Тема №5914 Ответы к задачам по математике Дрозина (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по математике Дрозина (Часть 2) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по математике Дрозина (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

291. Делится ли число, записанное в десятичной системе
счисления восемьдесят одной единицей, на 81?
292. Докажите, что в вашем классе найдутся два человека,
имеющие одинаковое число друзей среди своих одноклассни­
ков. [23]
293. Каждое из восьми данных натуральных чисел меньше
16, причем все числа различны. Доказать, что среди их попар­
ных разностей есть, по крайней мере, три одинаковых.
Седьмой класс 131
294. На веревке длиной 10 метров в произвольных местах
завязано 9 узелков. Доказать, что всегда можно вырезать участок
веревки длиной 1 метр, на котором нет узелков.
295. Плоскость раскрашена в два цвета. Доказать, что най­
дутся две точки одного цвета на расстоянии 2006 метров друг
от друга.
4) в связи с делимостью и остатками
296. Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность
которых делится на 1987. [1]
297. Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два,
разность квадратов которых делится на 100. [1] __
298*. Докажите, что среди чисел, записываемых только еди- 209
ницами, есть число, которое делится на 1987. [1]
299. Докажите, что существует степень тройки, оканчиваю­
щаяся на 001. [1]
300. Докажите, что среди любых 10 целых чисел найдется
несколько, сумма которых делится на 10. [1]
301. Докажите, что из любых 15 целых чисел можно выбрать
два, разность которых делится на 14. [23]

5) разбиение на ячейки (например, на шахматной доске)
302. Имеется шахматная доска 100 х 100. Каково наимень­
шее число букв, которые можно поставить в клетках доски
так, чтобы никакие две одинаковые буквы не стояли рядом (от
одной нельзя перейти к другой ходом короля)? [84]
303. Какое наибольшее число клеток доски размером 10 х 10
можно покрасить в черный цвет так, чтобы никакие две покра­
шенные клетки не имели общих точек? [23]
Раскраски
1) шахматная раскраска
304. Можно ли разрезать квадрат 10 х 10 на 25 фигур
вида <=ЕЬ? [56]
305. Можно ли разрезать квадрат 10 х 10 на 25 фигур
вида гН-1? [56]
2) замощения
306. Доказать, что шахматную доску 10 х 10 нельзя покрыть
25 фигурами вида ^В3. [84]
307. Дно прямоугольной коробки было выложено плитками
размером 2 х 2 и 1x4. Плитки высыпали из коробки и при этом
132 5. Систематизация нестандартных задач
потеряли одну плитку 2x2. Вместо нее удалось достать плитку
1 х 4. Доказать, что теперь выложить плитками дно коробки не
удастся. [84]
308. Можно ли разрезать квадрат 10x10 на 25 фигур
вида гггп? [56]
309. Можно ли разрезать квадрат 10x10 на 25 фигур
вида сед? [56]
310. Доказать, что доску 8x8 без угловой клетки нельзя
разрезать на прямоугольники 1x3. [56]
311. Можно ли доску 8x8 разрезать на один квадрат 2 х 2 и
15 фигур вида Н-п?
312. Докажите, что шахматную доску 8x8 нельзя замостить
15 фигурками 1 х 4 и одной фигуркой вида ггЛ. [18]
Игры
1) игры-шутки
313. Имеется несколько шоколадок, содержащих 8, 12, 15,
21 и 30 долек. Двое по очереди ломают какую-либо шоколадку
или полученный ранее кусок на части (содержащие целое число
долек), причем накладывать кусочки друг на друга нельзя. Про­
игрывает тот, кто не может сделать очередной ход — все плитки
разломаны на отдельные дольки. Кто победит при правильной
игре — начинающий или его противник?
2) выигрышные позиции
314. Имеется 2006 конфет. Двое по очереди едят от одной до
шести конфет. Выигрывает съевший последнюю. Кто победит
при правильной игре — начинающий или его противник?
315. В коробке лежат 2006 конфет. Двое по очереди едят
конфеты, причем за один ход можно съесть а) не более поло­
вины конфет; б) менее половины конфет. Выигрывает съевший
последнюю. Кто победит при правильной игре — начинающий
или его противник?
316. Игра начинается с числа 2006. За один ход разрешается
уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Про­
игрывает тот, кто получит ноль. Кто победит при правильной
игре — начинающий или его противник?
3) симметрия и копирование действий противника
317. В строке написано несколько минусов. Двое по очереди
исправляют один или два соседних минуса на плюс. Выигры-
Седьмой класс 133
вает тот, кто исправит последний минус. Кто выиграет при
правильной игре? [39]
318. 11 яблок расположены в ряд. За один ход каждый из
двух играющих съедает одно или два лежащих (с самого начала)
яблока. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход
(не потому, что объелся, а потому, что нет яблок). Кто победит
при правильной игре?
319. Двое играющих ставят по очереди на шахматную доску
коней, причем можно ставить коня только на свободное, не
битое другими конями поле. Выигрывает тот, кто поставит
последнего коня. Может ли кто-либо из играющих выиграть
независимо от игры противника? Кто и как?
320. В условиях предыдущей задачи пусть поле будет 8x9.
А если поле 9x9?
321. Замените в двух предыдущих задачах коней на ладей.
Четность
1) делимость на 2
322. 26 костей домино выложили в одну цепь, а каждую из
двух оставшихся костей домино разрезали пополам. Доказать,
что из четырех половинок две — одинаковые. [84]
323. Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он
прыгнул на* 1 см в какую-либо сторону, во второй раз —на
2 см и т. д. Докажите, что после 1985 прыжков он не может
оказаться там, где начинал. [1]
324. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разре­
шается стереть любые два числа и вместо них записать модуль
их разности. В конце концов на доске останется одно число.
Может ли оно равняться нулю? [1]
325. В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое
из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время
оказаться так, что каждый с каждым дежурил один раз? [1]
2) чередования
326. На хоккейном поле лежат три шайбы — А, В и С. Хок­
кеист бьет по одной из них так, что она пролетает между двумя
другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы
оказаться на исходных местах? [1] __
327*. 25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. 220
Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа —
мальчики. [1]
134 5. Систематизация нестандартных задач
328. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью,
каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите,
что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое
число часов. [1]
3) парность
220 329*. Из набора домино выбросили все кости с «пустышка­
ми». Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд? [1]
330. Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на парал-
^_ лелограммы? [1]
221 331*. На доске 25x25 расставлены 25 шашек, причем их
расположение симметрично относительно диагонали. Докажите,
что одна из шашек расположена на диагонали. [1]
221 332*. Допустим теперь, что расположение шашек в зада­
че 331 симметрично относительно обеих главных диагоналей.
Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке. [1]
333. В каждой клетке квадратной таблицы размером 25x25
записано одно из чисел 1, 2, 3, ..., 25. При этом, во-первых,
в клетках, симметричных относительно главной диагонали, за­
писаны равные числа и, во-вторых, ни в какой строке и ни в
каком столбце нет двух равных чисел. Докажите, что числа на
главной диагонали попарно различны. [1]
334. Можно ли покрыть шахматную доску доминошками
_ 1x2 так, чтоб свободными остались только клетки а 1 и h8? [1]
221 335*. Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличаю­
щихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету
и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей
разность весов на чашках, хочет определить, фальшивая ли она.
Сможет ли он это сделать? [1]
336. Можно ли выписать в ряд по одному разу цифры от 1 до 9
так, чтобы между единицей и двойкой, двойкой и тройкой, ...
..., восьмеркой и девяткой было нечетное число цифр? [1]
337. Из полного набора домино выбросили все кости с шестер­
ками. Можно ли все оставшиеся кости выложить в цепь? [39]
Инварианты
338. Можно ли в клетках таблицы 5 x 5 записать числа так,
чтобы в каждой строке сумма чисел была положительная, а в
каждом столбце отрицательная? [39]
339. Замените звездочки числами так, чтобы сумма любых
трех соседних чисел равнялась 20: 7, *, *, *, *, *, *, 9. [39]
Седьмой класс 135
340. В клетках таблицы 7x11 написаны целые числа. Мо­
жет ли быть сумма чисел в любой строке четной, а в любом
столбце — нечетной? Почему?
1) четность
341. С набором из пяти чисел, каждое из которых равно
+1 или -1, разрешается проделывать следующую операцию: по­
менять знак одновременно у каких-нибудь двух чисел. Можно
ли с помощью нескольких таких операций получить из набора
(1, -1 , -1, 1, 1) набор (-1, 1, 1, 1, 1)? [84]
342. Произведение 22 чисел, каждое из которых есть +1 или
-1 , равно 1. Доказать, что их сумма отлична от 0. [84]
343. На доске написаны все целые числа от 1 до 1966. Раз­
решается стереть любые два числа, записав вместо них их разность.
Доказать, что многократным повторением такой операции
нельзя добиться, чтобы на доске остались только одни нули. [84]
344. Из картона вырезаны несколько правильных треуголь­
ников одного размера, и в вершинах каждого треугольника
поставлены цифры 1, 2, 3. Треугольники сложили в стопку,
совместив из вершины, и сосчитали сумму цифр у каждого угла
стопки. Могут ли все три полученных числа быть равными:
а) 55; б) 50? [84]
345. На столе стоят все вверх дном 7 стаканов. Разреша­
ется за один ход перевернуть любые 4 стакана. Можно ли за
несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли пра­
вильно? [18]
346. В вершинах куба расставлены числа: 7 нулей и одна
единица. За один ход разрешается прибавить по единице к
числам в концах любого ребра куба. Можно ли добиться того,
чтобы все числа стали равными? А можно ли добиться того,
чтобы все числа делились на 3? [18]
347. Даны шесть чисел—1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к
любым двум числам добавлять 1. Можно ли все числа сделать
равными? [39]
348. На доске написаны числа 1, 2, ..., 1992, 1993. Разре­
шается стереть любые два числа и вместо них написать модуль
их разности. В конце концов на доске останется одно число.
Может ли это число равняться 0? [23]
2) делимость
349. В некотором поселке 1970 жителей. Время от времени
они меняют друг у друга монету в 10 копеек на два пятака или
136 5. Систематизация нестандартных задач
наоборот. Может ли случиться, что в течение некоторого времени
каждый из них отдал при таких обменах ровно 10 монет? [84]
350. Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из ко­
торых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй —
4 головы, но тогда у Змея Горыныча отрастает 1985 голов. Мо­
жет ли Иван отрубить Змею Горыныча все головы, если в самом
начале у него было 100 голов? Примечание: если, напри­
мер, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их
ни тем, ни другим мечом нельзя.
351. В странах Диллии и Даллии денежными единицами
являются диллеры и даллеры соответственно, причем в Диллии
диллер меняется на 10 даллеров, а в Даллии даллер меняется на
10 диллеров. Начинающий финансист имеет 1 диллер и может
свободно переезжать из одной страны в другую и менять свои
деньги в обеих странах. Докажите, что количество даллеров у
него никогда не сравняется с количеством диллеров. [18]
352. Разменный автомат меняет одну монету на 5 других.
Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на
26 монет? [18]
3) сумма
215 353*. В алфавите языка племени УЫУ всего две буквы: У
и Ы, причем этот язык обладает такими свойствами: если из
слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ, то смысл слова не
изменится. Точно так же смысл слова не изменится при до­
бавлении в любое место слова буквосочетания ЫУ или УУЫЫ.
Можно ли утверждать, что слова УЫЫ и ЫУУ имеют одинако­
вый смысл? [18]
354. В таблице т хп числа расставлены так, что сумма чисел
в любой строке или столбце равна 1. Докажите, что т = п. [18]
4) метод сужения объекта
355. В клетках таблицы 2006 х 2006 расставляются буквы так,
чтобы одинаковые буквы не стояли в соседних клетках. Какое
наименьшее число букв можно использовать? Клетки называ­
ются соседними, если: а) у них общая сторона, б) у них общая
сторона или общая вершина.
356. Клетки таблицы 3x3 покрашены в два цвета (каждая
клетка в один цвет). За одно действие можно перекрасить в
противоположный цвет все клетки любой строки или столбца.
Сначала одна клетка была черной, а остальные белыми. Можно
ли за несколько действий все клетки покрасить в черный цвет?
Седьмой класс 137
5) правило крайнего
357. Докажите, что середины оснований трапеции, точка
пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений
боковых сторон лежат на одной прямой. [39]
АНАЛИЗ
Разные задачи на движение
358. Часы показывают полдень. Через какое время часовая
и минутная стрелки опять совпадут?
359. Ровно в полдень по Гринвичу каждый день из Гавра в
Нью-Йорк выходит пароход, и в этот же момент из Нью-Йорка
в Гавр тоже выходит пароход. Они идут навстречу друг другу,
находясь в пути ровно семь суток. Сколько пароходов встретит
в пути каждый из них?
360. Поезд двигался в одном направлении 5,5 часов. Извест­
но, что за любой отрезок времени длительностью один час он
проезжал ровно 100 км. Верно ли, что поезд ехал равномерно?
Верно ли, что его средняя скорость равна 100 км/ч? [39]
361. Монах с 6 часов утра до 6 часов вечера поднимался в го­
ру. На следующий день он с 6 часов утра до 2 дня спускался по
той же дороге. Докажите, что в пути было такое место, где мо­
нах находился в одно и то же время в первый и во второй день
(он шел неравномерно, останавливался, иногда даже шел назад).
362. Передние покрышки автомобиля стираются через 25000 км,
а задние —через 15000 км. Когда надо поменять покрышки
местами, чтобы автомобиль прошел наибольшее расстояние?
Суммирование последовательностей
1) арифметическая прогрессия
363. Найдите способ быстрого вычисления суммы 2 + 5 +
+ 8 +... + 2006.
КОМБИНАТОРИКА
Правило произведения. Выборки с повторениями и без
364. Сколько существует 6-значных чисел, все цифры кото­
рых имеют одинаковую четность? [1]
365. Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами
это можно сделать, если для передачи писем можно исполь­
зовать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из
курьеров? [1]
138 5. Систематизация нестандартных задач
366. Сколькими способами из полной колоды (52 карты)
можно выбрать 4 карты разных мастей и достоинств? [1]
367. На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно
выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и
из одной книги)? [1]
368. Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шах­
матную доску так, чтобы они не били друг друга? [1]
369. На танцплощадке собрались N юношей и N девушек.
Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия
в очередном танце? [1]
370. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся
на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4: а) если каждая
цифра может встречаться только один раз? б) если каждая
цифра может встречаться несколько раз? [18]
371. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно
записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться). [18]
372. Сколько существует целых чисел от 0 до 999999, в десятич­
ной записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр? [18]
373. На плоскости проведены п окружностей различного ра­
диуса. Какое может быть наибольшее количество точек их по­
парного пересечения?
Правило дополнения
374. Сколько существует 10-значных чисел, в которых име­
ется хотя бы две одинаковые цифры? [1]
375. Каких 7-значных чисел больше: тех, в записи которых
есть 1, или остальных? [1]
376. Кубик бросают трижды. Среди всех возможных после­
довательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один
раз встречается шестерка. Сколько их? [1]
377. Сколько можно составить шестибуквенных слов (сло­
во—это произвольная последовательность букв), содержащих
хотя бы один раз букву А, если можно использовать все 33 бук­
вы алфавита? [18]
Правило кратного подсчета
378. Чемпионат России по шахматам проводится в один круг.
Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов? [1]
379. Сколькими способами можно поставить фигуры на шах­
матную доску так, чтобы они не били друг друга: а) две ладьи;
б) двух королей; в) двух слонов; г) двух коней; д) двух ферзей? [1]
Седьмой класс 139
380. Сколькими способами можно поселить 7 студентов в
три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную? [1]
381. Сколькими способами можно расставить на первой го­
ризонтали шахматной доски комплект белых фигур (король,
ферзь, две ладьи, два слона и два коня)? [1]
382. Сколько слов можно составить из пяти букв А и не
более чем из трех букв Б? [1]
383. Сколькими способами можно разбить 14 человек на
пары? [1]
384. Сколько существует 9-значных чисел, сумма цифр ко­
торых четна? [1]
385. Сколько ожерелий можно составить из 5 одинаковых
красных бусинок и двух одинаковых синих бусинок? [18]
386. Скольким способами можно построить замкнутую ло­
маную, вершинами которой являются вершины правильного шести­
угольника (ломаная может быть самопересекающейся)? [18]
Размещения и сочетания
387. На плоскости отмечены 10 точек так, что никакие три
из них не лежат на одной прямой. Сколько существует тре­
угольников с вершинами в этих точках? [18]
388. Рота состоит из трех офицеров, шести сержантов и 60 ря­
довых. Сколькими способами можно выделить из них отряд,
состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых? [18]
389. На прямой отмечены 10 точек, а на параллельной
ей прямой — 11 точек. Сколько существует: а) треугольников;
б) четырехугольников с вершинами в этих точках? [18]
390. Сколькими способами можно выбрать из 15 различных
слов набор, состоящий не более чем из 5 слов? [18]
391. Сколькими способами можно составить комиссию из
3 человек, выбирая ее членов из 4 супружеских пар, но так,
чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновремен­
но? [18]
392. В классе, в котором учатся Петя и Ваня, 31 человек.
Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную
команду (11 человек) так, чтобы Петя и Ваня не входили в
одну и ту же команду? [18]
393. Сколькими способами можно переставить буквы слова
«ЭПИГРАФ» так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфа­
витном порядке? [18]
140 5. Систематизация нестандартных задач
394. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состо­
ящую из пяти человек. Сколькими способами можно выбрать
эту команду так, чтобы в нее вошли не более трех юношей? [18]
395. а) Спортивный клуб насчитывает 30 членов, из которых
надо выделить 4 человека для участия в забеге на 1000 метров.
Сколькими способами это можно сделать?
б) Сколькими способами можно составить команду из 4 чело­
век для участия в эстафете 100 м + 200 м + 300 м + 400 м? [18]
ГРАФЫ
Четность и сумма ребер
396. В некоторой стране 1974 города. Из столицы выходит
101 авиалиния, из города Дальний — 1, из всех остальных го­
родов—по 20. Доказать, что из столицы можно долететь до
Дальнего (возможно, с пересадками). [84]
397. Имеется 30 человек, некоторые из них знакомы. Доказать,
что число человек, имеющих нечетное число знакомых, четно. [56]
398. В кружке у любого члена имеется один друг и один
враг. Доказать, что: а) число членов четно; б) кружок можно
разделить на 2 нейтральных кружка. [56]
399. На клетчатом листе закрасили 25 клеток. Может ли
каждая из них иметь нечетное число закрашенных соседей? [56]
400. Могут ли степени вершин в графе быть такими:
а) 8, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2; б) 7, 7, 6, 5, 4, 2, 2, 1;
в) 6, 6, 6, 5, 5, 3, 2, 2? [56]
401. Каждый человек, живущий или когда-либо живший на
Земле, обменялся с другими некоторым числом рукопожатий.
Доказать, что число людей, сделавших нечетное число рукопо­
жатий, четно.
Эйлеровы графы
402. Можно ли начертить, не отрывая карандаша от бумаги
(одним росчерком): а) квадрат с диагоналями? б) шестиугольник
со всеми диагоналями? [56]
403. Жук ползает по ребрам куба. Сможет ли он последова­
тельно обойти все ребра, проходя по каждому ребру ровно один
раз? [23]
404. В углах шахматной доски 3x3 стоят кони. По одной
диагонали — белые, по другой — черные. Можно ли их переста­
вить, следуя шахматным правилам так, чтобы в нижних углах
стояли белые, а в верхних — черные? [23]
Восьмой класс 141
Ориентированные графы
405. Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть
несколько озер, соединенных между собой реками. Из каждого
озера вытекает три реки и в каждое озеро впадают четыре реки.
Докажите, что он ошибается. [18]
406. В некоторой стране есть столица и еще 100 городов.
Некоторые города (в том числе и столица) соединены дорогами
с односторонним движением. Из каждого нестоличного города
выходит 20 дорог и в каждый такой город входит 21 дорога. До­
кажите, что в столицу нельзя проехать ни из одного города. [18]
КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
407. Можно ли разбить квадрат на 7 равновеликих треуголь­
ников так, чтобы все вершины этих треугольников лежали на
двух противоположных сторонах квадрата? [84]
408. Пусть В(п) — наибольшее число частей, на которые
плоскость делится п окружностями. Например, 5(1) = 2, 5(2) -4 .
Найти 5(3), 5(4), 5(5). Установить правило, по которому можно
было бы вычислить одно за другим все такие числа.
409. Можно ли покрыть всю плоскость квадратами, среди
которых только два одинаковых? [84]
ВОСЬМОЙ КЛАСС
АРИФМЕТИКА
410. Вычислительная машина умеет выполнять только од­
ну операцию: а ■ b + 1 — а/b. Как выполнить с помощью этой
машины все четыре арифметических действия? [12]
Признаки делимости на 9 и 11
411. На доске написано число 8й. У него вычисляется сумма
цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр и
так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число.
Что это за число, если п = 1989? [7]
412. Можно ли записать точный квадрат, использовав по
10 раз цифры: а) 2, 3, 6; б) 1, 2, 3? [7]
413. У числа 2100 нашли сумму цифр, у результата снова
нашли сумму цифр и т. д. В конце концов получилось одно­
значное число. Найдите его. [7]
142 5. Систематизация нестандартных задач
414. Докажите, что если записать в обратном порядке цифры
любого натурального числа, то разность исходного и нового
числа будет делиться на 9. [7]
415. Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя циф­
ры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Вася.
Докажите, что какие бы цифры он не писал, Петя всегда смо­
жет добиться того, чтобы получившееся число делилось на 9.
[13]
416. В числе переставили цифры и получили число в три
раза меньше. Докажите, что исходное число делилось на 27.
[13]
Делимость и остатки. Остатки квадратов и кубов
417. Докажите, что существует бесконечно много натураль­
ных чисел, не представимых в виде суммы трех точных кубов.
[7]
418. а) Может ли квадрат натурального числа оканчиваться
на 2?
б) Можно ли, используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно,
по нескольку раз), составить квадрат натурального числа? [7]
419. Существует ли такое натуральное N, что N2 + N + 1 де­
лится на 1955? [7]
193 420*. Найдите 100-значное число без нулевых цифр, которое
делится на сумму своих цифр. [7]
Десятичная система счисления
421. Найдите четырехзначное число, являющееся точным
квадратом, первые две цифры которого равны между собой
и последние две цифры которого также равны между собой. [7]
422. Докажите, что число 111... 11 (2и единиц) — состав­
ное. [7]
423. Пусть А, В, С, D — различные цифры. Докажите, что
CDCDCDCD не делится на ААВВ. [7]
192 424*. Сумма цифр трехзначного числа равна 7. Докажите,
что это число делится на 7 тогда и только тогда, когда две его
последние цифры равны. [7]
425. Найдите наименьшее число, записываемое одними еди-
ницами, делящееся на 333... 33 (в записи 100 троек). [7]
193 426*. Найдите все натуральные числа, которые увеличива­
ются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков
вставить ноль. [7]
Восьмой класс 143
427. Делится ли 243-значное число, составленное из одних
единиц, на 243? [13]
428. Какое число при удвоении записывается теми же циф­
рами, что и его квадрат, но в обратном порядке? [12]
429. Найдите все шестизначные числа, которые уменьшают­
ся втрое при перенесении последней цифры на первое место.
Недесятичные системы счисления
430. Решите ребус АХХААХ: ЧУШЬ = ХА. [13]
431. В семеричной системе счисления перемножены 2 числа.
Восстановите недостающие цифры:
* * *
х 1 * 3
* * * *
* * *
6101
Сравнения по модулю. Операции сложения и умножения на
множестве вычетов
432*. Докажите, что N2 +1 не делится на 3 ни при каком 195
целом N. [7]
433. Докажите, что 30"+ 61100 делится на 31. [7]
434. Докажите, что а) 43101 + 23101 делится на 66;
б) А" + В" делится на А + В, если п — нечетное число. [7]
435. Докажите, что Iй + 2п + ... + («-1)" делится на п при
нечетном и. [7]
436. Найдите остаток от деления на 7 числа 1010+Ю 100 +
j q IOOO _|_ jQ 10000000000 jy j
437. Могут ли 1993 числа, идущие подряд, быть составными?
[13]
438. Имеются весы с двумя чашами и по одной гире в
1 грамм, 3 грамма, 9 грамм, 27 грамм и 81 грамм. Как уравно­
весить груз в 61 грамм, положенный на чашу весов?
439. Дан мешок сахарного песка, чашечные весы и гирька в
1 г. Можно ли за 10 взвешиваний отмерить 1 кг сахара?
440. Летела стая гусей. На каждом озере садилась половина
гусей и еще половина гуся. Остальные летели дальше. Все гуси
сели на п озерах. Сколько всего гусей было в стае?
441. Найти остаток от деления числа 2100 на 5.
144 5. Систематизация нестандартных задач
Неравенства в арифметике
442. Доказать, чтоу - у + у - у + - • •+ у у > у - [1]
443. Какое из двух чисел больше: 1 • 2 • 3 •... • 99 или 50"? [1]
444. Какое из чисел больше: б65 или 956? [1]
445. Решите уравнение в натуральных числах:
х + 30
7 '
446. Что больше: 200! или ЮО200? [13]
Преобразование арифметических выражений
447. Найдите первые 17 знаков в десятичной записи числа
VT+V2 + V2+V3 + '" + л/59+ушг
448. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1 + ^ ’ ^ 1 -У а + Уа1 ’ ^ л/2 +-^2 + УЗ
Бесконечные десятичные дроби и иррациональные числа
449. Представьте следующие рациональные числа в виде де-
1 2 1 1 сятичных дробей: а) —; б) в) — ; г) — .
450. Найдите такие цифры а и Ь, для которых V0,ааааа... -
= 0,bbbbb...
451. Найдите период дроби -^-=0,0204081632...
452. Как можно объяснить тот факт, что в предыдущей за­
даче после запятой появляются степени числа 2?
Число Фейнмана
453. Объясните поведение следующей десятичной дроби и
найдите ее период: - ^ - = 0,004115226337448...
Арифметические конструкции
454. Найдите хотя бы одно решение уравнения в натураль­
ных числах: х3+у3 = г5. [13]
Восьмой класс 145
Метод полной индукции
1) разные задачи и схемы
455*. Докажите, что любое натуральное число можно пред­
ставить как сумму нескольких разных степеней двойки (воз­
можно, включая и нулевую).
456*. Банк имеет неограниченное количество трех- и пяти­
рублевых купюр. Докажите, что он может выдать ими без сдачи
любое число рублей, начиная с восьми. [7]
457. Кусок бумаги разрешается рвать на 4 или на 6 кусков.
Докажите, что по этим правилам его можно разорвать на любое
число кусков, начиная с девяти. [7]
458. Докажите, что квадрат можно разрезать на N квадратов
для любого N, начиная с шести. [7]
2) суммирование последовательностей
В задачах 459—463 докажите, что для любых натуральных п
верны равенства.
459. 1 + 3 +... + (2л - 1) = л2. [7]
460. I2 + 22 +... + л2 = я(л + 1)(2л + 1)/6. [7]
461. 1-2 + 2-3 + ... + (л-1)-л = (л-1)-л-(л+1)/3. [7]
462.
463.
1-2 + 2-3 + “ ' + (л-1 ).и
1 + х + х2 + . . .+ х я = Х'И1~ 1 • [71
3) доказательство неравенств
464. 2" > л, где л — любое натуральное число. [7]
465. При каких натуральных л: а) 2">2л+ 1; б) 2" > л 2? [7]
466. 1
+ ■ 1
и+1 п+2
467. 2я > 1 + я • 2я"
1 . ' У ' У + п -2 , 3, \
2 п
\ п = 2, 3,
11
24
[7]
[7]
4) делимость
468*. Докажите, что число 111... 11 (243 единицы) делится
на 243. [7]
469. Докажите, что я3 + (л+ 1)3 + (л + 2)3 делится на 9. [7]
470. 32п+2 + 8л — 9 делится на 16. [7]
471. 4я + 15л - 1 делится на 9. [7]
472. 11я+2 + 122я+1 делится на 133. [7]
473. 23я + 1 делится на Зя+1. [7]
5) индукция в геометрии
474*. Докажите, что при каждом натуральном N, начиная с 4, су­
ществует выпуклый 7V-угольник, имеющий ровно три острых угла. [7]
206
206
204
204
146 5. Систематизация нестандартных задач
205 475*. На сколько частей делят плоскость N прямых, среди
которых нет параллельных и никакие три не пересекаются в
одной точке? [7]
ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на перекладывание и построение фигур
476. Постройте выпуклый пятиугольник по серединам его
сторон. [13]
477. Точка О лежит внутри выпуклого шестиугольника
А1А2А3А4А5А6. Доказать, что наибольшая из сторон шестиуголь­
ника не меньше наименьшего из отрезков ОАх, ОА2, ОА3, ОА4,
ОА5, ОА6. [1]
478. Среди всех треугольников, имеющих данную сумму ме­
диан, указать тот, который имеет наибольшую сумму высот. [1]
479. Дан выпуклый /:-утольник, все его углы тупые. Дока­
зать, что сумма длин диагоналей больше суммы длин сторон. [1]
480. Дан равнобедренный треугольник с углом при вершине
в 20°.
а) Доказать, что боковая сторона треугольника больше удво­
енного основания.
б) Доказать, что боковая сторона треугольника меньше утро­
енного основания. [1]
481. Длины двух сторон треугольника 10 и 15. Доказать, что
биссектриса угла между ними не больше 12. [1]
482. Путешественник отправился из своего родного города
А в самый удаленный от него город страны В; затем из В в
самый удаленный от него город С и т. д. Докажите, что если
С не совпадает с А, то путешественник никогда не вернется
домой. [13]
Линии в треугольнике
483. Постройте треугольник, середины сторон которого бу­
дут в данных точках. [13]
Площадь треугольника и многоугольников
484. По основанию равнобедренного треугольника движется
точка. Докажите, что сумма расстояний от нее до боковых
сторон не меняется. [13]
485. Каждая диагональ четырехугольника делит его на тре­
угольники равной площади. Докажите, что этот четырехуголь­
ник-параллелограмм. [13]
Восьмой класс 147
Доказательство через обратную теорему
486. Внутри квадрата ABCD находится точка О, причем
LOAB = LOBA= 15°. Докажите, что треугольник OCD равносто­
ронний. [13]
ЛОГИКА
487. «Ханойская башня». Даны три стержня. На один из них
надето четыре кольца разного диаметра (кольца расположены в
строгом порядке убывания радиусов, т. е. чем меньше радиус
кольца, тем выше оно расположено). Надо переложить кольца с
первого стержня на второй, используя третий. При этом необ­
ходимо, чтобы при любом перекладывании кольцо большего
диаметра находилось ниже кольца меньшего диаметра. За какое
наименьшее число перемещений это можно сделать, если за
перемещение считать перекладывания любого одного кольца?
Логические таблицы
488. В футбольном турнире участвуют 36 команд, причем
каждые две команды должны сыграть между собой по одному
разу. Известно, что каждая команда сыграла не менее 34 игр.
Доказать, что команды можно разбить на три группы по 12 команд
так, что внутри каждой группы все игры уже сыграны. [1]
Взвешивания
489. 68 алмазов различны по весу. За 100 взвешиваний на
чашечных весах без гирь найдите самый легкий и самый тяже­
лый алмазы.
490. Даны 6 разноцветных гирь —две красные, две синие
и две зеленые. В каждой одноцветной паре одна гиря немного
тяжелее другой, причем все тяжелые гири весят одинаково и все
легкие тоже. За какое наименьшее число взвешиваний можно
определить все легкие и все тяжелые гири?
Принцип Дирихле
1) доказательство от противного
491. На плоскости дано 7 прямых. Докажите, что какие-то
две из них образуют угол, меньший 26°. [4]
492. Плоскость раскрашена: а) в 2; б) в 3; в) в 100 цветов.
Докажите, что найдется прямоугольник с вершинами одного
цвета. [4]
148 5. Систематизация нестандартных задач
2) конструирование «ящиков»
493. Прямая раскрашена в 11 цветов. Докажите, что найдут­
ся две точки одного цвета на целом расстоянии. [4]
494. Каждая клетка прямоугольной таблицы 5x41 покраше­
на в белый или черный цвет. Докажите, что можно выбрать
3 столбца и 3 строки, все 9 клеток пересечения которых покра­
шены в один цвет. [4]
495. В таблице 10 х 10 расставлены целые числа, причем
любые два числа в соседних клетках отличаются не более чем
на 5. Докажите, что среди этих чисел есть два равных. [12]
3) с дополнительными ограничениями
496. В волейбольном турнире участвовало 12 команд. Ока­
залось, что ни одна из команд не одержала ровно 7 побед.
Доказать, что найдутся такие команды А, В, С, что А выигра­
ла у В, В выиграла у С, a С выиграла у А. Примечание:
ничьих в волейболе нет. [1]
4) в связи с делимостью и остатками
497. Докажите, что из любых 10 двузначных чисел можно
выбрать две непересекающиеся группы с равными суммами. [4]
498. Множество А состоит из натуральных чисел, причем
среди любых 100 идущих подряд натуральных чисел есть число
из А. Докажите, что в А найдутся четыре различных числа а, Ь,
с, d, такие, что а + Ь = с + d. [4]
5) разбиение на ячейки (например, на шахматной доске)
499. Из листа клетчатой бумаги размером 29 х 29 клеток вы­
резали 99 квадратиков, каждый из которых состоит из 4 клеток.
Докажите, что можно вырезать еще один такой же квадратик. [4]
500. В квадрате 1 х 1 дана 101 точка. Докажите, что какие-то
три из них лежат в вершинах треугольника площади, не боль­
шей 0,01. [4]
501. Какое наименьшее число разрезов нужно сделать, чтобы
разрезать куб 3 х 3 на 27 единичных кубиков (при разрезаниях
части разрешается перекладывать)? [12]
6) в геометрии
502. На плоскости дано 25 точек. Известно, что из любых
трех точек можно выбрать две, расстояние между которыми
меньше 1. Докажите, что среди данных точек найдутся 13,
лежащих в круге радиуса 1. [4]
Восьмой класс 149
503. В прямоугольнике 3 x 4 отмечено 6 точек. Докажите, что
расстояние между какими-то двумя из них не превосходит V5. [4]
Раскраски
1) шахматная раскраска
504. На клетчатой бумаге нарисован выпуклый пятиугольник
с вершинами в углах, длины всех сторон которого —целые числа.
Доказать, что его периметр четен (сторона клетки равна 1). [1]
505. Придумать связную фигурку на шахматной доске, в
которой поровну черных и белых клеток, но которую нельзя
разбить на доминошки. [9]
2) замощения
506. Квадрат а) 5x5, б) 8x8 разбили на несколько прямо­
угольников 3 х 1 и один квадрат 1x1. Где может стоять квадрат
1 х 1? [9]
507. Можно ли квадрат 16 х 16 разбить на 64 прямоугольника
1 х 4, из которых 31 будут стоять вертикально, а остальные 33 —
горизонтально? [9]
508. Уголком называется фигура вида ЕЬ- Можно ли прямо­
угольник 5 x 9 разбить на утолки? [9]
509. Докажите, что доску 102 х 102 нельзя замостить фигур­
ками 1x4. [7]
510. Фишка ходит по квадратной доске, каждым своим ходом
сдвигаясь либо на клетку вверх, либо на клетку вправо, либо
по диагонали вниз-влево. Может ли она обойти всю доску,
побывав на всех полях ровно по одному разу, и закончить на
соседнем поле, находящемся справа от исходного? [7]
Игры
1) симметрия и копирование действий противника
511. На окружности даны 20 точек. Двое по очереди про­
водят хорду с концами в этих точках так, чтобы хорды не
пересекались. Проигрывает тот, кто не сможет провести хорду.
Кто победит при правильной игре? [13]
512. Двое по очереди ломают шоколадку 5x5 долек. За один
ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кус­
ков вдоль углубления. Выигрывает тот, кто отломит последнюю
дольку. Может ли начинающий проиграть? [13]
150 5. Систематизация нестандартных задач
Четность
1) делимость на 2
513. В забеге участвовали три спринтера: А, В и С. При этом
спринтер С на старте задержался и ушел со старта последним.
Но затем в процессе забега шесть раз ему удалось перегнать
одного из двух соперников или кому-то из двух соперников
удавалось перегнать С (после старта спринтеры А, В и С ни разу
не оказывались на одной линии одновременно). Спринтер В
вначале отставал от А, но к финишу пришел перед А, при
этом в процессе бега спринтер А пять раз перегонял кого-то из
соперников или кто-то из соперников перегонял его. В каком
порядке спринтеры пришли к финишу? [1]
514. Для каждых двух точек плоскости А и В обозначим
через А*В точку, симметричную точке А относительно точки В.
Даны три вершины квадрата. Можно ли, применив несколько
раз операцию *, получить четвертую вершину этого квадрата? [1]
2) парность
515. Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый
раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!).
Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах? [4]
Инварианты
516. 10 человек пришли в гости в галошах. Уходили они по
одному, и каждый надевал произвольную пару галош, в которую
смог влезть (т. е. не меньшего размера, чем его собственная).
Какое наибольшее число людей не смогло надеть галоши? [13]
1) четность
Иногда инвариант применяется не для того, чтобы доказать,
что какой-то объект нельзя получить из данного, а для того, что­
бы узнать, какие объекты можно получить из исходного объекта.
517. В таблице 8 x 8 одна из клеток закрашена черным цве­
том, все остальные — белым. Докажите, что с помощью пе­
рекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы
все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или
столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или
столбце. [7]
518. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1989. Разрешается
стереть любые два числа и написать вместо них разность этих
чисел. Можно ли добиться того, чтобы все числа на доске были
нулями? [7]
Восьмой класс 151
519. В пробирке находятся марсианские амебы трех типов:
А, В и С. Две амебы любых двух разных типов могут слиться
в одну амебу третьего типа. После нескольких таких слияний
в пробирке оказалась одна амеба. Каков ее тип, если исходно
амеб типа А было 20 штук, типа В — 21 штука и типа С —
22 штуки? [7]
2) делимость
520*. В стране Серобуромалин живет 13 серых, 15 бурых 213
и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона
разного цвета, они одновременно приобретают окраску третье­
го цвета (например, серый и бурый становятся малиновыми).
Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны
имеют один цвет? [7]
521*. Есть три печатающих автомата. Первый по карточке с 214
числами А и В выдает карточку с числами А+ 1 и В+ 1; второй
по карточке с четными числами А и В выдает карточку с числа­
ми А/ 2 и В/2; третий автомат по паре карточек с числами А, В
и В, С выдает карточку с числами А, С. Все автоматы возвра­
щают заложенные в них карточки. Можно ли с помощью этих
автоматов из карточки (5, 19) получить карточку (1, 1988)? [7]
3) сумма
522. На шести елках сидят шесть чижей, на каждой елке —
по чижу. Елки растут в ряд с интервалом в 10 метров. Если
какой-то чиж перелетает с одной елки на другую, то какой-то
другой чиж обязательно перелетает на столько же метров, но в
обратном направлении. Могут ли все чижи собраться на одной
елке? А если чижей и елок — семь? [7]
4) метод сужения объекта
523*. В таблице 3x3 одна из клеток закрашена черным 216
цветом, все остальные — белым. Докажите, что с помощью пе­
рекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы
все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или
столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или
столбце. [7]
524. Решите ту же задачу, что и предыдущая, для таблицы
8x8, если исходно в черный цвет покрашены все 4 угловые
клетки. [7]
525*. В вершинах правильного 12-угольника расставлены 216
числа +1 и -1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят
152 5. Систематизация нестандартных задач
+1. Разрешается изменять знак в любых подряд идущих К вер­
шинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы
единственное число —1 сдвинулось в соседнюю с исходной вер­
шину, если а) К = 3; б) К = 4; в) К = 6? [7]
5) правило крайнего
526. В клетках шахматной доски стоят натуральные числа
так, что каждое число равно среднему арифметическому своих
соседей. Сумма чисел, стоящих в углах доски, равна 16. Найти
число, стоящее на поле е2. [1]
527. Треугольник разрезан на несколько выпуклых много­
угольников. Доказать, что среди них либо есть треугольник,
либо есть два многоугольника с одинаковым числом сторон. [1]
528. Доказать, что на плоскости не существует конечного
множества, в котором больше четырех точек, для любых трех
точек которого найдется четвертая, образующая с первыми тре­
мя вершины параллелограмма. [1]
529. к кругов на плоскости занимают площадь 1. Доказать,
что из них можно выбрать несколько непересекающихся кругов,
сумма площадей которых больше 1/9. [1]
530. В многограннике плоский угол а называется приле­
гающим к ребру, если это ребро является стороной угла а.
Доказать, что в любой треугольной пирамиде найдется ребро, к
которому прилегают только острые углы. [1]
531. Доказать, что из четырех попарно несовпадающих ша­
ров одинакового радиуса ни один не покрыт остальными. [1]
532. Легко распилить кубик 3x3x3 на 27 кубиков шестью
распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если распи­
ливать несколько кусков сразу? [13]
533. 2007 гангстеров стоят на плоскости так, что расстояния
между ними попарно различны. В некоторый момент они одно­
временно стреляют — каждый в ближайшего к нему. Доказать,
что, по крайней мере, один из гангстеров останется в живых.
[12]
6) полуинвариант
534. По окружности выписано несколько натуральных чи­
сел. Между каждыми двумя соседними числами вписывается
их наибольший общий делитель. После этого старые числа
стираются, а над оставшимися проделывают ту же операцию.
Доказать, что через несколько шагов все числа на окружности
будут равными. [1]
Восьмой класс 153
535. В некоторой группе людей у каждого есть ровно один
друг и ровно один враг. Доказать, что этих людей можно раз­
бить на две компании так, что ни в одной компании не най­
дется ни двух врагов, ни двух друзей. [1]
АНАЛИЗ
Разные задачи на движение
536. Из одного города в другой вниз по реке корабль плывет
сутки, а обратно — трое суток. За какое время можно добраться
из верхнего города в нижний на плоту? [13]
537. Степа, гулявший с Джеком, находился на расстоянии
4096 м от Данила, когда они направились навстречу друг другу
(по прямой). В этот момент Джек побежал к Данилу и, лизнув
его в нос, отправился назад, чтобы то же самое проделать со
Степой. Так Джек пробежал три раза туда и три раза обратно,
после чего сел отдохнуть. Какое расстояние он пробежал, имея
скорость в три раза выше, чем у мальчиков?
538. Степа, гулявший с Джеком, находился на расстоянии
4096 м от Данила, когда они направились навстречу друг другу
(по прямой). В этот момент Джек побежал к Данилу и, лизнув
его в нос, отправился назад, чтобы то же самое проделать со
Степой. Так Джек бегал до тех пор, пока люди не встретились.
Какое расстояние он пробежал, имея скорость в три раза выше,
чем у мальчиков?
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Формула включений и исключений
539. Сколько существует натуральных чисел, меньших 2006,
не делящихся ни на 13, ни на 19? [13]
КОМБИНАТОРИКА
Правило произведения. Выборки с повторениями и без
540. Человек имеет 6 друзей и в течение 5 дней приглашает
к себе в гости троих из них так, чтобы компания ни разу не
повторялась. Сколькими способами он может это сделать? [7]
541. Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких дней
приглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу
не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать
никого). Сколько дней он может так делать? [7]
154 5. Систематизация нестандартных задач
542. Лестница состоит из 7 ступенек, не считая верхней
и нижней площадок. Спускаясь, можно перепрыгивать через
некоторые ступеньки (можно даже через все 7). Сколькими
способами можно спускаться по этой лестнице? [7]
543. Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт
пополам так, чтобы в каждой половине было по 2 туза? [7]
544. Сколько ладей можно расставить в кубе 8x8x8, чтобы
они не били друг друга (максимальное число)? [13]
545. Кучка из 25 камней произвольным образом делится на
две кучки, любая из имеющихся кучек снова делится на две
и т. д., пока каждая кучка не будет состоять из одного камня.
При каждом делении какой-либо кучки на две записывается
произведение чисел камней в получающихся из нее двух кучках.
Найти сумму всех записанных чисел. [12]
Правило дополнения
546. Сколькими способами можно выбрать из полной коло­
ды (52 карты) 10 карт так, чтобы: а) среди них был один туз?
б) среди них был хотя бы один туз? [7]
Правило кратного подсчета
547. Сколькими способами можно расставить 12 белых и
12 черных шашек на черных полях шахматной доски? [7]
548. а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на
три команды по 5 человек в каждой?
б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две
команды по 5 человек в каждой? [7]
549. Сколько существует 10-значных чисел, сумма цифр ко­
торых равна: а) 2; б) 3; в) 4? [7]
Размещения и сочетания. Свойства сочетаний
550. Сколько существует 6-значных чисел, у которых по три
четных и нечетных цифры? [7]
551. Как известно, в лотерее «Спортлото» нужно указать
шесть номеров из имеющихся на карточке 45 номеров.
а) Сколькими способами можно заполнить карточку «Спорт­
лото»?
б) После тиража организаторы лотереи решили подсчитать,
каково число возможных вариантов заполнения карточки, при
которых могло быть угадано ровно три номера. Помогите им в
этом подсчете. [7]
Восьмой класс 155
552. Найдите число точек пересечения диагоналей в выпук­
лом «-угольнике, если известно, что никакие три диагонали не
пересекаются в одной точке. [13]
Метод «перегородок» (сочетания с повторениями)
553*. 6 ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими 224
способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых
шаров так, чтобы ни один ящик не оказался пустым? [7]
554*. 6 ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими 224
способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров
(на этот раз некоторые ящики могут оказаться пустыми)? [7]
555. Сколькими способами натуральное число N можно пред­
ставить в виде суммы: а) К натуральных слагаемых; б) К неот­
рицательных целых слагаемых (представления, отличающиеся
порядком слагаемых, считаются различными)? [7]
556. Сколькими способами 12 пятаков можно разложить по
5 различным кошелькам так, чтобы ни один кошелек не ока­
зался пустым? [7]
557. Переплетчик должен переплести 12 одинаковых книг в
красный, зеленый или синий переплеты. Сколькими способами
он может это сделать? [7]
558. Сколькими способами можно разрезать ожерелье, со­
стоящее из 30 различных бусин, на 8 частей (резать можно
только между бусинами)? [7]
559. 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими
способами могут распределиться голоса, если каждый голосует
только за одно предложение и учитывается лишь количество
голосов, поданных за каждое предложение? [7]
560. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов.
Сколькими способами можно купить в нем: а) 12 открыток;
б) 8 открыток; в) 8 различных открыток? [7]


Категория: Математика | Добавил: Админ (04.04.2016)
Просмотров: | Теги: Дрозина | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar