Тема №5110 Задачи по геометрии теорема Пифагора
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии теорема Пифагора из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии теорема Пифагора, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

833.    Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное (среднее геометрическое) проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на нее.
834.    (Теорема Пифагора.) Докажите, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
835.    (Формула Герона.) Пусть S — площадь треугольника со сторонами о, b и с; р — его полупериметр. Докажите, что S = Jp{p - а)(р - Ь)(р - с).
836.    Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.
837.    Диагонали ромба равны 24 и 70. Найдите сторону ромба.
838.    Радиус круга равен 13, хорда равна 10. Найдите ее расстояние от центра.
839.    К окружности радиуса 36 проведена касательная из точки, удаленной от центра на 85. Найдите длину касательной.
840.    Из общей точки проведены к окружности две касательные. Радиус окружности равен 11, а сумма касательных равна 120. Найдите расстояние от центра до общей точки касательных.
841.    В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) известно, что А А = = а, ВС = о. Найдите гипотенузу и второй катет.
842.    Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 5 и 12.
843.    Прямая, проходящая через точку М, удаленную от центра окружности радиуса 10 на расстояние, равное 26, касается окружности в точке А. Найдите AM.
844.    Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, если стороны треугольника равны 10, 13, 13.
845.    Найдите диагонали ромба, если они относятся как 3 : 4, а периметр равен 1.
846.    В равнобедренной трапеции основания равны 10 и 24, боковая сторона 25. Найдите высоту трапеции.
847.    Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла, если гипотенуза равна 8, а один из острых углов равен 60°.
848.    Найдите расстояние от центра окружности радиуса 10 до хорды, равной 12.
849.    Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса 8.
850.    Найдите высоту трапеции со сторонами, равными 10, 10, 10 и 26.
851.    Вершина М правильного треугольника АВМ со стороной о расположена на стороне CD прямоугольника ABCD. Найдите диагональ прямоугольника ABCD.
852.    Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.
853.    АВ и CD — две параллельные хорды, расположенные по разные стороны от центра О окружности радиуса 15; АВ = 18, CD = 24. Найдите расстояние между хордами.
854.    Две параллельные хорды АВ и CD расположены по одну сторону от центра О окружности радиуса 30; АВ = = 48, CD = 36. Найдите расстояние между хордами.
855.    В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 17 : 15. Основание равно 60. Найдите радиус этого круга.
856.    Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с, один из острых углов равен а. Найдите высоту, проведенную из вершины прямого угла.
857.    В равнобедренном треугольнике АВС угол при вершине В равен 120°, а основание равно 8. Найдите боковые стороны.
858.    Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные о и Ь. Найдите катеты.
859.    Основания равнобедренной трапеции равны о и b (а > Ъ), острый угол равен 45°. Найдите площадь трапеции.
860.    Из одной точки А проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные (рис. 34). Найдите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 и 50, а их проекции на данную прямую относятся как 3 : 10.
А
 

861.    В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 41, высота равна 40 и средняя линия равна 45. Найдите основания.
862.    Докажите, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований.
863.    В трапеции ABCD основание AD = 2, основание ВС — 1. Боковые стороны АВ = CD = 1. Найдите диагонали.
864.    Один из катетов прямоугольного треугольника больше другого на 10, но меньше гипотенузы на 10. Найдите гипотенузу треугольника.
865.    В треугольнике АВС угол ВАС — прямой, стороны АВ и ВС равны соответственно 5 и 6. Точка# делит сторону АС в отношении 3:1, считая от точки А, АН — высота треугольника АВС. Что больше: 2 или отношение ВК к АН?
866.    Найдите периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, если известно, что хорда этой окружности длиной 2 удалена от центра на расстояние, равное 3. 
867.    Два круга радиусов г и R внешне касаются. Из центра одного круга проведена касательная к другому кругу, а из полученной точки касания проведена касательная к первому кругу. Найдите длину последней касательной.
868.    В равнобедренном треугольнике основание равно 30, а боковая сторона равна 39. Найдите радиус вписанного круга.
869.    Найдите радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника с основанием 6 и боковой стороной 5.
870.    Найдите периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, если известно, что хорда длиной 2 этой окружности удалена от ее центра на 3.
871.    Найдите длину стороны квадрата, вписанного в окружность, если известно, что хорда длиной 2 этой окружности удалена от ее центра на 3.
872.    На каком расстоянии от сторон правильного шестиугольника находится центр окружности, описанной около данного шестиугольника, если известно, что хорда длиной 3 этой окружности удалена от ее центра на 0,5?
873.    Вершина М правильного треугольника АВМ со стороной о расположена на стороне CD прямоугольника ABCD. Найдите диагональ прямо- угол ьн ика ABCD.
874.    Найдите высоту и радиусы вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника со стороной, равной а.
875.    Точка М расположена на стороне CD квадрата ABCD с центром О, причем СМ : MD =1:2. Найдите стороны треугольника АОМ, если сторона квадрата равна 6.
876.    Большее основание прямоугольной трапеции вдвое больше ее меньшего основания, а боковые стороны равны 4 и 5. Найдите диагонали трапеции.
877.    Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 7, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 42. Найдите отрезки гипотенузы.
878.    В треугольнике больший угол при основании равен 45°, а высота делит основание на отрезки, равные 20 и 21. Найдите большую боковую сторону.
879.    В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки т и п (т> п). Найдите другой катет и гипотенузу.
880.    Периметр параллелограмма равен 90, а острый угол равен 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найдите стороны параллелограмма.
881.    В треугольнике АВС известно,что АВ = 3, высота CD = J3 . Основание D высоты CD лежит на стороне АВ и AD = ВС. Найдите АС.
882.    Окружность радиуса R, построенная на большем основании AD трапеции АВСН как на диаметре, касается меньшего основания ВС в точке С, а боковой стороны АВ — в точке А. Найдите диагонали трапеции.
883.    Сторона правильного треугольника равна о. Найдите радиус вневписанной окружности.
884.    На основании равнобедренного треугольника, равном 8, как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найдите радиус окружности, если высота, опущенная на основание треугольника, равна 3.
885.    В окружности радиуса R проведен диаметр и на нем взята точка А на расстоянии а от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.
886.    В сектор АОВ с радиусом R и углом 90° вписана окружность, касаю- 
щаяся отрезков ОА, ОВ и дуги АВ (рис. 35). Найдите радиус окружности.
 

887.    О — центр окружности, С — точка пересечения хорды АВ и радиуса OD, перпендикулярного ей, ОС = 9, CD = 32. Найдите хорду.
888.    АВ — диаметр круга; ВС — касательная; D — точка пересечения прямой АС с окружностью. Дано: AD = = 32 и DC =18. Найдите радиус круга.
889.    Радиус круга равен R. Найдите длину хорды, проведенной из конца данного диаметра через середину перпендикулярного ему радиуса.
890.    В прямоугольном треугольнике острый угол равен а, а радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен R. Найдите высоту треугольника, опущенную на гипотенузу.
891.    Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна т и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите стороны треугольника.
892.    Хорда АС окружности радиуса R образует с диаметром АВ угол, равный а. Найдите расстояние от точки С до диаметра АВ.
893.    Основания прямоугольной трапеции равны 6 и 8. Один из углов при меньшем основании равен 120°. Найдите диагонали трапеции.
894.    Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.
895.    Даны отрезки о и Ь. Постройте
отрезки Ja2 + Ьг , Ja2 - Ь2 .
896.    Найдите основание равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна о, а высота, опущенная на основание, равна отрезку, соединяющему середину основания с серединой боковой стороны.
897.    Боковые стороны треугольника равны 25 и 30, а высота, проведенная к основанию, равна 24. Найдите основание.
898.    В треугольнике АВС проведена высотаАО. Докажите, что АВ2 - АС2 = = BD2 - CD2 и АВ2 -АС2 = ВМ2 - СМ2, где М — произвольная точка высоты
AD.
899.    В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона АВ равна 10 и основание АС равно 12. Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке D. Найдите BD.
900.    В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со стороной, равной 6, так, что угол в 60° у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите стороны треугольника.
901.    В треугольнике АВС сторона АВ равна 6. Основание D высоты CD лежит на стороне АВ. Известно, что AD = 4, ВС = 4. Найдите высотуА_Е, которая опущена из вершины А на сторону ВС.

902.    Даны две параллельные прямые на расстоянии 15 одна от другой; между ними дана точка М на расстоянии 3 от одной из них. Через точку М проведена окружность, касающаяся обеих прямых. Найдите расстояние между проекциями центра и точки М на одну из данных прямых.
903.    Периметр равнобедренной трапеции, описанной около круга, равен р. Найдите радиус этого круга, если известно, что острый угол при основании трапеции равен а.
904.    В равнобедренную трапецию с основаниями о и b вписана окружность. Найдите диагональ трапеции.
905.    Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга внешним образом. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найдите радиус меньшей окружности, если радиусы большей и средней равны 6 и 4.
906.    В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен г.
907.    Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной равна 12, а расстояние между точками касания равно 14,4. Найдите радиус окружности.
908.    Через концы дуги окружности, содержащей 120°, проведены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Докажите, что ее длина равна длине исходной дуги.
909.    В окружности радиуса R про-
D
ведена хорда, равная —. Через один
конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей.
910.    В сегменте хорда равна о, а высота равна h. Найдите радиус круга.
911.    Радиус круга равен 25; две параллельные хорды равны 14 и 40. Найдите расстояние между ними.
912.    Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 156, а расстояние между точками касания равно 120. Найдите радиус круга.
913.    АВ и АС — касательные к одному кругу с центром О, М — точка пересечения прямой АО с окружностью; DME — отрезок касательной, проведенной через точку М, между АВ и АС. Найдите DE, если радиус круга равен 15, а расстояние АО равно 39.
914.    К окружности радиуса, равного 7, проведены две касательные из одной точки, удаленной от центра на 25 (рис. 36). Найдите расстояние между точками касания.
 

915.    Данного круга касаются два равных меньших круга — один изнутри, другой извне, причем дуга между точками касания содержит 60°. Радиусы меньших кругов равны г, радиус большего круга равен R. Найдите расстояние между центрами меньших кругов.
916.    На катете ВС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре по-строена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К. Найдите площадь треугольника СКВ, если катет ВС равен о и катет АС равен Ь.
917.    Трапеция KLMN с основаниями KN и LM вписана в окружность, центр которой лежит на основании KN. Диагональ КМ трапеции равна 4, а боковая сторона KL равнаЗ. Найдите основание LM.
918.    В треугольнике АВС угол ВАС — прямой, стороны АВ и ВС равны соответственно 1 и 2. Биссектриса угла АВС пересекает сторону АС в точке L, G — точка пересечения медиан треугольника АВС. Что больше: BL или BG?
919.    В прямоугольнике ABCD отрезки АВ и BD равны соответственно 3 и 6. На продолжении биссектрисы BL треугольника ABD взята точка N такая, что точка L делит отрезок BN в отношении 10:3, считая от точки В. Что больше: BN или CL?
920.    Косинус угла при основании равнобедренного треугольника равен
О
-; высота, опущенная на основание, 5
равна h. Найдите высоту, опущенную на боковую сторону.
921.    Гипотенуза прямоугольного треугольника равна о, один из острых углов равен а. Найдите расстояния от основания высоты, опущенной на гипотенузу, до катетов треугольника.
922.    Из точки М проведены касательные МА и МВ к окружности с центром О (А к В — точки касания). Найдите радиус окружности, если Z. АМВ = аи АВ = а.
923.    Площадь прямоугольника равна 120, синус угла между диагональю и одной из сторон равен —.
Найдите стороны прямоугольника.
924.    Прямые, касающиеся окружности с центром О в точках А и В, пересекаются в точке М. Найдите хорду АВ, если отрезок МО делится ею на отрезки, равные 2 и 18.
925.    Докажите, что произведение стороны треугольника на проведенную к ней высоту для данного треугольника постоянно.
926.    Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведенную к большей стороне.
927.    Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
928.    В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна большей боковой стороне. Найдите большую диагональ, если большая боковая сторона равна а, а меньшее основание равно Ь.
929.    В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам,
равны J&2 и ,/73. Найдите гипотенузу треугольника.
930.    В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные из вершин
острых углов, равны ./156 и ,/89. Найдите гипотенузу треугольника.
931.    В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна с и А АВС = а. Найдите все медианы в этом треугольнике.
932.    В большем из двух концентрических кругов проведена хорда, равная 32 и касающаяся меньшего круга. Определите радиус каждого из кругов, если ширина образовавшегося кольца равна 8.
933.    В треугольник вписана окружность радиуса 3. Найдите стороны тре-угольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки с длинами 4 и 3.
934.    Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного тре-угольника равны 2 и 5 соответственно. Найдите катеты треугольника.
935.    Около окружности с диаметром 15 описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17. Найдите основания трапеции.
936.    Расстояния от одного конца диаметра до концов параллельной ему хорды равны 13 и 84. Найдите радиус круга.
937.    Два круга касаются внешним образом (рис. 37). Найдите длину их
 

общей внешней касательной (между точками касания), если радиусы равны 16 и 25.
938.    Катет АС =15, катет СВ = 8. Из центра С радиусом СВ описана дуга, отсекающая от гипотенузы часть BD. Найдите BD.
939.    В прямоугольном треугольнике АВС катет АС равен 16 и катет ВС равен 12. Из центра В радиусом ВС описана окружность и к ней проведена касательная, параллельная гипотенузе (причем касательная и треугольник лежат по разные стороны от гипотенузы). Катет ВС продолжен до пересечения с проведенной касательной. Определите, насколько продолжен катет.
940.    Расстояние между центрами двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно 65; длина их общей внешней касательной (между точками касания) равна 63; длина их общей внутренней касательной равна 25. Найдите радиусы окружностей.
941.    В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла опущен перпендикуляр на гипотенузу, и на нем как на диаметре построена окружность, которая на катетах СА и СВ высекает внутренние отрезки тип. Найдите катеты, если т = 12, п = 18.
942.    В равнобедренном треугольнике основание равно 48, а боковая сторона равна 30. Найдите радиусы описанного и вписанного кругов и расстояние между их центрами.
943.    В треугольнике АВС угол А — прямой, Z В = 30°. В треугольник вписана окружность, радиус которой равен УЗ . Найдите расстояние от вершины С до точки касания этой окружности с катетом АВ.
944.    Найдите радиус окружности, вписанной в ромб со стороной а и острым углом 60°.
945.    Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с
острым углом 60°, равен Уз . Найдите стороны треугольника.
946.    Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, равна а и делит сторону пополам. Острый угол параллелограмма равен 30е. Найдите диагонали параллелограмма.
947.    Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите высоту, проведенную из вершины прямого угла.
948.    Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора. Верна ли она?
949.    Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки длиной а и Ь. Найдите диагонали ромба.
950.    Прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Большая боковая сторона трапеции равна 8, а разность оснований равна 10. Найдите меньшую боковую сторону.
951.    Из точки М проведены касательные МА и МВ к окружности с центром О (А и В — точки касания). Найдите радиус окружности, если ААМВ = а и АВ = а.
952.    На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные а и Ь. Найдите основание треугольника.
953.    В тупоугольном равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно 32, а боковая сторона равна 20. Из вершины В проведен перпендикуляр к боковой стороне до пересечения с основанием. На какие отрезки он делит основание?
954.    Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18.
955.    В треугольнике АВС высота CD = 7, а высота АЕ = 6. Точка Е делит сторону ВС так, что BE : ЕС = 3:4. Найдите сторону АВ.
956.    Докажите, что обратная величина квадрата высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равна сумме обратных величин квадратов катетов.
957.    Найдите площадь квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами а и Ь (сторона квадрата лежит на гипотенузе, а две вершины — на катетах треугольника).
958.    Окружности радиусов 8 и 3 касаются внутренним образом. Из центра большей окружности проведена касательная к меньшей окружности. Найдите длину этой касательной.
959.    Точка В расположена вне окружности, а точки А и С — две диаметрально противоположные точки этой окружности. Отрезок АВ пересекается с окружностью в точке Р, а отрезок СВ — в точке Q. Известно, что АВ = 2,
PC = J2 ,AQ = J3 . Найдите АС.
960.    В треугольнике АВС известно, что АВ = 6 ,АВ = ВС. На сторонеАВ как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону ВС в точке D так, что BD : DC =2:1. Найдите АС.
961.    В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12. Найдите катеты треугольника.
962.    Дана прямоугольная трапеция. Окружность, построенная на меньшей боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны и делит ее на отрезки с длинами аиЬ (рис. 38). Найдите радиус окружности.
963.    Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного тре-угольника, если радиус окружности, вписанной в него, равен 3, а катет равен 10.
964.    Дан круг радиуса R. Четыре круга равных радиусов касаются данного круга 

внешним образом, и каждый из этих четырех кругов касается двух других. Найдите радиусы этих четырех кругов.
965.    Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности радиуса R, а две другие — на касательной к этой окружности. Найдите диагонали квадрата.
966.    Окружность радиуса г касается некоторой прямой в точке М. На этой прямой по разные стороны от М взяты точки А и В так, что МА МВ ^ = а. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся данной окружности.
967.    В круговой сектор с центральным углом 120° вписан круг. Найдите его радиус, если радиус данного круга равен R.
968.    Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 и 15, аобщая хорда равна 24. Найдите расстояние между центрами.
969.    Радиусы двух кругов равны 27 и 13, а расстояние между центрами равно 50. Найдите длины их общих касательных.
970.    Окружность с центром в вершине прямого угла прямоугольного треугольника радиусом, равным меньшему катету, делит гипотенузу на отрезки 98 и 527 (начиная от меньшего катета). Найдите катеты.
971.    Длины двух параллельных хорд равны 40 и 48, расстояние между ними равно 22. Найдите радиус круга.
972.    Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите расстояние от центра вписанного круга до высоты, опущенной на гипотенузу.
973.    В прямоугольном треугольнике катеты равны 75 и 100. На отрезках гипотенузы, образуемых основанием высоты, построены полуокружности по одну сторону с данным треугольником. Найдите отрезки катетов, заключенные внутри полукругов.
974.    Точка удалена от прямой MN на расстояние а. Данным радиусом г описана окружность так, что она проходит через точку А и касается прямой MN. Найдите расстояние между полученной точкой касания и данной точкой А.
975.    Сторона АВ треугольника АВС равна 1. На стороне АВ как на диаметре построена окружность, которая делит сторону АС точкой D пополам, а сторону ВС точкой Е в отношении BE : ЕС = 7:2. Найдите сторону АС.
976.    В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найдите стороны треугольника.
977.    В прямоугольный треугольник вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания на отрезки длиной 5 и 12. Найдите площадь треугольника.
978.    В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 30, вписана окружность. Один из катетов делится точкой касания в отношении 2:3, считая от вершины прямого угла. Найдите стороны треугольника.
979.    Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырехугольника. Найдите ВС, если АВ =
= 6, BD = 3 УЗ , z ВАС : А САВ =1:3.
980.    Три стороны четырехугольника в порядке обхода равны 7, 1 и 4. Найдите четвертую сторону этого четырехугольника, если известно, что его диагонали перпендикулярны.
981.    Две вершины квадрата расположены на основании равнобедренного треугольника, а две другие — на его боковых сторонах. Найдите сторону квадрата, если основание треугольника равно а, а угол при основании равен 30°.
982.    Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90° и 60°. Найдите радиусы окружностей, если расстояние между их центрами равно а.
983.    Высота треугольника АВС, опущенная на сторону ВС, равна h, А В = Р, А С = у- Найдите остальные высоты этого треугольника.
984.    Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен R. Угол при основании равен а. Найдите стороны треугольника.
985.    В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона равна 10, большее основание равно 24, а высота равна 8. Определите, что пересекает биссектриса острого угла трапеции: меньшее основание или его продолжение.
986.    Найдите высоту трапеции, боковые стороны которой равны 6 и 8, а основания равны 4 и 14.
987.    Основание равнобедренного треугольника равно 1, а углы при основании 30°. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в данный равнобедренный, одна сторона которого перпендикулярна основанию данного.
988.    Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центр ее описанной окружности лежит на большем основании (рис. 39).
 
Рис. 39

989.    Отрезок, соединяющий центры двух пересекающихся окружностей, делится их общей хордой на отрезки, равные 5 и 2. Найдите общую хорду» если известно, что радиус одной окружности вдвое больше радиуса другой.
990.    Сторона треугольника равна 2, прилежащие к ней углы равны 30° и 45°. Найдите остальные стороны треугольника.
991.    Косинус угла при основании равнобедренного треугольника равен
; высота, опущенная на основание,
равна h. Найдите высоту, опущенную на боковую сторону.
992.    На катете ВС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре по-строена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К. Найдите СК, если ВС = а и АС = Ъ.
993.    В трапеции ABCD основание AD = 2, основание ВС = 1. Боковые стороны АВ = CD — 1. Найдите диагонали трапеции.
994.    Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведен к ней перпендикуляр. Отрезок этого перпендикуляра, заключенный внутри треугольника, равен с, а отрезок, заключенный между одним катетом и продолжением другого, равен Зс. Найдите гипотенузу.
995.    Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а непараллельных — 20 и 13. Найдите высоту трапеции.
996.    Основания равнобедренной трапеции а и Ь, боковая сторона равна с, а диагональ равна d. Докажите, что d2 — = ab + с2.
997.    В трапеции ABCD одно основание в два раза больше другого. Меньшее основание равно с. Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом, а отношение боковых сторон равно k. Найдите боковые стороны трапеции.
998.    В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны т и п. Найдите площадь квадрата.
999.    В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на основание и боковую сторону, равны соответственно т и п. Найдите стороны треугольника.
1000.    Окружности с центрами Oj и 02 имеют общую хорду АВ, Z. АО^В = = 60°. Отношение длины первой окружности к длине второй окружности
равно л/2 . Найдите угол АОгВ.
1001.    Сторона ВС треугольника АВС равна 12. Около треугольника описана окружность радиуса 10. Найдите стороны АВ и АС треугольника, если известно, что радиус ОА окружности делит сторону ВС на два равных отрезка.
1002.    Окружности радиусов 2 и 3 внешним образом касаются друг друга в точке А. Их общая касательная, проходящая через точку А, пересекает две другие их общие касательные в точках В и С. Найдите ВС.
1003.    В треугольнике АВС на стороне АС как на диаметре построена ок-ружность, которая пересекает сторону АВ в точке М и сторону ВС в точке N. Известно, чтоАС = 2, АВ = 3,АМ : МВ = = 2:3. Найдите AN.
1004.    На катете ВС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу в точке D так, что AD : BD = = 1:3. Высота, опущенная из вершины С прямого угла на гипотенузу, равна 3. Найдите катет ВС.
1005.    Четырехугольник АВСН вписан в окружность радиуса R. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Р. Найдите АР2 + BP2 + CP2 + DP2 и АВ2 + ВС2 + + CD2 + AD2.
1006.    Прямая, перпендикулярная двум сторонам параллелограмма, делит его на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите острый угол параллелограмма, если его стороны равны а и Ъ (а < Ь). 

1007.    Окружности радиусов г и R (Л > г) касаются внешним образом в точке К. К ним проведены две общие внешние касательные (рис. 40). Их точки касания с меньшей окружностью — А и D, с большей — В и С соответственно.
 

а)    Найдите АВ и отрезок MN общей внутренней касательной, заключенный между внешними касательными.
б)    Докажите, что углы АКБ и 01М02 — прямые (01 и 02 —• центры окружностей).
1008.    Две окружности касаются ДРУГ друга внешним образом в точке С. Радиусы окружностей равны 2 и 7. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку С, пересекается с другой их общей касательной в точке D. Найдите расстояние от центра меньшей окружности до точки D.
1009.    Найдите отношение радиусов двух окружностей, касающихся между собой, если каждая из них касается сторон угла, величина которого равна а.
1010°. Сторона треугольника равна 48, а высота, проведенная к этой стороне, равна 8,5. Найдите расстояние от центра окружности, вписанной в этот треугольник, до вершины, противоположной данной стороне, если радиус вписанной окружности равен 4.
1011°. Выпуклый четырехугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке О, при этом АО = = ОС = 1, ВО = OD = 2. Найдите периметр четырехугольника АВСН.
1012.    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с. Центры трех
окружностей радиуса % находятся в
его вершинах. Найдите радиус четвертой окружности, которая касается трех данных и не содержит их внутри себя.
1013.    В равнобедренном треугольнике АВС известно, что Z А = а > 90° и ВС = а. Найдите расстояние между точкой пересечения высот и центром описанной окружности.
1014°. В окружность радиуса 3 + -Уз вписан правильный шестиугольник ABCDEK. Найдите радиус круга, вписанного в треугольник ACD.
1015. Окружность радиуса 1 + J2 описана около равнобедренного пря-моугольного треугольника. Найдите радиус окружности, которая касается катетов этого треугольника и внутренним образом касается окружности, описанной около него.
1016°. На плоскости даны две окружности радиусов 12 и 7 с центрами в точках Oj и 02, касающиеся некоторой прямой в точках Л/, и М2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Известно, что М1М2 ■ Ог02 =    : 5.
Найдите МХМ2.
1017. На плоскости даны две окружности радиусов 4 и 3 с центрами в точках (?! и 02, касающиеся некоторой прямой в точках Мj и М2 и лежащие по разные стороны от этой прямой. Известно, что ОгОг : М1М2 = 2: J3 . Найдите ого2.
1018°. Дана трапеция ABCD, у которой угол BAD — прямой. На стороне АВ как на диаметре построена окружность, которая пересекает диагональ BD в точке М. Известно, что АВ = 3, AD = 4, ВС *= 1. Найдите угол САМ. 
1019. Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника удалена от катетов на расстояния соответственно 3 и 4. Найдите расстояние от этой точки до гипотенузы.
1020°. Точки А, В и С расположены на одной прямой. Через точку В проходит некоторая прямая. Пусть М — произвольная точка на этой прямой. Докажите, что расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников АВМ и СВМ, не зависит от положения точки М. Найдите это расстояние, если АС = а, А МВС = а.
1021.    Радиус окружности, вписанной в ромб, равен г, а острый угол ромба равен а. Найдите сторону ромба.
1022.    Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна а и образует угол а с медианой, проведенной из той же вершины. Найдите катеты треугольника.
1023.    В трапеции ABCD большее основание AD = 19, боковая сторона АВ = 13, а другая боковая сторона CD = 12 и перпендикулярна основаниям. Биссектриса острого угла BAD пересекает прямую DC в точке М. Определите, где лежит точка М: на отрезке DC или вне его.
1024.    Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к боковой стороне, если основание равно а, а боковая сторона равна Ь.
1025.    Вершины Ми N равностороннего треугольника BMN лежат соответственно на сторонах AD и CD квадрата ABCD со стороной, равной о. Найдите MN.
1026.    Даны отрезки а и Ъ. Постройте отрезок Jab.
1027.    Высота CD треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки AD и BD, причем AD • BD = CD2. Верно ли, что треугольник АВС — прямоугольный?
1028.    Две стороны треугольника равны 6 и 8. Медианы, проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону треугольника.
1029.    В треугольнике АВС извест-

но, что BD — медиана, BD = —- АВ, а
4
A DBC = 90°. Найдите угол ABD.
1030.    На продолжении стороны AD прямоугольника ABCD за точку D взята точка Е, причем DE = 0.5AD и А ВЕС = 30°. Найдите отношение сторон прямоугольника АВСН.
1031.    На продолжении стороны АВ ромба АВСН за точку В взята точка М,
причем MD = МС и Z. MDC == arctg - .
5
Найдите отношение отрезков МА и МВ.
1032.    В трапеции ABCD большее основание АН равно а, ВС перпендикулярно СН, АВ = ВС, диагональ BD перпендикулярна АВ (рис. 41). Найдите стороны трапеции.
 

1033.    В треугольнике АВС медианы АЕ и ВП, проведенные к сторонам ВС и АС, пересекаются под прямым углом. Сторона ВС равна а. Найдите другие стороны треугольника АВС, если АВ2 + ВП2 = d2.
1034.    В трапеции ABCD диагонали пересекаются под прямым углом, а одно основание в два раза больше другого. Отношение боковых сторон трапеции равно т. Найдите боковые стороны трапеции, если сумма квадратов диагоналей равна d2.
1035.    В треугольнике известны стороны: АВ =15, ВС = 13 и АС = 14. Че- 
рез точку С проведен перпендикуляр к стороне АС до пересечения в точке К с продолжением стороны АВ. Найдите ВК и СК.
1036.    Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите стороны треугольника.
1037.    Боковая сторона, меньшее основание и диагональ равнобедренной трапеции равны соответственно 10,6 и 14. Найдите большее основание.
1038.    ААг, ВВ1 и ССг — высоты треугольника АВС. Докажите, что
АВ\ + ВС\ + СА\ =
= АС\ + ВА1 + СВ\ .
1039.    Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать и около него можно описать окружности. Диаметр описанной окружности совпадает с диагональю АС. Докажите, что модули разностей его противоположных сторон равны.
1040.    В прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 26, вписана окружность радиуса 4. Найдите периметр треугольника.
1041.    Диаметр АВ окружности равен 1. На нем отложен отрезок АС, равный а. Проведена также хорда AD, равная Ь. Из точки С восставлен перпендикуляр к АВ, пересекающий хорду AD в точке Е, а из точки D опущен перпендикуляр DF на АВ. Оказалось, что АЕ =AF. Докажите, что а = Ь3.
1042.    В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса R. Найдите стороны трапеции, если ее мень-
4 R
шее основание равно .
1043.    Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов ее боковой стороны на расстояния 15 и 20. Найдите стороны трапеции.
1044.    Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке А. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку А, пересекается с другой их общей касательной в точке В. Найдите радиус второй окружности, если АВ = 4.
1045.    Окружности радиусов г и R касаются внешним образом. К ним проведена общая внешняя касательная; А и В — точки касания. Найдите радиус окружности, касающейся внешним образом данных окружностей и касающейся прямой АВ.
1046.    Даны окружности радиусов г и R(R> г). Расстояние между их центрами равно а (а > R+ г). Найдите отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания.
1047.    В круге с центром О хорда АВ пересекает радиус ОС в точке D, причем A CD А = 120°. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков AD,
DC и дуги АС, если ОС = 2, OD = ,/3 .
1048.    Дана окружность с центром в точке О и радиусом 2. Из конца отрезка ОА, пересекающегося с окружностью в точке М, проведена касательная АК к окружности, А ОАК = 60°. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков AX', AM и дуги МК.
1049.    Сторона АВ прямоугольника ABCD равна 12, а сторона AD равна 5. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке Е. Найдите отношение расстояния от точки Е до центра окружности, вписанной в треугольник AED, к расстоянию от точки Е до центра окружности, вписанной в треугольник DEC.
1050.    Найдите площадь ромба ABCD, если радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и ABD, равны Rnr.
1051.    Найдите сумму квадратов расстояний от точки М, взятой на диа- 

метре некоторой окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд, если радиус окружности равен R, а расстояние от точки М до центра окружности равно а.
1052.    В окружность радиуса 17 вписан четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 и 9 от центра окружности. Найдите стороны четырехугольника.
1053.    Две окружности с центрами 01? 02 и радиусами 32, пересекаясь, делят отрезок 0j02 на три равные части. Найдите радиус окружности, которая касается изнутри обеих окружностей и касается отрезка 0102.
1054.    В равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся боковых сторон треугольника и вписанной в него окружности. Найдите радиус второй окружности.
1055.    В прямоугольном треугольнике АВС с катетами 3 и 4 вершина С прямого угла соединена с серединой D гипотенузы АВ. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD.
1056.    В прямоугольном треугольнике АВС с острым углом 30° проведена высота CD из вершины прямого угла С. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, если меньший катет треугольника АВС равен 1.
1057.    Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами тип. Найдите стороны треугольника.
1058.    Длины боковой стороны АВ и основания CD трапеции ABCD равны k, а длина основания АВ = 2k. Длина диагонали АС равна I. Найдите длину боковой стороны ВС.
1059.    В прямоугольной трапеции верхнее основание равно высоте, а нижнее основание равно о. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через обе верхние вершины, и касается нижнего основания (рис. 42).
 

1060.    В треугольнике АВС медианы, проведенные к сторонам АС и ВС, пересекаются под прямым углом. Найдите АВ, если АВ, если АС = Ь, ВС = а.
1061.    Диагональ равнобедренной трапеции равна а, а средняя линия рав^а Ь. Найдите высоту трапеции.
1062.    В равнобедренной трапеции ABCD основания АВ = 12, ВС = 6, высота равна 4. Диагональ АС делит угол BAD трапеции на две части. Какая из них больше?
1063.    В прямоугольный треугольник с гипотенузой а и острым углом 30° вписан прямоугольник, одна из сторон которого вдове больше другой. Большая сторона прямоугольника находится на гипотенузе, а противоположные ей вершины — на катетах. Найдите стороны прямоугольника.
1064.    Докажите, что в прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу пропорциональны квадратам катетов.
1065.    Дан треугольник со сторонами а, b и с. Докажите, что если медианы, проведенные к сторонам а и ft, взаимно перпендикулярны, то а2 + ft2 = = 5с2.
1066.    Диагональ равнобедренной трапеции равна о, а средняя линия 
равна b. Найдите высоту этой трапеции.
1067.    Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 5, 12, 13.
1068.    В трапеции ABCD меньшая диагональ BD перпендикулярна основаниям AD и ВС, сумма острых углов А и С равна 90°. Основания AD = а, ВС = Ъ. Найдите боковые стороны трапеции.
1069.    В прямоугольной трапеции основания равны 17 и 25, а большая боковая сторона равна 10. Из середины этой стороны проведен перпендикуляр к ней до пересечения с продолжением другой стороны. Найдите длину этого перпендикуляра.
1070.    Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом ее основании. Найдите стороны трапеции, если ее высота равна 12, а длины биссектрис — 15 и 13.
1071.    Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других вершин прямоугольника.
1072.    В сегмент с дугой 120° и высотой h вписан прямоугольник ABCD так, что АВ : ВС =1:4 (ВС лежит на хорде). Найдите площадь прямоугольника.
1073.    В сегмент, дуга которого рав
на 60°, вписан квадрат. Найдите площадь квадрата, если радиус круга равен 2 УЗ +    7 .
1074.    Вне прямоугольного треугольника АВС на его катетах АС и ВС построены квадраты ACDE и BCFG. Продолжение медианы СМ треугольника АВС пересекает прямую DF в точке N. Найдите отрезок CN, если катеты равны 1 и 4.
1075.    В равнобедренной трапеции лежат две касающиеся окружности радиусов R, каждая из которых касается обоих оснований и одной из боковых сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях. Найдите стороны трапеции.
1076.    К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Докажите, что радиус окружности есть среднее геометрическое отрезков третьей касательной.
1077.    В окружность вписан прямоугольник ABCD, сторона АВ которого равна а. Из конца К диаметра КР, параллельного стороне АВ, сторона ВС видна под углом (3. Найдите радиус окружности.
1078.    Две окружности радиусов 4 и 3 касаются друг друга внешним образом. К этим окружностям проведены общие внешние касательные PQ и RS таким образом, что точки Р и S принадлежат окружности большего радиуса, а точки Q и R принадлежат окружности меньшего радиуса. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков RS, SP и PQ.
1079.    Стороны треугольника равны 10, 10, 12. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
1080.    Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается боковой стороны АВ в точке F. Найдите площадь трапеции, если АВ = т, FB = п, а меньшее основание трапеции ВС равно Ь.
1081.    В прямоугольной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 4, вписана в трапецию, а вторая, радиуса 1, касается двух сторон трапеции и первой окружности. Найдите площадь трапеции.
1082.    В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ и АС равны 4 и 3 соответственно. Точка В делит гипотенузу ВС пополам. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ADC и ABD.

1083.    В треугольнике АВС со сторонами АВ = 73 , ВС = 4, АС = J7 проведена медиана BD. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC, касаются BD в точках М и N соответственно. Найдите MN.
1084.    Радиус ОМ окружности с центром в точке О и хорда KQ пересекаются в точке А. Отрезки ОМ и ОА равны соответственно та, А КАМ = а (а < 90°). Найдите радиус окружности, касающейся отрезков АК, AM и дуги МК.
1085.    Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.
1086.    Найдите длину хорды, если даны радиус г и расстояние а от одного конца хорды до касательной, проведенной через другой ее конец.
1087.    В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е (рис. 43). Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к ВС, пересекает сторону AD в точке М. Докажите, что ЕМ — медиана треугольника AED, и найдите ее длину, если АВ = 7, СЕ = 3, Z. ADB = а.
 

1088.    В треугольнике PQR угол QRP равен 60°. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR.
1089.    К окружности проведены касательные, касающиеся ее в концах диаметра АВ. Произвольная касательная к окружности пересекает эти касательные в точках К и М. Докажите, что произведение АК ■ ВМ постоянно.
1090.    В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся обеих боковых сторон треугольника и первой окружности. Найдите радиус второй окружности.
1091.    Сторона треугольника равна 2, прилежащие к ней углы равны 30° и 45°. Найдите остальные стороны треугольника.
1092.    Диагональ АС равнобедренной трапеции ABCD равна а и образует углы а и (3 с большим основанием AD и боковой стороной АВ. Найдите основания трапеции.
1093.    Стороны параллелограмма равны а и Ъ, а угол между ними равен а. Найдите стороны и диагонали четырехугольника, образованного пересечением биссектрис внутренних углов параллелограмма.
1094.    Найдите sin 15° и tg 75°.
1095.    Катет прямоугольного треугольника равен 2, а противолежащий ему угол равен 30°. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые данный треугольник делится медианой, проведенной из вершины прямого угла.
1096.    АВ и CD — параллельные прямые, АС — секущая, Е и F — точки пересечения прямых АВ и CD с биссектрисами углов С и А. Дано: AF = 96, СЕ = 110. Найдите АС.
1097.    Из вершины тупого угла ромба ABCD проведены высоты ВМ и BN. В четырехугольник BMDN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если А АВС = 2 arctg 2.
1098.    Из вершины А острого угла ромба ABCD опущены перпендикуляры AM и AN на продолжения сторон ВС и CD. В четырехугольник AMCN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если А ВАС =
= 2 arctg |.
1099.    Окружность, центр которой лежит вне квадрата ABCD, проходит через точки В и С. Найдите угол между касательными к окружности, проведенными из точки D, если отношение стороны квадрата к диаметру окружности равно 3:5.
1100.    Окружность, центр которой лежит внутри квадрата PQRS, проходит через точки Q и R. Найдите угол между касательными к окружности, проведенными из точки S, если отношение стороны квадрата к радиусу окружности равно 24 : 13.
1101°. В прямоугольном треугольнике отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окО
ружности равно - . Найдите острые уг- 5
лы треугольника.
1102.    Катеты прямоугольного треугольника равны 36 и 48. Найдите расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до высоты, проведенной к гипотенузе.
1103.    В треугольнике PQR угол QPR равен 60°. Через вершины Р и R проведены перпендикуляры к сторонам QR и PQ соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров находится от вершин Р и Q на расстоянии, равном 1. Найдите стороны треугольника PQR.
1104.    В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена медиана CD. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, если ВС = 4, а радиус окружности, описанной около треугольника
АВС, равен |.
1105°. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники АОВ и ВОС, если ВС — 8, BD = 10.
1106.    Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. Боковые стороны АВ и CD касаются окружности в точках MuN,K — середина АО. В каком отношении прямая ВК делит отрезок MN?
1107.    В прямоугольном треугольнике АВС с острым углом А, равным 30°, проведена биссектриса BD другого острого угла. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, вписанных в треугольники АВС и CBD, если меньший катет равен 1.
1108.    В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и BE, пересекающиеся в точке О. Известно, что ОЕ — 1, а вершина С лежит на окружности, проходящей через точки Е, D и О. Найдите стороны и углы треугольника EDO.
1109°. На отрезке АВ длины 2R как на диаметре построена окружность. Вторая окружность того же радиуса, что и первая, имеет центр в точке А. Третья окружность касается первой окружности внутренним образом, второй окружности — внешним образом, а также касается отрезка АВ. Найдите радиус третьей окружности.
1110.    В равнобедренной трапеции с острым углом а при основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит большее основание трапеции?
1111.    Две равные окружности пересекаются в точке С. Через точку С проведены две прямые, пересекающие данные окружности в точках А, В и М, N соответственно. Прямая АВ параллельна линии центров, а прямая MN образует угол а с линией центров. Известно, что АВ = а. Найдите NM.

1112.    На отрезке АВ длины 2R как на диаметре построена окружность. Вторая окружность, радиус которой равен половине радиуса первой окружности, касается ее внутренним образом в точке А. Третья окружность касается первой окружности внутренним образом, второй окружности — внешним образом, а также касается отрезка АВ (рис. 44). Найдите радиус третьей окружности.
 

1113.    В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона в J2 раз меньше основания ВС, СЕ — высота. Найдите периметр трапеции, если BE =
= Л, BD= JTo.
1114.    В ромбе АВСН из вершины D на сторону ВС опущен перпендикуляр DK. Найдите сторону ромба, если АС =
= 2Л,АК= Jll.
1115.    На прямой расположены три точки А, В и С, причем АВ = ВС = 3. Три окружности радиуса R имеют центры в точках А, В и С. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся всех трех данных, если:
а) В =1; б) В =2; в) В = 5.
1116.    Вне прямоугольного треугольника АВС на его катетах АС и ВС построены квадраты ACDE и BCFG. Продолжение медианы СМ треугольника АВС пересекает прямую DF в точке N. Найдите отрезок CN, если катеты равны 1 и 4.
1117.    Медиана BD остроугольного треугольника АВС равна 8. Ортогональные проекции этой медианы на
стороны АВ и ВС равны 6 и 5 J2. соответственно. Найдите сторону АС.
1118.    Окружность, построенная на стороне AJD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через середину диагонали АС и пересекает сторону АВ в точке М. Найдите отношение AM : АВ, если АС = 3BD.
1119.    Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через середину диагонали BD и пересекает сторону CD в точке К. Найдите отношение KD : CD, если BD = 2АС.
1120.    В окружности радиуса 5 проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и CD. Найдите АС, если BD = 8.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Теги: Пифагор | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar