Тема №5122 Задачи по геометрии угол прямой с плоскостью
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии угол прямой с плоскостью из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии угол прямой с плоскостью, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

3896.    Докажите, что площадь ортогональной проекции плоского много-угольника на некоторую плоскость равна площади проецируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью проекций и плоскостью проецируемого многоугольника.
3897.    Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника.
3898.    В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) известно, что АВ = 4, Z. А = 60°. Найдите ВС, АС.
3899.    Какие углы образует диагональ куба с его гранями?
3900.    Угол между плоскостями равен а. Найдите площадь ортогональной проекции правильного шестиугольника со стороной, равной 1, лежащего в одной из плоскостей, на другую плоскость.
3901.    Нарисуйте изображение куба, полученное в результате ортогонального проецирования куба на плоскость, перпендикулярную: а) одному из ребер; б) диагонали одной из граней.
3902.    Площадь треугольника АВС равна 2. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через середины ребер AD, BD, CD (рис. 161).
D
 

3903.    Обязательно ли будут параллельными две плоскости, перпендикулярные одной и той же плоскости?
3904.    Пусть А — некоторая точка в пространстве, A j — проекция точки А на плоскость а, АА1 = а. Через точку А проходит плоскость, образующая угол ср с плоскостью а и пересекающая плоскость а по прямой I. Найдите расстояние от точки Aj до прямой I.
3905.    В пирамиде ABCD угол АВС равен а, ортогональная проекция точки D на плоскость АВС есть точка В. Найдите угол между плоскостями ABD и CBD.
3906.    Все ребра пирамиды ABCD равны между собой. Нарисуйте изображение пирамиды ABCD, полученное в результате ортогонального проецирования на плоскость: а) АВС; б) перпендикулярную АВ; в) параллельную АВ и CD.
3907.    Докажите, что если боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, то в основании лежит вписанный многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр описанной окружности этого многоугольника.
3908.    Прямая I образует угол, равный а, с плоскостью Р. Найдите ортогональную проекцию на плоскость Р отрезка, равного d и расположенного на прямой I.
3909.    В пирамиде ABCD грань АВС — правильный треугольник со стороной, равной a, AD = BD = CD = Ъ. Найдите косинус угла, образованного прямыми AD, BD и CD с плоскостью АВС.
3910.    Пусть прямая р перпендикулярна плоскости п. Докажите, что углы, образованные произвольной прямой I с плоскостью п и прямойр, дополняют друг друга до 90°.
3911.    В одной из граней двугранного угла, равного ф, взята точка А на расстоянии, равном а, от ребра. Найдите расстояние от точки А до плоскости другой грани.
3912.    Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный наименьшему углу этого треугольника.
3913.    Найдите двугранные углы пирамиды ABCD, все ребра которой равны между собой.
3914.    В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3.
3915.    Основание равнобедренного
треугольника равно 4 J2 , а медиана, проведенная к боковой стороне, равна 5. Найдите боковые стороны.
3916.    Основание правильной треугольной пирамиды расположено в грани куба, одна из сторон основания совпадает с ребром куба, а вершина пирамиды лежит в противоположной грани куба. Найдите угол боковой грани пирамиды с плоскостью ее основания.
3917.    Дан Ky6ABCDAlBlC1Dl. Найдите углы между прямыми: а)ААХ и BD^, б) ВХ)х и DCi, в) ADj и DCV
3918.    Плоскость прямоугольного треугольника с катетами, равными 3 и 4, образует с плоскостью Р угол, равный а. Гипотенуза этого треугольника лежит в плоскости Р. Найдите угол между меньшим катетом и плоскостью Р.
3919.    Стороны прямоугольника равны 1 и 2. Меньшая сторона прямоугольника лежит в плоскости Р, а диагональ прямоугольника образует с плоскостью Р угол, равный а. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью Р.
3920.    Дан трехгранный угол. Рассмотрим три плоскости, содержащие его грани. Эти плоскости разбивают пространство на восемь трехгранных углов.
а) Найдите плоские углы всех образовавшихся трехгранных углов, если плоские углы исходного трехгранного угла равны x,ynz.
б) Найдите двугранные углы всех образовавшихся трехгранных углов, если двугранные углы исходного трехгранного угла равны а, (3 и у-
3921.    Диагонал’ь прямоугольного параллелепипеда равна / и образует с плоскостью основания угол, равный а. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его основания равна S.
3922.    Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через точку А, не принадлежащую плоскости л, и образующие равные углы с этой плоскостью (углы, отличные от нуля). Найдите геометрическое место точек пересечения этих прямых с плоскостью л.
3923.    Пусть А — некоторая точка в пространстве, не принадлежащая плоскости а. Рассмотрим всевозможные плоскости, проходящие через точку А и образующие один и тот же угол с плоскостью а. Докажите, что все прямые, по которым плоскости, проходящие через точку А, пересекаются с плоскостью а, касаются одной окруж-ности.
3924.    На плоскости отмечены три точки, служащие изображениями (па-раллельными проекциями) трех последовательных вершин правильного шестиугольника. Постройте изображения остальных вершин шестиугольника.
3925.    Ребро BD пирамиды ABCD перпендикулярно плоскости ADC. Докажите, что сечением этой пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середины ребер АВ и ВС, является треугольник, подобный треугольнику АВС. Чему равен коэффициент подобия?
3926.    Все плоские углы трехгранного угла равны по 60°. Найдите углы, образованные ребрами этого трехгранного угла с плоскостями противоположных граней.
3927.    В основании пирамиды лежит многоугольник с периметром 2р, двугранные углы при основании равны а, высота пирамиды h. Найдите ее объем.
3928.    Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с, и углом 30° (рис. 162). Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
 

3929.    Высота прямой призмы 1, ее основанием служит ромб со стороной 2 и острым углом 30°. Через сторону основания проведена секущая призму плоскость, наклоненная к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения.
3930.    В па рал ле ле пи пе де ABCDA1B1C1D1 грань ABCD — квадрат со стороной 5. Ребро АА1 также равно 5 и образует с ребрами АВ и AD углы, равные 60°. Найдите диагональ BDX.
3931.    Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб, сторона которого равна 60. Плоскость диагонального сечения, проходящая через большую диагональ основания, перпендикулярна плоскости основания. Площадь этого сечения равна 7200. Найдите меньшую диагональ основания, если боковое ребро равно 80 и об-разует с плоскостью основания угол 60°.
3932.    На плоскости а даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Пусть М — такая точка в пространстве, что прямые МА, МВ и МС образуют равные углы с плоскостью а. Найдите геометрическое место точек М.
3933.    Отрезки AD, BD и CD попарно перпендикулярны. Известно, что площадь треугольника АВС равна S, а площадь треугольника ABD равна Q. Найдите площадь ортогональной проекции треугольникаABZ) на плоскость АВС.
3934.    Из точки М, расположенной внутри двугранного угла, равного ср, опущены перпендикуляры на его грани (имеются в виду лучи, выходящие из точки М). Докажите, что угол между этими перпендикулярами равен
180°-ф.
3935.    Все плоские углы при вершине D пирамиды ABCD равны 90°, DA =
= 1, DB = DC = J2.. Найдите двугранные углы этой пирамиды.
3936.    В плоскости одной из граней двугранного угла взята фигура F. Площадь ортогональной проекции этой фигуры на другую грань равна S, а площадь ее ортогональной проекции на биссекторную плоскость равна Q. Найдите площадь фигуры F.
3937.    На плоскости нарисована линия, являющаяся изображением (па-раллельной проекцией на некоторую плоскость) окружности. Постройте изображение центра этой окружности.
3938.    На плоскости даны изображение (параллельная проекция) плоского четырехугольника ABCD и точки М, не лежащей в его плоскости. Постройте изображение прямой, по которой пересекаются плоскости АВМ и CDM.
3939.    Докажите, что сечением пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребрам АС и BD, является параллелограмм, причем для одной такой плоскости этот параллелограмм будет ромбом. Найдите сторону этого ромба, если АС = a, BD = Ь.
3940.    Найдите двугранные углы трехгранного угла, плоские углы которого равны 90°, 90° и а.
3941.    Все плоские углы трехгранного угла равны 90°. Найдите углы между биссектрисами плоских углов.
3942.    Три последовательные стороны основания четырехугольной пирамиды равны 5, 7 и 8. Найдите четвертую сторону основания, если известно, что двугранные углы при основании равны.
3943.    Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его ребрами углы а, Р и у. Докажите, что
cos2 а + cos2 (3 + cos2 у = 1.
3944.    В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с боковыми гранями углы Р и у. Найдите объем параллелепипеда.
3945.    Высота правильной треугольной пирамиды в два раза больше радиуса окружности, описанной около ее основания. Объем пирамиды равен 36. Найдите сторону основания пирамиды.
3946.    Высота правильной четырехугольной пирамиды в два раза меньше ее апофемы. Объем пирамиды равен 108. Найдите высоту пирамиды.
3947.    Основание пирамиды — прямоугольник с диагональю, равной Ь, и углом в 60° между диагоналями. Каждое из боковых ребер образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем пирамиды.
3948.    На перпендикуляре к плоскости прямоугольника ABCD, проходящем через точку А, взята точка Р, отличная от А. Докажите, что:
а)    плоскость АРВ перпендикулярна плоскости APD;
б)    плоскость АРВ перпендикулярна плоскости ВРС; 
в) плоскость APD перпендикулярна плоскости DPC.

3949.    Основание призмы АВСАуВуСу — равносторонний треугольник АВС со стороной, равной а. Ортогональная проекция вершины Ау совпадает с центром основания АВС, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 60°. Найдите боковую поверхность призмы.
3950.    Пусть АВС — прямоугольный треугольник с гипотенузой АВ — а. На каком расстоянии от плоскости АВС находится точка М, если известно, что прямые МА, МВ и МС образуют с плоскостью углы, равные а.
3951.    Найдите сумму углов, которые произвольная прямая образует с плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости.
3952.    Через стороны равностороннего треугольника проведены три плоскости, образующие угол, равный а, с плоскостью этого треугольника и пересекающиеся в точке, удаленной на расстояние, равное d, от плоскости треугольника. Найдите радиус окружности, вписанной в данный равносторонний треугольник.
3953.    Найдите двугранные углы пирамиды ABCD, в которой АВ = ВС = = СА = a, AD = BD = CD = b (рис. 163).
D
 

3954.    В пирамиде ABCD двугранные углы с ребрами АВ, ВС и СА равны alt a2 и сс3, а площади треугольников
ABD, BCD и CAD равны соответственно Sy, S2 и <S3. Площадь треугольника АВС равна S. Докажите, что
S = Sy cos ccj + S2 cos a2 + S3 cos a3
(некоторые из углов a1? a2 и a3 могут быть тупыми).
3955.    Площадь ортогональной проекции круга радиуса, равного 1, на плоскость а равна 1. Найдите длину ортогональной проекции этого круга на прямую, перпендикулярную плоскости а.
3956.    Плоские углы при вершине D пирамиды ABCD равны 90°. Обозначим через Slt S2, S3 и Q площади граней ABD, BCD, CDA и ABC, через a, (3 и у — двугранные углы при ребрах АВ, ВС и АС.
1)    Выразите а, (3 и у через Sy, S2, S3 и Q.
2)    Докажите, что
Si + S2 + Si = Q2.
3)    Докажите, что
cos2 a + cos2 (3 + cos2 у = 1.
3957.    Все ребра пирамиды ABCD равны между собой. Нарисуйте изображение пирамиды ABCD, полученное в результате ортогонального проецирования на плоскость, параллельную АВ и CD.
3958.    В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. Высота пирамиды равна h. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом а. Найдите площадь основания. (Укажите все возможности.)
3959.    Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковое ребро равно Ъ. Найдите высоту пирамиды и двугранный угол между боковыми гранями.
3960.    В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 7, 8, 9. Боковые ребра пирамиды наклонены 
к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту пирамиды.
3961.    Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA^iC^D^. Через прямую BDX проведена плоскость, параллельная прямой АС. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если АВ = а, ВС = Ъ, ССг = с.
3962.    В треугольной пирамиде SABC высота SO проходит через точку О — центр круга, вписанного в основание АВС пирамиды. Известно, что A SAC = 60°, Z_ SCA — 45°, а отношение площади треугольника АОВ к площади треугольника АВС равно —i—.
2 +Л
Найдите угол BSC.
3963.    В четырехугольной пирамиде OABCD плоскости боковых граней ОАВ, ОВС, OCD, OAD образуют с плоскостью основания углы, равные соответственно 60°, 90°, 45°, 90°. Основание ABCD — равнобедренная трапеция, ребро АВ равно 2, площадь основания равна 2. Найдите поверхность пирамиды.
3964.    Через вершину О треугольной пирамиды ОАВС проведено сечение, пересекающее ребра АВ и АС в точках D и Е. Грани ОАВ и ОАС перпендикулярны основанию, объем пирамиды равен 16, ребро О А равно 4, ребро ВС равно 4, площадь сечения равна 5. Найдите DE.
3965.    Найдите сторону правильного треугольника, являющегося ортогональной проекцией треугольника со
сторонами, равными J6,3 и JlA , на некоторую плоскость.
3966.    В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45°. Чему может быть равна высота пирамиды?
3967.    Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник АВС (С — вершина прямого угла). Все боковые грани пирамиды наклонены к ее основанию под одинаковым уг-
К
лом, равным arcsin —. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если SO — высота пирамиды, АО = 1,
ВО = Зл/2.
3968.    Угол наклона всех боковых граней пирамиды SABC одинаков и равен arctg //2 . Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник АВС (А АСВ = 90°); SO — высота пирамиды. Найдите боковую поверхность пирамиды, если OB = Jb , а радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен 1.
3969.    В правильной треугольной пирамиде SKLM площадь сечения, проходящего через боковое ребро SK и высоту SO, в два раза больше площади основания пирамиды. Боковое ребро
равно ЛЗ . Найдите площадь боковой грани пирамиды.
3970.    Через биссектрису прямого угла прямоугольного треугольника проведена плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол а. Какие углы эта плоскость образует с катетами треугольника?
3971.    Каждая из боковых граней треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в 60°. Стороны основания равны 10,10,12. Найдите объем пирамиды.
3972.    Основание пирамиды — ромб с острым углом в 30°. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60°. Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен г.
3973.    В плоскости а проведены две перпендикулярные прямые. Прямая I образует с ними углы, равные 45° и 60°. Найдите угол прямой I с плоскостью а.
3974.    Дано изображение (параллельная проекция на некоторую плоскость) треугольника и центра описанной около него окружности. Постройте изображение точки пересечения высот этого треугольника.
3975.    Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD равно 1. Точка Р на ребре АВ, точка Q на ребре ВС и точка
R на ребре CD взяты так, что АР = |,
BQ = СВ = i . Плоскость PQR пересека- 3
ет прямую AD в точке S. Найдите угол между прямыми SP и SQ.
3976.    В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной Ъ (а < Ъ). Известно, что ее боковые ребра равны, а боковые грани равновелики. Найдите боковое ребро пирамиды.
3977.    Основание пирамиды — параллелограмм ABCD с площадью т2. Известно, что BD перпендикулярно AD. Двугранные углы при ребрах AD и ВС равны 45°, а при ребрах АВ и CD — 60°. Найдите боковую поверхность и объем пирамиды.
3978.    Косинус угла между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен
/О К
. Точки Е и F являются серединами отрезков АВ и CD соответственно, а прямая EF перпендикулярна прямым АВ и CD. Найдите угол АСВ, если известно, что АВ = 2 Л , CD = 2 Л • EF =
= Лз.
3979.    В пространстве взяты точки A,B,CnD, ДЛЯ которых AD = BD = CD, A AD В = 90°, AADC = 50°, Z BDC = = 140°. Найдите углы треугольника АВС.
3980.    Все двугранные углы при основании пирамиды равны а, а углы, образуемые боковыми ребрами с плоскостью основания, равны (3. Известно, что tg а = k tg р. Сколько сторон имеет основание пирамиды, если h = 2? Ка 
кие значения может принимать величина k?

3981.    В правильной треугольной призме АВСА1В1С] {AAl || ВВ1 || ССг) угол между прямыми АС! и АУВ равен а,АА1 = 2 (рис. 164). Найдите АВ.
 

3982.    В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена высота SD. На отрезке SD взята точка К так, что SK : KD =1:2. Известно, что двугранные углы между основанием и боковыми гранями равны
а расстояние от точки К до бокового ребра равно —— .
Лз миды.
3983.    В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена высота SD. На отрезке SD взята точка К так, что SK : KD =1:3. Известно, что боковые ребра образуют с основанием угол Р , а расстояние от точки
О
О
К до боковой грани равно . Найдите
Л
объем пирамиды.
3984.    Высота правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S —
вершина) в J‘3 раз больше ребра основания. Точка Е — сот езин.а апофе-
мы, лежащей в грани ASB. Найдите угол между прямой DE и плоскостью ASC.
3985.    Угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен
/35
arccos . Точки Е и F являются серединами отрезков АВ и CD соответственно, а прямая EF перпендикулярна прямым АВ и CD. Найдите угол
АС В, если известно, что АВ = 2    ,
CD = 2jl и£У= Vl3.
3986.    Ортогональной проекцией равнобедренного прямоугольного треугольника на плоскость а является правильный треугольник. Найдите угол, образованный гипотенузой данного треугольника с плоскостью а.
3987.    Пусть АВС — равносторонний треугольник. Через прямые АВ, ВС и АС проходят три плоскости, образующие угол, равный ср, с плоскостью АВС и пересекающиеся в точке Dv Кроме того, через эти же прямые проходят плоскости, образующие угол, равный 2ф, с плоскостью АВС и пересекающиеся в точке Н2. Найдите ф, если известно, что точки Dx и Н2 находятся на равных расстояниях от плоскости АВС.
3988.    Нарисуйте изображение куба, полученное в результате ортогонального проецирования куба на плоскость, перпендикулярную диагонали куба.
3989.    В правильной четырехугольной пирамиде ABCDP угол между боковым ребром РА и плоскостью основания ABCD равен углу между ребром РА и плоскостью РВС. Найдите этот угол.
3990.    Через боковое ребро PC правильной треугольной пирамиды АВСР проведена плоскость, параллельная 
стороне АВ основания. Боковое ребро РА образует с этой плоскостью угол,

равный arcsin — . Найдите угол меж- 3
ду боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
3991.    В пирамиде ABCD двугранный угол при ребре АС равен 90°, АВ = = ВС = CD, BD =АС. Найдите двугранный угол при ребре AD.
3992.    Сторона основания АВС правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна 6, а высота равна
На ребрах АС, АгСг и ВВг расположены соответственно точки Р, F и К так, что АР = 1, AjF = 3 и ВК КВХ. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки Р, F и К. Найдите площадь сечения и угол между плоскостью основания призмы и плоскостью сечения.
3993.    Правильная треугольная призмаАВСА1В1С1 пересечена плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, А1С1 и ВВг. Постройте сечение призмы, найдите площадь сечения и вычислите угол между плоскостью основания АВС и плоскостью сечения, если сторона основания равна 4, а высота призмы равна
3994.    Длины ребер правильной треугольной пирамиды принимают два значения: 2 и 4. Найдите длину хорды описанной около этой пирамиды сферы, проходящей через середины двух ее противоположных ребер.
3995.    Отрезок АВ {АВ = 1), являющийся хордой сферы радиуса 1, расположен под углом 60° к диаметру CD этой сферы. Расстояние от конца С диаметра до ближайшего к нему
конца А хорды АВ равно J2.. Найдите BD. 
3996.    В правильной призме
АВСУ11В1С1 боковое ребро равно 3. Точка М — середина ребра АС, точка N лежит на ребре В    , а точка Р принадле
жит грани АА^В-^В и удалена от плоскости АВС на расстояние 1. Известно, что угол в 30° образуют: прямые РМ и PN — с плоскостью АА1В1В, прямая PN — с плоскостью BJB] С] С. Найдите объем призмы.
3997.    Рассмотрим четыре угла между плоскостями граней правильного тетраэдра и некоторой фиксированной плоскостью.
а)    Докажите, что косинусам этих углов можно приписать знаки так, что их сумма будет равна нулю.
б)    Докажите, что сумма квадратов
4
косинусов этих углов равна - .
О
3998.    Площади граней треугольной пирамиды равны 3, 4, 5 и 6. Двугранные углы при меньшей по площади грани равны между собой. Найдите двугранный угол между гранями площади 5 и 6.
3999.    Двугранный угол, образованный полуплоскостями аир, равен |.
о
Внутри этого угла расположен треугольник АВС. Ортогональные проекции треугольника АВС на полуплоскости а и Р есть треугольники ABXCX и АВ2С2 соответственно (В1иВ2 — проекции точки В; С1иС2 — проекции точки С). Известно, что АВ = 3 ^25 - 4,/3 ,
АС= Vl9-4,/3 ,АВ1 = 9л/2 ,АВ2 = 6^3 , АСг > АС2, Z В1АС1 = Z BZAC2 = л/12. Найдите ВС.
4000.    Внутри трехгранного угла, все плоские углы которого прямые, расположен многоугольник. Площади проекций на грани этого угла равны 3, 4 и 12. Найдите площадь этого многоугольника.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Теги: плоскость, угол | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar