Тема №5109 Задачи по геометрии углы
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии углы из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии углы, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

634.    Докажите, что вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла (или дуги) окружности.
635.    Докажите, что у четырехугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны 180°.
636.    Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
637.    Докажите, что угол, заключенный между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
638.    Какова угловая величина дуги, если радиус, проведенный в ее конец, составляет с ее хордой угол в 40°?
639.    Угловая величина дуги содержит 110°. Найдите величины вписанных углов, опирающихся на эту хорДУ-
640.    Хорда делит окружность в отношении 7:11. Найдите величины вписанных углов, опирающихся на эту хорду.
641.    Хорда АВ делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130°, а большая делится хордой АС в отношении 31 : 15, считая от А. Найдите угол ВАС.
642.    Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3 : 5, проведена касательная. Найдите острый угол между хордой и касательной.
643.    Окружность разделена в отношении 5:9:10, и через точки деления проведены касательные. Найдите наибольший угол в полученном треугольнике.
644.    Меньшая сторона прямоугольника равна 1, острый угол между ди-агоналями равен 60°. Найдите радиус описанного круга.
645.    В прямоугольнике диагональ образует со стороной угол в 20°. На какие четыре части делится вершинами этого прямоугольника описанная около него окружность?
646.    С — точка на продолжении диаметра АВ, CD — касательная, угол ADC равен 110°. Найдите угловую величину дуги BD.
647.    АВ — диаметр окружности, ВС — касательная. Секущая АС делится окружностью в точке D пополам. Найдите угол DAB.
648.    Из концов дуги в 200° проведены касательные до взаимного пересечения. Найдите угол между ними.
649.    Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равен 70°. Найдите угловые величины дуг, заключенных между точками касания.
650.    Хорда делит окружность в отношении 11 : 16. Найдите угол между касательными, проведенными из концов этой хорды.
651.    Внутри данной окружности находится другая окружность. АВС и ADE — хорды большей окружности, касающиеся меньшей окружности в точках В и D; BMD — меньшая из двух дуг между точками касания; CNE — дуга между концами хорд. Найдите угловую величину дуги CNE, если дуга BMD содержит 130°.
652.    В ромб вписана окружность. На какие четыре части она делится точками касания сторон, если острый угол ромба равен 37°?
653.    Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого по порядку относятся, как: а) 2 : 4 : 5 : 3; б) 5 : 7 : 8 : 9?
654.    Три последовательных угла вписанного четырехугольника относятся, как 1:2:3. Найдите все углы четырехугольника.
655.    Найдите углы четырехугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, если X ABD = = 74°, X DBC = 38°, X BDC = 65°.
656.    Окружность касается одной из сторон угла в его вершине А и пересекает другую сторону в точке В. Угол равен 40°; М — точка на меньшей дуге АВ. Найдите угол AM В.
657.    Окружность разделена в отношении 7:11:6, и точки деления соединены между собой. Найдите углы полученного треугольника.
658.    М — середина высоты BD в равнобедренном треугольнике АВС. Точка М служит центром окружности радиуса МП. Найдите угловую величину дуги окружности, заключенной между сторонами ВА и ВС, если X ВАС = 65°.
659.    АВ и АС — две хорды, образующие угол ВАС, равный 70°. Через точки В и С проведены касательные до пересечения в точке М. Найдите А ВМС.
660.    Окружность с центром в точке О делит отрезок АО пополам. Найдите угол между касательными, проведенными из точки А.
661.    Угловая величина дуги АВ равна а < 90°. На продолжении радиуса ОА отложен отрезок АС, равный хорде AS, и точка С соединена с В (рис. 27). Найдите угол АСВ.
 

662.    В треугольнике АВС угол С — прямой. Из центра С радиусом АС описана дуга ADE, пересекающая гипотенузу в точке D, а катет СВ — в точке Е. Найдите угловые величины дуг AD и DE, если А В = 40°.
663.    АВС — секущая, А — внешняя точка окружности, угловая величина дуги BD равна 42°, а угловая величина дуги BDC равна 220°. Найдите угол ABD.
664.    Найдите градусную меру дуги, если перпендикуляр, проведенный к хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5 : 2.
665.    Найдите углы при большем основании трапеции, вписанной в окружность, если ее основания видны из центра окружности под углами 80° и 100°.
666.    В круговой сегмент АМВ вписана трапеция ACBD, у которой АС = = CD и А САВ = 51°20\ Найдите угловую величину дуги АМВ.
667.    АВ и АС — равные хорды, MAN — касательная, угловая величина дуги ВС, не содержащей точки А, равна 200°. Найдите углы МАВ и NAC.
668.    Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 25°. Под каким углом виден каждый его катет из центра описанной окружности?
669.    Два угла треугольника равны 50° и 100°. Под каким углом видна каждая сторона треугольника из центра вписанной окружности?
670.    AS и ВС — хорды окружности; иАВ = 110°, иАС = 40°. Найдите угол ВАС.
671.    Основание равностороннего треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью, а полуокружность — сторонами треугольника?
672.    Секущая АВС отсекает дугу ВС, содержащую 112°; касательная АН точкой касания D делит эту дугу в отношении 7:9. Найдите A BAD.
673.    Пусть О — центр круга, описанного около треугольника АВС. Найдите угол О АС, если: а) А В = 50°; б) А В = 126°.
674.    Во вписанном четырехугольнике ABCD диагональАС перпендикулярна диагонали BD и делит ее пополам. Найдите углы четырехугольника, если A BAD = а.
675.    Внутри данной окружности находится другая окружность. САЕ и DBF — две хорды большей окружности (непересекающиеся), касающиеся меньшей окружности в точках А и В; CND, EPF — дуги между концами хорд. Найдите угловую величину дуги CND, если дуги АМВ и EPF содержат соответственно 154° и 70°.
676.    Треугольник АВС — равнобедренный. Радиус ОА описанного круга образует с основанием АС угол ОАС, равный 20°. Найдите угол ВАС.
677.    Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, и через точку В — прямая, пересекающая окружности в точках Е и F (точки С и £ — на одной окружности, D и F — на другой). Докажите, что A CBD = A EAF.
678.    Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол против этой стороны — прямой. Докажите это с помощью вспомогательной окружности.
679.    Точки А и В соединены двумя дугами окружностей, обращенными выпуклостями в разные стороны: иАСВ = 117°23' и иАБВ = 42°37'. Середины С и D этих дуг соединены с А. Найдите угол CAD.
680.    Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три части. Найдите эти части.
681.    Окружность разделена точками А, В, С, D так, что иАВ : и ВС : vCD : иБА = 2 : 3 : 5 : 6. Проведены хорды АС и BD, пересекающиеся в точке М. Найдите угол AMD.
682.    Диаметр АВ и хорда CD пересекаются в точке М, А СМВ = 73°, угловая величина дуги ВС равна 110°. Найдите величину дуги BD.
683.    Из произвольной точки М внутри острого угла с вершиной А опущены перпендикуляры МР и MQ на его стороны. Из вершины А проведен перпендикуляр АК на PQ. Докажите, что А РАК = A MAQ.
684.    Два угла треугольника равны 40° и 80°. Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.
685.    Из точки Р, расположенной внутри острого угла ВАС, опущены перпендикуляры РС^ и РВ^ на прямые АВ и АС. Докажите, что угол С^АР равен углу CjBiP.
686.    Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника АВС опущен на гипотенузу АВ перпендикуляр MN. Докажите, что угол MAN равен углу MCN.
687.    Две окружности пересекаются в точках Ап В. Через точку В проводится прямая, пересекающая окружности в точках С и Б, а затем через точки С и Б проводятся касательные к этим окружностям (рис. 28). Докажите, что точки А, С, Б и точка Р пересечения касательных лежат на одной окружности.
 

688.    Окружность разделена точками А, В, С, Б так, что uAB : uBC : uCB : uBA = 3:2:13:7. Хорды АБ и ВС продолжены до пересечения в точке М. Найдите угол AM В.
689.    На данной прямой MN постройте точку, из которой данный отрезок АВ был бы виден под данным углом.
690.    В равнобедренной трапеции угол при основании равен 50°, а угол между диагоналями, обращенный к боковой стороне, равен 40°. Где лежит центр описанной окружности: внутри или вне трапеции?
691.    Через точку К, лежащую на окружности с центром О, проведены хорда КА (дуга КА больше 90°) и касательная МКР. Прямая, проведенная через центр О перпендикулярно радиусу ОА, пересекает хорду АХ в точке В и касательную МР в точке С. Докажите, что отрезок КС равен отрезку ВС.
692.    Окружность касается стороны ВС треугольника АВС в точке М, стороны АС — в точке N, а сторону АВ пересекает в точках К и L, причем KLMN — квадрат. Найдите углы треугольника АВС.
693.    В круге провели три хорды АВ, ВС и CD и отметили их середины — М,
N, К. Докажите, что A BMN = A NKC или A BMN + A NKC = 180°.
694.    Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.
695.    Две окружности пересекаются в точках А и В. Продолжения хорд АС и BD первой окружности пересекают вторую окружность в точках Е и F. Докажите, что 

прямые CD и EF параллельны.
696.    Угловые величины противоположных дуг, высекаемых на окружности пересекающимися хордами, равны а и (3. Найдите угол между хордами.
697.    Угловые величины дуг, заключенных между двумя хордами, продолжения которых пересекаются вне круга, равны а и (3 (а > (3). Под каким углом пересекаются продолжения хорд?
698.    Во вписанном четырехугольнике ABCD известны углы: A DAB = а, А АВС = (3, А ВКС « гДе К — точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD.
699.    Из концов дуги АВ, содержащей т°, проведены хордыАС иBDтак, что угол DMC, образованный их пересечением, равен углу DNC, вписанному в ДУГУ CD. Найдите градусную меру этой дуги.
700.    В четырехугольнике ABCD углы В и D — прямые. Диагональ АС образует со стороной АВ острый угол в 40°, а со стороной AD — угол в 30°. Найдите острый угол между диагоналями АС и BD.
701.    В выпуклом четырехугольнике АВС дано: А АВС = 116°, A ADC = = 64°, А САВ = 35° и A CAD = 52°. Найдите угол между диагоналями, опирающийся на сторону АВ.
702.    Стороны пятиугольника в порядке обхода равны 5, 6, 7, 8 и 9. Стороны этого пятиугольника касаются одной окружности. На какие отрезки точка касания со стороной, равной 5, делит эту сторону?
703.    Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямая, проходящая через точку А, пересекает окружности в точках М и N, отличных от А, а параллельная ей прямая, проходящая через В, — соответственно в точках Р и Q, отличных от В. Докажите, что MN = PQ.
704.    В треугольнике АВС проведены медианыAAj и ВВХ. Докажите, что если А СААХ = А СВВХ, то АС = ВС.
705.    Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пе-ресекаются в точке Е. На прямой АС взята точка М, причем А ВМЕ = 70°, A ADB = 50°, A CDB = 60°. Где расположена точка М: на диагонали АС или на ее продолжении? Ответ обосновать.
706.    Докажите, что прямая, соединяющая середины дуг АВ и АС, где А, В и С — три точки одной окружности, отсекает на хордах АВ и АС равные отрезки, считая от точки А.
707.    Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.
708.    О — центр окружности, описанной около треугольника АВС, А АОС = 60°. Найдите угол АМС, где М — центр окружности, вписанной в треугольник АВС.
709.    На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону встроен квадрат с центром в точке О. Докажите, что СО есть биссектриса прямого угла.
710.    На окружности даны точки А, В, С, D в указанном порядке; М — середина дуги АВ. Обозначим точки пересечения хорд МС и MD с хордой АВ через Е и К. Докажите, что KECD — вписанный четырехугольник.
711.    Окружности Sj и S2 пересекаются в точке А. Через точку А проведена прямая, пересекающая S! в точке В, S2 в точке С. В точках С и В проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, 
что угол ВВС не зависит от выбора прямой, проходящей через точку А.
712.    Четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность. Перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин В и С, пересекают диагонали АС и BD в точках В и В соответственно (рис. 29). Найдите EF, если ВС = 1.
 

713.    К двум окружностям, пересекающимся в точках К и М, проведена общая касательная. Докажите, что если А и В — точки касания, то сумма углов АМВ и АКБ равна 180°.
714.    В треугольнике АВС точка О — центр вписанной окружности, Ау — точка пересечения прямой АО с описанной окружностью. Докажите, что ВАу = ОАу = САу.
715.    Четыре точки окружности следуют в порядке А, В, С, D. Продолжения хорды АВ за точку В и хорды CD за точку С пересекаются в точке Е, причем угол AED равен 60°. Угол ABD в три раза больше угла ВАС. Докажите, что АВ — диаметр окружности.
716.    Пусть АВ — диаметр окружности, С — некоторая точка плоскости. Прямые АС и ВС пересекают окружность в точках М и N соответственно. Прямые МВ и NA пересекаются в точке К. Найдите угол между прямыми СК и АВ.
717.    В треугольнике АВС угол В —
прямой, угол А равен а ^ а < 5), точка D — середина гипотенузы. Точка Су симметрична точке С относительно прямой BD. Найдите угол АСуВ.
718.    В треугольнике АВС угол В —
прямой, угол С равен а ( а > ^ j. точка
D — середина гипотенузы. Точка Ау симметрична точке А относительно прямой BD. Найдите угол ВАуС.
719.    Продолжение биссектрисы АВ треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке М. Пусть Q — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что треугольники MBQ и MCQ — равнобедренные.
720.    Биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке В. Докажите, что АВ = ВВ.
721.    Через вершину С равностороннего треугольника АВС проведена про-извольная прямая, KVLM — проекции точек А и В на эту прямую, Р — середина АВ. Докажите, что треугольник КМР — равносторонний.
722.    Внутри угла с вершиной О взята некоторая точка М. Луч ОМ образует со сторонами угла углы, один из которого больше другого на 10°; А и В — проекции точки М на стороны угла. Найдите угол между прямыми АВ и ОМ.
723.    Две прямые пересекаются в точке А; В и С — проекции точки М на эти прямые. Найдите угол между прямой ВС и прямой, проходящей через середины отрезков AM и ВС.
724.    В квадрате АВСВ из точки В как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины А и С. На АВ как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Отрезок прямой, соединяющей произвольную точку В дуги АС с точкой В, пересекает полуокружность АВ в точке К. Докажите, что длина отрезка РК равна расстоянию от точки Р до стороны АВ.
725.    Около треугольника АВС описана окружность с центром О: М — се- 
редина дуги, не содержащей точки А. Докажите, что угол ОМА равен полуразности углов Си В треугольника АВС.
726.    Равносторонние треугольники АВС и PQR расположены так, что вершина С лежит на стороне PQ, а вершина Л — на стороне АВ. Докажите, что АР || BQ.
727.    Трапеция с высотой h вписана в окружность. Боковая сторона трапеции видна из центра окружности под углом 120°. Найдите среднюю линию трапеции.
728.    AM — биссектриса треугольника АВС. Точка D принадлежит стороне АС, причем A DMC = А ВАС. Докажите, что ВМ = MD.
729.    Окружность S2 проходит через центр О окружности и пересекает ее в точках А и В. Через точку А проведена касательная к окружности S2. Точка D — вторая точка пересечения этой касательной с окружностью Sy. Докажите, что AD = АВ.
730.    В треугольнике АВС биссектрисы ВР и СТ пересекаются в точке О. Известно, что точки А, Р.ОиГ лежат на одной окружности. Найдите величину угла А.
731.    Дан вписанный четырехугольник ABCD. Противоположные стороны АВ и CD при продолжении пересекаются в точке К, стороны ВС и AD — в точке L. Докажите, что биссектрисы углов ВКС и BLA перпендикулярны.
732.    АВ — диаметр окружности; С, D,E — точки на одной полуокружности ACDEB. На диаметре АВ взяты: точка F так, что A CFA = A DFB, и точка G так, что A DGA = A EGB. Найдите Z. FDG, если дуга АС равна 60°, а дуга BE равна 20°.
733.    Даны окружность и точка А вне ее; АВ и АС — касательные к окружности (В и С — точки касания). Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит на данной окружности.
734.    На продолжении (за точку А) стороны АС правильного треугольника АВС взята точка М, и около треугольников АВМ и МВС описаны окружности. Точка А делит дугу МАВ в отношении МА : АВ = п. В каком отношении точка С делит дугу МСВ?
735.    На стороне АС правильного треугольника АВС взята точка М, и около треугольников АВМ и МВС описаны окружности. Точка С делит дугу МСВ в отношении иМС : иСВ = п. В каком отношении точка А делит дугу МАВ?
736.    Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке А; АВ — диаметр большей окружности. Хорда ВК большей окружности касается меньшей окружности в точке С (рис. 30). Докажите, что АС — биссектриса треугольника АВК.
 

737.    Докажите, что если стороны пятиугольника в порядке обхода равны 4,6,8, 7 и 9, то его стороны не могут касаться одной окружности.
738.    Вершинауглав 70°служитна- чалом луча, образующего с его сторонами углы 30° и 40°. Из некоторой точки М на этот луч опущены перпендикуляры, основания которых А, В u С. Найдите углы треугольника АВС.
739.    Через точку О на стороне правильного треугольника АВС проведены прямые, параллельные сторонам АВ и АС и пересекающие стороны АС и АВ в точках К и L соответственно. Окружность, проходящая через точки О, К и L, пересекает стороны АС и АВ соответственно в точках Q и Р, отличных 

от К и L. Докажите, что треугольник OPQ — равносторонний.
740.    Через одну из точек пересечения двух равных окружностей проведена общая секущая. Докажите, что отрезок этой секущей, заключенный между окружностями, делится пополам окружностью, построенной на общей хорде этих окружностей как на диаметре.
741.    Четырехугольник вписан в окружность. Докажите, что сумма углов, вписанных в сегменты, прилежащие к сторонам четырехугольника и расположенные вне его, равна 540°.
742.    Шестиугольник ABCDEF — вписанный, причем АВ || DE и ВС || EF. Докажите, что CD || EF.
743.    Касательная в точке А к описанной окружности треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке Е; AD — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что АЕ = ED.
744.    В треугольнике АВС проведена высота АН; О — центр описанной окружности. Докажите, что А ОАН = = \А В - А С\.
745.    Из точки А проведены касательные АВ и АС к окружности с центром О. Докажите, что если из точки М отрезок АО виден под углом 90°, то отрезки ОВ и ОС видны из нее под равными углами.
746.    Точки С и О лежат на окружности с диаметром АВ. Прямые АС и BD, AD и ВС пересекаются в точках Р и Q. Докажите, что АВ перпендикулярна PQ.
747.    На отрезке АВ взята точка М. На отрезках AM и МВ как на сторонах построены по одну сторону от АВ квадраты. Около квадратов описаны окружности, пересекающиеся в точке С (отличной от М). Докажите, что: а) угол АС В — прямой; б) точка F лежит на отрезке АС.
748.    Точки А, В, С и D лежат на окружности. Точки М, N, К и L — середины дуг АВ, ВС, CD и DA. Докажите, что хорды МК и NL перпендикулярны.
749.    Радиус окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС, равен 1. Известно, что на этой окружности лежит центр другой окружности, проходящей через вершины А, С и точку пересечения высот треугольника АВС. Найдите АС.
750.    В треугольнике АВС угол В равен 60°, биссектрисы AD и СЕ пересекаются в точке О. Докажите, что OD = = ОЕ.
751.    Три равные окружности имеют общую точку Н, а точки их пересечения, отличные от Н, образуют остроугольный треугольник АВС. Докажите, что Н — точка пересечения высот треугольника АВС.
752.    Три окружности имеют общую точку М и попарно пересекаются в точках Р, Q, R. Через произвольную точку А одной из окружностей, лежащую на дуге PQ, не содержащей точки М, и точки Р и Q, в которых окружность пересекает две другие окружности, проведены прямые, пересекающие эти же две окружности в точках В и С. Докажите, что точки В, С и R лежат на одной прямой.
753.    Докажите, что в любом треугольнике АВС середина стороны ВС лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине А, и делит этот отрезок пополам.
754.    Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку К первой окружности проводятся прямые КА и КВ, пересекающие вторую окружность в точках Р и Q. Докажите, что хорда PQ второй окружности перпендикулярна диаметру КМ первой окружности.
755.    Окружности Sj и S2 пересекаются в точках А и В, причем центр О окружности S, лежит на окружности 
S2. Хорда АС окружности St пересекает окружность S2 в точке В. Докажите, что отрезки OD и ВС перпендикулярны.
756.    Диагонали четырехугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке М. Известно, что А АВС = 72°, А ВСВ = 102°, A AMD = 110°. Найдите A ACD.
757.    Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники АВС и CDA, со стороной АС, если:
а)    АВ = 5, ВС = 7, CD = DA;
б)    АВ = 7, ВС = CD, DA = 9.
758.    Точки А, В, С, D, Е и F расположены на окружности. Хорды ЕС и AD пересекаются в точке М, а хорды BE и DF — в точке N. Докажите, что если хорды АВ и CF параллельны, то они параллельны также прямой MN.
759.    Через концы основания AD трапеции ABCD проведена окружность, пересекающая прямые АВ и CD в точках КпМ. Докажите, что точки В, С, К и М лежат на одной окружности.
760.    В окружность вписан равносторонний треугольник. Докажите, что хорда, соединяющая середины дуг, отсекаемых сторонами треугольника, делится этими сторонами на три равные части.
761.    Вершины В, С, D четырехугольника ABCD расположены на окружности с центром О, которая пересекает сторону АВ в точке F, а сторону AD — в точке Е. Известно, что угол BAD — прямой, хорда EF равна хорде FB и хорды ВС, CD, ED равны между собой. Найдите угол АВО.
762.    Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника АВС относительно его сторон, лежат на описанной окружности этого треугольника.
763.    Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е, АВ = AD, С А — биссектриса угла С, A BAD = 140°, А ВЕЛ = 110°. Найдите угол CDB.
764.    Окружности Sl и S2 пересекаются в точках А и Р (рис. 31). Через точку А проведена касательная АВ к окружности S1? а через точку Р — прямая CD, параллельная прямой АВ (точки В и С лежат на S2, точка!) — на S^. Докажите, что ABCD — параллелограмм .
 

765.    (Теорема Коперника.) По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка К подвижной окружности?
766.    Вершина А остроугольного треугольника АВС соединена отрезком с центром О описанной окружности. Из вершины А проведена высота АН. Докажите, что А ВАН = А ОАС.
767.    В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Докажите, что ЕМ — медиана треугольника CED, и найдите ее длину, если АВ = 8, АВ = 4 и A CBD = а.
768.    Докажите, что окружности, описанные около трех треугольников, отсекаемых от остроугольного треугольника средними линиями, имеют общую точку.
769.    На сторонах АС и ВС треуголь- никаАВС во внешнюю сторону построены квадраты АСА JA2 И ВСВ1В2. Дока- 
жите, что прямые А1В, А2В2 и АВг пересекаются в одной точке.
770.    На сторонах произвольного треугольника АВС во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники АВСг, АгВС и ABjC. Докажите, что прямые AAj, В Вj и ССг пересекаются в одной точке.
771.    Во вписанном четырехугольнике ABCD через вершины А, В и точку Р пересечения диагоналей проведена окружность, пересекающая сторону ВС в точке Е. Докажите, что если АВ=АВ, то CD = СЕ.
772.    На хорде АВ окружности В с центром в точке О взята точка С; D — вторая точка пересечения окружности В с окружностью, описанной около треугольника АСО. Докажите, что CD = СВ.
773.    На плоскости расположены два квадрата ABCD и BKLN так, что точка К лежит на продолжении АВ за точку В, а N лежит на луче ВС. Найдите угол между прямыми DL и AN.
774.    Три прямые проходят через одну точку и образуют попарно углы в 60°. Из произвольной точки М опущены перпендикуляры на эти прямые. Докажите, что основания перпендикуляров являются вершинами правильного треугольника.
775.    Две окружности касаются внутренним образом в точке А. Из О — центра большей окружности — проведен радиус ОВ, касающийся меньшей окружности в точке С. Найдите А ВАС.
776.    Окружности Sj и S2 пересекаются в точках А и В, причем центр О окружности S2 лежит на окружности Sj. Хорда ОС окружности Sj пересекает окружность S2 в точке В. Докажите, что точка D является точкой пересечения биссектрис треугольникаАВС.
777.    Два равных равнобедренных треугольника АВС и DBE (АВ = ВС = = DB = BE) имеют общую вершину В и лежат в одной плоскости так, что точки А и С находятся по разные стороны от прямой BD, а отрезки АС и DE пересекаются в точке К. Известно, что
А АВС = A DBE = а < |, А АКВ =
= Р < а. В каком отношении прямая ВК делит угол АВС?
778.    Два равных ромба ABCD (АВ || CD, AD || СВ) и APQR (АР || QR, AR || PQ) имеют общую вершину А и лежат в одной плоскости. Известно,
что A BAD = А РАЯ = а < ^, A QAC = р.
Продолжения сторон ВС и QR пересекаются в точке К. Ромбы расположены в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. Найдите величину угла KAD.
779.    Отрезок, соединяющий вершину А треугольника АВС с центром Q вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, пересекает описанную окружность треугольника АВС в точке В. Докажите, что треугольник BBQ — равнобедренный.
780.    Докажите, что четыре точки пересечения окружностей, построенных на сторонах вписанного четырехугольника как на хордах и отличные от вершин этого четырехугольника, лежат на одной окружности.
781.    Треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Точки В и В ди-аметрально противоположны вершинам А и В соответственно. Прямая ЕО пересекает сторону АС в точке G, а сторону ВС — в точке Н (рис. 32). Докажите, что OG || ВС и £G = GH = GC.

782.    Четыре окружности Sj, S2, S3 и S4 расположены так, что Sj касается внешним образом окружностей S2 и S4,
52    — окружностей Sj и S3, S3 — окружностей S2 и S4, aS4 — окружностей
53    и Sj. Докажите, что точки касания этих окружностей являются вершинами вписанного четырехугольника.
783.    Вне правильного треугольника АВС, но внутри угла ВАС взята точка М так, что угол СМА равен 30° и угол ВМА равен а. Чему равен угол АВМ?
784.    На сторонах выпуклого четырехугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырехугольник.
785.    Диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырехугольника лежат на одной окружности.
786.    В треугольнике АВС проведены высоты ВВ4 и ААг; О — центр описанной около треугольника АВС окружности. Докажите, что прямые А4В4 И СО перпендикулярны.
787.    Две окружности Sj и S2 с центрами Ot и 02 пересекаются в точке А. Прямая 04А пересекает окружность S2 в точке К2, а прямая О2А пересекает окружность Sj в точке Кх. Докажите, что Z 0J02A = А К1К2А.
788°. Из точки А, расположенной вне окружности, проведены две касательные AM и AN (М и N — точки касания) и секущая, пересекающая окружность в точках Р и Q. Пусть L — середина PQ. Докажите, что A MLA = = A NLA.
789. Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (т. е. треугольника с вершинами в основаниях высот данного).
790. В параллелограммеABCD угол ACD равен 30°. Известно, что центры окружностей, описанных около треугольников ABD и BCD, расположены на диагонали АС. Найдите угол ABD.
791°. В окружности с центром О проведен диаметр; А и В — точки окружности, расположенные по одну сторону от этого диаметра. На диаметре взята такая точка М, что AM и ВМ образуют равные углы с диаметром. Докажите, что А АОВ = А АМВ.
792.    Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром О. Докажите, что четыре точки, в которых перпендикуляры, опущенные из О на стороны АВ и CD, пересекают диагонали АС и BD, лежат на одной окружности.
793.    Продолжение биссектрисы угла В треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке М; О — центр вписанной окружности, Oj — центр вневписанной окружности, касающейся стороны АС. Докажите, что точки А, С, О и Oj лежат на ок-ружности с центром в точке М.
794.    Окружности Sj и S2 пересекаются в точках А и В. Через точкуА проведена произвольная прямая, пересекающая эти окружности соответственно в точках Cj и С2, отличных от А. Докажите, что отрезок CjC2 виден из точки В под одним и тем же углом для любой прямой CjC2.
795.    ABCD — вписанный четырехугольник, продолжения сторон которого пересекаются в точках Е пК. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AED и АКВ со сторонами четырехугольника АВСВ являются вершинами ромба.
796.    В треугольнике АВС стороны АС и ВС не равны. Докажите, что биссектриса угла С делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными из вершины С, тогда и только тогда, когда А С = 90°.
797.    Постройте треугольник по точкам пересечения с описанной окружностью его высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из одной вершины.
798.    (Задача Архимеда.) В дугу АВ окружности вписана ломаная AMВ из двух отрезков (AM > МВ). Докажите, что основание перпендикуляра КН, опущенного из середины К дуги АВ на отрезок AM, делит ломаную пополам, т. е. АН = НМ + МВ.
799.    В трапеции ABCD (с основаниями ВС и AJD) на сторонах АВ и CD выбраны точки К и М. Докажите, что если А ВАМ = A CDK, то А ВМА = = A CKD.
800.    В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что A CBD = 58°, AABD = 44°, AADC = 78°. Найдите угол CAD.
801.    Внутри треугольникаАВС взята точка М так, что ААМС = 60° + + А АВС, А СМВ = 60° + АСАВ, А ВМА = 60° + А ВСА. Докажите, что проекции точки М на стороны треугольника служат вершинами правильного треугольника.
802.    Даны две окружности одинакового радиуса. Они пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена их общая секущая, пересекающая окружности еще в точках С и D. Через точку В проведена прямая, перпендикулярная этой секущей. Она пересекает окружности еще в точках Е и F. Докажите, что точки С, Е, D и F являются вершинами ромба.
803.    В выпуклом четырехугольнике ABCD противоположные углы А и С — прямые. На диагональ АС опущены перпендикуляры BE и DF. Докажите, что СЕ = FA.
804.    Точка Е лежит на продолжении стороны АС правильного треугольника АВС за точку С. Точка К — середина отрезка СЕ. Прямая, проходящая через точку А перпендикулярно АВ, и прямая, проходящая через точку Е перпендикулярно ВС, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD.
805.    Обязательно ли треугольник равнобедренный, если центр вписанной в него окружности одинаково удален от середин двух сторон?
806.    В треугольнике АВС проведены высоты BBj и CCj.
а)    Докажите, что касательная в точке А к описанной окружности параллельна прямой В j С j.
б)    Докажите, что ВгСг _L ОА, где О — центр описанной окружности.
807.    Сторона AD вписанного четырехугольника ABCD является диаметром описанной окружности, М — точка пересечения диагоналей, Р — проекция М на AD. Докажите, что М — центр окружности, вписанной в треугольник ВСР.
808.    Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.
809.    Известно, что в четырехугольник можно вписать и около него можно описать окружность. Докажите, что отрезки, соединяющие точки касания противоположных сторон с вписанной окружностью, взаимно перпендикулярны.
810.    Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной АВ пересекаются в точке Р. Докажите, что центр О ее описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника АРВ.
811.    Через точку Р, лежащую на общей хорде двух пересекающихся окружностей, проведены хорда КМ первой окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что четырехугольник KLMN — вписанный.
812.    Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны 
являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.
813.    Три равные окружности радиуса R пересекаются в точке М (рис. 33). Пусть А, В иС — три другие точки их попарного пересечения. Докажите, что:
а)    радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен В;
б)    М — точка пересечения высот треугольника АВС.
 

814.    С помощью одной линейки опустите перпендикуляр из данной точки на данный диаметр данной окружности (точка не лежит ни на окружности, ни на диаметре).
815.    Две окружности касаются внутренним образом в точке М. Пусть АВ — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке Т. Докажите, что МТ — биссектриса угла AMВ.
816.    Точка Е лежит на стороне АС правильного треугольника АВС; точка К — середина отрезка АЕ. Прямая, проходящая через точку Е перпендикулярно прямой АВ, и прямая, проходящая через точку С перпендикулярно прямой ВС, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD.
817.    В шестиугольнике ABCDEF известно, что АВ || DE, ВС || EF, CD || FA и AD = BE = CF. Докажите, что около этого шестиугольника можно описать окружность.
818.    Все углы треугольника АВС меньше 120°. Докажите, что внутри него существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом 120°.
819.    Через вершины A, B,C,D вписанного четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, проведены касательные к описанной окружности. Докажите, что образованный ими четырехугольник — вписанный.
820.    В остроугольном треугольнике АВС известно, что СН = АВ, где Н — точка пересечения высот. Найдите угол С.
821.    Пусть Н — точка пересечения высот остроугольного треугольника АВС и СН = R, где R — радиус описанного круга. Найдите угол С.
822.    Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симеона).
823.    Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника пер-пендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности.
824.    Точки К и Р симметричны основанию Н высоты ВН треугольника АВС относительно его сторон АВ и ВС. Докажите, что точки пересечения отрезка КР со сторонами АВ и ВС (или их продолжениями) — основания высот треугольника АВС.
825.    Докажите, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
826.    Основание каждой высоты треугольника проецируется на боковые стороны треугольника. Докажите, что шесть полученных точек лежат на одной окружности. 

827.    В выпуклом четырехугольнике ABCD известны углы: Z ВАС = 20°, А ВСА = 35°, A BDC = 40°, A BDA = = 70°. Найдите угол между диагоналями этого четырехугольника.
828.    В выпуклом четырехугольнике ABCD угол Z. А = 90°, а угол АС < < 90°. Из вершин В и D на диагональ АС опущены перпендикуляры BE и DF. Известно, что АЕ = CF. Докажите, что угол С — прямой.
829.    На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D, Е nF так, что DE = BE, FE = = СЕ. Докажите, что центр описанной около треугольника ADF окружности лежит на биссектрисе угла DEF.
830.    Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + ВС, то биссектрисы его углов А и В пересекаются на стороне CD.
831.    В четырехугольнике KLMN, вписанном в окружность, биссектрисы углов KviN пересекаются в точке Р, лежащей на стороне LM. Известно, что KL : MN = Ъ. Найдите:
а)    отношение расстояний от точки Р до прямых KL и MN;
б)    отношение хорд LM и MN.
832.    Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного вокруг ок-ружности четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей че-тырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон первого четырехугольника с окружностью.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Теги: углы | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar