Тема №5115 Задачи по геометрии векторы
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Задачи по геометрии векторы из предмета Геометрия и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Задачи по геометрии векторы, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

2442.    Даны точки А(4; 1), В{—8; 0) и С(0; -6). Составьте уравнение прямой, на которой лежит медиана AM треугольника АВС.
2443.    Докажите, что точкиА(—1; -2), В(2; -1) и С(8; 1) лежат на одной прямой.
2444.    Даны точки А(-2; 0), В( 1; 6), С(5; 4) и В(2; —2). Докажите, что четы-рехугольник ABCD — прямоугольник.
2445.    Найдите расстояние между точкой А(1; 7) и точкой пересечения прямых х — у-1=0их + Зу-12 = 0.
2446.    Даны точки А(0; 0), В(-2; 1), С(3; 3), .0(2; —1) и окружность (я; - I)2 + + (у + З)2 = 25. Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.
2447.    Точка М делит сторону ВС
треугольника АВС в отношении    =
О    ^    4    ^    ^
= = . Известно, что АВ = а , АС = b .
5
Найдите вектор AM.
2448.    Даны точки А(—2; 1), Б(2; 5) и С(4; —1). Точка О лежит на продолжении медианы AM за точку М, причем четырехугольник ABDC — параллелограмм. Найдите координаты точки D.
2449.    Окружность с центром в точке М(3; 1) проходит через начало координат. Составьте уравнение окружности.
2450.    Пусть AAj, ВВу, ССу — медианы треугольника АВС. Докажите,
что ААу + ВВу + CCi = 0 .
2451.    Пусть М — середина отрезка АВ, М-у — середина отрезка АуВу. Докажите, что ММу = | (ААу + ВВу).
2452.    Пусть М — точка пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD, О — произвольная точка. Докажите, что
ОМ = -(ОА +ОВ+ОС+ OD).
4
2453.    Му, М2, М6— середины сторон выпуклого шестиугольника АуА2..А§. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам МуМ2, М3МЛ, М5М6.
2454.    Две взаимно перпендикулярные хорды АВ и CD окружности с центром О пересекаются в точке М. Докажите, что
ON = | (ОА + ОВ +ОС + OD).
2455.    Даны точки А(—6; —1), В(1; 2) и С(—3; —2). Найдите координаты вершины А? параллелограмма АВМС.
2456.    Докажите, что прямые, заданные уравнениями у = kyX + 1у и у = k2x + 12, перпендикулярны тогда и только тогда, когда kyk2 = - 1.
2457.    Пусть М — точка пересечения медиан треугольника АВС. Докажите, что МА + МВ + МС = 0 .
2458.    Пусть М — точка пересечения медиан АА1, ВВХ и ССу треугольника АВС. Докажите, что
МАу + МВу + МСу = 0.
2459.    Даны два параллелограмма ABCD nAyByCyDy, у которых ОиО, — точки пересечения диагоналей. Докажите равенство:
ООу = | (ААу + ВВу + ССу + DDy).
2460.    Даны точки А(0; 0), В(4; 0) и С(0; 6). Составьте уравнение окружности, описанной около треугольника АВС.
2461.    На продолжениях сторон треугольника АВС взяты точкиАу,ВуиСу
так, что АВу = 2АВ, ВСу = 2ВС и
CAi = 2АС. Найдите площадь треугольника АуВуСу, если известно, что площадь треугольника АВС равна S.
2462.    Пусть точки Ах, В1г Сг — середины сторон ВС, АС и АВ треуголь- никаАВС (рис. 98, а, б). Докажите, что для любой точки О выполняется равенство
ОА\ + ОВ\ + ОС 1 =ОА + ОВ +ОС.
2463.    Пусть М — точка пересечения медиан треугольника АВС, О — произвольная точка. Докажите, что
ОМ = | (ОА + ОВ + ОС).
2464.    Найдите длину хорды, которую на прямой у = 3х высекает окружность (х + I)2 + (у - 2)2 = 25.
2465.    Докажите, что прямая За; — — Ау + 25 = 0 касается окружности хг + + I/2 = 25, и найдите координаты точки касания.
2466.    Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку А(2; 1).
2467.    Найдите координаты точек пересечения окружностей (х — 2)2 + + (у — 10)2 = 50 и х2 + у2 4- 2(х — у)—18 = = 0.
2468.    Даны точкиА(-6; 1)иВ(4; 6). Найдите координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении 2 : 3,считая от точки А.
2469.    Даны точки А(5; 5), В(8; -3) и С(-4; 1). Найдите координаты точки 
пересечения медиан треугольника АВС.
2470.    Даны точкиА(—1; 3),В(1; -2), С(6; 0) и D(4; 5). Докажите, что четы-рехугольник ABCD — квадрат.
2471.    Известно, что прямая с угловым коэффициентом k проходит через точку М(х0; у0). Докажите, что ее уравнение имеет вид у — у0 = k(x — дс0).
2472.    Известно, что прямая проходит через точки М{хл\ i/i) и Щх2; г/2)* причем х1*х2п Ух* у2- Докажите, что ее уравнение имеет вид
У2-У1 Х2~ХЛ
2473.    Составьте уравнение окруж- пости, проходящей через точкиА(—1; 1), В(9;3)иС(1; 7).
2474.    Даны точки А(-2; 3), В(2; 6), С(6; —1) и D(—3; —4). Докажите, что ди-агонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.
2475.    Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М(—1; 4) пер-пендикулярно прямой х - 2у + 4 = 0.
2476.    ДаныточкиА(6; 1),В(-5;-4), С(—2; 5). Составьте уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника АВС, проведенная из вершины А.
2477.    С помощью метода координат докажите, что суммы квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до противоположных вершин прямоугольника равны между собой.
2478.    Пусть М и N — точки пересечения медиан треугольников АВС и PQR соответственно. Докажите, что
MN = i (АР + BQ + CR).
3
2479.    Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника.
2480.    Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(0; 7) и ка-сающейся окружности
(х -15)2 + 0/- 2) = 25.
2481.    Даны точкиА(5; —1), Б(4; —8), С(-4; -4). Найдите координаты точки пересечения высот треугольника АВС.
2482.    С помощью метода координат найдите геометрическое место точек плоскости, разность квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна.
2483.    Докажите, что расстояние от точки М(дс0; i/0) до прямой, заданной уравнением ах + by + с = 0, равно
|Д*о + ЬУо + с|
Ja2 + Ь2
2484.    Составьте уравнение окружности с центром в точке М{3; 2), касающейся прямой у = 2х + 6.
2485.    Точка М лежит на прямой За; - Ау + 34 = 0, а точка N —на окружности х2 + у2 — 8х + 2у — 8 = 0. Найдите наименьшее расстояние между точками М и N.
2486.    Найдите расстояние между параллельными прямыми у = —Зл: + 5 и у = -Зх - 4.
2487.    Даны две точки А(л:1; уг) и В(х2; у2) и неотрицательное число X. Найдите координаты точки М луча АВ, для которой AM : АВ = X.
2488.    Даны треугольник АВС и
точка М. Известно, что МА + МВ +
    г ■)
+ МС = 0 . Докажите, что М — точка
пересечения медиан треугольника АВС.
2489.    Даны точки А и Б. Найдите геометрическое место точек М, для которых AM = 2 ВМ.
2490.    Даны точки А, Б и положительное число d. Найдите геометрическое место точек М, для которых AM2 + ВМ2 = d.
2491.    На диагоналях АС и СЕ правильного шестиугольника ABCDEF взяты точки М in N соответственно такие, что AM : АС = CN : СЕ — X. Известно, что точки Б, М и N лежат на одной прямой. Найдите X.
2492.    Докажите, что при произвольном выборе точки О равенство
ОС =kOA +(1 - k)OB является необходимым и достаточным условием принадлежности различных точек А, Б, С одной прямой.
2493.    Стороны параллелограмма разделены по обходу в равных отношениях. Докажите, что точки деления служат вершинами параллелограмма, а центры этих параллелограммов совпадают.
2494.    В четырехугольнике ABCD точка Е — середина АВ, К — середина CD. Докажите, что середины отрезков АК, СЕ, ВК и DE являются вершинами параллелограмма.
2495.    На сторонах треугольника заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки пересечения медиан данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами точки деления, совпадают.
2496.    В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины Р, Q сторон АВ, CD и середины S, Т сторон ВС, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть М и N — середины отрезков PQ и ST. Найдите отрезок MN.

2497.    Проведены четыре радиуса ОА, ОВ, ОС и OD окружности с центром О. Докажите, что если
OA+OB+O€ + OD = 0,
то ABCD — прямоугольник.
2498.    Дан квадрат ABCD, сторона
которого равна 4 J2 . Точка О выбрана в плоскости квадрата так, что ОВ = 10, OD — 6. Найдите угол между вектором ОВ и вектором, направленным из точки О в наиболее удаленную от нее вершину квадрата.
2499.    Дан квадрат ABCD, сторона которого равна 8. Точка О выбрана в плоскости квадрата так, что ОВ =
= 10 J2 , OD = 6 J2 . Найдите угол между вектором О В и вектором, направленным из точки О в ближайшую к ней вершину квадрата.
2500.    Пусть Н — точка пересечения высот треугольника АВС, О — центр описанной окружности. Докажите, что
ОН =ОА +ОВ +ОС.
2501.    Точки М, К, N к L — середины сторон АВ, ВС, CD и DE пятиугольника ABCDE, PHQ — середины отрезков MN и KL (рис. 99). Докажите, что
 

отрезок PQ в четыре раза меньше стороны АЕ и параллелен ей.
2502.    Из медиан АА±, ВВг и СС1 треугольника АВС составлен треугольник KMN, а из медиан ККу, ММХ и NN1 
треугольника KMN — треугольник PQR. Докажите, что третий треугольник подобен первому, и найдите коэффициент подобия.
2503.    Из произвольной точки М внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MKlt МК2, МК3 на его стороны. Докажите,
что МК\ + МК.2 + МКг = | МО , где
О — центр треугольника.
2504.    Докажите, что сумма квадратов расстояний от какой-нибудь точки окружности до вершин правильного вписанного треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.
2505.    Даны точки А(хх\ ух), В(х2; у2) и прямая ах + by + с = 0. Известно, что ахх + Ьух + с > 0, а ах2 + Ьу2 + с < 0. Докажите, что точки Ап В расположены по разные стороны от этой прямой.
2506.    Две окружности касаются внешним образом в точке А. Прямая, проходящая через точку А, вторично пересекает окружности в точках В и С. Найдите геометрическое место середин отрезков ВС.
2507.    О — центр правильного многоугольника A-iA^z-.-An, X— произвольная точка плоскости.
а) Докажите, что
OAi + ... + О Ап “ 0 .
б) Докажите, что
XAi + ... + ХАп
2508.    Найдите наименьшее значение выражения
\а + Ъ\ + J(a - I)2 + (6 - З)2 .
2509.    Точки К, N, L, М расположены соответственно на сторонах АВ, ВС, CD к AD выпуклого четырехуголь
ника ABCD, причем    ^ = а,
О LC
= (3. Докажите, что точка
ML NC
пересечения Р отрезков KL и MN делит их в тех же отношениях, т. е.
МР = КР PN    PL
2510.    Какую линию описывает середина отрезка между двумя пешеходами, равномерно идущими по прямым дорогам?
2511.    На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники
ADB, ВЕС и CFE (AD = BE _ CF = k \DB ЕС FA
A ABD = А ВЕС = A CFA = а'). Докажите, что:
1)    середины отрезков АС, DC, ВС и EF — вершины параллелограмма;
2)    у этого параллелограмма два угла равны а, а отношение сторон равно k.
2512.    На координатной плоскости нарисовали график функции у = х2, а затем стерли оси координат. Восстановите их с помощью циркуля и линейки.
2513.    Назовем точку плоскости рациональной, если ее обе координаты — рациональные числа. Докажите, что если на окружности х2 + у2 — R (R — целое) есть хотя бы одна рациональная точка, то на этой окружности бесконечно много рациональных точек.

 

Категория: Геометрия | Добавил: Админ (12.01.2016)
Просмотров: | Теги: ВЕКТОР | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar