Тема №5332 Ответы к задачам по математике Бочков (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по математике Бочков (Часть 2) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по математике Бочков (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа
3.2.1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания а, боковое ребро /, высота Я, апофема 6, угол наклона боковой грани к плоскости основания а, угол наклона бокового ребра к плоскости основания р, объем V, площадь боковой поверх-ности 5К .
бок.
а) Найти V, если Я = V3 см, а = 45°;
б) Найти S6ok, если h = 3 см, а = 30°;
в) Найти V, если а = 3 см, Р = 45°;
г) Найти 56ок, если Я = 2 см, а = 30°;
д) Найти V, если / = 2>/з см, Р = 30°.
3.2.2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания а, апофема h, высота Я, угол наклона боковой грани к плоскости основания а, угол наклона бокового ребра к плоскости основания Р, угол между высотой и апофемой у, объем V, площадь боковой поверхности 56ок, площадь полной поверхности £полн.
а) Найти у (в град.), если S = 32 см2, h = 4 см;
б) Найти Р (в град.), если V = 36V2 см3, а = 6 см;
в) Найти а (в град.), если V= 12 см3, Я = 3 см;
г) Найти у (в град.), если 5полн = 48 см2, а = 4 см;
д) Найти а (в град.), если S6oK = 8л/3 см2, h - 2 см.
3.2.3. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания а, апофема h, высота Я, угол наклона боковой грани к плоскости основания а, угол наклона бокового ребра к плоскости основания Р, угол между высотой и апофемой у, объем V, площадь боковой поверхности 5'6ок.
а) Найти Р (в град.), если V = 4-Уз см3, а = 2 см;
б) Найти у (в град.), если = 12 см2, h = 2 см;
в) Найти а (в град.), если V = 6л/3 см3, а = 2 см;
г) Найти а (в град.), если S- = 3 см2, а = 1 см;
д) Найти Р (в град.), если V =
3.2.4. В плоскости лежит правильный я-угольник со стороной основания а. Вне плоскости взята точка М, удаленная от нее на расстояние dt и равноудаленная ото всех вершин я-угольника на расстояние d2.
а) Найти d2, если я = 4, а = 24-Jl см, di = 7 см;
б) Найти dv если я = 6, а = 8 см, d2 = 17 см;
в) Найти d2, если я = 3, а = 12-Уз см, с/, = 5 см;
г) Найти а, если я = 4, dx - 5 см, d2 = V43 см;
д) Найти а, если я = 6, d, = 12 см, d, = 13 см.
3.2.5. В правильной «-угольной пирамиде сторона основания я, апофема/?, высота Я, площадь боковой поверхности объем V.
а) Найти S' , если л = 3, а = 6 см, V = 3>/б6 см3;
б) Найти V, если и = 4, h = 17 см, S6OK = 544 см2;
в) Найти S6OK , если и = 6, Я = 3 см, F = 54>/3 см3;
г) Найти V, если и = 3, а = 12 см, £бок = 18>/39 см2;
д) Найти , если и = 4, а = 6 см, F = 48 см3.
3.2.6. В правильной «-угольной пирамиде сторона основания я, апофема /?, высота Я, площадь боковой поверхности S,6OK , объем V. В пирамиду вписана сфера радиуса г. Найти г, если
а) и = 3, Я= 8 см, V = 288л/3 см3;
б) и = 4, /г = 13 см, Sg^ = 624 см2;
1 /Т
в) и = 6, я = —-— см, V = 640л/3 см3;
Г) И = 3, а = 18л/3 см, S6OK = 1107л/3 см2;
д) « = 4, Я = 24 см, К = 1568 см3.
3.2.7. В правильной «-угольной пирамиде сторона основания я, апофема/?, высота Я, площадь боковой поверхности 56ок, объем V. Около пирамиды описана сфера радиуса R. Найти R, если
а) « = 3, Я = 16 см, V = 256-\/з см3;
б) « = 4, я = 8 см, S6OK = 64-v/J см2;
в) « = 6, я = 2-\/б см, V = 144\/3 см3;
г) « = 4, /? = V35 см, S,6OK = 20Vl4 см2;
д) « = 3, я = 6л/2 см, F = 36л/з см3.
3.2.8. В правильной треугольной пирамиде ABCS (S—вершина пирамиды) со стороной основания я, боковым ребром /, апофемой h и высотой Я проведено сечение с площадью Sceii.
а) Найти 5сеч, если я = 8 см, / = 5 см и сечение проведено через середины сторон основания СВ и АВ параллельно боковому ребру CS\
б) Найти /, если я = 4 см, = V24 см2 и сечение проведено через середины сторон основания СВ и АВ параллельно боковому ребру CS;
в) Найти Я, если А = 8 см, 5сеч = 4л/21 см2 и сечение проведено через середину стороны основания АВ параллельно боковой грани ASC;
г) Найти Scm, если а = 24 см, Я = 2-/ГЗ см и сечение проведено через середину стороны основания АВ параллельно боковой грани ASC;
д) Найти S , если А = 4-\/з см, Я= V23 см и сечение проведе-но через середину бокового ребра SB параллельно боковым ребрам AS и CS.
3.2.9. В правильной треугольной пирамиде ABCS (S — вершина пирамиды) сторона основания а, боковое ребро /, апофема А, высота Я. Точка М делит ребро АС в отношении AM: МС = т: к, а точка N делит ребро ВС в отношении CN: NB = к : т. Через точки М и N проведено сечение, параллельное ребру SC. Площадь сечения 5^.
а) Найти ISe4, если к : т = 1 : 4, а = 3 см, Я = V22 см;
б) Найти Я, если к :т = 1 : 3, / = 4 см, 5^ = 4,5 см2;
в) Найти S , если к : т = 2 : 1, а = 12 см, А = Зл/5 см;
г) Найти А, если к : т = 3 : 2, / = 10 см, 5^ = 28,8 см2;
д) Найти 5сеч, если к : т = 3 : 5, Я=4 см, / = 8 см.
3.2.10. В правильной четырехугольной пирамиде ABCDS (S — вершина пирамиды) сторона основания а, боковое ребро /, апофема А, высота Я. Через противоположные вершины основания В и D проведено сечение, параллельное боковому ребру SA. Площадь сечения Sce4.
а) Найти Scm, если а = 6-\/2 см, Я = 8 см;
б) Найти Я, если 1=25 см, Scc4 = 87,5 см2;
в) Найти Scm, если а = 2V2 см, А = л/7 см;
г) Найти А, если / = 6 см, 5сеч = 24 см2;
д) Найти Я, если а = 8-\/2 см, 5ссч = 68 см2.
3.2.11. В основании пирамиды с объемом V лежит квадрат со стороной а. Высота пирамиды совпадает с одним из боковых ребер и равна Я. Около пирамиды описана сфера радиуса Ron.
а) Найти R , если а = -jl см, Я = 2-\/з см;
б) Найти а, если R =3 см, Я = 2 см;
в) Найти Я, если Rm = 5 см, а = 3-\/2 см;
г) Найти V, если Ron = 4,5 см, Я = 3 см;
д) Найти V, если R = 5 см, а = 4-^2 см.
3.2.12. В правильной и-угольной пирамиде сторона основания а, высота Я. В пирамиду можно вписать сферу радиуса г, около пирамиды можно описать сферу радиуса R. Найти число и, если
а) а = Vl5 см, Я = 5 см, R = 3 см;
б) Я = 4 см, R = 2,5 см, г = 1 см;
в) а = 4-Уз см, Я = 4,5 см, г = 2 см;
г) Я = 6 см, г = 2 см, радиус окружности, которую можно описать около основания пирамиды, равен 2л[б см;
д) Я = 6 см, R = 3,25 см, радиус окружности, которую можно вписать в основание пирамиды, равен 1,5 см.
3.2.13. В правильной и-угольной пирамиде высота Я, площадь основания Som, площадь боковой грани S , радиус вписанной в пирамиду сферы гт. Найти число и, если
а) Som = 20 см2, = 6 см2. Центр вписанной в пирамиду сферы делит ее высоту в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды;
б) S =10 см2, S =5 см2, Я = 6 см, г =2 см;
в) S =35 ,Н = 4г\
г) 5осн = 15 см2, 5гр = 2 см2. Центр вписанной в пирамиду сферы делит ее высоту в отношении 6:1, считая от вершины пирамиды;
д) 5осн = 5^. Центр вписанной в пирамиду сферы делит ее высоту в отношении 8:1, считая от вершины пирамиды.
3.2.14. В правильной и-угольной призме объем V, площадь боковой поверхности 5^, полная площадь поверхности 5полн, диагональ боковой грани d.
а) Найти d, если и = 4, V = 90 см3', 56ок = 24 V? см2;
б) Найти V, если п = 6, S : 51, = 5 : 4, d = Vl3 см;
в) Найти V, если п = 3, S : S, = 4 : 3, d = yfl см;
' 9 9 ПОЛИ. бок. 9 9
г) Найти d, если п = 3, F = 18л/21 см3, = 36 yfl см2;
д) Найти d, если п = 6, V = 48 Vl5 см3, 56ок = 48л/5 см2.
3.2.15. В основании прямой призмы лежит и-угольник, площадь которого 5осн. В призму можно вписать сферу радиуса г, а сумма длин всех ребер призмы равна X-
а) Найти 5осн, если п = 11, L = 240 см, г = 5 см;
б) Найти X, если п = 9, 5'осн = 160 см2, г = 4 см;
в) Найти S , если л = 7, X = 420 см, г = 6 см;
г) Найти X, если п = 13, S = 100 см2, г = 4 см;
д) Найти S , если п - 15, X = 400 см, г = 6 см.
3.2.16. В правильной четырехугольной призме ABCDA'B'C'D' сторона основания АВ = а, боковое ребро АА' = Н. Расстояние от вершины С до диагонали боковой грани АВ' равно d{, расстояние от центра боковой грани ВВ'С'С до А В' равно d2.
а) Найти dv если а = 6 V2 см, Н = 2 V7 см;
б) Найти Й?2, если я = 7 V2 см, Я = V527 см;
в) Найти rfj, если а = 9у[2 см, Н = 3л/7 см;
г) Найти rf2, если а = 3 V2 см, Я = V7 см;
д) Найти d}, если я = 14 -Jl см, Я = 2 у/521 см.
3.2.17. В основании прямой призмы АВСА'В'С' лежит равно-бедренный треугольник АВС с основанием АС = я и боковой стороной АВ = ВС = Ь. Высота призмы Я. Расстояние от вершины С до диагонали боковой грани АВ' равно dv расстояние от центра боковой грани ВВ'С'С до АВ' равно dr
а) Найти d{, если я = 12 см, Ъ = 1 см, Я = л/51 см;
б) Найти dv если я = 14 см, 6 = 8 см, Я = V561 см;
в) Найти dv если я = 18 см, Ъ = 10 см, Я = 5 у[5 см;
г) Найти d2, если я = 16 см, 6 = 9 см, Я = Vl9 см;
д) Найти dv если я = 28 см, 6 = 16 см, Я = 2 ->/561 см.
5V2
а) Найти dv если а = 10 см, Я = см;
Зл/2
б) Найти d2, если а = 6 см, Я = —— см;
в) Найти dv если а = 2 см, Я = 2^2 см;
г) Найти d2, если а = 4 см, Я = V2 см;
д) Найти d., если а = 3 см, Я = см.
3.2.19. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треу
гольник с катетами а и Ъ. Объем призмы V, площадь боко-вой поверхности S^. Радиус сферы, которую можно описать около призмы, Rm.
а) Найти V, если а = 6 см, b = 8 см, Rm= 13 см;
б) Найти *S'6OK , если а = 5 см, b =
г) Найти V, если а = 9 см, b = 40 см и известно, что в призму можно вписать сферу;
д) Найти V, если а-1 см, Ъ = 24 см и известно, что в призму можно вписать сферу.
3.2.20. В основании прямой призмы с объемом V лежит равно-бедренная трапеция с основаниями а и Ь, боковой стороной с и периметром Р. Известно, что в призму можно вписать сферу радиусом гвп.
а) Найти V, если а = 6 см, b = 20 см;
б) Найти гт, если Р = 25 см, V = 100 см3;
в) Найти V, если а = 8 см, с = 15 см;
г) Найти гт, если с = 12 см, V = 768 см3;
д) Найти V, если 6=10 см, с = 8 см.
3.2.21. В правильной четырехугольной призме ABCDA'B'C'D' со стороной основания АВ-а и боковым ребром АА' = Япроведено сечение через диагональ основания BD параллельно диагонали призмы А'С. Объем призмы V, площадь боковой поверхности S6oK. Найти площадь проведенного сечения 5сеч, если
а) а = Зл/2 см, V= 144 см3;
б) Я = 6 см, S6oit = 96 yfl см2;
в) а = 6-\/2 см, 5^ = 384 л/2 см2;
г) Я = 3 см, V = 24 см3;
д) а = 2 см, К = 8 л/б см3.
3.2.22. В основании прямой призмы ABCDA'B'C'D' лежит квадрат ABCD. Через его вершину Л, противоположную ей вершину верхнего основания С' и точку М, делящую сторону квадрата CD в отношении т : п, считая от С, проведено сечение площадью S , наклоненное к плоскости основания призмы под углом ф. Найти длину стороны квадрата ABCD, если
а) т : п = 1 : 6, SQm = 1 лр2 см2, ф = 45°;
20л/3 „
б) т : я = 2 : 3, 5ссч = —см2, ф = 30°;
в) т : п = 1 : 2, = 54 см2, ф = 60°;
г) т : п = 1 : 3, 4l см2, ф = 45°;
д) т : п = 2 : 1, 5сеч = 16 yfb см2, ф = 30°.
3.2.23. В основании прямой призмы ABCDA'B'C'D' лежит квадрат ABCD. Через его вершину А, середину бокового ребра ВВ' и точку М, делящую сторону квадрата CD в отношении т : и, считая от С, проведено сечение площадью 5сеч , наклоненное к плоскости основания призмы под углом ф. Найти длину стороны квадрата ABCD, если
а) т : п = 1 : 2, 5сеч = 6л/2 см2, ф = 45°;
б) т : п = 2 : 5, Sce4 = 2\~j3 см2, ф = 30°;
в) т : п = 1 : 3, Scm = 5 см2, ф = 60°;
г) »! : л = 1 : 5, Scm ~ 21 V2 см2, ф = 45°;
д) т : п~ 2 : 3, S= 35 см2, ф = 60°.
3.2.24. В кубе ABCDA'B'C'D' с ребром АВ = а проведено сечение через вершину А и точки К, L и М, лежащие на ребрах ВВ', СС и CD соответственно. Найти объем многогранника AKLMA'B'C'D'D, если
а) а = 6 см, CL = 1 см, DM = 4 см;
б) а = 12 см, ВК - 6 см, LC = 2 см;
в) а = 6 см, CL = 2 см, СМ = 4 см;
г) а = 8 см, Я'# = 2 см, LC = 3 см;
д) а = 12 см, ЯЯ = 2 см, ЯМ = 3 см.
3.2.25. В правильной четырехугольной призме ABCDA'B'C'D' со стороной основания АВ = а и боковым ребром ЛЛ' = Н проведено сечение через вершины А и В' и точки М и N, лежащие на ребрах С'С и СО соответственно. Найти объем многогранника AB'MNA'C'D'D, если
а) а = 5 см, Н = 6 см, МС = 1,2 см;
б) а = 3 см, Я = 6 см, МС' - 5 см;
в) а = 6 см, Я = 9 см, ЯС = 2 см;
г) а = 4 см, Я = 2 см, DN = 3 см;
д) а = 3 см, Я = 4 см, С'М = 2 см.
3.2.26. В правильной треугольной призме АВСА'В'С' с основаниями АВС и А'В'С' проведено сечение через вершины А и В' и точку М, делящую боковое ребро С'С в отношении СМ: МС=т : п. Найти отношение объема призмы АВСА'В'С' к объему многогранника АВСМВ', если
а) т : п = 1: 2;
б) т : п = 2: 3;
в) т : п = 3: 1;
г) т : п - 4: 1;
д) т : п = 2: 1.
3.2.27. В основании прямой призмы АВСА'В'С' с боковым ребром Я и объемом К лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АС = b и боковой стороной ЛЯ = ЯС = а. Через сторону основания АС и противоположную ей вершину верхнего основания В' проведено сечение с площадью S .
а) Найти Ясеч, если а = 3 см, Ъ- 4 см, Я = 2 см;
б) Найти Я, если а = 2 V2 см, 6 = 2 см, S = 4 см2;
в) Найти а, если 6 = 4 см, Я = л/ГТ см, S' = 8 см2;
г) Найти V, если а = 5 см, Ъ = 6 см, 5сеч =6^5 см2;
д) Найти Ь, если а = 4l см, Н = 1 см, S' = 4 см2.
3.2.28. В основании наклонной призмы ABCDA'B'C'D' лежит ромб ABCD. Основанием перпендикуляра, опущенного из вершины верхнего основания А', является центр ромба ABCD. Боковое ребро призмы АА' = /, объем призмы V. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания призмы равен а. Площадь четырехугольника АА'С'С равна Sv площадь четырехугольника BB'D'D равна Sr
а) Найти V, если S{ = 20 см2, S2 = 30 см2,1=5 см;
б) Найти S2, если St = 8 л/з см2, V = 20 л/з см3, а = 60°;
в) Найти /, если 5, = 40 см2, S2 = 25 см2, V= 50 см3;
г) Найти V, если S{ = 30 см2, S2 = 56 см2,1 = 1 см;
д) Найти Я, если St = 8 см2, S2 = 30 см2, V = 30 см3.
3.2.29. В конус с образующей /, радиусом основания г и высотой Я вписана сфера. Найти радиус сферы, если
а) Я = 8 см, /= 10 см;
б) Н= 5 см, / = 13 см;
в) Я = 15 см, г= 8 см;
г) Я = 40 см, г = 9 см;
д) 1 = 25 см, г = 7 см.
3.2.30. Около цилиндра с образующей I и радиусом основания г описана сфера. Найти радиус сферы, если
а) I = 16 см, г = 6 см;
б) I = 80 см, г = 9 см;
в) / = 10 см, г = 12 см;
г) / = 30 см, г = 8 см;
д) / = 5 см, г = 6 см.
3.2.31. На плоскости лежат три одинаковых шара радиуса R, каждый из которых касается двух других шаров. На той же плоскости лежит четвертый шар радиуса г, который касается каждого из трех указанных шаров.
а) Найти R, если г = 4 см;
б) Найти г, если R = 15 см;
в) Найти отношение R : г;
г) Найти R, если г = 7 см;
д) Найти г, если R = 18 см.
3.2.32. На плоскости лежат четыре одинаковых шара радиуса R так, что их центры расположены в вершинах квадрата со стороной 2R. На той же плоскости лежит пятый шар радиуса г, который касается каждого из четырех указанных шаров.
а) Найти R, если г = 7 см;
б) Найти г, если Л = 16 см;
в) Найти отношение R : г;
г) Найти R, если г = 4 см;
д) Найти г, если R = 10 см.
3.2.33. Боковые грани правильной треугольной пирамиды со стороной основания а и боковым ребром / — прямоуголь-ные треугольники с площадью S. Объем пирамиды V.
а) Найти V, если а = Зл/2 см;
б) Найти S, если V = -ч/б см3;
в) Найти V, если 1 = 6 см;
г) Найти S, если V = 8-\/б см3;
д) Найти а, если V = 9^2 см3.
3.2.34. В правильной четырехугольной пирамиде ABCDSсторона основания АВ = а, боковое ребро AS = I, высота Н, апофема h, расстояние между серединой стороны основания АВ и серединой бокового ребра CS равно d. Объем пирамиды V, площадь полной поверхности 5полн, площадь боковой поверхности S .
бок.
а) Найти V, если 1 = 4 см, d = \ 11 см;
б) Найти если а = 4 см, d = л/Гз см;
в) Найти S , если Я = 3 см, d = 6,5 см;
л/79
г) Найти V, если h = 4 см, d = см;
д) Найти 5бок, если I = 10 см, d = V97 см.
3.2.35. В правильной и-угольной пирамиде со стороной основания а, боковым ребром /, высотой Н и объемом V центр описанной сферы радиуса Ron лежит в плоскости основания.
а) Найти V, если п = 3, /?оп = 2^3 см;
9у/2
б) Найти /, если п = 4, V = см3;
в) Найти V, если п = 6, а = 2^3 см;
г) Найти а, если п = 3, V = 18 см3;
д) Найти Н, если п = 6, V = 4>/з см3.
3.2.36. В правильную пирамиду с высотой Я, площадью основания SMH и площадью полной поверхности Snom вписана сфера ра-диуса г.
а) Найти Н, если S =56 см2, S =14 см2, г = 2 см;
б) Найти расстояние от центра вписанной сферы до вершины пирамиды, если 5'полн = 96 см2, = 16 см2, Н= 6 см;
в) Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если S =10 см2, Н= 15 см, г = 5 см;
г) Найти г, если S =42 см2, S =14 см2, Н = 6 см;
д) Найти г, если S = 42 см2, S = 10 см2, а расстояние от
центра вписанной сферы до вершины пирамиды d = 8 см.
3.2.37. В правильную усеченную пирамиду с длинами сторон оснований аиЬ(а> Ь)я углом между боковой гранью и большим основанием а = arccos с можно вписать сферу.
2
а) Найти а : Ъ, если с = —;
б) Найти с, если а \ Ь = 3;
5
в) Найти а : Ь, если с = —;
6
г) Найти с, если а : b = 4;
3
д) Найти а : Ъ, если с = —.
3.2.38. В правильную четырехугольную усеченную пирамиду с длинами сторон оснований а и Ъ (а > Ь) и углом между боковой гранью и большим основанием а можно вписать сферу радиуса гвп. Найти гт, если:
а) 6 = 9 см, а = 16 см;
б) 6 = 8 см, а = 2 arcctg 3;
в) а = 6 см, а = 2 arctg 0,5;
г) 6 = 4 см, а = 25 см;
д) а = 12 см, а = 2 arcctg 6.
3.2.39. Треугольник со сторонами АВ = с, ВС = а и СА = 6 вра-щается вокруг стороны АВ. Объем полученного тела V, площадь его поверхности S.
а) Найти V, если а = 13 см, 6 = 15 см, с = 14 см;
б) Найти S, если а = 41 см, 6 = 15 см, с = 52 см;
в) Найти V, если а = 17 см, 6=10 см, с = 21 см;
г) Найти S, если а = 37 см, 6 = 13 см, с = 40 см;
д) Найти V, если а = 37 см, 6 = 15 см, с = 44 см.
3.2.40. В правильной треугольной призме со стороной основания а и боковым ребром Я расстояние между диагональю боковой грани и непересекающейся с ней стороной основания равно /.
а) Найти а, если Я = 2 см; / = V3 см.
б) Найти Я, если а = 8 см; / = 2л/3 см.
в) Найти а, если Я = 5л/з см; I = Зл/З см.
г) Найти Я, если а = 4 см; I = л/з см.
д) Найти а, если Я = 8 см; / = 4л/з см.
3.2.41. В правильной четырехугольной призме со стороной основания а и боковым ребром Я расстояние между диагональю призмы и непересекающейся с ней стороной основания равно /. Объем призмы V, площадь боковой поверхности 56ок.
а) Найти V, если Я = 3 см; I = 2 см.
б) Найти S6o|£, если а = 5 см; / = 3 см.
в) Найти S6ok, если Я = y/s см; / = 2 см.
Зл/2^
г) Найти V, если а = 3 см; 1 = см.
2
д) Найти V, если Я = 3 см; / = 1 см.
3.2.42. В правильной четырехугольной призме диагональ равна d, а расстояние между диагональю призмы и непересекающимся с ней боковым ребром равно /. Объем призмы V, площадь боковой поверхности S^.
а) Найти V, если:
1. d = 13 см; 1 = 6 см; 2. d= 10 см; 1 = 3 см;
3. d = 17 см; 1 = 4 см;
б) Найти если:
1. d = Vn см; l-4l см; 2. d = 6 см; I = 2-Jl см.
3.2.43. В правильной треугольной пирамиде ABCD (D - вершина) через сторону основания ВС и точку М, делящую боковое ребро AD в отношении AM: MD = k: I, проведено сечение. Найти отношение к : I, если известно отношение объемов VCMDB : VABCD = t
a) t =2/3; б) t = 1/6; в) t = 1/5; г) t = 2/7; д) t = 5/8.
3.2.44. В правильной четырехугольной пирамиде ABCDE (Е - вершина) через диагональ основания АС и точку М, делящую боковое ребро BE в отношении ВМ : ME = к : /, проведено сечение. Найти отношение к:1, если известно отношение объемов VCMADE . VABCDE — t.
a) t = 2/3; б) t = 3/4; в) t = 3/5; г) t = 5/9; д) t = 5/8.
3.2.45. В конус с радиусом основания R и высотой Явписан цилиндр с радиусом основания г и высотой h. Найти отношение объема конуса к объему цилиндра, если:
а) Н: h = 3; б) R : г = 2; в) h : Н= 1 : 2; г) г : R = 2 : 3; д) Я: h = 3 : 2.
3.2.46. В правильной «-угольной пирамиде с объемом Vи площадью боковой поверхности 56ок отношение суммы длин всех ребер к периметру боковой грани равно т : р.
а) Найти 5бок, если:
1. п = 3; т \р = 23 : 12; V =—>/407 см3;
2. п = 4;т:р=П : 4; V = 12^ см3;
3. п = 3; т :р = 99 : 50; V = ^>/611 см3;
б) Найти V, если:
1. п = 4; т : р = 14 : 5; S6oK = 72-^5 см2;
2. и = 6; m : /> = 18 : 5; S6oK = 6Vl5 см2.
3.2.47. В основании пирамиды с объемом F л ежит квадрат со стороной
а. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно /. Радиус сферы, которую можно описать около пирамиды, равен Ron.
а) Найти V, если
1. а = 5>/2 см; R = 13 см;
2.1 = 16 см; /? = 10 см;
9 ОП 9
б) Найти R , если
1.1 = 6 см; Г= 64 см3;
2. а = 8>/2см; К= 1280 см3;
3. / = 48 см; F= 1568 см3.
3.2.48. Боковые грани треугольной пирамиды ABCD—прямоугольные
треугольники с общей вершиной прямых углов — точкой D, причем боковые ребра AD = а и BD = Ь. Объем пирамиды V, радиус описанной около пирамиды сферы RQn.
а) Найти R , если:
1. а = 6 см; Ъ = 8 см; V= 192 см3;
2. а = 6 см; Ь = 2^1 см; V = 12^1 см3;
3. а = 18 см; Ъ = 24 см; F= 1152 см3;
б) Найти V, если:
1. а = 3 см; Ъ = 4 см; /? = 6,5 см;
2. а = 9 см; Ъ = 12 см; = 8,5 см.
3.2.49. В основании пирамиды с высотой //лежит квадрат со стороной
а. Проекция вершины пирамиды на плоскость основания попадает на продолжение одной из диагоналей квадрата. Длины наибольшего и наименьшего из боковых ребер равны /, и /2. Найти объем пирамиды, если:
а) /, = 17 см; /2 = 10 см; Н= 8 см;
б) 1У = 41 см; /2 = 15 см;о = 14-\/2 см;
в) /, = 26 см; 1г = 25 см; Н = 24 см;
г) = 15 см; 1г = 13 см;а = 2л/2 см;
д) /, = 50 см; /, = 41 см; Я = 40 см.
3.2.50. Квадрат ABCD является основанием двух пирамид ABCDE и ABCDF, причем вершины пирамид Е и F лежат по одну сторону от плоскости основания, а боковые ребра АЕ и CF перпендикулярны плоскости основания. Найти объем общей части двух пирамид, если:
а) АВ = 2 см; АЕ = 6 см; CF - 4 см;
б) АВ = 3 см; АЕ = 4 см; CF = 2 см;
в) АВ = 4 см; АЕ = 2 см; CF = 6 см;
г) АВ = 6 см; АЕ = 3 см; CF = 7 см;
д) АВ = 3 см; АЕ = 5 см; CF = 7 см.
3.2.51. Правильный треугольник АВС является основанием двух пирамид ABCD и АВСЕ, причем вершины пирамид DwEлежат по одну сторону от плоскости основания, а боковые ребра AD и BE перпендикулярны плоскости основания. Найти объем общей части двух пирамид, если:
а) АВ = 2 см; AD = -Уз см; BE = Зл/з см;
б) АВ = 4 см; AD = 6>/з см; BE = 4-Уз см;
в) АВ = 6 см; AD = 2>/з см; BE = Зл/з см;
г) АВ = 3 см; AD = -Уз см; BE = 2-Уз см;
д) АВ = 5 см; AD = у[з см; BE = 4у[з см.
3.2.52. В правильную и-угольную призму с объемом Vи площадью боковой поверхности 56ок можно вписать сферу радиуса гвп.
а) Найти V, если:
1. п = 3; гвп 3 СМ;
2. п = 6; гвп = 3>/з см;
3. п = 3; гвп =4л/з см;
б) Найти Sg^, если:
Ь л = 3; гвп =3^3 см;
2. п = 6; гвп = 2У1З см;
3.2.53. Около правильной «-угольной призмы можно описать сферу радиуса Ron, а вписать в призму можно сферу радиуса гт. Найти число и, если:
а) Ron = Vl5 см; гвп = л/з см;
б) Ron = fi см; гвп = V2 см;
в) Ron = л/21 см; гал = 3 см;
г) Доп. = VlO см; гвп = V2 см;
д) Ron =Vl2 см; гвп = 2 см.
3.2.54. Около правильной призмы с объемом V и площадью боковой поверхности можно описать сферу радиуса RQn, а вписать в призму можно сферу радиуса гт.
а) Найти V, если:
1 • V = л/З см; Ron = у/\5 см;
2. гт = 2 см; Rou = 2yfb см;
3-V=V3CM; Ron =yflcM-,
б) Найти Sg^, если:
1. гт =Цз см; Лол.=^75см;
2. г =3 см; R.„ = Зл/З см.
3.2.55. В основании пятигранника ABCDEF лежит правильный треугольник АВС с площадью S, а ребра AD, BE и CF перпендикулярны плоскости основания, причем AD + BE + CF = Н. Найти объем пятигранника, если:
a) S = 6 см2; Я = 2 см;
б) S = 5 см2; Я = 9 см;
b) ,S= 12 СМ2; Я= 7 СМ;
г) 5 = 8 см2; Я = 15 см;
д) Я = 9 см2; Я = 6 см.
4.1.1. а) Вычислить |с|,если с=2а+Ь, а={2;-1;3}, 6={-3;0;-4};
б) Вычислить |с|, если с —a-2b, a={-4;2;l}, 6={-1;4;2};
в) Вычислить \с\, если с=Ъа-Ь, я={1;—1;0}, Ъ ={2;1;-8};
г) Вычислить \с\, если с = а-^Ь, я={0;-3;8}, 6={4;6;-2};
д) Вычислить |с|, если c=a+3b, а ={-2;-1;-4}, b ={2;-l;-l}.
4.1.2. а) Даны точки А(0;-2;1), 5(1;1;0), С(-1;1;1). Найти точку Р, если СР = АР + 2ВР;
б) Даны точки Л(1;0;1), 5(2;-1;0), С(0;2;-1). Найти точку Р, если РВ = РС + 2РА\
в) Даны точки Л(2;0;1), Д(-1;1;0), С(-2;1;-1). Найти точку Р, если РА = РВ - 2 СР ;
г) Даны точки А(2;0;-1), 5(2;1;1), С(1;1;0). Найти точку Р, если АР -СР + 2РВ;
д) Даны точки А(2;-1;0), 5(1;-2;0), С(1;—1; 1). Найти точку Р, если ВР = СР- 2РА .
4.1.3. При каком значении числа а точки А, В и С лежат на одной прямой?
а) А(а;2;-2), Я(0;-2;4), С(2;-10;16);
б) 4(6;0;-1), В(2;а;1), С(4;3;0);
в) 4(-7;2;0), В(-5;-4;3), С(-6;-1;я);
г) А(2;а;1), В(3;1;6), С(1;-ЗН);
д) 4(8;5;4), ДН;-3;а), С(-1;-1;1).
а и точка А. Найти точку В, если = к.
;1), к = 6;
;-1), *= 7;
;!),*= 18;
4.1.5. а) Даны |а| = 3, |&| = 4, |а+&| = Vl4 . Найти |a-Z>|;
б) Даны |а|= 3, |б|=2, |а-б| = л/То. Найти |а+б|;
в) Даны |а|= 5, |a-fe| = V58, |а+б|= 8. Найти |б|;
г) Даны |а|= 5, |б|= 4, |а+б| = л/33 • Найти |а-б|;
д) Даны |а|=4, |&|=2, |а-б| = л/Г5 . Найти |а+б|.
4.1.6. а) Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 1 : 5, считая от А, если А (—2; 1 ;0), В (4;—5; 12);
б) Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 4:1, считая от В, если А (—1 ;2;0), В (4;-3;5);
в) Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 3:5, считая от А, если А (—1 ;0;4), В (7;8;-4);
г) Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 3:1, считая от В, если А (0;2;-2), В (8;-2;-2);
д) Найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении 1 : 6, считая от А, если А (2;32), В (9;—4; 12).
4.1.7. а) В параллелограмме ABCD даны смежные вершины А (5;0;-4) и В (—7;6;2), а также середина стороны CD точка М (1;0;-4). Найти вершину С.
б) В параллелограмме ABCD дана вершина А (4;2;-3), а также середина стороны AD точка N (2; 1 ;5) и середина стороны ВС точка М (5;-7;1). Найти вершину С.
в) В параллелограмме ABCD даны противоположные вершины А (5;-1;3) и С (4;4;2), а также середина стороны CD точка М (1;0;-3). Найти вершину В.
г) В треугольнике АВС дана середина стороны АВ точка D (1;2;-3), середина стороны ВС точка Е (3;0;7) и середина стороны АС точка F (5;-2;3). Найти вершину А.
д) Даны последовательные вершины параллелограмма ABCD А (2; 1 ;4), В (JC; 1 ;3), С (2;у;0) и D (3;3;z). Найти сумму * + У + z-
4.1.8. а) В параллелограмме ABCD даны середина стороны АВ точка М(2;4;-6), середина стороны ВС точка
N(0;8;4) и точка пересечения диагоналей параллелограмма 0(-2;4;0). Найти вершину D;
б) В параллелограмме ABCD даны вершина С(4;-4;0), се-редина стороны АВ точка М(2;0;4) и середина стороны ВС точка N(-2;6;2). Найти вершину D;
в) В параллелограмме ABCD даны вершина 2?(8;-6;2), се-редина стороны АВ точка М(6;0;4) и середина стороны ВС точка N(2;-2;6). Найти вершину D;
г) В параллелограмме ABCD даны вершина С(8;-2;0), се-редина стороны АВ точка М(2;6;—4) и точка пересечения диагоналей параллелограмма 0(4;2;-2). Найти вершину D;
д) В параллелограмме ABCD даны вершины А(6;8;-4) и В(2;02), а также точка пересечения диагоналей 0(-4;2;6). Найти середину стороны CD.
4.1.9. а) В параллелограмме ABCD даны противоположные вершины А(х;3;-2) и С(4;х;5). Найти число х, если сумма координат вершин В и D равна (-8);
б) Дана точка пересечения диагоналей параллелограмма 0(JC;-3JC;1). Найти число х, если сумма координат всех вершин параллелограмма равна (-36);
в) Даны вершины треугольника А(х;2;-3), В(3;х;6) и С(2;-1;х). Найти число х, если сумма координат середин всех сторон треугольника равна 6;
г) Даны вершины параллелограмма А(х;2;-1), В(2;у;3), С(1;0рс) и D(y; 12). Найти числа х и у, если сумма координат точки пересечения диагоналей параллелограмма равна 3;
д) В треугольнике АВС даны середины сторон М(х;4;5), N(2;x;-1) и Р(-3;1;х). Найти число х, если сумма координат всех вершин треугольника АВС равна (-10).
4.1.10. а) Даны вершины треугольника А(х;2;0), В(2;-х;4) и С(-3;1рс). Найти число х, если сумма координат точки пересечения медиан треугольника равна (-7);
б) Даны вершины треугольника Л(0;6;-2), 5(-2;6;0) и С(4;2;-6). Найти длину медианы треугольника, проведен-ной из вершины В;
в) Даны вершины треугольника А(2;6;1), В(3;-2;0) и С( 11 ;2). Найти точку пересечения медиан треугольника.
г) Даны вершины треугольника А(-2; 18;—4), 5(-10;6;16) и С(30;30;-6). Найти расстояние от точки пересечения медиан треугольника до вершины А;
д) В треугольнике АВС сумма координат вершин равна 81. Найти сумму координат точки пересечения медиан треугольника.
4.1.11. Найти площадь треугольника с вершинами А, В и С.
а) Л(0;3), В(2;0), С(-4;-3);
б) А(-2;0), Я(0;-4), С(5;2);
в) А(4;0), В(0;-3), С(-2;6);
г) Л(0;5), В(-2;0), С(3;-4);
д) А(0;4), Д(5;0), С(3;-6).
4.1.12. а) Найти площадь треугольника, образованного отрезками прямых у = Зх - 4, х = 8 - у и х = 6;
б) Найти площадь треугольника, образованного отрез-ками прямых у = 2х + 5, х--у-7иу = -7;
в) Найти площадь треугольника, вершины которого со-впадают с началом координат и точками пересечения параболы у - х2 и прямой у = х + 2;
г) Найти площадь треугольника, вершины которого со-впадают с началом координат и точками пересечения параболы х - у2 и прямой у = х - 12;
д) Найти площадь треугольника, вершины которого со-впадают с началом координат и точками пересечения параболы х = -у2 и прямой х - 2у = -3.
4.1.13. а) Найти площадь треугольника, вершины которого со-впадают с началом координат и точками пересечения окружности х2 + у2 = 5 и прямой у = х + 1;
б) Найти площадь треугольника, вершины которого со-впадают с началом координат и точками пересечения окружности х2 + у2 = 10 и прямой у = х + 2;
в) Найти площадь четырехугольника, вершины которого совпадают с вершинами парабол у=х2-2иу = 6-х2 и точками их пересечений;
г) Найти площадь четырехугольника, вершины которого совпадают с вершинами парабол* = \0-у2их=у2 - 8 и точками их пересечений;
д) Найти площадь четырехугольника, вершины которого совпадают с вершинами парабол у = 18 - х2 и у = х2 - 14и точками их пересечений.
4.1.14. В равнобедренной трапеции ABCD (AD || ВС) даны вершины А, В и D. Найти координаты вершины С:
а) А (-3; -2), В (-1; 2), D (4; -2);
б) А (2; -6), В (-3; ^1), D (2; 2);
в) А (-5; 3), В (-2; -1), D (3; 3);
г) А (-4; 3), В (1; 1), D (-4; -4);
Д) А (2; -3), В (4; -5), D (8; -3).
4.1.15. Найти координаты точки С, равноудаленной от точек А и В и принадлежащей координатной оси:
а) А (3; 1; -2), В (5; 0; 1), Се Ох;
б) Л (-1; -2; 3),Д(1;-4; 0), С е Оу;
в) А (0; -1; 3), В (-2; 1; 1),Се Or,
г) А (2; -1; -2), В (4; 0; 1), С е Or,
Д) А (0; -1; 2), В (1; -3; -1), С е Оу.
4.1.16. Найти площадь трапеции с вершинами:
а) А (3; 0; 0), В (0; 0; 4), С (0; 3; 4), D (3; 7; 0);
б) А (5; 0; 0), В (0; 12; 4), С (0; 12; 0), D (5; 0; 8);
в) А (12; 15; 0), В (8; 0; 8), С (0; 0; 8), D (0; 15; 0);
г) А (7; 0; 0), В (0; 0; 24), С (0; 5; 24), D (7; 9; 0);
д) А (9; 0; 0), В (0; 12; 6), С (0; 12; 0), D (9; 0; 10).
4.1.17. Найти объем пирамиды с вершинами:
а) А (0; 3; -1), В (0; 3; 2), С (-6; 1; 4),D (0; 5; 2);
б) А (4; 0; -5), В (4; 0; 1), С (-2; 9; 7), D (6; 0; 1);
в) А (-8; 3; 0), В (-8; -2; 0), С (4; 5; -4), D (1; -2; 0);
г) А (0; 7; -2), В (0; 3; -2), С (5; -1; 6), D (0; 3; 4);
д) А (-3; 0; 5), В (-3; 0; -4), С (6; -8; 1), D (2; 0; -4).
4.1.18. Найти площадь треугольника, стороны которого лежат на прямых:
а) у = 2х; х = 2у; х + у = 6;
б) у = Зх; х = Зу; х - у = 4;
в) у = 4х; х = 4у; х + у = 10;
г) у = 5х; х = 5у; х - у = 4;
д) у = 6х; х = 6у; х + у = - 7.
4.1.19. Даны вершины равнобедренного треугольника АВС с ос-нованием А С:
а) Найти х0, если А (-2; 3; -1); В (х0; 2; -3); С(0; 3; -2);
б) Найти у0, если А (2; 0; 1); В (-1 ;у0; 1); С(-1; 1; 0);
в) Найти z0, если Л (2; -3; 0); В (1; -2; z0); С(-1; 1; 2);
г) Найти х0, если А (1; -1; 2); В (х0; 1; 0); С(0; 3; 1);
д) Найти у0, если А (-2; 0; 1); В (1; у0; -1); С(3; 2; 1).
4.1.20. Даны вершины прямоугольного треугольника с прямым углом С:
а) Найти х0, если А (2; 0; -1); В (х0; 2; 0); С(1; 1; 2);
б) Найти у0, если А (-3;у0; 2); В (1; -2; 0); С(0; 2; 1);
в) Найти z0, если А (-1; 2; 0); В (-2; 1; z0); С(1; -2; 1);
г) Найти х0, если Л (х0; 1; 0); В (1; 0; -1); С(-1; 2; 1);
д) Найти у0, если А (-2; 0; -1); В (2; у0; -2); С(-1; 2; 0).
4.1.21. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М так, что отношение площадей SABM : SABC = к : I. Найти координаты точки М, если:
а) -4 (1; 2; -4); С(4; -1; 2); к:/=2:3;
б) А (2; -4; -1); С(-3; 1; 4); *:/=1 : 5;
в) А (1; -2; 3); С(-3; 6; 7); *:/= 3:4;
г) Л(2;0;-4);С(7;-10; I); к: 1=2: 5;
д) А(-1;5- 1); С(-9; 1; -7); *:/= 1:4.
4.1.22. В параллелограмме ABCD на стороне AD взята точка М так, что отношение площадей SABM: SBCM = к: I. Найти координаты точки М ,если:
а) Л(2;0;-1);£>(-1;6;2);£:/= 1:3;
б) А(3; 1; -1); £>(-2; 6; 4);*:/= 2:5;
в) А(2; -1; 0); D(6; -5; 8); к : I = 1 : 4;
г) Л(4; 1; -2); £>(1; -5; 1);*:/= 2:3;
д) Л(1; -3; 2); Z)(6; 2;1); к : 1= 1:5.
4.1.23. а) Дан треугольник АВС:
1. Найти высоту треугольника, опущенную из вершины С, если А(0; 0); В (12; 5); С (14; -5);
2. Найти высоту треугольника, опущенную из вершины А, если А (-2; 5); 5(0; 0);С(6; 8).
б) Дан параллелограмм с последовательными вершинами А, В, С, D. Найти высоту параллелограмма, опущенную из вершины D на сторону ВС, если:
1. Д5;-1);5(0; 0); С(3; 4);
2. Д-4; 18); 5(0; 0); <7(8; 15);
3. Д28; -4); 5(0; 0); С(7; 24).
4.1.24. В треугольнике АВС на стороне АС взяты точки М и N так, что площади треугольников ABM, MBN и NBC относятся как
: SMBN : SNBC = k'-l:m- НаЙТИ Т0ЧКУ М> еСЛИ:
а) Д1; 2; -3); С(7; -4; 9); к : I: т =2:3:1;
б) Д4;-1;6);С(-2; 11; 0); к : I: т =3:1:2;
в) Д-1; 3; 4); С(6; -4; 11);*:/: да = 4:1:2;
г) Д2; 3; -1); С(11; -6; 8); *: /: да =3:2: 4;
д) А(6; -1; 2); С(- 2; 15; -6); к:1:т =2:1:5.
4.1.25. В треугольнике АВС медианы пересекаются в точке Е. Найти длину стороны Л С, если:
а) Д2;0;3);5(1;0;-3); 5(1; 2; 0);
б) ДО; -4; 7); 5(2; -2; -1); 5(2;-2; 2);
в) Д2; -10; 0); 5(1; 1; 1); 5(1;-3; 4);
г) Д-2; 0; 1); 5(8; 1; 2); 5(2; 1; 1);
Д) -4(4; -3; 0); 5(2; 6; 3); 5(2; 1; 5).
4.1.26. В треугольнике АВС вершина 5 лежит на оси Оу, а точка пересечения стороны А С с биссектрисой угла 5 ВК делит АС в отношении АК: КС = т: п. Найти точку 5, если:
а) ДЗ; 0); К (6; 0); т : п = 1 : 2;
б) Д2; 0); К (6; 0); т : п = 1 : 3;
в) Д7; 0); К (12; 0); т : п = 1 : 4;
г) /4(2; 0); 5 (4; 0); да : и = 1 : 5;
д) Д4; 0); 5 (10,5; 0); да : и = 1 : 7.
4.1.27. В треугольнике АВС точка К делит сторону АС в отношении АК : КС = т : п. Найти длину медианы, проведенной из вершины В, если:
а) Д-3; 1; 0); 5(2; -5; 1); Д-1,5; 1; 2); да : и = 1 : 3;
б) Д9; 2; 7); 5(5; -3; 0); Д-1; -3; -3); т : и = 5 : 1;
в) Д-3; 1; 0); 5(-4; 0; 1); Д-1; 3; -4); да : п = 1 : 2;
г) /4(6; 0; 2); 5(3; -1; -7); Д-2; 8; 2); да : п = 4 : 1;
д) Д-11; 9; -3); 5(6; 0; -7); Д-9; 7; -1); /и : « = 1 : 6.
4.1.28. В параллелограмме с последовательными вершинами А, В, С и D точка М делит сторону ВС так, что ВМ : МС = т : п. Найти длину диагонали BD, если:
а) А(0; 2;-12);В(2; 0;-7); М(3; 1;-5); т :п= 1:3;
б) Л(9; 7; -4); 5(5; 2; 0); М(0; -3; 5); т : п = 5 : 1;
в) Л(1;7;-3);Я(0;3;-1); M(l;4; 1);да:и=1 :2;
г) А(-5; 1; 0); В(-2; 0; 4); М(2; 4; 0); т : и = 4 : 1;
д) Л(8;-1;4);Я(3;2;0); М(2; 1; 1); да : л = 1 : 6.
4.1.29. Точки А, В, С и D — последовательные вершины паралле-лограмма ABCD. Найти длину диагонали параллелограмма А С, если:
а) lB + 2DA = {l\2--l} И 15 + 2ВА = {- 5;-4;8};
б) ЗАВ -= {l0;4;15} и 3~AD-~BA = {-2;20;2l};
в) АВ - 2DA - {- 7;4;4} и AD - 2ВА = {-11;2;5};
г) ЗАВ + = {8;0;13} и 3AD + BA = {0;-8;l};
д) ~AB + ADA = {l;—22;—16} и AD + 4ВА = {- 4;-2;4}.
4.1.30. Точки А,ВяС лежат на одной прямой. Найти длину отрезка АС, если:
а) Л(5;т;0);В(9;-2;4); C(7;-3;z);
б) А(-2;у; -1); В(-6; 19; -19); С(0; 1; z);
в) А(0; у; 8); 5(4; 18; 14); С(-2; 0; z);
г) А(7;у; 3); 5(21; -17; И); C(0;-5;z);
д) Ж6;у;2);5(-2;8;0); C(2;0;z).
4.1.31. Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют условиям:
а) х > 0; у < 5; у > 2х - 1; у < 2х + 4;
б) х < 0; у < 8; у < -Зх + 2; у > ~3х - 1;
в) у > 0; х > -1;у > -2х + 6; .у < -2х + 10;
г) у < 0; х < 1; у < -Зх - 6; у > -Зх - 12;
4.3.1. а) Найти точку максимума функции у = sin3 х • sin3x, принад-лежащую промежутку 30° <х < 100° ;
б) Найти точку минимума функции у = cos7 х • cos7x , принадлежащую промежутку 10° < х < 50° ;
в) Найти точку максимума функции у = sin5 х ■ cos5x, принадлежащую промежутку -10° < х < 60° ;
г) Найти точку максимума функции у = cos5x-sin5;t, принадлежащую промежутку 40° < х < 90° ;
д) Найти точку минимума функции у = cos3 х ■ sin3x, принадлежащую промежутку 30° <х< 90°.
4.3.2. а) Найти точку минимума функции у = х2 + |3х - б|;
б) Найти точку максимума функции у = \4х - 9| - х2;
в) Найти точку минимума функции у = х2 - |2яг - 8|;
г) Найти точку максимума функции у = -х2 -15х -161;
д) Найти точку минимума функции у = х1 -|4х-10|;
4.3.3. а) Найти наибольшее значение функции у = 15 sin 2х +16 cos2 х + 3;
б) Найти наименьшее значение функции у = 12sin2x-10cos2x + 4;
в) Найти наибольшее значение функции y = cos2 JC — 4sin JC на интервале [тг,2л:];
г) Найти наибольшее значение функции у = 8sinjc + cos2jc на интервале [2л;3л;];
д) Найти наименьшее значение функции у = sin2x + 3cosx на
к 3 л
2 2
4.3.4. а) В равнобедренный треугольник с основанием b = 10 см и боковой стороной а = 13 см вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на основании треу
гольника, а две другие — на боковых сторонах треугольника. Найти периметр прямоугольника.
б) В прямоугольную трапецию с основаниями я = 3смий = 8см и высотой h = 2 см вписан параллелограмм наибольшей площади так, что две его вершины лежат на большем основании трапеции, а две другие — на ее боковых сторонах. Найти площадь параллелограмма.
в) В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС= 16 см и боковыми сторонами АВ = ВС = 10 см вписан треугольник наибольшей площади KMN так, что его вершина К совпадает с серединой Л С, а сторона MN параллельна А С. Найти площадь треугольника KMN.
г) В равнобедренную трапецию с основаниями а - 3 см, й = 8 см и высотой h = 4 см вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на большем основании трапеции, а две другие — на ее боковых сторонах. Найти периметр прямоугольника.
д) В равнобедренный треугольник с основанием й = 6 см и боковой стороной а = 5 см вписан параллелограмм наи-большей площади так, что две его вершины лежат на ос-новании треугольника, а две другие — на боковых сторонах треугольника. Найти площадь параллелограмма.
4.3.5. а) Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет фиксированную длину I и наклонено к плоскости основания пирамиды под углом а. При каком значении tg2a объем пирамиды является наибольшим?
б) Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды имеет фиксированную площадь S и образует с плоскостью основания пирамиды угол а. При каком значении tg2a объем пирамиды является наибольшим?
в) В правильную четырехугольную пирамиду с ребром осно-вания а = 2 см и высотой Н = 4 см вписана правильная четырехугольная призма так, что ее нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды, а вершины верхнего основания лежат на боковых ребрах пирамиды. Найти высоту призмы, имеющей наибольшую из возможных боковую поверхность.
г) В конусе образующая имеет фиксированную длину I и образует с плоскостью основания угол а. В конус вписана правильная шестиугольная призма так, что ее основание лежит в плоскости основания конуса, а все ребра имеют одинаковую длину. При каком значении угла а боковая поверхность призмы является наибольшей из возможных?
д) В правильной треугольной пирамиде боковая грань имеет фиксированную площадь S и образует с плоскостью основания пирамиды угол а. При каком значении tg2a расстояние от центра основания пирамиды до ее боковой грани является наибольшим из возможных?
4.3.6. В четырехугольнике ABCD АВ = ВС = a, CD = DA = 6. Найти угол АВС, при котором площадь четырехугольника является наибольшей из возможных.
а) а - 3 см, 6 = 6 см. Указать в ответе sin ZABC;
б) а = 1 см, 6 = 3 см. Указать в ответе cos ZABC;
в) а = 7 см, 6 = 3,5 см. Указать в ответе sin ZABC;
г) а = 4 см, 6 = 8 см. Указать в ответе cos ZABC;
4.3.7. В сферу радиуса R вписан цилиндр с радиусом основания г, высотой Н, площадью боковой поверхности 56ок и о&ьемом V.
а) Найти значение г, при котором V будет наибольшим, если R = 2л/б см;
б) Найти значение Я, при котором 56ок будет наибольшей, если R = 5у[2 см;
в) Найти значение г, при котором произведение V ■ г будет наибольшим, если Л = 2>/Зсм;
г) Найти значение Я, при котором произведение ■ V будет наибольшим, если R = л/То см;
д) Найти значение г, при котором произведение 5'бок • г будет наибольшим, если R = л/б см.

 

Категория: Математика | Добавил: Админ (01.02.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar