Тема №7233 Ответы к задачам по теории вероятностей и математической статистике 280
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к задачам по теории вероятностей и математической статистике 280 из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к задачам по теории вероятностей и математической статистике 280, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

1. Из урны, содержащей 4 белых и 5 черных шаров, случайным
образом без возвращения извлекают 2 шара. Найти вероятности следующих событий: A={извлечены два белых шара}; B={извлечены шары раз-
ного цвета}; C={среди извлеченных есть белый шар}
2. В урне лежат 5 шаров, занумерованных от единицы до пяти. По
схеме случайного выбора с возвращением из урны трижды вынимается
шар. Найти вероятности следующих событий: A={трижды был извлечен
шар с номером 5}; B={трижды был извлечен один и тот же шар};
C={ровно в двух случаях из трех был извлечен шар с номером 5};
D={ровно в двух случаях из трех был извлечен шар с четным номером}.
3. Код содержит четыре цифры. Предполагая, что код набирается
наудачу, найти вероятности следующих событий: A={код не содержит
одинаковых цифр}; B={код содержит две одинаковые цифры}; C={код
содержит три одинаковые цифры}; D={код содержит две пары одинаковых цифр}; E={код состоит из одинаковых цифр}; F={угадан код}.
4. В поезде из 10 вагонов случайно оказались преступник и ко-
миссар Мегрэ. Какова вероятность, что они находятся а) в одном вагоне;
б) в соседних вагонах?
5. Группу из 2n юношей и 2n девушек наудачу разделили на две
части. Найти вероятность, что в каждой части юношей и девушек поровну.
6. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию разбиваются на две группы по 10 человек. Найти вероятность того,
что двое наиболее сильных игроков попадут в разные группы.
7. Из урны, содержащей три красных, два белых и один черный
шар, по схеме случайного выбора без возвращения извлекают три шара.
Найти вероятности следующих событий: A={извлечен черный шар};
B={извлечены два красных и один белый шар}; C={хотя бы один цвет не
будет представлен в выборке}. 
4
8. Из карточек разрезной азбуки составлено слово ВЕРОЯТНОСТЬ. Затем из этих карточек случайным образом отобрано а) 3; б) 4;
в) 5; г) 6. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слова а) СОН; б) ТРОН; в) ТЕНОР; г) ОСТРОВ, ТРОСТЬ.
9. В урне содержится 3 белых и 7 черных шаров. Шары вынимают
без возвращения. Какова вероятность того, что среди двух вынутых шаров ровно один белый? Какова вероятность того, что среди трех вынутых
шаров хотя бы один белый?
10. Из колоды карт в 36 листов наудачу вынимается 4 карты. Найти
вероятности того, что: а) все вынутые карты - дамы; б) вынули две дамы;
в) все вынутые карты одной масти; г) все вынутые карты разных мастей.
11. Для выполнения лабораторной работы группа студентов из 10
девушек и 5 юношей разбивается на 5 равных подгрупп. Какова вероятность, что в каждой подгруппе будет юноша?
12. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в
случайном выборе трех карточек и раскладывании их в порядке поступления в ряд слева направо. Найти вероятности следующих событий:
A={появится число 123}; B={появится число, не содержащее цифры 3};
C={появится число, содержащее цифру 3}; D={появится четное число}.
13. n мужчин и n женщин (3 n ≥ ) случайным образом рассаживаются в ряд на 2n мест. Найти вероятности следующих событий: A={два
лица одного пола не займут места рядом}; B={все мужчины будут сидеть
рядом}.
14. Брошено три игральных кубика. Найти вероятности того, что: а)
на всех кубиках выпали разные цифры; б) на двух кубиках выпали 5; в)
хотя бы на одном кубике выпала 5; г) на первом кубике выпала 5; д) на
всех кубиках выпало одинаковое число очков; е) сумма всех выпавших
очков равна 5. 
5
15. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся
на разные месяцы года, считая, что вероятность попадания дня рождения
каждого на любой месяц года одинакова.
16. Из кармана, в котором находятся 5 монет достоинством 10 ко-
пеек и 5 монет достоинством 5 копеек, вынимается пригоршня из 5 случайно взятых монет. Какова вероятность того, что в кармане осталась
сумма денег, не меньшая той, что вынута?
17. Из полного набора костей домино вынимают две кости. Какова
вероятность, что среди вынутых костей есть дубль?
18. Из колоды карт в 52 листа наудачу вынимается несколько карт.
Какое минимальное число карт нужно извлечь, чтобы с вероятностью
более 0,5 утверждать, что среди них будут карты одной масти?
19. Из отрезков, длины которых 1,3,5,...,2 1 n − , n ≥ 4наудачу выбирают три. Какова вероятность, что из них можно построить треугольник?
20. Из последовательности чисел 1,2, , K n , 2 n ≥ наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше k , а
другое больше k , где 1≤ ≤ k n - произвольное целое число?
21. Из множества чисел {1,2, } E = Kn выбирается два числа. Какова
вероятность того, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: a) без возвращения; b) с возвращением?
22. В группе 25 студентов. Считая, что вероятность попадания дня
рождения каждого студента на любой день года одинакова и в году 365
дней, найти вероятности следующих событий: A={у шести студентов
день рождения зимой, у восьми - летом, у четырех – осенью, у остальных
- весной}; B={три человека родились 1 апреля}; C={у четырех определенных человек день рождения в один день, а у остальных – в разные}.
23. n человек рассаживаются на n мест (2 n > ) случайным образом.
Найти вероятность того, что 2 конкретных человека окажутся рядом, если они рассаживаются: a) на лавку; b) за круглый стол. 
24. Определить вероятность того, что выбранное наудачу целое
число N оканчивается единицей, при a) возведении в квадрат; b) возведении в четвертую степень; c) умножении на произвольное целое число.
25. Из множества натуральных чисел по схеме выбора с возвращением случайным образом выбирается два числа. Найти вероятность того,
что остатки от деления каждого из них на заданное натуральное число k
равны.
26. Каждая из n палок случайным образом ломается на две части –
длинную и короткую. Затем 2n полученных обломков наудачу объединяются в n пар, каждая из которых образует новую палку. Найти вероятности следующих событий: A={все обломки объединяются в первоначальном порядке}; B={все длинные части объединяются с короткими}.
27. В некотором государстве у всех жителей различные неповторяющиеся всевозможные наборы зубов (из 32 возможных). Найти веро-
ятности следующих событий: A={у наудачу выбранного человека 30 зубов}; B={найти с первой попытки человека с заданным набором зубов}.
28. При жеребьевке n человек тянут билеты с номерами 1,2, , K n .
Первые три человека вытянули номера 123 x , , x x . Какова вероятность того,
что min( , ) max( , ) 12 3 12 x x x xx < < ?
29. По схеме случайного выбора с возвращением из множества на-
туральных чисел {1,2, } KN , 4 N ≥ Выбираются числа X и Y . Что больше
2 2
2 P XY = − { делится на 2} или 2 2
3P XY = − { делится на 3}?
30. Деревянный брусок длиной 4м случайным образом распилили
на 2 части. Найти вероятность того, что длины получившихся частей от-
личаются не более чем на 1 метр.
31. На плоскости проведены параллельные линии, расстояние меж-
ду которыми попеременно равно 1.5 и 8 см. Определить вероятность того,
что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2.5 см не будет
пересечен ни одной линией. 
7
32. В круге радиуса R проводятся хорды параллельно заданному
направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды
не более R, если равновозможны любые положения точек пересечения
хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?
33. В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятность того,
что они образуют вершины: a) какого-нибудь треугольника; b) правиль-
ного треугольника; c) прямоугольного треугольника.
34. На окружности наудачу выбраны три точки A,B, и C. Найти ве-
роятность того, что треугольник ABC будет остроугольным.
35. Стержень длиной 200 мм случайным образом ломается на три
части. Определить вероятности того, что: a) длина части стержня между
изломами не превышает 10 мм; b) длина хотя бы одной части стержня не
превышает 10 мм.
36. На отрезке OA длины L случайным образом поставлены две
точки B и C. Найти вероятности того, что: a) Длина отрезка BC меньше
расстояния от точки O до ближайшей к ней точки; b) длина отрезка BC
меньше, чем L/2.
37. На плоскость с нанесенной на ней квадратной сеткой много-
кратно бросается монета диаметра d , в результате чего установлено, что
в 40% случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата. Оценить
размер сетки.
38. Случайная точка A брошена в квадрат со стороной a . Найти
вероятность того, что расстояние от A до ближайшей стороны квадрата
меньше, чем расстояние от A до ближайшей диагонали квадрата.
39. На отрезке [0,2] случайно выбираются две точки. Найти вероят-
ность того, что минимальное расстояние от этих точек до начала коорди-
нат больше 1. 
8
40. Случайная точка ( ) 1 2 ξ , ξ равномерно распределена в единичном
квадрате [0,1] [0,1] × . Пустьη - число действительных корней многочлена
3 2
1 2
1 ( ) 3 fx x x = −+ ξ ξ . Найти ( ), 1,2,3. P kk η = =
41. Задача Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными пря-
мыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a . На плоскость науда-
чу бросается игла длины 2( ) ll a < . Найти вероятность того, что игла пе-
ресечет какую-нибудь прямую.
42. В круг радиуса R вписан равносторонний треугольник. Найти
вероятность того, что четыре точки, наугад поставленные в данном круге,
окажутся внутри треугольника.
43. Из чисел 2, 3, 5 выбирается одно наудачу. Случайные события
Ak - выбранное число делится на , 2,3,5 k k = . Являются ли Ak попарно
независимыми, независимыми в совокупности?
44. На каждом из пяти станков производятся болты и гайки в соот-
ношении 2:3. Из продукции каждого станка последовательно взято по
одной детали. Найти вероятности следующих событий: A={все детали
одного типа}; B={детали первого и третьего станков - одного типа};
C={детали второго и четвертого станков- разных типов}; D={деталей од-
ного типа больше чем другого в 4 раза}; E={гаек не менее трех};
F={выбрано подряд ровно три детали одного типа}.
45. Из колоды в 36 карт наудачу выбирается одна. Найти вероят-
ность того, что выбрана дама или карта червовой масти.
46. В урне три белых и три черных шара. По схеме случайного вы-
бора без возвращения из урны извлекли три шара. Какова вероятность,
что в урне осталось три черных шара, если известно, что среди вынутых
есть белый шар?
47. Подбрасывается три монеты. Когда вероятнее угадать результат,
если известно, что есть хотя бы две решки, или, если известно, что есть
ровно два орла? 
9
48. В урне четыре шара, причем цвет каждого шара с равной веро-
ятностью белый или черный. Последовательно без возвращения выни-
мают все шары. Найти вероятность того, что все шары белые, если из-
вестно, что вынули по крайней мере два белых шара.
49. Какова вероятность, что при подбрасывании трех игральных
костей выпали все разные грани, если известно, что хотя бы на одной
кости выпало шесть очков.
50. В урне два белых и три черных шара. Наудачу берут два шара.
Найти вероятность того, что в урне остались два черных и один белый
шар, если известно, что хотя бы один из вынутых шаров белый.
51. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет герб. Ка-
кова вероятность, что монету придется подбрасывать а) ровно 5 раз; б) не
менее 5 раз; в) не более 5 раз?
52. Прибор станет непригодным для работы в результате однократ-
ной поломки части A, или двукратной поломки части B, или трехкратной
поломки части C. Часть A выходит из строя с вероятностью 0.15; часть B
-с вероятностью 0.3; часть C-с вероятностью 0.55. Известно, что прибор
ломался трижды. Какова вероятность, что прибор стал непригодным?
53. Электрическая цепь состоит из элементов 1 23 A , , A A . При выходе
из строя любого элемента цепь в месте его включения разрывается. Ве-
роятности выхода из строя за данный промежуток времени для каждого
элемента соответственно равны 0.2; 0.2; 0.3. Предполагается, что элемен-
ты выходят или не выходят из строя независимо друг от друга. Найти ве-
роятность того, что за рассматриваемый промежуток времени по цепи
будет проходить ток, если схема соединения элементов имеет вид: 

54. В телефонном номере забыта последняя цифра. Она набирается
наудачу. Найти вероятность того, что абонент дозвонится только с чет-
вертой попытки.
55. Из колоды в 36 карт последовательно a) без возвращения; b) с
возвращением извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что будут из-
влечены туз червовой масти, дама и валет.
56. Для того чтобы разрушить мост, нужно попадание не менее
двух бомб. Независимо сбросили три бомбы с вероятностями попадания
0.1; 0.3 и 0.4 соответственно. Какова вероятность того, что мост разру-
шен?
57. Вероятность безотказной работы i–го устройства прибора равна
pi , i=1,2,3,4. Найти вероятности: 1) выхода из строя только первого уст-
A1
A2
A3
A3
A1
A2
A3
A1
A2
A1
A2
A3
11
ройства; 2) выхода из строя одного из устройств; 3) выхода из строя хотя
бы одного устройства.
58. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при
трех выстрелах равна 0.875. Найти вероятность попадания при одном
выстреле.
59. Два стрелка по очереди стреляют в мишень. Если не попадет
один, то начинает стрелять другой. Найти вероятность того, что после
трех выстрелов в мишени будет две пробоины, если вероятность попада-
ния в мишень для первого стрелка, начинающего стрельбу равна 0.7, а
для второго - 0.8.
60. Три игрока раздали между собой поровну 4 короля, 3 дамы и 2
валета. Какова вероятность того, что хотя бы у одного нет дамы?
61. Задача о четырех лгунах. Первый человек получает информа-
цию, которую в виде условного сигнала передает далее второму, второй –
третьему, третий - четвертому, а четвертый - наблюдателям. Каждый из
них не лжет лишь в одном случае из трех. Найти вероятность того, что
первый передал истинную информацию, если известно, что четвертый
сообщил истинную информацию.
62. Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до
первого попадания одним из них. Какова вероятность, что закончит игру
первый, если вероятности попадания при каждом броске равны 0.6 для
первого и 0.8 для второго?
63. Некто написал n писем, предназначенных n разным адресатам,
на конвертах написал n адресов и случайно разложил письма по конвер-
там. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо нашло своего ад-
ресата.
64. Задача де Мере. Сколько раз нужно бросить пару игральных
костей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.5, хотя бы один раз появи-
лась сумма очков, равная 12? 
12
65. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принима-
ют правильное решение независимо друг от друга с вероятностью p , а
третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное ре-
шение принимается по большинству голосов. Какова вероятность того,
что жюри примет правильное решение?
66. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принима-
ют правильное решение независимо друг от друга с вероятностью p , а
третий судья поступает следующим образом: если двое первых судей
принимают одинаковое решение, то третий к ним присоединяется, а в
противном случае бросает монету. Какова вероятность правильного ре-
шения у такого жюри?
67. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается
сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех постав-
ленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент
обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст
зачет?
68. Студент может уехать в институт или автобусом, который хо-
дит через каждые 20 минут, или троллейбусом, который ходит через ка-
ждые 10 минут. Какова вероятность того, что студент, подошедший к ос-
тановке, уедет в течение ближайших 5 минут?
69. Пусть A и B - случайные события, причем ( ) 0.25 P A = , а
P( ) 0.8 B = . Оценить сверху и снизу () P AB .
70. Имеется две урны, в каждой из которых по m белых и k чер-
ных шаров. Из первой урны наугад извлекают один шар и перекладыва-
ют во вторую. Найти вероятность того, что после перекладывания извле-
чен белый шар из второй урны.
71. В коробке находится 15 теннисных мячей, из которых 9 новых.
Для первой игры наудачу берут 3 мяча, которые после игры возвращают
в коробку. Для второй игры также наудачу берутся 3 мяча. Найти веро-
ятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые. 
13
72. Производится посадка самолета на аэродром. Если позволяет
погода, летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально. В
этом случае вероятность благополучной посадки 1 p . Если аэродром затя-
нут облачностью, летчик сажает самолет по прибором. Вероятность без-
отказной работы приборов равна p . Если приборы сработали нормально,
то самолет садится благополучно с той же вероятностью 1 p , что и при
визуальной посадке. Если же приборы не сработали, то летчик может
благополучно посадить самолет с вероятностью 2 1 p < p . Известно, что в
k % случаев аэродром затянут облачность. Самолет приземлился благо-
получно. Найти вероятность того, что летчик пользовался приборами.
73. В трех урнах имеются черные и белые шары. В первой урне-3
белых и 1 черный, во второй-6 белых и 4 черных, в третьей-9 белых и 1
черный шар. Из наугад выбранной урны случайным образом выбирается
один шар. Найти вероятность того, что он белый.
74. На зачете представлены вопросы по 4 темам. По первой теме 7
вопросов, по второй -11, по третьей-13, по четвертой-9. Вероятность от-
вета на любой вопрос по i -ой теме i p , i=1,2,3,4. Студенту задают один
вопрос. Найти вероятность того, что студент сдаст зачет. Какова вероят-
ность, что был задан вопрос из первой темы, если известно, что зачет не
сдан?
75. В автобусе едут n пассажиров. На остановке каждый из них
выходит с вероятностью p , кроме того, в автобус с вероятностью 0 p не
входит ни один новый пассажир, а с вероятностью 0 1− p входит один но-
вый пассажир. Найти вероятность того, что после остановки в автобусе
будет по-прежнему n пассажиров.
76. Имеется n экзаменационных вопросов. Студенту задается 2 во-
проса, причем он знает ответ на k вопросов из общего числа. Для сдачи
экзамена ему достаточно ответить на оба вопроса сразу или на один во-
прос и на один вопрос из числа оставшихся. Найти вероятность того, что
экзамен будет сдан. 
14
77. Из чисел 1,2, , K n одно за другим наудачу выбирают 2 числа.
Найти вероятность того, что разность между первым и вторым числом
будет не менее ( 0) m m > .
78. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью
белый или черный. В урну опускают один белый шар, и после перемеши-
вания наудачу извлекается один шар. Он оказался белым. Найти вероят-
ность того, что в урне остался белый шар.
79. Есть 3 альбома, в каждом из которых по 10 фотографий. В пер-
вом – 4 цветные, во втором – 3 цветные, в третьем – 5 цветных. Из науда-
чу выбранного альбома взяли 2 фотографии: они оказались цветными.
Какова вероятность того, что они были взяты из второго альбома?
80. Из двух близнецов первый мальчик. Найти вероятность того,
что второй тоже мальчик, если среди близнецов вероятности рождения
двух мальчиков и двух девочек соответственно равны a и b, а для раз-
нополых близнецов вероятность рождения первым одинакова.
81. В страховой компании застраховано 40%, 50% и 10% страхова-
телей трех групп. Вероятности наступления страхового случая у страхо-
вателей этих групп соответственно равны 0.3; 0.1 и 0.2.У страхователя
наступил страховой случай. К какой из групп он вероятнее всего отно-
сится?
82. Есть четыре кубика с цифрами 1,2,…,6 на гранях и одна пра-
вильная пирамида с цифрами 1,2,3,4 на гранях. Наугад выбрали предмет
и подбросили. Выпала цифра 4. Какова вероятность того, что взяли ку-
бик?
83. Из 12 лотерейных билетов 5 выигрышных. Билеты вытягивают
по одному без возвращения. Во второй раз был вытянут выигрышный
билет. Какова вероятность того, что и в первый раз был вытянут выиг-
рышный билет?
84. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной
мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в
15
мишень для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0.4. После стрельбы
в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в ми-
шень попал первый стрелок.
85. В урне находится 3 черных и 2 белых шара. Первый игрок из-
влекает 3 шара. Обратно он возвращает черный шар, если среди вынутых
шаров больше было черных, в противном случае возвращает белый шар.
После этого второй игрок извлекает один шар. Найти вероятность того,
что первый игрок не извлекал белых шаров, если известно, что второй
игрок вытащил белый шар.
86. Два стрелка A и B поочередно стреляют в мишень. Вероятно-
сти попадания первым выстрелом для них равны соответственно 0.4 и 0.5,
а вероятности попадания при следующих выстрелах для каждого увели-
чиваются на 0.05. Какова вероятность того, что первым стрелял A, если
попадание в мишень произошло при пятом (в сумме) выстреле?
87. В урне n шаров, причем цвет каждого шара с равной вероятно-
стью может быть белым или черным. Последовательно с возвращением
извлекается k шаров. Какова вероятность того, что в урне были только
белые шары, если черные шары не извлекались?
88. Шесть шаров, среди которых 3 белых и 3 черных, распределили
по двум урнам. Наудачу выбирается урна, а из нее 1 шар. Как нужно рас-
пределить шары по урнам, чтобы вероятность события A={вынутый шар
белый} была максимальна?
89. При переливании крови надо учитывать группы крови донора и
больного. Человеку, имеющему 4 группу крови, можно перелить кровь
любой группы; со 2-ой или 3-ей группой можно перелить кровь либо той
же группы, либо первой; а человеку с 1-ой группой - только 1-ую. Среди
населения 33.7% имеют первую, 37.5% - вторую, 20.9% - третью, 7.9% -
четвертую. Найти вероятность того, что случайно взятому больному
можно перелить кровь случайно взятого донора. Какова вероятность того,
что переливание можно осуществить, если имеются два донора? 
16
90. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, ко-
торые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает
удочку на i - ом месте, то рыба клюет с вероятностью , 1,2,3 i p i = . Из-
вестно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, а ры-
ба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу
на первом месте.
91. Из 28 костей домино случайно выбрана одна. Построить ряд и
функцию распределения суммы очков на половинках этой кости.
92. Игральный кубик подбрасывают 4 раза. Случайная величина ξ
- число выпавших «6» на верхней грани кубика. Построить ряд распреде-
ления случайной величины ξ .
93. В партии из n изделий одно бракованное. Из партии поочеред-
но проверяют по одному изделию до обнаружения брака. Построить ряд
распределения случайной величины ξ - общего числа проверенных из-
делий.
94. На экзамене студенту задаются вопросы, которые прекращают-
ся, как только студент отвечает на данный вопрос. Вероятность ответа
равна 0.1. Случайная величина ξ - число заданных вопросов. Построить
ряд распределения этой случайной величины.
95. Имеется 10 деталей, из которых 6 качественных. Производится
сборка прибора, для которого требуется 4 детали. Для этого наудачу от-
бирают 5 деталей (одну «про запас»). Случайная величина ξ - число ка-
чественных деталей из отобранных. Найти закон распределения этой
случайной величины. Найти вероятность того, что сборку можно осуще-
ствить. Построить функцию распределения с.в. ξ .
96. Игральная кость, на гранях которой числа от 0 до 5 подбрасы-
вают до тех пор, пока общая сумма не превзойдет 12. Чему вероятнее
всего будет равна эта сумма?
97. Задача Банаха. Для прикуривания гражданин пользуется двумя
коробками спичек, доставая наудачу тот или иной коробок. Через неко-
17
торое время он обнаружил, что один коробок пустой. Какова вероятность
того, что во втором коробке ровно k спичек, если вначале в каждом было
по n спичек?
98. Эксперимент состоит в подбрасывании игрального кубика.
Найти вероятность того, что перед третьим выпадением четного числа
очков будет 2 выпадения нечетного числа.
99. Сколько изюма должна в среднем содержать булочка, чтобы
вероятность иметь хотя бы одну изюминку в булке была не менее 0.99,
считая, что случайная величина ξ - число изюминок в булочке, распреде-
лена по закону Пуассона.
100. Задача Джона Смита (1693 г.). Одинаковы ли шансы на успех
у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну «6» при шести
бросаниях игральной кости; второму - не менее двух «6» при 12 бросани-
ях игральной кости; третьему - не менее трех «6» при 18 бросаниях иг-
ральной кости?
101. В одной аудитории экзамен сдают 7 человек, среди которых 3
отличника, в другой- 9 человек, среди которых 2 отличника. Из первой
вызывают 2-х человек, из второй-1-ого. Случайная величина ξ - общее
число отличников среди вызванных. Построить ряд распределения этой
случайной величины.
102. Вероятность того, что в справочное бюро в течение часа обра-
тятся k человек равна , 0, 0,1,2, !
k
e k
k
λ λ λ

> = K. Для каждого человека
вероятность отказа равна p . Найти вероятность того, что в течение часа
s человек () s ≤ k не получат ответа на вопрос.
103. Из урны, содержащей 3 красных, 3 желтых и 3 зеленых шара
вынимают по 2 шара с возвращением до тех пор, пока не достанут 2 шара
одного цвета. Случайная величина ξ - число произведенных извлечений.
Найти закон распределения этой случайной величины. 
18
104. Стрелок ведет стрельбу по мишени до второго попадания, имея
4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.6. По-
строить ряд и функцию распределения случайной величины ξ - числа ис-
траченных патронов.
105. Кубик, одна из граней которого стерта, подбрасывают 2 раза.
Случайная величина ξ - число выпадений четного числа очков. Постро-
ить ряд распределения этой случайной величины.
106. Игральный кубик подбрасывают 5 раз. Случайная величина ξ -
общее число подбрасываний до второго подряд выпадения «6». Постро-
ить ряд распределения этой случайной величины.
107. В урне было 6 белых и 4 черных шара. Один потеряли. Из урны
вынимают 3 шара. Случайная величина ξ - число белых шаров среди вы-
нутых. Построить ряд распределения этой случайной величины.
108. Монету бросают ξ раз - до тех пор, пока хотя бы одна из ее
сторон не выпадет дважды (не обязательно подряд). Составить ряд рас-
пределения с.в., построить график функции распределения. 

114. Цена деления шкалы амперметра равна 0.1 A. Показания округ-
ляются до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при испы-
тании будет сделана ошибка, превышающая 0.02 A.
115. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их сред-
няя масса равна 1.06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, мень-
шую 1 кг. Считая, что масса коробки – нормально распределенная с.в.,
определить, каков процент коробок, масса которых превышает 940 г.
116. Браковка шариков для подшипников производится случайным
образом: если шарик проходит через отверстие диаметром 2 d , но не про-
ходит через отверстие диаметром 1 d , 1 2 d d < , то шарик считается годным. 
20
Если какое-либо из этих условий нарушается, то шарик бракуется. Диа-
метр шарика - случайная величина 1 2
2 1 ,( ) 2
d d ξ α N dd ⎛ ⎞ +
∈ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , где
α ∈(0, 0.5) определяет точность изготовления шариков. Каким должно
быть α , чтобы брак составлял не более 2% всей продукции?
117. Случайная величина имеет нормальное распределе-
ние 2 ξ ∈ N(3, 0.5 ). Найти вероятность (1.5 2.5) P ≤ ξ < , а также (2) Fξ .
118. Какова вероятность того, что в группе из 500 человек ровно 5
родились 1 апреля?
119. Известно, что левши составляют в среднем 1% от общего числа
людей. Найти вероятность того, что из 200 человек окажется, по крайней
мере, четверо левшей.
120. Аппаратура содержит 1000 элементов. Вероятность выхода из
строя каждого из них равна 0.001. Найти вероятность выхода из строя
хотя бы одного элемента. Найти вероятность этого же события, если ап-
паратура содержит 6 таких элементов.
121. Эксперимент состоит в том, что 200 раз подбрасывается 3 иг-
ральных кубика. Найти вероятности следующих событий: A={50 раз вы-
падут очки, дающие в сумме 11 или 12 очков}; B={хотя бы 7 раз сумма
будет меньше 5 очков}.
122. Французский ученый Бюффон бросил монету 4040 раз, причем
герб выпал 2048. Найти вероятность того, при повторении опыта Бюф-
фона относительная частота появления герба отклонится от вероятности
появления герба по абсолютной величине не более чем в опыте Бюффона.
123. При выпечке булочек с изюмом случается с вероятностью 0.003,
что в булочку не попадает ни одной изюминки. Оценить вероятность то-
го, что в партии из 1000 булочек: а) нет булочек без изюминок; б) имеет-
ся ровно три булочки без изюминок; в) имеется не менее трех булочек
без изюминок. 
21
124. Каждый избиратель независимо от остальных избирателей, от-
дает свой голос за кандидата A с вероятностью 0.7 и за кандидата B – с
вероятностью 0.3. оценить вероятность того, что в результате голосова-
ния на избирательном участке в 5000 избирателей кандидат A опередит
кандидата B: а) ровно на 1900 голосов; б) не менее чем на 1900 голосов.
125. В страховой компании застрахована 1000 человек одного воз-
раста и одной социальной группы. Вероятность смерти в течение года
для каждого равна 0.006. Каждый застрахованный вносит 1 января 1200
рублей страхового взноса и в случае его смерти родственники получают
100000 рублей. Найти вероятности следующих событий: A={страховая
компания потерпит убытки}; B={прибыль компании будет больше
186000 рублей}.
126. В некотором городе в год рождается 20000 детей. Считая веро-
ятность рождения мальчика равной 0.51 найти такое t , чтобы с вероятно-
стью 0.99 можно было утверждать, что среди рожденных в течение года
детей число мальчиков превышает число девочек не менее чем на t .
127. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0.9973
границы, симметричные относительно среднего числа, в которых будет
заключено число выпадений шестерки.
128. Водоем объема V , из которого берется проба объема V0 ,
V V 0 << , содержит n опасных бактерий. Найти вероятность того, что бак-
терии обнаружатся в пробе воды.
129. Какое наименьшее количество раз нужно бросить 2 игральные
кости, чтобы вероятность неравенства p 0.01
n
μ − ≤ была не меньше, чем
вероятность противоположного неравенства, где μ - число появлений
одинаковых цифр в n бросках?
130. В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в ме-
сяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам
независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен об-
22
ладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в
100 дней (поезд ходит раз в сутки)?
131. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет 2 разных входа. Около
каждого из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в
каждом из гардеробов, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все зрители
могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Вхо-
ды зрители выбирают равновероятно. Рассмотреть случаи: a) зрители
приходят поодиночке; b) зрители приходят парами.
132. В лотерее разыгрывается 1 выигрыш на каждую 1000 билетов.
Найти вероятность того, что, имея 100 билетов, из них будет не менее 2
выигрышей.
133. В урне находятся белые и черные шары в отношении 3/2. Про-
изводятся последовательные опыты по извлечению одного шара с воз-
вращением. Каково минимальное число извлечений, при котором с веро-
ятностью, большей 0.9948, можно ожидать, что отклонения относитель-
ной частоты появления белого шара от вероятности его появления в од-
ном опыте не превысит 0.05? 

135. Число ξ выбирается случайным образом из множества
A = {1,2,3} . Затем из множества A выбирается η , большее или равное ξ .
Найти совместное распределение случайного вектора (ξ,η).
136. Три шара раскладываются по трем ящикам случайным образом
так, что шары неразличимы, а ящики различимы. Случайная величина ξ -
число заполненных ящиков, η - число шаров в первом ящике. Найти со-
вместное распределение случайного вектора (ξ,η) . Рассмотреть также
случай, когда шары различимы. Построить совместную функцию распре-
деления.
137. Найти совместное распределение с.в. ξ - число гербов и η - чис-
ло решек, выпадающих при подбрасывании двух монет.
138. В урне 7 красных и 3 черных шара. Из урны 2 раза извлекают
по 3 шара без возвращения. Случайная величина i ξ - число красных ша-
ров при i - ом извлечении, 1,2 i = . Найти совместное распределение и со-
вместную функцию распределения случайного вектора (ξ1 2 ,ξ ). 

247. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляе-
мых в ремонт после месяца эксплуатации равно 5. Оценить вероятность
того, что по истечении месяца будет отправлено в ремонт менее 15 авто-
бусов, если: a) информация о дисперсии отсутствует; b) дисперсия равна
4. 
40
248. В предположении, что размер одного шага пешехода равномер-
но распределен в интервале (70, 80) см. и размеры шагов независимы,
найти вероятность того, что за 10000 шагов пешеход пройдет расстояние
от 7.49 до 7.51 км.
249. В очереди на получение денег в кассу стоит 60 человек, размер
выплаты каждому – случайная величина. Средняя выплата составляет
300 руб., среднеквадратическое отклонение- 50 руб. Выплаты отдельным
получателям независимы. Сколько должно быть денег в кассе, чтобы их с
вероятностью 0.95 хватило на выплату всем 60 получателям?
250. Оценить вероятность того, что при 1000 бросаниях монеты чис-
ло выпадений «герба» будет заключено между 450 и 550, используя: a)
интегральную теорему Муавра-Лапласа; b) неравенство Чебышева.
251. Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью,
не меньшей 0.975 можно было утверждать, что относительная частота
выпадения «герба» попадет в интервал (0.4, 0.6). Получить оценки с по-
мощью: a) интегральной теоремы Муавра-Лапласа; b) неравенства Че-
бышева.
252. Число солнечных дней в году для данной местности есть слу-
чайная величина ξ со средним значением равным 100 и среднеквадрати-
ческим отклонением равным 20. Оценить сверху ( 150) P ξ ≥ .
253. Складывают 1000 чисел, каждое из которых округлено до 0.001.
Предполагая, что ошибки округления – независимые случайные величи-
ны с равномерным на (-0.0005, 0.0005) распределением, найти интервал,
симметричный относительно математического ожидания, в котором с ве-
роятностью 0.998 заключена суммарная ошибка. 

264. Пусть k - число «успехов» в одной серии из m независимых ис-
пытаний с вероятностью «успеха» p . Найти ОМП (оценку максимально-
го правдоподобия) для p . Показать, что она является несмещенной, со-
стоятельной, эффективной оценкой.
265. Показать, что относительная частота появления события A в n
независимых испытаниях является эффективной оценкой вероятности p
появления события в одном испытании.
266. Отказ прибора произошел при k -ом ( k = 1,2,K ) испытании.
Найти ОМП вероятности отказа p при одном испытании и выяснить ее
несмещенность. 

275. При определении угла используют среднее арифметическое не-
скольких замеров, причем среднеквадратическое отклонение каждого за-
мера равно 1.5 минуты. Найти минимальное количество замеров, которое
необходимо произвести, чтобы погрешность результата с вероятностью
0.99 не превосходила 1 минуты. Предполагается, что измерения имеют
нормальное распределение.
276. Построить 95%-ый доверительный интервал для вероятности
попадания в цель, если в результате 300 независимых выстрелов в цель
попало 85 снарядов. 

278. Пусть 1 2 ,,, n x x x K - выборка из нормального распределения ге-
неральной совокупности с известным математическим ожиданием a и
неизвестной дисперсией 2 σ . Найти доверительный интервал заданной
надежности α для неизвестной дисперсии.
279. Пусть 3.23; 1.10; 0.06; 3.17; 2.22; 2.94; 4.15; 1.08; 4.25;
2.79; 1.04; 2.36; 0.11; 3.32 – выборка из нормального распределения.
Построить доверительные интервалы надежности 0.95 для a и 2 σ .
280. Пусть 9.1; 9.2; 9.55; 9.6; 9.7; 9.95; 10; 10.1; 10.3; 10.55;
10.7; 10.8; 11; 11.1; 11.45; 11.65 – выборка из нормального распре-
деления с 10.1 a = . Найти с надежностью 0.99 доверительный интервал
для 2 σ . 

Ответы к задачам по теории вероятностей и математической статистике 280 from zoner

Категория: Математика | Добавил: Админ (29.07.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar