Тема №5111 Задачи по геометрии теорема подобные треугольники
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии теорема подобные треугольники из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии теорема подобные треугольники, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

1179°. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
1180. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника.
1181°. В параллелограмме ABCD сторона АВ = 420. На стороне ВС взята точка Е так, что BE : ВС = 5 : 7, и проведена прямая DE, пересекающая продолжение АВ в точке F. Найдите BF.
1182.    Даны треугольники АВС и AiBxCx. Известно, что А В = А Вх, А С = = А Сх и АВ втрое большеА1В1. Найдите медиану АХМХ треугольника АХВ ХСХ, если медиана AM треугольника АВС равна 12.
1183.    Хорды АВ и CD пересекаются в точке М, лежащей внутри круга. Докажите, что треугольники AMD и CMD подобны.
1184.    Боковая сторона треугольника разделена на пять равных частей; из точек деления проведены прямые, параллельные основанию. Основание равно 20. Найдите отрезки параллельных прямых, заключенные между боковыми сторонами.
1185.    Боковые стороны треугольника разделены на 7 равных частей; соответствующие точки деления соединены отрезками. Найдите длины этих отрезков, если основание равно 28.
1186.    Пусть М — середина стороны ВС параллелограмма ABCD. В каком отношении отрезок AM делит диагональ BD1
1187.    В треугольнике АВС угол ВАС — прямой, стороны АВ и ВС равны соответственно 1 и 3. Точка В делит сторону АС в отношении 7:1, считая от точки А. Что больше: АС или ВК?
1188.    Через точку О пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию. Найдите отрезок этой прямой между боковыми сторонами трапеции, если сред-
4
няя линия трапеции равна - , а точка
О
О делит диагональ трапеции на части, отношение которых равно 1:3.
1189.    Основания трапеции равны 1,8 и 1,2; боковые стороны ее длиной 1,5 и 1,2 продолжены до взаимного пересечения. На сколько продолжены боковые стороны?
1190.    Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N так, что CN = АС; точка К — середина стороны АВ (рис. 47). В каком отношении прямая KN делит сторону ВС?
 

1191.    Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите стороны треугольника AED, если АВ = 3, ВС =10, CD = 4, А£) = 12.
1192°. Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе треугольника. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 и 12.
1193.    В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а основание относится к боковой стороне, как 4:3. Найдите радиус вписанного круга.
1194.    В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 12 : 5, а боковая сторона равна 60. Найдите основание.
1195.    В равнобедренном треугольнике радиус вписанного круга состав-
о
ляет ^ высоты, а периметр этого треугольника равен 56. Найдите его стороны.
1196.    Хорда АВ = 15, хордаАС = 21 и хорда ВС = 24. Точка D — середина дуги СВ. На какие части BE и ЕС делится хорда ВС прямой AD?
1197.    В треугольнике АВС проведены высоты АА1 и ВВ1. Найдите АС, если:
а)    ААг = 4, ВВг = 5,ВС = 6;
б)    АХС = 8, ВХС = 5, ВВХ = 12.
1198°. Дан квадрат ABCD со стороной 1. Точка К принадлежит стороне CD и СК : KD =1:2. Найдите расстояние от вершины С до прямой АК.
1199.    Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен о.
1200.    Боковая сторона трапеции разделена на пять равных частей, и через третью точку деления (считая от вершины меньшего основания) проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найдите отрезок прямой, заключенный между сторонами трапеции, если основания трапеции равны а и b (а > Ь).
1201.    В треугольнике АВС с данными сторонами о, b и с проведена параллельно АС прямая MN так, что AM = = BN. Найдите MN.
1202.    В треугольник АВС вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. Найдите сторону ромба, если АВ = с и АС = Ь.
1203.    Прямая, проведенная через вершину ромба вне его, отсекает на продолжении двух сторон отрезки р и q. Найдите сторону ромба.
1204°. В треугольник с основанием о и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите сторону квадрата.
1205.    В треугольник, основание которого равно 48, а высота 16, вписан прямоугольник с отношением сторон 5:9, причем большая сторона лежит на основании треугольника. Найдите стороны прямоугольника.
1206.    В треугольник, у которого основание равно 30, а высота равна 10, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу.
1207.    АВС — данный треугольник; CD — биссектриса угла С; точка Е лежит на ВС, причем DE || АС. Найдите DE, если ВС = о и АС = Ь.
1208.    ABCD — данный параллелограмм. Через точку пересечения его диагоналей проведена перпендикулярная к ВС прямая, которая пересекает ВС в точке Е, а продолжение АВ — в точке F. Найдите BE, если АВ = о, ВС = Ь и BF = с.
1209°. В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а про-тивоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 2:3. Диагонали ромба равны тип. Найдите стороны треугольника, содержащие стороны ромба.
1210.    В равнобедренный треугольник АВС вписан ромб DECF так, что вершина Е лежит на отрезке ВС, вершина F лежит на отрезке АС и вершина D лежит на отрезке АВ. Найдите сторону ромба, если АВ = ВС =12, АС = 6.
1211.    Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6 и 8.
1212.    Две окружности касаются внешним образом. Прямая, проведенная через точку касания, образует в окружностях хорды, из которых одна
равна — другой. Найдите радиусы, ес- 5
ли расстояние между центрами равно 36.
1213.    В треугольник вписан полукруг, у которого полуокружность касается основания, а диаметр (с концами на боковых сторонах треугольника) параллелен основанию (рис. 48). Найдите радиус, если основание треугольника равно а, а высота h.
 

1214.    В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 100, а основание 60, вписан круг. Найдите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.
1215.    В равнобедренном треугольнике АВС сторона АС = Ь, сторона ВА = = ВС = a; AN и СМ — биссектрисы углов А и С. Найдите MN.
1216.    В треугольнике АВС известно, что АВ = 15, ВС= 12,АС= 18. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису угла С?
1217.    В треугольнике АВС стороны АВ = 15 и АС = 10; AD — биссектриса угла А. Из точки D проведена прямая, параллельная АВ, до пересечения с АС в точке Е. Найдите АЕ, ЕС и DE.
1218.    В треугольнике АВС проведена прямая BD так, что Z ABD = А ВСА. Найдите отрезки AD и DC, если АВ = 2 и АС = 4.
1219.    В треугольник вписан ромб со стороной т так, что один угол у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне треугольника и делит эту сторону на отрезки длиной р ид. Найдите стороны треугольника.
1220.    На каждой стороне ромба находится по одной вершине квадрата, стороны которого параллельны диагоналям ромба. Найдите сторону квадрата, если диагонали ромба равны 8 и 12.
1221.    С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на п равных частей.
1222°. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 и высотой 8, проведена касательная, параллельная основанию. Найдите длину отрезка этой касательной, заключенного между сторонами треугольника.
1228. В угол вписаны три окружности — малая, средняя и большая. Большая окружность проходит через центр средней, а средняя — через центр малой. Вычислите радиусы средней и большой окружности, если радиус малой равен г и расстояние от ее центра до вершины угла равно о.
1224.    Две окружности радиуса г касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса R в точках А и В соответственно. Найдите радиус г, если АВ = 12, R — 8.
1225.    Две окружности радиуса г касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается изнутри третьей окружности радиуса R в точках А и В соответственно. Найдите радиус R, если АВ 11, г= 5.
1226°. Радиус сектора равен г, а хорда его дуги равна а. Найдите радиус круга, вписанного в этот сектор.
1227°. В прямоугольном треугольнике АВС длина катета АВ равна 21, а длина катета ВС равна 28. Окружность, центр О которой лежит на гипотенузе АС, касается обоих катетов. Найдите радиус окружности.
1228°. Через вершину С параллелограмма ABCD проведена произвольная прямая, пересекающая продолжения сторон АВ и AD в точках К и М соответственно. Докажите, что произведение ВК • DM не зависит от того, как проведена эта прямая.
1229°. Дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой Z С = А В = 90°. На стороне AD как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону ВС в точках MuN. Докажите, что ВМ ■ МС = АВ • CD.
1230.    Каждая из боковых сторон трапеции разделена на 5 равных частей. Пусть М и N — вторые точки деления на боковых сторонах, считая от вершин меньшего основания. Найдите MN, если основания трапеции равны а и b(a> Ь).
1231.    В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите сторону ромба, если диагонали параллелограмма равны 1ит.

1232°. Точки А и М лежат на сторонах АВ и ВС треугольника АВС, причем АК : ВК = 3:2, ВМ : МС = 3:1. Через точку В проведена прямая I, параллельная АС. Прямая AM пересекает прямую I в точке Р, а прямую АС — в точке N. Найдите ВР и CN, если АС = а.
1233. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты точки М и N так, что MN II ВС. На отрезке MN взята точка Р так, что МР = | MN. Прямая АР пересекает сторону ВС в точке Q. Докажите, что BQ = \ВС.
О
1234°. Сторона AD параллелограмма ABCD разделена на п равных частей. Первая точка деления Р соединена с вершиной В. Докажите, что прямая ВР отсекает на диагонали АС
часть AQ, которая равна 1 всей ди-
п + 1
агонали.
1235.    Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что АО • ВО — СО ■ DO тогда и только тогда, когда ВС || AD.
1236.    Дан равнобедренный треугольник с основанием 12 и боковой стороной 18. Отрезки какой длины нужно отложить от вершины треугольника на его боковых сторонах, чтобы, соединив их концы, получить трапецию с периметром, равным 40?
1237.    В равнобедренной трапеции ABCD дано: АВ = CD = 3, основание AD = 7, Z. BAD равен 60°. На диагонали BD расположена точка М так, что ВМ : MD = 3:5. Какую из сторон трапеции, ВС или CD, пересекает продолжение отрезка AM?
1238.    На сторонах AD и DC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки N и М так, что AN : AD = = 1:3, DM : DC =1:4. Отрезки ВМ и CN пересекаются в точке О (рис. 49). Найдите отношение ОМ : ОВ.
 

1239.    Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40. Найдите катеты треугольника.
1240.    В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС VLAD диагонали пересекаются в точке О. Найдите
П
периметр трапеции, если ВО= - , OD =
8
= ^,AABD = 90°.
О
1241.    В равнобедренном треугольнике АВС основание АВ является диаметром окружности, которая пересекает боковые стороны АС и СВ в точках D и Е соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если
AD = 2, АЕ — ! .
1242.    В прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и 8, вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите сторону квадрата.
1243.    Окружность, центр которой лежит на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС, касается двух катетов АС и ВС соответственно в точках В и О. Найдите угол АВС, если известно, что АЕ = 1, BD = 3.
1244.    В треугольнике АВС проведена биссектриса CD прямого угла АСВ; DM и DN являются соответственно высотами треугольников ADC и BDC. Найдите АС, если известно, что AM = = 4, BN = 9.
1245.    В параллелограмме ABCD точки Е и F лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, М — точка пересечения прямых AF и DE, причем АЕ = = 2BE, a BF = ЗСВ. Найдите отношение AM : MF.
1246.    Диагональ АС вписанного четырехугольника ABCD является бис-сектрисой угла DAB. Докажите, что один из двух треугольников, отсекаемых от треугольника АВС диагональю BD, подобен треугольнику АВС.
1247.    В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.
1248.    В параллелограмме ABCD точки Е и F лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, М — точка пересечения прямых AF и DE, причем АЕ = = 2BE, BF = ЗСВ. Найдите отношение AM :MF.
1249.    В круге проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке М; К — точка пересечения биссектрисы угла BMD с хордой BD. Найдите отрезки ВК и KD, если BD = 3, а площади треугольников СМВ и AMD относятся как 1:4.
1250.    Две окружности радиусов R и г касаются сторон данного угла и друг друга. Найдите радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, центр которой находится в точке касания окружностей между собой.
1251.    В равнобедренный треугольник АВС вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании ВС, а две другие — на боковых сторонах треугольника. Сторона квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник, как 8 : 5. Найдите углы треугольника.
1252.    В прямоугольный треугольник АВС вписан квадрат АЕКМ так, что точка К лежит на гипотенузе, а £ и М — на катетах. Сторона этого квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник АВС, как
(2 + J2 ): 2. Найдите углы треугольника.
1253.    Большее основание AD трапеции ABCD равно а, меньшее — ВС = Ъ. Диагональ АС разделена на три равные части и через ближайшую к А точку деления М проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите отрезок этой прямой, заключенный между диагоналями.
1254.    На диагоналях АС и BD трапеции ABCD взяты соответственно точки М и N так, что AM : МС = = DN : NB =1:4. Найдите MN, если основания AD = а, ВС = Ъ(а> Ь).
1255.    Точки М и N находятся на
сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD, причем AM: МВ =    1:2,
AN : ND = 3:2. Отрезки DM и CN пересекаются в точке К. Найдите отношения DK : КМ и СК : KN.
1256°. На медиане ААг треугольника АВС взята точка М так, что AM : MAt = 1 : 3. В каком отношении прямая ВМ делит сторону АС?
1257°. Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Докажите, что отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.
1258.    Точки М и К лежат на сторонах АВ и ВС треугольника АВС соот-ветственно, отрезки АК и СМ пересекаются в точке Р. Известно, что каждый из отрезков АК" и СМ делится точкой Р в отношении 2:1, считая от вершин. Докажите, что АК и СМ — медианы треугольника.
1259.    На стороны ВС и CD параллелограмма ABCD (или на их продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN. Докажите, что треугольник MAN подобен треугольнику АВС.
1260.    В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.
1261.    В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) на стороне ВС взята точка D так, что BD : DC = 1 : 4. В каком отношении прямая AD делит высоту BE треугольника АВС, считая от вершины В?
1262.    В равнобедренной трапеции ABCD большее основание AD = 12, АВ = 6 (рис. 50). Найдите расстояние от точки О пересечения диагоналей до точки К пересечения продолжений боковых сторон, если продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.
К
 
A    D
Рис. 50

1263.    На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка К. Прямая АК пересекает прямые ВС и CD в точках L и М. Докажите, что
А К2 = LK - КМ.
1264.    Найдите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга внешним образом, при этом одна из них касается двух катетов прямоугольного треугольника, а другая — меньшего катета и гипотенузы, если один из острых углов теугольника равен 30°, а противолежащий катет равен 1.
1265.    Высота ВК ромба ABCD, опущенная на сторону АО, пересекает диагональ АС в точке М. Найдите MD, если известно, что ВК = 4, АК : KD = = 1:2.
1266.    В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна Ъ. Расстояние между основаниями биссектрис треугольника, проведенных к боковым сторонам, равно т. Найдите основание треугольника.
1267.    На стороне АВ треугольника АВС взята точка К, а на стороне ВС — точки М и N так, что АВ = 4АК, СМ = = BN, MN = 2BN. Найдите отношения АО : ON и КО : ОМ, где О — точка пересечения прямых AN и КМ.
1268.    В треугольнике АВС проведена биссектриса BE, которую центр О вписанной окружности делит в отношении ВО : ОЕ = 2. Найдите сторону АВ, если АС = 7, ВС = 8.
1269.    Биссектриса угла N треугольника MNP делит сторону МР на отрезки, равные 28 и 12. Найдите периметр треугольника MNP, если известно, что MN — NP = 18.
1270.    В треугольнике АВС со сторонами АВ = 3, ВС = 4 иАС = 5 проведена биссектриса BD. В треугольники ABD и BCD вписаны окружности, которые касаются BD в точках М и N соответственно. Найдите MN.
1271.    В трапеции ABCD с основаниями АЛ и ВС длина боковой стороны АВ равна 2. Биссектриса угла BAD пересекает прямую ВС в точке Е. В треугольник АВЕ вписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке М и стороны BE в точке Н;МН= 1. Найдите угол BAD.
1272.    На стороне СВ треугольника АВС взята точка М, а на стороне СА —
СР    см
точка Р. Известно, что — = 2    .
СА    СВ
Через точку М проведена прямая, параллельная СА, а через Р — прямая, параллельная АВ. Докажите, что построенные прямые пересекаются на медиане, выходящей из вершины С.
1273.    Две окружности пересекаются в точках А и В. В каждой из этих ок-ружностей проведены хорды АС и AD так, что хорда одной окружности касается другой окружности. Найдите АВ, если СВ = a, DB = Ъ.
1274.    Докажите, что биссектриса треугольника делит основание на отрезки, пропорциональные боковым сторонам.
1275.    Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С
2
взята точка N так, что CN = ^ АС. Точ-
3
ка К находится на стороне АВ, причем АК : КВ = 3:2. В каком отношении прямая KN делит сторону ВС?
1276.    Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N так, что АС = 2CN. Точка М находится на стороне ВС, причем ВМ : МС = 1 : 3. В каком отношении прямая MN делит сторону АВ?
1277.    Точки К и М расположены на сторонах АВ и ВС треугольника АВС, причем ВК : КА =1:4, ВМ : МС = = 3:2. Прямая МК пересекает прямую АС в точке N. Найдите отношение АС : CN.
1278.    AAj — медиана треугольника АВС. Точка Cj лежит на стороне АВ, причем АС j : CjB =1:2. Отрезки AAj и CCj пересекаются в точке М. Найдите отношения AM : МАХ и СМ : МСХ.
1279.    В треугольнике АВС точка К на стороне АВ и точка М на стороне АС расположены так, что АК-: КВ = 3:2, а AM : МС = 4:5. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку К параллельно стороне ВС, делит отрезок ВМ.
1280.    В треугольнике АВС точка М лежит на стороне АС, а точка L на стороне ВС расположена так, что BL : LC = 2:5. Прямая, проходящая через точку Lпараллельно стороне АВ, пересекает отрезок ВМ в точке О, причем ВО : ОМ =7:4. Найдите отношение, в котором точка М делит сторону АС.
1281.    Точки А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях: BAi : АХС = 1 : р и АВг : BjC = = 1 : q. В каком отношении отрезок АА1 делится отрезком BBj?
1282.    Высота BL ромба ABCD, опущенная на сторону AD, пересекает диагональ АС в точке Е. Найдите АЕ, если известно, чтоBL = 8,AL :LD = 3 : 2.
1283.    В треугольнике АВС биссектриса АР угла А делится центром О вписанной окружности в отношении
АО : ОР = //3 : 2 sin — . Найдите углы 18
В ТА С, если известно, что угол А равен 5л 9 '
1284.    Дана трапеция ABCD, причем ВС = a, AD = b (рис. 51). Параллельно основаниям трапеции ВС и AD проведена прямая, пересекающая сторону АВ в точке Р, диагональ АС в точке L, диагональ BD в точке R и сторону CD в точке Q. Известно, что PL = LR. Найдите PQ.

1285.    В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точки касания делят каждую боковую сторону на отрезки длиной тип, считая от вершины. К окружности проведены три касательные, параллельные каждой из сторон треугольника. Найдите отрезки касательных, заключенных между сторонами треугольника.
1286.    АА1 и ВВХ— высоты остроугольного треугольника АВС. Докажите, что:
а)    треугольник ААгС подобен треугольнику ВВ iC;
б)    треугольник АВС подобен треугольнику AJBJC.
1287.    Медианы AM и BE треугольника АВС пересекаются в точке О. Точки О, М, Е, С лежат на одной окружности. Найдите АВ, если BE = = AM = 3.
1288.    В треугольнике АВС сторона ВС равна а, радиус вписанной окружности равен г. Определите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон ВС и ВА, а другая — ВС иСА.
1289.    Около прямоугольного треугольника АВС описана окружность. Расстояния от концов гипотенузы АВ до прямой, касающейся окружности в точке С, равны тип соответственно. Найдите катеты АС и ВС.
1290.    Окружность радиуса 1 касается окружности радиуса 3 в точке С. Прямая, проходящая через точку С, пересекает окружность меньшего радиуса в точке А, а большего радиуса —
в точке В. Найдите АС, если АВ = 2 J5 .
1291.    Из вершины С остроугольного треугольника АВС опущена высота СН, а из точки Н опущены перпендикуляры НМ и HN на стороны ВС и АС соответственно. Докажите, что треугольники MNC и АВС подобны.
1292.    На стороне ВС треугольника АВС взята точка D так, что BD : АВ = = DC : АС. Докажите, что AD — биссектриса треугольника АВС.
1293.    Диагональ АС трапеции ABCD делит ее на два подобных треугольника. Докажите, что АС2 = аЪ, где а и Ъ — основания трапеции.
1294.    (Замечательное свойство трапеции.) Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.
1295.    Точки А1 и Сг находятся на сторонах ВС и АВ треугольника АВС. Отрезки АД! и СС1 пересекаются в точке М. В каком отношении прямая ВМ делит сторону АС, если АСХ : СгВ = = 2 : ЗиВАХ :АХС = 1 : 2?
1296.    В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Q так, что АР < AQ. Прямые ВР и BQ делят медиану AM на три равные части. Известно, что PQ = 3. Найдите АС.
1297.    Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точки Аг, В1 и С1 — на другой. Докажите, что если АВг || ВАХ и АСХ || СА1,тоВС1 || СВг.
1298.    Точки D и Е делят стороны АС и АВ правильного треугольника АВС в отношениях AD : DC = BE : ЕА = = 1:2. Прямые BD и СЕ пересекаются в точке О. Докажите, что угол АОС — прямой.
1299.    Через точку, взятую внутри произвольного треугольника, параллельно его сторонам проведены отрезки с концами на сторонах треугольника. Докажите, что сумма трех отношений длин этих отрезков к длинам параллельных им сторон треугольника равна 2.
1300.    Медиана ВК и биссектриса CL треугольника АВС пересекаются в точке Р. Докажите равенство
PC _ АС PL ВС '
1301.    В треугольнике АВС проведены три высоты: АН, ВК и CL. Докажите равенства:
АК ■ BL ■ СН = AL • ВН ■ СК =
= НК ■ KL ■ LH.
1302.    Точки KuN расположены соответственно на сторонах АВ и АС тре-угольника АВС, причем АК = ВК и AN = 2NC. В каком отношении отрезок KN делит медиану AM треугольника АВС?
1303.    Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию и пересекающая боковые стороны в точках Е и В. Отрезок EF равен 2. Найдите основания, если их отношение равно 4.
1304°. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали АС и BD пе-ресекаются в точке Е. Вокруг треугольника ЕС В описана окружность, а касательная к этой окружности, проведенная в точке Е, пересекает прямую AD в точке F таким образом, что точки A, DuF лежат последовательно на этой прямой. Известно, что АР = а, AD = Ъ. Найдите EF.
1305.    В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD перпендикулярны и пересекаются в точке Р. Отрезок, соединяющий вершину С с точкой М, являющейся серединой отрезка AD, равен - . Расстояние от точки Р до отрез-
4
ка ВС равно i и АР = 1. Найдите АП,
если известно, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
1306.    Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 5. Найдите сторону ромба.
1307.    Дан параллелограмм ABCD с острым углом при вершине А. На лучах АВ и СВ отмечены точки Ни К соответственно так, что СН = ВС иАК = = АВ.
а)    Докажите, что DH = DK.
б)    Докажите, что треугольники DKH иАВК подобны.
1308.    Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой CD, проведенной к гипотенузе, на два треугольника BCD и ACD. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3 соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
1309.    В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена высота CD. На отрезках CD и DA взяты точки Е и В так, что СЕ : CD = AF : AD (рис. 52). Докажите, что прямые BE и CF перпендикулярны.
 

1310.    Точка М, лежащая вне круга с диаметром АВ, соединена с точками А и В. Отрезки МА и МВ пересекают окружность в токах С и В соответственно. Площадь круга, вписанного в треугольник AM В, в четыре раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник CMD. Найдите углы треугольника АМВ, если известно, что один из них в два раза больше другого.
1311.    Постройте прямую, параллельную основаниям трапеции, так, чтобы отрезок этой прямой внутри трапеции делился диагоналями на три равные части.
1312.    Основание равнобедренного треугольника равно 12, а боковая сторона равна 18. К боковым сторонам треугольника проведены высоты. Найдите длину отрезка, концы которого совпадают с основанием высот.
1313.    В прямоугольной трапеции отношение диагоналей равно 2, а отношение оснований равно 4. Найдите углы трапеции.
1314.    В равнобедренном треугольнике АВС точки D и Е делят боковые стороны в отношении BD: DA = = BE : ЕС = п. Найдите углы треугольника, еслиА£ перпендикулярна СП.
1315.    Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного продолжениями диагоналей, если длины оснований трапеции равны а и Ъ.
1316.    В точках А и В прямой, по одну сторону от нее, восставлены два перпендикуляра AAj = а и ВВг = Ь. Докажите, что точка пересечения прямых ABj HAJB будет находиться на одном и том же расстоянии от прямой АВ независимо от положения точек А и В.
1317.    В треугольнике АВС высота BD равна 6, медиана СЕ равна 5, расстояние от точки пересечения отрезков BD и СЕ до стороны АС равно 1. Найдите сторону АВ.
1318.    В треугольнике АВС сторона АС равна Ь, сторона АВ равна с, а бис-сектриса внутреннего углаА пересекается со стороной ВС в точке D такой, что DA = DB. Найдите сторону ВС.
1319.    Через точку Р медианы СС1 треугольника АВС проведены прямые AAj и BBj (точки Aj и Bj лежат на сторонах ВС и СА). Докажите, что АХВХ || АВ.
1320.    Основания трапеции равны а и b (о > Ь). Прямые, соединяющие середину большего основания с концами меньшего основания, пересекают диагонали трапеции в точках М и N. Найдите отрезок MN.
1321.    Через точку D, взятую на сто- ронеАВ треугольникаАВС, проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону ВС в точке Е. Докажите, что АВ, CD и медиана, проведенная через вершину В, пересекаются в одной точке.
1322.    На основании AD трапеции ABCD взяты точки К и L так, что АК = = LD. Отрезки АС и BL пересекаются в точке М, отрезки КС и BD — в точке N. Докажите, что отрезок MN параллелен основаниям трапеции.
1323.    (Теорема Ван-Обеля.) Точки Аг, В1,С1 лежат соответственно на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, причем отрезки ААг, ВВХ, ССг пересекаются в точке К. Докажите, что
АК __ A£I + АС1 К А,    В.С СЛВ '
1324.    На стороне АВ треугольника AJBC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно. Прямая DE делит площадь треугольника AJBC пополам и образует с прямой AJB угол 15°. Найдите углы треугольника AJBC.
1325.    В окружности проведены диаметр MN и хорда АВ, параллельная диаметру MN. Касательная к окружности в точке М пересекает прямые NA и NB соответственно в точках Р и Q. Известно, что МР — р, MQ = q. Найдите MN.
1326.    Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника в точке пересечения с высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрезки, отношение которых равно
1    : л/2 , считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.
1327.    Сторона AJB треугольника АВС равна 3, ВС = 2АС, Е — точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, DE = 1. Найдите АС.
1328.    Прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольника АВС, пересекает стороны ВА и ВС в точках А' и С' соответственно. При этом ВА' < ВА = 3, ВС = 2, ВА' • ВС' = 3. Найдите ВА'.
1329.    На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR — точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит отрезок QL в отношении т : гг, считая от точки Q. Найдите отношение PN : PR.
1330.    Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, лежащих по разные стороны от прямой AJB. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е. Найдите АЕ, если AJB = 10, АС = 16, АО = 15.
1331.    Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, лежащих по разные стороны от прямой AJB. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е. Найдите АВ, если АС = 16, АО = 21, АЕ = 24.
1332.    В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ = 9 и CD = 5 биссектриса угла D пересекает биссектрисы углов А и С в точках М VLN соответственно, а биссектриса угла В пересекает те же две биссектрисы в точках L и К, причем точка К лежит на основании АО.
а)    В каком отношении прямая LN делит сторону АВ, а прямая МК — сторону ВС?
б)    Найдите отношение MN : KL, если LM :KN = 3:7.
1333.    Трапеция разделена на три трапеции прямыми, параллельными основаниям. Известно, что в каждую их трех получившихся трапеций можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, вписанной в среднюю трапецию, если радиусы окружностей, вписанных в две оставшиеся, равны О и г.
1334.    В угол, равный 2а, вписаны две касающиеся окружности. Найдите отношение радиуса меньшей окружности к радиусу третьей окружности, касающейся первых двух и одной из сторон угла.
1335.    Две окружности радиусов R и r(R> г) касаются внешне в точке С. К ним проведена общая внешняя касательная АВ, где А и В — точки касания. Найдите стороны треугольника АВС.
1336.    В треугольник вписана окружность радиуса г. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника (рис. 53). Пусть гх, г2, г3 — радиусы вписанных в эти треугольники окружностей. Докажите, что + г2 + г3 = г.

1337.    Около окружности описана равнобедренная трапеция. Боковая сторона трапеции равна а, отрезок, соединяющий точки касания боковых сторон с окружностью, равен Ь. Найдите диаметр окружности.
1338°. В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что площадь треугольника ODC (О — точка пересечения диагоналей) есть среднее пропорциональное между площадями треугольников ВОС и AOD. Докажите, что ABCD — трапеция или параллелограмм.
1339.    Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции, если основания равны а и Ъ.
1340.    В треугольнике АВС точки Р и Q лежат на стороне АС, а прямые ВР и BQ делят медиану AM на три равные части. Известно, что BP = BQ, АВ = 9, ВС =11. Найдите АС.
1341.    В трапеции ABCD сторона АВ перпендикулярна основаниям AD и ВС. Точка Е — середина стороны CD. Найдите отношение AD: ВС, если АЕ = 2АВ и АВ перпендикулярно CD.
1342.    В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) на высоте BD как на диаметре построена окружность. Через точки А и С к окружности проведены касательные AM и CN, продолжения которых пересекаются в точке
О.    Найдите отношение АВ : АС, если ОМ : АС = k и высота BD больше основания АС.
1343°. (Теорема Менелая.) Дан треугольник АВС. Некоторая прямая пересекает его стороны АВ, ВС и продолжение стороны АС в точках Сг, Alf Bj соответственно. Докажите, что BA, СВ, АС, _ ^
А,С В,А С,В '
1344.    На основании AD трапеции ABCD взята точка В так, что АВ = ВС. Отрезки СА и СЕ пересекают диагональ BD в точках О и В соответственно. Докажите, что если ВО = PD, то
AD2 = BC2+AD-BC.
1345.    Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точкиАх, В, и С, таковы, что АВХ || ВАХ, АСХ || САХ и ВСг || СВг. Докажите, что точкиА1, В^ и Ci лежат на одной прямой.
1346.    Отрезок BE разбивает треугольник АВС на два подобных треугольника, причем коэффициент подобия равен л/З . Найдите углы треугольника АВС.
1347.    Биссектриса внешнего углаА треугольника АВС пересекает продол-
жение стороны ВС в точке М. Докажите, что ВМ : МС — АВ : АС.
1348.    Дана трапеция ABCD (ВС || AD). Точки Р, М, Q,N — середины сторон АВ, ВС, CD и DA соответственно. Докажите, что отрезки AQ, PD и MN пересекаются в одной точке.
1349.    Точки А,, В,, С, лежат соответственно на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, причем отрезки АА,, ВВ,, СС, пересекаются в точке К.

ВВ J сс,
АК + ВК_ + СК_ = 2 АА, ВВ, СС, '
1350.    Даны отрезки а, Ъ, с, d и е. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, равный .
tie
1351.    На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки М, N и К так, что AM : МВ
- 2 : 3,АК:КС = 2 : 1,BN : NC= 1 : 2. В каком отношении прямая МК делит отрезок AN?
1352.    На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки-К-, L иМ так, что АК : КВ = 2:3, BL : LC =1:2, СМ : МА = 3 : 1. В каком отношении отрезок KL делит отрезок ВМ?
1353.    В треугольнике АВС биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и равны 4. Найдите стороны треугольника АВС.
1354.    На окружности даны точки А, В и С, причем точка В более удалена от прямой I, касающейся окружности в точке А, чем С. Прямая АС пересекает прямую, проведенную через точку В параллельно I, в точке D. Докажите, что АВ2 = АС • АВ.
1355.    В треугольнике АВС проведена высота АЛ, а из вершин В и С опущены перпендикуляры ВВ, и СС, на прямую, проходящую через точку А. Докажите, что треугольник НВ,С, подобен треугольнику АВС.
 
1356.    Из двух точек прямой проведены по две касательные к окружности. В образованные углы с вершинами в этих точках вписаны окружности равного радиуса. Докажите, что их линия центров параллельна данной прямой.
1357.    Три окружности S,, S2 и S3 попарно касаются друг друга в трех различных точках (рис. 54). Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей и S2 с двумя другими точками касания, пересекают окружность S3 в точках, являю-щихся концами ее диаметра.
 

1358.    В треугольнике АВС известно, что АВ= с, АС =6 (Ь> с), АВ — биссектриса. Через точку В проведена прямая, перпендикулярная АВ и пересекающая АС в точке Е. Найдите АЕ.
1359.    Продолжение медианы треугольника АВС, проведенной из вершины А, пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке В. Найдите ВС, если АС = ВС = 1.
1360.    Продолжения высот AM и CN остроугольного треугольника АВС пе-ресекают описанную около него окружность в точках Р и Q. Найдите радиус описанной окружности, если
AC = a,PQ=^.
5
1361.    Периметр треугольника АВС равен 8. В треугольник вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная стороне АВ. Отрезок этой касательной, заключенный между сторонами АС и СВ, равен 1. Найдите сторону АВ.
1362.    Точки М и N принадлежат боковым сторонам АВ и АС равнобедренного треугольника АВС, причем MN параллельно ВС, а в трапецию BMNC можно вписать окружность. Ее радиус равен R, а радиус окружности, вписанной в треугольник AMN, равен г. Найдите:
а)    основание ВС;
б)    расстояние от точки А до ближайшей точки касания;
в)    расстояние между хордами окружностей, соединяющими точки касания с боковыми сторонами трапеции BMNC.
1363.    Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке А. Найдите радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку А с точками касания с одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8.
1364.    На боковых сторонах PQ и ST равнобедренной трапеции PQST выбраны соответственно точки М и N так, что отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Известно, что в каждую из трапеций PMNT и MQSN можно вписать окружность. Найдите основания исходной трапеции, если PQ = с, MN = d(c> 2d).
1365.    Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD, вписанного в ок-ружность, пересекаются в точке Е. Известно, что диагональ BD является биссектрисой угла АВС и что отрезок BD равен 25, а отрезок CD равен 15. Найдите BE.
1366.    В треугольнике АВС отрезок MN с концами на отрезках АС и ВС па-раллелен основанию АВ И касается вписанной окружности. Предполагая, что углы А и В известны и равны соответственно 2а и 2(3, найдите коэффициент подобия треугольников АВС и MNC.
1367.    Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Из точки D радиусом, равным AD, описана окружность, пересекающая стороны треугольника АВ и АС в точках М и N соответственно. Найдите АС, если известно, что АВ = с, AM = т и AN — п.
1368.    Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD. Боковая сторона АВ касается окружности в точке М, а основание AD — в точке N. Отрезки MN и АС пересекаются в точке Р так, что NP : РМ = 2. Найдите отношение AD : ВС.
1369.    Две окружности радиусов 5 и 3 внутренне касаются. Хорда большей окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в отношении 3:1. Найдите эту хорду.
1370.    Две окружности радиусов
и J2 пересекаются в точке А. Расстояние между центрами окружностей равно 3. Через точку А проведена прямая, пересекающая окружности в точках В и С так, что АВ = АС (точка В не совпадаете С). Найдите АВ.
1371.    Около треугольника АВС описана окружность. Диаметр AD пересекает сторону ВС в точке Е, при этом АЕ = АС = BE : СЕ = т. Найдите отношение DE к АЕ.
1372.    Равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписан в окружность. Диаметр АВ пересекает сторону ВС в точке Е, при этом DE : ЕА = k. Найдите СЕ : ВС.
1373.    Окружность радиуса 4 вписана в равнобедренную трапецию, длина меньшего основания которой равно 4. Найдите расстояние между точками, в которых окружность касается боковых сторон трапеции.
1374.    Во вписанном четырехугольнике ABCD известны отношения АВ : ВС = 1 : 2 и BD : АС = 2:3. Найдите DA : ВС.

1375.    В треугольнике АВС точка О является центром описанной окружность. Через вершину В проведена прямая, перпендикулярная АО, пересекающая прямую АС в точке К, а через вершину С проведена прямая, также перпендикулярная АО, пересекающая АВ в точке М. Найдите ВС, если ВК = а, СМ = Ъ.
1376.    Биссектриса угла С треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки, равные а и Ъ (а > Ь). Касательная к описанной окружности треугольника АВС, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.
1377.    Треугольник АВС не имеет тупых углов. На стороне АС этого тре-угольника взята точка D так, что AD =
О
= - АС. Найдите угол ВАС, если из- 4
вестно, что прямая BD разбивает треугольник АВС на два подобных треугольника.
1378.    (Теорема Чевы.) Пусть точки Aj, Вг и Сг принадлежат соответственно сторонам ВС, АС и АВ треугольника АВС. Докажите, что отрезки AAj, BBj, CCj пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
АВг САг ВСг _
В^С ' А^В С^А ~ '
1379.    Каждая сторона выпуклого четырехугольника поделена на три равные части. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками. Докажите, что эти отрезки делят друг друга на три равные части.
1380.    Дан треугольник со сторонами, равными а, Ъ и с. Прямая, параллельная стороне, равной а, касается вписанной окружности треугольника и пересекает две другие стороны в точках М и N. Найдите MN.
1381.    В треугольник с периметром, равным 20, вписана окружность. Отрезок касательной, проведенный к окружности параллельно основанию, заключенный между сторонами треугольника, равен 2,4. Найдите основание треугольника.
1382.    В трапеции ABCD известно, что ВС || AD, А АВС = 90°. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону АВ в точке М, а сторону CD — в точке N. Известно также, что МС = a, BN = Ь, а расстояние от точки D до прямой МС равно с. Найдите расстояние от точки А до прямой BN.
1383.    Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и В, лежащих по разные стороны от прямой АВ. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е. Найдите АВ, если АВ= 10, АС = 16, АВ= 15.
1384.    Из точки М, лежащей вне окружности, проведены к этой окружности две касательные. Расстояния от точки С, лежащей на окружности, до касательных равны а и Ъ. Найдите расстояние от точки С до прямой АВ, где А и В — точки касания.
1385.    Дана окружность с диаметром АВ. Вторая окружность с центром в точке А пересекает первую в точках С и В, а диаметр АВ — в точке В (рис. 55). На дуге СВ, не содержащей точки В, взята точкам, отличная от
 

 

точек Си£. Луч ВМ пересекает первую окружность в точке N. Известно, что CN = a, DN = Ь. Найдите MN.
1386.    Дана прямоугольная трапеция. Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите основания исходной трапеции, если ее боковые стороны равны cud (с < d).
1387.    В треугольник АВС помещены три равных окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Все три окружности имеют одну общую точку. Найдите радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника АВС равны Лиг.
1388.    Дана прямоугольная трапеция, основания которой равны а и & (а < Ь). Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите радиусы этих окружностей.
1389.    В остроугольном треугольнике АВС сторона АВ меньше стороны АС, D — точка пересечения прямой DB, перпендикулярной к АВ, и прямой ПС, перпендикулярной к АС. Прямая, проходящая через точку В перпендикулярно AD, пересекает АС в точке М. Известно, что AM = т, МС = п. Найдите АВ.
1390.    Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит этот треугольник на два треугольника. Расстояние между центрами вписанных окружностей этих треугольников равно 1. Найдите радиус вписанной окружности исходного треугольника.
1391.    В остроугольном треугольнике АВС на высоте AD взята точка М, а на высоте ВР — точка N так, что углы ВМС и ANC — прямые. Расстояние
между точками М и N равно А + 2jZ, 
угол MCN равен 30°. Найдите биссектрису CL треугольника CMN.
1392.    Через произвольную точку Р стороны АС треугольника АВС параллельно его медианам АК и CL проведены прямые, пересекающие стороны ВС и АВ в точках EwF соответственно. Докажите, что медианы АК и CL делят отрезок EF на три равные части.
1393.    (Теорема Карно.) Некоторая прямая пересекает стороны AJA2, А2А3, ..., A„Aj (или их продолжения) многоугольника А1А2..А.п в точках М1г М2, .... N1 п соответственно. Дока
AJMJ    АщМ*
М jAz М2А-Л М nAj
1394.    Через точку О проведены две прямые, касающиеся окружности в точках М и N. На окружности взята точка К (точки Он К — по разные стороны от прямой MN). Расстояния от точки К до прямых ОМ и MN равны соответственнор и q. Найдите расстояние от точки k до прямой ON.
1395.    В угол с вершиной А, равный 60°, вписана окружность с центром О. К этой окружности проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках В и С. Отрезок ВС пересекается с отрезком АО в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, если AM : МО = 2 : 3 и ВС =7.
1396.    Окружности Bj и S2 касаются окружности S внутренним образом в точках Aw. В, причем одна из точек пересечения окружностей S1 и S2 лежит на отрезке АВ. Докажите, что сумма радиусов окружностей Sj и S2 равна радиусу окружности S. Верно ли обратное?
1397.    Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки А до прямых ВС, DC и DE равны соответственно а, Ъ, с. Найдите расстояние от вершины А до прямой BE.
1398.    Дана окружность с диаметром KL. Вторая окружность с цент- 
ром в точке К пересекает первую окружность в точках М и N, а диаметр KL — в точке А. На дуге AN, не содержащей точки М, взята точка В, отличная от точек А и А. Луч LB пересекает первую окружность в точке С. Известно, что CN = а, СМ = Ь. Найдите ВС.
1399.    Дана окружность с диаметром ВС. Вторая окружность с центром в точке С пересекает первую окружность в точках D и Е, а диаметр ВС — в точке F, FK — диаметр второй окружности. На дуге ЕК, не содержащей точки D, взята точка L, отличная от точек Е и К. Отрезок BL пересекает первую окружность в точке М. Известно, что ML = т, ЕМ = п. Найдите DM.
1400.    Верно ли утверждение: «Если две стороны и три угла одного треугольника равны двум сторонам и трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны»?
1401.    В треугольник вписана окружность. Точки касания соединены с противоположными вершинами треугольника. Докажите, что полученные отрезки пересекаются в одной точке.
1402.    В равнобедренной трапеции ABCD (АВ || ВС) расстояние от вершины А до прямой CD равно длине боковой стороны. Найдите углы трапеции, если АВ : ВС = 5.
1403.    В треугольнике АВС проведены ВК — медиана, BE — биссектриса, AD — высота. Найдите сторону АС, если известно, что прямые ВК и BE делят отрезок AD на три равные части и АВ = 4.
1404.    Прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых АВ и CD, делит сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону ВС.
1405.    На высотах ВВг и CCj треугольника АВС взяты точки В2 и С2 так, что А АВ2С = А АС2В = 90°. Докажите, что АВ2 = АС 2.
1406.    На сторонах остроугольного треугольника АВС взяты точки Aj, Bj, Сг так, что отрезки ААг, ВВ1( ССг пересекаются в точке Н. Докажите, что АН ■ АгН = ВН ■ ВгН = СН ■ СгН тогда и только тогда, когда Н — точка пересечения высот треугольника АВС.
1407.    В треугольнике АВС проведены высоты AAj, ВВг и ССВ2иС2 — середины высот ВВ1 и CCj. Докажите, что треугольник А1В2С2 подобен треугольнику АВС.
1408.    Через центр окружности, описанной около треугольника ABAC, проведены прямые, перпендикулярные сторонам АС и ВС. Эти прямые пересекают высоту СН треугольника или ее продолжение в точках Р и Q. Известно, что CP = р, CQ = q. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
1409.    Радиус окружности, описанной около треугольника KLM, равен R. Через вершину L проведена прямая, перпендикулярная стороне КМ. Эту прямую пересекают в точках А и В серединные перпендикуляры к сторонам KL и LM. Известно, что AL = а. Найдите BL.
1410.    Около окружности описана трапеция ABCD, боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям, М — точка пересечения диагоналей трапеции. Площадь треугольника CMD равна S. Найдите радиус окружности.
1411.    В треугольнике АВС, все стороны которого различны, биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС в точке D. Известно, что АВ - BD = а, АС + CD = b. Найдите АВ.
1412.    На стороне АВ параллелограмма ABCD расположена точка К, на продолжении стороны CD за точку В — точка L. Прямые KD и BL пересекаются в точке N, а прямые LA и СК — в точке М. Докажите, что отрезок MN параллелен стороне АВ.

1413.    (Теорема Птолемея.) Докажите, что если четырехугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
1414.    В полукруг помещены две окружности диаметрами d и D (d < D) так, что каждая окружность касается дуги и диаметра полукруга, а также другой окружности (рис. 56). Через
центры окружностей проведена прямая, пересекающая продолжение диаметра полукруга в точке М. Из точки М проведена касательная к дуге полукруга (N — точка касания). Найдите MN.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Теги: треугольники | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar