Тема №5687 Ответы к задачам по математике Антонов (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по математике Антонов (Часть 2) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по математике Антонов (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

510. Периметр прямоугольного треугольника равен 132,
а сумма квадратов сторон треугольника— 6050. Найти стороны.
511. В параллелограмме даны острый угол а и расстояния т
и р от точки пересечения диагоналей до неравных сторон.
Определить диагонали и площадь параллелограмма.
512. В равнобедренном треугольнике основание равно
30 см, а высота 20 см. Определить высоту, опущенную на
боковую сторону.
513. В треугольнике основание равно 60 см, высота 12 см
и медиана, проведённая к основанию, 13 см. Определить
боковые стороны.
514. На сторонах равнобедренного прямоугольного тре­
угольника с катетом b построены квадраты во внешние сто­
роны. Центры этих квадратов соединены между собою прямыми
линиями. Найти площадь получившегося треугольника.
515. Стороны квадрата разделены в отношении т к п,
причём к каждой вершине прилежит один большой и один
малый отрезок. Последовательные точки деления соединены
прямыми. Найти площадь полученного четырёхугольника, если
сторона данного квадрата равна а.
516. В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого
лежат на сторонах первого, а стороны составляют со сторо­
нами первого квадрата углы по 30°. Какую часть площади
данного квадрата составляет площадь вписанного?
7 4 ЗАДАЧИ 517
617. В квадрат со стороной а вписан другой квадрат,
вершины которого лежат на сторонах первого квадрата. Опре­
делить отрезки, на которые стороны первого квадрата рас­
секаются вершинами второго квадрата, если площадь второго
квадрата равна 25/49 площади первого квадрата.
618. В прямоугольник со сторонами 3 м а 4 м вписан
другой прямоугольник, стороны которого относятся, как 1 : 3.
Найти стороны этого прямоугольника.
619. В равносторонний треугольник АВС, сторона кото­
рого а, вписан другой равносторонний треугольник LMN,
вершины которого лежат на сторонах первого треугольника
и делят каждую из них в отношении 1 : 2. Определить пло­
щадь треугольника LMN.
620. Найти стороны прямоугольного треугольника по дан­
ным: периметру 2р и высоте h.
621. В равнобедренном треугольнике с основанием 2а и
периметром 2Р провести прямую, параллельную основанию,
так, чтобы она отсекла трапецию периметра 2р (2а < р < Р).
622. Дана прямоугольная трапеция с основаниями а, b и
меньшей боковой стороной с. Определить расстояния точки
пересечения диагоналей трапеции от основания а и от мень­
шей боковой стороны.
623. Найти площадь равнобедренного треугольника, если
основание его 12 см, а высота, опущенная на основание, равна
прямой, соединяющей середины основания и боковой стороны.
624. Периметр ромба содержит 2р см, сумма диагоналей
его т см. Найти площадь ромба.
626. Большее основание трапеции а, меньшее Ь\ углы
при большем основании 30° и 45°. Найти площадь трапеции.
626. Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны
которой содержат 16 см и 44 см, а непараллельные— 17 см
и 25 см.
535 ГЛ. 8. ПЛАНИМЕТРИЯ 75
527. Найти площадь квадрата, вписанного в правильный
треугольник со стороной а.
528. Основание треугольника делится высотою на части
в 36 см и 14 см. Перпендикулярно к основанию проведена
прямая, делящая площадь данного треугольника пополам.' На
какие части эта прямая разбила основание треугольника?
529. Высота треугольника равна 4; она делит основание
на две части, относящиеся, как 1 : 8. Найти длину прямой,
параллельной высоте и делящей треугольник на равновеликие
части.
630. Треугольник АВС разбит на три равновеликие фи­
гуры прямыми, параллельными стороне АС. Вычислить, на
какие части разбили эти прямые сторону АВ, равную а.
531. Прямая, параллельная основанию треугольника, пло­
щадь которого равна S, отсекает от него треугольник с пло­
щадью, равной q. Определить площадь четырёхугольника,
три вершины которого совпадают с вершинами меньшего тре­
угольника, а четвёртая лежит на оснований большего тре­
угольника.
532. Параллельные стороны трапеции равны а и Ь. Опре­
делить длину отрезка, параллельного им и делящего площадь
трапеции пополам.
533. Из вершины тупого угла ромба опущены перпенди­
куляры на его стороны. Длина каждого перпендикуляра равна а,
расстояние между их основаниями равно Ь. Определить пло­
щадь ромба.
534. Определить площадь треугольника, если две стороны
соответственно равны 27 см и 29 см, а медиана третьей
стороны равна 26 см.
Б35. Даны две стороны b и с треугольника и его пло-
— 2
щадь S =» g- be. Найти третью сторону а треугольника.
76 ЗАДАЧИ 836
536. По основаниям а и b и боковым сторонам с и d
трапеции определить её диагонали тип.
537. Дан параллелограмм, в котором острый угол 60°.
Определить отношение длин сторон, если отношение квадра-
19 тов длин диагоналей параллелограмма равно у .
538. Внутри равностороннего треугольника взята произ­
вольная точка, из которой опущены перпендикуляры на все
его стороны. Доказать, что сумма этих трёх перпендикуля­
ров равна высоте треугольника.
539. Из точки вне круга проведены две секущие. Вну­
тренний отрезок первой равен 47 м, а внешний 9 м\ внутрен­
ний отрезок второй секущей на 72 м больше внешнего её
отрезка. Определить длину второй секущей.
540. Из точки, отстоящей от центра круга на т, см, про­
ведены касательные к кругу. Расстояние между точками ка­
сания равно а см. Определить радиус круга.
541. Внутри круга, радиус которого равен 13 см, дана
точка М, отстоящая от центра круга на 5 см. Через точку М
проведена хорда АВ = 25 см. Определить длину отрезков,
на которые хорда АВ делится точкой М.
542. В равнобедренном треугольнике угол при вершине
равен «. Определить отношение радиусов кругов вписанного
и описанного.
543. Стороны треугольника: а — 13, Ь — 14, с — 15. Две
из них (а и Ь) служат касательными к кругу, центр которого
лежит на третьей стороне. Определить радиус круга.
544. Около круга радиуса R описан равнобедренный тре­
угольник с углом 120°. Определить его стороны.
545. На большем катете, как на диаметре, описана полу­
окружность. Определить длину этой полуокружности, если
меньший катет равен 30 см, а хорда, соединяющая вершину
прямого угла с точкой пересечения гипотенузы с полуокруж­
ностью, равна 24 см.
552 ГЛ. 8. ПЛАНИМЕТРИЯ 7 7
Б46. В прямоугольный треугольник вписан полукруг так,
что диаметр его лежит на гипотенузе и центр его делит
гипотенузу на отрезки, равные 15 см и 20 см. Определить
длину дуги полукруга, заключённой между точками касания
его с катетами.
547. В равнобедренном треугольнике с основанием, рав­
ным 4 см, и высотой, равной 6 см, на боковой стороне, как
на диаметре, построена полуокружность. Точки пересечения
её с основанием и боковой стороной соединены прямой.
Определить площадь получившегося четырёхугольника, впи­
санного в полукруг.
548. Дан равнобедренный треугольник с основанием 2а
и высотой А. В него вписана окружность и к ней проведена
касательная, параллельная основанию. Найти радиус окруж­
ности и длину отрезка касательной, заключённого между
сторонами треугольника.
549. Из точки, лежащей вне круга, проведены две секу­
щие, внешние части которых содержат по 2 м. Определить
площадь четырёхугольника, вершинами которого служат точки
пересечения секущих с окружностью, зная, что длина двух
его противоположных сторон разна 6 м и 2,4 м,
550. Стороны треугольника равны 6 см, 7 см, 9 см. Из
трёх вершин, как из центров, проведены взаимно касающиеся
окружности, причём окружность, центр которой лежит в вер­
шине наименьшего угла треугольника, имеет с остальными
двумя окружностями внутреннее касание, а остальные две
между собой имеют внешнее касание. Определить радиусы
трёх окружностей.
551. Внешняя касательная двух окружностей радиусов 5 см
и 2 см в 1 ^ раза больше их внутренней касательной. Опре­
делить расстояние между центрами этих окружностей.
552. Расстояние между центрами двух окружностей, ра­
диусы которых равны 17 см и 10 см, равно 21 см. Опре­
делить расстояние центров от точки, в которой прямая центров
пересекается с общей касательной окружностей.
78 ЗАДАЧИ 553
663. К двум окружностям радиусов R и г, находящимся
в положении внешнего касания, проведены их общие каса­
тельные— внутренняя и две внешние. Определить длину
отрезка внутренней касательной, заключенного между внеш­
ними касательными.
654. К двум окружностям радиусов R и г, находящимся
в положении внешнего касания, проведены их общие внешние
касательные. Определить площадь трапеции, ограниченной
этими касательными и хордами, соединяющими точки касания.
Ббб. Две окружности радиусов Л и г находятся в положе­
нии внешнего касания. К этим окружностям проведена общая
внешняя касательная, и в образовавшийся при этом криволи­
нейный треугольник вписана окружность. Найти ее радиус.
556. Через одну и ту же точку окружности проведены две
хорды, равные а и Ь. Если соединить их концы, то получится
треугольник площади 5. Определить радиус окружности.
557. В круге радиуса R по одну сторону от центра про­
ведены три параллельные между собой хорды, соответственно
равные сторонам правильных вписанных в круг шестиуголь­
ника, четырехугольника и треугольника. Определить отноше­
ние площади той части круга, которая заключена между
второй и третьей хордами, к площади той части круга, кото­
рая заключена между первой и второй хордами.
ББ8. Определить площадь круга, вписанного в прямоуголь­
ный треугольник, если высота, опущенная на гипотенузу,
делит ее на отрезки, равные 25, С см и 14,4 см.
ББ9. В ромб со стороной а и острым углом 60° вписана
окружность. Определить площадь прямоугольника, вершины
которого лежат в точках касания окружности со сторонами
ромба.
660. К окружности радиуса R проведены 4 касательные,
образующие ромб, ббльшая диагональ которого равна 4R.
Определить площадь каждой из фигур, ограниченных двумя
касательными, проведенными из общей точки, и меньШей
дугой окружности, лежащей между точками касания.
568 ГЛ. 8. ПЛАНИМЕТРИЯ 79
661. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около
круга, равна 5. Определить боковую сторону этой трапеции,
если известно, что острый угол при основании трапеции
равен
662. Около круга радиуса 2 см описана равнобочная
трйпеция с площадью 20 см2. Найти стороны трапеции.
563. Около круга описана трапеция, боковые стороны
которой образуют с большей из параллельных сторон острые
углы аир. Определить радиус круга, если площадь трапе­
ции Q.
564. Около круга радиуса г описана прямоугольная тра-
3 ^ пеция, наименьшая из сторон которой равна -g-. Определить
площадь трапеции.
565. Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию,
отстоит от концов боковой стороны на 2 см и 4 см. Найти
площадь трапеции.
666. В равносторонний треугольник со стороной а вписан
круг, Затем в этот треугольник вписаны ещё три круга,
касающиеся первого круга и сторон треугольника, и ещё три
круга, касающиеся только что вписанных кругов и сторон
треугольника, и т. д. Найти сумму площадей всех вписанных
кругов *).
567. Треугольник АВС вписан в окружность; через вер­
шину А проведена касательная до пересечения с продолжен­
ной стороной ВС в точке D. Из вершин В а С опущены
перпендикуляры на касательную, меньший из которых ра­
вен 6 см. Определить площадь трапеции, образованной этими
перпендикулярами, стороной ВС и отрезком касательной, если
ВС = 5 см, AD = 5 y r6 см.
568. В правильный треугольник, сторона которого равна а,
вписаны три равных круга, касательных друг другу. Каждый
из них касается двух сторон данного треугольника. Определить
радиусы этих кругов.
*) To-есть предел суммы площадей вписанных кругов.
80 ЗАДАЧИ
669. Внутри равностороннего треугольника со стороной а
расположены три равных круга, касающиеся сторон тре­
угольника и взаимно касающиеся друг друга. Найти площадь
криволинейного треугольника, образованного дугами взаимно
касающихся кругов (вершинами служат точки взаимного
касания).
670. Внутри квадрата со стороной а расположены четыре
равных круга; каждый из них касается двух смежных сторон
квадрата и двух кругов (из числа остальных трёх). Найти
площадь криволинейного четырёхугольника, образованного
дугами касающихся кругов (вершинами служат точки каса­
ния кругов).
671. Найти площадь сегмента, если периметр его равен р,
а дуга содержит 120°.
672. В треугольник вписан круг радиусом 4 см. Одна
из сторон треугольника разделена точкой касания на части,
равные 6 см и 8 см. Найти длины двух других сторон.
673. Перпендикуляр, опущенный из вершины угла при
основании равнобедренного треугольника на противоположную
сторону, делит последнюю в отношении т : п. Найти углы
треугольника.
* 674. Хорда, перпендикулярная к диаметру, делит его
в отношении т : п. Определить каждую из дугJ), на которые
разделится окружность хордой и диаметром.
675. Определить угол параллелограмма, если даны две
его высоты А, и Ав и периметр 2р.
676. В прямоугольном треугольнике найти отношение
катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины
прямого угла, относятся как 4 0:41.
677. В прямоугольном треугольнике гипотенуза с, а один
из острых углов равен «. Определить радиус вписанного
круга.
J) В дуговых единицах.
588 РЛ. 8 . ПЛАНИМЕТРИЯ 81
Б78. Стороны треугольника равны 25 см, 24 см и 7 см.
Определить радиусы вписанного-и описанного кругов.
Б79. Определить радиусы двух внешне касающихся кру­
гов, если расстояние между их центрами равно d, а угол
между общими внешними касательными равен <р.
580. Определить угол ромба, зная его площадь Q и пло­
щадь вписанного в него круга S.
Б81. В круг вписан правильный 2я-угольник; вокруг этого
же круга описан правильный я-угольник. Площади этих
многоугольников отличаются друг от друга на Р, Определить
радиус круга.
582. Середины сторон правильного я-угольника соединены
прямыми, образующими новый правильный я-угольник, впи­
санный в данный. Найти отношение их площадей.
583. Около правильного я-угольника со стороной а опи­
сана окружность и в него вписана окружность. Определить
площадь кольца между этими окружностями и ширину его.
584. В сектор радиуса R с центральным углом я вписан
круг. Определить его радиус.
585. К кругу радиуса R проведены из одной точки две
касательные, составляющие между собой угол 2я. Определить
площадь между этими касательными и дугой круга.
586. Ромб с острым углом я и стороной а разделён
прямыми, исходящими из вершины э!юго острого угла, на
три равновеликие части. Определить длины отрезков этих
прямых.
587. Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а
и Ь от его сторон. Найти расстояние этой точки до вер­
шины данного угла.
588. В равнобедренном треугольнике длины боковых
сторон равны а каждая, а длина отрезка прямой, проведён­
ного из вершины треугольника к его основанию и делящего
угол между равными сторонами в отношении 1: 2, равна t.
Опрелелить площадь этого треугольника.
8 2 ЗАДАЧИ
589. Определить площадь треугольника, если даны а и
Ъ — длины его сторон и t — длина биссектрисы угла между
этими сторонами.
Б90. Зная углы треугольника, определить угол между
медианой и высотой, проведёнными из вершины какого-ни­
будь угла.
691. Сторона правильного треугольника равна я. Из
центра его радиусом -g- описана окружность. Определить
площадь части треугольника, лежащей вне этой окружности.
592. В прямоугольной трапеции, высота которой равна h,
на стороне, не перпендикулярной к основанию, как на диа­
метре, описана окружность, и оказалось, что она касается
противоположной стороны трапеции. Найти площадь прямо­
угольного треугольника, у которого катеты — основания тра­
пеции.
693. Доказать, что в прямоугольном треугольнике бис­
сектриса прямого угла делит пополам угол между медианой
и высотой, опущенными на гипотенузу.
694. Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма
катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной
окружности.
595. Определить угол прямоугольного треугольника, зная,
что радиус описанного около него круга относится к радиусу
вписанного круга, как 5 :2 .
596. Доказать, что прямые, соединяющие последовательно
центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма
и примыкающих к нему извне, образуют также квадрат.
Г Л А В А 9
МНОГОГРАННИКИ
597. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда
а и Ь. Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью
основания угол а. Определить боковую поверхность парал­
лелепипеда.
606 ГЛ. 9. МНОГОГРАННИКИ 8 3
598. Самая большая диагональ правильной шестиугольной
призмы, имеющая длину d, составляет с боковым ребром
призмы угол а. Определить объём призмы.
599. Боковое ребро правильной четырёхугольной пира­
миды, длиной т, наклонено к плоскости основания под уг- *
лом а. Найти объём пирамиды.
600. Объём правильной четырёхугольной пирамиды ра­
вен V. Угол наклона её бокового ребра к плоскости ос­
нования равен а. Найти боковое ребро пирамиды.
601. Боковая поверхность правильной четырёхугольной пи­
рамиды содержит S сл9, высота пирамиды Н см. Найти
сторону основания пирамиды.
602. Найти объём и боковую поверхность правильной
шестиугольной пирамиды, если даны боковое ребро I и диа­
метр d круга, вписанного в основание пирамиды.
603. Найти высоту тетраэдра1), объём которого ра­
вен V,
604. В прямом параллелепипеде стороны основания равны а
и д и острый угол — а. Ббльшая диагональ основания равна
меньшей диагонали параллелепипеда. Найти объём паралле­
лепипеда.
605. Диагонали прямого параллелепипеда равны 9 см и
1^33 см. Периметр его основания равен 18 см. Боковое реб­
ро равно 4 см. Определить полную поверхность и объём
параллелепипеда.
606. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды /,
а высота пирамиды h. Определить двугранный угол при
основании.
Ч Под тетраэдром здесь понимается правильный четырёхгран­
ник (иногда тетраэдром называется произвольная треугольная пира­
мида].
8 4 8ЛДЛЧИ 807
607. Определить объём правильной четырёхугольной пи­
рамиды, зная угол а её бокового ребра с плоскостью осно­
вания и площадь 5 её диагонального сечения. Найти также
угол, образуемый боковой гранью с плоскостью основания.
608. Основанием правильной пирамиды служит много­
угольник, сумма внутренних углов которого 540°. Опреде­
лить объём этой пирамиды, зная, что боковое ребро её,
равное /, наклонено к плоскости основания под углом а.
609. Определить углы, составляемые с основанием бо­
ковым ребром и боковой гранью правильной пятиугольной
пирамиды, у которой боковые грани — равносторонние тре­
угольники.
610. По объёму V правильной я-угольной пирамиды, у ко­
торой сторона основания равна а, определить угол наклона
бокового ребра пирамиды к плоскости основания.
• 611. Основание четырёхугольной пирамиды — прямоуголь­
ник с диагональю, равной Ь, и углом а между диагоналями.
Каждое из боковых рёбер образует с основанием угол {3.
Найти объём пирамиды.
612. Основанием пирамиды служит равнобедренный тре­
угольник с боковыми сторонами, равными а, и углом между
ними, равным а. Все боковые рёбра наклонены к основанию
под углом {3. Определить объём пирамиды.
613. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит
прямоугольник, вписанный в круг радиуса R, причём мень­
шая сторона этого прямоугольника стягивает дугу окруж­
ности, содержащую (2а)°. Найти объём этого параллелепи­
педа, зная его боковую поверхность S.
614. Основанием прямой призмы служит равнобедренный
треугольник, основание которого равно а и угол при осно­
вании равен а. Определить объём призмы, если её боковая
поверхность равна сумме площадей её оснований.
616. Апофема правильной шестиугольной пирамиды
равна т. Двугранный угол при основании равен а. Найти
полную поверхность пирамиды.
623 ГЛ. 9. МНОГОГРАННИКИ 85
616. Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного
треугольника проведена плоскость Р под углом а к пло­
скости треугольника. Определить периметр и площадь фи­
гуры, которая получится, если спроектировать треугольник на
плоскость Р. Гипотенуза треугольника равна с.
617. В правильной я-угольной пирамиде площадь основа­
ния равна Q, а высота составляет с каждой из боковых гра­
ней угол ср. Определить боковую и полную поверхность
пирамиды.
618. Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна а, боковая грань наклонена к плоскости основания под
углом ср. Найти объем и полную поверхность пирамиды.
619. Полная поверхность правильной треугольной пира­
миды равна S. Зная, что угол между боковой гранью и ос­
нованием пирамиды равен а, найти сторону основания пира­
миды.
620. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом а.
Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом {3.
Определить объем и полную поверхность пирамиды, если
радиус вписанного в ромб круга равен г.
621. Определить угол наклона боковой грани правилыоЧ
пятиугольной пирамиды к плоскости основания, если площадь
основания пирамиды равна S, а боковой поверхности равна а.
622. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб.
Плоскость, проведенная через одну из сторон нижнего
основания и противоположную сторону верхнего основания,
образует с плоскостью основания угол (3. Полученное сече­
ние имеет площадь, равную Q. Определить боковую поверх­
ность параллелепипеда.
623. Основанием пирамиды служит равнобедренный тре­
угольник с углом а при основании. Каждый из двугранных
углов при основании равен ср. Расстояние от центра круга, впи­
санного в основание пирамиды, до середины высоты боковой
грани равно d. Определить полную поверхность пирамиды.
8 6 ЗАДАЧИ
624. Основанием пирамиды служит многоугольник, опи­
санный около круга радиуса г, периметр многоугольника
равен 2р, боковые грани пирамиды наклонены к плоскости
основания под углом <р. Найти объём пирамиды.
625. Боковые рёбра правильной усечённой треугольной
пирамиды наклонены к плоскости основания под углом а.
Сторона нижнего основания равна а, а верхнего — b (а > Ь).
Найти объём усечённой пирамиды.
626. Основаниями правильной усечённой пирамиды слу­
жат квадраты со сторонами а и Ь (а > Ь). Боковые рёбра
наклонены к плоскости основания под углом а. Определить
объём усечённой пирамиды и величину двугранных углов
при сторонах оснований. —
627. Основанием пирамиды служит прямоугольный тре­
угольник с гипотенузой, равной с, и острым углом а. Все
боковые рёбра наклонены к основанию под углом J3. Найти
объём пирамиды и плоские углы при вершине её.
628. В основании наклонной призмы лежит прямоугольный
треугольник АВС, сумма катетов которого равна т и угод,
при вершине А равен а. Боковая грань призмы, проходящая
через катет АС, наклонена к основанию под углом (3. Через
гипотенузу АВ и через вершину С1 противоположного трёх­
гранного угла проведена плоскость. Определить объём
отсечённой треугольной пирамиды, если известно, что боко­
вые рёбра её равны между собой.
629. В основании пирамиды лежит равнобедренный тре­
угольник с углом а при основании. Все боковые рёбра на­
клонены к плоскости основания под равными углами
<р = 90°— а. Площадь сечения, проведённого через высоту
пирамиды и через вершину равнобедренного треугольника,
лежащего в основании, равна Q. Определить объём пирамиды.
630. Основанием пирамиды служит прямоугольник. Из
боковых граней две перпендикулярны к плоскости основания,
а две другие образуют с ней углы а и р. Высота пирамиды
равна Н, Определить объём пирамиды.
ГЛ. 9. МНОГОГРАННИКИ 87
631. Пирамида имеет в основании квадрат. Из двух про­
тиволежащих друг другу рёбер одно перпендикулярно
к плоскости основания, другое наклонено к ней под углом (3 и
имеет длину I. Определить длины остальных боковых рёбер
и углы наклона их к плоскости основания пирамиды.
632. Основание пирамиды — правильный треугольник со
стороной а. Одно из боковых рёбер перпендикулярно к осно­
ванию, а остальные два наклонены к плоскости основания
под равными углами J3. Найти площадь наибольшей боко­
вой грани пирамиды и угол наклона её к плоскости осно­
вания.
633. Пирамида имеет в основании равнобедренный тре­
угольник; боковые стороны этого основания равны а и обра­
зуют угол в 120°. Боковое ребро пирамиды, проходящее
через вершину тупого угла, перпендикулярно к плоскости
основания, а остальные два наклонены к ней под углом а.
Определить площадь сечения пирамиды плоскостью, кото­
рая проходит через наибольшую сторону основания пира­
миды и делит пополам ребро, перпендикулярное к осно­
ванию.
634. Правильная треугольная пирамида рассечена плоско­
стью, перпендикулярной к основанию и делящей две стороны
основания пополам. Определить объём отсечённой пирамиды,
если даны сторона а основания первоначальной пирамиды
и двугранный угол а при основании.
635. Через вершину правильной четырёхугольной пира­
миды под углом 9 к основанию пирамиды проведена пло­
скость параллельно стороне основания. Сторона основания
пирамиды равна а, а плоский угол при вершине пирамиды
равен а. Найти площадь сечения пирамиды.
636. Через вершину правильной' треугольной пирамиды и
середины двух сторон основания проведена плоскость. Опре­
делить площадь сечения и объёмы частей данной пирамиды,
на которые она разделена сечением, зная сторону а её осно­
вания, и угол а, образованный сечением с основанием.
88 ЗАДАЧИ 637
637. Тетраэдр *), ребро которого равно а, пересечен
плоскостью, содержащей одно из ребер тетраэдра и делящей
противоположное ребро в отношении 2:1. Определить
п ющадь сечения и углы этого сечения.
638. Определить объем правильной усеченной четырех­
угольной пирамиды, если сторона ббльшего основания равна а,
сторона меньшего основания равна Ь, а острый угол боковой
грани равен а.
639. Определить объем правильной четырехугольной
призмы, если ее диагональ образует с боковой гранью угол а,
а сторона основания равна Ь.
640. Основанием прямой призмы служит прямоугольный
треугольник с гипотенузой с и острым углом а. Через гипо­
тенузу нижнего основания и вершину прямого угла верхнего
основания проведена плоскость, образующая с плоскостью
основания угол (3. Определить объем треугольной пирамиды,
отсеченной от призмы плоскостью.
641. В основании прямой призмы лежит прямоугольный
треугольник, у которого сумма катета и гипотенузы равна т
и угол между ними равен а. Через другой катет и вершину
противоположного трехгранного угла призмы проведена пло­
скость, образующая с основанием угол (3. Определить объемы
частей, на которые призма делится плоскостью сечения.
642. В основании пирамиды лежит равнобедренный тре­
угольник с углом а при основании. Каждый двугранный угол
при основании равен ср — 90° — а. Боковая поверхность пира­
миды равна S. Определить объем пирамиды и полную по­
верхность ее.
643. Основанием пирамиды является равнобедренный тре­
угольник с боковой стороной а и углом а при основании
(а > 45°). Боковые ребра наклонены к плоскости основания
под углом (3. В этой пирамиде проведена плоскость через ее
высоту и вершину одного из углов а. Найти площадь сечения.
1) См. подстрочное примечание на стр. 83.
650 ГЛ. 9. МНОГОГРАННИКИ 89
644. В основании прямой призмы лежит четырёхугольник,
в котором два противолежащих угла прямые. Диагональ осно­
вания, соединяющая вершины непрямых углов, имеет длину /
и делит один из этих углов на части аир. Площадь сече­
ния, проведённого через другую диагональ основания пер­
пендикулярно к нему, равна S. Найти объём призмы.
645. Основанием пирамиды служит квадрат. Две противо­
положные грани — равнобедренные треугольники, одна из них
образует с основанием внутренний угол |3, а другая — внеш­
ний острый угол а. Высота пирамиды равна Н. Найти объём
пирамвды и углы, образованные двумя другими боковыми
гранями с плоскостью основания.
646. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Одна из
боковых граней наклонена к основанию под углом f) = 90° — а,
а противоположная ей грань перпендикулярна к основанию и
имеет вид прямоугольного треугольника с прямым углом при
вершине пирамиды и острым углом, равным а. Сумма высот
этих двух граней равна т. Определить объём пирамиды и
сумму площадей двух других боковых граней.
647. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Одна
из боковых граней имеет вид равнобедренного треугольника
и перпендикулярна к основанию; в другой грани, противопо­
ложной первой, боковые рёбра, равные Ь, образуют между
собой угол 2 а и наклонены к первой грани под углом а.
Определить объём пирамиды и угол между указанными двумя
гранями.
648. В правильной треугольной пирамиде со стороной
основания, равной а, углы между рёбрами при её вершине
равны между собой и каждый равен а (а ^ 90°). Определить
углы между боковыми гранями пирамиды и площадь сече­
ния, проведённого через сторону основания перпендикулярно
к противолежащему боковому ребру.
649. Определить объём правильного восьмигранника (ок­
таэдра) с ребром а и двугранные углы при его рёбрах.
650. Двугранный угол при боковом ребре правильной
шестиугольной пирамиды равен <р. Определить плоский угол
при вершине пирамиды.
9 0 ЗАДАЧИ 651
651. Пирамида имеет в основании правильный шести­
угольник ABCDEF. Боковое ребро МА перпендикулярно
к плоскости основания, а противоположное ему ребро MD
наклонено к плоскости основания под углом а. Определить
углы наклона боковых граней к плоскости основания.
652. Основанием пирамиды служит равнобедренный тре­
угольник АВС, где АВ = АС. Высота пирамиды SO прохо­
дит через середину высоты АО основания. Через сторону ВС
проведена плоскость перпендикулярно к боковому ребру AS,
образующая с основанием угол а. Определить объем пира­
миды, отсеченной от данной и имеющей с ней общую вер­
шину S, если объем другой отсеченной части ее равен V.
653. Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна а. Сечение, делящее угол между боковыми гранями
пополам, есть прямоугольный треугольник. Определить объем
пирамиды и угол между боковой гранью ее и плоскостью
основания.
654. Через сторону основания правильной треугольной
пирамиды проведена плоскость перпендикулярно к противо­
лежащему боковому ребру. Определить полную поверхность
пирамиды, если указанная плоскость делит боковое ребро
в отношении т : п и сторона основания равна q .
655. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d
и образует с двумя смежными боковыми гранями равные
углы а. Определить объем параллелепипеда и угол, который
образует с плоскостью основания плоскость, проведенная
через концы трех ребер, выходящих из одной вершины.
656. В прямоугольном параллелепипеде точка пересечения
диагоналей нижнего основания соединена с серединой одного
из боковых ребер прямой, длина которой равна т. Она
образует с основанием угол а и с одной из боковых граней
угол р — 2а. Приняв другую смежную боковую грань за осно­
вание параллелепипеда, найти его боковую поверхность и
объем. (Доказать, что а < 30°.)
664 ГЛ. 9 . МНОГОГРАННИКИ 9 1
657. В основании прямой призмы лежит трапеция, впи­
санная в полукруг радиуса R так, что бблыпее основание
её совпадает с диаметром, а меньшее стягивает дугу, рав­
ную 2а. Определить объём призмы, если диагональ грани,
проходящей через боковую сторону основания, наклонена
к основанию под углом а.
658. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная
й, образует с боковой гранью угол (3 = 90°— а. Плоскость,
проведённая через эту диагональ и боковое ребро, пересе­
кающееся с ней, образует с той же боковой гранью угол а
(доказать, что а > 45°). Определить объём параллелепипеда.
659. В правильной треугольной призме две вершины верх­
него основания соединены с серединами противоположных им
сторон нижнего основания. Угол между полученными,линиями,
обращённый отверстием к плоскости основания, равен а. Сто­
рона основания равна Ь. Определить объём призмы.
660. В правильной треугольной призме'угол между диаго­
налью боковой грани и другой боковой гранью равен а.
Определить боковую поверхность призмы, зная, что ребро
основания равно а.
661. В основании прямой призмы лежит прямоугольный
треугольник АВС, у которого [_С — 90°, Л = а и катет
АС = Ь. Диагональ боковой грани призмы, проходящей через
гипотенузу АВ, образует с боковой гранью, проходящей че­
рез катет АС, угол |3, Найти объём призмы.
662. Полная поверхность правильной четырёхугольной
пирамиды равна S, а плоский угол боковой грани при вер­
шине равен а. Найти высоту пирамиды.
663. В правильной п-угольной пирамиде плоский угол
при вершине равен а, а сторона основания а. Определить
Объём.
664. От правильной четырёхугольной призмы плоскостью,
проходящей через диагональ нижнего основания и одну из
вершин верхнего основания, отсечена пирамида с полной по­
верхностью 5. Найти полную поверхность призмы, если угол
при вершине треугольника, получившегося в сечении, равен а.
92 ЗАДАЧИ 685
665. Боковые рёбра треугольной пирамиды имеют одина­
ковую длину /. Из трёх плоских углов, образованных при
вершине пирамиды этими рёбрами, два равны а, а третий
равен (3. Найти объём пирамиды.
666. В основании пирамиды лежит прямоугольный тре­
угольник, являющийся проекцией боковой грани, проходящей
через катет. Угол, лежащий против этого катета в основа­
нии пирамиды, равен а, а лежащий в боковой грани равен |3.
Площадь этой боковой грани больше площади основания
на S. Определить разность между площадями двух других
граней и углы, образованные боковыми гранями с плоскостью
основания.
667. В треугольной пирамиде две боковые грани суть
равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы ко­
торых равны д и образуют между собой угол а. Определить
объём пирамиды.
668. В пирамиде с прямоугольным основанием каждое из
боковых рёбер равно /, один из плоских углов при вершине
равен а, другой равен (3. Определить площадь сечения, про­
ходящего через биссектрисы углов, равных (3.
669. В параллелепипеде длины трёх рёбер, выходящих нз
общей вершины, равны соответственно а, дне. Рёбра а и д
взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из
них угол а. Определить объём параллелепипеда, боковую по­
верхность его и угол между ребром с и плоскостью основа­
ния. (При каких значениях угла а задача возможна?)
670. В параллелепипеде все его грани— равные ромбы
со сторонами а и острыми углами а. Определить объём этого
параллелепипеда.
671. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб
ABCD со стороной а и острым углом а. Ребро ААу равно Ь
и образует с рёбрами АВ и AD угол <р. Определить объём
параллелепипеда.
676 ГЛ. 9. МНОГОГРАННИКИ 9 3
672. В прямоугольном параллелепипеде проведена пло­
скость через диагональ основания и диагональ большей бо­
ковой грани, выходящих из одной вершины. Угол между
этими диагоналями равен fi. Определить боковую поверхность
параллелепипеда, площадь сечения и угол наклона сечения
к плоскости основания, если известно, что радиус окружно­
сти, описанной около основания параллелепипеда, равен R и
меньший угол между диагоналями основания равен 2а.
673. В основании прямой призмы лежит прямоугольный
треугольник АВС. Радиус окружности, описанной около него,
равен R, катет АС стягивает дугу, равную 2(3. Через диа­
гональ боковой грани, проходящей через другой катет ВС,
проведена плоскость перпендикулярно к этой грани, обра­
зующая с плоскостью основания угол (3. Определить боковую
поверхность призмы и объём отсечённой четырёхугольной
пирамиды.
674. Основанием пирамиды служит трапеция, в которой
боковые стороны и меньшее основание равны между собой,
большее основание равно а и тупой угол трапеции равен а.
Все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основа­
ния угол (3. Определить объём пирамиды.
675. В основании пирамиды лежит трапеция, у которой
диагональ перпендикулярна к боковой стороне и образует
с основанием угол а. Все боковые рёбра равны между собой.
Боковая грань, проходящая через большее основание трапе­
ции, имеет угол при вершине пирамиды <р = 2а и площадь,
равную 5. Определить объём пирамиды и углы, под кото­
рыми наклонены боковые грани к плоскости основания.
676. В основании пирамиды лежит правильный треуголь­
ник, сторона которого равна а. Высота, опущенная из вер­
шины пирамиды, проходит через одну из вершин основания.
Боковая грань, проходящая через сторону основания, противо­
лежащую этой вершине, наклонена к плоскости основания под
углом ср. Определить боковую поверхность этой пирамиды,
если за основание её принять одну из равных боковых
граней.
9 4 ЗАДАЧИ 677
677. В основании прямой призмы лежит равнобедренный
треугольник с боковой стороной, равной а, и углом при осно-
вании, равным а. Через основание треугольника, являющегося
верхней гранью, и противоположную вершину нижнего
основания проведена плоскость, образующая с плоскостью
основания угол (3. Определить боковую поверхность призмы
и объем отсеченной четырехугольной пирамиды.
678. В основании пирамиды — квадрат. Две боковые грани
ее перпендикулярны к плоскости основания, а две другие
наклонены к нему под углом а. Радиус круга, описанного
около боковой грани, перпендикулярной к основанию, равен R.
Определить полную поверхность пирамиды.
679. В основании прямой призмы лежит прямоугольный
треугольник с катетом а и противолежащим ему углом а.
Через вершину прямого угла нижнего основания проведена
плоскость, параллельная гипотенузе, под углом (3 = 90° — а
к противолежащей боковой грани и пересекающая ее. Опре­
делить объем части призмы между ее основанием и сечением
и боковую поверхность призмы, если известно, что боковая
грань, проходящая через катет а, равновелика сечению призмы.
Определить, при каком значении угла а плоскость сечения
пересекает боковую грань, проходящую через гипотенузу
основания.
680. Основанием пирамиды служит прямоугольник. Одно
боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания, а две
боковые грани наклонены к ней под углами аир. Опреде­
лить боковую поверхность пирамиды, если высота ее равна N.
681. В основании пирамиды лежит прямоугольный тре­
угольник, у которого один острый угол равен а и радиус
вписанного круга равен г. Каждая из боковых граней обра­
зует с основанием угол а. Определить объем, боковую и
полную поверхность пирамиды.
682. В основании призмы АВСА1В1С1 лежит равнобед­
ренный треугольник АВС (АВ = АС и ^А В С = а). Вер­
шина B t верхнего основания призмы проектируется в центр
окружности радиуса г, вписанной в нижнее основание. Через
637 ГЛ. 9. МНОГОГРАННИКИ 9 5
сторону АС основания и вершину Вх проведена плоскость,
наклонённая к плоскости основания под углом а. Найти пол­
ную поверхность отсечённой треугольной пирамиды ABCBt
и объём призмы.
683. Основанием пирамиды служит прямоугольный тре­
угольник, а высота её проходит через точку пересечения
гипотенузы с биссектрисой прямого угла основания. Боковое
ребро, проходящее через вершину прямого угла, наклонено
к плоскости основания под углом а. Определить объём пира­
миды и углы наклона боковых граней к плоскости основания,
если биссектриса прямого угла основания равна т и обра­
зует с гипотенузой угол 45° а.
684. В основании пирамиды ромб со стороной а. Две со­
седние грани составляют с плоскостью основания угол а,
третья боковая грань составляет с плоскостью основания
угол (3 (доказать, что и четвёртая боковая грань наклонена
к основанию под тем же углом). Высота пирамиды Н. Найти
объём пирамиды и полную поверхность её.
685. В основании четырёхугольной пирамиды лежит ромб,
сторона которого равна а и острый угол равен а. Плоскости,
проходящие через вершину пирамиды и диагонали основания,
наклонены к плоскости основания под углами <р и <J*. Опре­
делить объём пирамиды, если её высота пересекает сторону
основания.
686. В основании наклонной призмы лежит прямоуголь­
ный треугольник АВС с катетом ВС = а. Вершина Вх верх­
него основания проектируется на середину катета ВС. Дву­
гранный угол, образованный боковыми гранями, проходящими
через катет ВС и гипотенузу АВ, равен а. Боковые рёбра
наклонены к плоскости основания под углом |3. Определить
боковую поверхность призмы.
687. В основании призмы АВСА1ВХС1 лежит равнобед­
ренный треугольник АВС {АВ — АС и 1_ВАС == 2а). Вер-
шина At верхнего основания проектируется в центр окруж­
ности радиуса /?, описанной около нижнего основания. Бо­
ковое ребро ААХ образует со стороной основания АВ угол,
равный 2а. Определить объём и боковую поверхность призмы.
9 6 ЗАДАЧИ 689
688. Определить объём правильной четырёхугольной пи­
рамиды, боковое ребро которой равно I, а двугранный угол
между двумя смежными боковыми гранями равен {J.
689. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде
даны: диагональ й, двугранный угол а при нижнем основа­
нии и высота Н. Найти объём усечённой пирамиды.
690. Боковое ребро правильной четырёхугольной усечён­
ной пирамиды равно /, оно наклонено к плоскости основания
под углом (3. Диагональ пирамиды перпендикулярна к боко­
вому ребру её. Определить объём пирамиды.
691. Высота правильной четырёхугольной усечённой пи­
рамиды равна Н, боковое ребро и диагональ пирамиды на­
клонены к плоскости её основания под углами аир. Найти
её боковую поверхность.
692. Стороны оснований правильной четырёхугольной
усечённой пирамиды равны а и а | / 3 , боковая грань накло­
нена к плоскости основания под углом f . Определить объём
и полную поверхность пирамиды.
693. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан
куб так, что его четыре вершины находятся на боковых
рёбрах- пирамиды, а остальные четыре — в плоскости её
основания. Определить ребро куба, если высота пирамиды
равна Н, а боковое ребро равно /.
694. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан
куб так, что вершины его лежат на апофемах пирамиды.
Найти отношение объёма пирамиды к объёму куба, зная,
что угол между высотой пирамиды и её боковой гранью
равен а.
695. Основанием пирамиды является прямоугольный тре­
угольник с катетами 6 и 8. Вершина пирамиды удалена от
плоскости её основания на расстояние, равное 24, и проек­
тируется на эту плоскость в точку, лежащую внутри осно­
вания. Найти ребро куба, четыре вершины которого лежат
701 ГЛ. 9. МНОГОГРАННИКИ 9 7
в плоскости основания данной пирамиды, а рёбра, соединяю­
щие эти вершины, параллельны соответствующим катетам
треугольника, лежащего в основании пирамиды. Четыре дру­
гие вершины куба лежат на боковых гранях данной пира­
миды.
696. В правильной четырёхугольной пирамиде двугран­
ный угол при основании равен а. Через его ребро проведена
плоскость, составляющая с основанием угол р. Сторона ос­
нования равна а. Определить площадь сечения.
697. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона
основания равна а, а двугранный угол при основании равен
а. Через две противоположные стороны основания пирамиды
проведены две плоскости, пересекающиеся взаимно под пря­
мым углом. Определить длину линии их пересечения, заклю­
чённую внутри пирамиды, если известно, что она пересекает
ось пирамиды,
698. В правильной четырёхугольной пирамиде через вер­
шину основания проведена плоскость, перпендикулярная
к противоположному боковому ребру. Определить площадь
сечения, если сторона основания пирамиды равна а, а боко­
вое ребро наклонено к плоскости основания под углом
у (<р > 45°; доказать это).
699. Правильную четырёхугольную призму требуется пе­
ресечь плоскостью так, чтобы в сечении получился ромб
с острым углом а, Найти угол наклона секущей плоскости
к основанию.
700. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб
с острым углом «. Под каким углом к основанию нужно пе­
ресечь этот параллелепипед плоскостью, чтобы в сечении
получился квадрат с вершинами на боковых рёбрах.
701. Прямой параллелепипед, имеющий в основании ромб
со стороной а и острым углом а, пересечён плоскостью, про­
ходящей через вершину угла а и дающей в сечении ромб
с острым углом Определить площадь этого сечения.
98 8ЛДАЧИ 702
702. Ребро тетраэдра равно Ь. Через середину одного
из рёбер проведена плоскость параллельно двум непересекаю-
шимся ребрам. Определить площадь полученного сечения.
703. Пирамида имеет в основании прямоугольный тре­
угольник с катетом а. Одно из боковых рёбер пирамиды пер­
пендикулярно к плоскости основания, а другие два наклонены
к ией под одним и тем же углом а. Плоскость, перпенди­
кулярная к основанию, даёт в сечении с пирамидой квадрат.
Определить площадь этого квадрата.
704. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде
стороны верхнего и нижнего оснований равны соответствен­
но а и За и боковые грани наклонены к плоскости нижнего
основания под углом а. Через сторону верхнего основания
проведена плоскость параллельно противоположной боковой
грани. Определить объём четырёхугольной призмы, отсечён­
ной от данной усечённой пирамиды, и полную поверхность
остальной части её.
705. Из точки, взятой на ребре правильной треугольной
призмы со стороной основания а, проведены две плоскости.
Одна проходит через сторону нижнего основания призмы под
углом а к последнему, а другая — через параллельную ей
сторону верхнего основания пол углом р к нему. Определить
объём призмы и сумму площадей полученных сечений.
t 706. В правильной четырёхугольной призме через сере­
дины двух смежных сторон основания проведена плоскость,
пересекающая три боковых ребра и наклонённая к плоскости
основания под углом а. Определить площадь полученного
сечения и острый угол его, если сторона основания призмы
равна Ь.
707. В основании прямой призмы лежит равнобочная
трапеция с острым углом а, описанная около круга радиуса г.
Через боковую сторону нижнего основания и противополож­
ную вершину острого угла верхнего основания проведена
плоскость, образующая с плоскостью основания угол а.
Определить боковую поверхность призмы и площадь се­
чения.
714 ГЛ. 9. МНОГОГРАННИКИ 99
708. В основании прямой призмы ABCA^Bfi^ лежит рав­
нобедренный треугольник АВС с углом а при основании ВС.
Боковая поверхность призмы равна 5. Найти площадь сечения
призмы плоскостью, проходящей через диагональ боковой
грани BCCjSj параллельно высоте AD основания призмы и
образующей с плоскостью основания угол (3.
709. В основании прямой призмы АВСА1В 1С1 лежит пря­
моугольный треугольник АВС с углом |3 при вершине В
(Р < 45°). Разность между площадями её боковых граней,
проходящих через катеты ВС и АС, равна 5. Найти площадь
сечения призмы плоскостью, образующей с плоскостью
основания угол <р и проходящей через три точки: вершину Вг
угла р верхнего основания, середину бокового ребра ААг и
точку D, расположенную на плоскости основания симметрично
с вершиной В относительно катета АС.
710. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых
граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к пло­
скости его основания под углами а и р. Найти угол между
этими диагоналями.
711. Даны три плоских угла трёхгранного угла SABC:
£_BSC = а; /_CSA — Р; £_ASB = ^. Найти двугранные углы
этого трёхгранного угла.
712. Один из двугранных углов трёхгранного угла равен А\
прилежащие к данному двугранному углу плоские углы соот­
ветственно равны аир. Найти третий плоский угол.
713. В трёхгранном угле даны три плоских угла в 45°,
60° и 45°. Определить двугранный угол, заключённый между
теми двумя гранями, которые содержат плоские углы по 45°.
714. На ребре двугранного угла дан отрезок АВ. В одной
из граней дана точка М, в которой прямая, проведённая из
точки А под углом а к АВ, пересекает прямую, проведённую
из В перпендикулярно к АВ. Определить величину двугран­
ного угла, если прямая AM наклонена ко второй грани дву­
гранного угла под углом (3.
1 0 0 ЗАДАЧИ 715
715. Даны две скрещивающиеся прямые, наклонённые
друI к другу под углом <р и имеющие общий пересекающий
их перпендикуляр PQ = А. На этих прямых даны две точки
А и В, т которых отрезок PQ виден под углами аир.
Определить длину отрезка АВ.
716. На двух Взаимно перпендикулярных скрещивающихся
прямых, кратчайшее расстояние между которыми PQ = А,
даны две точки А и В, из которых отрезок PQ виден под
углами а н р. Определить угол наклона отрезка АВ к от*
резку PQ.
717. Секущая плоскость делит боковые рёбра треуголь­
ной пирамиды в отношениях (считая от вершины)
И1 яа пз
В каком отношении эта плоскость разделит объём пирамиды?
718. Из середины высоты правильной четырёхугольной
пирамиды опущен перпендикуляр на боковое ребро, равный А,
и перпендикуляр на боковую грань, равный Ь. Найти объём
пирамиды.
Г Л А В А 10
КРУГЛЫЕ ТЕЛА
719. Образующая конуса равна I и составляет с плоско­
стью основания угол в 60°. Определить объём конуса.
720. Длина образующей конуса равна I, а длина окруж­
ности основания — с. Определить объём.
721. Боковая поверхность цилиндра развёртывается в квад­
рат со стороной а. Найти объём цилиндра.
722. Боковая поверхность цилиндра, будучи развёрнута,
представляет собою прямоугольник, в котором диагональ
равна d и составляет угол а с основанием. Определить объём
цилиндра.
723. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2а,
а сумма длин его высоты и образующей равна т. Найти
объём и полную поверхность конуса.
731 ГЛ. 10. КРУГЛЫЕ ТЕЛА 101
724. Объём конуса V. Высота его разделена на три рав­
ные части и через точки деления проведены плоскости парал­
лельно основанию. Найти объём средней части.
725. Определить объём конуса, если в его основании
хорда, равная а, стягивает дугу а, а высота конуса соста­
вляет с образующей угол £3.
726. На одном и том же основании построены два конуса
(один внутри другого); угол между высотой и образующей
меньшего конуса равен а, а угол между высотой и образую­
щей большего конуса равен [3. Разность высот конусов равна h.
Найти объём, заключённый между боковыми поверхностями
этих конусов.
727. Боковая поверхность конуса равна 5, а полная по­
верхность— Р. Определить угол между высотой и обра­
зующей.
728. Боковая поверхность конуса, будучи развёрнута на
плоскость, представляет круговой сектор с углом а и хор­
дой а. Определить объём конуса.
729. Через вершину конуса под углом ® к основанию
проведена плоскость, отсекающая от окружности основания
дугу а; расстояние плоскости от центра основания равно а.
Найти объём конуса.
730. В основание конуса вписан квадрат, сторона кото­
рого равна а. Плоскость, проходящая через вершину конуса
и сторону квадрата, даёт в сечении с поверхностью конуса
треугольник, угол при вершине которого а. Определить
объём и полную поверхность конуса.


Категория: Математика | Добавил: Админ (10.03.2016)
Просмотров: | Теги: антонов | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar