Тема №5113 Задачи по геометрии треугольники
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии треугольники из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии треугольники, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

1524.    Обобщенная теорема синусов.) Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.
1525.    Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
1526.    Сторона треугольника равна 21, а две другие стороны образуют угол в 60° и относятся, как 3:8. Найдите эти стороны.
1527.    В треугольнике основание равно 12; один из углов при нем равен 120°; сторона против этого угла равна 28. Найдите третью сторону.
1528.    В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС на продолжении гипотенузы АВ за точку В отложен отрезок BD, равный ВС. Найдите стороны треугольника ADC, если катет ВС = а.
1529.    В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 15 и катет ВС = = 20. На гипотенузе АВ отложен отрезок АП, равный 4. Найдите CD.
1530.    На сторонах углаАВС, равного 120°, отложены отрезки АВ = ВС = 4. Проведите окружность через точки А, В, С и найдите ее радиус.
1531.    Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС равен 60°. Найдите диагонали трапеции, если AD =10, ВС = 3 и CD = 4.
1532.    В треугольнике боковая сторона равна 16 и образует с основанием угол в 60°; другая боковая сторона равна 14. Найдите основание.
1533.    Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 9, катет ВС = 3. На гипотенузе взята точка М, причем AM : МВ = 1:2. Найдите СМ.
1534.    Дан равносторонний треугольник со стороной, равной а. Найдите отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1.
1535.    Стороны параллелограмма равны 2 и 4, а угол между ними равен 60° (рис. 61). Через вершину этого угла проведены прямые, проходящие че-
 

рез середины двух других сторон параллелограмма. Найдите косинус угла между этими прямыми.
1536.    Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 30° и 45°. Найдите отношение сторон параллелограмма.
1537.    Определите вид треугольника (относительно его углов), если даны три стороны или их отношения:
1)2, 3,4; 2)3,4, 5; 3) 4, 5, 6;
4)10,15,18; 5)68,119,170.
1538.    Сторона треугольника равна
2^7, а две другие стороны образуют
угол в 30° и относятся, как 1 : 2./3. Найдите эти стороны.
1539.    Одна из сторон параллелограмма равна 10, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.
1540.    Одна из сторон треугольника
равна 6, вторая сторона равна 2 Jl, а противолежащий ей угол равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.
1541.    В треугольнике АВС дана точка D на стороне АВ. Найдите CD, если известно, что ВС = 37, АС =15, АВ = 44, AD = 14.
1542.    В треугольнике АВС известно, что АС = 13, АВ = 14, ВС = 15. На стороне ВС взята точка М так, что СМ : МВ = 1:2. Найдите AM.
1543.    Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 и 8 и углом между ними, равным 60°.
1544.    В прямоугольном треугольнике АВС А С = 90°. На продолжении гипотенузы АВ отложен отрезок BD, равный катету ВС, и точка D соединена с С. Найдите CD, если ВС = 7 и АС = 24.
1545.    В прямоугольном треугольнике даны катеты а и ft. Найдите расстояние от вершины прямого угла до ближайшей к ней точки вписанной окружности.
1546.    Хорда окружности равна 10. Через один конец хорды проведена ка-сательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найдите радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12.
1547.    В четырехугольнике ABCD известны углы: A DAB = 90°, A BDC = = 90°. Кроме того, DB = a, DC = ft. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, одна из которых проходит через точки D,A,B, а другая — через точки В, С, D.
1548.    Трапеция KLMN с основаниями LM и KN вписана в окружность, центр которой лежит на основании KN. Диагональ LN трапеции равна 4, а угол MNK равен 60°. Найдите основание LM трапеции.
1549.    На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая основание этого треугольника в точке D. Найдите расстояние от вершины А до центра окружности, если AD = J3 , а угол АВС равен 120°.
1550.    В ромбе ABCD точки М nN — середины сторон ВС и CD соответственно. Найдите угол MAN, если A BAD = 60°.
1551.    В квадрате ABCD точка М — середина ВС, а О — точка пересечения DM и АС. Найдите величину угла МОС.
■ 1552. В выпуклом четырехугольнике MNLQ углы при вершинах N и L — прямые, а угол при вершине М рао
вен arctg -. Найдите диагональ NQ,
О
если известно, что сторона LQ вдвое меньше стороны MN и на 2 больше стороны LN.
1553.    Найдите косинусы углов трапеции с основаниями, равными 3 и 7, и боковыми сторонами, равными 2 и 5.
1554.    В треугольнике даны два угла а и Р и радиус R описанной окружное-
ти. Найдите высоту, опущенную из вершины третьего угла треугольника.
1555.    Стороны треугольника равны а, ft, с. Докажите, что медиана т, проведенная к стороне с, равна
1    72а2 + 2ft2-с2.
2
1556.    В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей, равна 10. Найдите третью сторону.
1557.    Докажите справедливость следующих формул для площади
треугольника: S = а* j1 ' , S =
= 2R2 sin a sin (3 sin у, где а, (3, у — углы треугольника, а — сторона, лежащая против угла a, R — радиус описанного круга.
1558.    В ромбе ABCD угол при вершине А равен 60°. Точка N делит сторону АВ в отношении AN : BN = 2:1. Найдите тангенс угла DNC.
1559.    Можно ли около четырехугольника ABC.D описать окружность, если AADC = 30°, АВ = 3, ВС = 4, АС = 6?
1560.    Прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника и проходящая через противоположную вершину, делит этот треугольник на два. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны.
1561.    Найдите периметр четырехугольника ABCD, в котором АВ = CD = = a,ABAD=ABCD = a<90°,BC*AD.
1562.    Докажите, что если стороны a, ft и противолежащие им углы а и (3 треугольника связаны соотношениями —-— = —, то треугольник равно-
cos a cos р
бедренный.
1563.    В треугольнике АВС высота BD равна 11,2, а высота АЕ равна 12. Точка Е лежит на стороне ВС и BE : ЕС = 5:9. Найдите сторону АС.
1564.    На продолжении боковой стороны АВ равнобедренного треугольни 
ка АВС за вершину А взята точка D, причем AD = 2АВ (рис. 62). Известно, что А ВАС = 120°. Докажите, что треугольник BDC — равнобедренный.
D
1565.    Точки М и N лежат соответственно на сторонах AD и ВС ромба ABCD, причем DM : AM = BN : NC = = 2:1. Найдите MN, если известно, что сторона ромба равна a, a A BAD = = 60°.
1566.    Диагональ параллелограмма, равная ft, перпендикулярна стороне параллелограмма, равной а. Найдите вторую диагональ параллелограмма.
1567.    В треугольнике АВС известно, что А А = ot, А С = Р, АВ = а; AD — биссектриса. Найдите BD.
1568.    Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными а, а и ft.
1569.    Дан треугольник АВС, в котором АС = 72 , ВС = 1, А АВС = 45°. Найдите угол ВАС.
1570.    Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что АВ = а, А А = а, А В = р.
1571.    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а острый угол равен а. Найдите биссектрису прямого угла.
1572.    Две стороны треугольника
равны 2 72 и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону.
1573.    Стороны треугольника равны 11, 13 и 12. Найдите медиану, проведенную к большей стороне.

1574.    Около четырехугольника ABCD можно описать окружность. Кроме того, АВ = 3, ВС = 4, CD = 5 и AD = 2. Найдите АС.
1575.    Дан угол, равный а, с вершиной в точке А. Расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из некоторой точки В на стороны угла, равно о. Найдите АВ.
1576.    В треугольнике АВС на стороне АС как на диаметре описана окружность, которая пересекает сторону АВ в точке М, а сторону ВС — в точке N. Известно, что АС = 2, АВ = 3, AN = 1,8. Найдите косинус угла ВАС.
1577.    Диаметр АВ окружности продолжили за точку В и на продолжении отметили точку С. Из точки С провели секущую под углом к АС в 7°, пересекающую окружность в точках D и R, считая от точки С. Известно, что DC = = 3, а угол DAC равен 30°. Найдите диаметр окружности.
1578.    В окружности диаметра 4 проведены диаметр АВ и хорда CD, пе-ресекающиеся в точке Е. Известно, что углы АВС и ВСЕ равны соответственно 60° и 8°. Найдите СЕ.
1579.    В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны соответственно а и ft и пересекаются под углЪм 60°. Найдите диагонали четырехугольника.
1580.    В выпуклом четырехугольнике ABCD точки Е, F, Н, G являются соответственно серединами отрезков АВ, ВС, CD, AD; О — точка пересечения отрезков ЕН и FG. Известно, что EH = a, FG = ft, A FOH = 60°. Найдите диагонали четырехугольника ABCD.
1581.    В прямоугольной трапеции ABCD углы А и D прямые, сторона АВ параллельна стороне CD; длины сторон равны: АВ = 1, CD = 4, AD - 5. На стороне AD взята точка М так, что угол CMD вдвое больше угла ВМА. В каком отношении точка М делит сторону AD?
1582.    В треугольнике АВС медианы, проведенные к сторонамАСиВС, пересекаются под прямым углом. Сторона АС равна ft, сторона ВС равна а. Найдите сторону АВ.
1583.    Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом, равным 30°, если известно, что биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, равна а.
1584.    Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 13, 14, 15.
1585.    Прямая, проходящая через точки GHK, делит пополам угол FGH, KF _L GF, КН 1 GH, KF = КН = 8, GK =17. Отрезок GL содержит точку В и FL = 2. Отрезок GM содержит точку Н и НМ = 19. Найдите LM.
1586.    В остроугольном треугольнике АВС известно, что ВС = а, АС = ft, А АСВ = а. Найдите высоту CD и угол АВС.
1587.    В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.
1588.    В треугольник с боковыми сторонами 9 и 15 вписан параллелограмм так, что одна из его сторон, равная 6, лежит на основании треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны боковым сторонам треугольника (рис. 63). Найдите другую сторону параллелограмма и основание треугольника.
 

1589.    В треугольник вписан параллелограмм со сторонами 3 и 5 и диагональю, равной 6. Найдите стороны треугольника, если известно, что диагонали параллелограмма параллельны боковым сторонам треугольника, а меньшая из его сторон лежит на основании треугольника.
1590.    В треугольнике известны одна сторона а и два прилежащих к ней угла (3 и у* Найдите биссектрису третьего угла.
1591.    Основание равнобедренного треугольника равно а, угол при вершине равен а. Найдите биссектрису, проведенную к боковой стороне.
1592.    Дан параллелограмм, в котором острый угол равен 60°. Найдите отношение сторон параллелограмма, если отношение квадратов диагоналей
равно |.
1593.    В треугольнике АВС на сторонах АЛ, ВС и AD ВЗЯТЫ соответственно точки К, L и М. Известно, что АК = 5, КВ = 3, BL = 2, LC = 7, СМ = 1, МА = = 6. Найдите расстояние от точки М до середины KL.
1594.    В параллелограмме ABCD известны длины диагоналей АС = 15, BD = 9. Радиус окружности, описанной около треугольника АЛ С, равен 10. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABD.
1595.    Основания равнобедренной трапеции относятся как 5 : 12, а ее высота равна 17. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что ее средняя линия равна высоте.
1596.    Окружность касается двух параллельных прямых I и т в точках А и Л соответственно; CD — диаметр окружности, параллельный этим прямым. Прямая ВС пересекает прямую I в точке Е, а прямая ED — прямую т в точке F. Найдите углы треугольника BRF.
1597.    В треугольнике АВС известны стороны: ВС = АС = 12, АЛ = 6; АЛ — биссектриса. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника АВС. Выясните, что больше: R или 6,5.
1598.    Медианы AM и CN треуголь- никаАЛС пересекаются в точке О. Известно, что А ВАС = а, А ЛСА = (3, АС = = Ъ. Найдите расстояние от точки О до прямой АС.
1599.    В треугольнике АВС со стороной АЛ = Jb из вершины В к стороне
АС проведены медиана ВМ = 2j2 и высота ВН = 2. Найдите сторону ВС, если известно, что А АВС + А АСЛ < 90°.
1600.    В треугольнике АВС известно, что АЛ = АС, высота АЛ равна 9, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.
1601.    В треугольнике АВС длина АЛ = 4, длина ВС равна 5. Из вершины Л проведен отрезок ВМ (М на АС), причем А АВМ = 45° и А МЛС - 30°.
а)    В каком отношении точка М делит сторону АС?
б)    Найдите отрезки AM и МС.
1602.    Отношение длин двух пересекающихся окружностей равно ,/3. Общая хорда этих окружностей стягивает в меньшей из них дугу в 120°. Найдите стягиваемую этой хордой дугу большей окружности.
1603.    Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершины А и В треугольника АВС, пересекает отрезок ВС в точке М и касается прямой АС в точке А. Найдите СМ, зная, что А АСО = а, А МАЛ = р.
1604.    В параллелограмме ABCD с углом А, равным 60°, проведена биссектриса угла В, пересекающая сторону CD в точке Е. В треугольник ЕСВ вписана окружность радиуса R. Другая окружность вписана в трапецию ABED. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
1605.    В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АЛ, ВС , АС соответственно в точках М, D, N. Известно, что NA = 2, NC = 3, А ЛСА = 60°. Найдите MD.
1606.    На стороне АВ треугольника АВС во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник. Найдите расстояние между его центром и вершиной С, если АВ = с и А С = 120°.
1607.    В треугольнике АВС заданы: ВС = а, А. А = а, А В = (3. Найдите радиус окружности, касающейся стороны АС в точке А и касающейся стороны ВС.
1608.    В треугольнике АВС к стороне АС проведены высота ВК и медиана МВ, причем AM = ВМ. Найдите косинус угла КВМ, если АВ = 1, ВС = 2.
1609.    В параллелограмме PQRS биссектриса угла при вершине Р, равного 80°, пересекает сторону RS в точке L. Найдите радиус окружности, касающейся отрезка PQ и лучей QR и PL, если известно, что PQ = 7.
1610.    Дана равнобедренная трапеция ABCD. Известно, что AD = 10, ВС = 2, АВ = CD = 5. Биссектриса угла BAD пересекает продолжение основания ВС в точке К. Найдите биссектрису угла АВ А в треугольнике АВК.
1611.    В треугольнике АВС сторона ВС = 5. Окружность проходит через вершины В и С и пересекает сторону АС в точке К так, что СК = 3, КА = 1. Известно, что косинус углаАСВ равен
%. Найдите отношение радиуса дан- 5
ной окружности к радиусу окружности, вписанной в треугольник АВК.
1612.    В ромбе ABCD со стороной
(1 + Jb) и острым углом BAD, равным 60°, расположена окружность, вписанная в треугольник ABD (рис. 64). Из
 

точки С к окружности проведена касательная, пересекающая сторону АВ в точке Е. Найдите АЕ.
1613.    Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС, пересекая сторону АВ в точке Е и сторону ВС в точке F. Угол АВС в 5 раз больше угла BAF, а угол АВС равен 72°. Найдите радиус окружности, если АС = 6.
1614.    Точка О лежит на отрезке АВ так, что АО = 13, ОВ = 7. С центром в точке О проведена окружность радиуса 5. Из А и В к ней проведены касательные, пересекающиеся в точке М, причем точки касания лежат по одну сторону от прямой АВ. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника AM В.
1615.    Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке D и сторону ВС в точке В. Найдите угол CDB, ес-
лиAD = 5, АС = 2^7 , ВВ = 4,ВВ»: СВ = = 3:2.
1616.    Из одной точки окружности проведены две хорды длинами 9 и 17. Найдите радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 5.
1617.    Из одной точки окружности проведены две хорды длинами 10 и 12. Найдите радиус окружности, если расстояние от середины меньшей хорды до большей хорды равно 4.
1618.    В четырехугольнике ABCD известно, что ААВВ = AACD = 45°, А ВАС = 30°, ВС = 1. Найдите АВ.
1619.    В треугольнике АВС угол А равен 60°, АВ = 1, ВС = а. Найдите АС.
1620.    В треугольнике АВС дано: А САВ = 75°, А АВС = 45°. На стороне СА берется точка К так, что СК : АВ = = 3. На стороне СВ берется точка М. Найдите КМ :АВ, если известно, что
Q
это отношение меньше - и что прямая
4
МК отсекает от треугольника АВС треугольник, ему подобный.
1621.    В окружности проведены хорды АВ и ВС, причем АВ = J3 , ВС =
= 3 -УЗ , А АВС = 60°. Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол АВС пополам.
1622.    Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, относятся, как J2 : 1. Найдите углы треугольника.
1623.    Стороны треугольника равны 11, 13 и 12. Найдите медиану, проведенную к большей стороне.
1624.    В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей, равна 10. Найдите третью сторону.
1625.    Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в точке М, при этом AM = 1, ВМ = 4. Найдите СМ, если известно, что А ВАС = 120°.
1626.    Основания трапеции равны 1 и 6, а диагонали — 3 и 5. Под каким углом видны основания из точки пересечения диагоналей?
1627.    Дан треугольник АВС, в котором А А = а, А В = р. На стороне АВ взята точкаВ, ана стороне АС — точка М, причем CD — биссектриса треугольника ABC, DM |] ВС и AM = а. Найдите СМ.
1628.    Углы треугольника равны а, Р и у, а периметр равен Р. Найдите стороны треугольника.
1629.    Одна из боковых сторон трапеции образует с большим основанием угол, равный а, а вторая равна а и образует с меньшим основанием угол, равный Р (Р > а). Найдите среднюю линию трапеции, если меньшее основание равно Ь.
1630.    В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) с углом ВАС, равным ос. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
1631.    Трапеция ABCD (ВС II AD) вписана в окружность. Известно, что
ВС = a, AD = Ъ, A CAD = а. Найдите радиус окружности.
1632.    Касательная к окружности (К — точка касания) параллельна хорде LM. Известно, что LM = 6, КМ = 5. Найдите радиус окружности.
1633.    Найдите биссектрису АВ треугольника АВС со сторонами ВС = 18, АС = 15, АВ= 12.
1634.    В треугольнике АВС угол ВАС равен 60°, высота, опущенная из
вершины С на сторону АВ, равна Уз , а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5. Найдите стороны треугольникаАВС.
1635.    В параллелограмме АВСВ высота, проведенная из вершины В тупого угла на сторону ВА, делит ее в отношении 5:3, считая от вершины В. Найдите отношение АС: ВВ, если AD:AB=2.
1636.    Докажите, что отношение суммы квадратов медиан треугольника к
О
сумме квадратов его сторон равно ~ .

1637.    Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ъ. Найдите биссектрису прямого угла этого треугольника.
1638.    Докажите, что для произвольного треугольника выполняется
a sin ^ sin ^
2    2
равенство г =     , где г — ра-
а
cos —
2
диус вписанной окружности, а, |3 и у — углы треугольника АВС, а = ВС.
1639.    В треугольнике АВС проведены высота ВМ, биссектриса BN и медиана BL (рис. 65). Известно, что
В
 

AM = MN = NL. Найдите тангенс угла А этого треугольника.
1640.    Через точку L окружности проведены касательная и хорда LM, равная 5. Хорда MN параллельна касательной и равна 6. Найдите радиус окружности.
1641.    В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.
1642.    Отрезки АВ и CD — диаметры одной окружности. Из точки М этой окружности опущены перпендикуляры МР и MQ на прямые АВ и CD. Докажите, что длина отрезкаPQ не зависит от положения точки М.
1643.    Через вершины А и В треугольника АВС проходит окружность радиуса г, пересекающая сторону ВС в точке D. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, йиС, если АВ = с и АС = Ь.
1644.    В прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным 30°, вписана окружность радиуса R. Вторая окружность, лежащая вне треугольника, касается стороны ВС и продолжений двух других сторон. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
1645°. Найдите радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла, равного а, хорды длины а, если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно Ъ.
1646.    В окружности проведены две хорды АВ = а и АС = Ъ. Длина дуги АС вдвое больше длины дуги АВ. Найдите радиус окружности.
1647.    Правильный треугольник АВС со стороной, равной 3, вписан в окружность. Точка В лежит на окружности, причем хорда AD равна J3. Найдите хорды BD и CD.
1648.    В равнобедренном треугольнике основание равно 24, а боковая сторона равна 15. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.
1649.    Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Угол САВ равен а. Биссектриса угла АВС пересекает катет АС в точке К. На стороне ВС как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке М. Найдите угол AM К.
1650.    В окружности радиуса R = 4 проведены хорда АВ и диаметр АХ, об-разующий с хордой угол . В точке В
проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра АК в точке С. Найдите медиану AM треугольника АВС.
1651.    В треугольник АВС со стороной ВС = 9 вписана окружность, касающаяся стороны ВС в точке D. Известно, что AD = DC и косинус угла
о
ВСА равен - . Найдите сторону АС.
3
1652.    В параллелограмме со сторонами 2 и 4 проведена диагональ длиной 3. В каждый из получившихся треугольников вписано по окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.
1653.    В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делится точкой пересечения высот пополам. Найдите угла этого треугольника.
1654.    В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D так, что отрезок AD равен 3, косинус угла BDC равен
—, а сумма углов АВС и ADB равна 20
180°. Найдите периметр треугольника АВС, если ВС = 2.
1655°. В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса АР острого угла А делится центром О вписанной окружности в отношении АО : ОР —
= (73 +1):(73 - 1). Найдите острые углы треугольника.
1656.    В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС, равной 2, проведены медианы AM и CN. Около четырехугольника ANMC можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности.
1657.    Правильный треугольник АВС со стороной а и два ромба ACMN и ABFE расположены так, что точки М и В лежат по разные стороны от прямой АС, а точки В и С — по разные стороны от прямой АВ. Найдите расстояние между центрами ромбов, если А ЕАВ = A ACM = а (а < 90°).
1658.    В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону CD в точке М такой, что DM : МС = = 2:1. Известно, что А САМ = а. Найдите угол BAD.
1659.    В параллелограмме PQRS биссектриса угла QPS пересекает сторону QR в точке А такой, что QA : AR =3:1. Известно, что A QPS = а. Найдите угол между биссектрисой РА и диагональю РЕ.
1660.    Диагонали выпуклого четырехугольника равны с и d и пересекаются под углом 45°. Найдите отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника.
1661.    Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удален от вершин острых углов на расстояния а и Ъ. Найдите гипотенузу.
1662.    Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD с углом 45° при вершине А, причем A AMD = = 90° и ВМ : МС =2:3. Найдите отношение соседних сторон параллелограмма.
1663.    Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и 8, касается гипотенузы в точке М (рис. 66). Найдите расстояние от точки М до вершины прямого угла.
 

1664.    Боковая сторона равнобедренной трапеции равна о, средняя линия равна Ь, а один углов при большем основании равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.
1665.    Медиана AM треугольника АВС равна т и образует со сторонами АВ и АС углы, равные а и |3 соответственно. Найдите эти стороны.
1666.    В треугольнике даны два угла Р и у и радиус R описанной окружности. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
1667.    В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60°, а их длины относятся, как 1:3. Чему равна меньшая диагональ четырехугольника
ABCD, если большая равна JZQ ?
1668.    В треугольнике АВС известны высоты ha = |, hb = i , hc = i . Найдите отношение биссектрисы CD к радиусу описанной окружности.
1669.    Около треугольника АВС описана окружность. Продолжение биссектрисы СК треугольника АВС пересекает эту окружность в точке L, причем CL — диаметр данной окружности. Найдите отношение от- 

резков BL и АС, если синус угла ВАС
равен i.
4
1670.    В треугольнике АВС сторона АВ = 6, А ВАС = 30°, радиус описанной окружности равен 5. Найдите сторону
АС.
1671.    Биссектриса AD равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) делит сторону ВС на отрезки BD = b и DC = с. Найдите биссектрису AD.
1672.    Дан треугольник АВС. Известно, чтоАВ = 4, АС = 2, ВС= 3. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К. Прямая, проходящая через точку В параллельно АС, пересекает продолжение биссектрисы АК в точке М. Найдите КМ.
1673°. В равнобедренной трапеции даны основания а = 21, Ь = 9 и высота h = 8. Найдите радиус описанного круга.
1674°. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10.
1675.    В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны соответственно JlO и 4 2 , а радиус окружности, описанной
около треугольника АВС, равен 4% . Найдите сторону ВС и угол АСВ, если известно, что угол АСВ — острый.
1676.    В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС, АС соответственно в точках М, D, N. Найдите отрезок MD, если известно, что NA = 2, NC = 3, А ВСА = = 60°.
1677°. В треугольник KLM вписана окружность, которая касается стороны KL в точке А, а стороны КМ — в точке В. Найдите угол LMK, если известно, что ВМ — 5, AL = 10, а
cos A LKM = — .
26
1678°. Две стороны треугольника равны anb. Найдите третью сторону с 
треугольника, если его угол, лежащий против третьей стороны, в два раза больше угла, лежащего против стороны, равной Ъ.

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АНВ, ВНС и АНС, равны между собой.
1680.    Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны АВ треугольника АВС равно половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника АВС, опущенную на сторону АВ, если она а две другие стороны тре-угольника равны 2 и 3.
1681.    В треугольнике АВС угол С равен 60°, а биссектриса угла С равна 5 J3 . Длины сторон АС и ВС относятся как 5 : 2 соответственно. Найдите тангенс угла А и сторону ВС.
1682.    Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пе-ресекает сторону АВ в точке D, а сторону ВС — в точке Е. Найдите угол BDC, если BD : ЕС = 1 : 2, BE : AD = 2:7, угол АВС равен 60°.
1683.    Катеты прямоугольного треугольника равны 36 и 48. Найдите расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до высоты, проведенной к гипотенузе.
1684.    Гипотенуза и катет прямоугольного треугольника равны соответственно 60 и 36. Найдите расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника до высоты, проведенной к гипотенузе.
1685.    Прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольника АВС, пересекает стороны ВА и ВС в точках А' и С' соответственно. При этом ВА' < ВА = 3, ВС = 2, ВА' ■ ВС' = 3. Найдите ВА'.
1686.    В треугольнике АВС известно, чтоАВ = 3, АС = 3./7, А АВС = 60°. 
Биссектриса угла АВС продолжена до пересечения в точке D с окружностью, описанной вокруг треугольника. Найдите BD.
1687.    Во вписанном в окружность четырехугольнике KLMN известно, что KL = 2, LM = 3, A KLM = 120°, а диагональ LN является отрезком биссектрисы угла KLM (рис. 67). Найдите эту диагональ.
 

1688.    В угол с вершиной А, равный 60°, вписана окружность с центром в точке О. Через точку К этой окружности проведена к ней касательная, пересекающая сторону угла в точках В и С. Отрезок ВС пересекается с отрезком АО в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, если AM : МО = 2 : 3 и ВС — 7.
1689°. Сторона АС в треугольнике АВС в четыре раза больше радиуса вписанной в треугольник АВС окружности. Найдите, в каком отношении центр этой окружности делит биссектрису угла В, если А АВС = 60°.
1690. Из произвольной точки Р, не лежащей на описанной окружности, опущены перпендикуляры РАЛ, РВг, РСг на стороны треугольника АВС или их продолжения. Известно, что АВ = с, ВС = а, АС = Ь, РА = х,РВ= у, PC = z. Найдите стороны треугольника Ajf^Cj, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен R.
1691°. Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно, что эти окружности существуют.
1692.    В трапеции АВСЕ основание
АЕ равно 16, СЕ = 8 J3 . Окружность, проходящая через точки А, В и С, вторично пересекает прямую АЕ в точке Н, ААНВ = 60°. Найдите АС.
1693.    В треугольнике АВС на средней линии DE, параллельной АВ, как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точках М и N. Найдите MN, если ВС = а, АС = Ъ,АВ = с.
1694.    Угол при основании равнобедренного треугольника равен <р. Найдите отношение радиуса вписанной в данный треугольник окружности к радиусу описанной окружности.
1695.    В треугольнике АВС заданы: АС = b, А АВС = а. Найдите радиус ок-ружности, проходящей через центр вписанного в треугольник АВС круга и вершины А и С.
1696.    В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) сторонаАС = 10. В угол АВС вписана окружность, диаметр которой равен 15, так, что она касается стороны АС в ее середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
1697.    В прямоугольном треугольнике АВС из точки Е, расположенной в середине катета ВС, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу АВ. Найдите углы треугольника АВС, если АЕ =
= JlOELuBOAC.
1698.    В ромбе ABCD из вершины В на сторону АВ опущен перпендикуляр
BE.    Найдите углы ромба, если 2 *J3 СЕ =
= АС.
1699.    Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 60°. Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите ее радиус.
1700.    В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС точка D делит сторону ВС в отношении 3:1, считая от вершины В, а точка Е — середина отрезка AD. Известно, что BE = J7 , СЕ = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
1701.    В треугольнике АВС сторона АС равна 7, угол ВСА равен 60°. Точка Е, лежащая на стороне ВС, удалена от вершины В на расстояние, равное 6, F — точка пересечения АЕ с медианой BD. Найдите сторону АВ, если BF : FD = = 3:2.
1702.    В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) медиана AJD и биссектриса СЕ перпендикулярны. Найдите угол AJDB.
1703.    Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 120°. Окружность с центром на третьей стороне треугольника касается двух других сторон. Вторая окружность касается этих сторон и первой окружности. Найдите радиусы окружностей.
1704.    Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Известно, что ВС — а, АС — Ъ, Z. АОВ = = 120°. Найдите сторону АВ.
1705.    ТочкаМ лежит на стороне АС равностороннего треугольника АВС со стороной, равной За, причем AM : МС = = 1:2. Точки К и L на сторонах АВ и ВС являются вершинами другого равностороннего треугольника MKL. Найдите его стороны.
1706.    Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 60°. Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите ее радиус.
1707.    В трапеции с основаниями 3 и 4 диагональ равна 6 и является бис-сектрисой одного из углов. Может ли эта трапеция быть равнобедренной?
1708.    В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ССг и АА1. Известно, что АС = 1 и Z. С1СА1 = а. Найдите площадь круга, описанного около треугольника С1ВА1.
1709.    В трапеции ABCD даны основания AD = 4, ВС = 1 и углы А и D при основании, равные соответственно arctg 2 и acrtg 3. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник СВЕ, где Е — точка пересечения диагоналей трапеции.
1710.    В трапеции KLMN известны
боковые стороны KL = 36, MN = 34, верхнее основание LM =    10 и
cos Z. KLM =    . Найдите диагональ
3
LN.
1711.    В остроугольном треугольнике АВС из основания D высоты BD опущены перпендикуляры DM и DN на стороны АВ и ВС. Известно, что MN = a, BD = Ъ. Найдите угол АВС.
1712.    В треугольнике АВС известно, ЧТОВС = 3,ВА = 377,ААВС = 60°. Биссектриса угла АВС продолжена до пересечения в точке D с окружностью, описанной вокруг треугольника (рис. 68). Найдите BD.
 

1713.    Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает сторону АВ в точке D, а сторону ВС — в точке Е. Найдите угол BDC, если ВС : ЕС = 1:2, BE:AD = 2: 7, А АВС = 60°.
1714.    В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка L так, что AL = 1, BL = 3, а на стороне ВС взята точка К, делящая эту сторону в отношении ВК : КС = 3 : 2. Точка Q пересечения прямых АХ и CL отстоит от прямой ВС на расстоянии 1,5. Вычислите синус угла АВС.
1715.    Внутри угла в 60° расположена точка, отстоящая на расстояния V7
и 2 от сторон угла. Найдите расстояние этой точки от вершины угла.
1716.    В треугольнике АВС точка D делит сторону АВ пополам, а точка Е лежит на стороне ВС, причем отрезок BE в 3 раза меньше стороны ВС. Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке О. Найдите сторону АВ, если отрезок АЕ равен 5, отрезок ОС равен 4, ауголАОС равен 120°.
1717.    Из точки М на окружности проведены три хорды: MN = 1, МР = 6, MQ = 2. При этом углы NMP и PMQ равны. Найдите радиус окружности.
1718.    В равнобедренном треугольнике АВС из точки С, являющейся вершиной прямого угла, опущена на гипотенузу высота ССХ. Из точки Сх проведены две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающие стороны ВС и АС в точках Аг и Вг соответ-ственно. Известно, что А С^А^В = 60°,
а гипотенуза АВ = J5 + 2 Уб . Найдите длину отрезка А^В-у. Укажите ее приближенное значение с точностью до 0,01.
1719.    В окружность с центром О вписана трапеция KLMN, в которой KL параллельна MN, KL = 8, MN = 2, A NKL — 45°. Хорда МА окружности пересекает отрезок KL в точке В такой, что КВ = 3. Найдите расстояние от точки О до прямой АХ.
1720.    Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке D и боковой стороны АВ в точке Е. Точка F — середина стороны АВ, а точка G — точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону АВ в точке Н.
Найдите угол ВСА, если известно, что FH: НЕ = 2:3.
1721.    Пусть М — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD, в котором стороны АВ, AD и ВС равны между собой. Найдите угол CMD, если известно, что DM = МС, a A CAB * A DBA.
1722.    В выпуклом четырехугольнике ABCD сторона AD равна 4, сторона CD равна 7, косинус угла ADC равен
- , синус угла ВСА равен - . Найдите
2    3
сторону ВС, если известно, что окружность, описанная около треугольника АВС, проходит также и через точку D.

В треугольнике АВС проведена средняя линия MN, соединяющая стороны АВ и ВС. Окружность, проведенная через точки М, N и С, касается стороны АВ, а ее радиус равен
J2,. Сторона АС равна 2. Найдите синус угла АСВ.
1724°. В окружность радиуса 5 вписан треугольник АВС, у которого АВ = = ВС, BD — высота. Найдите BD, если
BD+ -АС = 10.
3
1725.    В треугольнике АВС известно, что ВС — 4, А АСВ = 30°, радиус описанной окружности равен 6. Найдите среднюю линию, параллельную стороне АС, и расстояние между точками, в которых прямая, содержащая эту среднюю линию, пересекает описанную окружность.
1726.    В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена медиана CD. Около треугольника ACD вписана окружность, а в треугольник BCD вписана окружность. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус описанной около тре-
С
угольника АВС окружности равен - .
1727.    Сторона ромба ABCD равна 6. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников АВС и BCD, равно 8. Найдите радиусы этих окружностей.
1728.    В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окружность с центром О. Касательная к окружности пересекает стороны ВС и СА в точках MHN соответственно. Найдите радиус окружности, если A MNC =
= 2А NMC, ОМ = УТО ,ON =Ц-.
4
1729.    Около окружности с центром О описана трапеция ABCD, в которой ВС IIАВ, ВС <AD. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности,
если МВ = ВС, ОВ= Jb , ОС = J2.
1730.    В трапеции ABCD сторона АВ перпендикулярна основаниям АВ и ВС. Окружность касается стороны АВ в точке К, лежащей между точками А и В, имеет с отрезком ВС единственную общую точку С, проходит через точку В и пересекает отрезок АВ в точке Е, отличной от точки D. Найдите расстояние от точки К до прямой CD, если АВ = 48, ВС = 12.
1731.    В параллелограмме ABCD известно: АВ = а, ВС = Ъ, А АВС = а. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.
1732.    В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС и АВ = р. Средняя линия треугольника продолжена до пересечения с окружностью в точках D и Е (DE || АС). Найдите отношение площадей треугольников АВС и DBE.
1733.    В выпуклом четырехугольнике ABCD заключены две равные окружности, касающиеся друг друга. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину В с серединой Е стороны АВ, а центр второй окружности — на отрезке СЕ. Первая окружность касается сторон АВ, АВ и СВ, а вторая окружность ка-сается сторон АВ, ВС и СВ. Найдите синус угла между диагоналями четы-рехугольника ABCD.
1734.    Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение длины описанной окружности к длине вписанной окружности
равно 2 Уб . Найдите углы трапеции.
1735°. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окружность радиуса 3. Прямая I касается этой окружности и параллельна прямой АС. Расстояние от точки В до прямой I равно 3. Найдите расстояние между точками, в которых данная окружность касается сторон АВ и ВС.
1736. В треугольник АВС вписана окружность. Касательная к этой окружности, параллельная стороне ВС, пересекает сторону АВ в точке В и сторону АС в точке Е (рис. 69). Периметры треугольников АВС и ADE равны соответственно 40 и 30, а угол АВС равен а. Найдите радиус окружности.
А
 

1737. В трапецию ABCD вписана окружность. Продолжения боковых сторон трапеции АВ и ВС за точки В и С пересекаются в точке Е. Периметр треугольника DCE и длина основания трапеции АВ равны соответственно 60 и 20, угол АВС равен |3. Найдите радиус окружности.
1738°. Окружность с центром в точке О лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС, касается его катетов АВ и ВС. Найдите АС, если
известно, что AM = — , AN : MN =
9
= 6:1, где М — точка касания АВ с окружностью, а N — точка пересечения окружности с АС, расположенная между точками А и О.
1739.    На гипотенузе КМ прямоугольного треугольника KLM расположен центр О окружности, которая касается катетов KL и LM в точках А и В соответственно. Найдите АК, если
09
известно, что ВМ =    , АК: АС =
= 5:23, где С— точка пересечения окружности с КМ, лежащая между точками О и М.
1740.    Найдите периметр треугольника, один из углов которого равен а, а радиусы вписанной и описанной окружностей равны г и R.
1741.    На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС выбраны точки К и L так, что АК = KL — LB. Найдите углы треугольника АВС, если
известно, что СК = J2. CL.
1742.    Медиана AD остроугольного треугольника АВС равна 5. Ортогональные проекции этой медианы на
стороны АВ и АС равны 4 и 2 соответственно. Найдите сторону ВС.
1743.    В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС точка D делит сторону ВС в отношении 2:1, считая от вершины В, а точка Е — середина стороны АВ. Известно, что медиана
CQ треугольника СЕВ равна
/09
DE = "Е— . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
1744.    В ромбе ABCD точка Q делит сторону ВС в отношении 1:3, считая 
от вершины В, а точка Е — середина стороныАВ. Известно, что медиана CG
треугольника CEQ равна 2 J2 , a EQ =
= J2 . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD.
1745.    В треугольнике АВС со сторонами ВС = 7, АС = 5, АВ = 3 проведена биссектриса A_D. Вокруг треугольника ABD описана окружность, а в треугольник ACD вписана окружность. Найдите произведение их радиусов.
1746.    В треугольнике АВС проведены биссектрисы BL и АЕ углов АВС и ВАС соответственно, которые пересекаются в точке О. Известно, что АВ = = BL, периметр треугольника равен 28, ВО = 2OL. Найдите АВ.
1747.    В треугольнике АВС известно, что ВС = 4, А АВС = 30°, радиус описанной окружности равен 6. Найдите среднюю линию, параллельную стороне АС, и расстояние между точками, в которых прямая, содержащая эту среднюю линию, пересекает описанную окружность.
1748.    В ромбе ABCD угол BCD равен 135°, а стороны равны 8. Окружность касается прямой CD и пересекает сторону АВ в двух точках, расположенных на расстоянии 1 от А и В. Найдите радиус этой окружности.
1749.    Прямая, проходящая через точку М основания АВ равнобедренного треугольника АВС, пересекает прямые АС и ВС в точках Аг и Вг соответственно. Докажите, что АА1 : АХМ = = ВВ1 : ВгМ.
1770.    Биссектрисы AM и BN треугольника АВС пересекаются в точке
О. Известно, что АО = J3 МО, N0 =
= (J3 — 1)ВО. Найдите углы треугольника АВС.
1771.    В ромбе ABCD угол А АВС = — 60°. Окружность касается прямой AD в точке А, центр окружности лежит внутри ромба. Касательные к окружности, проведенные из точки С, перпендикулярны. Найдите отношение периметра ромба к длине окруж-ности.
1772.    В ромбе ABCD угол A BCD = = 120°. Окружность касается прямой ВС в точке С, центр окружности лежит вне ромба. Касательные к окружности, проведенные из точки А, перпендикулярны. Найдите отношение радиуса окружности к стороне ромба.
1773.    Сторона ромба ABCD равна а, а острый угол равен а. На отрезках AD к ВС построены как на сторонах вне ромба правильные треугольники. Найдите расстояние между центрами этих треугольников.
1774.    (Теорема Стюарта.) Точка D расположена на стороне ВС треугольника АВС. Докажите, что
АВ2 ■ DC + АС2 ■ BD - AD2 - ВС =
= ВС DC- BD.
1775.    Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 5, 12 и 13. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.
1776.    В треугольнике АВС сторона АВ равна 21, биссектриса BD равна
, a DC = 8. Найдите периметр треугольника АВС.
1777.    В треугольнике АВС точка D лежит на стороне ВС, прямая АН пересекается с биссектрисой угла АСВ в точке О. Известно, что точки С, Л и О лежат на окружности, центр которой находится на стороне АС, АС : АВ = = 3 : 2, а угол DAC в три раза больше угла DAB. Найдите косинус угла АСВ.
1778.    В треугольнике АВС точка D лежит на стороне ВС, а точка О — на отрезке AD. Известно, что точки С, Ли О лежат на окружности, центр которой находится на стороне АС, 4АС =
= 3^2 АВ, угол ЛАС в два раза больше угла BAD, а угол ОСА в два раза меньше угла ОСВ. Найдите косинус угла АВС. -
1779.    Периметр параллелограмма ABCD равен 26. Угол АВС равен 120°. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCD, равен Уз. Найдите стороны параллелограмма, если известно, что сторона АЛ больше стороны АВ.
1780.    В прямоугольнике ABCD сторона АВ втрое больше стороны ВС. Внутри прямоугольника расположена
точка N, причем AN = J2 , BN = 4 У2 , DN = 2. Найдите косинус угла BAN и площадь прямоугольника ABCD.
1802.    Из вершины L ромба KLMN проведена прямая, пересекающая прямую KN в точке Р. Диагональ КМ делит в точке Q отрезок LP так, что LQ : QP = 9 : 10. Найдите синус угла
LKN, если треугольник KLP тупоугольный, a A PLM = 60°.
1803.    Найдите высоту трапеции, у которой основания равны а иЪ (а < Ь), угол между диагоналями равен 90°, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45°.
1804.    Диагональ АС квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника АСК, причем точки В и К лежат по одну сторону от прямой АС. Докажите, что ВК = = \ЛК-СК\ kDK = АК+СК
Л    Л '
1805.    В параллелограмме ABCD угол BCD равен 150°, а основание AD равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся прямой CD и проходящей через вершину А, а также пересекающей основание AD на расстоянии 2 от точки D.
1806.    Точки М uN лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 2 и 6 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через MuNu касающейся прямой АВ, если угол ВАС равен 30°.
1807.    В треугольнике АВС выполнено соотношение между сторонами
АС-АВ _ АВ-ВС Найдите радиус описанной окружности, если расстояние от ее центра до точки пересечения медиан равно d, а сторона АВ равна с.
1808.    В остроугольном треугольнике BCD проведена высота СЕ и из точки Е опущены перпендикуляры ЕМ и EN на стороны ВС и CD. Известно, что СЕ = b, MN = а. Найдите угол BCD.
1809.    В треугольнике АВС даны углы В и С. Биссектриса внутреннего угла ВАС пересекает сторону ВС в точке D, а окружность, описанную около треугольника АВС, — в точке Е. Найдите отношение АЕ : DE.
1834.    В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через середину стороны АВ, пересекает продолжение стороны ВС в точке М так, что МС : МВ =1:5. Перпендикуляр, проходящий через середину стороны ВС, пересекает сторону АС в точке N так, что AN : NC = 1 : 2. Найдите углы треугольника АВС.
1838.    В остроугольном треугольнике АВС биссектриса AD делит пополам отрезок ОН, где О — центр описанной окружности, Н — точка пересечения высот. Известно, что АС = 2, AD =
= J3 + J2 — 1. Найдите радиус описанной около треугольника АВС окружности.
1839.    Две окружности радиусов R и г пересекаются в точках А к В к касаются прямой в точках С и D. N — точка пересечения прямых АВ и CD (В между А и N). Найдите:
1)    радиус окружности, описанной около треугольника АСВ;
2)    отношение высот треугольников NAC и NAD, опущенных из вершины
N.
1840.    Точка D лежит на стороне АС треугольника АВС. Окружность радио
уса    , вписанная в треугольник АНН,
Л
касается стороны АВ в точке М, а окружность радиуса Л, вписанная в треугольник BCD, касается стороны ВС в точке N. Известно, что ВМ = 6, BN = 5. Найдите стороны треугольника АВС.
1841.    Точка D лежит на стороне АС треугольника АВС. Окружность S1, вписанная в треугольник АНН, касается отрезка НН в точке М; окружность S2, вписанная в треугольник BCD, — в точке N. Отношение радиусов окруж-
Г7
ностей и S2 равно ^ . Известно, что
ВМ = 3, MN = ND = 1. Найдите стороны треугольника АВС.
1842.    В остроугольном треугольнике АВС А АВС = 75°, а высота, опущенная из вершины этого угла, равна 1. Найдите радиус описанной окружности, если известно, что периметр треугольника АВС равен 4 + Уб - J2..
1843.    Докажите формулу Эйлера:
0]0\ = R2 — 2rR, где 01г 02 — центры
вписанной и описанной окружностей треугольника ABC-, г, R — радиусы этих окружностей.
1844.    (Теорема Штейнера—Лемуса.) Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.
1845.    В треугольнике KLM проведена биссектриса MN. Через вершину
 
М проходят окружность, касающаяся стороны KL в точке М и пересекающая сторону КМ в точке Р, а сторону LM — в точке Q. Отрезки КР, QM и LQ соответственно равны k, т и q. Найдите MN.
1846.    В выпуклом четырехугольнике АВКС сторона АВ = Л , диагональ ВС равна 1, а углы АВС, ВКА и ВКС равны 120°, 30° и 60° соответственно. Найдите сторону ВК.
1847.    Два равнобедренных треугольника АВС {АВ = ВС) и MNP {МР = NP) подобны и расположены так, что точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и СА. Найдите отношение МР: АВ, если NC : BN = 2, а угол ВАС равен arctg 4.
1848.    Сторона ВС треугольника
АВС равна 4, сторона АВ равна 2jl9 . Известно, что центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла С. Найдите АС.
1849.    В окружности с центром О проведены параллельные хорды PQ и RS, диаметр SE и хорда DE. Хорда DE пересекает хорду PQ в точке F, из точки F опущен перпендикуляр FH на SE. Известно, что радиус окружности
равен г, а ЕН = — . Найдите расстоя- 8
ние от середины отрезка ЕО до середины хорды RQ.
1850.    Около окружности описана равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (АВ > ВС). Прямая, параллельная диагонали АС, пересекает стороны АВ и СВ в точках М и N соответственно и касается окружности в точке Р. Найдите углы трапеции, если k(k< 1).
1851.    Около треугольника АВС описана окружность с центром в точке
О.    Касательная к окружности в точке С пересекается с прямой, делящей пополам угол В треугольника, в точке К, 
причем угол ВКС равен половине разности утроенного угла А и угла С треугольника. Сумма сторон АС и АВ равна 2 + Л , а сумма расстояний от точки О до сторон АС и АВ равна 2. Найдите радиус окружности.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Теги: треугольник | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar