Тема №5913 Ответы к задачам по математике Дрозина (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по математике Дрозина (Часть 1) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по математике Дрозина (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

ПЯТЫЙ КЛАСС
АРИФМЕТИКА
1. Полторы курицы за полтора дня снесли полтора яйца.
Сколько яиц снесут 6 кур за 6 дней? [39]
2. Покажите, что если использовать гири весом 1 г, 2 г, 4 г
и 8 г (по одной каждую), то можно взвесить на чашечных весах
любой груз весом от 1 г до 15 г (гири разрешается ставить на
одну чашку весов).
3. Покажите, что если использовать гири весом 1 г, 3 г и
9 г (по одной каждую), то можно взвесить на чашечных весах
любой груз весом от 1 г до 13 г (гири можно ставить на обе
чашки весов).
Методы устного счета
4. Вычислите устно: а) 102-7; 99-3; 97-5; б) 352; 752; 1052;
в) 65:5; 135:5; 360:5; г) 175:25; 650:25.
Пятый класс юз
5. Вычислите суммы:
а) 1 + 2 + 3 + .. .+ 19 + 20; б) 2 + 4 + 6 + ...+ 1 8 +20.
6. На сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше
суммы всех нечетных чисел этой сотни? [23]
Признаки делимости
7. Петя купил три одинаковые шариковые ручки, шесть ка­
рандашей, 12 тетрадей и пирожок за 5 руб. 40 коп. Ему выбили
чек на сумму 61 руб. 70 коп., и он сразу указал на ошибку. Как
он догадался?
8. Хулиганы Вася и Петя порвали стенгазету, причем Петя рвал
каждый кусок на 5 частей, а Вася на 7. При попытке собрать стен­
газету нашли 2006 обрывков. Докажите, что нашли не все обрывки. [39]
9*. На доске написано: 645*7235. Замените звездочку циф- 191
рой так, чтобы получившееся число делилось на 3. Сколько
решений имеет эта задача?
10. На доске написано: 645*7235. Замените звездочку циф­
рой так, чтобы получившееся число делилось на 9.
11. На доске написано: 23456789*. Замените звездочку циф­
рой так, чтобы получившееся число делилось на 6.
12. Найдите самое маленькое четырехзначное (пятизначное,
шестизначное) число, делящееся на 9 без остатка.
Числовые неравенства и оценки
13. Дама сдавала в багаж рюкзак, чемодан, саквояж, кор­
зину. Чемодан весил больше, чем рюкзак. Саквояж и рюкзак
вместе весят больше, чем две остальные вещи, а корзина и
саквояж вместе весят столько же, сколько чемодан и рюкзак.
Какая из этих вещей самая тяжелая, а какая самая легкая? [84]
14. Грузовик проезжает некоторое расстояние за 10 ч. Если
бы он проезжал в час на 10 км больше, то ему потребовалось
бы на тот же путь 8 ч. Найти скорость грузовика.
Дроби
15. Изменится ли частное и остаток, если делимое и дели­
тель увеличить в три раза? [39]
16. Как 7 яблок разделить на 12 человек поровну, если
разрешается каждое яблоко разрезать на равные части, каждая
из которых не более четверти?
17. Как от шнура длиной в 2/3 метра отрезать 1/2 метра, не
имея под руками измерительных инструментов? А если длина
шнура равна 4/7 метра?
104 5. Систематизация нестандартных задач
ГЕОМЕТРИЯ
Рис. 6
18. Как без помощи линейки узнать, является ли данный
лист бумаги с прямолинейными границами квадратом? [23]
19. Нарисуйте ломаную, состоящую из четырех отрез-
' * ков, которая проходила бы через все 9 точек, изображен-
» • ных на рис. 6. [23]
20. Придумайте, как из шести спичек составить четы­
ре одинаковых треугольника (ломать спички нельзя).
21. На какое наибольшее количество частей делят
плоскость четыре прямые? Пять прямых? При каком вза­
имном расположении прямых количество частей, на которые
они разбивают плоскость, получится не наибольшим?
22. Составьте из 12 спичек 6 одинаковых
квадратов (спички не ломать!).
23. Составьте из 12 спичек 8 одинаковых
треугольников и квадрат.
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
Задачи на разрезание, перекладывание
и построение фигур
24. Разрежьте фигуру, изображенную на
рис. 7, на шесть одинаковых частей. Сколько
существует способов разрезания?
25. Разрежьте квадрат: а) на 6 квадратов;
б) на 7 квадратов; в) на 8 квадратов. Квадраты
могут быть неодинаковыми.
26. Разрежьте фигуру, изображенную на
рис. 8, на две равные части и сложите из них
квадрат.
27. Разрежьте правильный треугольник на
три равных трапеции (Треугольник называет­
ся правильным, если все его стороны равны.
Четырехугольник называется трапецией, если
две его стороны параллельны, а две другие —
нет.)
Вычисление площадей фигур
разбиением на части и дополнением
28. Найдите площади фигур, изображен­
ных на рис. 9 (сторона клеточки равна еди­
нице).
Пятый класс 105
ЛОГИКА
29. Семь мышей (среди них одна белая) расположены по
окружности. Кот, двигаясь по этой окружности, съедает каж­
дую десятую мышь. С какой мыши он должен начать, чтобы
последней съесть белую мышь?
30. Лодка может взять на борт или двух мальчиков, или
одного взрослого. Может ли с помощью этих мальчиков на
другой берег реки переправиться рота солдат?
31. Алеша, Боря и Вася решили купить по тетрадке, но
каждому не хватило денег: Алеше — 2 копейки, Боре — 5 копеек,
а Васе еще больше. Ребята сложили все деньги, но им опять не
хватило даже на одну тетрадь. Сколько стоила эта тетрадь?
Логические таблицы («лжецы» и «правдивые»)
32. Четыре ученицы: Мария, Нина, Ольга, Поля ходили на
соревнования и заняли первые четыре места. На вопрос, кто из
них какое место занял, три девушки ответили: Ольга была вто­
рая, Поля —третья; Ольга была первая, Нина —вторая; Мария
была вторая, Поля — четвертая. В каждом из этих трех ответов
одна часть верна, другая неверна. Какое место заняла каждая
из четырех учениц? [84]
33. В стране три города — А, Б и В. Жители города А всегда
говорят правду, города Б —лгут, а города В строго поперемен­
но лгут и говорят правду. Дежурному на каланче позвонили.
Состоялся такой диалог:
— У нас пожар!
— Где горит?
— В городе В.
Куда ехать пожарным? [23]
34. До царя Гороха дошла молва, что кто-то из троих бога­
тырей убил Змея Горыныча. Царь приказал всем троим явиться
ко двору, и вот что они говорили. Илья Муромец: «Змея убил
Добрыня Никитич». Добрыня Никитич: «Змея убил Алеша По­
пович». Алеша Попович: «Я убил Змея».
При этом известно, что один из них сказал правду, а двое
слукавили. Кто убил Змея? [23]
35. Иванов, Петров и Сидоров преподают математику, фи­
зику и химию в колледже, лицее и гимназии, причем Иванов
не в лицее, Петров не в колледже. Учитель в лицее препо­
дает не физику, Петров —не математику, учитель колледжа —
106 5. Систематизация нестандартных задач
химию. Какой предмет и в каком учебном заведении преподает
каждый из них?
36. Три девочки со своими отцами переправляются на дру­
гой берег реки, причем каждая девочка в лодке или на берегу
не остается с чужим отцом, если рядом нет своего отца. Как им
переправиться, если лодка вмещает только двух человек (любая
девочка сама может переправиться в лодке на другой берег)?
Переливания
37. Как погрузить 21 бочку, из которых 7 полны кваса,
7 пусты, а 7 наполнены ровно на половину, на три грузовика
так, чтобы на всех грузовиках было поровну бочек и кваса? [23]
38. Имеется кран, из которого можно набирать достаточно
много воды, и раковина, чтобы сливать лишнюю воду. Можно
ли набрать из крана 2 литра воды:
а) с помощью 7-литровой банки и 11-литровой банки;
б) с помощью 6-литровой банки и 9-литровой банки? [23]
39. Соедините три резиновых кольца так, чтобы они не
разъединялись, но при разрезании любого из них разъединялись
все три. [23]
Взвешивания
40. Имеется 5 кошельков. В каждом из них по 20 монет. В
одном кошельке только фальшивые монеты, в других —толь­
ко настоящие. Как, не зная веса монет, с помощью одного
взвешивания на весах с гирями найти кошелек с фальшивыми
монетами, если фальшивая монета на 1 г легче настоящей? [84]
41. 25 шаров имеют одинаковый внешний вид, но один из
них несколько отличается по весу от остальных. Как определить
при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь,
легче он или тяжелее других? [84]
42. Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая
(отличается по весу). Как с помощью весов с двумя чашками
без гирь выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета? (На­
ходить ее не требуется.) Какое наименьшее число взвешиваний
понадобится? [39]
43. В трех коробках лежат шары: в одной —два белых, в
другой — два черных, в третьей — белый и черный. На коробках
наклеены этикетки ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждой
из коробок не соответствует этикетке. Как, вынув один шар,
узнать, в какой коробке что лежит? [23]
Пятый класс 107
44. Из трех одинаковых на вид монет одна легче других (эта
монета фальшивая). Найти ее, используя только одно взвеши­
вание на чашечных весах (без циферблата и без гирь). Решите
эту задачу, если монет 9, а взвешиваний 2.
45. Объясните, как тремя взвешиваниями на чашечных весах
(без гирь) из восьми монет определить единственную монету
фальшивую, если все подлинные монеты весят одинаково, а
фальшивая легче остальных.
Решения «с конца»
46. Однажды царь наградил крестьянина яблоком из своего
сада. Пришел крестьянин и видит: сад огорожен тремя забора­
ми, в каждом заборе ворота. Подошел крестьянин к первому
сторожу и показал царский указ, а сторож ему в ответ: «Иди
возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что
несешь, и еще одно». То же сказали ему второй и третий
сторож. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после
расплаты со сторожами у него осталось одно яблоко? [39]
47. Найдите число, если после прибавления к нему числа 3,
умножения результата на 2, затем прибавления 2, умножения
на 3, деления на 2, сложения с 5 и умножения полученной
суммы на 5 в результате получается 100.
Популярные и классические логические задачи
48. Нечетные числа от 1 до 49 выписаны в виде таблицы:
1 3 5 7 9
и 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49
Выбираются 5 чисел, никакие два из которых не стоят в одной
строке или в одном столбце. Чему равна их сумма? [84]
49. На озере расцвела одна лилия. Каждый день число цвет­
ков удваивалось, и на 20-й день все озеро покрылось цветами.
На который день покрылась цветами половина озера? [39]
50*. Жестокое племя дикарей-людоедов поймало Робинзона 207
Крузо. Вождь племени сказал Робинзону: «Мы с радостью от­
пустим тебя домой, но по законам нашего племени ты должен
108 5. Систематизация нестандартных задач
сначала сказать какое-нибудь утверждение. И если оно окажет­
ся правдивым, мы съедим тебя; если же оно окажется ложным,
тебя съест наш ручной лев». Что может сказать Робинзон Крузо,
чтобы дикари вынуждены были отпустить его? [23]
51. Ира, Таня, Коля и Андрей собирали грибы. Таня собрала
больше всех, Ира —не меньше всех. Верно ли, что девочки
собрали грибов больше, чем мальчики? [23]
52. Как от куска шнура в 8/15 метра отрезать полметра, не
имея под руками метра?
53. После семи стирок длина, ширина и высота куска мы­
ла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося
куска? [23]
54. Школьники Вадик и Саша увидели весы и взвесили на
них свои портфели. Весы показали 3 кг и 2 кг. Когда они
поставили на весы оба портфеля, весы показали 6 кг.
— Как же так? — воскликнул Вадик. — Два плюс три не рав­
няется шести?
— Разве ты не видишь? — ответил Саша. — У весов сдвинута
стрелка.
Так сколько же весили портфели на самом деле? [23]
55. Улитка за день проползает три метра вверх, а за ночь
съезжает на два метра вниз. За сколько дней она доберется до
вершины шеста в 20 метров? [23]
56. Николай с сыном и Петр с сыном были на рыбалке.
Николай поймал столько же рыб, сколько его сын, а Петр —
втрое больше, чем его сын. Всего было поймано 25 рыб. Как
зовут отца Николая?
ШЕСТОЙ КЛАСС
АРИФМЕТИКА
57. 50 теннисистов играют по олимпийской системе (про­
игравший выбывает). За какое количество встреч можно опре­
делить победителя? [39]
58. Расставьте числа 1, 2, ..., 9 в таблице 3 x 3 так, чтобы
получился «магический квадрат» (сумма трех чисел в любой
строке, любом столбце и на диагоналях одна и та же). Как
найти эту сумму заранее, не расставляя чисел? [39]
59. Какого веса должны быть четыре гири, чтобы с их помо­
щью можно было бы взвесить на чашечных весах груз, весящий
Шестой класс 109
любое целое число граммов от 1 г до 40 г (гири можно ставить
на обе чашки весов)?
60. В каком-то месяце было вторников 5, а пятниц —4.
Каким днем было тринадцатое число этого месяца?
Методы устного счета
61. Вычислить устно: а) 353535-43043043-434343-35035035;
б) 2006-7-11-13-2006000 в) 14-16; 19-21; 28-32; 49-51; 12-18;
16-24.
62. Найдите способ быстрого вычисления суммы:
а) 1 +2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 4096; б) 3 + 8+13 +18+ .. . + 98.
Признаки делимости
63. Заменить звездочки цифрами в записи числа: 23*794*,
если известно, что число должно делиться на 45.
64. Какие две цифры надо поставить на место звездочек,
чтобы пятизначное число 517** делилось на 6, 7 и 9? [23]
65. Петя перемножил все числа от 1 до 1000. У полученного
числа он вычислил сумму цифр. У получившегося числа вновь
вычислил сумму цифр и т. д. В конце концов у Пети получилось
однозначное число. Найдите его. [23]
66. В числе переставили цифры и получили число, которое
в 3 раза меньше исходного. Докажите, что исходное число
делилось на 27. [23]
Числовые ребусы
67. Решите ребус:
УДАР
+ УД А Р
ДРАКА
(одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разны­
ми буквами — разные). [39]
68. Расшифруйте запись (НЕ)2 = SHE (разным буквам соот­
ветствуют разные цифры, и наоборот).
69. Восстановите запись:
х
* *
* *
+
* * *
* *
* * * 1
110 5. Систематизация нестандартных задач
Делимость и остатки. Последняя цифра степени
192 70*. а) Некоторое число делится на 2 и на 3. Обязательно
ли оно делится на 6?
б) Некоторое число делится на 4 и на 6. Обязательно ли оно
делится на 24?
в) Докажите, что число N 3 - N делится на 3 при любом
натуральном N. [23]
196 71*. Сколькими нулями оканчивается число 1 - 2 * 3 - 4 -...
_ ... • 98 • 99 • 100?
193 72*. На какую цифру оканчивается число 21993? [23]
73. Докажите, что произведение любых пяти последователь­
ных чисел делится на 120. [23]
74. На поле чудес растут деревья с золотыми монетами (на
разных деревьях может быть разное число монет). Каждую ночь
на каждом дереве вырастает по одной новой монете. 1 марта
на деревьях было всего 1000 монет. В один из дней Буратино
посадил еще одно дерево, и 31 марта на деревьях оказалось
всего 2005 монет. В какой день Буратино посадил дерево? [23]
75. Найдите остатки от деления на 10 чисел 3333 и 7777.
76. Какой цифрой оканчивается число 731?
77. На какую цифру оканчивается число 20072006?
Проценты
78. По кольцевой линии метро курсируют 24 поезда. Они
идут в одном направлении с одинаковыми скоростями и рав­
ными интервалами. Сколько поездов надо добавить, чтобы при
той же скорости уменьшить интервалы на 20%? [39]
79. Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но эколо­
ги запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил,
сказав: «В вашем лесу 99% сосен. Мы будем рубить только
сосны. После рубки их останется 98% от всех деревьев». Какую
часть леса вырубит леспромхоз? [39]
Десятичная система счисления
80. Сумма цифр двузначного числа равна семи. Если из
этого числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в
обратном порядке, то получится 27. Найдите такое число.
81. В четырехзначном числе поменяли местами первую и
последнюю цифры, а затем нашли разность исходного и полу­
ченного числа. Докажите, что эта разность делится на 37 без
остатка.
Шестой класс in
82. Сумма всех различных трехзначных чисел, составленных
из одних и тех же трех различных нечетных цифр, равна 4662.
Найдите эти трехзначные числа.
83. Два двузначных простых числа получаются друг из друга
перестановкой цифр, а их разность — полный квадрат. Какие
это числа?
Числовые неравенства и оценки
84. Может ли быть в одном месяце пять воскресений и пять
сред? А пять воскресений и пять вторников?
85. Девять одинаковых книг стоят 11 рублей с копейками,
а 13 таких книг стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит
одна книга? [23]
86. Какое наименьшее число участников может быть в ма­
тематическом кружке, если известно, что девочек в нем меньше
50%, но больше 40%? [23]
87. Что больше: 2006/2007 или 2007/2008?
88. Что больше: 230 или З20?
Арифметические конструкции
89. Можно ли выписать в строчку 25 чисел так, чтобы сумма
любых трех соседних чисел была положительной, а сумма всех
чисел — отрицательной? [23]
90. Имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут.
Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи
имеющихся часов? [23]
91. Число учеников в вашем школьном классе умножьте на
4, к результату прибавьте 7, полученное число умножьте на 25,
прибавьте к полученному произведению 125 и число вашего
дня рождения. Скажите, что у вас получилось, и я тут же
назову количество учеников в вашем классе и число вашего
дня рождения. Как я все это узнаю? [23]
ГЕОМЕТРИЯ
92. В Эрмитаже есть две лестницы. Высота первой 13 м, а ее
длина (по горизонтали) — 20 м; у второй, соответственно, 11 м
и 22 м. Обе лестницы покрыты ковровыми дорожками. Какая
из дорожек длиннее, если на первой лестнице ступенек вдвое
меньше, чем на второй? [39]
93. Незнайка умеет откладывать углы в 19°. Как ему отло­
жить угол в 1°? [23]
112 5. Систематизация нестандартных задач
94. Даны несколько кирпичей и линейка. Как измерить диа­
гональ кирпича? [23]
95. Гулливер был в 12 раз выше среднего лилипута. Во
сколько раз он был тяжелее?
96. Пусть А(п) — наибольшее число частей, на которые плос­
кость делится п прямыми. Например, А( 1) = 2, /4(3) = 7. Найдите
А(4), Л(5), /4(6). Попытайтесь установить правило, по которому
можно было бы такие числа вычислять одно за другим.
97. Круглый мяч объемом 1 л в результате подкачивания
увеличил свой диаметр в полтора раза. На сколько литров
увеличился объем мяча?
Задачи на разрезание, перекладывание и построение фигур
98. Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы у
соседних прямоугольников стороны не совпадали. [39]
99. а) Разбейте какой-нибудь треугольник на три одинако­
вых треугольника.
б) Разбейте какой-нибудь треугольник на четыре одинаковых
треугольника.
в) Можно ли разбить какой-нибудь треугольник на пять
одинаковых треугольников? [23]
100. Разрежьте треугольник по прямой так, чтобы после раз­
резания треугольника и перекладывания его частей получился
параллелограмм.
101. Разбейте какой-нибудь треугольник на три одинаковые
трапеции.
Задачи на построение с идеей симметрии
102. Петя живет на берегу теплого моря. Каждое утро по
дороге в школу он купается в море. В каком месте берега
Петя это делает, зная, что времени у него немного, и поэтому
маршрут от дома до школы должен быть как можно короче?
(Изобразите искомую точку береговой линии на рисунке.)
Неравенство треугольника
103. Расстояние от города А до города В (по воздуху) равно
30 км, от В до С —80 км, от С до D — 236 км, от D до Е —
86 км, от Е до А — 40 км. Найти расстояние от Е до С. [84]
104. Дома Винни-Пуха, Пятачка, Кролика и Совы распо­
ложены на окружности. Где нужно устроить дом ослику Иа,
чтобы сумма расстояний от него до домов остальных была
наименьшей? [23]
Шестой класс из
105. Расстояние от пункта А до пункта Б —
3,2 км, от Б до В — 1,4 км, от В до Г — 6,2 км, от Г
до А — 1,6 км. Найти расстояние от Б до Г.
106. Указать кратчайший путь муравья, ползуще­
го по поверхности куба от вершины А до проти­
воположной вершины В (рис. 10). Сколько таких
маршрутов?
ЛОГИКА
Логические таблицы («лжецы» и «правдивые»)
107. Четыре девочки со своими отцами переправляются на
другой берег реки, причем каждая девочка в лодке или на берегу
не остается с чужим отцом, если рядом нет своего отца. На реке
есть остров, куда можно высаживаться. Как им переправиться,
если лодка вмещает только двух человек (любая девочка сама
может переправиться в лодке на другой берег)?
108. Команды А, Б, В, Г и Д участвовали в эстафете. До
соревнований пять болельщиков высказали свои прогнозы:
1. Команда Д займет 1-е место, команда В —2-е.
2. Команда А займет 2-е место, команда Г -4 -е .
3. Команда В займет 3-е место, команда Д — 5-е.
4. Команда В займет 1-е место, команда Г -4 - е .
5. Команда А займет 3-е место, команда В — 3-е.
Оказалось, что в каждом прогнозе подтвердилась только одна
часть. Вторая часть каждого прогноза оказалась неверной. Какое
место заняла каждая команда?
Переливания
109. Есть песочные часы на 4 и 13 минут. Как сварить яйцо
за 5 минут? За 6 минут?
110. Есть ведра на 9 и 13 литров. Как набрать из реки
8 литров воды? Можно ли это сделать, если ведра имеют объем
9 и 12 литров?
Взвешивания
111. Число х натуральное. Из утверждений 2х > 70, х < 100,
Зх > 25, х > 10 и х > 5 три верных и два неверных. Чему равно
х? [23]
112. Четырьмя взвешиваниями на чашечных весах без гирь
найдите среди 80 монет фальшивую, более легкую монету.
Рис. 10
114 5. Систематизация нестандартных задач
Популярные и классические логические задачи
113. На школьной викторине было предложено 20 вопросов.
За каждый правильный ответ участнику начислялось 12 очков,
а за неправильный списывалось 10 очков. Сколько правильных
ответов дал один из участников, если оказалось, что он набрал
86 очков? [84]
114. Летит над дремучим лесом стая сороконожек и трех­
головых драконов. У них всего 26 голов и 298 ног. У каждой
сороконожки ровно одна голова. Сколько ног у трехголового
дракона? [23]
115. Николай с сыном и Петр с сыном были на рыбалке.
Николай поймал столько же рыб, сколько и его сын, а Петр —
втрое больше, чем его сын. Всего было поймано 25 рыб. Как
зовут сына Петра? [23]
116. Дрожжевые грибки при благоприятных условиях раз­
множаются с большой скоростью, увеличиваясь в объеме в два
раза за каждую минуту. В колбу поместили один гриб, который
заполнил ее за 30 минут. За сколько минут заполнят колбу
помещенные в нее два гриба? [23]
117. В парламенте некоторой страны 100 депутатов. По
крайней мере один из них честен. В каждой паре депутатов
хотя бы один продажен. Сколько всего честных депутатов? [23]
118. У царя Гвццона было 5 сыновей. Из остальных его потом­
ков 100 имели каждый ровно по три сына, а остальные умерли
бездетными. Сколько было потомков у царя Гвидона? [23]
119. Три путника на привале решили пообедать. У одного
путника было две лепешки, у второго — три, и они поделились
едой с третьим, который заплатил за это пять монет. Как
по справедливости должны поделить эти деньги между собой
первые двое?
Принцип Дирихле
1) принцип переполнения и незаполнения
120. Можно ли в клетках квадратной таблицы 5x5 расста­
вить числа +1, -1 и 0 так, чтобы все суммы (в каждом столбце,
в каждой строке и на каждой из двух диагоналей) были различ­
ны? [84]
121. За круглым столом сидит 100 человек, причем 51 из
них —мужчины, 49 —женщины. Доказать', что найдутся двое
мужчин, сидящих друг против друга.
Шестой класс 115
122. В шестом классе 21 - ученик. За две контрольные ра­
боты—по математике и физике —никто не получил меньше
четверки. Докажите, что по крайней мере 6 человек получили
одинаковые оценки.
123. В школе 370 учеников. Найдутся ли в этой школе хотя
бы два ученика, у которых день рождения приходится на одну
и ту же дату календаря? Почему?
2) доказательство от противного
124. Десять участников математического боя решили 35 за­
дач, причем кто-то решил одну, кто-то две и кто-то три задачи,
Докажите, что хотя бы один участник решил не менее пяти
задач.
125*. В коробке есть карандаши разной длины и есть каран- 208
даши разного цвета. Докажите, что среди них найдутся 2 ка­
рандаша, которые отличаются и по цвету, и по длине. [23]
126. В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зеленый.
Какое наименьшее число шаров надо вытащить (наугад), чтобы
точно достать два шара одного цвета? [23]
127. В мешке лежат шары: 5 красных, 3 зеленых и 6 белых.
Какое наименьшее число шаров надо вытащить (наугад) из
мешка, чтобы нашлись шары всех цветов?
128. В шестом классе, где учится 21 ученик, во время дик­
танта один ученик сделал 10 ошибок, а все остальные — меньше.
Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали одинаковое
количество ошибок.
129. В шахматном турнире каждый из десяти участников
должен сыграть с каждым другим одну партию (т. е. турнир
проводится в один круг). Докажите, что в любой момент во
время турнира найдутся два участника, сыгравшие одинаковое
количество партий.
3) конструирование «ящиков»
130*. Петя хочет написать на доске 55 различных двухзнач- 209
ных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в
сумме 100. Сможет ли он это сделать?[23]
131*. Плоскость раскрашена в 2 цвета. Докажите, что най- 209
дутся 2 точки на расстоянии 1 метр друг от друга, окрашенные
в одинаковый цвет. [23]
132. В классе 25 учеников. За три контрольные работы — по
математике, физике и программированию — никто не получил
116 5. Систематизация нестандартных задач
меньше четверки. Докажите, что найдутся 4 одноклассника или
больше, получившие одинаковые оценки.
133. В пятом классе, где учатся 17 учеников, и никто нико­
гда не получает оценки ниже четверки, прошли самостоятель­
ные работы по математике, английскому языку и истории, а
также диктант. Доказать, что найдутся 2 ученика, получившие
совершенно одинаковые наборы оценок.
Раскраски
1) шахматная раскраска
134. Можно ли квадрат 5x5 разрезать на прямоугольники
1x2 (доминошки)? [56]
135. Из шахматной доски 8x8 вырезаны противоположные
угловые клетки. Можно ли оставшуюся часть доски разрезать
на прямоугольники 1x2 (доминошки)? [56]
136. Из противоположных углов доски 10 х 10 вырезаны два
квадрата 3x3. Можно ли остаток разрезать на доминошки? [56]
2Ю 137*. Фигура «верблюд» ходит по доске 10 х 10 ходом типа
(1,3), т. е. она сдвигается сначала на соседнее поле, а затем
сдвигается еще на три поля в перпендикулярном направлении;
конь, например, ходит ходом типа (1,2). Можно ли пройти
ходом «верблюда» с какого-то исходного поля на соседнее с
ним поле?
138. Из шахматной доски вырезали две противоположные
угловые клетки. Докажите, что оставшуюся фигуру нельзя раз­
резать на доминошки 2 х 1 клеток.
139. Замок барона Мюнхгаузена имеет вид прямоугольника
размером 1993 х 1995 клеток. Каждая клетка, кроме централь­
ной, — комната замка. В центральной клетке находится бассейн.
В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние
комнаты, проделана дверь. Можно ли, не выходя из замка и не
заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой по
одному разу? [23]
2) замощения
140. Из шахматной доски вырезаются две клетки. В каком
случае можно, а в каком нельзя покрыть оставшиеся клетки
фигурами вида ш? [84]
141. Можно ли покрыть шахматную доску размером 8x8
клеток доминошками 2x1 так, чтобы доминошки не перекры­
вались и не вылезали за пределы доски? [23]
Шестой класс 117
142. Тот же вопрос для шахматной доски 8 х 8 с вырезанной
угловой клеткой. [23]
143. Тот же вопрос для шахматной доски 8x8 с вырезан­
ными левой верхней и правой верхней угловыми клетками. [23] __
144*. Тот же вопрос для шахматной доски 8 x 8 с вырезан- 211
ными левой нижней и правой верхней угловыми клетками. [23]
145. Можно ли покрыть шахматную доску 8x8 с вырезан­
ной угловой клеткой: а) полосками 1x3; б) уголками из трех
клеток?
Игры
1) игры-шутки
146. На доске написано 20 минусов и 21 плюс. Каждый из
двух играющих стирает два любых знака и пишет знак плюс,
если стерты одинаковые знаки, и минус —если разные. Если
последний оставшийся знак плюс, то побеждает первый игрок,
если минус, то второй. Кто победит при правильной игре —
начинающий или его противник?
147. Сначала гора состояла из 2006 камней. За один ход
каждый из двух игроков выбрасывает один камень и какую-
нибудь кучу камней делит на две (любые) части. Тот, кто не
сможет сделать очередной ход, проиграл. Может ли второй
игрок найти выигрышную стратегию?
2) выигрышные позиции
148*. Петя и Витя играют в такую игру. На полоске разме- 218
ром 1 х 10 клеток в самой левой клетке стоит фишка. За один
ход разрешается передвинуть фишку на одну, две или три клет­
ки вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первым
ходит Петя. Кто выигрывает при правильной игре? [23]
149. В кучке 10 камней. Двое по очереди берут от одного до
трех камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто
выигрывает при правильной игре? [23]
150. В левом нижнем углу шахматной доски стоит ладья.
Играют двое, делая по очереди ходы ладьей, причем только
вправо или вверх. Выигрывает тот, кто окажется в правом
верхнем углу. Кто победит при правильной игре?
151. Имеется 9 яблок. За один ход каждый из двух играющих
съедает одно или два яблока. Кто победит — съест последнее
яблоко — при правильной стратегии? Изменится ли ответ, если
яблок будет 10, а не 9?
118 5. Систематизация нестандартных задач
3) симметрия и копирование действий противника
152. Двое играют в двойные шахматы: все фигуры ходят
как обычно, но каждый делает по два шахматных хода подряд.
Доказать, что первый может как минимум сделать ничью (т. е.
второй не может иметь выигрышной стратегии). [23]
218 153*. Двое по очереди ломают шоколадку 7x8. За один ход
разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков
вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Кто выигрывает? [23]
154. В двух кучках по 10 камней. За один ход можно взять
произвольное число камней из какой-то одной кучки. Про­
игрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при
правильной игре? А если в данной кучке 10 камней, а в другой
15? [23]
155. Двое играющих ставят по очереди на шахматную доску
слонов, причем можно ставить слона только на свободное, не
битое другими слонами поле. Выигрывает тот, кто поставит
последнего слона. Может ли кто-либо выиграть независимо от
игры противника? Кто и как?
156. В условиях предыдущей задачи пусть поле будет 8x9.
А если поле 9x9?
Четность
1) делимость на 2
157. Можно ли натуральные числа от 1 до 21 разбить на
несколько групп, в каждой из которых наибольшее число равно
сумме всех остальных? [84]
219 158*. Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти
купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей? [1]
159. Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и про­
нумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192.
Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел,
которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990? [1]
160. Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что
их сумма не равна нулю. [1]
161. Можно ли составить магический квадрат из первых 36
простых чисел? [1]
162. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить
между ними знаки «+» и «—» так, чтобы значение полученного
выражения было равно нулю? [1]
Шестой класс 119
163. Можно ли придумать четыре целых числа, сумма и
произведение которых являются нечетными числами? [23]
164. Дана квадратная таблица 4x4, в одной из клеток ко­
торой стоит знак «+», а в остальных — знак «—». За один ход
можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце
на противоположные. Можно ли через несколько ходов полу­
чить таблицу из одних плюсов?
165. Петя и Витя играют в такую игру. На столе лежат
а) 2 монеты; б) 22 монеты. Петя закрывает глаза, а Витя пе­
реворачивает несколько раз эти монеты (по одной), говоря при
каждом переворачивании «Хоп!» (он может переворачивать од­
ну и ту же монету несколько раз). После этого Витя накрывает
одну из монет рукой, а Петя открывает глаза и, взглянув на
стол, сразу отгадывает, как лежит накрытая Витей монета —
орлом вверх или орлом вниз. Как Петя это делает? [23]
2) чередования
166*. На плоскости расположено 11 шестеренок, соединен- ,220
ных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновре­
менно? [1]
167. Конь вышел с поля а1 и через несколько ходов вернулся
на него. Докажите, что он сделал четное число ходов. [1]
168. Может ли конь пройти с поля а1 на поле Ь8, побывав
по дороге на каждом из остальных полей один раз? [1]
169. Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой
11-звенной ломаной, пересекать все ее звенья? [1]
170. Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба со­
седа каждого ребенка — одного пола. Мальчиков среди Катиных
друзей пять. А сколько девочек? [1]
171. Можно ли разложить несколько арбузов а) в 3; б) в 4;
в) в 98; г) в 99 корзин, расставленных по кругу, так, чтобы
в любых двух соседних корзинах число арбузов отличалось на
единицу? [23]
3) парность
172*. Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, 220
такую, что каждое ее звено пересекается ровно с одним из
остальных звеньев? [1]
173. Можно ли доску размером 5x5 заполнить доминошка­
ми размером 1x2? [1]
120 5. Систематизация нестандартных задач
174. Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Дока­
жите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин.
Что можно сказать в случае 10-угольника? [1]
175. Все костяшки домино выложили в цепь. На одном
конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце? [1]
176. Весь комплект домино выложили по правилам игры.
Известно, что первой стоит пятерка. Какая цифра стоит по­
следней? [39]
177. Из старой книги выпали три листа. Вася подсчитал
сумму номеров страниц на этих листах и получил 100. Доказать,
что он ошибся.
АЛГЕБРА
178. Задумать любое число (кроме нуля). Умножить его на
3, к результату прибавить 2, потом поделить на 2, отнять 1,
умножить на 4, прибавить 6, поделить на утроенное первое
задуманное число, отнять 2, умножить на первое задуманное.
У вас получилось 2. Объясните результат.
Разность квадратов
1) устный счет
179. Вычислите устно: 29 -31; 18 -22; 24-26; 13 -17; 17 -19;
97-103.
2) задачи на экстремум
180. Прямоугольный участок огорожен забором длиной
400 м. Какой он должен быть формы и размеров, чтобы иметь
наибольшую площадь?
АНАЛИЗ
Задачи на совместную работу
181. Через первую и вторую трубы бассейн заполняется за
15 мин., через вторую и третью трубы — за 20 мин., через третью
и четвертую трубы —за 30 мин. и, наконец, через первую и
четвертую —за 20 мин.. За какое время заполнится бассейн,
если открыты все 4 трубы?
182. (Старинная задача.) Купец выпивает кадь пития за две
недели, а вместе с купчихою такую же кадь —за 10 дней. За
сколько дней купчиха одна выпьет такую же кадь?
Шестой класс 121
Разные задачи на движете
183. Два поезда движутся навстречу друг другу по параллель­
ным путям, один со скоростью 50 км/ч, другой со скоростью
70 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что
первый поезд шел мимо него в течение 6 секунд. Какова длина
первого поезда? [23]
184. Спортсмен плыл против течения реки. Проплывая под
мостом, он потерял флягу. Через 10 минут пловец заметил
пропажу и повернул обратно. Он догнал флягу у второго моста.
Найти скорость течения реки, если известно, что расстояние
между мостами 1 км. [23]
185. Из разных концов дорожки парка одновременно навстре­
чу друг другу начинают двигаться два пешехода с постоянными, но
разными скоростями и встречаются через 1 минуту. Продолжив
движение, они доходят до конца дорожки и, не останавливаясь,
возвращаются. Через какое время произойдет вторая встреча?
186. Поезд, идущий с постоянной скоростью, проходит мост
за одну минуту, а мимо столба —за 20 с. Вычислите длину
поезда и его скорость, если длина моста 1 км.
187. Поезд, идущий с постоянной скоростью, проходит мост
длиной 1 км за 1 мин. 30 сек., а туннель длиной 1 км 500 м —
за 2 мин. Найдите длину и скорость поезда.
188. Поезд проходит мимо столба за 16 с, а мимо грузовика,
идущего в одном направлении с поездом по параллельной до­
роге, но более медленно, за 80 с. Найти скорость поезда и его
длину, если скорость грузовика равна 20 м/с.
189. Плывя по течению, пароход проходит расстояние от
пристани А до пристани В за 4 часа. Против течения от В до
А ему требуется уже 6 часов. За какое время пароход прошел
бы такое же расстояние в стоячей воде, если его собственная
скорость постоянна?
Суммирование последовательностей
1) арифметическая прогрессия
190. Вычислите суммы:
а) 2 + 4 + 6 + ...+100; б) 1+4 + 7 + ...+100.
2) геометрическая прогрессия со знаменателем 2 и 1/2
191. Вычислите суммы:
а) 1 + 2 + 4 + 8 + ...+ 1024; б) -у + -у + -у + ... +
122 5. Систематизация нестандартных задач
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Булевы операции на множествах
192. Даны множества: А = {0; 1; 2; 3; х; J; Q; Д} и В -{ 1; 3; 7;
х; О; Д; £2; Ч*; оо}. Найдите их объединение А и В и пересечение
А п В.
Формула включений и исключений
193. На конференции 85% делегатов знают английский язык,
75% — испанский. Какая часть делегатов наверняка знает и ан­
глийский, и испанский?
194. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в матема­
тическом кружке, 11 — в биологическом, а 10 ребят не посещают
эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой? [23]
КОМБИНАТОРИКА
Правило произведения и суммы. Факториал
229 195*. Назовем натуральное число «симпатичным», если в его
записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существу­
ет 4-значных «симпатичных» чисел?
196. Монету бросают трижды. Сколько разных последова­
тельностей орлов и решек можно при этом получить? [1]
197. Каждую клетку квадратной таблицы 2 x 2 можно покра­
сить в черный или белый цвет. Сколько существует различных
раскрасок этой таблицы? [1]
198. Сколькими способами можно заполнить одну карточку
в лотерее «Спортпрогноз»? (В этой лотерее нужно предсказать
итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча —
победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет.) [1]
199. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв —
А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоя­
щая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени
Мумбо-Юмбо? У казание: сосчитайте отдельно количества
одно-, двух-, трех- и четырехбуквенных слов. [1]
229 200*. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать
капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно
| сделать? [1]
229 201*. Сколькими способами можно сделать трехцветный
флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если
имеется материя шести различных цветов? [1]
Шестой класс 123
202*. Сколькими способами можно поставить на шахматную 229
доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга? [1]
203*. Сколькими способами можно поставить на шахмат- 229
ную доску белого и черного королей так, чтобы получилась
допустимая правилами игры позиция? [1]
204*. Сколько существует трехзначных чисел, в записи ко- 230
торых цифры 1, 2, 3 встречаются по одному разу? [1] _^
205*. Сколькими способами можно выложить в ряд крас- 230
ный, черный, синий и зеленый шарики? [1] |
206*. Выяснить, сколько различных слов можно получить, 230
переставляя буквы слова «ВЕКТОР». [1]
207. В киоске «Союзпечать» продаются 5 видов конвертов и
4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт с
маркой? [1]
208. Сколько существует двузначных чисел с различными
цифрами? А сколько трехзначных?
209. Сколько всего существует шестизначных чисел, в запи­
си которых нет ни одной единицы?
210. Сколько существует различных способов постановки на
шахматную доску трех ладей: белой, черной и зеленой, чтобы
они не били друг друга?
Правило дополнения
211*. Сколько существует 6-значных чисел, в записи кото- 230
рых есть хотя бы одна четная цифра? [1]
212. В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом яв­
ляется любая последовательность из шести букв, в которой есть
хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени
Бум-Бум? [1]
Правило кратного подсчета
213*. Выясните, сколько различных слов можно получить, 2з!
переставляя буквы слова «ЛИНИЯ». [1]
214*. Выясните, сколько различных слов можно получить, 231
переставляя буквы слова «ПАРАБОЛА». [1]
215*. Выясните, сколько различных слов можно получить, 231
переставляя буквы слова «БИССЕКТРИСА». [1]
216. Выясните, сколько различных слов можно получить,
переставляя буквы слова «МАТЕМАТИКА». [1]
217*. В стране 20 городов, каждые два из которых соединены 231
авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране? [1]
124 5. Систематизация нестандартных задач
232 218*. Сколько диагоналей в выпуклом «-угольнике? [1]
232 219*. Бусы — это кольцо, на которое нанизаны бусины. Бусы
можно поворачивать, но не переворачивать. Сколько различных
с бус можно сделать из 13 разноцветных бусин? [1]
232 220*. Предположим теперь, что бусы можно и переворачи­
вать. Сколько тогда различных бус можно сделать из 13 разно­
цветных бусин? [1]
221. На плоскости проведено 10 прямых. Каково наиболь­
шее количество точек, каждая из которых принадлежит одно­
временно хотя бы двум прямым? Решить задачу, если прямых
не 10, а и.
КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
222. Может ли пересечение каких-нибудь двух четырехуголь­
ников быть: восьмиугольником; девятиугольником; десятиуголь­
ником? Приведите примеры. [84]
223. Длины сторон прямоугольника — натуральные числа, а
периметр и площадь выражаются одним и тем же числом.
Найти все такие прямоугольники. [84]
СЕДЬМОЙ КЛАСС
АРИФМЕТИКА
224. Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их
квадратов быть меньше 0,01? [39]
225. Какое наибольшее число месяцев одного года может
иметь 5 пятниц? В год, когда таких месяцев наибольшее число,
на какой день недели приходится первое января? Рассмотрите
отдельно високосный и невисокосный годы.
Метод подсчета
226. У князя Гвидона было трое сыновей. Среди его потом­
ков 93 имели каждый по 2 сына и ни одной дочери, а все
прочие умерли бездетными. Сколько всего потомков было у
Гвидона? [39]
227. Найдите способ быстрого вычисления суммы:
y+T+i+iV+---+1
512 '
Седьмой класс 125
Признаки делимости на 9 и 11
228. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре
так, чтобы полученное число делилось на 15. [18]
229. Сколько имеется четырехзначных чисел, которые делят­
ся на 45, а две средние цифры у них —97? [18]
230. Петя Иванов придумал новую теорему: если сумма
цифр числа делится на 27, то и само число делится на 27.
Прав ли он? [39]
231. Докажите, что если к произвольному числу с нечетным
количеством цифр приписать его еще раз, то полученное число
разделится на 11.
232. Докажите, что если к произвольному числу приписать
число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке,
то полученное число также разделится на 11. [23]
233. Найдите число, состоящее из одних семерок, которое
делилось бы без остатка на 999.
Числовые ребусы
234. Замените буквы цифрами так, чтобы получилось верное
утверждение:
КНИГА
+ КНИГА
КНИГА
НАУКА
(здесь разные буквы означают разные цифры, одинаковые бук­
вы — одинаковые цифры).
Делимость и остатки. Остатки квадратов
235*. Найдите остаток от деления 6100 на 7. [18] 195
236*. Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. 193
Докажите, что его предпоследняя цифра нечетна. [18]
237. Предпоследняя цифра квадрата натурального числа —
нечетная. Докажите, что его последняя цифра —6. [18]
238. Про семь чисел известно, что сумма любых шести из
них делится на 5. Докажите, что каждое из чисел делится на 5.
[39]
239. В десятичной записи некоторого числа 30 единиц, а
остальные цифры —нули. Может ли это число быть полным
квадратом?
126 5. Систематизация нестандартных задач
240. Может ли быть точным квадратом число, сумма цифр
которого равна 2006? [23]
241. Если треть числа разделить на его семнадцатую часть,
в остатке будет 100. Найдите это число.
Проценты
242. Из стакана кофе в стакан молока перелили одну ложку
кофе и размешали. Затем перелили обратно одну ложку смеси.
Чего больше: кофе в молоке или молока в кофе? [39]
243. После катастрофы нефтяного танкера за одни сутки ра­
диус нефтяного пятна в океане увеличился на 100%. На сколько
процентов увеличилась площадь этого пятна?
244. При накачивании мяча его радиус за какой-то про­
межуток времени увеличился на 100%. На сколько процентов
увеличился объем мяча за это время?
Десятичная система счисления
245. Докажите, что число абабаб делится на 7 (а, б — циф­
ры). [39]
246. Одному из составителей сборника [11] в 1993 году ис­
полнилось столько лет, какова сумма цифр года его рождения.
В каком году он родился? [23]
247. Найти двузначное число, первая цифра которого равна
разности между этим числом и числом, записанным теми же
цифрами, но в обратном порядке. [23]
248. В трехзначном числе зачеркнули первую слева цифру,
затем полученное двухзначное число умножили на 7 и получили
исходное трехзначное число. Найти такое число.
249. В трехзначном числе зачеркнули среднюю цифру и по­
лучили число, в 6 раз меньшее исходного числа. Найдите такое
трехзначное число. [23]
250. Доказать признак делимости на 9: число, записанное в
десятичной системе, делится на 9 тогда и только тогда, когда
сумма его цифр делится на 9.
251. Дано четырехзначное число, у которого вторая и третья
цифры одинаковы, а последняя не равна нулю. Переставим в нем
первую и последнюю цифры и из полученного числа вычтем
данное число. Доказать, что результат будет делиться на 999.
252. Сумма всех различных трехзначных чисел, составлен­
ных из одних и тех же трех различных нечетных цифр, равна
4662. Найти эти трехзначные числа.
Седьмой класс 127
Разложение на простые множители
253. Разложите на простые множители, следующие числа:
1001; 111111; 11111; 10!.
254. а) На сколько нулей оканчивается число 100! ? б) На сколь­
ко нулей оканчивается произведение всех чисел седьмой сотни?
255. Числа р, р + 8 и р + 16 —простые. Найдите все такие р.
Неравенства в арифметике
256. Докажите, что при перемножении трех тысяч двоек
получится число, состоящее не более чем из тысячи цифр. [84]
257. 9 кг соли стоит дешевле 10 рублей, а 10 кг соли —
дороже 11 рублей. Сколько стоит 1 кг соли? [39]
258. На доске было написано 5 чисел. Сложив их попарно,
получили следующие 10 чисел: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15.
Какие числа были написаны?
Недесятичные системы счисления
259. Запишите во всех системах счисления (от двоичной до девя­
теричной) число, имеющее вид 2537 в десятичной системе счисления.
260. В какой системе счисления 3710 запишется как 122 и в
какой как 1101?
261. Какое наименьшее количество гирь и какие надо взять,
чтобы с их помощью можно было бы взвесить на чашечных
весах груз, весящий любое целое число граммов —от 1 г до
1000 г, если а) гири можно ставить только на одну чашку;
б) гири можно ставить на две чашки?
Арифметические конструкции
262. Назовем автобусный билет (с шестизначным номером)
счастливым, если сумма цифр его номера делится на 7. Могут
ли два билета подряд быть счастливыми? [39]
ГЕОМЕТРИЯ
263. Равны ли два треугольника, если они имеют по
три равных угла и по две равные стороны? [39]
264. Дан прямоугольный треугольник. Впишите в
него такой прямоугольник с общим прямым углом
(рис. 11), у которого из всех таких прямоугольников
наименьшая диагональ. [39] Рис. 11
128 5. Систематизация нестандартных задач
265. Каждая сторона одного треугольника больше каждой
стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого
обязательно больше площади второго? [39]
Задачи на перекладывание и построение фигур
266. Разрежьте квадрат на 4 равных шестиугольника, семи­
угольника, восьмиугольника, девятиугольника и т. д.
267. Коврик имеет форму, показанную на рис. 12. Разрезать
этот коврик на две равные части и сложить из них квадрат.
При этом накладывать друг на друга куски
нельзя.
Задачи на построение
с идеей симметрии
268. Дан отрезок АВ и прямая, пересекаю­
щая его. Найдите на прямой такую точку С,
чтобы угол АС В делился- прямой пополам. [39]
Неравенство треугольника. Против большего угла лежит
большая сторона
269. М — внутренняя точка острого угла АОВ. Точка Л/, сим­
метрична точке М относительно прямой ОА, а точка М2 симмет­
рична точке М относительно прямой ОВ. Доказать, что часть
отрезка М{М2, содержащаяся в угле АОВ, меньше половины
длины отрезка МХМ2. [84].
270. В треугольнике АВС проведена высота [AD\ на основа­
ние [ВС]. Известно, что \АС\ > \АВ\. Доказать, что \DC\ - \DB\ >
>\АС\-\АВ\. [84]
271. Доказать, что в треугольнике АВС сумма длин медиан,
проведенных из вершин А и В, больше полутора длин АВ. [84]
272. В выпуклом четырехугольнике найдите точку, для ко­
торой сумма расстояний до вершин минимальна. [39]
273. Докажите, что в любом многоугольнике найдутся две
стороны а и Ъ такие, что 1 < а/Ь < 2. [39]
ЛОГИКА
274. По кругу сидели 10 белых и 10 серых мышей. Двига­
ясь в одном направлении, кот съедал каждую 7 мышь, пока
не осталось 10 белых мышей. В каком порядке располагались
мыши сначала?
1
Рис. 12
Седьмой класс 129
Логические таблицы
275. Несколько команд приняли участие в волейбольном
турнире. Команда А считается сильнее команды В, если А вы­
играла у В, либо если имеется команда С такая, что А выиграла
у С, а С выиграла у В. Доказать, что команда-победительница
сильнее всех других. Примечание: ничьих в волейболе не
бывает. [84]
276. В волейбольном турнире участвовало 12 команд. Ока­
залось, что ни одна из команд не одержала ровно 7 побед.
Доказать, что найдутся такие команды А, В, С, что А выигра­
ла у В, В выиграла у С, a С выиграла у А. Примечание:
ничьих в волейболе нет. [84]
277. В некотором государстве любые два города соединены
воздушным или водным путем. Доказать, что из любого города
в любой из остальных можно попасть воздушным путем или из
любого города в любой из остальных можно попасть водным
путем. [84]
Взвешивания
278. Имеется 4 камня различных весов. Какое наименьшее
количество взвешиваний на чашечных весах (без циферблата
и без гирь) потребуется, чтобы найти самый легкий и самый
тяжелый камень?
279. Имеется восемь камней различного веса. Какое наи­
меньшее число взвешиваний на чашечных весах (без цифер­
блата и без гирь) потребуется, чтобы найти самый легкий и
самый тяжелый камень? Попробуйте получить общую формулу
для наименьшего числа взвешиваний, если камней 2и.
Популярные и классические логические задачи
280. 300 солдат построены в 30 шеренг и 10 рядов. Из каж­
дой шеренги выбрали самого высокого, а из этих тридцати —
самого низкого. Им оказался рядовой Иванов. Потом из каж­
дого ряда выбрали самого низкого, а из этих десяти самого
высокого. Это был рядовой Петров. Кто выше, Петров или
Иванов? [23]
Принцип Дирихле
281. В поселке 1000 жителей. Доказать, что минимум у двух
жителей одинаковые инициалы (т. е. первые буквы имени и
отчества).
130 5. Систематизация нестандартных задач
1) доказательство от противного
282. Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату в
размере 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнито­
фон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется
подождать с покупкой до следующей зарплаты. [1]
208 283*. В бригаде 7 человек, и их суммарный возраст 332 го­
да. Докажите, что из них можно выбрать трех человек, сумма
возрастов которых не меньше 142 лет. [1]
284. Цифры 1, 2, ..., 9 разбили на три группы. Докажите,
что произведение чисел в одной из групп не меньше 72. [1]
2) конструирование «ящиков»
285. В клетках таблицы 3x3 расставлены числа -1 , 0, 1.
Докажите, что какие-то две из 8 сумм по всем строкам, всем
^_ столбцам и двум главным диагоналям будут равны. [1]
208 286*. Сто человек сидят за круглым столом, причем более
половины из них мужчины. Докажите, что двое из мужчин
^_ сидят друг напротив друга. [1]
208 287*. В таблице 10 х 10 расставлены целые числа, причем
любые два числа в соседних клетках отличаются не более, чем
на 5. Докажите, что среди этих чисел есть два равных. [1]
288. На клетчатой плоскости дано 5 произвольных узлов сет­
ки. Докажите, что середина одного из отрезков, соединяющих
какие-либо две из этих точек, также является узлом сетки. [1]
3) с дополнительными ограничениями
289. В карьере заготовлено 200 гранитных плит, 120 из ко­
торых весят по 7 тонн каждая, а остальные — по 9 тонн. На же­
лезнодорожную платформу можно погрузить до 40 тонн. Какое
наименьшее число платформ понадобится для вывозки плит? [84]
290. В футбольном чемпионате участвуют 30 команд. Каж­
дые две команды должны сыграть между собой один матч. До­
казать, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие
к этому моменту одинаковое число матчей. [84]


Категория: Математика | Добавил: Админ (04.04.2016)
Просмотров: | Теги: Дрозина | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar