Тема №6150 Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 5)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 5) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 5), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

10.10.1. [НГУ] Радиус описанной около равнобедренного треугольника
окружности равен 25 см, а вписанной в него окружности — 12 см. Найти
стороны треугольника.
10.10.2. [СПбГУ] Даны равносторонний треугольник со стороной а
и окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и делящая
вторую сторону на две равные части. Кроме того, известно, что центр
окружности лежит на третьей стороне треугольника. Найти расстояние
от центра окружности до ближайшей вершины треугольника.
10.10.3. [СПбГТУ] Из вершины А равностороннего треугольника АВС
проведен луч, пересекающий сторону ВС, и на нем выбрана некоторая
точка М. Известно, что LAMB = 20й и LAMC = 30°. Найти угол МАВ.
Показать, что этот угол содержит целое число градусов.
10.10.4. [МФТИ] Равнобедренный треугольник АВС (1C — 90°) и тре­
угольник DEF расположены так, что точка D лежит на стороне АВ, а
точка Е — на продолжении стороны АВ за точку А. Отрезок KL являет­
ся средней линией в обоих треугольниках, и площадь четырехугольника
DKLB составляет | площади треугольника АВС. Найти угол DEF.
10.10.5. [МФТИ] Точка О —- центр окружности, вписанной в равнобе­
дренный треугольник (АВ = ВС). Прямая АО пересекает отрезок ВС
243
в точке М. Найти углы и площадь треугольника АВС, если АО = 3,
ОМ = —
и И .
10.10.6. [УрГУ] В равнобедренном треугольнике расстояние между точ­
ками пересечения медиан и биссектрис равно 2. Определить периметр
треугольника, если длина окружности^ вписанной в треугольник, рав­
на 20тг.
10.10.7. [МФТИ] В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС)
вписана окружность. Прямая, параллельная стороне АВ и касающаяся г)
окружности, пересекает сторону АС в точке М такой, что МС — ~АС\
Найти радиус окружности, если периметр треугольника АВС равен 20.
10.10.8. [МФТИ] Основание АС равнобедренного треугольника АВС
является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольни­
ка АВС. Прямые, проходящие через точку В, касаются окружности в
точках D и Е. Найти площадь треугольника DBE, если АВ = ВС = 2,
LAB С = 2arcsin Д=, а радиус окружности равен 1.
v5
11. Прямоугольный треугольник
10.11.1. [СПбГУ] В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а,
а биссектриса одного из острых углов — -^=. Найти катеты.
10.11.2. [МФТИ] Отрезок AD является биссектрисой прямоугольно­
го треугольника АВС (LC = 90°). Окружность радиусом л/Тб прохо­
дит через точки А, С, D и пересекает сторону АВ в точке Е так, что
АЕ : АВ = 3:5. Найти площадь треугольника АВС.
10.11.3. [ГАУ] Высота и биссектриса прямоугольного треугольника,
опущенные из вершины прямого угла, равны соответственно 3 и 4. Найти
площадь треугольника.
10.11.4. [МГУ, биолог, ф-т] Прямоугольный треугольник АВС имеет
периметр 54 см, причем длина катета АС больше, чем 10 см. Окружность
радиуса 6 см, центр которой лежит на катете ВС, касается прямых АВ
и АС. Найти площадь треугольника АВС.
10.11.5. [МАТИ] В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой
АВ и площадью 30 точка О — центр вписанной окружности. Площадь
треугольника АОВ равна 13. Найти длины сторон треугольника АВС.
10.11.6. [МФТИ] Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного тре­
угольника АВС (LB = 90°) пересекаются в точке О. Найти площадь
треугольника АВС, если СО — 9, OD — 5.
244
10.11.7. [ГАУ] В прямоугольный треугольник, периметр которого ра­
вен 36, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в от­
ношении 2 : 3. Найти длину гипотенузы.
12. Трапеция
10.12.1. [НГУ] В трапеции ABCD нижнее основание AD в 2 раза боль­
ше верхнего, равного а, угол А при основании равен 45°, а окружности,
построенные на боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг дру­
га. Найти площадь трапеции.
10.12.2. [МФТИ] Длины боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD
равны соответственно 8 см и 10см, а длина основания ВС равна 2 см.
Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найти
площадь трапеции.
10.12.3. [МФТИ] В равнобедренную трапецию вписана окружность. Рас­
стояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапе­
ции относится к радиусу как Зкб. Найти отношение периметра трапеции
к длине вписанной окружности.
10.12.4. [НижГУ] Вычислить площадь равнобедренной трапеции, если
ее высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окруж­
ности под углом 60°.
10.12.5. [МФТИ] В трапеции ABCD: LBAD — 90°, IADC = 30°.
Окружность, центр которой лежит на отрезке AD, касается прямых АВ,
ВС и CD. Найти площадь трапеции, если известно, что радиус окруж­
ности равен R.
10.12.6. [СПбГУ] В равнобедренной трапеции диагональ перпендику­
лярна к боковой стороне, большее основание равно а, а сумма меньшего
основания и боковой стороны равна Найти меньшее основание.
10.12.7. [СПбГУ] В равнобедренной трапеции ABCD диагональ АС
перпендикулярна к боковой стороне CD. Найти ВС, если известно, что
AD = а, АВ2 + ВС2 - ^ а 2.
10.12.8. [МФТИ] Основание AD трапеции ABCD (AD || ВС, AD > ВС)
является диаметром окружности, которая касается прямой CD в точке
D и пересекает сторону АВ в точке L так, что АВ — AL. Радиус
окружности равен R, ICAD = 45°. Найти площадь трапеции.
10.12.9. [СПбГУ] Средняя линия трапеции делится одной из диагоналей
в отношении к и делит трапецию на две части, меньшая из которых —
площади S. Найти площадь трапеции.
245
10.12.10. [НГУ] В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС биссек­
триса угла BAD проходит через середину М стороны CD. Известно, что
А В = 5, AM = 4. Найти длину отрезка ВЫ.
10.12.11. [НГУ] Точки М и N выбраны соответственно на основании
ВС и боковой стороне CD трапеции А В CD. Прямые AM и BN пересе­
каются в точке К, причем АК — 3КМ, KN = 2ВК. Найти отношение
CN : ND.
10.12.12. [НГУ] Длины оснований AD и ВС трапеции ABCD соответ­
ственно равны 9 и 3. Точка Е — середина боковой стороны АВ, точка
F — середина CD. Биссектриса угла BAD пересекает среднюю линию
ЕЕ в точке Р, а биссектриса угла ADC ~ в точке Q. Длины отрезков
EQ, PQ и PF равны. Найти площадь трапеции.
10.12.13. [СПбГУ] Сумма длин оснований трапеции равна 9, а длины
диагоналей равны 5 и \/34. Углы при большем основании острые. Найти
площадь трапеции.
10.12.14. [МИЭМ] В трапеции длины диагоналей равны 2л/бТ и 3\/4Т, а
длины оснований — 10 и 15. Найти площадь трапеции. Можно ли в эту
трапецию вписать окружность? Можно ли вокруг этой трапеции описать
окружность?
10.12.15. [НижГУ] Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее осно­
вания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС
равна а, длина боковой стороны ВС равна Ь. Найти площадь трапеции,
10.12.16. [КГУ] Сумма квадратов параллельных сторон трапеции рав­
на 288. Определить длину, отрезка, параллельного этим сторонам и де­
лящего площадь трапеции пополам.
10.12.17. [МАТИ] В равнобедренной трапеции ABCD длина основания
AD равна 14, а длина основания ВС — 2. Окружность касается сторон
АВ, ВС и CD, причем боковая сторона делится точкой касания в отно­
шении 1 : 9, считая от меньшего основания. Найти радиус окружности.
10.12.18. [МФТИ] На диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD
(ID = 90°, ВС || AD) взята точка Q так, что BQ : QD — 1:3. Окруж­
ность с центром в точке Q касается прямой AD и пересекает прямую
ВС в точках Р и М. Найти длину стороны АВ, если ВС = 9, AD = 8,
РМ = 4.
10.12.19. [МПГУ] Боковая сторона неравнобедренной трапеции равна
12см и образует с ее основанием угол GO0. Основания трапеции равны
16 см и 40 см. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований.
10.12.20. [МАТИ] В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС через
вершину А проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точ­
246
ке Е и боковую сторону CD в точке К , причем BE : ED = 1 : 2 и
CiiT: KD = 1:4. Найти отношение длин оснований трапеции.
10.12.21. [МГУ, мех.-мат.] В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС
диагонали АС и BD пересекаются в точке Е. Вокруг треугольника ЕС В
описана окружность, а касательная к этой окружности, проведенная в
точке Е, пересекает прямую AD в точке F таким образом, что точки А,
D и F лежат последовательно на этой прямой. Известно, что AF = а,
AD ~ Ь. Найти EF.
10.12.22. [МГУ, биолог, ф-т] В трапеции ABCD даны основания AD = 4,
ВС — 1 и углы LA = arctg2, LD = arctg3. Найти радиус окружности,
вписанной в треугольник СВЕ, где Е — точка пересечения диагоналей.
10.12.23. [МГУ, филолог, ф-т] В трапеции ABCD боковая сторона АВ
перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С
и D и касается прямой АВ в точке Е. Найти расстояние от точки Е до
прямой CD, если AD = 4, а ВС = 3-
10.12.24. [МАТИ] В трапеции ABCD с площадью 36 см2 через вершину
А проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке К , а
основание ВС —- в точке L, причем В К : KD = 1 : 3 и BL : LC = 2:1.
Найти площадь четырехугольника DKLC.
10.12.25. [МАТИ] В трапеции ABCD длины оснований AD и ВС
относятся как 2 : 1. На боковой стороне АВ выбрана точка К так,
что АК : КВ — 1 : 2, а на боковой стороне CD — точка L так, что
CL : LD — 1 : 2. В каком отношении отрезок KL делит диагональ BD?
10.12.26. [МАТИ] В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС биссек­
триса угла А пересекает боковую сторону CD в точке Е. Найти площадь
треугольника АВЕ, если AD = 2ВС, AD = АВ, а площадь трапеции
равна 18 см2.
10.12.27. [ГАУ] В трапеции ABCD точка Е лежит на боковой стороне
CD. О — пересечение диагонали BD и отрезка АЕ, Найти площадь
треугольника DOE, если DE : СЕ = 1:2, АО — 2ОЕ, а площадь
треугольника АО В равна 1.
10.12.28. [ГАУ] Длины основания KN, диагонали К М и боковой сто­
роны KL трапеции KLMN равны а, а длина диагонали LN равна Ь.
Найти длину боковой стороны MN,
10.12.29. [ГАУ] Длина диагонали BD трапеции ABCD равна т, а
длина боковой стороны AD равна п. Найти длину основания CD, если
известно, что длины основания, диагонали и боковой стороны трапеции,
выходящих из вершины С, равны между собой.
247
10.12.30. [ГАУ] Около трапеции с основаниями AD и ВС описана
окружность радиуса 5 см. Центр описанной окружности лежит на осно­
вании AD. Основание ВС = 6 см. Определить диагональ АС данной
трапеции.
13. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат
10.13.1. [БГУ] Отношение периметра параллелограмма к его большей
диагонали равно к, к > 2. Найти углы параллелограмма, если известно,
что большая диагональ делит угол параллелограмма в отношении 1 : 2.
10.13.2. [МФТИ] Квадрат ABCD и окружность расположены так, что
окружность касается прямой АС в точке С, а центр окружности лежит
по ту же сторону от прямой АС, что и точка D. Касательные к окруж­
ности, проведенные из точки D , образуют угол 120°. Найти отношение
площади квадрата к площади круга, ограниченного данной окружно­
стью.
10.13.3. [МФТИ] Из вершины В тупого угла ромба ABCD проведе­
ны высоты ВМ и BN. В четырехугольник BMDN вписана окружность
радиуса 1см. Найти сторону ромба, если LABC = 2arctg2.
10.13.4. [ГАНГ] Внутри параллелограмма расположены две одинако­
вые окружности радиусом 6, каждая из которых касается боковой сто­
роны параллелограмма, обоих оснований и второй окружности. Боковая
сторона делится точкой касания в отношении 9 : 4. Найти площадь па­
раллелограмма.
10.13.5. [МФТИ] Внутри параллелограмма ABCD взята точка К так,
что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от
точки К до прямых AD, АВ и ВС равны соответственно 3, 6 и 5. Найти
периметр параллелограмма.
10.13.6. [МГУ, хим. ф-т] В параллелограмме ABCD угол BCD ра­
вен 150°, а основание AD равно 8. Найти радиус окружности, касающей­
ся прямой CD, проходящей через вершину А и пересекающей основание
AD на расстоянии 2 от точки D.
10.13.7. [МГУ, эк. ф-т] Окружность, диаметр которой равен \/10, про­
ходит через соседние вершины А и В прямоугольника ABCD. Длина
касательной, проведенной из точки С к окружности, равна 3, АВ = 1.
Найти все возможные значения, которые может принимать длина сто­
роны ВС.
10.13.8. [ГАНГ] Стороны параллелограмма равны 4см и 6см, Из се­
редины большей стороны параллельная сторона видна под углом 45°.
Найти площадь параллелограмма.
248
10.13.9. [МФТИ] На продолжении стороны AD ромба ABCD за точку
D взята точка К. Прямые АС и ВК пересекаются в точке Q. Известно,
что АК = 14 и что точки А, В и Q лежат на окружности радиуса б,
центр которой принадлежит отрезку АК. Найти длину отрезка ВК.
14. Окружность и круг
10.14.1. [НГУ] Расстояние между центрами двух окружностей равно 5г.
Одна из окружностей имеет радиус г , а вторая — 7г. Хорда большей
окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в
отношении 1 : 6. Найти длину этой хорды.
10.14.2. [МФТИ] В окружности проведены хорды АВ и АС, причем
АВ = 2 см, АС — 1см, 1САВ = 120°. Найти длину той хорды окружно­
сти, которая делит угол САВ пополам.
о о
10.14.3. [СПбГУ] Три круга радиусов г, ^г, ~г расположены на плоско­
сти так, что каждые два из них касаются друг друга внешним образом.
Определить радиус круга, в который вписана данная система трех кру­
гов.
10.14.4. [СПбГУ] Два круга с одинаковыми радиусами г касаются
друг друга внешним образом и касаются третьего круга с радиусом R
внутренним образом. Найдите радиус круга, одновременно касающегося
этих трех кругов (из двух возможных случаев рассмотрите тот, в кото­
ром центр четвертого круга и центр круга с радиусом R лежат по разные
стороны от точки касания кругов с радиусом г).
10.14.5. [МГУ, псих, ф-т] Точки К, L, М , N, Р расположены после­
довательно на окружности радиуса 2у/2. Найти площадь треугольника
KLM, если LM || K N , К М || N P , M N || LP, а угол LOM равен 45°,
где О — точка пересечения хорд LN и МР.
10.14.6. [МГУ, геолог, ф-т] В окружность с центром О вписана трапеция
KLMN , в которой KL |j N M , KL = 8, M N = 2, угол NKL равен 45°.
Хорда МА окружности пересекает отрезок KL в точке В такой, что
КВ = 3. Найти расстояние от точки О до прямой АК.
10.14.7. [МГУ, мех.-мат.] В круге радиуса 1 проведены хорды АВ = у/2
и ВС = Найти площадь части круга, лежащей внутри угла АВС,
если угол ВАС острый.
10.14.8. [МГУ, мех.-мат.] Две окружности с центрами А и В радиуса­
ми 2 и 1 соответственно касаются друг друга. Точка С лежит на пря­
мой, касающейся каждой из этих окружностей, и находится на от
249
середины отрезка АВ. Найти площадь S треугольника АВС, если из­
вестно, что S > 2.
10.14.9. [МГУ, биолог, ф-т] Дана окружность, диаметр M N которой ра­
вен 16. На касательной к этой окружности в точке М отложен отрезок
МР, длина которого больше, чем 15. Из точки Р проведена вторая ка­
сательная к окружности, пересекающая прямую M N в точке Q. Найти
площадь треугольника MPQ, если его периметр равен 72.
10.14.10. [МГУ, геолог, ф-т] В окружность с центром О вписана трапеция
ABCD, в которой AD |) ВС, AD = 7, ВС = 3, LBCD = 120°, хорда ВМ
окружности пересекает отрезок AD в точке N такой, что ND — 2. Найти
площадь треугольника ВОМ.
10.14.11. [МГУ, геолог, ф-т] В окружность с центром О вписана трапеция
ABCD, в которой АВ IJ DC, АВ — 5, DC = 1, угол АВС равен 60°.
Точка К лежит на отрезке АВ, причем АК = 2. Прямая С К пересекает
окружность в точке F, отличной от С. Найти площадь треугольника
OFC.
10.14.12. [МГУ, псих, ф-т] Трапеции ABCD и AQDE с равными больши­
ми основаниями, соответственно AD и АС, вписаны в одну окружность.
Чему равен радиус этой окружности, если площадь треугольника ADE
равна 1 + \/3, а угол COD равен 60°, где О — точка пересечения диаго­
налей трапеции ABCD?
15. Задачи на доказательство
10.15.1. [УрГУ] Треугольник АОВ повернут в своей плоскости вокруг
точки О на 90°, причем вершина А перешла в вершину А\, а В — в B i.
Доказать, что в треугольнике OABi медиана, опущенная на сторону
АВ\, перпендикулярна А\В, а в треугольнике ОА\В медиана, опущен­
ная на сторону А\В, перпендикулярна АВ\.
10.15.2. [МАИ] Доказать, что в любом треугольнике АВС
Е> Г*
sin ~ sin ^
ha — ip *з ,
COS Y
где ha — высота, опущенная из вершины А, 2р — периметр треугольни­
ка.
10.15.3. [РГПУ] Доказать, что расстояние от всякой точки окружно­
сти, описанной около правильного треугольника, до одной из его вершин
равно сумме расстояний от этой точки до двух других вершин.
250
10.15.4. [РГПУ] Две окружности касаются внутренним образом в точке
N. Отрезок M N является диаметром большей окружности. Хорда М К
большей окружности касается меньшей окружности в точке С. Дока­
зать, что NC является биссектрисой угла MNK.
10.15.5. [РГПУ] Доказать, что площадь прямоугольной трапеции, в
которую можно вписать окружность, равна произведению длин ее осно­
ваний.
10.15.6. [МИЭТ] Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапе­
ции равна сумме квадратов боковых сторон с удвоенным произведением
оснований.
10.15.7. [МИЭТ] Точка М лежит на окружности радиуса R, описанной
около прямоугольника ABCD. Доказать, что
М А2 + М В 2 + М С2 + M D2 = 8Д2.
Группа В
16. Т реугольник
10.16.1. [МИЭТ] Дан треугольник АВС, на стороне АС взята точка
Е так, что АЕ : ЕС = а, а на стороне АВ взята точка D так, что
AD : DB = Ь. Проведены отрезки CD и BE. Найти отношение площади
получившегося четырехугольника к площади данного треугольника.
10.16.2. [МФТИ] В треугольнике АВС дано LA — LB — Про­
должения высот треугольника АВС пересекают описанную около него
окружность в точках М , N и Р. Найти отношение площадей треуголь­
ников АВС и MNP.
10.16.3. [МФТИ] В остроугольном треугольнике АВС высота AD, ме­
диана B E и биссектриса CF пересекаются в точке О. Найти угол С,
если ОЕ = 2 ■ ОС.
10.16.4. [МИЭТ] В треугольнике АВС сторона АВ имеет длину 3, высо­
та CD, опущенная на сторону АВ, имеет длину 3. Основание D высоты
CD лежит на стороне АВ, длина отрезка AD равна длине стороны ВС.
Найти длину стороны АС.
10.16.5. [МФТИ; НижГУ] В треугольнике АВС на стороне АС взята
точка М, а на стороне ВС — точка N. Отрезки AN и ВМ пересекаются
в точке О. Найти площадь треугольника CMN , если площади треуголь­
ников AM О, ABO, BNO равны соответственно Si, S2, S3.
251
10.16.6. [МФТИ] Окружность, вписанная в треугольник АВС, делит
медиану ВМ на три равные части. Найти отношение ВС : С А : АВ.
10.16.7. [СПбГУ] Известно, что точки К и L лежат соответственно
на сторонах АВ и ВС треугольника АВС, а О — точка пересечения
AL и СК. Известно, что площади треугольников АОК и COL равны
соответственно 1 и 8, а треугольник АОС и четырехугольник BKOL
равновелики. Найти площадь треугольника АВС.
10.16.8. [ВВИА] В треугольнике АВС медиана, биссектриса и высота,
опущенные из вершины 67, равны соответственно 6, 5 и 2 сантиметрам.
Найти длину стороны АВ.
17. Трапеция
10.17.1. [НГУ] Одна из боковых сторон трапеции перпендикулярна
основаниям и равна 2а. На этой стороне как на диаметре построена
окружность, которая делит другую боковую сторону на три отрезка.
Отношение длин этих отрезков равно 1 : 2 :2 (считая от верхнего осно­
вания). Найти площадь трапеции.
10.17.2. [МФТИ] В равнобедренной трапеции ABCD углы при осно­
вании AD равны 30°, диагональ АС является биссектрисой угла BAD.
Биссектриса угла BCD пересекает основание AD в точке М , а отрезок
ВМ пересекает диагональ АС в точке N. Найти площадь треугольника
ANM , если площадь трапеции ABCD равна (2 + л/З) см2.
10.17.3. [МФТИ] Вершина С прямоугольника ABCD лежит на стороне
К М равнобедренной трапеции АВКМ (ВК || AM), Р — точка пересе­
чения отрезков AM и CD. Найти углы трапеции и отношение площадей
прямоугольника и трапеции, если АВ = 2ВС, АР = 3ВК.
10.17.4. [МФТИ] В трапеции MNPQ (MQ |j NP) угол NPM в 2 раза
1 Ч больше угла NQM. NP — М Р — ^ , MQ = 12. Найти площадь трапе­
ции.
10.17.5. [МФТИ] Биссектрисы углов Аи В трапеции ABCD (ВС || AD)
пересекаются в точке О. Найти длины сторон АВ и ВС, если LA ~
= 2 arccos ОС = л/7, OD = Зл/Т5, AD = ЪВС.
18. О круж н ость и круг
10.18.1. [МФТИ] В круге проведены две взаимно перпендикулярные и
пересекающиеся хорды АВ и CD. Известно, что АВ = АС — CD. Уста­
новить, что больше: площадь круга или площадь квадрата со стороной
АВ.
252
10.18.2. [МАИ] В окружность радиусом 13 вписан четырехугольник,
один из углов между диагоналями которого равен 120°, Длины диагона­
лей равны 10 и 24. Найти длину наибольшей стороны четырехугольника.
10.18.3. [МГУ, ф-т почвовед.] Две окружности с центрами М и N , ле­
жащими на стороне АВ треугольника АВС, касаются друг друга извне
и пересекают стороны АС и ВС в точках А, Р и В, Q соответственно,
причем AM = РМ — 2, BN = QN = 5. Найти радиус описанной около
треугольника АВС окружности, если известно, что отношение площа­
ди треугольника AQN к площади треугольника МРВ равно 1 5 ^ и
АР = %Qb J z± a/£.
10.18.4. [МГУ, ВМиК] Две окружности пересекаются в точках К и L. Их
центры расположены по одну сторону от прямой, содержащей отрезок
KL. Точки А и В лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая
отрезок АК: касается одной окружности в точке К. Прямая, содержа­
щая отрезок В К , касается другой окружности также в точке К . Длина
отрезка AL равна 3, длина отрезка BL равна 6, а тангенс угла АКБ
равен —0,5. Найти площадь треугольника АКВ.
10.18.5. [МГУ, ф-т почвовед.] В четырехугольнике ABCD диагонали
АС и BD перпендикулярны и пересекаются в точке Р. Длина отрезка,
соединяющего вершину С с точкой М , являющейся серединой отрезка
AD, равна Расстояние от точки Р до отрезка ВС равно ^ и АР — 1.
Найти длину отрезка AD, если известно, что вокруг четырехугольника
ABCD можно описать окружность.
10.18.6. [МГУ, ВМиК] Две окружности пересекаются в точках А и К. Их
центры расположены по разные стороны от прямой, содержащей отрезок
АК. Точки В и С лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая
отрезок АВ, касается одной окружности в точке А. Прямая, содержа­
щая отрезок АС, касается другой окружности также в точке А. Длина
отрезка ВК равна 1, длина отрезка СК равна 4, а тангенс угла САВ 1
равен — Найти площадь треугольника АВС.
10.18.7. [МГУ, ф-т почвовед.] Две окружности с центрами 0\ и Оо, лежа­
щими на стороне M N треугольника MPN , касаются друг друга извне
и пересекают стороны М Р и PN в точках М, D и N, С соответственно,
причем М0\ = 0\В — 3 и NOi — СО2 6. Найти площадь треугольни­
ка MNP, если известно, что отношение площади треугольника МСО2
к площади треугольника 0\DN равно ^х/3 и PN = МР\/2 — \/3.
10.18.8. [МГУ, ВМиК] Три круга с центрами в точках Р, Q и R попарно
касаются друг друга внешним образом в точках А, В и С. Известно,
253
что величина угла PQR равна 2 arcsin а сумма радиусов всех трех
кругов равна 12\/2. Какую наибольшую длину может иметь окружность,
проходящая через точки А, В и С?
10.18.9. [СПбГТУ] Две окружности с радиусами г и R (г < Я) рас­
положены так, что одна из их общих внутренних касательных перпен­
дикулярна к одной из их внешних касательных. Найти площадь тре­
угольника, образованного этими касательными и еще одной внутренней
касательной.
19. Разные задачи
10.19.1. [СПбГУ] В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными
сторонами середины Р, Q сторон АВ, CD и 5, Т сторон ВС, DE соеди­
нены отрезками PQ и ST. Пусть М и N — середины отрезков PQ и ST.
Найти длину отрезка M N .
10.19.2. [НижГУ] В выпуклом четырехугольнике ABCD сторона АВ
равна а, сторона АС равна Ь. Из вершин В и С опущены перпендику­
ляры В К и CN на диагональ AD, причем АК < AN. Найти отношение
ОС : ОА, где О — точка пересечения диагоналей четырехугольника,
если АК = k, AN = п.
10.19.3. [СПбГТУ] Диагонали с длинами у/7 и 4 делят четырехуголь­
ник на части, площади которых образуют арифметическую прогрессию.
Найти площадь четырехугольника, зная, что угол между большей диа­
гональю и меньшей из сторон равен
10.19.4. [СПбГТУ] Четырехугольник ABCD, описанный около некото­
рой окружности, делится диагональю АС на треугольники АВС и ACD
с радиусами вписанных окружностей 1 и — соответственно. Найти
стороны четырехугольника и диагональ BD, если площади АВС и ACD
равны 6 и л/15 соответственно.
10.19.5. [МГУ, эк. ф-т] Продолжения сторон K N и LM выпуклого че­
тырехугольника KLMN пересекаются в точке Р, а продолжения сторон
KL и M N — в точке Q. Отрезок PQ перпендикулярен биссектрисе угла
KQN. Найти длину стороны KL, если KQ = 12, NQ = 8, а площадь
четырехугольника KLMN равна площади треугольника LQM.
10.19.6. [МГУ, эк. ф-т] В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезок
СМ, соединяющий вершину С с точкой М, расположенной на стороне
AD, пересекает диагональ BD в точке К. Известно, что СК : КМ ~
= 2:1, CD : D K = 5 : 3 и 1АВС 4- LACD = 180°. Найти отношение
стороны АВ к диагонали АС.
254
10.19.7. [МГУ, эк. ф-т] В выпуклом четырехугольнике KLMN отрезок
MS, соединяющий вершину М с точкой S, расположенной на стороне
KN, пересекает диагональ LN в точке О. Известно, что KL : MN =
= 6 : 7, К М : ON = 2 : 1 и IKLN + IKMN = 180°. Найти отношение
отрезков МО и OS.
10.19.8. [МГУ, эк. ф-т] Продолжения сторон K N и LM выпуклого че­
тырехугольника KLMN пересекаются в точке Р, а продолжения сторон
KL и M N — в точке Q. Отрезок PQ перпендикулярен биссектрисе угла
KQN. Найти длину стороны MN, если KQ = 6, NQ = 4, а площади
треугольника LQM и четырехугольника KLMN равны.
10.19.9. [МГУ, эк. ф-т] Продолжения сторон AD и ВС выпуклого че­
тырехугольника ABCD пересекаются в точке М, а продолжения сторон
АВ и CD — в точке О. Отрезок МО перпендикулярен биссектрисе угла
АО. Найти отношение площадей треугольника AOD и четырехугольни­
ка ABCD, если О А = 12, OD ~ 8, CD = 2.
10.19.10. [МГУ,, псих, ф-т] Точки К , L, М делят стороны выпукло­
го четырехугольника ABCD в отношении: АК : ВК = CL : BL =
— СМ : DM =1:2. Радиус окружности, описанной около треуголь­
ника KLM , равен KL = 4, LM = 3. Какова площадь ABCD, если
известно, что КМ < КШ
10.19.11. [СПбГТУ] Длины сторон и диагоналей выпуклого четырех­
угольника — рациональные числа. Можно ли утверждать, что диагона­
ли разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых также
являются рациональными числами. Ответ обосновать.
10.19.12. [МФТИ] Биссектрисы углов В и С параллелограмма пе­
ресекаются в точке О. Найти площадь параллелограмма, если LA =
= 2 arcsin -^ = , О А = 2\/Тб, OD = 5. (Найти все решения).

11.1.1. [ДВГУ] В правильной четырехугольной пирамиде расстояние
от центра симметрии основания до бокового ребра равно d, двугранный
угол при ребре основания равен у. Найти объем пирамиды.
11.1.2. [РГОТУПС] Объем правильной четырехугольной пирамиды ра­
вен V". Угол наклона его бокового ребра к плоскости основания равен а.
Найти боковое ребро пирамиды.
11.1.3. [МИЭМ] Основанием пирамиды служит прямоугольный тре­
угольник с острым углом о. Высота пирамиды равна Я. Все боковые
256
ребра составляют с плоскостью основания один и тот же угол, равный 0.
Найти объем пирамиды.
11.1.4. [МТУ СИ] В пирамиде ABCF через медиану В К основания АВС
и середину L бокового ребра AF проведена плоскость. Найти отношение
объема многогранника BCKLF к объему пирамиды ABKL.
11.1.5. [МТУСИ] Основанием четырехугольной пирамиды служит ква­
драт. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, два
других наклонены к основанию под углом 60°. Найти полную поверх­
ность пирамиды, если сторона квадрата равна 4.
11.1.6. [СПбГУ] Около шара описана правильная четырехугольная пи­
рамида, высота которой вчетверо больше диаметра шара. Найти отно­
шение объема шара к объему пирамиды.
11.1.7. [ГАНГ] Угол между боковой гранью и плоскостью основания
правильной треугольной пирамиды равен 45°. Объем пирамиды равен ~.
Найти длину стороны основания пирамиды.
11.1.8. [ГАНГ] Сторона основания правильной шестиугольной пирами­
ды равна 2, боковое ребро пирамиды равно 4. Найти объем пирамиды.
11.1.9. [МИЭТ] Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды
равно 3, а сторона основания равна 2. Вычислить косинус угла между
боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.
11.1.10. [НижГУ] В правильной треугольной пирамиде известны высо­
та Н и величина двугранного угла 2а, образованного боковыми гранями.
Найти длину стороны основания.
11.1.11. [ОмГУ] В шар вписана пирамида, основанием которой является
прямоугольник с диагональю 10. Боковые ребра пирамиды наклонены к
основанию под углом 0. Найти площадь поверхности и объем шара.
11.1.12. [ОмГУ] Найти двугранный угол между боковыми гранями пра­
вильной треугольной пирамиды, если двугранный угол, образуемый бо­
ковой гранью с основанием, равен а.
11.1.13. [МП ГУ ] Основанием пирам ид ы S ABC D я в л яет ся п р я м оу гол ь-
ник ABCD со сторонами ал/ 3 и а. Ребро SC перпендикулярно к плоско­
сти основания, а ребро SА образует с пей угол а. Вычислить площадь
сечения пирамиды плоскостью, параллельной прямой SA и проходящей
через BD.
11.1.14. [МПГУ] Отрезок прямой, соединяющей центр основания пра­
вильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен сто­
роне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пира­
миды.
257
11.1.15. [МИСиС] Основанием пирамиды является прямоугольник с
длинами сторон 3 и 4. Боковая грань, проведенная к меньшей сторо­
не прямоугольника, образует с плоскостью основания угол 45°. Найти
объем пирамиды.
11.1.16. [РГПУ] В правильной четырехугольной пирамиде сторона осно­
вания равна 8, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания
равен 60°. Через вершину основания параллельно противолежащей ей
диагонали проведена секущая плоскость так, что высота пирамиды де­
лится точкой пересечения с этой плоскостью в отношении 1 : 2 (считая
от основания). Найти площадь сечения.
11.1.17. [РГПУ] В правильной четырехугольной пирамиде сторона осно­
вания равна 8, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания
равен 60°. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей
через вершину основания перпендикулярно к противолежащему ребру.
11.1.18. [РГПУ] Основанием пирамиды служит ромб со стороной 6 и
острым углом 30°. Все двугранные углы при основании равны. Боковая
поверхность пирамиды равна 36. Найти (в градусах) величину двугран­
ного угла при основании.
11.1.19. [ГАНГ] Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды
равно у/б, радиус окружности, описанной около основания, равен \/2.
Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.
11.1.20. [ГАНГ] В правильной четырехугольной пирамиде боковая
грань составляет с плоскостью основания угол Радиус окружности,
вписанной в основание пирамиды, равен \/3. Найти объем пирамиды.
11.1.21. [ЯрПУ] Дана четырехугольная пирамида, основанием которой
является квадрат и одно из ребер которой перпендикулярно к плоско­
сти основания. В эту пирамиду вписан куб так, что нижнее основание
куба лежит на основании пирамиды, а стороны верхнего основания куба
лежат на боковых гранях пирамиды. Найти объем пирамиды, если ее
боковая грань наклонена к плоскости основания под углом а и ребро
куба равно а.
11.1.22. [МИЭМ] Правильная четырехугольная пирамида со стороной
основания, равной а, и двугранным углом при основании, равным 2а,
пересечена плоскостью, делящей пополам двугранный угол при основа­
нии. Найти площадь сечения.
11.1.23. [МПГУ] Найти объем и площадь боковой поверхности правиль­
ной четырехугольной пирамиды, у которой высота равна \/3, а плоский
угол при вершине равен 30°.
258
11.1.24. [МГГА] Основанием пирамиды служит треугольник с дли-
нами сторон 6 см, 5 см и 5 см. Боковые грани пирамиды образуют с ее
основанием равные двугранные углы, содержащие 45°. Определить объ­
ем пирамиды.
11.1.25. [МГГУ] Высота правильной треугольной пирамиды 2\/3, а бо­
ковая грань образует с плоскостью основания угол 60°. Найти объем
пирамиды.
11.1.26. [МГУЛ] В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит
высоту в отношении 2 : 3 (от вершины к основанию). Найти площадь
сечения, зная, что оно меньше площади основания на 84 см2.
11.1.27. [МЭИ] Основанием пирамиды служит прямоугольник, длина
диагонали которого равна I. Угол между диагоналями основания ра­
вен а, а длина высоты пирамиды равна периметру основания. Найти
объем пирамиды.
11.1.28. [МИКХС] Найти площадь поверхности правильной четырех­
угольной пирамиды, если апофема ее равна т , а угол при вершине а.
11.1.29. [МГАТХТ] Основанием пирамиды служит равнобедренный тре­
угольник, у которого равные стороны содержат по 6 см, а третья сто­
рона 8 см. Боковые ребра равны между собой и каждое содержит 9 см.
Определить объем этой пирамиды.
11.1.30. [МГАЛП] Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды
наклонено к плоскости основания под углом а = 45°. Периметр основа­
ния равен 24. Найти объем пирамиды. Ответ записать десятичной дро­
бью с одним знаком после запятой, используя правила округления. При­
нять %/3 = 1,73.
11.1.31. [МГАПП] В основании треугольной пирамиды лежит равно­
сторонний треугольник со стороной 6. Высота пирамиды равна 9. Найти
объем пирамиды (считать \/3 = 1,7).
11.1.32. [МГАПБ] Основанием пирамиды служит прямоугольный тре­
угольник с катетами, равными 6 и 8. Все двугранные углы при основании
пирамиды равны 60°. Найти высоту пирамиды. Принять \/3 — 1,7.
11.1.33. [МГУК] Стороны оснований правильной четырехугольной усе­
ченной пирамиды равны Зсм и 5 см. Ребро усеченной пирамиды равно
v T f см. Найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды.
11.1.34. [РЭА] Диагональное сечение правильной четырехугольной пи­
рамиды равновелико основанию. Найти площадь основания пирамиды,
если ее боковое ребро равно 5.
11.1.35. [МГОПУ] Основанием правильной пирамиды служит много­
угольник, сумма внутренних углов которого 540°. Определить объем
259
этой пирамиды, зная, что ее боковое ребро, равное I, наклонено к плос­
кости основания под углом /?.
11.1.36. [МПГУ] В правильной четырехугольной пирамиде двугранный
угол при боковом ребре равен 120°. Найти боковую поверхность пира­
миды, если площадь ее диагонального сечения равна д.
11.1.37. [РГМУ] В правильной треугольной пирамиде SABC, где 5 —
вершина пирамиды, на ребре SC взята точка D так, что SD : DC = 1:2.
Найти площадь треугольника ABD, если АВ = a, LAS В = а.
11.1.38. [ВОКУ] Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды,
если ее боковое ребро равно 18, а диагональ основания 16у/2.
11.1.39. [БГАРФ] Сторона основания правильной шестиугольной пи­
рамиды равна а. Найти объем этой пирамиды, если известно, что ее
боковая поверхность в десять раз больше площади основания.
11.1.40. [МПГУ] Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна а, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом <р.
Найти объем и боковую поверхность пирамиды.
11.1.41. [МПГУ] Центр грани куба с ребром а соединен с серединами
сторон противоположной грани, которые также соединены в последова­
тельном порядке. Вычислить площадь поверхности пирамиды, ребрами
которой являются проведенные отрезки.
2. К уб, параллелепипед, призма
11.2.1. [МИЭМ] Дан куб ABCDAiBiC±D\. Верно ли, что плоскости
BCAi и В\ Ci D перпендикулярны? Дать обоснование ответа.
11.2.2. [МИЭМ] Длина ребра куба ABCDAiBiCiDi равна а, точка М
лежит на ребре DD\ так, что D\M = ^а. Найти периметр треугольника
АВ\М и площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки В\
и М и параллельной прямой C\D.
11.2.3. [МТУСИ] Куб с ребром, длина которого равна 4\/3, пересечен
плоскостью, проходящей через середины трех его ребер, выходящих из
одной вершины. Найти площадь сечения.
11.2.4. [МТУСИ] Боковые грани правильной треугольной призмы —
квадраты. Площадь боковой поверхности призмы равна 144. Найти объ­
ем многогранника, вершинами которого служат центры всех граней приз­
мы.
11.2.5. [СПбГУ] В шар радиусом R вписана правильная треугольная
призма. Высота призмы равна Н. Найти объем призмы.

XI.2.6. [СГУ] Через диагональ АС квадрата, лежащего в основании пря­
мого параллелепипеда, и вершину другого основания параллелепипеда
проведена плоскость так, что в сечении получился треугольник АВ\С с
углом при вершине Bi в два раза большим, чем угол между плоскостью
сечения и основанием параллелепипеда. Найти угол АВ\С.
11.2.7. [СГУ] В сечении прямоугольного параллелепипеда с квадрат­
ным основанием плоскостью получается ромб. Найти внутренние углы
ромба, если двугранный угол между плоскостью сечения и плоскостью
основания равен 30°.
11.2.8. [МИЭМ] В кубе ABCDAiBiCiDi с ребром длины а точка К —
середина ребра АВ, точка Е — середина ребра DD\. Найти периметр
треугольника А\КЕ и определить, в каком отношении делит объем куба
плоскость, проходящая через вершины этого треугольника.
11.2.9. [МПГУ] В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\BiC\D\
ребро АВ = а, ВС — а, АА\ = Ь. Найти площадь сечения, проходящего
через вершину А и перпендикулярного диагонали BD\.
11.2.10. [МПГУ] В правильной треугольной призме через сторону ниж­
него основания и середину противоположного ребра проведена плос­
кость, образующая с плоскостью основания угол 60°. Площадь сечения
равна S = 8у^3- Найти объем и полную поверхность призмы.
11.2.11. [МПГУ] Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна
IOv^ cm и образует с плоскостью основания угол 45°. Найти объем па­
раллелепипеда, если одна сторона основания больше другой на 2 см.
11.2.12. [МПГУ] Стороны основания прямого параллелепипеда равны
13см и 14см, меньшая его диагональ 17см, площадь основания 168см2.
Определить площадь боковой поверхности.
11.2,13. [НГУ] В основании правильной треугольной призмы
АВСА\В\С\ с боковыми ребрами AAi, ВВi, СС\ лежит равносторонний
треугольник АВС со стороной 4. Найти объем призмы, если известно,
что прямые ABi и СА\ перпендикулярны.
11.2.14. [НГУ] В правильной треугольной призме АВСА\В\С\ с осно­
ванием АВС и боковыми ребрами АА\, ВВ\, СС\ все ребра равны 6.
Точки Р и Qi расположены на ребрах ВС и А\С\ соответственно и так,
что BP : PC = AiQi : QiCi = 1 : 2. Найти радиус сферы с центром на
отрезке PQi, которая касается плоскостей ABB\Ai и АСС\А\.
11.2.15. [МИЭМ] Основанием наклонного параллелепипеда служит
ромб ABCD со стороной а и острым углом а. Ребро АА\ равно Ь
и образует с ребрами АВ и AD угол <р. Определить объем параллелепи­
педа.
261
11.2.16. [СПбГУ] Плоскость делит боковые ребра правильной треуголь­
ной призмы в отношениях 2:1, 3 : 4 и 1 : 5, считая от нижнего основания.
В каком отношении она делит объем призмы?
11.2.17. [МЭИ] В основании прямой треугольной призмы лежит рав­
нобедренный треугольник, боковая сторона которого равна а и угол при
основании равен а . Через основание треугольника под углом /3 к плос­
кости треугольника проведена плоскость. Найти площадь сечения приз­
мы указанной плоскостью, если известно, что это сечение является тре­
угольником.
11.2.18. [РГПУ] В прямой треугольной призме через одну из сторон
нижнего основания проведена плоскость, пересекающая противополож­
ное боковое ребро и составляющая с плоскостью основания угол, рав­
ный 45°. Определить площадь сечения, если в основании призмы лежит
правильный треугольник, сторона которого равна а.
11.2.19. [ГАСБУ] Основанием прямой призмы ABCDAiBiCiDi явля­
ется параллелограмм ABCD. Точки К, L, М, N лежат на ребрах А\В\,
J3iCi, C1.D1, D\Ai соответственно, причем прямая К М параллельна
прямой BiCx. Точка А2 выбрана на ребре АА\ так, что АА2 : А2А1 ~ 3.
Через точку Л2 параллельно плоскости АВС проведена плоскость тг,
которая пересекает отрезки ВК, BL, В М , BN в точках Е % F, G, И со­
ответственно. Найти объем четырехугольной пирамиды CEFGH, если
объем призмы ABCDA\B\CiD\ равен V.
11.2.20. [МГТА] Площадь наибольшего диагонального сечения пра­
вильной шестиугольной призмы равна 1 . Найти площадь боковой по­
верхности призмы.
11.2.21. [МВВДИУ] Диагональ прямого параллелепипеда с квадрат­
ным основанием равна 3,5; а диагональ боковой грани 2,5. Найти объем
параллелепипеда.
11.2.22. [МПГУ] Диагональ d основания прямоугольного параллеле­
пипеда образует со стороной основания угол ip. Угол между этой сто­
роной и диагональю параллелепипеда равен Найти площадь боковой
поверхности параллелепипеда.
11.2.23. [МПГУ] Высота правильной четырехугольной призмы равна h.
Из одной вершины основания проведены в двух смежных боковых гра­
нях две диагонали, угол между которыми а. Определить боковую по­
верхность призмы.
11.2.24. [МПГУ] В основании прямой призмы лежит параллелограмм,
через сторону которого, равную а, и противоположную ей сторону верх­
него основания проведено сечение, составляющее с плоскостью основа­
ния угол /?; площадь сечения Q. Найти объем призмы.
262
3. К руглы е тела
11.3.1. [ДВГУ] Стороны треугольника а = Ъ = 10 см, с — 12 см касаются
сферы радиуса 5 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости
треугольника.
11.3.2. [ДВГУ] В конус вписан шар, поверхность которого равна площа­
ди основания конуса. Найти косинус угла при вершине в осевом сечении
конуса.
11.3.3. [РГОТУПС] Образующая конуса равна I и составляет с плоско­
стью основания угол 60°. Определить объем конуса.
11.3.4. [МТУСИ] Осевое сечение конуса — равносторонний треуголь­
ник. Найти отношение объема конуса к объему вписанного в него шара.
11.3.5. [МТУСИ] Объем конуса равен 384. Найти площадь осевого се­
чения конуса, если длина окружности в основании конуса равна 15.
11.3.6. [МТУСИ] Металлический цилиндр с диаметром основания d =
= 4 см и высотой h = 4 см переплавлен в шар. Вычислить радиус этого
шара.
11.3.7. [МИСиС] Через вершину конуса проведено сечение под углом 30°
к высоте конуса. Вычислить площадь сечения, если высота конуса равна
3-\/Зсм, а радиус основания равен 5 см.
11.3.8. [ГАНГ] В цилиндр вписан шар. Найти объем шара, если объем
цилиндра равен 7,5.
11.3.9. [МИЭТ] Найти отношение поверхности шара к поверхности впи­
санного в него куба.
11.3.10. [МЭИ] Найти радиус шара, объем которого равен объему тела,
образованного вращением равнобедренного прямоугольного треугольни­
ка вокруг гипотенузы, длина которой равна 2а.
11.3.11. [МИСиС] В правильную треугольную пирамиду вписан прямой
конус и около нее описан прямой конус. Найти разность объемов опи­
санного и вписанного конусов, если высота пирамиды равна 4 и длина
окружности основания описанного конуса равна ^ тг.
11.3.12. [МИСиС] Высота конуса равна диаметру его основания. Найти
квадрат отношения площади его основания к площади боковой поверх­
ности.
11.3.13. [СПбГУ] В кубе с ребром 1 расположен конус так, что его
вершина совпадает с вершиной куба. Три грани куба касаются боковой
поверхности конуса, а вписанный в куб шар касается основания конуса.
Найти объем конуса.
263
11.3.14. [РГПУ] Известно, что две взаимно перпендикулярные обра­
зующие конуса делят окружность его основания на дуги 120° и 240°.
Найти объем конуса, если его высота равна Н.
11.3.15. [МИЭТ] Три хорды шара, исходящие из одной точки на его
поверхности, равны а, углы между хордами равны 60°. Найти радиус
шара.
11.3.16. [МИЭТ] Тело состоит из двух конусов, имеющих общее основа­
ние и расположенных по разные стороны от плоскости основания. Найти
объем шара, вписанного в тело, если радиусы оснований конусов рав­
ны 1 , а высоты 1 и 2.
11.3.17. [МЭИ] Около правильной треугольной пирамиды с боковым
ребром а описан шар. Найти площадь поверхности шара и объем пира­
миды, если боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания
пирамиды угол а.
11.3.18. [МЭИ] Сумма объемов четырех одинаковых шаров равна по­
ловине объема пятого шара, а сумма площадей поверхностей первых
четырех шаров на 10 м2 больше половины площади поверхности пятого
шара. Найти радиус пятого шара.
11.3.19. [МПГУ] Разверткой боковой поверхности конуса является кру­
говой сектор радиусом 5 с центральным углом ^ . Найти объем конуса.
11.3.20. [МПГУ] В конус вписан шар. Найти объем шара, если образу­
ющая конуса равна I и наклонена к основанию конуса под углом а.
11.3.21. [МАМИ] В шар объемом 4\/Здм3 вписан цилиндр, образующая
которого видна из центра шара под углом 60°. Найти объем цилиндра.
11.3.22. [МАДИ] Объем конуса равен V. Высота его разделена на три
равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллель­
ные основанию. Найти объем средней отсеченной части.
11.3.23. [МГСУ] В конус, осевое сечение которого есть равносторонний
треугольник, вписан шар радиуса г = 2 см. Найти объем конуса.
11.3.24. [МЭСИ] Боковая поверхность цилиндра развертывается в ква­
драт со стороной 4-^/тт. Найти объем цилиндра.
11.3.25. [ВАХЗ] В прямой круговой конус с радиусом основания 2 см
вписан шар радиуса 1 см. Вычислить объем конуса.
11.3.26. [МВВДИУ] Найти полную поверхность цилиндра, в осевом
сечении которого квадрат, если его боковая поверхность равна 80.
264
11.4.1. [МИЭМ] А В и CD — параллельные прямые, лежащие в двух
пересекающихся плоскостях, образующих угол в 60°. Тонки А и D уда­
лены от линии пересечения плоскостей па а и Ь. Найти расстояние между
АВ и CD.
11.4.2. [МИЭМ] А и В — точки на ребре двугранного угла в 60°; АС и
BD — перпендикуляры к ребру, проведенные в разных гранях. Опреде­
лить расстояние CD, если АВ = Зсм, АС = 2 см, BD = Зсм.
11.4.3. [МТУСИ] Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см
и 24 см. Определить расстояние от вершины прямого угла до плоскости,
которая проходит через гипотенузу и составляет угол в 30° с плоскостью
треугольника.
11.4.4. [МТУСИ] Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 5\/2,
проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45°, а между
собой угол 60°. Найти расстояние между основаниями наклонных.
11.4.5. [МТУСИ] Отрезок АВ упирается своими концами в грани прямо­
го двугранного угла PMNQ. Концы отрезка находятся па одинаковых
расстояниях от ребра MN двугранного угла. Найти отношение углов,
под которыми отрезок наклонен к граням.
11.4.6. [РГПУ] Один из катетов равнобедренного прямоугольного тре­
угольника лежит в плоскости а, а другой образует с ней угол, рав­
ный 45°. Найти угол, который образует гипотенуза с плоскостью а.
11.4.7. [РГПУ] Катет прямоугольного треугольника АВС {1C = 90°)
лежит на ребре двугранного угла величиной 30°, образованного этим
треугольником и данной плоскостью а. Найти расстояние от вершины
В до плоскости а, если АС = 8, АВ — ЪВС.
Группа Б
4. П рямы е и плоскости
5. Разные задачи
11.5.1. [НГУ] В основании четырехугольной пирамиды SABCD ле­
жит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 4, ВС = 2. Длины всех
боковых ребер равны 3, точка М — середина AS. Через прямую ВЫ
параллельно диагонали АС проведена плоскость. Определить величину
угла между этой плоскостью и плоскостью SAC.
11.5.2. [НГУ] Дан куб с основанием ABCD и боковыми ребрами АА\,
BBi, CCi, DDi. Длина ребра куба равна 1. Через прямую В\С про­
ведена плоскость, пересекающая ребро АВ и составляющая угол 60° с
прямой А\В. В каком отношении эта плоскость делит ребро АВ?
265
11.5.3. [НГУ] Дан куб с основанием ABCD и боковыми ребрами АА\,
BBi, CCi, DDi. Длина всех ребер куба равны 1. Точки М и N — сере­
дины CD и СCi соответственно. Найти расстояние между прямыми AN
и ВМ.
11.5.4. [МИЭМ] В основании пирамиды лежит правильный треугольник
АВС со стороной 2 см. Грань ACD перпендикулярна основанию, причем
AD = CD — \/бсм. Найти длину ребра BD , а также площади всех тех
сечений пирамиды, которые являются квадратами.
11.5.5. [МГУ, псих, ф-т] В тетраэдре PQRS соединены отрезками сле­
дующие пары точек: точка F на ребре PQ с точкой G на ребре RS,
точка О на ребре QS с точкой N на ребре PR, а также точки X, Y —
середины ребер PS и QR соответственно. Отрезки FG, ON, Х У пересе­
каются в одной точке. Определить площадь четырехугольника FOGN,
если PS = QR = PQ = 5, PF = 3, а угол между скрещивающимися
прямыми PS и QR равен 60°.
11.5.6. [СПбГУ] Вершины куба с ребром 1 являются центрами шаров
одинакового радиуса. Объем части куба, расположенной вне шаров, ра­
вен ^ . Какая часть ребра куба лежит вне шаров?
11.5.7. [МГТУ] В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\BiC\D\
с ребрами АВ = 6, AD — 2, АА\ — 1 через его диагональ АС\ прове­
дена плоскость так, что полученное сечение имеет наименьшую сумму
квадратов сторон. Найти площадь сечения и угол между секущей плос­
костью и гранью ABCD.
11.5.8. [МИФИ] Верхнее основание RiSiTi прямой треугольной приз­
мы RSTRiS\T\ является правильным треугольником, площадь которо­
го равна - ^ с 2. Через прямую RS проведена секущая плоскость, соста­
вляющая угол 7 с ребром ТТ?. Определить радиус окружности, описан­
ной около получившегося в сечении треугольника.
11.5.9. [МИФИ] Высота SO правильной четырехугольной пирамиды
SABCD равна Н, а величина угла AS С (AS и CS —- противополож­
ные боковые ребра) равна 2а. На прямой SO взята точка К такая, что
SK : SO\ =1:3 (0\ — центр описанной около пирамиды сферы). Опре­
делить площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной плоско­
сти основания пирамиды и проходящей через точку К .
11.5.10. [МИЭМ] Ребро куба ABCDA\BiCiDi равно а. Найти радиус
сферы, проходящей через середины ребер АА\, BBi и через вершины А
и С\.
11.5.11. [МИЭМ] Сфера проходит через вершину А куба
ABCDAiBiCiDi, середины ребер АВ и AD, касается грани AiBiCiDi.
266
Найти отношение площади поверхности сферы к площади полной по­
верхности куба.
11.5.12. [МПГУ] Основанием пирамиды SABC служит прямоугольный
треугольник АВС с прямым углом В и углом Д, равным а. Каждое
боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°. Найти угол
между плоскостями SAC и SBC.
11.5.13. [МПГУ] Основанием четырехугольной пирамиды MABCD слу­
жит прямоугольник ABCD, АВ = а, AD — Ь. Грани MAD и МАВ
перпендикулярны плоскости основания, а грань M DC составляет с ней
угол в 45°. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.
11.5.14. [МГУ, физ. ф-т] Три шара с радиусами R касаются друг друга
и каждый из них касается боковой поверхности конуса. Центры шаров
находятся вне конуса. Высота конуса перпендикулярна плоскости о, со­
держащей центры шаров. Угол между высотой конуса и его образующей
равен <р. Найти расстояние от вершины конуса до плоскости а.
11.5.15. [МЭИ] Основание ВС равнобедренной трапеции ABCD и сто­
рона ВС ромба M BCN совпадают, причем ВС = a, AD = Ь (а < 6 < 2а).
Найти площадь поверхности тела, образованного совместным вращени­
ем трапеции и ромба вокруг прямой, содержащей В С ь если острый угол
трапеции равен 30°, а острый угол ромба равен 60°.
11.5.16. [МЭИ] Основанием пирамиды является равнобедренная трапе­
ции, длины боковых сторон которой равны 5. Известно, что в указанную
трапецию можно вписать окружность и что прямая, соединяющая сере­
дины боковых сторон трапеции, делит ее на две части, отношение пло­
щадей которых равно Найти объем пирамиды, если ее высота равна
периметру ее основания.
11.5.17. [МИЭТ] Двугранный угол при боковом ребре правильной тре­
угольной пирамиды равен 2а. Высота пирамиды равна h. Найти объем
конуса, описанного около пирамиды.
11.5.18. [МИЭТ] Одна из сторон равностороннего треугольника обра­
зует с некоторой плоскостью р угол а, другая — с той же плоскостью
угол /?. Найти угол между плоскостью треугольника и плоскостью р.
11.5.19. [МПГУ] Дан куб ABCDA\BiCiDi. Найти угол между плос­
костью грани ABCD и плоскостью, проходящей через вершину В и се­
редины ребер AD и СС\.
11.5.20. [МГУ, мех.-мат.] На диагоналях АВ\ и ВС\ граней параллеле­
пипеда ABCDA^BiCiDi взяты точки М и N так, что отрезки M N и
А\С параллельны. Найти отношение длин этих отрезков.

 

 

 

 

 

Ответы к задачам по математике Куланин from zoner

Категория: Математика | Добавил: Админ (23.04.2016)
Просмотров: | Теги: Куланин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar