Тема №6149 Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 4)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 4) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 4), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

10.3.18. [МАХИ] Медиана прямоугольного треугольника, проведенная
к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами pi и р2 -
Найти стороны треугольника.
10.3.19. [МАХИ] Точка пересечения медиан прямоугольного треуголь­
ника удалена от катетов на расстояния соответственно 3 и 4. Найти
расстояние от этой точки до гипотенузы.
10.3.20. [РЭА] Длина одного из катетов прямоугольного треугольника
равна 12. Расстояние от центра описанной около треугольника окруж­
ности до этого катета равно 2,5. Найти длину гипотенузы треугольника.
10.3.21. [МЭИ] Длины катетов прямоугольного треугольника равны 20
и 21. Найти длину окружности, описанной около данного треугольника.
10.3.22. [МАДИ] В прямоугольном треугольнике АВС даны: длина Q
катета ВС, равная 36, и косинус угла ВАС, равный Найти длину
другого катета АС и площадь треугольника.
10.3.23. [МАХИ] В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой
АВ проведена полуокружность радиусом 2, центр которой лежит на сто­
роне АС и которая касается сторон АВ и ВС. Полуокружность радиусом
1 касается этой полуокружности и стороны АВ, а центр ее также лежит
на стороне АС. Найти длины сторон треугольника.
10.3.24. [МИЭХ] В прямоугольный треугольник с катетами а и & вписан
квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти периметр
квадрата.
10.3.25. [РГТГУ] Катеты прямоугольного треугольника равны а и 2а.
Середина катета 2а служит центром окружности с радиусом, равным а.
На какие отрезки делится этой окружностью гипотенуза треугольника?
10.3.26. [МПГУ] Найти радиус окружности, вписанной в треугольник
АВС с прямым углом С, если LB — 30°, ВС — 6 см.
10.3.27. [МПГУ] Найти радиус окружности, вписанной в прямоуголь­
ный треугольник с катетами 6 см и 8 см.
10.3.28. [КПП] В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна
17 см, а длина гипотенузы — 13 см. Найти катеты и площадь треуголь­
ника.
10.3.29. [МПГУ] В прямоугольном треугольнике катет равен 24см, а
гипотенуза — 25 см. Найти биссектрису треугольника, проведенную из
вершины меньшего угла.
10.3.30. [МПГУ] Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5, а
высота, проведенная к ней, равна 2. Найти радиусы вписанной и описан­
ной окружностей.
221
10.3.31. [МАТИ] В прямоугольном треугольнике отношение высоты к
О
медиане, проведенным из вершины прямого угла, равно Найти острые
у г л ы треу голь \ i ика.
10.3.32. [МТУСИ] В прямоугольном треугольнике отношение катетов
равно тр Найти тангенс острого утла между медианами, проведенными
к катетам.
10.3.33. [МТУСИ] Найти синус большего острого угла прямоугольного
треугольника, если радиус окружности, описанной около треугольника,
в 2,5 раза больше радиуса вписанной окружности.
10.3.34. [МТУСИ] В прямоугольном треугольнике АВС длины катетов
АС и ВС соответственно равны 12 и 8. Точка К — середина медианы
BD. Найти длину отрезка СК.
О
10.3.35. [ГАНГ] Окружность, радиус которой касается гипотенузы
равнобедренного прямоугольного треугольника в вершине его острого
угла и проходит через вершину прямого угла. Найти длину дуги, за­
ключенной внутри треугольника.
10.3.36. [МГУЛ] В прямоугольном треугольнике медианы острых углов
равны \/89 и \/l56. Найти длину гипотенузы.
10.3.37. [ГАУ] Найти катеты прямоугольного треугольника, у которого
высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки длиной 6 и 18.
10.3.38. [ГАУ] Окружность касается одного из катетов равнобедренного
прямоугольного треугольника и проходит через вершину противополож­
ного острого угла. Центр окружности лежит на гипотенузе треугольни­
ка, длина которой равна с. Найти радиус окружности.
10.3.39. [ГАУ] В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом
В биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Известно, что
BD “ 4, DC — 6. Определить площадь треугольника ADC.
10.3.40. [МИСиС] В прямоугольном треугольнике высота, опущенная
из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 9 и 16.
Найти радиус вписанной в треугольник окружности.
10.3.41. [ГАУ] Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20.
Найти расстояние от высоты, опущенной из вершины прямого угла до
центра вписанной окружности.
10.3.42. [МГУ, хим. ф-т] Прямоугольные треугольники АВС и ABD
имеют общую гипотенузу АВ — 5. Точки С и D расположены но разные
стороны от прямой, проходящей через точки А и В, ВС — ВО — 3.
Точка Е лежит на А С , ЕС = 1, Точка F лежит на AD, FD = 2. Найти
площадь пятиугольника ECBDF.
2‘п
10.3.43. [МГУ, геогр. ф-т] Вне прямоугольного треугольника А В С на его
катетах АС и ВС построены квадраты AC D E и BCFG. Продолжение
медианы С М треугольника А В С пересекает прямую D F в точке N .
Найти длину CN, если длины катетов равны 1 и 4.
10.3.44. [МГУ, физ. ф-т] В прямоугольном треугольнике отношение ра­
диуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности равно jr.
Найти острые углы треугольника.
10.3.45. [МГУ, ИСАА] Окружность, центр которой лежит на гипотенузе
А В прямоугольного треугольника АВС , касается катетов АС и В С со­
ответственно в точках Е и D. Найти величину угла АВС , если известно,
что А Е = 1, BD = 3.
10.3.46. [МГУ, ИСАА] В треугольнике А В С проведена биссектриса
CD прямого угла АС В , D M и D N являются соответственно высота­
ми треугольников ADC и BD C. Найти АС, если известно, что A M = 4,
B N = 9.
10.3.47. [МПГУ] В прямоугольный треугольник, периметр которого
равен 36, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в
отношении 2 : 3. Найти длину гипотенузы.
10.3.48. [РЭА] В прямоугольном треугольнике из вершины прямого
угла проведены высота и медиана. Найти отношение большего катета к
12 меньшему, если отношение высоты к медиане равно ^ .
10.3.49. [РЭА] В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого
угла делит гипотенузу на отрезки Зсм и 4 см. Найти площадь треуголь­
ника.
10.3.50. [РЭА] В прямоугольный треугольник вписан квадрат, верши­
на которого совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Найти
площадь треугольника, если один из его катетов равен 42 см, а сторона
квадрата — 24 см.
10.3.51. [РЭА] Точка на гипотенузе прямоугольного треугольника, рав­
ноудаленная от катетов, делит ее на отрезки 30 см и 40 см. Найти пери­
метр треугольника.
10.3.52. [РЭА] В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза
125 см и меньший катет 75 см. Основание высоты, проведенной из вер­
шины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка. На меньшем из
отрезков как на диаметре построена полуокружность по одну сторону с
данным треугольником. Определить длину отрезка катета, заключенно­
го внутри этого полукруга.
223
10.3.53. [РЭА] В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза ВС =
= 20, а катет А В = 16. Найти квадрат расстояния от вершины А до
биссектрисы угла С.
10.3.54. [МГУЛ] Найти сумму длин катетов прямоугольного треуголь­
ника, если длина его гипотенузы 20 см, а радиус вписанной окружно­
сти 4 см.
10.3.55. [МАСИ] Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный
треугольник, если высота, проведенная к гипотенузе, делит последнюю
на отрезки длиной 25,6 и 14,4 см.
4. Трапеция
10.4.1. [МАТИ] Площадь равнобочной трапеции равна S, угол между ее
диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен а. Найти высоту
трапеции.
10.4.2. [МАТИ] В равнобочную трапецию вписана окружность радиу­
са г. Верхнее основание трапеции в два раза меньше ее высоты. Найти
площадь трапеции.
10.4.3. [МАИ] В трапеции ABCD сумма углов при основании AD рав­
на 90°. Нижнее и верхнее основания равны соответственно 7 и 3. Опре­
делить отрезок, соединяющий середины оснований.
10.4.4. [МГУ, эк. ф-т; МИФИ; МЭИ; СПбГУ; МПУ; РГПУ; МИСиС] В трапе­
ции, основания которой аиЬ, через точку пересечения диагоналей про­
ведена прямая, параллельная основаниям. Найти длину отрезка этой
прямой, отсекаемого боковыми сторонами трапеции.
10.4.5. [МГУ, геогр. ф-т; РЭА; МЭИ] Около круга описана трапеция с
углами при основании а и /?. Найти отношение площади трапеции к
площади круга.
10.4.6. [РУДН] Периметр равнобедренной трапеции вдвое больше длины
вписанной окружности. Найти угол при основании трапеции.
10.4.7. [МАИ] В трапеции ABCD проведены диагонали АС и BD,
пересекающиеся в точке F. Из вершины С проведена прямая СК, па­
раллельная боковой стороне AD, которая пересекает продолжение BD
в точке L так, что DF = BL. Найти отношение АВ : CD.
10.4.8. [МАТИ] Определить площадь круга, вписанного в прямоуголь­
ную трапецию с основаниями а и Ь.
10.4.9. [МАТИ] Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию,
отстоит от концов боковой стороны на 1см и 2 см. Найти площадь тра­
пеции.
224
10.4.10. [СПбГУ] Определить площадь трапеции, если ее основания
равны 6 см и 11см, одна из боковых сторон — 4 см, а сумма углов при
нижнем основании равна
10.4.11. [РЭА; МПУ; МПГУ] Около круга радиуса R описана трапеция
с острыми углами а и /3 при большем основании. Найти площадь этой
трапеции.
10.4.12. [МПУ] Меньшее основание равнобедренной трапеции равно
высоте и равно h. Острый угол трапеции равен а. Найти периметр тра­
пеции.
10.4.13. [МГУ, геолог, ф-т; СПбГУ; ЛГПИ] Найти площадь равнобочной
трапеции, основания которой равны а и 6, а диагонали взаимно перпен­
дикулярны.
10.4.14. [МПУ] Периметр равнобедренной трапеции с острым углом а
равен р. Высота трапеции равна h. Найти площадь этой трапеции.
10.4.15. [МЭИ] В круг вписана равнобедренная трапеция так, что диа­
метр круга служит основанием трапеции. Найти отношение площадей
круга и трапеции, если тупой угол трапеции равен а.
10.4.16. [МАТИ] В равнобочной трапеции ABCD длины боковой сторо­
ны АВ и меньшего основания ВС равны а = 2 см и BD перпендикулярна
АВ. Найти площадь трапеции.
10.4.17. [МИСиС] В равнобедренной трапеции даны длины оснований
21 и 9 и длина высоты 8. Найти радиус описанной окружности.
10.4.18. [МИСиС] В равнобедренную трапецию вписана окружность ра­
диуса 2. Найти площадь трапеции, если длина боковой стороны равна 10.
10.4.19. [МЭИ] Около круга радиуса 2см описана равнобедренная тра­
пеция с острым углом 30°. Найти длину средней линии трапеции.
10.4.20. [МАТИ] Найти площадь трапеции, диагонали которой рав­
ны 7см и 8 см, а основания — Зсм и 6 см.
10.4.21. [МИСиС] Длины оснований трапеции равны 10 и 24, длины
боковых сторон равны 13 и 15. Найти площадь трапеции.
10.4.22. [СПбГУ] В равнобедренной трапеции, описанной около окруж­
ности радиуса й, отношение длин боковой стороны и большего основа­
ния есть заданное число к. Найти длину меньшего основания.
10.4.23. [СПбГУ] В равнобедренной трапеции боковая сторона равна с,
а диагональ, равная Z, делит площадь трапеции в отношении 3 :5 . Найти
основания трапеции.
225
10.4.24. [МАИ] Боковые стороны АВ и CD трапеции продолжены до
пересечения в точке Е. Точка О — центр описанной около треугольника
ADE окружности. Найти величину острого угла А трапеции, если из­
вестно, что точки А, В, С, D, О лежат на окружности, радиус которой
в \/3 раз меньше радиуса окружности, описанной около треугольника
ADE.
10.4.25. [МАТИ] Основания трапеции равны 4см и 16см. Найти ее
площадь, если известно, что в трапецию можно вписать и вокруг нее
можно описать окружность,
10.4.26. [РЭА] Вокруг окружности описана равнобочная трапеция,
средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании
равен 0,8. Найти площадь трапеции.
10.4.27. [МИЭТ] Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь
трапеции в отношении 3 : 5. Найти длины оснований этой трапеции.
10.4.28. [МАТИ] Найти площадь трапеции, у которой длины основа­
ний равны а и 6 (а > b), а острые углы между большим основанием и
боковыми сторонами а и /?.
10.4.29. [МАТИ] Около круга радиуса т = 2 см описана равнобочная
трапеция с площадью S = 20 см2. Найти длины сторон трапеции.
10.4.30. [МАТИ] Центр окружности, вписанной в прямоугольную тра­
пецию, удален от концов боковой стороны на расстояния 1\ = 4 см и
h ~ 8 см. Найти длину средней линии трапеции.
10.4.31. [МАТИ] Около круга радиуса г = 4 см описана равнобочная
трапеция, средняя линия которой I — 10 см. Определить длины сторон
трапеции.
10.4.32. [ЛГПИ] В равнобедренную трапецию, основания которой 8см
и 2 см, вписана окружность. Найти длину окружности.
10.4.33. [ЛГПИ] В равнобедренной трапеции средняя линия равна с/, а
диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.
10.4.34. [СГУ] В трапеции ABCD длина боковой стороны АВ равна 4.
Биссектриса угла BAD пересекает прямую ВС в точке Е. В треугольник
АВЕ вписана окружность с центром в точке О, касающаяся стороны АВ
в точке М и стороны BE в точке N. Найти величину угла MON, если
длина отрезка MN равна 2.
10.4.35. [МИСиС] Найти радиус окружности, вписанной в равнобоч­
ную трапецию, если периметр трапеции равен 2, а острый угол соста­
вляет 30°.
226
10.4.36. [РГПУ] Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4,
а длины непараллельных сторон — 20 и 13. Найти высоту трапеции.
10.4.37. [РГПУ] Найти площадь равнобочной трапеции, у которой вы­
сота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.
10.4.38. [МТУСИ] Площадь прямоугольной трапеции равна S, а острый
угол равен а. Найти высоту трапеции, если меньшая диагональ равна
большему основанию.
10.4.39. [ВГУ] Около круга с радиусом 2 описана равнобочная трапеция
с площадью 20. Найти стороны трапеции.
10.4.40. [МПГУ] Основания трапеции 4 см и 10 см, одна из боковых
сторон составляет с меньшим основанием угол 150°. Найти эту боковую
сторону, если площадь трапеции равна 21см.
10.4.41. [МАИ] В прямоугольной трапеции большая диагональ, име­
ющая длину 24, является биссектрисой острого угла. Найти площадь
трапеции, если расстояние от вершины тупого угла до диагонали рав­
но 9.
10.4.42. [МАИ] В прямоугольной трапеции средняя линия равна 13,5.
Меньшая диагональ является биссектрисой тупого угла и имеет дли­
ну 12. Найти стороны трапеции.
10.4.43. [МПГУ] Диагональ равнобедренной трапеции равна 5 см, а
площадь равна 12 см. Найти высоту трапеции.
10.4.44. [МПГУ] В трапеции ABCD с основаниями В С и A D : LACD —
= 1АВС, ВС ~ 12 см, AD = 27см. Найти диагональ АС.
10.4.45. [МПГУ] Найти площадь трапеции, у которой основания 15см
и 5см, а боковые стороны 8см и 6см.
10.4.46. [СПбГУ] Дана равнобедренная описанная трапеция ABCD, в
которой обе диагонали равны основанию AD. Найти углы при основа­
нии.
10.4.47. [МАТИ] В трапеции ABCD длины оснований A D и В С от­
носятся как 5 : 1, а площадь равна 32 см2. Точки М и N — середины
боковых сторон А В и C D соответственно соединены с концами проти­
воположной боковой стороны, причем отрезки A N и D M пересекаются
в точке К , а отрезки B N и С М — в точке Е. Определить площадь
четырехугольника M EN K.
10.4.48. [МГУ, мех .-мат.-, МТУСИ-, МАТИ] Длины боковых сторон трапе­
ции равны 6см и 10см. В трапецию можно вписать окружность. Средняя
линия делит трапецию на части, отношение площадей которых равно уу.
Найти длины оснований трапеции.
227
10.4.49. [МГУ, мех.-мат.; МТУСИ; МАТИ] Средняя линия равнобедренной
трапеции равна 5 см и она делит трапецию на части, отношение плота-
7
дей которых равно Найти длину высоты трапеции, если известно,
что в нее можно вписать окружность.
10.4.50. [МТУСИ] В равнобедренной трапеции боковая сторона равна
средней линии, а периметр равен 48см. Найти длину боковой стороны.
10.4.51. [МТУСИ] Площадь равнобедренной трапеции, описанной около
окружности, равна 32 см2. Найти длину боковой стороны, если угол при
основании равен 30°.
10.4.52. [МТУСИ] В равнобедренную трапецию, верхнее основание ко­
торой равно 1, вписана окружность радиуса 1. Найти площадь трапеции,
10.4.53. [МТУСИ] Боковая сторона равнобедренной трапеции в 3 раза
длиннее меньшего основания. Биссектрисы тупых углов этой трапеции
пересекаются в точке, лежащей на основании. Найти отношение площа­
ди трапеции к площади треугольника, образованного меньшим основа­
нием и биссектрисами.
10.4.54. [МТУСИ] В равнобедренную трапецию с основаниями ВС = 18
и AD = 32 вписан круг. Найти площадь трапеции и площадь круга.
10.4.55. [МТУСИ] Около круга радиуса \/3 описана равнобедренная
трапеция с острым углом 60°. Найти длину средней линии трапеции.
10.4.56. [МТУСИ] Разность длин оснований трапеции равна 14см, дли­
ны боковых сторон равны 13см и 15см. Вычислить площадь трапеции
при условии, что в эту трапецию можно вписать окружность.
10.4.57. [МТУСИ] П лощадь равнобедренной трапеции, описанной около
круга, равна S. Найти среднюю линию трапеции, если острый угол при
основании равен а.
10.4.58. [МТУСИ] Найти диагональ и боковую сторону равнобочной
трапеции с основаниями 20см и 12см, если известно, что центр описан­
ной окружности лежит па большем основании трапеции.
10.4.59. [МТУСИ] Около окружности с диаметром в 15 см описана рав­
нобочная трапеция с боковой стороной, равной 17см. Найти основания
трапеции.
10.4.60. [МТУСИ] Высота и диагональ равнобедренной трапеции равны
соответственно 5 и 13. Найти площадь трапеции.
10.4.61. [МГУЛ] Около круга радиуса 6см описана равнобочная тра­
пеция, у которой основания относятся как 9 : 16. Определить боковую
сторону трапеции.
228
10.4.62. [ГАУ] Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапе­
цию, удален от концов боковой стороны на расстояния 8 см и 4 см. Найти
среднюю линию трапеции.
10.4.63. [ГАУ] В трапеции ABCD точка М лежит на боковой стороне
АВ, О — пересечение диагонали BD и отрезка СМ. Найти площадь тре­
угольника COD, если AM = МВ, СО = 4-ОМ, а площадь треугольника
ВОМ равна 1.
10.4.64. [ГАУ] Около трапеции ABCD с основаниями AD и ВС описана
окружность радиуса 6 см. Центр описанной окружности лежит на осно­
вании AD. Основание ВС равно 4 см. Определить площадь трапеции.
10.4.65. [ГАУ] Трапеция KLMN с основаниями LM и K N вписана в
окружность, центр которой лежит на основании К N. Диагональ LN тра­
пеции равна 4 см, а угол MNK равен 60°. Определить длину основания
LM трапеции.
10.4.66. [ГАУ] Трапеция KLMN с основаниями K N и LM вписана
в окружность, центр которой лежит на основании K N . Диагональ К М
трапеции равна 4 см, а боковая сторона KL равна Зсм. Определить дли­
ну основания LM.
10.4.67. [ГАУ] В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найти
ее радиус, если основания равны 2 и 3.
10.4.68. [МГУ, мех.-мат.] В трапеции с основаниями 3 и 4 диагональ
имеет длину 6 и является биссектрисой одного из углов. Может ли эта
трапеция быть равнобокой?
10.4.69. [МГУ, мех.-мат.] В равнобокой трапеции диагональ имеет длину
8 и является биссектрисой одного из углов. Может ли одно из оснований
этой трапеции быть меньше 4, если другое равно 5?
10.4.70. [МГУ, физ. ф-т] В трапеции средняя линия, равная 20, делит
площадь трапеции в отношении 3 : 5. Найти основания трапеции.
10.4.71. [МГУ, ф-т почвовед.] Через точку пересечения диагоналей тра­
пеции проведена прямая, параллельная основанию и пересекающая бо­
ковые стороны в точках Е и F. Длина отрезка EF равна 2. Определить
длины оснований трапеции, если их отношение равно 4.
10.4.72. [МГУ, ф-т почвовед.] Через точку О пересечения диагоналей
трапеции проведена прямая, параллельная основанию. Определить дли­
ну отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции, если сред­
няя линия трапеции равна а точка О делит диагональ трапеции на
части, отношение которых равно ^ .
229
10.4.73. [ТПУ] Боковая сторона описанной равнобедренной трапеции
равна 12 см, Найти ее периметр.
10.4.74. [МГУ, биолог, ф-т] Высота трапеции ABCD равна 7, а длины
оснований AD и ВС равны соответственно 8 и 6. Через точку Е, лежа­
щую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ
АС в точке О в отношении АО : ОС = 3:2. Найти площадь треуголь­
ника ОЕС.
10.4.75. [МГУ, ф-т почвовед.] В трапеции ABCD длина основания AD
равна 4, длина основания ВС равна 3. Длины сторон АВ и CD равны.
Точки М и N лежат на диагонали BD, причем точка М расположена
между точками В и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали О
BD. Найти длину отрезка CN, если ВМ : DN =
10.4.76. [МГУ, ИСАА] В равнобедренную трапецию с боковой стороной,
равной 9, вписана окружность радиусом 4. Найти площадь трапеции.
10.4.77. [МГУ, ИСАА] В равнобедренную трапецию площадью 28см2
вписана окружность радиуса 2 см. Найти боковую сторону трапеции.
10.4.78. [МПГУ] Около окружности с радиусом 2 описана равнобокая
трапеция, площадь которой равна 20. Найти боковую сторону трапеции.
10.4.79. [СПбГТУ] Высота трапеции, диагонали которой взаимно пер­
пендикулярны, равна 4. Найти площадь трапеции, если известно, что
длина одной из ее диагоналей равна 5.
10.4.80. [МТУСИ] В равнобочной трапеции, описанной около круга,
отношение боковой стороны к меньшему основанию равно к. Найти углы
трапеции и допустимые значения к.
10.4.81. [МАТИ] Площадь трапеции ABCD равна 24, а длины основа­
ний AD и ВС относятся как 3:1. Вершины А и D соединены отрезками
с точкой N — серединой стороны ВС, а точки В в С — с точкой М
— серединой стороны AD. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке Е,
а отрезки DN и СМ — в точке К. Найти площадь четырехугольника
ENKM.
10.4.82. [РЭА] В равнобедренной трапеции ABCD точка О — середина
меньшего основания ВС; О А — биссектриса угла А. Найти площадь
трапеции, если AD = 16, а ее высота равна 6.
10.4.83. [РЭА] Диагональ равнобочной трапеции, равная 8, перпенди­
кулярна боковой стороне. Найти меньшее основание трапеции, если ее
большее основание равно 10.
10.4.84. [РЭА] Большее основание трапеции равно 24 см. Найти ее мень­
шее основание, зная, что расстояние между серединами ее диагоналей
равно 4 см.
230
10.4.85. [РЭА] Окружность радиуса 24 см касается большего основания
и обеих боковых сторон равнобедренной трапеции. Найти большее осно­
вание трапеции, если центр окружности находится на расстоянии 40 см
от точки пересечения продолжений боковых сторон трапеции.
10.4.86. [РЭА] В трапеции ABCD меньшее основание ВС = 7. Через
вершины А, С и D проведена окружность, которая пересекает продолже­
ние основания ВС в точке Е, Длина ED — 7\/3, а угол EDA равен 30°.
Найти длину боковой стороны АВ.
10.4.87. [МАИ] В прямоугольной трапеции большая диагональ, имею­
щая длину 24 см, является биссектрисой острого угла. Найти площадь
трапеции, если расстояние от вершины тупого угла до диагонали рав­
но 9 см.
10.4.88. [РГАЗУ] В равнобедренной трапеции острый угол равен а, а
меньшее основание равно боковой стороне и равно а. Найти площадь
трапеции.
10.4.89. [МСХА] Площадь прямоугольной трапеции равна 5см2, острый
угол трапеции равен а. Найти высоту трапеции, если ее меньшая диа­
гональ равна большему основанию.
10.4.90. [МГАУ] Основания равнобедренной трапеции равны 12 см
и 20 см, а центр описанной около нее окружности лежит на большем
основании. Вычислить площадь этой трапеции.
5. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат
10.5.1. [МИИТ] В ромб, сторона которого 20 см, вписан круг. Найти
площадь круга, если одна диагональ ромба больше другой в ^ раза.
10.5.2. [МГУ, эк. ф-т] В прямоугольнике ABCD на сторонах АВ = 6
и ВС = 8 взяты точки М и N так, что отрезок M N параллелен отрез­
ку АС. Известно, что периметр многоугольника AMNCD относится к
периметру треугольника MBN , как 7:3. Найти длину отрезка MN.
10.5.3. [СПбГУ] В прямоугольнике ABCD дано: АВ = а, AD = Ъ. Найти
на стороне АВ точку Е, для которой ICED — IAED.
10.5.4. [НГУ] Дан ромб ABCD, Окружность радиуса R описана около
треугольника ABD и проходит через центр окружности, вписанной в
треугольник CBD. Определить площадь ромба.
10.5.5. [РГПУ] В ромб вписан круг. Каждая сторона ромба точкой
касания делится на отрезки, длины которых а и Ь. Найти площадь круга.
10.5.6. [СПбГУ] Вершины одного квадрата лежат на границе второ­
го квадрата. Найти отношения длин отрезков, на которые эти вершины
231
разбивают стороны второго квадрата, если известно, что отношение пло­
щадей квадратов равно р.
10.5.7. [МГУ, геолог, ф-т; МЭИ; МИЭТ] Найти углы ромба, если известно,
что площадь вписанного в него круга вдвое меньше площади ромба,
10.5.8. [СПбГУ] В квадрате ABCD со стороной а точки Е и F являются
серединами сторон АВ и CD соответственно. Точка К лежит на CF,
точка N — на AD, а отрезки EF и K N пересекаются в точке М. Найти
площадь треугольника K FM , если известно, что СК \ K F — 1 : 5, в. О
площадь трапеции EMN А составляет площади квадрата.
10.5.9. [СГАПС] В параллелограмме ABCD величина угла BCD рав­
на длина стороны АВ равна а. Биссектриса угла BCD пересекает
сторону AD в точке N. Найти площадь треугольника NCD.
10.5.10. [СГУ] В параллелограмме ABCD длина стороны AD равна 8.
Биссектриса угла ADC пересекает прямую АВ в точке Е. В треугольник
ADE вписана окружность с центром в точке О, касающаяся стороны АЕ
в точке К и стороны AD в точке L. Найти величину угла KOL, если
длина KL равна 2.
10.5.11. [УрГУ] На стороне N P квадрата MNPQ взята точка А, на
стороне PQ — точка В так, что N А : АР — РВ : BQ — 2:3. Точка L
является точкой пересечения отрезков МА и NB. В каком отношении
точка L делит отрезок М А?
10.5.12. [РГПУ] Стороны прямоугольника равны а и Ь. На стороне а,
как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность
делит диагональ прямоугольника?
10.5.13. [МПГУ] Найти площадь параллелограмма, если его диагона­
ли Зсм и 5см, а острый угол параллелограмма 60°.
10.5.14. [СГПИ] Дан ромб с острым углом а. Какую часть ромба со­
ставляет от его площади площадь вписанного в него круга?
10.5.15. [МПГУ] Длины меньшей диагонали, стороны и большей диаго­
нали ромба составляют геометрическую прогрессию. Найти углы ромба.
10.5.16. [МТУСИ] В параллелограмме ABCD длина диагонали BD,
перпендикулярной стороне АВ, равна 6. Длина диагонали АС равна
2\/22. Найти длину стороны AD.
10.5.17. [МТУСИ] В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла
В пересекает сторону AD в точке F. Найти периметр параллелограмма,
если АВ = 12 и AF : FD = 4 : 3.
10.5.18. [МТУСИ] Через вершины произвольного четырехугольника
проведены прямые, параллельные его диагоналям. Найти отношение
232
площади параллелограмма, образованного этими прямыми, к площади
данного четырехугольника.
10.5.19. [ГАНГ] Тупой угол ромба в о раз больше его острого угла. Во
сколько раз сторона ромба больше радиуса вписанной в него окружно­
сти?
10.5.20. [ГАУ] Точка М делит диагональ АС квадрата ABCD со сто­
роной а в отношении AM : МС = 3:1; точка N лежит на стороне АВ,
причем угол NMD прямой. Найти длину отрезка AN.
10.5.21. [МГУ, филолог, ф-т] В ромбе ABCD угол при вершине А ра­
вен Точка N делит сторону АВ в отношении AN : BN = 2:1.
Определить тангенс угла DNC.
10.5.22. [МГУ, хим. ф-т] В квадрат площадью 18 см2 вписан прямоуголь­
ник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямо­
угольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 1 : 2. Найти
площадь прямоугольника.
10.5.23. [МГУ, хим. ф-т] В квадрат площадью 24 вписан прямоуголь­
ник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямо­
угольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 1 : 3. Найти
площадь прямоугольника.
10.5.24. [МГУ, филолог, ф-т] Точка С лежит на стороне M N ромба
KLMN, причем CN = 2 см и угол MNK равен 120°. Найти отношение
косинусов углов CKN и CLM.
10.5.25. [МГУ, геогр. ф-т] В параллелограмме ABCD на диагонали
АС взята точка Е, где расстояние АЕ составляет треть длины АС, а
на стороне AD взята точка F, где расстояние AF составляет четверть
длины AD. Найти площадь параллелограмма АВ CD, если известно, что
площадь четырехугольника ABGE, где G — точка пересечения прямой
FE со стороной ВС, равна 8.
10.5.26. [МГАВТ] Определить угол ромба, зная его площадь Q и пло­
щадь вписанного в него круга S.
10.5.27. [МГЗИПП] Радиус окружности, в которую вписан квадрат,
равен 6 см. Найти площадь квадрата.
10.5.28. [ГУЗ] Периметр параллелограмма 90см, а острый угол — 60°.
Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении
1 : 3. Найти стороны параллелограмма.
10.5.29. [МВВДИУ] В параллелограмме даны острый угол, равный 45°,
и расстояния от точки пересечения диагоналей до неравных сторон, рав­
ные соответственно 2 и 3. Найти площадь параллелограмма.
233
10.5.30. [КГТУ] В ромб вписан круг, а в круг вписан квадрат. Чему
равен угол ромба, если площадь квадрата в 4 раза меньше площади
ромба?
6. Окружность и круг
10.6.1. [МАТИ] Из одной точки окружности проведены две хорды дли­
ной 9 см и 17см. Найти радиус окружности, если расстояние между се­
рединами хорд равно 5 см.
10.6.2. [МИИТ, МИСиС] Хорда окружности равна 10см. Через один
конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой ко­
нец проведена секущая параллельно касательной. Определить радиус
окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12 см.
D
10.6.3. [МАИ] Две окружности радиусов R и ~ касаются друг дру­
га внешним образом. Один из концов отрезка длины 2R, образующего
угол 30° с линией центров, совпадает с центром окружности меньшего
радиуса. Какая часть отрезка лежит вне окружностей?
10.6.4. [МГУ, физ. ф-т] Из точки К , расположенной вне окружности с
центром О, проведены к этой окружности две касательные М К и N K
(М и TV — точки касания). На хорде M N взята точка С (МС < CN).
Через точку С перпендикулярно отрезку ОС проведена прямая, пересе­
кающая отрезок N K в точке В. Известно, что радиус окружности ра­
вен R, LMKN = а, МС ~Ь. Найти длину отрезка СВ.
10.6.5. [СПбГУ] Через точку А, лежащую на расстоянии 2г от центра
окружности радиуса г, проведена прямая на расстоянии ^ от центра
окружности, пересекающая окружность в точках В и С. Найти АВ и
АС.
10.6.6. [НГУ] Дан выпуклый четырехугольник ABCD, диагональ АС
которого равна у/2. Найти площадь круга, описанного около треуголь­
ника ABD, если известно, что 1АВС = 105°, LACD = 42°, ID АС = 63°.
10.6.7. [НижГУ, РГПУ] Диаметр окружности радиуса R является осно­
ванием правильного треугольника. Вычислить площадь той части тре­
угольника, которая лежит вне данного круга.
10.6.8. [РГПУ] Дано круговое кольцо, площадь которого Q. Определить
длину хорды большего круга, касательной к меньшему.
10.6.9. [УрГУ] Две окружности радиусов г и Зг касаются внешним
образом. Найти площадь фигуры, заключенной между окружностями и
их общей касательной.
234
10.6.10. [МИСиС] Окружность с центром в точке О и радиусом й —
= 6 + 4\/2 касается прямой в точке А. На окружности взята точка В
так, что угол АО В равен 45°. Найти радиус окружности, касающейся
данной окружности в точке В и данной прямой.
10.6.11. [МИСиС] Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13
и 15, длина общей хорды равна 24. Определить расстояние между их
центрами (центр каждой окружности лежит вне другой окружности).
10.6.12. [СПбГУ] Круг и квадрат имеют общий центр, а их площади
равны. Сторона квадрата равна 1. Вычислить сумму длин частей окруж­
ности, расположенных внутри квадрата.
10.6.13. [ЯГУ] Дан ромб со стороной а и острым углом 60°. На его
большой диагонали как на диаметре построена окружность, а) Вычи­
слить площадь круга, б) Что больше: площадь ромба или площадь части
круга, лежащей вне ромба?
10.6.14. [ВГУ] Через точку Р, лежащую внутри круга радиусом Й, про­
ведены две взаимно перпендикулярные хорды, одна из которых образует
угол а (а > 0) с прямой, проходящей через точку Р и центр круга, и
удалена от центра на расстояние а. В круг вписан четырехугольник,
имеющий эти хорды диагоналями. Найти его площадь.
10.6.15. [СПбГУ] Точка находится внутри круга радиусом 6 и делит
проходящую через нее хорду на отрезки длиной о и 4. Найти расстояние
от точки до окружности.
10.6.16. [МПГУ] Найти сторону квадрата, вписанного в круг, площадь
которого 64 см2.
9
10.6.17. [ВШЭ] Две окружности, отношение радиусов которых равно
касаются друг друга внутренним образом. Через центр меньшей окруж­
ности проведена прямая, перпендикулярная линии центров, и из точек
пересечения этой прямой с большей окружностью проведены касатель­
ные к меньшей окружности. Найти углы между этими касательными.
10.6.18. [ЛГПИ] Точка лежит вне круга на расстоянии диаметра от цен­
тра круга. Найти угол между касательными, проведенными из данной
точки к данному кругу.
10.6.19. [МГУ, мех.-мат.] Диагонали четырехугольника ABCD, вписан­
ного в окружность, пересекаются в точке Е. На прямой АС взята точка
М , причем ADME = 80°, LABD = 60°, ICBD = 70°. Где расположена
точка М: на диагонали АС или на ее продолжении? Ответ обосновать.
10.6.20. [МЭИ] Три круга касаются внешним образом. Расстояния ме­
жду центрами кругов равны 7см, 8 см, 9 см. Найти радиусы кругов.
235
10.6.21. [МТУСИ; МАДИ] Две окружности равного радиуса касаются
в точке С внешним образом. Кроме того, каждая из них касается извне
третьей окружности радиуса 6,5 в точках Л и В соответственно. Найти
площадь треугольника АВС, если АВ = 5.
10.6.22. [ГАНГ] Две окружности пересекаются в точках А и В, через
точку А проведены хорды АС и AD, касающиеся данных окружностей;
АС : AD = 3:2. Найти отношение ВС : BD.
10.6.23. [МФТИ] Окружность, центр которой лежит вне квадрата
ABCD, проходит через точки В и С. Найти угол между касательными к
окружности, проведенными из точки D, если отношение длины стороны
т
квадрата к диаметру окружности равно £.
О
10.6.24. [МИСиС] Две окружности касаются внутренним образом. Пря­
мая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает большую
окружность в точках Л и В, а меньшую — в точках В и С, причем
АВ : ВС : CD = 2:4:3. Найти отношение радиуса большей окружно­
сти к радиусу меньшей окружности.
10.6.25. [ГАУ; МГАПБ] Две окружности радиуса 32 с центрами Oi и
0 2, пересекаясь, делят отрезок 0102 на три равные части. Найти ради­
ус окружности, которая касается изнутри обеих данных окружностей и
касается отрезка 0102 -
10.6.26. [МГУ, физ. ф-т] В окружности пересекающиеся хорды АВ и
CD перпендикулярны, AD — т, ВС = п. Найти диаметр окружности.
10.6.27. [МГУ, физ. ф-т] В окружность с радиусом R вписан равнобе­
дренный треугольник АВС (АВ = ВС) с углом ВАС, равным а. Найти
радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
10.6.28. [МГУ, физ. ф-т] Окружность касается сторон угла с вершиной
О в точках А и В. На этой окружности внутри треугольника АОВ взята
точка С. Расстояния от точки С до прямых О А и ОВ равны соответ­
ственно а и 6. Найти расстояние от точки С до хорды АВ.
10.6.29. [МГУ, мех.-мат.] Диагонали четырехугольника PQRS, вписан­
ного в окружность, пересекаются в точке D. На прямой PR взята точка
А, причем ISAD — 50°, IPQS = 70°, IRQS = 60°. Где расположена
точка А: на диагонали PR или на ее продолжении? Ответ обосновать.
10.6.30. [МГУ, хим. ф-т] Две окружности разных радиусов касаются в
точке А одной и той же прямой и расположены по разные стороны от
нее. Отрезок АВ — диаметр меньшей окружности. Из точки В прове­
дены две прямые, касающиеся большей окружности в точках М и N.
Прямая, проходящая через точки М и А, пересекает меньшую окруж­
ность в точке К. Известно, что длина отрезка М К равна у/¥+~у/3, а
236
угол ВМА равен 15°. Найти площадь фигуры, ограниченной отрезками
касательных ВМ, BN и той дугой M N большей окружности, которая
не содержит точку А.

10.6.31. [МПГУ] В полуокружность с радиусом \/5 вписан квадрат так,
что две его вершины лежат на диаметре полуокружности. Найти длину
стороны квадрата.
10.6.32. [СПбГУ] Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Диаметр круга совпадает с большим катетом. Вычислить площади ча­
стей круга, на которые он разбивается гипотенузой треугольника.
10.6.33. [РЭА] В сегмент круга, дуга которого содержит 120°, вписан
квадрат со стороной \/19 - 2. Найти радиус круга.
10.6.34. [РЭА] Через концы хорды, делящей окружность радиуса г в
отношении 1 : 2, проведены касательные. При каком значении г площадь
треугольника, образованного хордой и касательными, равна 12\/3?
10.6.35. [РЭА] В сектор с центральным углом в 60° вписан круг. При
каком радиусе площадь круга равна 7 г?
ТЭ
10.6.36. [МГОУ] В полукруг радиуса R вписан круг радиуса | , а в
оставшуюся часть полукруга вписан круг, касающийся окружности ра- D
диуса R, круга радиуса и диаметра полукруга. Найти радиус послед­
него круга, если R — 4.
10.6.37. [МИИТ] Сторона правильного треугольника равна а. Из его
центра радиусом ^ описана окружность. Определить площадь части тре­
угольника, лежащей вне этой окружности.
10.6.38. [РЭА] Круг радиуса R = . ^ = разделен на два сегмента
V4?r - Зл/З
хордой, равной стороне вписанного в этот круг правильного треуголь­
ника. Определить площадь меньшего из этих сегментов.
7. Разные задачи
10.7.1. [СПбГТУ] Диагонали разбивают выпуклый четырехугольник на
четыре треугольника. Радиусы окружностей, описанных около этих тре­
угольников, одинаковы и равны 2. Найти длины сторон четырехуголь­
ника.
10.7.2. [РГПУ] В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей 2 см
и 4 см. Найти площадь четырехугольника, зная, что длины отрезков,
соединяющих середины противоположных сторон, равны.
237
10.7.3. [МГОПУ] Данный квадрат со стороной а срезан по углам так,
что образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь это­
го восьмиугольника.
10.7.4. [МИЭТ] Дан правильный 30-угольник А\ A i ... Д30 с центром О.
Найти угол между прямыми О Аз и А1А4.
10.7.5. [МПГУ] Сторона правильного шестиугольника равна 14 см. Най­
ти сторону равновеликого ему правильного треугольника и площадь
круга, вписанного в этот треугольник.
10.7.6. [МТУСИ] Разность между площадью круга и площадью впи­
санного в него квадрата равна 2у/3(тг — 2). Найти площадь правильного
шестиугольника, вписанного в этот круг.
10.7.7. [МФТИ] В окружность диаметра 1 вписан четырехугольник
ABCD, у которого угол D прямой, АВ ~ ВС. Найти площадь четы­
рехугольника ABCD, если его периметр равен
10.7.8. [МФТИ] В окружность радиуса 5 вписан четырехугольник
ABCD, у которого угол D прямой, АВ : ВС ~ 3:4. Найти периметр
четырехугольника ABCD, если его площадь равна 44.
10.7.9. [МГУЛ] Четырехугольник ABCD описан около окружности с
центром О, Найти сумму углов АОВ и COD (в градусах).
10.7.10. [МГУ, биолог, ф-т, ГАУ] В выпуклом четырехугольнике ABCD
длина отрезка, соединяющего середины сторон АВ ж CD, равна одно­
му метру. Прямые ВС и AD перпендикулярны. Найти длину отрезка,
соединяющего середины диагоналей АС и BD.
10.7.11. [МГУ, биолог, ф-т] В выпуклом четырехугольнике ABCD дли­
на отрезка, соединяющего середины диагоналей, равна длине отрезка,
соединяющего середины сторон AD и ВС. Найти величину угла, обра­
зованного продолжениями сторон АВ и CD.
10.7.12. [ИЕНиЭ] Четырехугольник KLMN вписан в окружность. Че­
рез его вершины проведены касательные к этой окружности, образую­
щие также вписанный четырехугольник. Найти площадь четырехуголь-
MN MN
ника KLMN, если его периметр равен р и —--- — 2, ——— = 8.
ML KL
10.7.13. [МПГУ] Точка, лежащая внутри угла в 60°, удалена от его
сторон на расстояния а и Ъ. Найти расстояние от этой точки до вершины
угла.
238
8. Задачи на доказательство
10.8.1. [МЙСиС] Пусть Е — середина стороны АВ трапеции ABCD
{ВС j| AD). Доказать, что площадь треугольника ECD равна половине
площади трапеции ABCD.
10.8.2. [МГУ, эк. ф-т] В выпуклом четырехугольнике ABCD противо­
положные углы А и С прямые. На диагональ АС опущены перпендику­
ляры BE и DF. Доказать, что СЕ = FA.
10.8.3. [БГУ] В треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Дока­
зать, что если АВ + BD = АС + CD, то треугольник АВС — равнобе­
дренный.
10.8.4. [НГУ] Дана равнобедренная трапеция с основаниями а и Ь.
Доказать, что если в эту трапецию можно вписать окружность, то ее
диаметр равен у/аЬ.
10.8.5. [РГПУ] На основаниях АВ и CD вне трапеции построены ква­
драты. Доказать, что прямая, соединяющая их центры, проходит через
точку пересечения диагоналей трапеции.
10.8.6. [МПГУ] На одной из параллельных сторон трапеции взята точка
А, на другой — точка В. Доказать, что отрезок АВ делится средней
линией трапеции пополам.
10.8.7. [МЭИ] Пусть М — точка пересечения высот треугольника АВС.
Доказать, что точка М', симметричная точке М относительно любой
стороны треугольника АВС, лежит на окружности, описанной около
этого треугольника.
10.8.8. [УрГУ] Доказать, что в прямоугольном треугольнике произ­
ведение длин отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания с
вписанной окружностью, равно площади треугольника.
10.8.9. [МИРЭА] Две окружности с радиусами Ru г касаются друг дру­
га внешним образом в точке А. Общие касательные AD и ВС к окруж­
ностям пересекаются в точке D. Доказать, что AD2 ~ Rr.
10.8.10. [СПбГУ] Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием
АС. Вписанная в него окружность с центром О касается боковой стороны
ВС в точке Р и пересекает биссектрису угла В в точке Q. Доказать, что
отрезки QP и ОС параллельны.
10.8.11. [МГУ, геолог, ф-т] Четырехугольник ABCD таков, что около
него можно описать и в него можно вписать окружности. Разность длин
сторон AD и ВС равна разности длин сторон АВ и CD. Доказать, что
диагональ АС — диаметр описанной окружности.
239
10.8.12. [МГУ, геолог, ф-т] Четыре точки окружности следуют в порядке
А, В, С, D. Продолжения хорды АВ за точку В и хорды CD за точку С
пересекаются в точке Е, причем угол AED равен 60°. Угол ABD в три
раза больше угла ВАС. Доказать, что AD —- диаметр окружности.
10.8.13. [МПГУ] Из вершины В треугольника АВС опущены перпен­
дикуляры В К и BL на биссектрисы внешних углов треугольника, не
смежных с углом В. Доказать, что длина отрезка KL равна полупери-
метру треугольника АВС.

10.9.1. [МГУ, мех.-мат.; МИФИ] В треугольнике KLM проведены бис­
сектрисы K N и ZP, пересекающиеся в точке Q. Отрезок PN имеет дли­
ну 1 см, а вершина М лежит на окружности, проходящей через точки N,
Р, Q. Найти стороны и углы треугольника PNQ.
10.9.2. [РЭА] Определить стороны треугольника, если медиана и высо­
та, проведенные из вершины одного угла, делят этот угол на три равные
части, а сама медиана равна 10 см.
10.9.3. [НГУ] В треугольнике АВС биссектриса угла ВАС равна а.
Окружность, построенная на этой биссектрисе как на диаметре, делит
стороны АВ и АС в отношении 2 : 1 и 1 : 1, считая от точки А. Найти
площадь треугольника АВС.
10.9.4. [МФТИ] В треугольнике АВС биссектриса AD делит сторону
ВС в отношении BD : CD = 2 ; 1. В каком отношении медиана СЕ
делит эту биссектрису?
10.9.5. [МФТИ] Вписанная в треугольник АВС окружность касается
его сторон АС и ВС соответственно в точках М и N и пересекает бис­
сектрису BD в точках Р и Q. Найти отношение площадей треугольников
PQM и PQN , если LA = | , ZB =
10.9.6. [НГУ] В треугольнике АВС радиус вписанной окружности ра­
вен косинус угла С равен а площадь треугольника равна 60.
Найти стороны треугольника.
10.9.7. [МИРЭА] В треугольнике АВС точка Е принадлежит медиане
B D , причем BE = ZED. Прямая АЕ пересекает сторону ВС в точке М.
Найти отношение площадей треугольников АМС и АВС.
10.9.8. [МАТИ] В треугольнике АВС площадью 90 см2 биссектриса AD
делит сторону ВС на отрезки BD и CD, причем B D : CD = 2:3. Отрезок
240
BL пересекает биссектрису AD в точке Е и делит сторону АС на отрезки
AL и CL такие, что AL : CL = 1:2. Найти площадь четырехугольника
EDCL.
10.9.9. [МАТИ] В треугольнике АВС площадью 40 см2 биссектриса AD
делит сторону ВС на отрезки BD и DC, причем BD : DC = 3:2.
Биссектриса AD пересекает медиану В К- в точке Е. Найти площадь
четырехугольника EDCK.
10.9.10. [МАТИ] В треугольнике АВС площадью 70 см2 биссектриса
AD делит сторону ВС на отрезки BD и D C, причем BD : DC = 3:2.
На стороне АС выбрана точка К такая, что биссектриса AD пересекает
В К в точке Е и BE : ЕК = 5:2. Найти площадь четырехугольника
EDCK.
10.9.11. [МАТИ] В треугольнике АВС биссектрисы AD и BE пересе­
каются в точке О. Найти отношение площади четырехугольника DOEC
к площади треугольника АВС, если АС : АВ : ВС = 4:3:2.
10.9.12. [МФТИ] В треугольнике АВС проведена биссектриса АР. Из­
вестно, что ВР ~ 16, PC = 20 и что центр окружности, описанной около
треугольника АВР, лежит на отрезке АС. Найти длину стороны АВ.
10.9.13. [МФТИ] В треугольнике АВС проведена биссектриса CQ.
•у
Около треугольника BCQ описана окружность радиуса центр ко-
i j
торой лежит на отрезке АС. Найти площадь треугольника АВС, если
AQ : АВ = 2:3.
10.9.14. [МФТИ] Даны треугольник АВС и ромб BDEF, все вершины
которого лежат на сторонах треугольника АВС, а угол при вершине Е
— тупой. Найти площадь треугольника АВС, если АЕ = 3, СЕ = 7, а
радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1.
О
10.9.15. [МФТИ] В треугольнике АВС угол А равен тг —arcsin а дли­
на стороны ВС равна 8. На продолжении СВ за точку В взята точка
D так, что BD = 1. Найти радиус окружности, проходящей через вер­
шину А, касающейся прямой ВС в точке D и касающейся окружности,
описанной около треугольника АВС.
10.9.16. [МТУСИ] В треугольнике АВС биссектриса АН делит ме­
диану BE в отношении ВК : К Е = 2, а угол АСВ равен 45°. Найти
отношение площади треугольника ВСЕ к площади описанного около
этого треугольника круга.
10.9.17. [УрГУ] В треугольнике АВС точки К и N — середины сторон
АВ и АС соответственно. Через вершину В проведена прямая, которая
пересекает сторону АС в точке F , а отрезок K N — в точке L так, что
241
KL : LN = 3:2. Определить площадь четырехугольника AKLF, если
площадь треугольника АВС равна 40.
10.9.18. [МТУСИ] В треугольнике АВС известны высоты ha, hb, hc.
Найти радиус вписанной в треугольник АВС окружности.
10.9.19. [МТУСИ] В треугольнике АВС угол А равен 60°, а центр
вписанного круга делит биссектрису АК в отношении (\/3 + 1) : -\/2,
считая от вершины А. Найти величины углов В и С.
10.9.20. [МФТИ] Биссектриса AD и высота BE остроугольного тре­
угольника АВС пересекаются в точке О. Окружность с радиусом R и
центром в точке О проходит через вершину А , середину стороны АС и
пересекает сторону АВ в точке К такой, что АК : КВ — 1:3. Найти
длину стороны ВС.
10.9.21. [МФТИ] Продолжения медиан AM и ВК треугольника АВС
пересекают описанную около него окружность в точках Е и F соответ­
ственно, причем АЕ : AM = 2:1, BF : ВК = 3 : 2 . Найти углы
треугольника АВС.
10.9.22. [СПбГУ] Точка X делит сторону АВ треугольника АВС в
отношении 1 : 2. Точка Y лежит на стороне АС, и отрезок B Y делится
отрезком Х С в отношении 5 : 2. В каком отношении точка Y делит
сторону АС?
10.9.23. [МГУ, хим. ф-т] Точки М и JV лежат на стороне АС треуголь­
ника АВС на расстояниях соответственно 2 и 6 от вершины А. Найти
радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся пря­
мой АВ; /.ВАС = 30°.
10.9.24. [МГУ, геогр. ф-т] В треугольнике АВС биссектриса BE и меди­
ана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти
стороны треугольника АВС .
10.9.25. [НГУ] В треугольнике АВС (АВ = 14, АС = 15, ВС = 13)
через основание высоты СН проводят прямые, параллельные АС и ВС,
которые пересекают соответственно ВС и АС в точках М и N. Пря­
мая M N пересекает продолжение стороны АВ в точке D. Найти длину
отрезка BD.
10.9.26. [МГУ, ВМиК] В остроугольном треугольнике АВС на высоте
AD взята точка М , а на высоте ВР — точка N так, что углы ВМС
и ANC — прямые. Расстояние между точками М и N равно 4 + 2\/3,
/MCN ~ 30°. Найти биссектрису CL треугольника CMN.
10.9.27. [МГУ, ВМиК] В треугольнике KLM длина стороны KL рав­
на 27, длина биссектрисы K N равна 24, а длина отрезка M N равна 8.
Определить периметр треугольника KMN.
242
10.9.28. [МГУ, геолог, ф-т] У треугольника известны длины сторон
а = 6, Ь = 8 и площадь S = Зл/15. Третья его сторона меньше удвоенной
медианы, проведенной к ней. Найти радиус вписанной в этот треуголь­
ник окружности.
10.9.29. [МГУ, мех.-мат.] В треугольнике PQR медиана, проведенная из
вершины Q, имеет длину Окружности с центрами в вершинах Р
и Я и радиусами 5 и 1 соответственно касаются друг друга, а вершина Q
лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей. Найти площадь
S треугольника PQR, если известно, что S < 7.
10.9.30. [МГУ, эк. ф-т] Отрезки, соединяющие основания высот остро­
угольного треугольника, равны 5, 12 и 13. Найти площадь треугольника.
10.9.31. [СПбГТУ] Найти углы треугольника с единичным радиусом
вписанной окружности, если известно, что длины его высот — целые
числа.
10.9.32. [РЭА] Из центра окружности, вписанной в треугольник со сто­
ронами 13, 14, 15, проведена новая окружность радиуса 5. Найти длины
хорд, отсекаемых этой новой окружностью на сторонах треугольника.

 

Ответы к задачам по математике Куланин from zoner

Категория: Математика | Добавил: Админ (23.04.2016)
Просмотров: | Теги: Куланин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar