Тема №6148 Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 3) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

7.14.21. [ГФА] Группа студентов сдавала экзамен по математике. Число
студентов, сдавших экзамен, оказалось в интервале от 96,8% до 97,6%.
Каково наименьшее возможное число студентов в такой группе?
7.14.22. [МГУ, геогр. ф-т] При подведении итогов соревнования вычисле­
но, что процент числа членов бригады, перевыполнивших план, заклю­
чен в пределах от 92,5% до 93,5%. Определить минимально возможное
число членов такой бригады.
7.14.23. [ГФА] Процент учеников некоторого класса, не повысивших во
втором полугодии успеваемость, заключен в пределах от 96,9% до 97,1%.
Определить минимально возможное число учеников в таком классе.
7.14.24. [МГУ, филолог, ф-т] В коробке находятся 13 красных и 17 белых
шаров. Разрешается проводить в любом порядке и в любом количестве
следующие операции:
а) увеличить на 2 число красных шаров и одновременно уменьшить
на 1 число белых шаров;
183
б) увеличить на 1 число красных шаров и одновременно увеличить
на 2 число белых шаров;
в) уменьшить на 2 число красных шаров и одновременно увеличить
на 1 число белых;
г) уменьшить на 1 число красных шаров и одновременно уменьшить
на 2 число белых.
Можно ли, совершая такие действия, добиться того, чтобы в ящике ока­
залось 37 красных и 43 белых шара? Ответ обосновать.
7.14.25. [МГУ, псих, ф-т] Найти все натуральные трехзначные числа,
каждое из которых обладает следующими двумя свойствами:
- первая цифра числа в 3 раза меньше последней его цифры;
- сумма самого числа с числом, получающимся из него перестановкой
второй и третьей цифр, делится на 8 без остатка.
7.14.26. [МГУ, псих, ф-т] Найти все натуральные трехзначные числа,
каждое из которых обладает следующими двумя свойствами:
- первая цифра в 3 раза меньше суммы двух других его цифр;
- разность между самим числом и числом, получающимся из него
перестановкой двух последних его цифр, неотрицательна и делится на 81
без остатка.
7.14.27. [МГУ, эк. ф-т] Строительный отряд состоит из 32 бойцов, ка­
ждый из которых владеет одной или двумя строительными специально­
стями: каменщик, бетонщик, плотник. Бойцов, владеющих профессией
плотника, в отряде в 2 раза больше, чем бойцов, владеющих профессией
бетонщика, и в п раз меньше, чем бойцов, владеющих профессией камен­
щика, причем 3 ^ п ^ 20 [п —- целое число). Сколько бойцов в отряде
владеет только одной профессией, если число бойцов, владеющих дву­
мя профессиями, на 2 больше, чем число бойцов, владеющих профессией
плотника?
7.14.28. [МГУ, эк. ф-т; ГФА] Две бригады землекопов вырыли по одина­
ковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой.
Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы
закончить работу на 2 часа раньше. Определить число землекопов в ка­
ждой бригаде, если производительность у всех одинакова.
7.14.29. [МГУ, псих, ф-т] Найти все тройки целых чисел и, v, w, для
которых выполняется условие 3(и — З)2 + 6v2 + 2w2 -f- Sv2 • w2 = 33.
7.14.30. [МГУ, филолог, ф-т] Через некоторое время после начала ра­
боты первая бригада собрала на 2 автомобиля больше, чем вторая. За­
тем вторая бригада увеличила производительность труда в 1,1 раза и,
собрав на втором этапе работы целое число автомобилей тг, догнала пер­
вую, работавшую все время с постоянной производительностью. Найти
наименьшее возможное целое число п

7.14.31. [ГФА] В вазе лежат конфеты двух сортов, причем числоконфет
первого сорта более, чем на 20 штук, превышает число конфет второго
сорта. Одна конфета первого сорта весит 2 г, а конфета второго сорта — 1
Зг. Из вазы взяли 15 конфет одного сорта, вес которых составил Ф часть D
от веса всех конфет, лежавших в вазе. Затем было взято еще 20 конфет
другого сорта; их вес оказался равным весу оставшихся в вазе конфет.
Сколько конфет каждого сорта лежало первоначально в вазе?
7.14.32. [МГУ, эк. ф-т] На прямой дороге расположены последователь­
но пункты А, В, С, D. Расстояние от пункта А до пунктов В, С и D
находятся в отношении 1 : 2 : 4. В направлении от А к D по дороге через
равные промежутки времени с одной и той же скоростью едут автобу­
сы. Из А в D вышли в разное время 3 пешехода и пошли по дороге с
одной и той же скоростью. Первого пешехода после выхода из пункта А
и до прихода в пункт В обогнали 3 автобуса. Второго пешехода после
выхода из пункта А и до прихода в пункт С обогнали 4 автобуса. Из­
вестно, что когда он выходил из пункта .4, через пункт А не проезжал
очередной автобус. Третий пешеход вышел из А и пришел в D, когда
через эти пункты проезжали очередные автобусы. Сколько автобусов
обогнали третьего пешехода в пути между А и D?
7.14.33. [ГФА] Два брата продали стадо овец, выручив за каждую овцу
столько рублей, сколько было в стаде овец. Желая разделить выручку
поровну, они поступили следующим образом: каждый брат, начиная со
старшего, брал из общей суммы по 10 рублей. После того, как в оче­
редной раз старший брат взял 10 рублей, остаток от выручки оказал­
ся меньше 10 рублей. Желая его компенсировать, старший брат отдал
младшему свой нож. Во сколько рублей был оценен этот нож? (Все сум­
мы денег — целое количество рублей.)
7.14.34. [МГУ, ВМиК] На заводе было несколько одинаковых прессов,
штампующих детали, и завод выпускал 6480 деталей в день. После ре­
конструкции все прессы заменили на более производительные, но также
одинаковые, а их количество увеличилось на 3. Завод стал выпускать в
день 11200 деталей. Сколько прессов было первоначально?
7.14.35. [ГФА] Автобаза выделила автобусы для перевозки детей в два
пионерских лагеря. Часть этих автобусов перевезла детей в один лагерь,
а другая часть, в которой было на 4 автобуса больше, — во второй. В
первом пионерлагере было 195 пионеров, а во втором — 255. Известно,
что для любых двух автобусов, везших детей в один пионерский ла­
герь, количество перевозимых детей отличалось не более; чем на 1, а
наибольшая разница в количестве перевезенных детей в двух автобусах
для разных лагерей равна 5. Сколько было автобусов?
185
7.14.36. [МГУ, эк. ф-т] Фабрика получила заказ на изготовление 6000
деталей типа Р и 2000 деталей типа Q. Каждый из 214 рабочих фабрики
затрачивает на изготовление 5 деталей типа Р время, за которое он
мог бы изготовить 3 детали типа Q. Каким образом следует разделить
рабочих фабрики на 2 бригады, чтобы выполнить заказ за наименьшее
время, при условии, что обе бригады приступают к работе одновременно
и каждая из бригад будет занята изготовлением деталей только одного
типа?
7.14.37. [МГУ, эк. ф-т] Сорок девять колхозников, работающих с оди­
наковой производительностью, были разбиты на две бригады, каждая
из которых собрала одинаковое количество картофеля. Первая бригада
закончила работу на 1 час позже второй. Обе бригады работали с пере- Q
рывами на отдых, причем вторая бригада отдыхала не менее g часа и не
более | часа. Если бы обе бригады работали без перерывов, то первая
бригада могла бы собрать картофеля в ^ раза больше, а вторая — в |
раза больше. Сколько колхозников в каждой бригаде?
7.14.38. [МГУ, ВМиК] Из пункта А в пункт В по железной дороге нужно
перевезти 20 больших и 250 малых контейнеров. Один вагон вмещает 30
малых контейнеров, вес каждого из которых 2 тонны. Большой контей­
нер занимает место 9 малых и весит 30 тонн. Грузоподъемность вагона
80 т. Найти минимальное число вагонов, достаточное для перевозки всех
контейнеров.
8. Прогрессии
Основные сведения и формулы
1. Арифметической прогрессией с разностью d называется последо­
вательность чисел (конечная или бесконечная), каждый член an+i ко­
торой равен предыдущему — аП) сложенному с d, т. е. an+i = ап + ф
п = 1,2,.,. Тогда ап = ai + d(n — 1).
Сумма Sn ~ ai + й2 + ... + ап первых п членов арифметической
прогрессии находится по формулам: 5n = Ql ^ а» -п = ^ -п.
При решении задач на арифметическую прогрессию полезно записать
все данные из условия, выразив их через а%, d и (при необходимости) п.
Если три числа а, 6, с являются последовательными членами ариф­
метической прогрессии, то выполняется равенство: о + с = 2Ь.
2. Геометрической прогрессией со знаменателем q ф 0 называется по­
следовательность чисел (конечная или бесконечная), каждый член Ьп+\
которой равен предыдущему — Ьп, умноженному на <?, т. е. Ъп+\ = Ьп ■ q,
п — 1 ,2 ,... Тогда bn ~ b i - qn~x.
186
Сумма Sn ■= b\ + 62 + ■ • ■ + bn первых n членов геометрической про­
грессии при q ф 1 находится по формуле Sn = — ^ Если же q = 1 ,
то Sn = h • п. При q € (—1 ; 1) сумма 5 = i>i + b2 4- ... 4- Ьп 4- ... всех
членов геометрической прогрессии находится по формуле: S = ^ ^ .
При решении задач на геометрическую прогрессию полезно записать
все данные из условия, выразив их через 6i, q и (при необходимости) п.
Если три числа а, 6, с являются последовательными членами геоме­
трической прогрессии, то выполняется равенство: ас~Ь2.
Группа А
1. Арифметическая прогрессия
8.1.1. [МВВДИУ] Второй и четвертый члены арифметической прогрес­
сии равны 6 и 16 соответственно. Найти пятый член прогрессии.
8.1.2. [ГФА] Найти сумму двенадцати первых членов арифметической
прогрессии, если известно, что ее второй член равен 8, а десятый —
сорока.
8.1.3. [МГУ, геолог, ф-т] Четвертый член арифметической прогрессии
равен 16, а сумма седьмого и десятого 5. Найдите сумму первых восем­
надцати членов прогрессии.
8.1.4. [МГУ, физ. ф-т] Найти первый член и разность арифметической
прогрессии, если известно, что пятый и девятый члены дают в сумме 40,
а сумма седьмого и тринадцатого членов равна 58.
8.1.5. [ВАХЗ] Сумма четвертого и шестого членов арифметической
прогрессии равна 14. Найти сумму первых девяти членов прогрессии.
8.1.6. [МГУ, ВМиК] Найти сумму первых двадцати членов арифмети­
ческой прогрессии, если известно, что сумма третьего, седьмого, четыр­
надцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии равна 10.
8.1.7. [МАИ] Сумма второго, третьего и четвертого членов убывающей
арифметической прогрессии в три раза больше квадрата разности этой
прогрессии. Сумма третьего и шестого ее членов равна двум. Найдите
сумму первых шести членов этой прогрессии.
8.1.8. [МИСиС] Найдите сумму девяти первых членов арифметической
прогрессии, если разность между седьмым и третьим членами равна 8,
произведение второго и седьмого членов равно 75, причем известно, что
все члены прогрессии положительны.
187
8.1.9. [РЗИТЛП] В арифметической прогрессии член ад в 3 раза больше
члена аз, а при делении aj на аз получается частное 2 и остаток 1. Найти
сумму первых десяти членов прогрессии.
8.1.10. [РГАЗУ] Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел,
кратных трем.
8.1.11. [РГГУ] Найти сумму всех трехзначных чисел, которые при де­
лении на 11 дают в остатке 9.
8.1.12. [МПУ] При свободном падении тело проходит в первую секунду
4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыду­
щую. Сколько времени будет падать тело с высоты 4410 м?
8.1.13. [МГАЛП] В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма чле­
нов, стоящих на четных местах, равна 250, а на нечетных —- 220. Найти
десятый член прогрессии.
8.1.14. [МАМИ] Сумма третьего и седьмого членов арифметической
прогрессии равна 24, а их произведение равно 128. Найти разность про­
грессии.
2. Геометрическая прогрессия
8.2.1. [РЭА] Sn — сумма первых п членов геометрической прогрессии.
Найти знаменатель прогрессии, если при любом п выполняется равен-
s.2.2. [МГУ, псих, ф-т] Сумма первых пяти членов геометрической про­
прогрессии равен ее третьему члену, умноженному на 4. Найти четвер­
тый член прогрессии, если известно, что ее знаменатель положителен.
8.2.3. [МГУ, геогр. ф-т] Произведение первого и пятого членов геоме­
трической прогрессии равно 12. Частное от деления второго члена на
четвертый равно 3. Найти второй член прогрессии.
8.2.4. [БГАРФ] Определить три положительных числа, которые образу­
ют геометрическую прогрессию, если их сумма равна 21, а сумма обрат-
7
ных величин равна — •
8.2.5. [МГТУГА] Найти геометрическую прогрессию, если сумма первых
трех членов равна 7, а их произведение равно 8.
8.2.6. [МГАХМ] Сумма первых трех членов геометрической прогрессии
равна 12, а сумма первых шести членов равна —84. Найти третий член
прогрессии.
188
8.2.7. [МЭИ] Частное от деления 4-го члена геометрической прогрессии
на ее первый член равно 64, третий член прогрессии равен 8. Найти 1-й
член прогрессии.
8.2.8. [МАИ] Найдите знаменатель возрастающей геометрической про­
грессии, если разность пятого и первого членов прогрессии в пять раз
больше разности третьего и первого ее членов.
8.2.9. [ВГУ] В геометрической прогрессии сумма первых трех членов
равна 9, а сумма первых шести членов равна —63. Найдите сумму первых
десяти членов этой прогрессии.
8.2.10. [МТУСИ] В геометрической прогрессии первый член равен 1,
а сумма первых пяти членов в восемь раз превосходит сумму обратных
величин этих же членов. Найдите знаменатель прогрессии.
8.2.11. [МАДИ] В геометрической прогрессии сумма первого и пятого
членов равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько
членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069?
8.2.12. [МЭИ] Сумма первого, удвоенного второго и утроенного четвер­
того членов геометрической прогрессии равна 2; ее первый член, знаме­
натель и второй член образуют арифметическую прогрессию. Найдите
знаменатель и первый член геометрической прогрессии.
8.2.13. [МГГУ] Поместить между числами 7 и 56 два числа, которые
образовывали бы вместе с данными числами геометрическую прогрес­
сию.
8.2.14. [ГАНГ] Произведение восемнадцатого и двадцать третьего чле­
нов геометрической прогрессии равно 1,9. Найти произведение двенадца­
того и двадцать девятого членов этой прогрессии.
8.2.15. [МГАХМ] Найти третий член геометрической прогрессии, если
ее знаменатель равен 3, а сумма первых четырех членов равна —40.
3. Арифметическая и геометрическая прогрессии
8.3.1. [МТУСИ] Три числа х, у, z образуют в указанном порядке геоме­
трическую прогрессию, а числа х, 2у, 3z образуют в указанном порядке
арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической про­
грессии, отличный от единицы.
8.3.2. [МЭСИ] Три числа, сумма которых равна 78, образуют возраста­
ющую геометрическую прогрессию. Их можно рассматривать также как
первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найти
большее число.
189
8.3.3. [МГСУ] Три числа, третьим из которых является 12, составляют
геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то получившиеся
числа составляют арифметическую прогрессию. Найти исходные числа.
8.3.4. [СПбГУ] Три числа являются первым, вторым и третьим чле­
нами арифметической прогрессии и, соответственно, первым, третьим
и вторым членами геометрической прогрессии. Найдите эти числа, если
известно, что сумма квадрата первого из них, удвоенного второго и утро-
3
енного третьего равна - .
ТЬ
8.3.5. [МИЭМ] Найти арифметическую прогрессию, если известно, что
сумма первых десяти членов равна 300, а первый, второй и пятый члены
прогрессии, кроме того, образуют геометрическую прогрессию.
8.3.6. [МГСУ] Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геоме­
трическую прогрессию, равна 65. Если от 1-го числа отнять 1, второе
оставить без изменений, а от третьего отнять 19, то получатся числа,
составляющие арифметическую прогрессию. Найти первоначальные три
числа.
8.3.7. [ОмГТУ] 5 различных чисел являются последовательными чле­
нами арифметической прогрессии. Если удалить ее 2-й и 3-й члены, то
три оставшиеся числа являются последовательными членами геометри­
ческой прогрессии. Найти ее знаменатель.
Группа Б
4. Арифметическая прогрессия
8.4.1. [ВАХЗ] Решить уравнение, в котором х — натуральное число:
х — 1 х — 2 х — 3 1 7
----------1------------ 1------------ Ь . -. Н----- = — .
х2 Xя ха X2 15
8.4.2. [МИЭТ] При каких значениях а числа 2 cos ^ , 4sina, 6sin(7r —о)
являются последовательными членами арифметической прогрессии?
8.4.3. [МПУ] Даны три последовательных члена арифметической про­
грессии sin х , sin 2х, sin Зх. Найти х.
8.4.4. [СПбГУ] Корни уравнения х3 — 6х2 + За: + а = 0 при некотором а
образуют арифметическую прогрессию. Найдите эту прогрессию.
8.4.5. [СПбГТУ] Найдите сумму первых 50 совпадающих членов двух
арифметических прогрессий 2; 7; 12;... и 3; 10; 17;...
190
5. Геометрическая прогрессия
8.5.1. [МАДИ] В геометрической прогрессии сумма первого и пятого
членов равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько
членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069?
8.5.2. [МГУ, ИСАА] Найти х, если известно, что числа —1, х + 2,
sinfarcsin х), взятые в указанном порядке, образуют геометрическую
прогрессии.
8.5.3. [МГАПБ] Найти отношение третьего члена убывающей геоме­
трической прогрессии к ее пятнадцатому члену, если сумма двенадцати
членов этой прогрессии, начиная с тринадцатого, составляет 40% суммы
ее первых двенадцати членов.
8.5.4. [МТУСИ] Найти три числа, образующие геометрическую про­
грессию, зная, что сумма их равна 62, а сумма их квадратов равна 2604.
8.5.5. [МИСиС] Сумма первых трех членов убывающей геометрической
прогрессии равна 14, а сумма их квадратов равна 84. Найдите первый
член прогрессии.
8.5.6. [МАИ] Три числа а, Ь, с являются последовательными членами
геометрической прогрессии. Найдите
logb 3(loga2 с - Iogc у/д)
loga 9 — 2 logc 3
6. Арифметическая и геометрическая прогрессии
8.6.1. [МГУ, геогр. ф-т] Числа ах, аг, аз образуют арифметическую про­
грессию, а квадраты этих чисел составляют геометрическую прогрес­
сию. Найти ах, аг, аз, если известно, что ах + аг + йз = 21.
8.6.2. [МГСУ] Найти 4 положительных числа, из которых первые 3
составляют арифметическую прогрессию, а последние 3 — геометриче­
скую прогрессию. Сумма первых трех чисел равна 12, а сумма последних
трех равна 19.
8.6.3. [МГУ, ф-т почвовед.] Первый член арифметической прогрессии
в два раза больше первого члена геометрической прогрессии и в пять
раз больше второго члена геометрической прогрессии. Четвертый член
арифметической прогрессии составляет 50% от второго ее члена. Найти
первый член арифметической прогрессии, если известно, что второй ее
член больше третьего члена геометрической прогрессии на 36.
191
Группа В
7. Арифметическая прогрессия
8.7.1. [МГУ, геолог, ф-т] Длины сторон АВ, ВС и АС треугольника
АВС образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Най­
ти отношение высоты треугольника АВС, опущенной из вершины А на
сторону ВС, к радиусу вписанной окружности.
8.7.2. [МИФИ] При каких у Е R числа \jy2 + 2г/ + 1, У ^ ~ * , у - 1,
взятые в указанном порядке, являются тремя последовательными чле­
нами арифметической прогрессии?
8.7.3. [ВШЭ] Найти такую арифметическую прогрессию, чтобы между
суммой ее первых х членов и суммой кх следующих за ними членов
существовало постоянное соотношение, не зависящее от х.
8.7.4. [МГУ, геогр. ф-т] При каких значениях параметра а четыре корня
уравнения я4 + (а — З)#2 + (а + 10)2 = 0 являются последовательными
членами арифметической прогрессии?
8.7.5. [СПбГТУ] Найдите положительные а, для которых все различ­
ные неотрицательные т, удовлетворяющие уравнению cos((8o — 3)аг) =
— cos((14a + 5)ж) и расположенные в порядке возрастания, образуют
арифметическую прогрессию.
8.7.6. [МАИ] Найдите все целые числа, каждое из которых является
первым членом арифметической прогрессии с разностью, равной 7, и
суммой первых нескольких членов, равной 2744.
8. Геометрическая прогрессия
8.8.1. [СПбГТУ] Числа 1—cos2a;, cosz— ^ sin-2 х являются членами
геометрической прогрессии с номерами к, к + 1, к + 2 соответственно.
Найдите все значения х и к, если известно, что 15-й член этой прогрессии
27 равен
8.8.2. [СПбГТУ] Решить уравнение х3 + За;2 — Ьх + а = 0, зная, что
есть три различных действительных корня, образующих геометриче­
скую прогрессию.
8.8.3. [МГУ, биолог, ф-т] Даны две различные геометрические прогрес­
сии, первые члены которых равны 1, а сумма знаменателей равна —4.
Известно, что сумма шестых членов прогрессий равна —724. Найти сум­
му пятых членов прогрессий.
192
8.8.4. [МГУ, эк. ф-т] Натуральные числа а, 6, с, взятые в указанном
порядке, образуют возрастающую геометрическую прогрессию, знаме­
натель которой является целым числом. Числа 2240 и 4312 делятся без
остатка на & и с соответственно. Найти числа а, b и с, если известно, что
при указанных условиях сумма а + Ь + с максимальна.

10.1.1. [МАТИ] Две стороны треугольника равны соответственно 6см
и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, перпендикулярны. Най­
ти площадь треугольника.
10.1.2. [МАТИ] Основание треугольника равно 26см. Медианы боковых
сторон равны 30 см и 39 см. Найти площадь треугольника.
10.1.3. [МАТИ] Медианы треугольника равны Зсм, 4 см, 5 см. Найти
площадь треугольника.
Ю Л .4. [МАТИ] Основание треугольника равно 14см, а медианы, прове­
денные к боковым сторонам — 3\/7 см и 6\/7 см. Найти боковые стороны
треугольника.
10.1.5. [МГУ, филолог, ф-т] Есть ли тупой угол у треугольника со сто­
ронами 10, 14 и 17?
10.1.6. [МАИ] В треугольнике АВС сторона АС равна 6, сторона АВ
равна с, а биссектриса внутреннего угла А пересекается со стороной ВС
в точке D такой, что DA = DB. Найти длину стороны ВС.
10.1.7. [МАТИ] Определить площадь треугольника, если две его сторо­
ны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.
10.1.8. [МИРЭА] В треугольнике АВС на основании ВС или на его про­
должении взята произвольным образом точка D и около треугольников
ACD и BAD описаны окружности. Доказать, что отношение радиусов
этих окружностей есть величина постоянная. Найти такое положение
точки D , для которого эти радиусы будут иметь наименьшую величину.
208
10.1.9. [МФТИ] В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся
стороны А В в точке D и стороны ВС в точке Е. Найти углы треуголь­
ника, если BD : AD = 1:2, BE : СЕ =1:3.
10.1.10. [МИИТ] Найти площадь треугольника, вписанного в окруж­
ность, если концы его стороны, равной 20 см, отстоят от касательной,
проведенной через противолежащую вершину на 25 см и 16 см.
10.1.11. [МАТИ] Высота, основание и сумма боковых сторон треуголь­
ника равны соответственно 12 см, 14 см, и 28 см. Найти боковые стороны.
10.1.12. [МАТИ] В треугольник со сторонами 10 см, 17см и 21см вписан
прямоугольник с периметром 24 см так, что одна его сторона лежит на
большей стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника.
10.1.13. [СПбГУ] К окружности, вписанной в треугольник с периме­
тром 18 см, проведена касательная параллельно основанию треугольни­
ка. Отрезок касательной между боковыми сторонами 2 см. Найти осно­
вание треугольника.
10.1.14. [НГУ] Треугольник АВС вписан в окружность радиуса R.
Точка D лежит на дуге ВС, а хорды AD и ВС пересекаются в точке М.
Найти длину стороны ВС, если IB M D = 120°, AB = R, В М :М С = 2:3.
10.1.15. [МИСиС] В треугольнике АВС медиана AM перпендикуляр­
на медиане BN. Найти площадь треугольника АВС, если длина AM
равна 3, а длина BN равна 4.
10.1.16. [МИРЭА] В окружность вписан треугольник АВС. Расстояние
от точек А и С до прямой, касающейся окружности в точке В , равны 4 см
и 9 см. Найти высоту треугольника, проведенную из вершины В.
10.1.17. [МГУ, физ. ф-r, МИРЭА] Даны углы В и С треугольника АВС
(1В ф 1C). Найти котангенс острого угла х , который образует медиана,
выходящая из вершины А, со стороной ВС.
10.1.18. [НГУ] В остроугольном треугольнике АВС длины медиан ВМ,
CN и высоты АН равны соответственно 4, 5 и 6. Найти площадь тре­
угольника.
10.1.19. [МАТИ] В треугольнике основание равно 6 см, а высоты, опу­
щенные на боковые стороны — 2см и 2-\/Зсм. Найти боковые стороны
треугольника.
10.1.20. [МАТИ] Определить площадь треугольника, если две его сто­
роны равны 1 и -'/13) а медиана третьей стороны равна 2.
10.1.21. [МИЭТ] В треугольнике АВС медианы AD и BE пересека­
ются под прямым углом, АС = 3, ВС = 4. Найти сторону АВ этого
треугольника.
209
10.1.22. [ЛГПИ] Основание треугольника равно а. Найти длину отрез­
ка прямой, параллельной основанию и делящей площадь треугольника
пополам.
10.1.23. [НижГУ] Точка N лежит на стороне ВС треугольника АВС,
точка М — на продолжении стороны АС за точку А, при этом AM = АС,
BN : NC = 3 : 4. В каком отношении прямая M N делит сторону АВ1
10.1.24. [МАТИ] Пусть BD — высота треугольника АВС, точка Е —
середина стороны ВС. Вычислить радиус круга, описанного около тре­
угольника BDE, если длины сторон треугольника АВС\ АВ = 30 см,
ВС = 26см и АС = 28см.
10.1.25. [МАТИ] Определить площадь треугольника, если две его сто­
роны равны 1см и л/15см, а медиана третьей стороны равна 2 см.
10.1.26. [ГАНГ] В треугольнике АВС из вершины В проведены высота
BD и биссектриса BL. Найти площадь треугольника BLD, если извест­
ны длины сторон треугольника АВС: АВ = 6,5; ВС ~ 7,5; АС = 7.
10.1.27. [МТУСИ] В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Од­
на из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины
которых 6 и 8. Найти длины сторон треугольника.
10.1.28. [ВГУ] В треугольнике АВС из вершины А проведена прямая,
пересекающая сторону ВС в точке D, находящейся между точками В
и С , причем CD : ВС = а (а < ^). На стороне ВС между точками В
и D взята точка Е так, что CD = DE, и через нее проведена прямая,
параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке F. Найти
отношение площадей трапеции ACEF и треугольника ADC.
10.1.29. [МПГУ] Одна сторона треугольника равна а, другая — 6. Найти
третью сторону, если известно, что она равна медиане, проведенной к
ней.
10.1.30. [СГПИ] Найти площадь треугольника по стороне а и приле­
жащим к ней углам а и /?.
10.1.31. [МАДИ] В треугольнике АВС даны длины трех сторон ВС, АС
и АВ, равные соответственно числам 41, 51 и 58. Вычислить площадь
этого треугольника и длину высоты, опущенной из вершины В.
10.1.32. [РГПУ] Длины двух сторон треугольника равны 27 и 29. Дли­
на медианы, проведенной к третьей стороне, равна 26. Найти высоту
треугольника, проведенную к стороне длиной 27.
10.1.33. [МГУП] В треугольнике АВС высота AD на 4 см меньше сто­
роны ВС. Сторона АС равна 5 см. Найти периметр треугольника АВС,
если его площадь равна 16 см2.
210
10.1.34. [Институт наук о материалах] Точки M taN ,D taE ,K taL лежат
соответственно на сторонах АВ, АС и ВС треугольника АВС, при этом
AM — M N — NB, В К = KL — LC, AD = DE = ЕС. Вычислить
площадь четырехугольника, образованного пересечениями прямых M L,
N К , BD, BE, если площадь треугольника АВС равна S.
10.1.35. [ЛГПИ] Найти площадь треугольника, если основание равно
а, углы при основании равны ~ и
10.1.36. [МТУСИ] В треугольнике с основанием 15 см проведен отре­
зок, параллельный основанию. Площадь полученной трапеции составля­
ет 75% площади треугольника. Найти длину этого отрезка.
10.1.37. [МТУСИ] В треугольнике АВС величина угла С равна 60°,
а длина стороны АВ = \/31. На стороне АС отложен отрезок AD = 3.
Найти длину ВС, если BD = 2\/7.
10.1.38. [МФТИ] Окружность, построенная на стороне АС треуголь­
ника АВС как на диаметре, проходит через середину стороны ВС и
пересекает сторону АВ в точке D так, что AD = т^АВ. Найти площадь
треугольника АВС, если АС = 1.
10.1.39. [МГУЛ] В остроугольном треугольнике АВС проведены высо­
ты AD и СЕ, причем длина AD равна 5 см, длина СЕ равна Зсм, а угол
между AD и СЕ равен 60°. Найти длину стороны АС.
10.1.40. [ГАУ] Дан треугольник АВС, в котором угол В равен 30°,
АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D.
Определить площадь треугольника ABD.
10.1.41. [ГАУ] Дан треугольник АВС, в котором АС = 5, АВ = 6, ВС =
— 7. Биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D. Определить
площадь треугольника ADC.
10.1.42. [ГАУ] На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки
К та N так, что СК : К А = 2:3, CN : NB = 4 : 3. В каком отношении
точка пересечения отрезков AN и В К делит отрезок КВ?
10.1.43. [ГАУ] Точка N делит сторону RQ треугольника RPQ в от­
ношении RN : NQ = 2:7; точка F делит сторону RP в отношении
RF : FP = 3:1. Прямые QF и PN пересекаются в точке М. Найти
дтину MN, если РМ = 12.
10.1.44. [ГАУ] Точки F тл N делят стороны треугольника АВС в отно­
шении FA : FC = 3 : 1 и CN : NB = 2 : 3. Прямые AN и BF пересе­
каются в точке М. Найти отношение площадей треугольников AM В и
AN В.
211
10.1.45. [МАИ] Длины сторон А В , В С и С А треугольника равны
соответственно Зсм, 20 см, 41см. Найти расстояние от точки С до пря­
мой, перпендикулярной АВ и проходящей через середину АС.
10.1.46. [МГУ, псих, ф-т] В тупоугольном треугольнике АВС на стороне
АВ длины 14 выбрана точка L, равноудаленная от прямых АС и ВС,
а на отрезке AL — точка К , равноудаленная от вершин Аж В. Найти
синус угла АСВ, если KL = 1, LCAB = 45°.
10.1.47. [МГУ, физ. ф-т] В треугольнике А В С медианы AD и С Е вза­
имно перпендикулярны, А В = с, ВС = а. Найти АС.
10.1.48. [МГУ, мех.-мат.] В треугольнике А В С проведены высоты А Е и
CD. Найти АВ , если BD — 18, ВС — 30, АЕ = 20.
10.1.49. [МГУ, мех.-мат.] В треугольнике А В С проведена биссектри­
са B E , которую центр О вписанной окружности делит в отношении
ВО : ОЕ = 2. Найти АВ, если АС = 7, ВС = 8.
10.1.50. [МГУ, геогр. ф-т] В треугольник со сторонами А В ~ 4, ВС = 2,
АС — 3 вписана окружность. Найти площадь треугольника A M N , где
М , N — точки касания этой окружности со сторонами А В и АС соот­
ветственно.
10.1.51. [МГУ, геогр. ф-т] В треугольник со сторонами А В = 8, В С = 6,
АС = 4 вписана окружность. Найти длину отрезка D E , где D, Е —
точки касания этой окружности со сторонами А В и АС соответственно.
10.1.52. [МГУ, псих, ф-т] В остроугольном треугольнике А В С прове­
дены высоты СС\ и А А \. Известно, что АС = 1 и LC\CA\ = а. Найти
площадь круга, описанного около треугольника C iB A i.
10.1.53. [МГУ, псих, ф-т] В остроугольном треугольнике А В С проведе­
ны высоты С В и А Н \. Известно, что АС = 2 и площадь круга, описан­
ного около треугольника Н В Н \, равна Найти угол между высотой
СН и стороной ВС.
10.1.54. [МГУ, геолог, ф-т] На стороне А В треугольника А В С как на
диаметре построена окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точ­
ках D и Е соответственно. Прямая D E делит площадь треугольника
А В С пополам и образует с прямой А В угол 15°. Найти углы треуголь­
ника АВС.
10.1.55. [МГУ, геолог, ф-т] Точка М , лежащая вне круга с диаметром
АВ, соединена с точками Аж В. Отрезки М А и М В пересекают окруж­
ность в точках С ж D соответственно. Площадь круга, вписанного в тре­
угольник А М В , в 4 раза больше, чем площадь круга, вписанного в тре­
угольник CM D . Найти меры углов треугольника А М В , если известно,
что один из них в 2 раза больше другого.
212
10.1.56. [МГУ, физ. ф-т] В треугольнике АВС: /ВАС = a, /ВС А = 7,
АВ — с. Найти площадь треугольника АВС.
10.1.57. [МГУ, физ. ф-т] Радиус окружности, описанной около треуголь­
ника KLM, равен R. Через вершину L проведена прямая, перпендику­
лярная стороне КМ. Эту прямую пересекают в точках А и В серединные
перпендикуляры к сторонам KL и LM. Известно, что AL = а. Найти BL.
10.1.58. [МГУ, физ. ф-т] Площадь треугольника АВС равна S, /ВАС —
— а, АС = Ь. Найти ВС.
10.1.59. [МГУ, физ. ф-т] Через центр окружности, описанной около тре­
угольника АВС, проведены прямые, перпендикулярные сторонам АС и
ВС. Эти прямые пересекают высоту СН треугольника или ее продол­
жение в точках Р и Q. Известно, что CP = р, CQ = д. Найти радиус
окружности, описанной около треугольника АВС.
10.1.60. [МГУ, геогр. ф-т] В треугольнике АВС медиана AD и бис­
сектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F. Известно,
что площадь треугольника DEF равна 5. Найти площадь треугольника
АВС.
10.1.61. [МГУ, ИСАА] Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти
длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.
10.1.62. [МГУ, мех.-мат.] Из вершины тупого угла А треугольника АВС
опущена высота AD. Из точки D радиусом равным AD, описана окруж­
ность, пересекающая стороны треугольника АВ и АС в точках М и N
соответственно. Вычислить длину стороны АС, если заданы длины от­
резков АВ — с, AM = п и AN = т.
10.1.63. [МГУ, физ. ф-т] В треугольнике АВС угол С — тупой, D
точка пересечения прямой DB, перпендикулярной к АВ, и прямой DC,
перпендикулярной к АС. Высота треугольника ADC, проведенная из
вершины С, пересекает АВ в точке М. Известно, что AM = а, МВ = Ь.
Найти АС.
10.1.64. [МГУ, геолог, ф-т] Окружность проходит через вершины А и С
треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке Е и сторону ВС в
точке F. Угол АЕС в 5 раз больше угла BAF, а угол АВС равен 72°.
Найти радиус окружности, если АС = 6.
10.1.65. [РЭА] В треугольнике АВС: АВ = 4\/7, АС = 5\/7, ВС = 6\/7.
Найти расстояние от вершины В до точки пересечения высот треуголь­
ника АВС.
10.1.66. [РЭА] В треугольнике АВС угол А относится к углу С как
3 : 2, АВ — 28 см, ВС = 33 см. Найти cos 7^.
213
10.1.67. [РЭА] Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины
тупого угла В проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найти
сторону АС, если угол ABD — прямой.
10.1.68. [РЭА] На стороне АС треугольника АВС как на диаметре
построена окружность, пересекающая сторону АВ в точке D так, что
AD : DB = 12 : 5. Найти площадь треугольника АВС, если АС = 26, а
LABC = 45°.
10.1.69. [ГАНГ] В треугольник вписана окружность радиуса 2. Одна из
сторон треугольника делится точкой касания на отрезки 7 и 2. Найти
радиус окружности, описанной около треугольника.
10.1.70. [МИЭТ] Площадь треугольника АВС равна 16 см2. Найти дли­
ну стороны АВ, если АС = 5 см, ВС = 8 см и угол С тупой.
10.1.71. [МИРЭА] В треугольнике АВС со сторонами АВ = 12см,
ВС = 15см, АС = 9см проведена биссектриса ВВ\. Пусть С\ — точка
касания АВ с вписанной в треугольник окружностью, отрезки ВВ\ и
СС\ пересекаются в точке Р, продолжение АР пересекает ВС в точке
А Р Ал. Найти отношение -#4—. 1 РА1
10.1.72. [МЭСИ] В треугольнике ABC: LBAC = 30°. Определить сто­
рону ВС, если АВ = л/3, АС = 1.

10.2.1. [МАТИ] Высота AD, опущенная на боковую сторону ВС равно­
бедренного треугольника АВС, делит его на треугольники ABD и ADC
площадью 4 см2 и 2 см2 соответственно. Найти стороны треугольника,
если АС — его основание.
10.2.2. [МАТИ] Биссектриса AD равнобедренного треугольника АВС
делит его на треугольники ABD и ACD площадью 4 см2 и 2 см2 соот­
ветственно. Найти стороны треугольника, если АС — его основание.
10.2.3. [МИЭТ] Дан равнобедренный треугольник с основанием 2а и
высотой h. В него вписана окружность и к ней проведена касательная,
параллельная основанию. Найти радиус окружности и длину отрезка
касательной, заключенного между сторонами треугольника.
10.2.4. [МИИТ] В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) про­
ведена биссектриса AD. Площади треугольников ABD и ADC равны Si
и S2. Найти длину основания.
10.2.5. [СПбГУ] В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС)
проведена медиана AD. Найти угол BAD, если угол при вершине В
равен а.
214
10.2.6. [МАТИ] В равнобедренном треугольнике основание равно а,
боковая сторона — Ь. Найти длину биссектрисы, проведенной к боковой
стороне треугольника.
10.2.7. [УрГУ] В равнобедренном треугольнике с углом при основании,
равном а, высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного
круга на т . Определить радиус описанного круга.
10.2.8. [МГУ, геогр. ф-т, физ. ф-т; СПбГУ] В равнобедренном треуголь­
нике KLM (KL = LM) угол KLM равен <р. Найти отношение радиусов
вписанной и описанной окружностей для треугольника KLM.
10.2.9. [МАТИ] В равнобедренный треугольник с основанием а вписана
окружность радиуса г. Определить периметр треугольника.
10.2.10. [СПбГУ] Даны равнобедренный треугольник с основанием а и
окружность с центром в одной из вершин треугольника. Известно, что
одна из боковых сторон треугольника делится окружностью на три рав­
ные части. Найти радиус окружности.
10.2.11. [МПГУ] В равнобедренном треугольнике длина основания рав­
на 30см, длина высоты, проведенной к основанию, — 20см. Определить
длину высоты, проведенной к боковой стороне.
10.2.12. [МИСиС] Вершины правильного треугольника лежат на трех
параллельных прямых, причем внутренняя прямая находится на рассто­
яниях \/21 и \/84 от крайних прямых. Найти длину стороны треуголь­
ника.
10.2.13. [СПбГУ] Найти длину стороны квадрата, вписанного в равно­
бедренный треугольник с основанием а и боковой стороной Ь так, что две
его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых
сторонах.
10.2.14. [МАТИ] В равнобедренном треугольнике с углом при верши­
не а найти угол между основанием и медианой, проведенной к боковой
стороне.
10.2.15. [МИЭТ] Основание равнобедренного треугольника \/32, меди­
ана боковой стороны 5. Найти длины боковых сторон.
10.2.16. [СГАПС] В равнобедренном треугольнике высота равна 8, а
основание относится к боковой стороне как 6:5. Найти радиус вписан­
ного круга.
10.2.17. [МАДИ] Вершины В и С при основании равнобедренного тре­
угольника АВС соединены с серединой М его высоты, проведенной из
вершины А. Эти прямые пересекают боковые стороны АС и АВ тре­
угольника в точках D и Е соответственно. Найти площадь четырех­
угольника AEMD, если площадь треугольника АВС равна 93.
215
10.2.18. [КГУ] В равносторонний треугольник АВС вписана окруж­
ность и проведен отрезок MN, который касается ее и параллелен сто­
роне АВ. Определить периметр трапеции AMNB, если длина стороны
АВ равна 18.
10.2.19. [НижГУ] Из точки, расположенной внутри правильного тре­
угольника АВС, длина стороны которого равна а, опущены перпендику­
ляры на стороны АВ, ВС, С А. Длины перпендикуляров соответственно
равны т, п, к. Найти отношение площади треугольника АВС, к площади
треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.
10.2.20. [МАТИ] Найти углы равнобедренного треугольника, у кото­
рого точка пересечения высот делит пополам высоту, проведенную к
основанию.
10.2.21. [СПбГТУ] Прямая делит пополам основание АВ равнобедрен­
ного треугольника АВС с боковой стороной 3 и отсекает на лучах С А
и СВ отрезки СМ и С N соответственно. Найти длину СМ, если длина
CN равна 2.
10.2.22. [МАТИ] Найти углы равнобедренного треугольника, если осно­
вание относится к биссектрисе угла при основании как 5 : 6.
10.2.23. [МАТИ] Стороны треугольника относятся как 1:2:2. Вы­
числить его площадь, если радиус окружности, описанной вокруг тре­
угольника равен R.
10.2.24. [МАТИ] В равнобедренном треугольнике основание равно а,
боковая сторона Ъ. Найти высоту, опущенную на боковую сторону тре­
угольника.
10.2.25. [МАТИ] В равнобедренный треугольник вписана окружность
радиуса г. Высота, проведенная к основанию, делится окружностью в
отношении 1 : 2, считая от вершины. Найти площадь треугольника.
10.2.26. [МАДИ] Дан равнобедренный треугольник АВС с боковы­
ми сторонами АВ = ВС = 10 и основанием АС = л/80. Найти радиус
окружности, проходящей через вершины В и С, центр которой находит­
ся на высоте CD.
10.2.27. [МАДИ] В равнобедренном треугольнике проведены биссектри­
са угла при основании и биссектриса угла при вершине. Найти косинус
тупого угла между ними, если синус угла при основании треугольника
равен р ( р = * Ш ) .
10.2.28. [МАТИ] В равнобедренном треугольнике АВС с вершиной в
точке В основание высоты AD делит сторону ВС так, что BD : DC =
= х/2 : (2 — х/2). Найти углы треугольника.
216
10.2.29. [СПбГЭУ] Длина основания равнобедренного треугольника
равна 10, а его площадь равна 60. Найти длину медианы, проведенной к
боковой стороне.
10.2.30. [МТУСИ] Длина основания равнобедренного треугольника рав­
на 12. Радиус вписанного в треугольник круга равен 3. Найти площадь
треугольника.
10.2.31. [МТУСИ] В равнобедренном треугольнике длина боковой сто­
роны равна 4>/Щ а длина медианы, проведенной к боковой стороне,
равна 3\/Т0- Найти длину основания треугольника.
10.2.32. [МТУСИ] БиссектрисаНИ равнобедренного треугольника АВС
составляет с основанием АС угол, тангенс которого равен 0,5. Найти
косинус угла А В С .
10.2.33. [МТУСИ] Основание равнобедренного треугольника равно 30, а
высота, проведенная к боковой стороне, равна 24. Найти длину боковой
стороны.
10.2.34. [ГАУ] В равнобедренный треугольник с углом при вершине 120°
и боковой стороной, равной а, вписана окружность. Найти радиус окруж­
ности.
10.2.35. [ГАУ] В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на
основание, равна 5, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 6.
Найти площадь треугольника.
10.2.36. [ГАУ] Найти площадь равнобедренного треугольника, если вы­
сота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую
сторону, равна 12.
10.2.37. [МГУ, ИСАА] В треугольнике А В С (А В = 4, В С = АС = 12)
проведена биссектриса AD. Найти угол ADC.
10.2.38. [МГУ, физ. ф-т] В равнобедренном треугольнике высоты, опу­
щенные на основание и на боковую сторону, равны соответственно тип.
Найти стороны треугольника.
10.2.39. [МГУ, физ. ф-т] В равнобедренном треугольнике АВС (АВ =
— ВС) проведена биссектриса AD. Известно, что ВС : DC = к. Найти
отношение длины отрезка DC к радиусу окружности, описанной около
треугольника ADC.
10.2.40. [МГУ, ВМиК] В равнобедренном треугольнике А В С с основани­
ем АС точка D делит сторону ВС в отношении 2:1, считая от вершины
В , а точка Е — середина стороны АВ. Известно, что медиана CQ тре­
угольника CED равна и £>£ = Найти радиус окружности,
описанной около треугольника АВС.

10.2.41. [МГУ, ИСАА] В треугольнике А В С угол В А С равен 30°, А В =
= ВС. На стороне А В как на диаметре построена окружность, пересека­
ющая сторону АС в точке D. Найти расстояние от вершины С до центра
этой окружности, если CD = 1.
10.2.42. [МГУ, ИСАА] На боковой стороне В С равнобедренного тре­
угольника А В С как на диаметре построена окружность, пересекающая
основание этого треугольника в точке D. Найти расстояние от вершины
А до центра окружности, если AD — у/3, а угол А В С равен 120°.
10.2.43. [РЭА] В равнобедренном треугольнике А В С основание АС рав­
но 6см, а высота, опущенная на основание, равна 4см. Найти периметр
треугольника C D B, где CD — высота, опущенная на боковую сторону.
10.2.44. [РЭА] На основании АС равнобедренного треугольника АВС
как на диаметре построена окружность, пересекающая боковую сторону
ВС в точке D так, что BD : DC = 3:2. Найти площадь треугольника
А В С , если AD =
Vo
10.2.45. [РЭА] Вершины В и С основания равнобедренного треугольни­
ка А В С соединены в точке Ы с серединой высоты, опущенной из верши­
ны А на основание ВС. Продолжение отрезка В М пересекает сторону
АС в точке D, а продолжение отрезка С М пересекает сторону А В в
точке Е. Найти площадь треугольника В М А , если площадь четырех­
угольника A E M D равна 16.
10.2.46. [РЭА] Найти площадь равнобедренного треугольника, если
высота, опущенная на основание равна 10 см, а высота, опущенная на
боковую сторону, равна 12 см.
10.2.47. [РЭА] В равнобедренный треугольник [АВ — ВС) вписана
окружность радиуса 3. Точка М — точка касания боковой стороны ВС
и окружности такая, что В М = 4. Найти расстояние от вершины А до
точки М.
10.2.48. [МУПОЧ «Дубна»] Площадь равнобедренного треугольника
равна 5, угол при вершине треугольника равен а. Найти длины высот
треугольника.
10.2.49. [МГГА] В окружность радиуса г вписан равнобедренный тре­
угольник, у которого сумма длин основания и высоты равна диаметру
окружности. Найти высоту треугольника.
10.2.50. [СТАНКИН] Длина основания равнобедренного треугольника
равна 12. Длина боковой стороны равна 10. Найти расстояние между
точками касания вписанной окружности с боковыми сторонами.
10.2.51. [МГТУГА] Боковая сторона равнобедренного треугольника
равна 6 см, а медиана боковой стороны 5 см. Найти длину основания.

10.2.52. [МГАХМ] В равнобедренном треугольнике основание 6 см, а
боковая сторона 5 см. Найти радиус окружности, вписанной в треуголь­
ник.
10.2.53. [ГАСБУ] СЕ — высота равнобедренного треугольника ЛВС
(АС = СВ). Центр О вписанной в треугольник АВС окружности делит
высоту треугольника СЕ на отрезки СО = 13 и ОЕ — 5. Найти длины
сторон треугольника АВС.
10.2.54. [МГАЛП] В равнобедренном треугольнике основание равно
\/84, а угол при основании равен 30°. Найти длину медианы, проведенной
к боковой стороне.
10.2.55. [МГАПП] В равнобедренном треугольнике основание и опущен­
ная на него высота равны 4. Найти радиус описанной окружности.
10.2.56. [МГТА] Медиана, проведенная к одной из боковых сторон рав­
нобедренного треугольника, делит его периметр на части длиной 15 и 6.
Найти длину боковой стороны.
10.2.57. [ВЗФЭИ] Около равностороннего треугольника описана окруж­
ность радиуса 2\/Зсм, через центр которой проведена прямая, парал­
лельная одной из сторон треугольника. Найти длину отрезка этой пря­
мой, заключенного между двумя другими сторонами треугольника.
10.2.58. [МВВДИУ] В равнобедренном треугольнике длина боковой сто­
роны равна 5, а длина высоты, опущенной на основание', равна 4. Найти
длину основания.
3. П рям оугольны й треугольник
10.3.1. [МАТИ] Медианы прямоугольного треугольника, проведенные
к катетам, относятся как \/2 : 1. Найти углы треугольника.
10.3.2. [МАТИ] Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный
треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны т = 9 см и
п = 16 см.
10.3.3. [МАТИ] Найти стороны прямоугольного треугольника, если
точка касания вписанной в него окружности делит один из катетов на
отрезки длины тип.
10.3.4. [МАТИ] Вписанная окружность касается гипотенузы прямо­
угольного треугольника в точке, делящей гипотенузу на отрезки, длины
которых равны m = 2 см, п = Зсм. Найти радиус этой окружности.
10.3.5. [МГТА] Площадь равностороннего треугольника, построенно­
го на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше площади
последнего. Определить углы прямоугольного треугольника.
219
10.3.6. [МАДИ] Один из катетов прямоугольного треугольника равен
15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти ра­
диус окружности, вписанной в этот треугольник.
10.3.7. [МАДИ] Периметр прямоугольного треугольника равен 24см, а
площадь его равна 24 см2. Найти площадь описанного круга.
10.3.8. [МГТА] Сумма длин катетов прямоугольного треугольника рав­
на 14см, а радиус описанной окружности равен 5см. Найти площадь
круга, вписанного в данный треугольник.
10.3.9. [МИЭТ] Острый угол прямоугольного треугольника равен а, ра­
диус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений двух катетов,
равен R. Найти длину гипотенузы этого треугольника.
10.3.10. [МИИТ] В прямоугольном треугольнике даны острый угол а
и расстояние а от вершины другого острого угла до центра вписанного
круга. Определить площадь треугольника.
10.3.11. [НГУ] В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ и ВС
относятся как 1:2. На гипотенузе АС выбраны точки М и IV так, что
отрезки ВМ и BN делят угол на три равные части. Найти отношение
отрезков ВМ и BN.
10.3.12. [МПУ; СПбГУ] Определить острые углы прямоугольного тре­
угольника, длины сторон которого образуют геометрическую прогрес­
сию.
10.3.13. [МАТИ] В прямоугольном треугольнике катеты относятся как
3 : 2, а высота делит гипотенузу на отрезки, из которых один на 2 см
больше другого. Определить длину гипотенузы.
10.3.14. [ВГУ] В прямоугольном треугольнике АВС, где LC = 30°,
из вершины прямого угла В проведена медиана ВК. Найти площадь
треугольника ВС К, если длина катета АВ равна 4 см.
10.3.15. [СПбГУ] Наименьший из углов прямоугольного треугольника
равен а. Через середину меньшего катета и середину гипотенузы прове­
ден круг, касательный к гипотенузе. Найти отношение площадей круга
и треугольника.
10.3.16. [СПбГУ] В треугольнике АВС угол В — прямой. Точки D и
Е на катете СВ расположены так, что отрезки AD и АЕ делят угол
А на три равные части, AD — а, АЕ = Ь. Найти отношение площадей
треугольников ADB и АЕВ.
10.3.17. [СПбГУ] Прямоугольный треугольник, периметр которого ра­
вен 10, разбит высотой, опущенной на гипотенузу, на два треугольника.
Периметр одного из них равен 6. Найти периметр другого треугольника.

Ответы к задачам по математике Куланин from zoner

Категория: Математика | Добавил: Админ (23.04.2016)
Просмотров: | Теги: Куланин | Рейтинг: 3.0/1


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar