Тема №6147 Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 2) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

7.6.1. [МЭСИ] Для экскурсии нужно собрать деньги. Если каждый экс­
курсант внесет по 75 коп., то на расходы не хватит 4,4 руб., если каждый
внесет по 80 коп., то останется 4,4 руб. Сколько человек принимает уча­
стие в экскурсии?
7.6.2. [СГ16ААП] Найти число, которое превышало бы свой квадрат на
максимальное значение.
7.6.3. [МГАП] Среди решений неравенства у / х - 5 4- у/тг ^ 0 найти
наименьшее число х такое, что и при уменьшении его на 50% и при
увеличении его на 100% значения косинуса двух полученных величин
совпадают.
7.6.4. [МГАП] На множестве решений неравенства 3 ^ х(4 — х) най­
ти такое число я, что при увеличении его на 200% значение функции
у — sinx возрастает на 100%.
7.6.5. [МГУЛ] Найдите число, 30% которого равны сумме наибольшего
общего делителя и наименьшего общего кратного чисел 60, 48, 45.
7.6.6. [МГУ, ИСАА] Биржа запланировала провести торги в июле и ав­
густе. Если объем торгов в июле оставить на запланированном уровне, а
план на август превысить в 3 раза, то суммарный объем торгов, проводи­
мых в течение этих двух месяцев, возрастет в 2 раза. Найти отношение
объемов торгов, запланированных на июль и на август, и выяснить, во
сколько раз надо увеличить план на июль, оставляя неизменным план
на август, чтобы суммарный объем торгов, проводимых за эти два меся­
ца, вырос в 3 раза.
163
7.6.7. [МГУ, ИСАА] Суммарный доход двух предприятий возрастет
втрое, если доход первого предприятия останется неизменным, а доход
второго увеличится в 4 раза. Найти отношение первоначальных дохо­
дов этих предприятий и выяснить, во сколько раз надо увеличить доход
первого предприятия, оставляя первоначальным доход второго, чтобы
их суммарный доход возрос в 4 раза.
7.6.8. [МГГУ] За 4 карандаша и 3 тетради заплатили 70 копеек, а за 2
карандаша и 1 тетрадь заплатили 28 копеек. Сколько стоит одна тетрадь
и один карандаш?
7.6.9. [МИИ] Группу школьников нужно рассадить в столовой. За стол
можно усадить 3 человека. Если сажать за стол по 2 девочки, то ока­
жется 3 стола, где сидят одни мальчики, а если сажать за стол по 2
мальчика, то будет 2 стола с одними девочками. Сколько было девочек
в группе?
7.6.10. [ВА им. Дзержинского] Поезд, следующий из пункта А в пункт
В, делает в пути некоторое количество остановок. На первой остановке
в поезд садятся 5 пассажиров, а на каждой следующей — на 3 пасса­
жира больше, чем на предыдущей. На каждой остановке 30 пассажиров
выходят. Сколько было остановок, если из пункта А выехало 1978, а в
пункт В прибыло 2048 пассажиров?
7.6.11. [МГУ, ф-т почвовед.] Шофер грузовика, занятого на строитель­
стве, при постоянной продолжительности рабочего дня перевозит грузы
трех типов: щебень, песок и кирпич, соответственно по-разному расходуя
горючее. В первый день половину рабочего времени он возил щебень, а
половину — песок; во второй день ^ времени он возил щебень, j време-
о 1
ни ■■— песок и у времени — кирпич; в третий день ^ времени — щебень,
g времени — песок и столько же — кирпич. На сколько процентов из­
расходует шофер дневной норматив горючего, возя целый день щебень,
если в первый день он израсходовал его на 95%, во второй — на 101у%,
а в третий — на 101,25%?
7.6.12. [МГУ, геолог, ф-т] В первый год разработки месторождения было
добыто 400 тыс. т нефти. В течение ряда последующих лет объем добычи
увеличивался ежегодно на 50%, а затем в течение 9 лет не менялся.
Общий объем добытой нефти составил 35 млн 650 тыс. т. Сколько всего
лет разрабатывалось месторождение?
7.6.13. [ГАУ] Колхозный сад разбит на несколько участков. На каждом
участке работает одинаковое число колхозников. Известно, что число
колхозников, находящихся на одном участке, превышает число участков
на 14. Когда еще 15 человек пришли на первый участок, а с остальных
164
участков ушло по 15 человек, число колхозников на первом участке ста­
ло равным числу колхозников, оставшихся на всех остальных участках.
Сколько колхозников было первоначально на каждом участке?
7.6.14. [МПГУ] Два сосуда с раствором соли поставлены для выпари­
вания. Ежедневные выпариваемые порции соли постоянны для каждого
сосуда. Из первого сосуда получено 48 кг соли, а из второго, стоявшего
на 6 дней меньше, — 27 кг. Если бы первый сосуд стоял столько же дней,
сколько второй, а второй — столько, сколько первый, то из обоих рас­
творов получилось бы одинаковое количество соли. Сколько дней стоял
каждый раствор?
7.6.15. [МГУ, биолог, ф-т] Саша и Сережа дважды обменивались мар­
ками, причем каждый раз j количества марок, имевшихся (на момент
обмена) у Саши, обменивалась на половину количества марок, имев­
шихся у Сережи. Сколько марок было у Саши и сколько у Сережи до
первого обмена, если после первого обмена у Саши было 945 марок, а
после второго обмена у Сережи — 220?
7.6.16. [ГАУ] В двух автоколоннах, по 28 автомобилей в каждой, бы­
ло 11 «Жигулей», остальные — «Москвичи». Сколько «Москвичей» бы­
ло в каждой автоколонне, если известно, что в первой автоколонне на
каждую машину «Ж игули» приходилось в два раза больше «Москви­
чей», чем во второй?
7.6.17. [ГАУ] Два стрелка сделали по 30 выстрелов каждый; при этом
было 44 попадания, остальные — промахи. Сколько раз попал каждый,
если известно, что у первого стрелка на каждый промах приходилось в
2 раза больше попаданий, чем у второго?
7.6.18. [МЭСИ] Знаменатель несократимой дроби на 2 больше числите­
ля. Если у дроби, обратной данной, уменьшить числитель на 3, и вычесть
из полученной дроби данную дробь, то получится Найти знамена­
тель данной дроби.
7.6.19. [МТУСИ] Найти два числа, если их среднее арифметическое
на 16 меньше большего из этих чисел, а среднее геометрическое на 8
больше меньшего из них.
Группа Б
7. Смешанные задачи на движение, работу, процентные
соотношения и прочее
7.7.1. [МПГУ] Средняя скорость победителя автомобильных гонок ока­
залась на 20 км/ч выше средней скорости автомобиля, занявшего послед­
нее место. Если бы последний участник преодолевал каждый километр
165
на 1 секунду быстрее, то он сократил бы разрыв от времени победителя
вдвое. Найти скорость победителя.
7.7.2. [СПбГУ] Велосипедист едет по шоссе. Через каждые 4,5 км его об­
гоняет рейсовый автобус, а каждые 9 минут мимо него проезжает встреч­
ный автобус. С какой скоростью едет велосипедист, если известно, что
интервал движения автобусов (в двух направлениях) равен 12 минутам?
7.7.3. [СПбГУ] Пешеход идет по обочине дороги со скоростью 5 км/ч.
Каждые 27 минут его обгоняет рейсовый автобус, а каждые 1,8 км мимо
него проезжает встречный автобус. Найдите интервал движения авто­
бусов, если известно, что он одинаков в обоих направлениях.
7.7.4. [МЭСИ] Смешав по 2см3 трех веществ, получили 16г смеси.
Известно, что 4 г второго из этих веществ заполняют объем на ^ см3
больший, чем 4 г третьего вещества. Найти плотность третьего вещества,
если известно, что масса второго вещества в смеси вдвое больше массы
первого вещества.
7.7.5. [МТУСИ] Если некоторое двузначное число разделить на про­
изведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же
к сумме квадратов цифр этого числа прибавить произведение его цифр,
то получится искомое число. Найти это число.
7.7.6. [МГАП] Курс рубля по отношению к доллару падает на 281%
в квартал. Что выгоднее: а) сделать валютный вклад на год с начисле­
нием 60% годовых или б) конвертировать доллары в рубли и сделать
рублевый вклад с начислением 510% годовых?
7.7.7. [МГАП] Курс доллара по отношению к рублю ежемесячно ра­
стет на 25%, а курс рубля по отношению к немецкой марке падает на
20% ежемесячно. Как изменяется курс доллара по отношению к немец­
кой марке? Выгодно ли вкладчику сделать рублевый вклад в банк с
ежеквартальным начислением 94% от суммы вклада (по сравнению с
конвертацией в доллары)?
7.7.8. [МГАП] Курс рубля в течение двух месяцев уменьшался на одно
и то же, не превышающее 22, число процентов. В начале первого меся­
ца господин К. имел некоторую сумму (в долларах), которую он тогда
же конвертировал в рубли. Двое других господ, имея каждый рубле­
вые суммы в 6,25 раза больше, чем та, которую получил господин К.
от совершенной им валютной операции, конвертировали их в доллары:
один — в конце первого месяца, а другой — в конце второго. При этом
у одного из них долларов оказалось больше ровно на столько, сколько
господин К. имел в начале первого месяца. На сколько процентов за два
месяца вырос курс доллара?
166
7.7.9. [МИФИ] Имеются два сосуда с раствором щелочи разных кон­
центраций (по объему). Первый сосуд содержит 4л раствора, второй —
6 л раствора. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий
35% щелочи. Если же слить вместе по 3 л из каждого сосуда, то получит­
ся раствор, содержащий а% щелочи. Сколько литров щелочи содержит
второй сосуд? Какие значения может принимать величина а?
7.7.10. [ВШЭ] Сколько соленой воды, имеющей концентрацию соли по
массе, равную q%, надо добавить к 90 кг соленой воды, имеющей концен­
трацию соли по массе, равную 15%, чтобы концентрация соли по массе
составила р%. Исследовать решение при различных значениях q и р.
Считать, что : 1) р % <у, р ф 0; 2) в 100 г пресной воды при температуре
20°С можно растворить не более 35 г соли; 3) температура поддержива­
ется постоянной и равна 20°С.
7.7.11. [СПбГУ] Частоты х, у генов а, Ь соответственно преобразуются
в результате одного тура отбора в новые частоты
, _ х(кх + у) , _ у(х + ку)
кх2 + 2ху + ку2 ’ кх2 + 2ху + ку2
генов а, Ь следующего поколения. Определить первоначальные частоты,
если известно, что коэффициент приспособленности к — а в следую­
щем поколении на каждые 40 генов а приходится 33 гена Ь.
7.7.12. [ГФА] Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шос­
се в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пе­
шеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на
расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал
велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров
велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мо­
тоциклист?
7.7.13. [ГФА] Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шос­
се в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда ве­
лосипедист и мотоциклист находились в одной точке, пешеход был на
расстоянии 10 км впереди них. В тот момент, когда мотоциклист догнал
пешехода, велосипедист отставал от них на 5 км. На сколько километров
мотоциклист будет обгонять пешехода в тот момент, когда пешехода на­
стигнет велосипедист?
7.7.14. [ГАУ] Из пункта А по одному шоссе выезжают одновременно
два автомобиля, а через час вслед за ними выезжает третий. Еще через
час расстояние между третьим и первым автомобилями уменьшилось в
полтора раза, а между третьим и вторым —- в два раза. Во сколько раз
скорость первого автомобиля больше скорости второго? (Известно, что
третий автомобиль не обогнал первых двух.)
167
7.7.15. [СПбГУ] Предприниматель положил в коммерческий банк неко­
торую сумму денег под фиксированный процент годового дохода (более
60%). За первые два года сумма вклада возросла на ЗООтыс.руб., а к
концу третьего года составила 800 тыс. руб. Определите сумму исходно­
го вклада.
7.7.16. [СПбГУ] Гражданин положил в банк определенную сумму денег
под постоянный месячный процент, рассчитывая получить за год доход
900 тыс. руб. Через полгода ему пришлось снять со счета 400 тыс. руб.
Какова была величина исходного вклада, если в конце года сумма на
счете составила 2 млн руб.?
8. Работа с неизвестными в системе
7.8.1. [РЭА] Три комбайна типа А и пять комбайнов типа В убрали
поле за 25 часов. За один час 5 комбайнов типа А и 3 комбайна типа
В убирают этого поля. За сколько часов уберут поле 6 комбайнов
типа А и 15 комбайнов типа В?
7.8.2. [ОИАЭ] Каждому из трех экскаваторов для того, чтобы вырыть
котлован, требуется определенное время, причем третий экскаватор вы­
рыл бы котлован на 1 ч 36 мин быстрее второго. Работая вместе, они вы­
полняют работу за 1 час. Если первый экскаватор проработает 1 час,
а затем третий еще 1,6 часа, то они вместе отроют весь котлован. За
какое время может вырыть весь котлован каждый из экскаваторов, ра­
ботая самостоятельно?
7.8.3. [МГУ, ВМиК] Из города В в город А вылетел самолет. Спустя
некоторое время из А в В вылетел вертолет. Скорости самолета и верто­
лета на всем пути постоянные, и они летят по одной трассе. Самолет до
встречи с вертолетом находился в полете 6 часов, а вертолет до встречи
летел 3 часа. Самолет прибыл в А в 13 ч 30 мин, а вертолет прибыл в В
в 20 ч 30 мин. Найти время вылета самолета из города В.
7.8.4. [ГАУ] Торговая фирма получила две партии некоторого товара.
Если продавать весь товар по цене 800 рублей за килограмм, то выручка
от продажи будет на 15% ниже выручки, которую фирма получила бы,
продав первую партию по названной цене, а вторую — по цене, превы­
шающей ее на 25%. Какую часть (по массе) составляет первая партия
товара в общем количестве товара этих двух партий?
7.8.5. [МАИ] Имеется сплав, состоящий из никеля, меди и марганца.
Масса никеля составляет 40% массы меди и марганца, а масса меди со­
ставляет 60% массы никеля и марганца. Каково отношение массы мар­
ганца к сумме масс никеля и меди?
168
7.8.6. [МГОПУ] Найти три числа, из которых второе больше первого
настолько, насколько третье больше второго, если известно, что про­
изведение двух меньших чисел равно 85, а произведение двух больших
чисел равно 115.
7.8.7. [МЭСИ] Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро.
Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров — за 60 дней.
Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? (Предполагается, что
коровы поедают траву равномерно.)
7.8.8. [ГФА] Три каменщика (разной квалификации) выложили кир­
пичную стену, причем первый проработал 6 часов, второй — 4 часа и
третий — 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй —
2 часа, а третий — 5 часов, то было бы выполнено ^ всей работы. За
сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали
одно и то же время?
7.8.9. [МГАП] В экзаменационной комиссии 5 преподавателей. 1-ыЙ,
2- ой и 4-ый преподаватели могут проверить работы за 20 часов. 2-ой,
3- ий и 5-ый — за 15 часов. Если в проверке участвуют все, кроме 2-ого,
то на проверку требуется всего 10 часов. Во сколько раз быстрее будет
выполнена проверка работ всей комиссией по сравнению с проверкой
работ только 2-ым преподавателем?
7.8.10. [МЭСИ] В бассейн проведены 4 трубы. Через первые 2 трубы
вода втекает в бассейн, через 2 другие вытекает. Если работают все 4
трубы, то бассейн наполняется за 2,5 часа; если работают 1-ая, 2-ая и
3-я — бассейн заполняется за 1,5 часа; если работают 1-ая, 3-я и 4-ая, то
бассейн заполняется за 15 часов. За сколько часов заполнится бассейн,
если будут работать только 1-ая и 3-я трубы?
7.8.11. [МГАП] Шестеро фермеров совместно владеют некоторыми па­
хотными землями. Все шестеро, исключая пятого, в состоянии обрабо­
тать земли за 6 дней. Если бы они работали вчетвером без 1-ого и 3-его,
то все земли были бы обработаны за 10 дней. Поскольку 2-ой, 4-ый и
6-ой были заняты на другой работе, то земли были обработаны остав­
шимися за 12 дней. Какой процент всех земель был бы обработан 1-ым
и 3-им фермерами за 4 дня?
7.8.12. [МГАП] В отстойник может поступать по трем каналам вода,
которая испаряется с некоторой постоянной скоростью, не зависящей
от количества воды в отстойнике. При отсутствии испарения отстойник
мог бы быть заполнен водой, поступающей по всем трем каналам, а 2
недели. При введении в строй отстойника были задействованы только
первые два канала. При этом через 6 недель его емкость была заполнена
полностью. После этого вода поступала только по 3-ему каналу и через
169
12 недель количество воды в отстойнике уменьшилось вдвое. Насколь­
ко должен быть заполнен отстойник, чтобы за 4 дня при перекрытых
каналах вся вода испарилась?
7.8.13. [МГУ, геолог, ф-т] 4 бригады разрабатывали месторождение го­
рючих сланцев в течение трех лет, работая с постоянной для каждой
бригады производительностью. На втором году в течение 4 месяцев ра­
бота не производилась, а все остальное время работала только одна из
бригад. Отношение времен работы первой, второй, третьей и четвертой
бригад и количества выработанной продукции соответственно равны:
в первый год 4 : 1 : 2 : 5 и 10 млн т
во второй год 2 : 3 : 2 : 1 и 7 млн т
в третий год 5 : 2 : 1 : 4 и 14 млн т.
Сколько млн т сланцев выработали бы за 4 месяца четыре бригады,
работая все вместе?
7.8.14. [МГУ, геолог, ф-т] 4 бригады разрабатывали месторождение же­
лезной руды в течение трех лет, работая с постоянной для каждой бри­
гады производительностью. По одному месяцу на первом и третьем году
работа не велась, а все остальное время работала только одна из бригад.
Отношения времен работ первой, второй, третьей и четвертой бригад и
количества выработанной продукции соответственно равны:
в первый год 3 : 2 : 4 : 2 и 10 млн т
во второй год 4 : 2 : 5 : 1 и 9 млн т
в третий год 4 : 3 : 3 : 1 и 8 млн т. Сколько железной руды выработали
бы за 7 месяцев четыре бригады, работая все вместе?
7.8.15. [ГФА] На складе имеется некоторое число бочек двух образцов
общей емкостью 7000 л. Если бы все бочки были первого образца, то сум­
марная емкость всех бочек увеличилась бы на 1000 л. Если бы все бочки
были второго образца, то суммарная емкость уменьшилась бы на 4000 л.
Вычислить суммарную емкость бочек каждого образца в отдельности.
7.8.16. [МАИ] Расстояние между двумя городами Avi В пассажирский
поезд проходит на 4 часа быстрее товарного. Если бы каждый поезд
шел со своей скоростью то время, которое тратит на путь от А до В
другой поезд, то пассажирский поезд прошел бы на 280 км больше, чем
товарный. Если бы скорость каждого поезда была увеличена на 10 км/ч,
то пассажирский поезд прошел бы расстояние АВ на 2 ч 24 мин быстрее,
чем товарный. Найти расстояние от А до В .
7.8.17. [СПбГУ] Гражданин положил в сберегательный банк некоторую
сумму денег под фиксированный процент годового дохода. За первые два
года сумма вклада возросла на 60 тыс. руб., а за третий год -— еще на
49 тыс. руб. Какова была первоначальная сумма вклада?
170
7.8.18. [ГАУ] Из пункта А в пункт В против течения выехала моторная
лодка. В пути сломался мотор, и пока его 20 минут чинили, лодку снесло
вниз по реке. Определить, насколько позднее приплыла лодка в пункт
В, если известно, что обычно путь из А в В лодка проходит в полтора
раза дольше, чем путь из В в А.
9. И спользование неравенств
7.9.1. [ТвГУ] Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты
800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту на 25 м меньшую,
чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 м?
7.9.2. [МИФИ] Из точек А и В, расстояние между которыми равно 1 м,
по прямой начинают одновременно двигаться два тела. Первое тело на­
чинает движение с постоянной скоростью из точки А по направлению
к точке В, а второе — в том же направлении с начальной скоростью
16 м /с и с некоторым постоянным ускорением. Известно, что через 1с
после начала движения второе тело находилось от точки А на рассто­
янии, не большем, чем 15 м, а еще через 1с — не меньшем, чем 25 м.
Определите скорость первого тела, если через 3 с после начала движе­
ния расстояние между телами составляло 2 м.
7.9.3. [МГАП] Курс доллара в течение двух месяцев увеличивается на
одно и то же число процентов ежемесячно, но не более, чем в 1,5 раза. За
сумму, вырученную от продажи в начале первого месяца одного доллара,
к концу второго месяца можно было купить на 9 центов меньше, чем в
конце первого месяца. На сколько процентов уменьшился курс рубля за
два месяца?
7.9.4. [МГАП] В течение двух месяцев цены увеличивались на одно
и то же число процентов, но не более, чем в 3 раза за два месяца. На
сколько процентов уменьшилась покупательная способность рубля за
два месяца, если на сумму, которую платили в начале первого месяца
за 1000 бутылок «Херши», в конце второго месяца можно было купить
на 240 бутылок меньше, чем в конце первого месяца?
7.9.5. [МИФИ] От пристани А вниз по течению реки отправилась мотор­
ная лодка. Одновременно от пристани В отправился катер. Через неко­
торое время они встретились. В момент их встречи из В отплыл второй
катер и в некоторый момент времени встретился с моторной лодкой. Рас-
О С
стояние между пунктами первой и второй встреч равно АВ. Скорость
моторной лодки, катеров и течения реки постоянны, причем собственная
скорость моторной лодки вдвое меньше собственной скорости каждого
из катеров. Какую часть расстояния АВ проплыла моторная лодка к
моменту встречи со вторым катером? Известно, что в момент встречи с
лодкой первый катер преодолел более половины расстояния АВ.
171
7.9.6. [МАТИ] Двое рабочих выполнили работу менее чем за 4 часа.
Если бы первый выполнял ее в одиночку, он сделал бы работу на 6
часов быстрее, чем один только второй рабочий. Какие значения может
принимать время выполнения работы первым из рабочих, работающим
отдельно?
7.9.7. [МАТИ] Две машинистки, работая одновременно, могут перепе­
чатать рукопись не менее, чем за 2 часа. Если же будет работать только
первая машинистка, то ей потребуется на перепечатку рукописи на 3
часа меньше, чем работающей в одиночку второй машинистке. Какие
значения может принимать время перепечатки рукописи второй маши­
нисткой, работающей самостоятельно?
7.9.8. [МГУ, геолог, ф~т] Поезд, идущий с постоянной скоростью из пунк­
та А в пункт В , был задержан у семафора на 16 мин. Расстояние от се­
мафора до пункта В равно 80 км. При каких значениях первоначальной
скорости поезд прибудет в пункт В не позже запланированного срока,
если после задержки он увеличил скорость на 10 км/ч.
7.9.9. [ЛГПИ; МЭСИ] Какие значения может принимать скорость точки,
движущейся равномерно по прямой, если известно, что при увеличении
скорости на 3 м /с эта точка проходит расстояние в 630 м скорее, причем
не менее, чем на 1 секунду, и не более, чем на 4 мин 40 с.
7.9.10. [МГУ, филолог, ф-т; КГТУ] Двум бригадам общей численностью
18 человек было поручено организовать в течение 3 суток непрерывное
дежурство по одному человеку. Первые двое суток дежурили члены пер­
вой бригады, распределив между собой это время поровну. Известно, что
во второй бригаде 3 девушки, а остальные — юноши, причем девушки
дежурили по 1 часу, а все юноши распределили между собой остаток
дежурства поровну. При подсчете оказалось, что сумма продолжитель­
ностей дежурств каждого юноши второй бригады и любого члена первой
бригады меньше 9 ч. Сколько человек в каждой бригаде?
7.9.11. [МГУ, геолог, ф-т] Для приготовления смеси из двух жидкостей
А и В были взяты два сосуда емкостью по 15л каждый, в которых
находилось всего 15 л жидкости А. Затем первый сосуд доверху долили
жидкостью В и было произведено перемешивание. После этого второй
сосуд дополнили доверху смесью из первого сосуда. Затем из второго
сосуда отлили в первый 6 л получившейся смеси. После этого в первом
сосуде оказалось жидкости А на 1 л больше, чем во втором. Сколько
литров жидкости А было первоначально во втором сосуде?
7.9.12. [МГУ, геолог, ф-т] Из пункта А в пункт В можно доехать тремя
маршрутами: или через п. С, или через п. D , или напрямую, минуя
промежуточные пункты. Известны расстояния АВ = 80км, АС = 40км,
AD = 30 км, СВ — 60 км, DB = 100 км. Известно, что пункты А и
172
В. А и С, Л и D связывают грунтовые дороги, а пункты С и S , Z) и
В — шоссейные дороги. Скорость на шоссе на 40 км/ч больше, чем на
грунтовой дороге. Какой маршрут следует выбрать, чтобы скорейшим
образом добраться из п. А в п. В, если скорость на грунтовой дороге
более 15 км/ч, но не превышает 30 км/ч?
7.9.13. [МГУ, геолог, ф-т] Бассейны объемами 1200м3, 1400м3 и 1600м3
можно наполнить: первый — одной первой трубой, второй — сначала
800 м3 первой трубой, затем 600 м3 второй трубой, третий — сначала
700 м3 первой трубой, а затем 900 м3 второй трубой. Производительность
первой трубы на 400 м3/час меньше, чем второй трубы. Какой из бас­
сейнов наполняется быстрее, если производительность второй трубы не
менее 700м3/час, но менее 1100м3/час?
7.9.14. [МЭСИ] Знаменатель положительной несократимой дроби боль­
ше квадрата ее числителя на единицу. Если к числителю и знаменателю
прибавить по 5, то значение дроби будет больше если от числителя
и знаменателя отнять по 2, то значение дроби будет больше Найти
числитель дроби.
7.9.15. [МТУ С И] В зале расставлены стулья в 13 рядов, причем на
последний ряд не хватило нескольких стульев. Потом их переставили
в 27 рядов, при этом в каждом ряду поставили на 7 стульев меньше,
чем при первоначальной расстановке, и на последний ряд не хватило 3
стульев. Сколько всего было стульев?
7.9.16. [МГУ, геолог, ф-т] Двое рабочих изготовили по 60 одинаковых
деталей. Первые 30 деталей каждый из них делал с постоянной произ­
водительностью, которая у второго рабочего была на 20% выше. Затем
первый рабочий стал делать больше на 2 детали в час, а второй — на 3
детали в час. Первый рабочий затратил на выполнение всего задания не
менее 5 часов 30 минут, а второй — не более 4 часов 30 минут. Сколько
деталей в час делал второй рабочий при выполнении первой половины
задания?

7.10.1. [МГУ, эк. ф-т] Две бригады землекопов вырыли по одинаковому
котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы
в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить
работу на 2 ч раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде,
если производительность у них одинакова.
7.10.2. [МГУ, мех.-мат.] Мастер делает за 1 ч целое число деталей, боль­
шее 5, а ученик — на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за
173
целое число часов, а 2 ученика —■ на 1ч быстрее. Из какого количества
деталей состоит заказ?
7.10.3. [МГУ, эк. ф-т] Линию, связывающую города А и Б, обслуживают
не более восьми самолетов трех типов. Каждый самолет первого, второго
и третьего типов может принять па борт соответственно 230, 110 и 40
пассажиров, а также 27, 12 и 5 контейнеров. Все самолеты линии могут
принять на борт одновременно 760 пассажиров и 88 контейнеров. Найти
число действующих па линии самолетов.
7.10.4. [МГУ, геолог, ф-т] Трое мальчиков хотели вместе купить две
одинаковые игрушки. Сложив все имеющиеся у них деньги, дети нс мо­
гли купить даже одну игрушку. Если бы у первого мальчика было вдвое
больше денег, то им на покупку игрушек не хватило бы 34 копеек. Когда
третьему мальчику добавили денег в размере в два раза большем, чем
у пего было, то после покупки игрушек у детей оставалось 6 копеек.
Сколько стоили игрушки, если первоначально у второго мальчика было
на 9 копеек больше, чем у первого?
7.10.5. [ГАУ] На празднике каждому ребенку было подарено по оди­
наковому количеству игрушек. Число игрушек, подаренных каждому
ребенку, было на 9 меньше общего числа детей, присутствовавших на
празднике. Если бы на празднике было 9 детей и каждому ребенку да­
рили бы на одну игрушку больше, чем раньше, то прежнего количества
игрушек не хватило бы. Сколько игрушек было подарено, если известно,
что число детей, присутствовавших па празднике, было нечетно?
7.10.6. [МИЭМ] За 5 лет со дня основания отдела число научных со­
трудников увеличилось в 7 раз, а число лаборантов — в 10 раз, при
этом общее число работников отдела осталось меньше 45. Еще через 5
лет число научных сотрудников увеличилось в 2 раза, а число лабо­
рантов сократилось в 2 раза и общее число работников стало больше 42.
Сколько научных сотрудников и лаборантов было в отделе при его осно­
вании, если научных сотрудников было меньше, чем лаборантов?
7.10.7. [ГАУ] Производительность первого автомобильного завода не
превышает 950 машин в сутки. Производительность второго автомобиль­
ного завода первоначально составляла ровно 95% от производительности
первого завода. После ввода дополнительной линии второй завод увели­
чил производство машин в сутки ровно на 23% от числа машин, произво­
димых на первом заводе, и стал выпускать их более 1000 штук. Сколько
автомобилей за сутки выпускал каждый завод до реконструкции второ­
го завода? Предполагается, что каждый завод в сутки выпускает целое
код и чество маш и п.
7.10.8. [МГУ, эк. ф-т] Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью
по 80 т, по один вагон оказался загруженным не полностью. Тогда весь
174
груз переложили в вагоны вместимостью по 60 т, однако понадобилось на
8 вагонов больше и при этом все равно один вагон остался не полностью
загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 т,
однако понадобилось еще на 5 вагонов больше, при этом все такие вагоны
были загружены полностью. Сколько тонн груза было?
7.10.9. [ГАУ; МГУ, филолог, ф-т] В двух бригадах более 27 человек. Чи­
сло членов первой бригады более чем в 2 раза превышает число членов
второй бригады, уменьшенное на 12. Число членов вторе# бригады бо­
лее чем в 9 раз превышает число членов первой бригады, уменьшенное
на 10. Сколько человек в каждой бригаде?
7.10.10. [МГУ, филолог, ф-т] В двух ящиках находится более 29 оди­
наковых деталей. Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2,
более чем в 3 раза превышает число деталей во втором ящике. Утроен­
ное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей
во втором ящике, но менее, чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике?
7.10.11. [МГУ, эк. ф-т] В учебном корпусе на каждом этаже находится
одинаковое количество аудиторий. Всего в корпусе 96 аудиторий, и пло­
щадь каждой из них равна 46 м2. При строительстве корпуса суммарные
затраты на земляные, отделочные работы и оборудование аудиторий не
превысили 252720 рублей, причем на отделочные работы было израс­
ходовано по 2760 рублей на каждый этаж постройки, на оборудование
аудиторий — по 2000 рублей на каждую аудиторию, и на земляные ра­
боты на отведенном под строительство участке земли — по 14 рублей
на 1 м2 земельного участка. Известно, что площадь участка земли не
превосходит 2250 м2, а общая площадь всех аудиторий одного этажа в 5
раз меньше площади земельного участка. Сколько этажей в корпусе?
11. Вопросы делимости целых чисел
7.11.1. [МГУ, ВМиК] Число двухкомнатных квартир в доме в 4 раза
больше числа однокомнатных, а число трехкомнатных квартир кратно
числу однокомнатных. Если число трехкомнатных увеличить в 5 раз, то
их станет на 22 больше, чем двухкомнатных. Сколько всего квартир в
доме, если известно, что их не меньше 100?
7.11.2. [МГУ, эк. ф-т] На факультет от школьников подано на 600 за­
явлений больше, чем от производственников. Девушек среди школьни­
ков в 5 раз больше, чем девушек среди производственников, а юношей
среди школьников больше, чем юношей среди производственников, в п
раз, причем 6 ^ п ^ 12 (п — целое число). Определить общее количе­
ство заявлений, если среди производственников юношей на 20 больше,
чем девушек.
175
7.11.3. [МГУ, ф-т почвовед.] Рота солдат прибыла на парад в полном
составе прямоугольным строем по 24 человека в ряд. По прибытии ока­
залось, что не все солдаты могут участвовать в параде. Оставшийся для
парада состав роты перестроили так, что число рядов стало на 2 мень­
ше прежнего, а число солдат в каждом ряду стало на 26 больше числа
новых рядов. Известно, что если бы все солдаты участвовали в параде,
то роту можно было бы выстроить так, чтобы число солдат в каждом
ряду равнялось числу рядов. Сколько солдат было в роте?
1 1 7.11.4. [ГФА] Число научно-технических книг в библиотеке равно ^
от числа художественных. При переезде библиотеке книги погрузили
в два вагона. В первый вагон погрузили ^ часть научно-технических
1 о 1
книг и Щ частей художественных. Во второй вагон погрузили уд часть
художественных и научно-технических. Сколько книг каждого вида

было в библиотеке, если в первом вагоне оказалось более 10000 книг, а
во втором — менее 10000 книг?
7.11.5. [МГУ, псих, ф-т] В первой коробке находилось некоторое ко­
личество красных шаров, а во второй — синих, причем число красных
шаров составляло у|| от числа синих шаров. Когда из коробок удалили
о О
у красных шаров и у синих, то в первой коробке осталось менее 1000
шаров, а во второй — более 1000. Сколько шаров было первоначально в
каждой коробке?
7.11.6. [МГУ, филолог, ф-т] Пусть т и п — натуральные числа, причем
— — правильная несократимая дробь. На какие натуральные числа
можно сократить дробь 3 п — т
5п + 2т ’ если известно, что она сократима?
7.11.7. [МГУ, псих, ф-т] Абитуриенты сдавали экзамены в течение трех
дней в одних и тех же аудиториях. Число экзаменовавшихся в каждый
день абитуриентов в каждой аудитории было равным числу аудиторий.
Если бы экзамены проводились в другом корпусе, то их можно было
бы провести за 2 дня, используя каждый день одни и те же аудитории,
причем каждый день в каждой аудитории абитуриентов удалось бы рас­
садить по рядам так, что число рядов, а также число людей в ряду
было бы равным числу используемых аудиторий. Найти минимальное
возможное число абитуриентов, которое могло бы быть проэкзаменова­
но при этих условиях.
7.11.8. [МГУ, псих, ф-т] Собранные на бахче арбузы уложили в оди­
наковые контейнеры, положив в каждый контейнер одинаковое число
арбузов. Когда третью часть всех контейнеров погрузили в автомобили,
176
то число погруженных контейнеров оказалось равным числу арбузов в
одном контейнере. Пятая часть всех собранных арбузов была продана
магазином в течение нескольких дней, причем каждый день продава­
лось одно и то же число арбузов, равное квадрату числа дней продажи.
Какое минимальное количество арбузов могло быть собрано?
12. Наибольшие и наименьшие значения
7.12.1. [ГАУ] На собрании акционеров было решено увеличить прибыль
предприятия за счет расширения ассортимента продукции. Экономиче­
ский анализ показал, что 1) дополнительные доходы, приходящиеся на
каждый новый вид продукции, окажутся равными 75 млн руб. в год; 2)
дополнительные расходы при освоении одного нового вида продукции
составят 13 млн руб. в год, а освоение каждого последующего вида по­
требует на 7 млн руб. в год больше расходов, чем освоение предыдущего.
Найти значение максимального возможного прироста прибыли.
7.12.2. [МГУ, псих, ф-т] Две бригады трактористов одновременно начали
пахать 2 участка земли, причем участок второй бригады вдвое больше
участка первой. Во второй бригаде было на 10 трактористов больше, чем
в первой. Когда первая бригада еще работала, вторая уже вспахала свой
участок. Какое наибольшее число трактористов могло быть в первой
бригаде, если все трактористы работали с одинаковой скоростью?
7.12.3. [МЭСЙ] Два тела начинают одновременно двигаться равномерно
по прямым Ох и Оу, пересекающимся под прямым углом. Первое тело
движется со скоростью Зкм/ч по прямой Ох от точки А к точке О,
находящейся на расстоянии 2 км от точки А. Второе тело движется со
скоростью 4 км/ч по прямой Оу от точки В к точке О, находящейся на
расстоянии Зкм от точки В. Найти наименьшее расстояние (в км) между
этими телами во время движения.
7.12.4. [СГУ] От пристани оторвалась баржа и поплыла вниз по те­
чению, скорость которого равна и км/ч. Когда баржа проплыла Зкм,
от пристани вдогонку за ней отплыл катер, скорость которого в стоя­
чей воде равна 9 км/ч. Катер догнал баржу и отбуксировал ее назад на
пристань со скоростью 4 км/ч. а) Через сколько времени баржа была
возвращена на пристань? б) При какой скорости v это время было бы
наименьшим?
7.12.5. [СПбГУ] Трем бригадам поручена некоторая работа. Извест­
но, что 1-ая и 2-ая бригады, работая вместе, могут выполнить ее за 55
дней. Известно также, что 3-я бригада затратила бы на эту же работу
на 11 дней больше, чем 2-ая. Найдите наименьший возможный срок, за
который выполнят эту работу три бригады, работая вместе.
177
7.12.6. [СПбГУ] Вода в резервуар поступает по трем трубам. Если от­
крыты первые две из них, то этот резервуар наполнится за 45 часов.
Известно также, что через третью трубу он наполнится на 9 часов бы­
стрее, чем через вторую. Найдите наименьшее возможное время, за ко­
торое наполнится резервуар, если открыты все три трубы.
7.12.7. [МГУ, ИСАА] На счет, который вкладчик имел в начале первого
квартала, начисляется в конце этого квартала ri процентов, а на тот
счет, который вкладчик имел в начале второго квартала, начисляется
в конце этого квартала Г2 процентов, причем г\ + гг = 150. Вкладчик
положил на счет в начале первого квартала некоторую сумму и снял в
конце того же квартала половину этой суммы. При каком значении г\
счет вкладчика в конце второго квартала окажется максимально воз­
можным?
7.12.8. [МАДИ] Одна и та же резина на передних колесах автомобиля
выходит из строя через 24000км, а на задних — через 36000км. Каково
максимальное расстояние, которое автомобиль может пройти на этой
резине, если передние и задние колеса можно менять местами?
7.12.9. [МЭСИ] Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоро­
стью v км/ч составляет (90 + 0,4и2) рублей в час. С какой скоростью
должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути была наименьшей?
7.12.10. [МЭСИ] Пункты А и В расположены на прямолинейной ма­
гистрали в 9 км друг от друга. Из пункта А в направлении пункта В
выходит автомашина, двигающаяся равномерно со скоростью 40 км/ч.
Одновременно из пункта В в том же направлении с постоянным ускоре­
нием 32 км /ч2 выходит мотоцикл. Найти наибольшее расстояние между
автомашиной и мотоциклом в течение первых двух часов движения.
13. Логические трудности в задачах
7.13.1. [МГУ, мех.-мат.] Два поезда выехали одновременно в одном на­
правлении из городов А и В, расположенных на расстоянии 120 км друг
от друга, и одновременно прибыли на станцию С. Если бы один из них
уменьшил свою скорость на 12км/ч, а другой — на 9км/ч, то они так­
же прибыли бы одновременно на станцию С , но на 2 ч позже. Найти
скорость поездов.
7.13.2. [МПГУ] Из пункта А в пункт В вышел пешеход и выехал ве­
лосипедист, а из В в А выехал верховой. Все трое отправились в путь
одновременно. Через 2 ч велосипедист и верховой встретились на рас­
стоянии 3 км от середины АВ, а еще через 48 мин встретились пешеход
и верховой. Найдите скорость каждого и расстояние АВ, если известно,
что пешеход движется вдвое медленнее велосипедиста.
178
7.13.3. [МГТУ] По плану одной бригаде нужно изготовить на 600 изде­
лий больше, чем другой за то же время. Чтобы каждая бригада выпол­
нила свой план на 2 дня раньше, в первую бригаду добавили 4 человека,
а во вторую — 3. Сколько рабочих было в каждой бригаде во время ра­
боты, если каждый из них изготовлял в среднем по 15 изделий в день?
7.13.4. [УрГУ] На рынке 1кг апельсинов и Зкг грейпфрутов вместе
стоят столько же, сколько 4 кг мандаринов, а по 1кг самого дорогого
и самого дешевого из этих продуктов да еще 1 кг грейпфрутов и 2 кг
мандаринов — столько же, сколько 6 кг апельсинов. Сколько стоит 1 кг
каждого из этих фруктов, если 1 кг самого дорогого из них стоит на 1
рубль больше, чем 1 кг самого дешевого?
7.13.5. [МГУ, эк. ф-т] Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Не позже
чем через 40 мин вслед за ним вышел второй. Известно, что в пункт В
один из них пришел раньше другого не менее, чем на 1 час. Если бы
пешеходы вышли одновременно, то они бы пришли в пункт В с интер­
валом не более чем в 20 мин. Определить, сколько времени требуется
каждому пешеходу на путь от А до В, если скорость одного из них в 1,5
раза больше скорости другого.
7.13.6. [МГУ, эк. ф-т] Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Не позже,
чем через 1ч 20 мин вслед за ним вышел второй. В пункт В сначала
пришел один из пешеходов, а другой достиг В не раньше, чем через 2 ч
после этого. Если бы пешеходы вышли одновременно, то они прибыли
бы в пункт В с интервалом не более, чем в 40 мин. Определить, сколько
времени требуется каждому пешеходу на путь от А до В, если скорость
одного из них в 2 раза больше скорости другого.
7.13.7. [МГУ, мех.-мат.] Два бегуна стартовали раздельно в одной точ­
ке стадиона в беге на 25 кругов, причем второй начал движение, когда
первый прошел полкруга. Один из зрителей вышел со стадиона, когда
бегуны были рядом. Когда через 13 мин он вернулся, бегуны снова были
рядом. Если бы первый бегун после третьего круга увеличил скорость
в 2 раза, а второй бегун после десятого круга — в 3 раза, то оба бегуна
финишировали бы одновременно. Определить, с какой разницей во вре­
мени финишировали бегуны, если закончивший бег вторым пробегал за
минуту менее круга.

7.14.1. [МЭСИ] Три брата, возраст которых образует геометрическую
прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально
своему возрасту. Если бы они сделали это через 3 года, когда самый
179
младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил
бы на 105, а средний на 15 рублей больше, чем сейчас. Сколько лет
старшему брату?
7.14.2. [МГУ, мех.-мат.] Путь из села в город идет сначала по грунтовой
дороге, а затем по шоссе. Из села в город в 7 ч утра выехал автомоби­
лист и одновременно с ним из города в село выехал мотоциклист. Мото­
циклист двигался по шоссе быстрее, чем по грунтовой дороге в ^ раза, а
О
автомобилист — в ^ раза (движение обоих по шоссе и по грунтовой до­
роге равномерное). Они встретились в 9 ч 15 мин; автомобилист приехал
в город в 11ч, а мотоциклист приехал в село в 12 ч 15 мин. Определить,
сможет ли автомобилист приехать в город до 11 ч 15 мин, если весь путь
из села в город он будет ехать с первоначальной скоростью.
7.14.3. [МФТИ] Автомобили «Рено» и «Крайслер» движутся по коль­
цевой дороге, ^ часть которой проходит по городу. Скорость «Рено» в
городе равна 2v, а за пределами города равна Скорость «Крайслера»
в городе равна ц, а за пределами города равна Згк Автомобили одновре­
менно въезжают в город. Через какое время один из них совершит обгон
другого, если длина городского участка кольцевой дороги равна 5?
7.14.4. [МГУ, геолог, ф-т] Четыре цеха изготавливают детали прессо­
ванием. В двух из них установлены прессы нового типа, а в двух —
старого. Всего прессов каждого типа имеется не менее 5. Количество
прессов во всех цехах одинаково. Изготовление 400 деталей на новом
прессе занимает на Зч меньше времени, чем 420 деталей на старом.
На новых прессах изготовили по 200 деталей, а на старых — по 300. Если
сложить время работы всех прессов, то окажется, что за получившееся
суммарное время цех, оборудованный тремя новыми и двумя старыми
прессами, работающими одновременно, может изготовить 17640 деталей.
Найти производительность каждого пресса.
7.14.5. [МГУ, эк. ф-т] В 6 часов утра из пункта А в пункт В по течению
реки отправились лодка и катер. Лодка прибыла в пункт В в 16 часов
того же дня. Катер, дойдя до пункта В, сразу повернул и на своем пути
из В в А встретил лодку не позднее 14 часов, а прибыл в пункт А не
ранее 22 часов того же дня. Найти время прибытия катера в пункт В,
если его собственная скорость (скорость в стоячей воде) вдвое больше
собственной скорости лодки.
7.14.6. [ВШЭ] На базе имелось 3 вида наборов флажков: белых, крас­
ных и синих (в набор каждого вида входят флажки одного цвета). Спор­
тивный лагерь купил для игры «Зарница» по одному набору белых и
красных флажков и 4 набора синих (из расчета по одному флажку на
180
каждого ребенка). При этом оказалось, что общее количество флажков
больше, чем количество детей, на 2. Если бы было куплено 4 набора
белых и 1 набор синих флажков, то об детям флажков бы не досталось.
Если купить 4 набора красных флажков и 1 синих, го общее количество
флажков будет на 39 меньше числа детей. Сколько детей было в лагере,
если купив по 3 набора флажков каждого цвета, лагерь не обеспечил бы
всех детей флажками?
7.14.7. [МГУ, геолог, ф-т] По расписанию автобус должен проходить
путь A D , состоящий из отрезков А В , В С , C D длиной 5, 1, 4 км соответ­
ственно, за I ч. При этом, выезжая из пункта А в 10 ч, он проходит пункт
В в 10 ч 10 мин, пункт С — в 10 ч 34 мин. С какой постоянной скоростью
v должен двигаться автобус, чтобы время, за которое автобус проходит
половину пути от А до D (со скоростью с), сложенное с суммой абсо­
лютных величин отклонений от расписания при прохождении пунктов
В a D , превышало абсолютную величину отклонения от расписания при
прохождении пункта С не более, чем на 28 мин?
7.14.8. [МГУ, геолог, ф-т] Автобус проходит путь А Е , состоящий из
участков А В , В С , C D , D E длиной 10, 5, 5, 6 км соответственно. При
этом согласно расписанию, выезжая из пункта А в 9 ч, он проходит пункт
1 О О
В в 9 | ч , пункт С — в 9g ч, пункт D — в 9 | ч . С какой постоянной ско­
ростью v должен двигаться автобус, чтобы сумма абсолютных величин
отклонений от расписания прохождения пунктов В, С, D и времени дви­
жения автобуса от А до Е при скорости v не превосходила 51,7 мин?
7.14.9. [МГУ, геолог, ф-т] Согласно расписанию катер проходит по ре­
ке, скорость течения которой 5 км/ч, путь из А в D длиной 15 км за
1 час. При этом, выходя из пункта А в 12 ч, он прибывает в пункты
В и С, отстоящие от А на расстояние 11км и 13 км соответственно, в
12 ч 20 мин и в 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигался из А в
D без остановок с постоянной скоростью v (относительно воды), то сум­
ма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты
B , С , D не превышала бы уменьшенного на полчаса времени, необходи­
мого катеру для прохождения 5 км со скоростью v в стоячей воде. Какой
из пунктов находится выше по течению: А или D?
7.14.10. [МГУ, геолог, ф-т] Согласно расписанию пароход проходит по
реке, скорость течения которой 6 км/ч, путь из А в D длиной 18 км,
за 1 ч. При этом, выходя из пункта А в 10 ч, он прибывает в пункты В и
C, отстоящие от А на расстоянии 14 и 17 км соответственно, в 10 ч 12 мин
и в 10 ч 18 мин. Известно, что если бы пароход двигался из А в D без
остановок с постоянной скоростью v (относительно воды), то сумма аб­
солютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты В , С
и D не превышала бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого
181
пароходу для прохождения 6 км со скоростью v в стоячей воде. Какой
из пунктов находится выше по течению: А или D?
7.14.11. [ГФА; МЭСИ] Имеются 3 сплава. Первый сплав содержит 30%
никеля и 70% меди; второй — 10% меди и 90% марганца; третий — 15%
никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить но­
вый сплав, содержащий 40% марганца. Какое наименьшее и какое наи­
большее процентное содержание меди может быть в этом новом сплаве?
7.14.12. [МГУ, хим. ф-т] Даны три сплава. Состав первого сплава: 60%
алюминия и 40% хрома. Состав второго сплава: 10% хрома и 90% титана.
Состав третьего сплава: 20% алюминия, 50% хрома и 30% титана. Из
них нужно приготовить новый сплав, содержащий 45% титана. Какие
значения может принимать процентное содержание хрома в атом новом
сплаве?
7.14.13. [ГФА] Имеется три сплава. Первый сплав содержит 70% олова
и 30% свинца, второй — 80% олова и 20% цинка, третий — 50% олова,
10% свинца и 40% цинка. Из них необходимо приготовить сплав, содер­
жащий 15% свинца. Какое наибольшее и какое наименьшее процентное
содержание олова может быть в этом сплаве?
7.14.14. [МИЭТ] Турист идет из пункта А, находящегося на шоссе, в
пункт В, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от Л до В равно
17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в крат­
чайшее время прийти в пункт В , если скорость туриста по шоссе 5 км/ч,
а по бездорожью 3 км/ч?
7.14.15. [МГУ, эк. ф-т] Предприятие производит детские велосипеды и
является убыточным. Известно, что при изготовлении т велосипедов в
месяц расходы предприятия на выпуск одного велосипеда составляют не
менее + 36 — 112 — —^ 0 1 тыс_ руб., а цена реализации каждого ве-
О
лосипеда при этом не превосходит 72— тыс. руб. Определить еже­
месячный объем производства, при котором ежемесячные убытки могут
быть снижены до наименьшего из возможных в данных условиях уровня.
Вариант полной остановки производства исключен.
7.14.16. [МГУ, эк. ф-т] Предприятие производит телевизоры и являет­
ся прибыльным. Известно, что при изготовлении п телевизоров в месяц
расходы предприятия на выпуск одного телевизора составляют не менее
^500 -}_ 270 — j90 — 40^00 J ТЬ1С руб.5 а цена реализации каждого телевизо-
О
ра при этом не превосходит 540— тыс. руб. Определить ежемесячный
объем производства, при котором может быть получена наибольшая из
возможных в данных условиях ежемесячная прибыль.
182
7.14.17. [МЭСИ] Когда пароходы были еще несовершенны, считалось,
что количество расхода в час топлива пропорционально кубу скорости
парохода. При скорости 15 км/ч тратили 1,5 т угля в час по цене 18 ру­
блей за тонну, а другие расходы составляли 16 рублей в час. Найти в
рублях наименьшую стоимость прохождения пути в 2000 км.
7.14.18. [МГУ, эк. ф-т] Из строительных деталей двух видов можно
собрать 3 типа домов. Для сборки 12-квартирного дома необходимо 70
деталей первого и 100 деталей второго вида. Для сборки 16-квартирного
дома требуется 110 и 150, а для дома на 21 квартиру нужно 150 и 200
деталей первого и второго вида, соответственно. Всего имеется 900 дета­
лей первого и 1300 деталей второго вида. Сколько и каких домов нужно
собрать, чтобы общее число квартир в них было наибольшим?
7.14.19. [МГУ, мех.-мат.] В двух различных емкостях содержались смеси
воды и песка, причем в первой емкости было 1000 кг смеси, а во второй
— 1960 кг. В обе емкости добавили воды. Причем процентное содержание
песка в смесях уменьшилось в к раз в первой емкости и в п раз во второй.
О числах к и п известно только, что к ■ п ~ 9 — к. Найти наименьшее
количество воды, которое могло быть долито в обе емкости вместе.
7.14.20. [МГУ, эк. ф-т] В магазине продаются красные и синие каранда­
ши. Красный карандаш стоит 17 копеек, синий карандаш — 13 копеек.
На покупку карандашей можно затратить не более 4 рублей. При по­
купке число синих карандашей не должно отличаться от числа красных
карандашей более чем на 5. Необходимо купить максимально возмож­
ное суммарное количество красных и синих карандашей, при этом крас­
ных карандашей нужно купить как можно меньше. Сколько красных и
сколько синих карандашей можно купить при указанных условиях?

Ответы к задачам по математике Куланин from zoner

Категория: Математика | Добавил: Админ (23.04.2016)
Просмотров: | Теги: Куланин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar