Тема №5124 Задачи по геометрии сфера
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии сфера из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии сфера, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

 

4217.    Докажите, что около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой пирамиды можно описать окружность.
4218.    Найдите площадь сечения шара радиуса 3 плоскостью, удаленной от его центра на расстояние, равное 2.
4219.    Найдите ребро куба, вписанного в сферу радиуса R.
4220.    В шаре проведены диаметр АВ и две равные хорды AM и AN, каждая под углом а к диаметру. Найдите угол между хордами, если отрезок MN виден из центра шара под углом |3.
4221.    Докажите, что если около параллелепипеда можно описать сферу, то этот параллелепипед — прямоугольный.
4222.    Сторона основания правильной треугольной призмы равна 1. Найдите боковое ребро призмы, если известно, что в нее можно вписать сферу.
4223.    Найдите радиус шара, описанного около правильной /гугольной призмы с высотой h и стороной основания о.
4224.    Внутренняя точка А шара радиуса г соединена с поверхностью шара тремя отрезками, равными I и проведенными под углом а друг к другу. Найдите расстояние точки А от центра шара.
4225.    Даны плоскость а и перпендикулярная ей прямая I. Найдите геометрическое место центров шаров радиуса г, касающихся одновременно плоскости а и прямой I.
4226.    Через точку А, расположенную вне сферы, проведены две прямые. Одна из них касается сферы в точке В, а вторая пересекает ее в точках С и D (рис. 174). Докажите, что
АБ2=АСА£>.
А
 
4227.    Известно, что около некоторой призмы можно описать сферу. Докажите, что основание призмы — многоугольник, около которого можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если высота призмы равна h, а радиус описанной около нее сферы равен R.
4228.    Внутри единичного куба расположены восемь равных шаров. Каждый шар вписан в один из трехгранных углов куба и касается трех шаров, соответствующих соседним вершинам куба. Найдите радиусы шаров.
4229.    Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом, равным 1, и противолежащим углом в 30°. Найдите радиусы сфер.
4230.    Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной 6. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 4. Найдите радиус шара, описанного вокруг пирамиды.
4231.    Поверхность шара радиуса г проходит через вершину правильной шестиугольной пирамиды. Ребра пирамиды пересекают поверхность шара на расстоянии I от вершины. Найдите угол между соседними ребрами, выходящими из вершины пирамиды.
4232.    Даны два шара радиусов 2 и 3 с центрами А и В соответственно, АВ = 7. Плоскость, касающаяся шаров, пересекает прямую АВ в точке М. Найдите AM.
4233.    Найдите геометрическое место всех шаров данного радиуса, касающихся граней данного двугранного угла.
4234.    Основанием пирамиды служит многоугольник, около которого можно описать окружность. Докажите, что около этой пирамиды можно описать сферу. Найдите радиус этой сферы, если радиус окружности, описанной около основания пирамиды, 
равен г, высота равна h, а основание высоты совпадает с вершиной основания пирамиды.
4235.    Радиус сферы, касающейся всех ребер правильного тетраэдра, равен 1. Найдите ребро тетраэдра.
4236.    Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны а, Ь и с. Найдите радиус описанной сферы.
4237.    Основание пирамиды ABCD — треугольник АВС со сторонами АС = 6, ВС = 8 ,АВ= 10. Все боковые
ребра равны 5 J2 . Найдите:
а)    радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD;
б)    расстояние между прямыми DM и АС и прямыми DM и ВС, где DM — высота пирамиды ABCD.
4238.    Основание пирамиды — квадрат со стороной, равной а, высота пирамиды проходит через середину одной из сторон основания и равна
. Найдите радиус описанной сферы.
4239.    Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами а и 2а. Высота пирамиды проходит через середину меньшей стороны основания и равна а. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
4240.    Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной а, и острым углом 30°. Высота пирамиды проходит через середину наименьшей из сторон основания и равна а. Найдите радиус описанной сферы.
4241.    В треугольной пирамиде SABC две равные боковые грани ASB и CSB перпендикулярны плоскости основания, а грань ASC наклонена к плоскости основания под углом Р Найдите радиус шара, описанного около пирамиды, если радиус окружности, описанной около основания, равен г и Z АВС = а.
4242.    В треугольной пирамиде SABC известно, что АВ = АС = 10, ВС = 16. Высота пирамиды, опущенная из вершины S, проходит через вершину В и равна 4. Найдите полную поверхность пирамиды и радиус шара, вписанного в пирамиду.
4243.    Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, высота пирамиды равна 2а. Найдите радиусы описанной и вписанной сфер.
4244.    Стороны треугольника равны а, Ъ и с. Три шара попарно касаются друг друга и плоскости треугольника в его вершинах. Найдите радиусы шаров.
4245.    Докажите, что в любую треугольную пирамиду можно вписать единственную сферу.
4246.    Плоскость проходит на расстоянии а от центра единичной сферы. Найдите ребро куба, одна грань которого лежит в этой плоскости, а вершины противоположной грани находятся на сфере.
4247.    В треугольной пирамиде ABCD известно, что АВ = а и Z АСВ = = /LADB = 90°. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.
4248.    Через центр сферы радиуса R проведены три попарно перпендикулярные плоскости. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих плоскостей и данной сферы.
4249.    Два шара касаются друг друга и граней трехгранного угла, все плоские углы которого прямые. Найдите отношение радиусов этих шаров.
4250.    Докажите, что если в четырехгранный угол можно вписать сферу, то суммы противоположных плоских углов этого четырехгранного угла равны.
4251.    Дан трехгранный угол ОАВС с вершиной О, в котором Z ВОС = а, Z СОА = Р, Z АОВ = у. Пусть вписанная в него сфера касается грани ВОС в точке К. Найдите угол ВОК. 
4252.    Докажите, что если суммы противоположных плоских углов четырехгранного угла (рис. 175) равны, то в него можно вписать сферу.
 

4253.    Внутри правильного тетраэдра с ребром о расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трех других и трех граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.
4254.    Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны о, два других противоположных ребра равны Ь, два оставшихся — с. Найдите радиус описанной сферы.
4255.    Три шара радиуса R попарно касаются между собой и некоторой плоскости. Найдите радиус шара, касающегося данных и той же плоскости.
4256.    Через центр сферы радиуса R проведена плоскость. Три равных шара касаются сферы, проведенной плоскости и между собой. Найдите радиусы шаров.
4257.    Два шара одного радиуса и два — другого расположены так, что каждый шар касается трех других и одной плоскости. Найдите отношение радиуса большего шара к радиусу меньшего.
4258.    Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной, равной о. Высота пирамиды проходит через середину одной из сторон основания и равна ~ . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
4259.    Дан куб ABCDA1B^C1Dl с ребром, равным о. Точки М и К — середины ребер АВ и CD соответственно. Найдите радиус сферы, проходящей через точки М, К, Ах и Сj.
4260.    Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны о и Ъ. Найдите полную поверхность параллелепипеда.
4261.    Шар радиуса R касается плоскости а. Рассмотрим всевозможные шары радиуса г, касающиеся данного шара и плоскости а. Найдите геометрические места центров этих шаров и точек их касания с плоскостью и данным шаром.
4262.    В правильной треугольной пирамиде SABC S — вершина, SO — высота, SA = 4, АВ = 2. Через точки S, А, В проведена сфера так, что прямая SO лежит в касательной плоскости к сфере. Найдите радиус сферы.
4263.    Внутри сферы расположены четыре шара радиуса г. Каждый из этих шаров касается трех других и поверхности сферы. Найдите радиус сферы.
4264.    На сфере радиуса R взята точка М и из нее проведены три равные между собой хорды МР, MQ и МТ, причем A PMQ = A QMT = А ТМР = а. Найдите эти хорды.
4265.    Дан правильный тетраэдр РАВС с ребром, равным а. Через точки С, Е, М, Р , где Е — середина АВ, а М — середина АС, проведена сфера. Найдите ее радиус.
4266.    Шар радиуса г касается всех боковых граней треугольной пирамиды в серединах сторон ее основания. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром шара, делится пополам точкой пересечения с основанием пирамиды. Найдите объем пирамиды.

4267.    Основание пирамиды — ромб со стороной 2 и острым углом 45°. Шар
радиуса J2 касается каждой боковой грани в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба, и найдите объем пирамиды.
4268.    Дана правильная треугольная пирамида РАВС (Р — вершина) со стороной основания а и боковым ребром Ь (Ь < а). Сфера лежит над плоскостью основания АВС, касается этой плоскости в точке А и, кроме того, касается бокового ребра РВ. Найдите радиус этой сферы.
4269.    Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырех сфер.
4270.    Высота пирамиды равна 5, а основанием служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9. Некоторая сфера касается плоскостей всех боковых граней пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания. Найдите радиус сферы.
4271.    Дана правильная треугольная пирамида SABC (S — вершина) со стороной основания а и боковым ребром
aj2 . Сфера проходит через точку А и касается боковых ребер SB и SC в их серединах. Найдите радиус этой сферы.
4272.    Даны четыре точки A, B,C,D, не лежащие в одной плоскости. Сфера касается прямых АВ и AD в точке А и прямых ВС и CD в точке С. Найдите площадь поверхности сферы, если известно, что АВ = 1, BD = 2, А АВС = = A BAD = 90°.
4278.    Ребро правильного тетраэдра
равно л/1. Найдите радиус шара, поверхность которого касается всех ребер тетраэдра.
4274.    Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен 60°. Найдите радиус сферы, касающейся двух соседних боковых ребер, противоположной боковой грани и основания.
4275.    Два равных касающихся шара вписаны в двугранный угол, равный а. Первый шар касается первой грани двугранного угла в точке А, а второй шар касается второй грани в точке В. Какая часть отрезка АВ находится вне шаров?
4276.    Ребро АС треугольной пирамиды SABC (S — вершина) перпендикулярно грани SAB. Шар касается грани ASC в точке S, а грани АВС — в точке В. Найдите радиус шара, если АС = 1, А АСВ = A BCS = 60°.
4277.    Ребро куба ABCDA^C^ равно а. Точки М и N лежат на отрезках BD и ССг соответственно (рис. 176). Прямая MN образует угол 45° с плоскостью ABCD и угол 30° с плоскостью ВВ1С1С. Найдите: а) отрезок MN; б) радиус шара с центром на отрезке MN, касающегося плоскостей ABCD и ВВ1С1С.
Сг    Д
 

4278. Высота правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна Л. Точка D расположена на ребре АВ. Прямая CXD образует угол 30° с плоскостью
9
АА1С1С и угол arcsin с плоскостью
АВС. Найдите: а) сторону основания призмы; б) радиус шара с центром на отрезке C^D, касающегося плоскостей АВС и АА1С1С.
4279.    В правильной треугольной пирамиде расположен шар радиуса 1. В точке, делящей пополам высоту пирамиды, он касается внешним образом полушара. Полушар опирается на круг, вписанный в основание пирамиды, шар касается боковых граней пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и угол между боковыми гранями пирамиды.
4280.    Три шара радиуса г лежат на нижнем основании правильной треугольной призмы, причем каждый из них касается двух других шаров и двух боковых граней призмы. На этих шарах лежит четвертый шар, который касается всех боковых граней и верхнего основания призмы. Найдите высоту призмы.
4281.    Центры четырех сфер радиуса г (г < 1) расположены в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными 2, и в середине его гипотенузы. Найдите радиус сферы, касающейся этих четырех шаров.
4282.    В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SC равно ребру АВ и наклонено к плоскости основания АВС под углом 60°. Известно, что вершины А, В, С и середины боковых ребер пирамиды расположены на сфере радиуса 1. Докажите, что центр этой сферы лежит на ребре АВ, и найдите высоту пирамиды.
4283.    В треугольной пирамиде противоположные ребра попарно равны. Докажите, что центры описанной и вписанной сфер совпадают.
4284.    Сфера радиуса г касается всех ребер треугольной пирамиды. Центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что пирамида правильная, и найдите ее высоту, если известно, что центр сферы удален от вершины пирамиды на расстояние rj3 .
4285.    На сфере радиуса 11 расположены точки А, А1г В, В1у С И Сх. Прямые ААХ, ВВ1 и СС\ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке М, отстоящей от центра сферы на расстоянии ./59 . Найдите отрезок ААг, если известно, что BBj = 18, а точка М делит отрезок СС\ в отношении
(8 + Л): (8 72 ).
4286.    В кубе ABCDAlB1C1D1 ребро равно 1. Одна сфера радиуса | касается плоскости АВС в точке А; другая сфера касается плоскости А^В^Су в точке Еj, лежащей на отрезке ВгС j, причем B1El : ЕХСj = 2:1. Известно, что эти сферы касаются друг друга внешним образом и точка их касания лежит внутри куба. Найдите расстояние от точки касания сфер до точки D.
4287.    Высота пирамиды равна 2, основание пирамиды есть ромб, площадь которого равна 8, а острый угол
равен ^ . Шар касается плоскости каждой боковой грани пирамиды в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Докажите, что прямая, соединяющая вершину пирамиды с центром шара, проходит через точку пересечения диагоналей основания пирамиды. Найдите объем шара.
4288.    В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD с острым углом при вершине А. Высота ромба равна 4, точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех граней пирамиды. Найдите объем пирамиды, если расстояние от центра сферы до прямой
АС равно Щ^АВ.
4289.    Три шара радиусов 1, 2 и 5 расположены так, что каждый из них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найдите расстояние между точками касания первого из этих шаров с плоскостями.
4290.    В основании прямой призмы ABCDAJBJCJZ)] лежит ромб ABCD с
углом BAD, равным 2 arccos |. Сфера
О
касается всех звеньев ломаной АВСС1А1 и пересекает ребро ВВ1 в точках В] и М. Найдите объем призмы и радиус сферы, если ВгМ = 1.
4291.    В треугольной пирамиде ABCD известно, что DC = 9, DB = AD, а ребро АС перпендикулярно грани ABD. Сфера радиуса 2 касается грани АВС, ребра DC, а также грани DAB в точке пересечения ее медиан. Найдите объем пирамиды.
4292.    В трехгранный угол, все плоские углы которого равны а, помещена сфера так, что она касается всех ребер трехгранного угла. Грани трехгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса г. Найдите радиус сферы.
4293.    Основанием треугольной пирамиды ABCD является треугольник
АВС, в котором AA=|,AC=jj, ВС =
= 2j2 . Ребра AD, BD, CD равны между собой. Сфера радиуса 1 касается ребер AD, BD, продолжения ребра CD за точку D и плоскости АВС. Найдите отрезок касательной, проведенной из точки А к сфере.
4294.    Основанием пирамиды является треугольник АВС, в котором
А А = Щ ,АВ =АС = 1. Вершина D пирамиды равноудалена от точек А и В. Сфера касается ребра CD, продолжений ребер AD, BD за точку D и плоскости АВС. Точка касания с плоскостью основания пирамиды и ортогональная проекция вершины D на эту плоскость лежат на окружности, описанной вокруг треугольника АВС. Найдите ребраАВ, BD, CD.
4295.    Сфера радиуса R делит каждое из ребер SA, SC, АВ и ВС треугольной пирамиды SABC на три равные части и проходит через середины ребер
АС и SB. Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины S.
4296.    Дан кубABCDAlBlClD1. Сфера касается ребер АВ, DDlt CD и прямой ВСг. Найдите радиус сферы, если ребро куба равно 1.
4297.    В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро
равно 1. Одна сфера радиуса * касает
О
ся плоскости АВС в точке В; другая сфера касается плоскости AJBJCJ в точке Ei, лежащей на отрезке CJBJ, причем СХЕХ : ЕгОг =1 : 2. Известно, что эти сферы касаются друг друга внешним образом и точка их касания лежит внутри куба. Найдите расстояние от точки касания сфер до точки С.
4298.    Основание четырехугольной пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD. Известно, что AS = 7, BS = 2, CS = 6. Найдите ребро BS.
4299.    Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны а, два других противоположных ребра равны Ь, два оставшихся — с. Найдите радиусы описанной и вписанной сфер. Докажите, что их центры совпадают.
4300.    Дана пирамида ABCD. Сфера касается плоскостей DAB, DMC и ВВС в точках K,LnM соответственно. При этом точка .ЙГ находится на стороне АВ, точка L — на стороне АС, точка М — на стороне ВС. Известно, что радиус сферы равен 3, А АВВ = 90°, А ВВС = = 105°, А АВС = 75°. Найдите объем пирамиды.
4301.    В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро равно а и равно диагонали основания ABCD. Через точку А параллельно прямой ВВ проведена плоскость Р, образующая с прямой АВ угол, равный
J5
arcsin — . Найдите площадь сечения 4
пирамиды плоскостью Р и радиус шара, касающегося плоскости Р и четырех прямых, которым принадлежат боковые ребра пирамиды. 

4302.    В куб ABCDA1BlCiD1 со стороной 1 вписана сфера. Точка Е расположена на ребре ССХ, причем СХЕ = i .
”    "    О
Из точки Е проведена касательная к сфере, пересекающая грань куба AA^DyD В точке К так, что Z КЕС =
= arccos |. Найдите КЕ.
4303.    Сфера радиуса 4 с центром в точке Q касается трех параллельных прямых в точках F, G и Н (рис. 177). Известно, что площадь треугольника
QGH равна 4 J2 , а площадь треугольника FGH больше 16. Найдите угол GFH.
 
Рис. 177

4304.    Дана треугольная пирамида ABCD. Точка F взята на ребре AD, а точка N взята на ребре BD так, что DN: NB = 1:2. Через точки F, N и точку пересечения медиан треугольника АВС проведена плоскость, параллельная плоскости ADB и пересекающая ребра СА и CD в точках ЬшК соответственно. Известно, что = (— \2
НВ IFDJ
и что радиус шара, вписанного в пирамиду CHLK, равен R. Найдите отношение площади треугольника АВС к сумме площадей всех граней пирамиды ABCD, если длина перпендикуляра, опущенного из вершины D на плоскость АВС, равна Л.
4305.    Сторона правильного треугольника равна 11. Центры трех шаров находятся в вершинах этого треугольника. Сколько существует различных плоскостей, касающихся одновременно трех шаров, если их радиусы равны: а) 7, 7, 7; б) 1,1,1; в) х, х, х.
4306.    Четырехугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Основание этой пирамиды — прямоугольник ABCD. Известно, что AS — 7, BS = 2, CS = 6, Z SAD = Z SBD = Z SCD. Найдите ребро DS.
4307.    Вокруг пирамиды ABCD описана сфера. Вторая сфера радиуса 1 касается первой внутренним образом в точке D, а также касается плоскости
АВС. Известно, AD = 3, cos Z ВАС =    .
Л
Найдите объем пирамиды ABCD.
4308.    Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны
2 + J2.. Сфера касается плоскости ABCD, а также боковых ребер SA, SB, SC и SD в точках Alt Вх, С1 и Dx соответственно. На SA взята точка Е. Плоскость EBlD1 пересекает ребро SC в точке F. Площадь ортогональной проекции четырехугольника EB^FDi на
плоскость ABCD равна |. Найдите SE.
О
4309.    Четырехугольная пирамида SABCD вписана в сферу, центр которой лежит в плоскости основания ABCD. Диагонали АС и BD основания пересекаются в точке Н, причем SH — высота пирамиды. Найдите ребра CS и CD, если СН = 4, AS = 3.
4310.    Две сферы радиуса R касаются друг друга. Через точку М проведены две прямые, касающиеся данных сфер. Первая прямая касается сфер в точках А и В, вторая — в точках С и D, точки А и С лежат на одной сфере. Известно, что Z BMD 60°, АВ = 3CD и МВ > МА. Найдите CD.
4311.    Сфера касается плоскости основания и всех боковых ребер правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF (S — вершина). Найдите объем пирамиды, если радиус сферы равен R, a Z SAB = а. 
Плоскость проходит через точку S, касается указанной сферы и пересекает прямые BE и AD соответственно в точках М и N (ЕМ > ВМ, AN > DN). Найдите:
а)    отношение DN : AD, если ВМ = = DN;
б)    отношение DN : АЛ, если ВМ : BE = 3 : 22.
4312.    В куб ABC£)A1B]C1Z)1 со стороной 1 вписана сфера. Точка F расположена на продолжении ребра ВВ1 за
точку Вг, причем FB1 = |. Из точки F
проведена касательная к сфере, пересекающая грань куба ССгЛгЛ в точке
о
Е так, что Z EFB1 = arccos . Найдите EF.
4313.    В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина) точка Р — середина апофемы SD, лежащей в грани SBC. На ребре АВ взята точка М так, что МВ : АВ = 2:7. Сфера, центр которой лежит на прямой МР, проходит через точки А, С и пересекает прямую ВС в точке Q так, что CQ = т. Найдите объем пирамиды SABC, если известно, что радиус сферы равен ^ .

4314.    Основание Н высоты SH тре
угольной пирамиды SABC принадлежит грани ABC, SH =    , SA = 1,
*    V21
SB = 2, AASB = 120°, ZACB = 60°. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SABC.
4315.    Основанием    пирамиды
SABCD является трапеция ABCD с основаниями ВС и АЛ такими, что ВС : АЛ = 2:5. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е, а центр О вписанной в пирамиду сферы лежит на отрезке SE и делит его в отношении SO : ОЕ = 7:2. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если площадь боковой грани SBC равна 8.
4316.    (Прямая Эйлера ортоиентри ческого тетраэдра.) Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (такой тетраэдр называется ортоцентрическим). Докажите, что точка пересечения медиан, высот и центр описанной сферы лежат на одной прямой.
4317.    Дана треугольная пирамида АВСЛ. Скрещивающиеся ребра АС и ВЛ этой пирамиды перпендикулярны. Также перпендикулярны скрещивающиеся ребра АЛ и ВС, а АВ = СЛ. Все ребра этой пирамиды касаются шара радиуса г. Найдите площадь грани АВС.
4318.    Сфера касается ребер AS, BS, ВС и АС треугольной пирамиды SABC в точках К, L, М и N соответственно. Найдите KL, если MN = 7, NK = 5,
LN = 2^/29 и KL = LM.
4319.    Сфера касается ребер AS, CS, АВ и ВС треугольной пирамиды SABC в токах Р, Q, R и Т соответственно. Найдите QT, если QT = 7, PQ = PR = 8,
РТ = 782 и QT на 7 больше, чем ВТ.
4320.    Даны треугольник АВС, в котором АВ = 3, АС = 4, и два шара радиусов 2 и 3 с центрами в точках В и С. Через точку А проходит прямая, касающаяся первого шара в точке М, а второго — в точке К. Найдите МК, если а) ВС = 2; б) ВС = 5; в) ВС = 6.
4321.    Сторона правильного треугольника равна 11. Центры трех шаров находятся в вершинах этого треугольника. Сколько существует различных плоскостей, касающихся одновременно трех шаров, если радиусы шаров равны 3, 4, 6?
4322.    В шаре радиуса 7 через точку S проведены три равные хорды ААг, ВВг и ССг так, что AS = 8, AXS = 3, BS > > BjS, CS > CjS. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SABC.
4323.    В треугольной пирамиде АКLM выполнено AK=AL = AM, KL =
= LM = MK, tg Z AKM = —. Сфера
73
радиуса 2 Jz касается луча LA, касается плоскости АКМ и касается плоскости KLM в точке, лежащей на луче ХМ.
Найдите наименьшее возможное значение длины отрезка LM.
4324.    Сфера с центром в точке О проходит через вершины А, В и С треугольной пирамиды ABCD и пересекает прямые AD, BD и CD в точках К, L и М соответственно. Известно, что AD = 10, ВС : BD = 3 : 2 и АВ : CD =
= 4/3 : 11. Проекциями точки О на плоскости ABD, BCD и CAD являются середины ребер АВ, ВС и АС соответственно. Расстояние между серединами ребер АВ и CD равно 13. Найдите периметр треугольника KLM.
4325.    Дана треугольная пирамида
ABCD. На ребре АС взята точка F так, что CF : FA = 2:9; на ребре CD взята точка М так, что AM — биссектриса угла DAC. Через точки F, М и точку пересечения медиан треугольника DAB проведена плоскость, пересекающая ребро DB в точке Н. Известно, что V А    Г) И
— = —— + 1. Известно также, что от AD Нв    ’
ношение площади треугольника ADB к сумме площадей всех граней пирамиды АВС Нравно/), а перпендикуляр, опущенный из вершины С на плоскость ABD, равен h. Через точку Н проведена плоскость, параллельная плоскости АС В и пересекающая ребра CD и DA в точках К и L соответственно. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду DKLH.
4326.    Сфера радиуса 13 касается граней ABCD, AAJHJZ) и АА^ф куба ABCZM1B1C1I)1. Вторая сфера радиуса 5 касается граней ABCD, AA^DXD и CC^D^D куба и касается первой сферы. На ребре ВС взята точка F, на продолжении ребра DC за точку С — точка Е так, что СЕ = CD. Плоскость CXEF пересекает первую сферу по окружности, радиус которой в 2,6 раза больше радиуса окружности, по которой эта плоскость пересекает вторую сферу. Найдите отношение BF : FC.
о
4327.    Сфера радиуса вписана в
8
четырехугольную пирамиду SABCD, у которой основанием служит ромб ABCD такой, что A BAD = 60°; высота пирамиды, равная 1, проходит через точку К пересечения диагоналей ромба. Докажите, что существует единственная плоскость, пересекающая ребра основания АВ и AD в некоторых
4 /?
точках М и N таких, что MN =    ,
5
касающаяся сферы в точке, удаленной на равные расстояния от точек М uN, и пересекающая продолжение отрезка SK за точку К в некоторой точке Е. Найдите длину отрезка SE.
4328.    На гранях двугранного угла с ребром AD лежат точки В и С. Отрезок DE параллелен плоскости треугольника АВС. В пирамиду BCDE вписан шар. Отношение расстояния от его центра до прямой DE к расстоянию от прямой DE до плоскости АВС равно к. Пусть точка В' — проекция точки В на плоскость CDE. Известно, что tg Z B'DE : tg A BDE = I. Через середину отрезка AD проведена плоскость Р, параллельная плоскости АВС. Найдите площадь сечения плоскостью Р многогранника ABCDE, составленного из треугольных пирамид ABCD и BCDE, если известно, что площадь грани АВС равна S, а сумма площадей всех граней пирамиды BCDE равна о.
4329.    В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС
со стороной 2 л/З и SA = SB = SC = Jl. В трехгранный угол при вершине С вписана сфера Sx. Сфера S2, радиус которой втрое больше, чем у сферы Slt касается сферы Sj, плоскостей SAC и АВС. При этом отрезок прямой SB, заключенный внутри сферы S2, равен
—. Найдите радиус сферы S2.
4330.    На плоскости а, проходящей через центр шара радиуса R, задана окружность с центром Oj и радиусом Г], расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой А, принадлежащей шару и удаленной от плоскости а на расстояние R. Множество отличных от А точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью радиуса г2, плоскость которой образует угол ф с плоскостью а. Найдите расстояние между точками А и Oj.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Теги: сфера | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar