Тема №9536 Ответы к задачам по математике олимпиада 11 класс 2016-2017
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по математике олимпиада 11 класс 2016-2017 из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по математике олимпиада 11 класс 2016-2017, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

1
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ. 2016–2017 уч. г.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 11 КЛАСС
Задания, ответы и критерии оценивания
1. (7 баллов) Во время распродажи Пётр купил брюки с 40 %-ной скидкой и
рубашку с 20 %-ной скидкой. На следующий день Иван купил такие же брюки
и рубашку без скидок. Мог ли Иван заплатить в полтора раза больше, чем Пётр?
Ответ обоснуйте.
Ответ. Мог.
Решение. Пусть брюки без скидки стоят х рублей, а рубашка без скидки стоит
у рублей. Тогда Пётр заплатил 0,6х + 0,8у рублей, а Иван х + у рублей.
Получаем уравнение 1,5·(0,6х + 0,8у) = х + у, откуда х = 2у. Таким образом,
если брюки стоят в два раза больше рубашки, то Иван заплатил в полтора раза
больше Петра.
Полным решением является также предъявление конкретной цены брюк и
рубашки (например, 2000 руб. и 1000 руб.) с обоснованием того, что при такой
цене условие задачи выполнено (в данном случае Пётр заплатил 2000 руб.,
а Иван — 3000 руб.).
Критерии проверки.
• Любое полное верное решение — 7 баллов.
• Приведён верный пример возможной цены брюк и рубашки, но
обоснование отсутствует — 4 балла.
• Верно составлено уравнение 1,5·(0,6х + 0,8у) = х + у, но дальнейших
продвижений нет (или они ошибочны) — 2 балла.
• Приведён только ответ — 0 баллов.
2. (7 баллов) Приведите пример числа x, для которого выполняется равенство
sin 2017 tg2016 cos2015 . x x x − = Ответ обоснуйте.
Ответ. Например, .
4
π

Решение. Так как
2016 504 252 2
4
π
= = ⋅ π π кратно периоду, имеем
2017 2 sin sin(252 2 ) sin
4 4 4 2
π π π
= ⋅ + = = π
2015 2 cos cos(252 2 ) cos( )
4 4 4 2
π π π
= ⋅ − = − = π
2016 tg tg(252 2 ) tg0 0
4
π
= ⋅ = = π
2 2 0
2 2
− =
Всероссийская олимпиада школьников по математике. 2016–2017 уч. г.
Школьный этап. 11 класс
2
Критерии проверки.
• Приведён верный ответ, и показано, что при этом значении х равенство
верно, — 7 баллов.
• Приведён только верный ответ — 3 балла.
3. (7 баллов) Рубик сделал развертку куба размером
3 × 3 × 3 и отметил на ней две точки – см. рисунок.
Каково будет расстояние между этими точками
после того, как Рубик склеит из развёртки куб?
Ответ. 2 3 .
Решение. Изобразим готовый кубик (изображение выбрано так, чтобы
выделенная грань развёртки оказалась сверху). Данные точки — это две
противоположные вершины кубика 2 × 2 × 2. А в кубе 2 × 2 × 2 диагональ
имеет длину 2 3 .
Замечание. Не обязательно использовать то, что точки являются концами
диагонали куба. Можно просто изобразить получившуюся картинку и найти
длину требуемого отрезка, применив пару раз теорему Пифагора (или методом
координат и т. п.)
Критерии проверки.
• Верное решение (достаточно верной картинки и объяснения, как именно
ищется расстояние между точками) — 7 баллов.
• Картинка изображена верно (возможно не с того ракурса, что в приве-
дённом решении), но дальше расстояние найдено неверно — 3 балла.
• Приведён только верный ответ — 0 баллов.
• Допущена ошибка при определении местонахождения точек на кубе — 0
баллов. 
Всероссийская олимпиада школьников по математике. 2016–2017 уч. г.
Школьный этап. 11 класс
3
4. (7 баллов) Существуют ли такие три действительных числа, что если их
поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена,
то он будет иметь два различных положительных корня, а если в другом
порядке, то два различных отрицательных корня?
Ответ. Нет.
Решение. Пусть у трёхчлена ax
2
+bx+c два отрицательных корня x1 и x2. Тогда
b/a = –(x1+x2) > 0 и с/a = x1x2 > 0, то есть числа b и c того же знака, что и число
a. Допустим, как-то переставив коэффициенты, мы получили уравнение с двумя
положительными корнями. Но тогда частное от деления коэффициента при x на
коэффициент при x
2
должно было бы стать отрицательным, а частное от
деления двух чисел одного знака положительно. Противоречие.
Критерии проверки.
• Любое полное верное решение — 7 баллов.
• Решение, основанное на неполном переборе возможных знаков коэффи-
циентов, — 2 балла.
• Приведено несколько конкретных числовых примеров коэффициентов, и
сделан правильный вывод — 1 балл.
• Ответ «нет» без обоснования — 0 баллов.
5. (7 баллов) Из середины каждой стороны остроугольного треугольника
площади S проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Найдите
площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами.
Ответ: .
2
S

Решение.
K
А
В
С
L
N
А
K
А
В
С
L
N
A
А
H
X
А
Y
А
Z
А
X
А
Y
А
Z
А
1. Обозначим вершины исходного треугольника буквами X, Y, Z, середины
сторон — буквами А, В, С, точки пересечения перпендикуляров — K, L, N.
Площадь искомого шестиугольника равна сумме площадей треугольника АВС и
трёх маленьких треугольников, примыкающих к его сторонам: AKB, BLC, CNA.
2. Так как средние линии треугольника XYZ разбивают его на 4 равных
треугольника, площадь треугольника АВС равна .
4
S
 
Всероссийская олимпиада школьников по математике. 2016–2017 уч. г.
Школьный этап. 11 класс
4
3. Проведём в треугольнике ABC отрезки высот до точки их пересечения H. Так
как средняя линия BA параллельна стороне YZ, проведённые к ним
перпендикуляры СН и АN также параллельны. Рассуждая аналогично, полу-
чаем, что АН||СN, и, значит, АНСN — параллелограмм.
4. Диагональ АС разбивает параллелограмм АНСN на два равных треугольника,
следовательно, площади треугольников АНС и АNС равны. Точно так же равны
площади треугольников АНВ и АКВ и площади треугольников СНВ и CLВ.
5. Отсюда получаем, что искомая площадь в два раза больше площади
треугольника АВС и равна .
2
S
Замечание. Исходный треугольник должен быть остроугольным, чтобы все
высоты проходили внутри соответствующих треугольников.
Критерии проверки.
• Любое полное верное решение — 7 баллов.
• Равенство всех нужных фигур (и площадей) доказано, но площадь не
найдена — 4 балла.
• Приведено верное разбиение шестиугольника на части, но равенство
фигур никак не обосновывается, а только утверждается, и получен верный
ответ — 3 балла.
• Ответ
2
S
без обоснования — 1 балл.
6. (7 баллов) Если на доске записано число A, к нему можно прибавить любой
его делитель, отличный от 1 и самого A. Можно ли из A = 4 получить 1234321?
Ответ. Можно.
Решение. Прибавить к числу его делитель n — это значит к числу вида kn
добавить n. Получится число вида (k+1)n. Заметим, что число 1234321 делится
на 11. Тогда к числу А = 4 = 2·2 будем добавлять 2 до тех пор, пока не получим
число 2 · 11: 2 · 2 → 2 · 3 → 2 · 4 → 2 · 5 → … → 2 · 11. А затем будем
добавлять 11:
2 · 11 → 3 · 11 → 4 · 11 → 5 · 11 → … →112211 · 11 = 1234321.
Критерии проверки.
• Любой верный алгоритм получения числа — 7 баллов.
• Есть идея, как получить число, кратное собственному делителю числа
1234321, — 3 балла.
• Ответ «да» без обоснования — 0 баллов.
Максимальный балл за все выполненные задания — 42. 


Категория: Математика | Добавил: Админ (06.11.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar