Тема №6151 Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 6)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 6) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по математике Куланин (Часть 6), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

11.5.21. [МГУ, физ. ф-т] В треугольной пирамиде SABC все плоские
углы при вершине S прямые, SO — высота пирамиды. Известно, что
отношение площади треугольника ЛОВ к площади треугольника В ОС
равно к. Найти отношение площади треугольника AS В к площади тре­
угольника BSC.
11.5.22. [СПбГУ] Дана прямая призма АВСА\ В\С\, стороны основания
которой АВ ~ ВС = 1, АС — т/З. В каком отношении объем вписанного
в призму цилиндра делится плоскостью АВ\С?
11.5.23. [СПбГУ] В основании пирамиды лежит равносторонний тре­
угольник со стороной а. Одна из боковых граней представляет собой
такой же треугольник, при этом она перпендикулярна плоскости осно­
вания. Найти радиус описанного шара пирамиды.
11.5.24. [МГУ, мех.-мат,] Дан куб ABCDA1BiCiD\. Сфера касается
ребер AD, D D i, CD и прямой ВС\. Найти радиус сферы, если длины
ребер куба равны 1.
11.5.25. [МГУ, физ. ф-т] В правильной треугольной пирамиде SABC
(S — вершина) угол между боковым ребром и плоскостью основания
равен а, сторона основания равна a, SH —- высота пирамиды. Найти
площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Н па­
раллельно ребрам SА и ВС.
11.5.26. [МГУ, геолог, ф-т] Дан куб ABCDAiB\C\D\, в нем через вер­
шину С проведена диагональ. Найти отношение площади сечения этого
куба плоскостью, перпендикулярной этой диагонали и проходящей че­
рез ее середину, к площади его боковой поверхности.
11.5.27. [МГУ, псих, ф-т] Через вершины А и В треугольной пирамиды
проведена сфера, пересекающая ребра AS и BS в точках М и N соот­
ветственно. Через точки В и N проведена вторая сфера, пересекающая 1
ребро SC в точках Р и Q, причем PQ = ^SC. Найти, какую часть ре­
бра SC составляет отрезок QC (QC < PC ), если М — середина SА и
SC - | S A
11.5.28. [МГУ, мех.-мат,] Высота пирамиды равна 5, а основанием слу­
жит треугольник со сторонами 7, 8 и 9. Некоторая сфера касается плос­
костей всех боковых граней пирамиды в точках, лежащих на сторонах
основания. Найти радиус сферы.
11.5.29. [МГУ, мех.-мат.] Три параллельные прямые касаются в точках
А, В и С сферы радиусом 4 с центром в точке О. Найти угол ВАС, если
известно, что площадь треугольника ОВС равна 4, а площадь треуголь­
ника АВС больше 16.
268
11.5.30. [МГУ, физ. ф-т] В правильной треугольной пирамиде SABC
(5 — вершина) проведено сечение плоскостью, проходящей через точки
В и С и делящей ребро SA в отношении тп : п, считая от вершины 5 .
Известно, что объем пирамиды SABC равен V, а расстояние от центра
основания АВС до плоскости сечения равно d. Найти площадь сечения.
11.5.31. [НГУ] В пирамиде ABCD ребра АС, ВС, DC попарно пер­
пендикулярны и АС — ВС = DC = 4. Точка N — середина ребра АВ,
а точка М расположена на ребре AD так. что AM : MD = 3. Шар с
центром на прямой CN касается ребра AD в точке М. Найти радиус
шара.
Группа В
6. Разные задачи
11.6.1. [МФТИ] Сторона основания правильной призмы ABCA\B\Ci
е
имеет длину а, а боковое ребро — длину ^а. Точка D — середина ребра
А\С\, а точка М лежит на отрезке DB\ и DM = ^DB\. Вторая приз­
ма симметрична призме ABCA\BiCi относительно прямой В М . Найти
объем общей части этих призм.
11.6.2. [МФТИ] Сторона основания правильной призмы ABCA\BiC\
имеет длину а, а боковое ребро — длину ^а. Точка Е — середина ребра
АВ, а точка М лежит на отрезке ЕС и ЕМ — ^ЕС. Вторая призма сим­
метрична призме ABCA\B\Ci относительно прямой МС\. Найти объем
общей части этих призм.
11.6.3. [МФТИ] Точка М лежит на ребре DC правильной четырех­
угольной пирамиды SABCD (S — вершина), DM : DC = 1 : 15. Ци­
линдр касается боковой поверхностью плоскостей SAD и SCD, одно из
оснований цилиндра проходит через точку М, второе основание имеет
общую точку с ребром 5(7. Боковая поверхность цилиндра имеет с вы­
сотой SH пирамиды общую точку О, причем SO : SH = 1:3. Найти
отношение объемов цилиндра и пирамиды.
11.6.4. [МФТИ] Точка D лежит на ребре ВС правильной треугольной
пирамиды SABC (5 — вершина), BD : DC = 2:3. Цилиндр касается
боковой поверхностью плоскостей SAB и SBC, одно из оснований ци­
линдра проходит через точку D, второе основание имеет общую точку с
ребром 5(7. Боковая поверхность цилиндра имеет единственную общую
точку с ребром АС. Найти отношение объемов цилиндра и пирамиды.
269
11.6.5. [МФТИ] Основанием четырехугольной пирамиды SABCD явля­
ется параллелограмм ABCD, точка пересечения диагоналей которого
есть ортогональная проекция вершины S на плоскость ABCD. Точки Е
и F выбраны на ребрах BS и ВС соответственно так, что BE = 1 BS,
BF = \ВС. Точки F и Q расположены на прямых АЕ и SF так, что
О
прямая PQ перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Площадь
параллелограмма ABCD равна 3, PQ = 12. Найти объем пирамиды.
11.6.6. [МФТИ] Основанием четырехугольной пирамиды SABCD явля­
ется параллелограмм ABCD, точка пересечения диагоналей которого
есть ортогональная проекция вершины S на плоскость ABCD. Точки Р
и Q выбраны на ребрах DS и AD соответственно так, что DP — 1.DS,
DQ = ^АЛ. Точки N Vi М расположены на прямых СР и SQ так,
что прямая N M перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Пло­
щадь параллелограмма ABCD равна 6, NM = 8. Найти объем пирами­
ды.
11.6.7. [МГУ, мex.-мат.] Отрезок PQ параллелен плоскости, в которой
лежит прямоугольник KLM N , причем KL = 1, PQ — 3. Все стороны
прямоугольника KLM N и отрезки К Р, LP, NQ, MQ, PQ касаются
некоторого шара. Найти объем этого шара.
11.6.8. [МГУ, ВМиК] В пирамиде SABC основание Н высоты SH ле­
жит на медиане СМ основания АВС. Точка О, являющаяся серединой
высоты SH, находится на одинаковом расстоянии от точки 5, точки Е,
лежащей на ребре SA, и точки F, лежащей на ребре SB. Известно, что
SH = 8, АВ = 16\/2, EF = 8^ | , угол SMC не больше 30°, а расстоя­
ние между серединами ребер АВ и SC равно 4-\/13. Найти радиус сферы,
вписанной в пирамиду SABC.
11.6.9. [МИФИ] Через сторону PQ нижнего основания правильной тре­
угольной призмы PQRP1 Q1 R1 проведена секущая плоскость, пересека­
ющая ребро RRi и разбивающая призму на два многогранника. Отноше­
ние объема многогранника, одной из граней которого является нижнее
основание PQR призмы, к объему отсеченного многогранника, одной из
граней которого является грань QQiP\P, равно q. Найти величину угла
наклона секущей плоскости к плоскости нижнего основания, если из­
вестно, что величина угла между прямыми PQ\ и RRi равна ip.
11.6.10. [МИФИ] Правильная треугольная пирамида SKLM пересечена
плоскостью я, параллельной стороне ML основания пирамиды и ребру
S K , причем точки S и К удалены от этой плоскости на расстояние, вдвое
меньшее (каждая), чем прямая ML. Длина высоты SP боковой грани
270
M SK равна d, а боковое ребро SL образует с высотой SO пирамиды
угол величиной /?. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью тг.
11.6.11. [МФТИ] Даны правильная четырехугольная пирамида SABCD
и конус, центр основания которого лежит на прямой SO (SO — высота
пирамиды). Точка Е — середина ребра SD, точка F лежит на ребре AD,
о
причем AF = \^FD. Треугольник, являющийся одним из осевых сечений
конуса, расположен так, что две его вершины лежат на прямой CD, а
третья — на прямой EF. Найти объем конуса, если АВ = 4, SO — 3.
11.6.12. [МФТИ] Сфера, вписанная в треугольную пирамиду KLM N,
касается одной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань
окружности. Найти объем пирамиды, если М К = LNM K —
LKML = 3arctg LNML = ^ — arctg
11.6.13. [МФТИ] В основании четырехугольной пирамиды SABCD ле­
жит ромб ABCD с острым углом при вершине А. Высота ромба равна 4,
точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией
вершины 5 на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоско­
стей всех граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от
центра сферы до прямой АС равно %^-АВ.
11.6.14. [МГУ, мех.-мат.] В основании призмы лежит равносторонний
треугольник АВС со стороной л/З- Боковые ребра AD, BE, CF пер­
пендикулярны основанию. Сфера радиуса ^ касается плоскости АВС и
продолжений отрезков АЕ, B F , CD за точки А, В и С соответственно.
Найти длину боковых ребер призмы.
13.6.15. [МГУ, физ. ф-т] В основании пирамиды TAB CD лежит тра­
пеция ABCD (ВС |j AD, AD : ВС = 2). Через вершину Т пирамиды
проведена плоскость, параллельная прямой ВС и пересекающая отре­
зок АВ в точке М такой, что AM : М В = 2. Площадь получившегося
сечения равна 5 , а расстояние от ребра В С до плоскости сечения рав­
но d. Найти
1) в каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды,
2) объем пирамиды.
11.6.16. [МИФИ] Верхним основанием прямой призмы ABCAiBiCi
служит треугольник А\В\С\, у которого А\В\ = В 1С1 , а угол между
медианой B\D и стороной А\В\ равен tp. Через центр описанной около
треугольника АВС окружности и точку пересечения высот треугольни­
ка А1В1 С1 проведена плоскость, параллельная прямой АС. Найти пло­
щадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что диагональ
B iC боковой грани В В 1С1С имеет длину d, а 1ВВ\А = а.
271
11.6.17. [МИФИ] Длина высоты SO правильной четырехугольной пи­
рамиды SPQR равна Л, боковое ребро SP наклонено к плоскости осно­
вания PQRT под углом 7 . Сфера, касающаяся плоскости основания и
всех боковых ребер пирамиды, пересекается плоскостью, равноудален­
ной от всех вершин этой пирамиды. Определить радиус окружности, по
которой пересекаются эти сфера и плоскость.
11.6.18. [СПбГТУ] Две касающиеся сферы вписаны в двугранный угол
величиной Пусть А —■ точка касания первой сферы с первой гранью,
В — точка касания второй сферы со второй гранью. Найти отношение
А К : КЬ^ если К и L — точки пересечения отрезка АВ с первой и
второй сферами соответственно.
11.6.19. [СПбГТУ] На плоскость положены два цилиндра, радиусы
которых г; цилиндры примыкают друг к другу по образующей. На них
положены два других касающихся по образующей цилиндра с радиусами
R и осями, перпендикулярными осям первых двух цилиндров. Найти
радиус шара, касающегося всех четырех цилиндров.
11.6.20. [МФТИ] Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду
SABC {S — вершина), а также вписана в прямую треугольную призму
KLMK\L\Mi, у которой KL = LM — у/6, а боковое ребро КК\ лежит
на прямой АВ. Найти радиус сферы, если известно, что прямая SC
параллельна плоскости LL\M\M.
11.6.21. [МФТИ] Основание прямой призмы АВСА\В\С\ — равнобе­
дренный треугольник АВС, в котором АС = СВ = 2, LACB — 2 arcsin
Плоскость, перпендикулярная прямой А\ В , пересекает ребра АВ и А\ Вх
в точках К и L соответственно, причем АК — АВ, ЬВ\ = ^А\В\.
Найти площадь сечения призмы этой плоскостью.
11.6.22. [МГУ, физ. ф-т] Два шара радиуса г и цилиндр радиуса R
(R > г) лежат на плоскости. Шары касаются друг друга и боковой по­
верхности цилиндра. Цилиндр касается плоскости по своей образующей.
Найти радиус шара, меньшего, чем данные, касающегося обоих данных
шаров, цилиндра и плоскости.
11.6.23. [МГУ, мех.-мат.] Точки Р, Q, R и S расположены в пространстве
так, что середины отрезков SQ и PR лежат на сфере радиуса а, отрезки
PS, PQ, QR и SR делятся сферой на три части в отношении 1:2:1
каждый. Найти расстояние от точки Р до прямой QR.
11.6.24. [МФТИ] Основание прямой призмы KLM N KiLiM iN i — ромб
K LM N с углом 60° при вершине К. Точки В и F — середины ребер
LL\ и LM призмы. Ребро SA правильной четырехугольной пирамиды
SABCD (S — вершина) лежит на прямой LN, вершины D и В — на
272
прямых MMi и EF соответственно. Найти отношение объемов призмы
и пирамиды, если SA = 2АВ.
11.6.25. [МФТИ] В четырехугольной пирамиде SABCD основанием
является трапеция ABCD (ВС || AD), ВС = $AD, LASD = LCDS = |1.
О 2
Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, вы­
сота которого равна 2, а радиус основания равен ||. Найти объем пира­
миды.
11.6.26. [МГУ, ВМиК] Все высоты пирамиды EFGH, грани которой
являются остроугольными треугольниками, равны между собой. Извест­
но, что FG = 17, HG = 14, a LEHG = 60°. Найти длину ребра H F.
11.6.27. [МГУ, мех.-мат.] В пирамиде SABC двугранные углы при ре­
брах АВ, ВС и АС равны 90°, 30° и 90° соответственно. Плоскость пе­
ресекает ребра SB, SC, АС и АВ в точках К, L, М и N соответственно,
причем четырехугольник KLM N — трапеция, основание KL которой
втрое меньше основания MN. Найти площадь этой трапеции, если ее
высота равна 13 и AS = ВС = 13.
11.6.28. [МГУ, ВМиК] В кубе ABCDA\BiC\D\ длина ребра 9. Через
точки М, N и К, расположенные на ребрах ВС, CD и СС\ соответствен­
но, проведена плоскость. Известно, что радиус окружности, вписанной
91
в треугольник М СК, равен 1 , площадь треугольника M NC равна 4^,
разность длин отрезков CN и С К равна 3 и объем пирамиды M N K C
меньше 15. Найти радиус сферы, касающейся плоскости треугольника
M N K и трех граней куба с общей точкой А\.
11.6.29. [МГУ, ВМиК] В кубе ABCDAiBiCiDi длина ребра равна 1.
Точки К и N являются серединами ребер DC и ВС соответственно.
О
Точка М лежит на ребре СС\ и М С = Найти максимальное зна­
чение радиусов сфер, проходящих через точки М, N , К и касающихся
плоскости BB\D\D.

 

 

 

Ответы к задачам по математике Куланин from zoner

Категория: Математика | Добавил: Админ (23.04.2016)
Просмотров: | Теги: Куланин | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar