Тема №5642 Ответы к заданиям по математике ЕГЭ 2016 Семенов, Трепалин, Ященко (Часть 2)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы к заданиям по математике ЕГЭ 2016 Семенов, Трепалин, Ященко (Часть 2) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы к заданиям по математике ЕГЭ 2016 Семенов, Трепалин, Ященко (Часть 2), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

3.1.1. Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите гипотенузу.
3.1.2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15. Один из его катетов равен 9. Най­
дите другой катет.
3.1.3. Периметр параллелограмма равен 56. Одна сторона параллелограмма на 3 больше
другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
3.1.4. Две стороны параллелограмма относятся как 3:4, а периметр его равен 70. Найдите
большую сторону параллелограмма.
3.1.5. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отно­
шении 1:3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если
его периметр равен 60.
3.1.6. Найдите диагональ прямоугольника, две стороны которого равны 5 и 12.
3.1.7. Найдите диагональ прямоугольника, две стороны которого равны 6 и 8.
3.1.8. Средняя линия трапеции равна 35, а меньшее основание равно 27. Найдите большее
основание трапеции.
3.1.9. Средняя линия трапеции равна 29, а одно из её оснований больше другого на 14. Най­
дите большее основание трапеции.
3.1*10. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит
среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
3.1.11. Основания трапеции равны 12 и 37. Найдите меньший из отрезков, на которые де­
лит среднюю линию трапеции одна из её диагоналей.
3.1.12. Периметр трапеции равен 40, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите
среднюю линию трапеции.
3.1.13. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 10.
Найдите её среднюю линию.
3.1*14. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равно­
бедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 22 и 15. Найдите среднюю линию этой
трапеции.
3.1.15. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равно­
бедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 17 и 126. Найдите среднюю линию
этой трапеции.
3.1.16. Основания трапеции равны 10 и 24. Найдите отрезок, соединяющий середины диа­
гоналей трапеции.
3.1.17. Основания трапеции равны 13 и 47. Найдите отрезок, соединяющий середины диа­
гоналей трапеции.
3.1.18. Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего
основания, равного 8, отсекает треугольник, периметр которого равен 17. Найдите периметр
трапеции.
3.1.19. Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего
основания, равного 5, отсекает треугольник, периметр которого равен 24. Найдите периметр
трапеции.
43
3.1.20. Диагонали четырёхугольника равны 7 и 25. Найдите периметр четырёхугольника,
вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.
3.1.21. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 30. Найдите радиус описанной
окружности этого треугольника.
3.1.22. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 47. Най­
дите гипотенузу этого треугольника.
3.1.23. В треугольнике ЛВС угол С равен 90°, А С = 8, ВС = 15. Найдите радиус описанной
окружности этого треугольника.
3.1.24. В треугольнике ЛВС угол С равен 90°, ВС = 2 i/l5 \ Радиус описанной окружности
этого треугольника равен 8. Найдите Л С.
3.1.25. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, А В = 5, CD = 15. Найдите пери­
метр четырёхугольника.
3.1.26. Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен 74, две его сторо­
ны равны 21 и 25. Найдите большую из оставшихся сторон.
3.1.27. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, ЛВ = 10, ВС = б и CD = 16. Най­
дите четвёртую сторону четырёхугольника.
3.1.28. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 23, ВС = 27, CD = 15. Най­
дите четвёртую сторону четырёхугольника.
3.1.29. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён равносторонний треуголь­
ник. Найдите радиус описанной около него окружности.
3.1.30. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён равносторонний треуголь­
ник. Найдите радиус описанной около него окружности.
44
3.1.31. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён равносторонний треуголь­
ник. Найдите радиус вписанной в него окружности.
3.1.32. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён равносторонний треуголь­
ник. Найдите радиус вписанной в него окружности.
3.1.33. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, её
большая боковая сторона равна 30: Найдите радиус окружности.
3.1.34. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, её
большая боковая сторона равна 31. Найдите радиус окружности.
3.1.35. Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 10. Радиус описанной окружности
равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.
3.1.36. Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 12. Радиус описанной окружности
равен 10. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.
45
3.2. Углы
3.2.1. Один острый угол прямоугольного треугольника на 86° больше другого. Найдите
больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
3.2.2. Один острый угол прямоугольного треугольника на 56° больше другого. Найдите
больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
3.2.3. В треугольнике АВС угол А равен 77°, АС - ВС. Найдите угол С. Ответ дайте в гра­
дусах.
3.2.4. В треугольнике АВС угол С равен 66°, АС = ВС. Найдите угол А. Ответ дайте в гра­
дусах.
3.2.5. В треугольнике АВС АВ = ВС. Внешний угол при вершине В равен 74°. Найдите
угол С. Ответ дайте в градусах.
3.2.6. В треугольнике АВС АВ = ВС. Внешний угол при вершине В равен 128°. Найдите
угол С. Ответ дайте в градусах.
3.2.7. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 12°. Найдите этот
третий угол. Ответ дайте в градусах.
3.2.8. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 250°. Найдите этот
третий угол. Ответ дайте в градусах.
3.2.9. Один острый угол прямоугольного треугольника в 5 раз больше другого. Найдите
больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
3.2.10. Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите
больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
3.2.11. Один угол равнобедренного треугольника на 99° больше другого. Найдите меньший
угол. Ответ дайте в градусах.
3.2.12. Один из внешних углов треугольника равен 49°. Углы, не смежные с данным внеш­
ним углом, относятся как 1 :6. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
3.2.13. В треугольнике АВС угол С равен 65°, AD — биссектриса, угол CAD равен 35°.
Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
3.2.14. В треугольнике АВС угол С равен 63°, AD — биссектриса, угол CAD равен 31°. Най­
дите угол В. Ответ дайте в градусах.
3.2.15. В треугольнике АВС АС = ВС, AD — высота, угол BAD равен 28°. Найдите угол С.
Ответ дайте в градусах.
3.2.16. В треугольнике АВС АВ = ВС, AD — высота, угол BAD равен 29°. Найдите угол С.
Ответ дайте в градусах.
3.2.17. В треугольнике ABC CD — медиана, угол АСВ равен 90°, угол В равен 22°. Найдите
угол ACD. Ответ дайте в градусах.
3.2.18. В треугольнике ABC CD — медиана, угол АСВ равен 90°, угол В равен 54°. Найдите
угол ACD. Ответ дайте в градусах.
3.2.19. Острые углы прямоугольного треугольника равны 58° и 32°. Найдите угол между
высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
3.2.20. Острые углы прямоугольного треугольника-равны 86° и 4°. Найдите угол между вы­
сотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
3.2.21. Острые углы прямоугольного треугольника равны 46° и-44°. Найдите угол между
биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
46
3.2.22. Два угла треугольника равны 43° и 80°. Найдите тупой угол, который образуют вы­
соты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
3.2.23. В треугольнике АВС угол С равен 6°, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в
точке О. Найдите угол АО В. Ответ дайте в градусах.
3.2.24. Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 29°. Ответ дайте
в градусах.
3.2.25. Сумма двух углов параллелограмма равна 10°. Найдите один из оставшихся углов.
Ответ дайте в градусах.
3.2.26. Сумма двух углов параллелограмма равна 126°. Найдите один из оставшихся углов.
Ответ дайте в градумах.
3.2.27. Один угол параллелограмма больше другого на 28°. Найдите больший угол. Ответ
дайте в градусах.
3.2.28. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность
противолежащих углов равна 68°. Ответ дайте в градусах.
1
3.2.29. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет — окружности.
Ответ дайте в градусах.
3.2.30. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет -jjr окружности.
Ответ дайте в градусах.
3.2.31. Дуга окружности АС, не содержащая точки В, составляет 125°. А дуга окружности
ВС, не содержащая точки А, составляет 79°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в гра­
дусах.
3.2.32. Центральный угол на 48° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же
дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
3.2.33. Найдите центральный угол АОВ, если он на 62° больше вписанного угла АСВ, опи­
рающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
3.2.34. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 32°. Найдите угол
AOD. Ответ дайте в градусах.
3.2.35. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Центральный угол AOD равен 84°.
Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.
3.2.36. Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 116°. Найдите
угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
3.2.37. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 117° и 153°. Найдите
больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
3.2.38. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 44°, угол CAD ра­
вен 36°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
3.2.39. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 28°, угол CAD ра­
вен 44°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.
3.2.40. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 92°, угол ABD равен
54°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
3.2.41. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 52°, угол ABD равен
34°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
47
3.2.42. Хорда А В стягивает дугу окружности в 120°. Найдите угол между этой хордой и ка­
сательной к окружности, проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах.
3.2.43. Угол между хордой А В и касательной В С к окружности равен 87°. Найдите величи­
ну меньшей дуги, стягиваемой хордой АВ. Ответ дайте в градусах.
3.2.44. Найдите угол А С О , если его сторона С А касаетсй окружности в точке А, О — центр
окружности, отрезок О С пересекает окружность в точке В, а меньшая дуга окружности А В ,
заключённая внутри этого угла, равна 58°. Ответ дайте в градусах.
3.2.45. Угол А С О равен 20°. Его сторона С А касается в точке А окружности с центром О.
Прямая С О пересекает окружность в точках В и Д точка В лежит между С и О. Найдите гра­
дусную величину дуги A D окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
3.2.46. Точки А и В лежат на окружности. Точка С лежит вне неё, причём отрезок А С пе­
ресекает окружность в точке D , а отрезок В С — в точке Е. Найдите угол А С В , если вписанные
углы A D B и D A E опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответ­
ственно 118° и 38°. Ответ дайте в градусах.
3.2.47. Точки А и В лежат на окружности. Точка С лежит вне неё, причём отрезок Л С пе­
ресекает окружность в точке D , а отрезок В С — в точке Е. Угол А С В равен 48°. Градусная ве­
личина дуги А В окружности, не содержащей точек D и Е, равна 162°. Найдите угол D A E . Ответ
дайте в градусах.
3.2.48. Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные А С и ВС.
Угол САВ равен 28°. Найдите угол А О В . Ответ дайте в градусах.
3.2.49. Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные А С и ВС.
Угол САВ равен 53°. Найдите угол А О В . Ответ дайте в градусах.

3.4.1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 14 и 8.
3.4.2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 и 12.
3.4.3. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен
30°. Боковая сторона треугольника равна 22. Найдите площадь этого треугольника.
3.4.4. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен
150°. Боковая сторона треугольника равна 40. Найдите площадь этого треугольника.
3.4.5. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 12 и 4, а угол между ни­
ми равен 30°.
50
3.4.6. Найдите площадь треугольника, две стороны кот<|щ)го равны 15 и 8, а угол между ни­
ми равен 150°.
3.4.7. Площадь треугольника АВС равна 100. DE — средняя линия, параллельная стороне
АВ. Найдите площадь треугольника CDE.
3.4.8. Площадь треугольйгйка АВС равна 256. DE — средняя линия, параллельная стороне
АВ> Найдите площадь треугольника CDE.
3.4.9. Площадь треугольника АВС равна 35, DE — средняя линия, параллельная стороне АВ.
Найдите площадь трапеции ABED. '/
3.4.10. Площадь треугольника AfiС равна 170, DE — средняя линия, параллельная стороне АВ.
Найдите площадь трапеции ABED.
3.4.11. Периметр треугольника равен 24, а радиус ^вписанной окружности равен 4. Найдите
площадь этого треугольника.
3.4.12. Периметр треугольника равен 78, а радиус вписанной окружности равен 6. Найдите
площадь этого треугольника.
3.4.13. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны
соответственно 24 и 25.
3.4.14. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 20, а основание равно 24.
Найдите площадь этого треугольника.
3.4.15. В треугольнике со сторонами 3 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, про­
ведённая к первой их этих сторон, равна 2. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
3.4.16. В треугольнике со сторонами 8 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, про­
ведённая к первой их этих сторон, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
3.4.17. Стороны параллелограмма равны 10 и 70. Высота, опущенная на первую из этих сто­
рон, равна 42. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
3.4.18. Стороны параллелограмма равны 2 и 4. Высота, опущенная на первую из этих сто­
рон, равна 3. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
3.4.19. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 12 и 6.
3.4.20. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 5 и 18.
3.4.21. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 32, а один из углов равен 150°.
3.4.22. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 23, а один из углов равен 30°.
3.4.23. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 18 и 11, а угол между
ними равен 30°.
3.4.24. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 7 и 17, а угол между
ними равен 150°.
* 3.4.25. Основания трапеции равны 24 и 18, высота — 4. Найдите площадь трапеции.
3.4.26. Основания трапеции равны 5 и 22, высота — 2. Найдите площадь трапеции.
3.4.27. Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 5 и 2. Найдите площадь
трапеции.
3.4.28. Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 6 и 13. Найдите площадь
трапеции.
3.4.29. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 13.
51
3 . 4 . 3 0 . Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 44, и одна сторона на 2
больше другой.
3 . 4 . 3 1 . Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 40, а отношение сосед­
них сторон равно 3:7.
3 . 4 . 3 2 . Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 10 и 20, боль­
шая боковая сторона составляет с основанием угол 45°. 

3.5.1. В кубе ABCDAlBiCiD i найдите угол между прямыми ВСХ и А ХСХ. Ответ дайте в гра­
дусах.
3.5.2. В кубе ABCDAXBXCXD X точка К — середина ребра АВ, точка L - середина ребра AD,
точка М — середина ребра А А Х. Найдите угол LMK. Ответ дайте в градусах.
3.5.3. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA^BiCiD^E^Fi, все рёбра которой рав­
ны 6, найдите угол между прямыми DE и F^A^. Ответ дайте в градусах.
3.5.4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiCiDi известны длины рёбер АВ = 6,
AD = 18, AAt = 8. Найдите синус угла между прямыми CXD и АВ.
3.5.5. Найдите расстояние между вершинами В и D прямоугольного параллелепипеда
ABCDAXBXCXD X, для которого АВ = 4, AD — 3, ААХ = 7.
3.5.6. Найдите расстояние между вершинами А и D { прямоугольного параллелепипеда
ABCDA^B^CyD^ для которого АВ = 9, AD = 12, ААХ = 5.
3.5.7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXC{D { известно, что D XCX = 1, ВВ{ — 2,
В ХСХ = 2. Найдите длину диагонали СХА.
3.5.8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAlBiClDt известно, что CD = 4, В ХСХ = 12,
D D X = 3. Найдите длину диагонали DBX.
3.5.9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAfixC^D^ известно, что АСХ = УТ?,
ВВХ — 1, A lD i = 3. Найдите длину ребра DC.
3.5.10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXD X известно, что BDX — ЗуТ ,
C{D { = 4, ВС = 1. Найдите длину ребра DDt.
3.5.11. В правильной шестиугольной призме ABCDEFAfi{CJ)xExFx все рёбра равны 7. Най­
дите расстояние между точками С и F.
3.5.12. В правильной шестиугольной призме ABCDEFAiB^iD^^i все рёбра равны 4. Най­
дите расстояние между точками Е и At.
3.5.13. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, S —
вершина, SC = 25, BD =14. Найдите длину отрезка SO.
3.5.14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, S —
вершина, SO = 30, SA = 34. Найдите длину отрезка АС.
3.5.15. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 10, а сторона основа­
ния равна 8уТ . Найдите высоту пирамиды.
3.5.16. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 13, а сторона основа­
ния равна 5. Найдите высоту пирамиды.
3.5.17. Высота конуса равна 5, а диаметр основания — 24. Найдите образующую конуса.
3.5.18. Высота конуса равна 16, а длина образующей — 34. Найдите диаметр основания конуса.
3.5.19. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его
вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна
78уТ . Найдите радиус сферы.
56
3.5.20. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его
вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 551 /? . Най­
дите образующую конуса.
3.5.21. Найдите расстояние между вершинами D2 и Вх
многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные
углы многогранника прямые.
3.5.22. Найдите расстояние между вершинами D и В х
многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные
углы многогранника прямые.
3.5.23. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXB XCXD X ребро CD = 2, ребро ВС = уТ ,
ребро ССХ — 2. Точка К — середина ребра D D X. Найдите площадь сечения, проходящего через
точки Сх, Вх и К.
3.5.24. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXD X известны длины рёбер:
АВ = 12, AD = 16, ААХ — 13. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины D, D x и В.
3.5.25. Рёбра правильного тетраэдра равны 17. Найдите площадь сечения, проходящего че­
рез середины четырёх его рёбер.
3.5.26. Рёбра правильного тетраэдра равны 24. Найдите площадь сечения, проходящего че­
рез середины четырёх его рёбер.
3.5.27. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 25. Найдите площадь се­
чения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
3.5.28. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 32. Найдите площадь се­
чения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
3.5.29. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ стороны оснований равны 8, боко­
вые рёбра равны 20. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середи­
ны рёбер АВ, АС, А ХВХ и А ХСХ.
57
3.5.30. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ стороны оснований равны 11, боко­
вые рёбра равны 1. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины
рёбер АВ, АС, А ХВХ и А {СХ.
3.5.31. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1Bl ClD l известны длины рёбер:
АВ = 17, AD = 15, AAt = 8. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходя­
щей через точки А, В и С1.
3.5.32. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAlBlClD l известны длины рёбер:
АВ = 20, AD = 16, АА{ = 12. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, прохо­
дящей через точкй А, В и Сх.
3.5.33. Площадь основания конуса равна 81 я, высота — 2. Найдите площадь осевого сече­
ния конуса.
3.5.34. Площадь основания конуса равна 49я, высота — 5. Найдите площадь осевого сече­
ния конуса.
3.5.35. Высота конуса равна 8, а длина образующей — 17. Найдите площадь осевого сечения
этого конуса.
3.5.36. Диаметр основания конуса равен 8, а длина образующей — 5. Найдите площадь осе­
вого сечения этого конуса.
3.5.37. Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2
и 6. Найдите площадь его поверхности.
3.5.38. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны
10 и 5. Диагональ параллелепипеда равна 15. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
3.5.39. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с ка­
тетами 3 и 4, высота призмы равна 6. Найдите площадь её поверхности.
3.5.40. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с
диагоналями, равными 9 и 12, и боковым ребром, равным 6.
3.5.41. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 12, боковые рёб­
ра равны 10. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
3.5.42. Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны
основания которой равны 24, а высота равна 5.
3.5.43. Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 8. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
3.5.44. Длина окружности основания цилиндра равна 9, высота равна 11. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
3.5.45. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 6. Найдите пло­
щадь боковой поверхности конуса.
3.5.46. Длина окружности основания конуса равна 7, образующая равна 26. Найдите пло­
щадь боковой поверхности конуса.
3.5.47. Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и
высота которого равны 10. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
3.5.48. Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и
высота которого равны 12. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
58
3.5.49. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу
основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 19)/?. Найдите площадь боковой
поверхности конуса.
3.5.50. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу
основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 41 У ?. Найдите площадь боковой
поверхности конуса.
3.5.51. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 3. Найдите пло­
щадь поверхности шара.
3.5.52. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 57. Найдите пло­
щадь поверхности шара.
3.5.53. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить
в 3 раза?
3.5.54. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить
в И раз?
3.5.55. Радиусы двух шаров равны 24 и 32. Найдите радиус шара, площадь поверхности ко­
торого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
3.5.56. Радиусы двух шаров равны 24 и 45. Найдите радиус шара, площадь поверхности ко­
торого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
3.5.57. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с ка­
тетами 2 и 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём призмы.
3.5.58. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с ка­
тетами 5 и 12, боковое ребро равно 10. Найдите объём призмы.
3.5.59. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 7.
Найдите её объём.
3.5.60. Найдите объём пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со
сторонами 2 и 3.
3.5.61. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между бо­
ковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объём пирамиды.
3.5.62. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 12, а угол между
боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объём пирамиды.
3.5.63. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с ка­
тетами 2 и 3, объём призмы равен 18. Найдите боковое ребро призмы.
3.5.64. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с ка­
тетами 4 и 6, объём призмы равен 48. Найдите боковое ребро призмы.
3.5.65. Найдите объём пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со
сторонами 7 и 16.
3.5.66. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой рав­
ны 8, а высота равна У з\
3.5.67. Высота конуса равна 7, образующая равна 10. Найдите его объём, делённый на к.
3.5.68. Объём параллелепипеда ABCDAlB{CiD l равен 21. Найдите объём треугольной пира­
миды В{ЛВС.
59
3.5.69. Объём параллелепипеда ABCDAXBXCXD X равен 66. Найдите объём треугольной пира­
миды ВАХВ ХСХ.
3.5.70. Найдите объём параллелепипеда ABCDAXBXCXD X, если объём треугольной пирамиды
ABDAX равен 21.
3.5.71. Объём параллелепипеда ABCDAXBXCXD X равен 3. Найдите объём треугольной пира­
миды ADXCBX.
3.5.72. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки В, С, Д Сх
прямоугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXD X, у которого АВ = 9, AD — 10, ААХ = 3.
3.5.73. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, С, D, D x пря­
моугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXD X, у которого АВ = 9, AD = 12, А А Х = 5.
3.5.74. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, D, Ах, Вх
прямоугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX, у которого А В = 6, AD = 5, ААХ = 4.
3.5.75. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки С, D, А х, Вх, Сх,
D x прямоугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXD X, у которого А В = 6, AD = 9, А А Х = 3.
3.5.76. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, Сх пра­
вильной треугольной призмы АВСАХВХСХ, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро
равно 6.
3.5.77. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А х пра­
вильной треугольной призмы АВСАХВХСХ, площадь основания которой равна 15, а боковое ребро
равно 7.
3.5.78. Найдите объём многогранника, вершинамй которого являются точки А, В, А х, Вх, Сх
правильной треугольной призмы *АВСАХВХСХ, площадь основания которой равна 7, а боковое
ребро равно 9.
3.5.79. От треугольной призмы, объём которой равен 9, отсечена треугольная пирамида
плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого
основания. Найдите объём оставшейся части.
3.5.80. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 196. Точка Е — сере­
дина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды ЕАВС.
3.5.81. От треугольной пирамиды, объём которой равен 84, отсечена треугольная пирамида
плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите
объём отсечённой треугольной пирамиды.
3.5.82. Объём треугольной пирамиды равен 10. Плоскость проходит через сторону основа­
ния этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отно­
шении 2:3, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые
плоскость разбивает исходную пирамиду.
3.5.83. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высо­
та которого равны 4,5. Найдите объём параллелепипеда.
3.5.84. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 3,5. Найдите его объём.
3.5.85. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 5. Найдите его объём.
3.5.86. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 5. Боковые рёбра равны —.
71
Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
60
3.5.87. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 9.
Боковые рёбра равны Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
3.5.88. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объём ци­
линдра, если объём конуса равен 84.
3.5.89. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если
объём цилиндра равен 9.
3.5.90. Цилиндр описан около шара. Объём цилиндра равен 78. Найдите объём шара.
3.5.91. Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 66. Найдите объём цилиндра.
3.5.92. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара ра­
вен 24. Найдите объём конуса.
3.5.93. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса
равен 60. Найдите объём шара.
3.5.94. В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным
16 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на
12 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.
3.5.95. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1200 см3 воды и
полностью в неё погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки
25 см до отметки 28 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.
3.5.96. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 20 см. На какой высоте будет
находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр ко­
торого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
3.5.97. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень во­
ды достигает 36 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой
такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого? Ответ выразите
в сантиметрах.
3.5.98. Объём первого цилиндра равен 72 см3. У второго цилиндра высота в 3 раза больше,
а радиус основания — в 4 раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра. Ответ
дайте в кубических сантиметрах.
3.5.99. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире.
Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
3.5.100. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости до­
стигает высоты. Объём жидкости равен 45 мл. Сколько миллилит­
ров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
3.5.101. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости до-
стигает — высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Сколько миллилит-
О
ров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
3.5.102. Во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в четыре раза?
3.5.103. Во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в пять раза?

5.5.16. Прямоугольник со сторонами, равными 3 и 4, перегнули по диагонали, причём по­
луплоскости полученных прямоугольных треугольников образовали двугранный угол, равный
60°. Найдите расстояние между вершинами прямоугольника, не лежащими на диагонали сгиба.
5.5.17. В основании прямой призмы лежит трапеция, острые углы которой равны 60°. Бо­
ковая сторона и меньшее основание трапеции равны соответственно 8 и 6. Через боковую сто­
рону трапеции нижнего основания и вершину большего основания трапеции верхнего основа­
ния проведено сечение плоскостью, образующего с плоскостью нижнего основания угол в 30°.
Найдите площадь сечения.
5.5.18. В кубе ABCDA1B iClD 1 все рёбра равны 4. На его ребре ВВХ отмечена точка К так,
что КВ - 3. Через точки К и Сх проведена плоскость <у, параллельная прямой B D X.
а) Докажите, что А ХР = РВХ = 2:1, где Р — точка пересечения плоскости а с ребром А ХВ Х.
б) Найдите угол наклона плоскости <у к плоскости грани ВВХСХС.
5.5.19. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а боко­
вое ребро SA равно 8. Точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость и
содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость о* делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точ­
ки С.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием — сечение
пирамиды SABC плоскостью а.
5.5.20. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боко­
вое ребро SA равно 4. Точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость и
содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость с* делит медиану основания СЕ в отношении 5:1, считая от точ­
ки С.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью <у.
5.5.21. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а боко­
вое ребро SA равно 13. Точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость су
содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость су делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точ­
ки С.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью су.
5.5.22. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со
сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = ]/2Г, SB = У&Г,
SD = / 5 7 .
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
5.5.23. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со
сторонами А В = 4 и ВС = 3. Длины боковых рёбер пирамиды SA = /Т Т , SB = 3 ]/7 ,
SD = 2 / 7 .
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью A SB.
5.5.24. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со
сторонами АВ = 4 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 3, SB = 5, SD = 3 ]/5 \
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBC.
86
5.6. Арифметика и алгебра
5.6.1. Число умножили на сумму его цифр и получили 10530. Найдите это число.
5.6.2. Произведение числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, рав­
но 5848. Найдите эти числа.
5.6.3. Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно крат­
но каждому из них, уменьшенному на 1? Найдите все возможные значения этого произведения.
5.6.4. Решите уравнение в натуральных числах:
X + у = х 2 — ху + у 2.
5.6.5. Найдите все возрастающие конечные арифметические прогрессии, которые состоят
из простых чисел и у которых количество членов больше, чем разность прогрессии.
5.6.6. Каждое из чисел 2, 3,..., 7 умножают на каждое из чисел 13, 14,..., 21 и перед каждым
из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего
все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наиболь­
шую сумму можно получить в итоге?
5.6.7. Перед каждым из чисел 14, 15, ... , 20 и 6, 7, ... , 10 произвольным образом ставят знак
плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каж­
дое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складыва­
ют. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
5.6.8. Найдите все пары натуральных чисел а и Ь, удовлетворяющие равенству ab = аь + 23
(в левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа а
перед десятичной записью числа b).
5.6.9. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-
то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более
2
от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более — от
общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе
было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно
известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе
без дополнительного условия пунктов а и б?
5.6.10. Моток верёвки режут без остатка на куски длиной не меньше 115 см, но не больше
120 см (назовем такие куски стандартными).
а) Некоторый моток верёвки разрезали на 23 стандартных куска, среди которых есть куски
разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы
разрезать тот же моток верёвки?
б) Найдите такое наименьшее число /, что любой моток верёвки, длина которого больше / см,
можно разрезать на стандартные куски.
5.6.11. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам
некоторого отдела на общую сумму 600000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое
число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи
и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40000 рублей, а
остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при
любом распределении размеров премий?
87
5.6.12. На доске написали несколько необязательно различных двузначных натуральных
чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом
числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 ра­
за больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
5.6.13. На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое
из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо
каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые
после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но
меньше 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые оста­
лись на доске.
5.6.14. На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое
из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске напи­
сали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равны­
ми 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли сред­
нее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наи­
большее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
5.6.15. Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое
неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 бал­
лов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участ­
никам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, пони­
зился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, пони­
зился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл
участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил
75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдав­
ших тест — 79. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
5.6.16. а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз
больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз боль­
ше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы
цифр этого числа.
5.6.17. Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треуголь­
ника.
Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного
треугольника.
а) Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни
одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти
три отличных тройки?
в) Даны 10 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество
отличных троек могло оказаться среди них?
88
5.6.18. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой
группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в
каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в груп­
пах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних
арифметических.
5.7. Экономические задачи
5.7.1. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах произво­
дятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, использу­
ется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в
первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 31 еди­
ниц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 ча­
сов в неделю, то за эту неделю они производят 41 единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.
Григорий готов выделять 5000000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наиболь­
шее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
5.7.2. Зависимость объёма Q (в шт) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.)
выражается формулой Q = 1500 — Р, 1000 < Р < 15000. Доход от продажи товара составляет
PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000 Q + 5000000 рублей.
Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь при­
влечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако её прибыль не
изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наи­
большей прибыли?
5.7.3. Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед.
продукции на таком заводе равны 0,5дг2 + х + 7 млн рублей в год. Если продукцию завода про­
дать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит
рх — (0,5х2 + х + 1). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком ко­
личестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство
завода окупится не более чем за 3 года?
5.7.4. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед.
продукции на таком заводе равны 0,5х2 + 2х + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода про­
дать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит
рх — (ОДг2 + 2х+ 6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком
количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строитель­
ство завода окупится не более чем за 3 года?
5.7.5. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок
(целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен, быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль пре­
дыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший
годовой платёж составит 9 млн рублей?
5.7.6. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок
(целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль
предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший
годовой платёж составит 1,25 млн рублей?
89
5.7.7. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей на некоторый
срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в. июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль пре­
дыдущего года.
На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные вы­
платы были не более 350000 рублей?
5.7.8. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок
(целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль пре­
дыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его
полного погашения составит 38 млн рублей?
5.7.9. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет.
Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на г% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль пре­
дыдущего года.
Найдите г, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более
1,4 млн рублей, а наименьший — не менее 0,6 млн рублей.
5.7.10. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет.
Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на г% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль
предыдущего года.
Найдите г, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более
1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей.
5.7.11. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата
таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на г% по сравнению с концом предыдущего ме­
сяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е
число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы,
взятой в кредит. Найдите г.
5.7.12. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата
таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего ме­
сяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е
число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погаше­
ния равнялась 1 млн рублей?

Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 520 рублей. Сколько руб­
лей стоил товар до распродажи?
Ответ:____________________
4~~| Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстоя­
ние 5 по формуле s = nl, где п число шагов, / — длина шага. Какое расстояние прошёл
человек, если / = 50 см, п = 1300? Ответ дайте в метрах.
Ответ:____________________
5~| Найдите значение выражения log52,5 + log550.
Ответ:_______ ____________
б | В среднем за день во время конференции расходуется 70 пакетиков чая. Конференция
длится 7 дней. В пачке чая 50 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хва­
тит на все дни конференции?
Ответ:
7 | Найдите корень уравнения х 2 = 2х. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе
укажите больший из них.
Ответ:
8 | Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора
и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры 3,5 м
на 3,5 м, вторая комната — 3,5 м на 4 м, санузел
имеет размеры 1,5 м на 1,5 м, длина коридора 11м.
Найдите площадь первой комнаты (в квадратных
метрах).

10 I На олимпиаде по обществознанию участников рассаживают по трём аудиториям. В пер­
вых двух по 140 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе.
При подсчёте выяснилось, что всего было 350 участников. Найдите вероятность того, что
случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

12 Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать
поездом, а можно— на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 990 рублей.
Автомобиль расходует И литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе
равно 700 км, а цена бензина — 30 рублей за литр. Сколько рублей придётся заплатить за
наиболее дешёвую поездку на троих?

 18 | В классе учится 30 человек, из них 20 человек посещают кружок по биологии, а 16 — кру­
жок по географии. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
1) Не найдётся 17 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.
2) Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка.
3) Каждый ученик из этого класса посещает оба кружка.
4) Если ученик из этого класса ходит на кружок по биологии, то он обязательно ходит на
кружок по географии.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других до­
полнительных символов.
Ответ:____________________
| 19 | Вычеркните в числе 24665521 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22.
В ответе укажите ровно одно получившееся число.
Ответ:____________________
| 20 | Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а
этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком
этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме на­
чинаются с единицы.)
Ответ:

3 | Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы
Мария Константиновна получила 4350 рублей. Сколько рублей составляет заработная
плата Марии Константиновны?
Ответ:___________________ _
---- 1 U21 4 Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле А = — где U — напря-
жение (в вольтах), R — сопротивление (в омах), t — время (в секундах). Пользуясь этой
формулой, найдите А (в джоулях), если £ = 1 5 с, £ / = 6 В и / ? = 9 Ом.
Ответ: ______
2 I Найдите значение выражения
5 Найдите значение выражения - / Ж
У? '
Ответ:
б | Сырок стоит 17 рублей. Какое наибольшее число сырков можно купить на 130 рублей?
Ответ: _________
7 | Найдите корень уравнения log3 (2х + 4) — log32 = log3 5.
Ответ: ______
8 I Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторо­
нами 25 метров и 40 метров. Хозяин планирует обнести
его забором и разделить таким же забором на две части,
одна из которых имеет форму квадрата. Найдите общую
длину забора в метрах.
Ответ: 

10 I Фабрика выпускает сумки. В среднем из 150 сумок 3 сумки имеют скрытый дефект. Най­
дите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется с дефектом.
Ответ:____________________
11 I На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте
с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали —
количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности
жирные точки на рисунке соединены линиями. Определите по рисунку наибольшее суточ­
ное количество осадков за данный период. Ответ дайте в миллиметрах.

I Однородный шар диаметром 4 см имеет массу 128 граммов.
Чему равна масса шара диаметром 7 см, изготовленного из
того же материала? Ответ дайте в граммах.

18 | Некоторые сотрудники фирмы летом 2014 года отдыхали в Крыму, а некоторые — в Сочи.
Все сотрудники, которые отдыхали в Сочи, не отдыхали в Крыму. Выберите утверждения,
которые верны при указанных условиях.
1) Среди сотрудников этой фирмы, которые не отдыхали в Сочи летом 2014 года, есть хо­
тя бы один, который отдыхал в Крыму.
2) Каждый сотрудник этой фирмы отдыхал летом 2014 года в Крыму.
3) Нет ни одного сотрудника этой фирмы, который летом 2014 года отдыхал и в Крыму,
и в Сочи.
4) Если сотрудник этой фирмы летом 2014 года отдыхал в Крыму, то он отдыхал и в Сочи.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других до­
полнительных символов.
* Ответ: _______
19 I Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого равно 24. В отве­
те укажите какое-нибудь одно такое число.
Ответ:
20 Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число
квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на
этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме,
если всего в нём 110 квартир?


Категория: Математика | Добавил: Админ (06.03.2016)
Просмотров: | Теги: Трепалин, семенов, Ященко | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar