. Найти площадь трапеции, диагонали которой 7 и 8 см а основания — 3 и 6 см. 

111. Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О.
S 6 м , ∆BOC = BO = 2 м, OD = 4 м. Найти площадь трапеции. 

112. Боковая сторона равнобочной трапеции равна ее меньшему основанию, длина
которого 10 см. Какова должна быть длина большего основания трапеции, чтобы ее площадь была наибольшей?

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (23.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar