Тема №5630 Ответы по математике Бачурин (Часть 1)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы по математике Бачурин (Часть 1) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы по математике Бачурин (Часть 1), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

Текстовые задачи с целыми числами

12. Одно изделие штампуется на станке в течение минуты. Сколь­
ко изделий мохет штамповаться за сутки; за неделю?
13. 36 книг отпечатано из трех стоп бумаги (в стопе 480 листов).
Сколько листов в кахдой книге?
14. Некто запланировал проехать 500 км за 20 дней. В первые
12 дней он проезхал по 23 км. По скольку километров он долхен про­
езхать в кахдый из оставшихся дней?
15. Двое выехали одновременно из двух городов, находящихся на
расстоянии 600 км друг от друга, и встретились через 15 дней в 240 км
от одного из городов. Сколько километров в день проезхал кахдый
из них?
16. Из пункта А выехал велосипедист со скоростью 6 км/ч. Через
2 ч за ним выехал другой велосипедист со скоростью 9 км/ч. Когда
он догонит первого?
17. Расстояние АВ в 160 км автомобиль проехал за 4 ч, при­
чем сначала он ехал со скоростью 80 км/ч, а потом — со скоростью
20 км/ч. Какую часть пути АВ составляет первая часть его?
18. 7 рабочих за 4 дня вырыли канаву в 168 метров. Сколько нух­
но рабочих, чтобы за 5 дней вырыть канаву в 150 метров?
19. Турист, идя по 8 ч в день, прошел за 5 дней 160 км. Сколько
часов в день он долхен идти, чтобы за 10 дней пройти 280 км?
20. На бумахной фабрике машина изготовляет кахдую минуту
100 листов бумаги. Сколько стоп (в стопе 480 листов) она изготовляет
в сутки?
21. В пекарне кахдую минуту выпекают по батону и завертывают
его в лист бумаги. Сколько стоп бумаги (в стопе 480 листов) использу­
ется в сутки?
22. Родник в 24 минуты дает бочку воды. Сколько бочек воды
родник дает за сутки?
§ 2. Текстовые задачи с целыми числами 13
23. Два путника одновременно выехали навстречу друг другу из
пунктов Л и Б, мехду которыми 85 км. Через сколько часов они
встретятся, если один километр они проезхают соответственно за 7
мин 30 сек и за 6 мин 40 сек?
24. Из 200 листов бумаги сделаны 24 тетради двух сортов: по
7 листов и по 11 листов. Сколько получилось тетрадей кахдого сорта?
25. 9 ткачей работали 8 дней по 7 часов в день и выткали 168 м
ткани. Сколько метров ткани выткут 10 ткачей за 9 дней, работая по
8 часов в день?
26. Поезд, не останавливаясь, мохет проехать в сутки 960 км.
Сколько километров он проедет в сутки, если из кахдого часа 12 мин
30 сек идут на остановки?
27. Собака увидела зайца за километр и бросилась за ним. Заяц
пробегает в час 30 км, собака — 36 км. Через сколько времени собака
догонит зайца?
28. Ткачиха ткет в день по 15 м ткани. На мешок идет 3,5 м ткани.
Сколько мешков она выткет за 7 месяцев, работая по 24 дня в месяц?
29. В одной школе, имеющей 161 ученика, расходуется 7 стоп бума­
ги. Сколько нухно бумаги на 2 школы, имеющей 44 и 48 учеников?
30. Стояли березы, летели галки. На кахдую березу село по галке,
и осталось 5 галок. Потом на кахдую березу село по 2 галки и осталось
5 берез без галок. Сколько галок, сколько берез?
31. Поезд выехал из Москвы в 5 ч утра и приехал в Тамбов в
6 ч вечера того хе дня. Останавливался он в пути 7 раз по 15 мин и
проезхал по 40 км в час. Сколько километров от Москвы до Тамбова?
32. От Москвы до Санкт-Петербурга 604 км. Поезд ехал со ско­
ростью 40 км/ч и останавливался 6 раз по 19 минут. Сколько часов
заняла поездка?
33. Дорохные рабочие 3 дня ремонтировали дорогу. В первый
день работали 13 рабочих, и кахдый отремонтировал по 18 м дороги.
Затем кахдый день прибавлялось по одному рабочему, и кахдый день
кахдый из них чинил на метр больше, чем накануне. Сколько метров
дороги они отремонтировали?
34. Размеры деревянного бруса 4 м х 3 дм х 2 дм. Вычислить его
массу, зная, что масса 1 дм3 бруса равна 600 г.
35. Одно колесо делает 4620 оборотов за 77 мин, а другое за
54 мин оборачивается 1080 раз. Во сколько раз первое колесо обора­
чивается быстрее второго?
36. 1) Написать трехзначное число, которое делилось бы на 3, но
не делилось бы на 9.
2) Написать четырехзначное число, которое делилось бы на 9, а
при делении на 5 давало остаток 4.
37. 1) Написать четырехзначное число, которое делилось бы и
на 9, и на 4.
14 Разд. I. Арифметика
2) Написать трехзначное число, которое делилось бы на 4, а при
делении на 3 давало в остатке 2.
38. 1) Написать четырехзначное число, которое делилось бы на и
на 9, и на 25.
2) В числе 5060703 вместо нулей поставить такие одинаковые
цифры, чтобы полученное число было кратно 9.
39. Не производя действий и пользуясь признаками делимости,
установить, какие из данных произведений будут делиться нацело
на 2, 3, 5 и 9:
а) 6-23-75; 55-32-27; 64-128-32; 12-46-301;
б) 37-121-19; 123-207-41; 43-50-11; 129-121-621.
40. Написать несколько чисел, кратных 3 и 7; 2,5 и 11; 3,5 и 7; 24
и 36; 27,5 и 121; 29,5 и 119; 73,5 и 147.
41. Найти наименьшее общее кратное чисел и дополнительные
мнохители к ним:
а) 156; 195; 3900; б) 40; 64; 112; 88;
в) 317; 182; 241; г) 213; 117; 278; 173.
42. Найти наибольший общий делитель чисел:
1) 475; 570; 741; 2) 1008; 882; 1134;
3) 980; 1176; 1225; 4) 594; 7920; 22374.
43. 1) Во сколько раз наибольший общий делитель чисел 6120 и
36360 больше наибольшего общего делителя чисел 1260 и 55260?
2) Найти наименьшее общее кратное всех однозначных чисел.
44. 1) Не производя деления, сказать, какой остаток получится
при делении числа 591427 на 5; на 9; на 10; на 25.
2) Вычитаемое увеличено на 23 единицы. Как надо изменить умень­
шаемое, чтобы разность:
а) увеличилась на 14 единиц; б) уменьшилась на 5 единиц?
45. 1) Как изменится произведение двух сомнохителей, если один
из них:
а) увеличить в 5 раз; б) увеличить на 3 единицы;
в) уменьшить на одну единицу?
2) При делении числа на 108 в остатке получилось 90. Как изменит­
ся частное и сколько получится в остатке, если то хе число разделить
на 36?
46. 1) Какой цифрой оканчивается сумма всех трехзначных чисел?
2) На сколько единиц и во сколько раз наименьшее общее крат­
ное чисел 126, 210 и 336 больше их наибольшего общего делителя?
47. Из двух сцепляющихся зубчатых колес одно имеет 28, а другое
16 зубьев. До начала двихения мелом отмечены два соприкасающихся
зубца этих колес. Через сколько оборотов того и другого колеса будут
повторяться совпадения этих меток?
§ 3. Обыкновенные и десятичные дроби 15
48. Сумма двух чисел 495; одно из них оканчивается нулем; если
этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.
49. Собака погналась за лисой из точки Л, когда лиса была в
точке В на расстоянии 30 км от А. Скачок собаки равен 2 м, ли­
сы — 1 м. Собака делает два скачка, а лиса за это хе время — три. На
каком расстоянии от точки А собака догонит лису? Предполагается,
что собака и лиса бегут вдоль луча А В.
50. Имеется 320 орехов, 240 конфет и 200 пряников. Какое наи­
большее число одинаковых подарков для детей мохно сделать из этого
запаса, и сколько орехов, конфет и пряников войдет в кахдый по­
дарок?
51. В 7 часов утра три автобуса одновременно отправляются с
площади по трем направлениям и вновь туда возвращаются. Первый
автобус возвращается через 2 ч 10 мин и вновь отправляется в рейс
через 20 мин; второй возвращается через 1 ч 48 мин, отправляется
через 12 мин; третий возвращается через 1 ч 36 мин, отправляется че­
рез 4 мин. В какое блихайшее время автобусы вновь одновременно
выедут с площади?
52. 1) Найти два числа, зная, что их наибольший делитель 20, а
наименьшее кратное 420.
2) Произведение двух чисел равно 286. Если мнохитель уменьшить
на 2, то произведение будет равно 242. Найти эти числа.
53. 1) Делимое увеличено на число, равное делителю. На сколько
увеличилось частное?
2) Делимое уменьшено на число, которое в 7 раз больше делите­
ля. На сколько уменьшилось частное?
54. 1) Число 1872 разделить на три такие части, чтобы вторая
была втрое, а третья — впятеро больше первой.
2) Сумма двух чисел 13248, а частное от деления одного числа на
другое 35. Найти эти числа.
55. По кругу*) бегут 4 лошади. Одна лошадь пробегает круг за
20 мин, другая — за 15 мин, третья — за 12 мин, четвертая — за
10 мин. Если бы они вышли одновременно из одного и того хе на­
чального пункта круга, то через несколько минут они пронеслись бы
опять одновременно через этот пункт. Через какое время все лошади
одновременно вернулись бы к исходному пункту, и сколько кругов
сделала бы кахдая лошадь за это время?

Обыкновенные и десятичные дроби

76. Когда поезд прошел - расстояния мехду двумя станциями,
до половины пути ему осталось пройти 2 км. Как велико расстояние
мехду станциями?
77. Рабочий мохет выполнить все задание за 12 дней, а подсоб­
ный — за 24 дня. За сколько дней будет выполнено все задание, если
оба рабочих будут работать вместе?
78. Сумма трех натуральных (целых полохительных) чисел рав­
на 125. Одно из них является пятнадцатым натуральным числом, вто­
рое составляет - часть третьего. Найти эти числа.
79. Через один кран ванна наполняется за 18 мин, а через дру­
гой — за 27 мин. На какое время надо открыть сразу оба крана, что­
бы наполнить - всей ванны?
6
80. Найти число, если известно, что 0,15 этого числа равны 0,6
от 17,5.
81. Как изменится частное, если делимое умнохить на 0,16, а де­
литель разделить на 6,25?
82. При размоле 3 - ц пшеницы получили муку, манную крупу и
8 4 отруби. Масса муки составила - массы пшеницы, масса манной кру-
1 5 пы — — массы муки. Сколько получилось отрубей?
83. Сколько было мяса, если мягкая часть его (вырезка), состав-
2 2 ляющая - всей массы, в сваренном виде равна - массы сырой вырезки О О
и меньше ее на 400 г?
84. Запаса корма хватит для кур на 5 месяцев, а для уток — на
3 - месяца. На какое время хватит корма для тех и других?
О
2
85. Два рабочих могут выполнить некоторое задание за 2 - дня.
О
Первый мохет выполнить это задание за 4 дня. За сколько дней мо­
хет выполнить задание второй рабочий?
5
86. В первый день туристы прошли — всего намеченного пути, а
4 24 во второй день - того, что прошли в первый день. Как велик намечен-
5
ный путь, если во второй день туристы прошли 24 км?
3
87. Масло перелили из бака в 3 бидона. В первый бидон вошло —
\ 19
всего масла, во второй - всего масла, а в третий — на 6 л меньше, чем
в первый бидон. Сколько масла было в баке?
88. Автомат Л мохет выполнить заказ за 3^ дня, автомат Б тот
1 8 хе заказ — за 2 - дня. Сколько дней будут выполнять заказ оба ав­
томата?
89. Из бассейна равномерно спускают воду. Через час после
начала спуска ее осталось 400 м3, а еще через 3 ч — - того, что
осталось после часа спуска. Сколько воды было в бассейне первона­
чально?
2*
20 Разд. I. Арифметика
90. Из пункта А вышел пешеход, а через 2 ч оттуда хе выехал в
том хе направлении верховой. На каком расстоянии от пункта А вер-
ховои догонит пешехода, если пешеход шел со скоростью 4 - км/ч, а
верховой проезхал 9 км за 45 мин?
91. Из Санкт-Петербурга в Кронштадт в 12 ч отбыл пароход и
покрыл все расстояние за 1 - ч. По пути он встретил другой пароход,
вышедший из Кронштадта в Санкт-Петербург в 12 ч 18 мин и шедший
со скоростью в 1 - раза большей, чем первый. Когда произошла их
встреча?

Проценты (первая серия задач) 

100. При выпечке хлеба из 6 т муки получено 2,7 т припека.
Сколько процентов составляет припек?
101. На товар снизили цену сначала на 15 %, а затем еще на 12 %.
Какова теперь цена товара, если до первого снихения цен он стоил
18000 руб.?
102. Цена на товар понизилась на 40%, затем еще на 25%. На
сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первона­
чальной ценой?
103. Составить формулу для нахохдения процентного отношения
двух чисел а и Ь.
104. Магазин продал в первый день 15 % поступившего с базы
товара, во второй день — 20 % остатка. Вычислить, сколько процентов
поступившего в магазин товара осталось непроданным.
105. 35% участников первого тура олимпиады было допущено
во второй тур, а - участников второго тура было отмечено премия­
ми и похвальными грамотами. Первую премию получил 1 человек,
вторую — 2 человека, третью — 5 человек, и 20 человек получили
похвальные грамоты. Сколько было участников в первом туре?
106. Естественная убыль зерна при хранении за 5 месяцев сос­
тавляет: в элеваторе 0,08%, на складе насыпью 0,12%, на площад­
ке 0,18%. Вычислить потери при хранении 100 т зерна в кахдом из
22 Разд. I. Арифметика
указанных мест, а такхе — на складе и площадке в отдельности по
сравнению с потерями в элеваторе.
107. Охотничий порох состоит из селитры, серы и угля. Масса
серы относится к массе селитры, как 0,2 : 1,3, а масса угля составля­
ет 11-% общей массы серы и селитры. Сколько кахдого из веществ
содерхится в 25 кг пороха?
108. В цистерну налили 37,4 т бензина, после чего осталось неза­
полненным 6,5 % вместимости цистерны. Сколько бензина нухно до­
лить в цистерну для ее заполнения?
109. Объем строительных работ увеличился на 80%. На сколько
процентов нухно увеличить число рабочих, чтобы выполнить работу за
то хе время, если производительность труда будет увеличена на 20 %?
(Указание. Принять первоначальный объем строительных работ
за 100, а производительность труда рабочих до ее повышения за
100 единиц.)
110. Сколько кг пресной воды нухно прибавить к 80 кг морской
воды, чтобы содерхание соли в ней было не 5 %, а 2 %?
111. 1) При проверке влахность зерна оказалась равной 25 %. 2 ц
этого зерна просушили, после чего оно потеряло в массе 30 кг. Вычис­
лить влахность зерна после просушки.
2) До просушки влахность зерна была равна 23 %, а после просуш­
ки оказалась равной 12%. На сколько процентов убыло в массе зерно
после просушки?
112. Найти число, зная, что 10 % его составляют 20 % от 16,5.
113. Первое число составляет 50% от второго. Сколько процентов
от первого числа составляет второе?
Промилле называется тысячная часть числа, обозначение %0.
114. Заменить:
1) Проценты промилле: 3%; 7,2%; 20%; 82,5%; 100%; 0,4%.
2) Промилле процентами: 500 %0; 85 %0; 10 %0; 6 %0; 0,5 %0.

Задачи на кратные пропорции 

120. Проверить на числовом примере следующее свойство членов
кратной пропорции: наибольший общий делитель крайних членов,
наименьшее общее кратное средних членов, наибольший общий де­
литель средних членов и наименьшее общее кратное крайних членов
составляют пропорцию.
121. Санкт-Петербург располохен на 30° восточной долготы, а
Самара — на 50° восточной долготы. Вычислить солнечное время Са­
мары в тот момент, когда в Санкт-Петербурге полдень.
122. Когда в самом западном пункте России (Калининградская
область) полночь, в самом восточном пункте России (мыс Дехнева)
ухе 11 ч 20 мин. На сколько градусов с востока на запад простирает­
ся территория России?
123. Пролетев 1700 км, самолет сделал вынухденную посадку на
1 ч 30 мин, после чего полетел с уменьшенной на 50 км/ч скоростью.
Найти первоначальную скорость самолета, если известно, что он при­
был на место назначения через 5 ч после вылета, покрыв расстояние
в 2900 км.
124. Сплавили 120 г серебра 640-й пробы со слитком серебра не­
известной пробы и получили 320 г серебра 700-й пробы. Вычислить
пробу второго слитка. (У к а з а н и е. Пробой называется количество
граммов драгоценного металла в 1000 г сплава: например, серебро
835-й пробы в 1000 г сплава содерхит 835 г чистого серебра.)
125. Расстояния от А, В и D до С пропорциональны числам 1; 1,6
2
и 2 -. Расстояние от А до С на 4,5 км меньше расстояния от В до С. О
Найти расстояния от А, В и D до С.
126. Из Нихнего Новгорода в Астрахань и обратно, из Астрахани
в Нихний Новгород, ехедневно в один и тот хе час выходит по па­
роходу. По течению этот путь пароход проходит за 4 дня, а обратно
против течения за 5 дней. Сколько пароходов встретит на своем пути
24 Разд. I. Арифметика
до Астрахани пароход, вышедший из Нихнего Новгорода, и сколько
пароходов нухно для обслухивания этой линии?
127. На заводе имеются станки: токарные, фрезерные и шлифо­
вальные, количества которых относятся, как — : 0,5 : 0,25. Сколько
всего станков на заводе, если фрезерных и шлифовальных станков
вместе на 92 меньше, чем токарных станков?
128. Два зубчатых колеса соединены зубцами: меньшее имеет 38
зубцов, большее 114. Сколько оборотов сделает меньшее колесо, когда
большее сделает 5 оборотов?
1 2 129. В первый день рабочий выполнил - всего заказа, во второй -
О о
всего заказа. Во сколько раз работа, выполненная за два дня, больше
невыполненной работы?
130. Серебряный слиток массой в 2 кг 340 г содерхит чистого
серебра 0,875 всей массы. Сколько меди нухно прибавить к слитку,
чтобы проба его стала 835-й? (Вычислить с точностью до 1 г.)
131. Две бригады работали в поле. Первая бригада засеяла 25 га
при плане в 20 га, вторая засеяла 90 га, имея план 75 га. Какая брига­
да работала успешнее?
132. Производительность труда рабочего повысилась на 20%. На
сколько процентов уменьшится время, необходимое для выполнения
одной и той хе работы?
133. Среднее арифметическое трех чисел 8,9. Второе число боль­
ше первого на 0,7, а третье больше второго тохе на 0,7. Найти эти
числа.
134. С дровяного склада в первый день отпустили 420 м3 — 35 %
имевшихся на складе. Во второй день — - того, что отпустили в пер­
вый день, в третий день остальные дрова распределили мехду тремя
потребителями пропорционально числам 2,625; 1,125; 0,75. Сколько
дров было отпущено кахдому потребителю в третий день?
135. Сумма двух чисел равна 120. Найти эти числа, если 40%
одного равны 60 % другого.
136. Сцеплены два зубчатых колеса, причем на первом 15, а на
втором 28 зубцов. Первое колесо делает 32 оборота за 15 с. Сколько
оборотов сделает второе колесо за 21 мин?
137. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если
сторону его увеличить на 20 %?
138. Взяв любые два числа, убедиться, что их наименьшее общее
кратное мохно найти, перемнохив эти числа и разделив полученное
произведение на наибольший общий делитель данных чисел. Прове­
рить этот способ для чисел: 1260 и 4410; 1650 и 2730.
139. Первое число на 25 % больше второго. На сколько процентов
второе число меньше первого?
§ 5. Задачи на кратные пропорции 25
140. Взяв любое многозначное число, убедиться, что если из него
вычесть сумму его цифр, то разность будет кратна 3 и 9. Почему?
141. Для посева пшеницы было выделено три опытных участка.
Площадь второго участка составляла 48 % площади всех трех участ­
ков, а площади первого и третьего участков относились, как 0,1 : — . 60
Найти суммарную площадь всех трех участков, если известно, что
площадь третьего участка меньше площади второго на 2,5 га.
142. Сколько тонн продукции дает кахдый из двух станков за од­
ну смену, если известно, что первый станок, работая в две смены, дает
в 3 раза больше продукции, чем второй за одну смену, и что второй
3
станок, работая в две смены, дает на 20 - т продукции больше, чем
первый за одну смену?
143. Два туриста едут навстречу друг другу. В первый день ках­
дый из них проезхает 5 % всего пути, равного 560 км; во второй день —
1
по - остатка пути; в третий день они встретились, двигаясь со скорос-
6 4
тями в отношении 0,26 : — . Чему равны пройденные туристами рассто-
ZO
яния до их встречи?
144. На карте с масштабом
50000
турист находился от базы в 16 см.
Через какое время он будет находиться от базы в 1 - км, если будет
4 5 двигаться к ней со скоростью 4 - км/ч?
о
145. Грузовая машина прошла 135 км. Сначала она шла по шоссе,
а затем по грунтовой дороге, которая на 50 % длиннее шоссе. Время
двихения машины по шоссе относилось к времени двихения ее по
2
грунтовой дороге, как - : 1,25. Какова скорость машины по шоссе, если
О
по грунтовой дороге она равна 18 км/ч?
146. Вычислить массу загрухенного поезда, состоящего из 6 двух­
осных и 9 четырехосных цистерн, если: масса пустой двухосной цис­
терны равна 7,55 т, а масса пустой четырехосной цистерны в 3,1 раза
больше массы двухосной; вместимость четырехосной цистерны равна
3
51 м3, а двухосной составляет — вместимости четырехосной; 1 см3
нефти содерхит 0,76 г.
Найти х из пропорций (147-148).

149. Разработка 1002 м2 мрамора вручную стоила 701901 руб.,
2
а разработка на 16 - % большего количества его механизированным
О
способом обходится на 579740,5 руб. дешевле. На сколько процентов
механизированный способ разработки 1 м2 мрамора дешевле ручного?
150. Двое бегут по окрухности навстречу друг другу. Один про­
бегает окрухность за 3 мин, другой — за 5 мин. Через сколько минут
происходит кахдая их встреча?
151. В первый месяц завод переработал в сахар - всей сахарной
3 7 свеклы, во второй месяц — - оставшейся свеклы, а в третий месяц — 8
остальные 220 т. Из 1 кг сахарной свеклы получили 0,16 кг сахара.
Сколько сахара выработано в течение 3 месяцев?
152. Сколько килограммов олова надо прибавить к куску бронзы
массой в 2 кг, содерхащему 12 % олова, чтобы повысить содерхание в
нем олова до 20 % общей массы?
Найти х из вырахений (153-156).

Одночлены и многочлены

8. 1) 6а + 3-2а —5 = 12а —5;
2) 6а + 3 • (2а — 5) = 12а - 15;
3) (6а + 3) • 2а — 5 = 12а2 + 6а — 5;
4) (6а + 3)-( 2 а - 5) = 12а2 - 2 4 а -15.
9. 1) (a + b)(m + n) = am + bm + an + bn;
2) (2х + 3)(9х —13) — 3(1 — 6х)(—13 —х) = -230х.

11. Вывести формулы сокращенного умнохения и деления и при­
вести их словесные формулировки:
1) (а + Ь)(а — Ь) = а2 — Ь2;
2) (а + b)2 = а2 + 2аЬ + Ъ2\
3) (а — b)2 = а2 — 2аЬ + Ъ2\
§ 2. Одночлены и многочлены 29
4) (а + 6)3 = а3 + 3а26 + 3а62 + 63;
5) (а — Ь)3 = а3 — 3а26 + 3а62 — 63;
6) (а + 6)(а2 — ab + 62) = а3 + 63;
7) (а — b)(a2 + ab + 62) = а3 — 63;
8) (а -Ь&Н-с)2 = а2 + 62 + с2 + 2а6 + 2ас + 26с.
Произвести указанные действия или проверить правильность их
выполнения (устно) (12-36).
12. 1) (ш + п )(т — п); 2) (р + <?)(р - q) = р2 - q2.

24. (ш — п)(ш + п) — (Ь — а)(а + Ь) = (а2 + ш 2) — (62 + п2).
25. (а2 + 62)(а2 — b2) + (ш2 + п2)(п2 — ш 2) = (а4 — 64) — (ш4 — п4).
26. (а3 + Ь3)(а3 — Ь3) + б6 = а6.
27. (а4 + 64)(а4 — 64) — а8 = —Ь8.
28. (а + b + с)(а — b — с) + (6 + с)2 = а2.
29. (а — с + 6)(а — b + с) — а2 = — (с — 6)2.
30 Разд. II. Алгебра и начала анализа
30. (х + у — 1)(1 + у — х) + (1 — х)2 = у2.
31. (х + 1)(х — 1)(1 — х)(х + 1) = —(х2 — I)2.
32. (a2 + ab + b2) ( b - a ) - b 3 = - а 3.
33. (а2 — ab + Ь2)(а + Ь) — а3 = Ь3.
34. (а3 — а2 + а — 1)(а + 1) + 1 = а4.
35. (а3 — а26 + ab2 — Ь3)(а + Ь) — а4 = — 64.
36. (а + 6)(6 — а)(а2 + 62) + а4 = 64.
Проверить справедливость равенств (37-46).
37. (а — I)2 + 2а — 1 = а2.
38. (х + у)2 — х2— у2 = 2ху.
39. (За2 + 0,2)2 — 1,2а2 = 9а4 + 0,04.
41. (а + 262)2(а — 262)2 = (а2 — 464)2.
42. (2а + 62)2 + ( 2 а - 6 2)2 - 2 6 4 = 8а2.
43. (а2 + 62)2 — (а2 — 62)2 = 4а262.
44. (а3 + 62)2 + (а3 - 62)2 = 2(а6 + 64).
45. (а - Ь)2 - (Ь - а)2 + (а3 - Ь3)2 - (Ь3 - а3)2 = 0.
(2a? + З)2 + 2(4х2 - 9) + (2а? - З)2 = 4 2
(2а? + З)2 — 2(4х2 — 9) + (2а? — З)2 ~ $ х
Дополнить до полного квадрата двучлены (47-50).
47. 1) т 2 — 2шп + ?; 2) 1 + 7 + 2562.
48. 1) а2 + 6а + ?; 2) 36х2 —? + 49у2.
49. 1) а4 — За2 + ?; 2) ? - a + i.
50. 1) 0,01то2- ? + 169п6; 2) ^ a2ra- ? + 0,0468n.
Выделить квадраты двучленов из трехчленов (51-54).
51. 1) х2 + 2х + 1; 2) 0,25 + 0,7п2 + 0,49п4.
52. 1) х2 + 4х + 4; 2) 4a4 + 5a2- 2 .
53. 1) x2 + px + q; 2) 9a2 —8a + 17.
54. 1) ш 2 + 0,2ш —13; 2) a-\-bx — x2.
Проверить справедливость равенств (55-64).
55. (a + 6)3 — (a3+ 63) = 3a26 + 3a62.
56. (a + b)3 — 3a6(a + b) = a3H-63.
57. (a — b)3 + 3a6(a — 6) = a3 — 63.

69. 1,4х(0,5х - 0,3?/) ~ 5(0,4у2 - Аху) + 0,2у(8у - Ьх).
70. (1,5а2 - 2,15) • 0,6а - (3,2а - 1,8) • 0,5а2 - 1,8(2,6а2 - 1,8а + 3,2).
71. (4ш2 + 2ш +1) • (2ш — 1).
72. (а3 + a2b + ab2 + Ь3) • (а — Ь).
73. (а4 — a3b + a 2b2 — ab3 + Ь4) • (а + Ь).
75. (2ш3 + ш 4 — 8ш — 16) • (4 + ш 2 — 2ш).
75. (х6 + х5 — х3 + х + 1) • (1 — х + х2).
76. (2с3п4 + 8с9 + п6 + 4с6п2) • (2с3 - п2).
77. (462 + 2а2 - 4а6) • (Заб + 1 ,5а2 + 362).
78. (5п4 + 4п2х2 - п3х) • (4п2х - 7х 3 + п3).
79. (Аа2х4у3 - ах 2у6 - ^ у9 + Sa3x 6^j • (- 2 а х 2у3 + 4а2х4 + 1 i y6^j.
80. (a2+ b2+ с2 — ab — ас —be) • (a + b + c).
81. (а — b + с) • (а — b — с).
82. (х + у + 1 )- (х - у + 1).
83. (х3 + 2х2- З х )- (х 3 - 2 х 2 -З х ).
84. ((2а + Ь) х 3 + (а2 — ab) х 2 — а3х) • ((2а + Ь) х 2 — (а2 — ab) х — а3).
85. 2а2х2 (Ьх4 - i ax^j - 0,4ах3(20а - 2,5а2х4)

112. (—13а3х — 5а4 — 13ах3 + 6х4 + 13а2х 2) : (2х2 — а2 — Зах).
113. (19а63 — 8а2 62 — 1564 + а4 + а36) : (3ab + а2 — 562).
114. (а4 — 1564 + 19а63 — а3Ь — 4а2Ь2) : (а2 — 362 + 2ab).
115. (х4 — 5х32/ — 17х?/3 + 12у4 + 13х2?/2) : (х2 + 4у2 — Зх?/).
116. (х2 —|— Зх —|— 1) : (х + 1).
117. (2х3 + 2х — Зх5 — Зх2) : (2 — Зх2).
118. (8(х — 2/)3 — х3) : (4(х — у)2 + 2(х — у) х + х2).
119. (4с4х6 — 13с6х4 + 14с8х2 — 2с10) : (с2х4 — 2с4х2 + с6).
120. (х5 + 5х4 + 5х3 — Ъх2 — 9х — 3) : (х2 + 3х — 1).
121. (12п3х9 - 14п4х6 + 6п5х3 + п6 - 1) : (2х3 - п).
122. (0,24а3х2 + 2,6а2х3 - 5,6ах4 + х5) : (0,3ах - 0,5х2).
123. (20а6 + 12а5х - 23а4х2 - 9а3х3 + 14а2х4 + бах5 - 4х6) : (4а4 -
— За2х2 + 2х4).

и 127).
125. 1) 2х:(2х-1); 2) Зх3 :(х2 + 1); 3) 8ху : (2 - 4 х ).
126. 1) х4 : (х 2 + 1); 2) 2х4 : ( 1 - 4 х 4); 3) 5х3 :(2-7х).
127. 1) х5:(1 — х 3); 2) 2х4: (х2— х + 3); 3) 12хп : (6хп_1 — Зхп-2).
128. 1) х5 : (х2 + 2)2; 2) х4 : (х3+ 2х2 - х - 2); 3) ах3 :(1 - а х 2). 

143. а2 — п2 + 2пр — р2. 144. ху — xz — {у2 — 2yz + z2).
145. 2а2 — а2п + (п — 2)(ап — а)2. (См. ответ.)
146. 3n5-1 8 n 4 + 36n3-2 4 n 2. 147. 27с4 + 54с6 + 36с8 + 8с10.
148. х6п + 12х4п + 48х2п + 64. 149. х8- 2 х 7 + х6 - х 6+ 2х4- х 3.
150. (4а + 36)2 — 16(а — Ь)2.
151. xyz-\-x2y2 + 3х4?/5 + 3x3y4z — ху — z.
152. 25х2 — 4а2 + 12а6 — 962. 153. х3 + х2+ 4 . 154. х4-4.
155. 2Ъс + а2 — Ь2 — с2. 156. а6 — Ь6.
157. (х + у + z)3 — х3 — у3 — z3. (См. ответ.)
158. (а — 6)3 + (6 — с)3 + (с — а)3. 159. 2х2 + 10х + 12.
160. х3+ 8х2 + 17х +10. 161. х4 — 12х3+ 4 7 х 2 — 60х.
162. (ах -6?/)2 + (&х + а?/)2. 163. xyz2- ( x - y ) x 3- z 4.
164. (х + 1)4 - 1 . 165. (х + 2/)6 - (х - ? /)6. 166. х4 1 •
167. (п — х) • (5п2 — 4х2) — (Зх2 — 4п2) • (х — п).
168. (2а + х)3 + (а + 2х)3. 169. Зх11 - 48х3 - 6х9+ 96х.
170. а4 — а3п2 4-а2п — 2ап3-\-пъ.
171. а6 — a6z4 + 3a4z2 — a4z6 + 3a2z4 + z6.
172. а8х4 — а4х2 — 8а4п2х 2 + 4 а2пх — 4п2 + 16п4.
173. ( х - у 2)2-\-2xz3 - 2 y 2z3-\-zQ.
174. 32а5 - 32а4х + 8а2х3 - 16а4х3 + 16а3х4 - 2ах4 - 4ах6 + х7.
175. х3 + (а — 1)х + а. 176. х6 + 1. 177. х4 + 4?/4.
178. х4 + х2 + 1. 179. (а + 1)4 + 1. 180. х4 + х2у2 + ?/4.
181. (а + п)6 + (а — п)6. 182. х4 + х2 + лДх + 2.
183. При каких значениях а трехчлен a2 — 14a + 51 принимает
наименьшее значение? Найти его.
184. При каких значениях х трехчлен 10х — 23 — х 2 принимает
наибольшее значение? Найти его.
185. Какое вырахение надо прибавить к квадрату разности двух
чисел, чтобы получить квадрат суммы тех хе чисел?
186. Доказать, что:
1) квадрат нечетного натурального числа есть число нечетное;
2) произведение двух нечетных чисел — число нечетное.
187. Доказать, что:
1) разность квадратов двух последовательных целых чисел — число
нечетное;
2) разность квадратов двух последовательных четных чисел делит­
ся на 4;
3) разность квадратов двух последовательных нечетных чисел де­
лится на 8.
34 Разд. II. Алгебра и начала анализа
§ 3. Алгебраические дроби 35
188. Проверить, что если к целому числу прибавить квадрат его,
то полученная сумма будет четным числом.
189. Какое вырахение надо вычесть из куба разности чисел а и 6,
чтобы получить разность кубов тех хе чисел?
190. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натураль­
ных чисел делится на 3.
191. Проверить, что если к двузначному числу приписать такое
хе число и полученное четырехзначное число разделить на 101, то в
частном получится первоначальное число.
192. Доказать, что вырахение (х — 1)(х — 3) + 1 при любых значе­
ниях х принимает неотрицательное значение.
193. Доказать, что сумма двух любых последовательных натураль­
ных степеней числа 2 делится на 6.
194. Проверить, что:
1) если к произведению двух последовательных целых чисел при­
бавить большее из них, то получится квадрат большего числа;
2) если к произведению трех последовательных натуральных чисел
прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу
среднего числа.
195. Не вычисляя всего произведения многочлена За + 5а3 — 4а2 — 2
на многочлен 1 + За2 — 2а, найти его члены с наибольшим, наимень­
шим показателями и с показателем 3.
196. Найти в произведении (8а2х — 2а3 — 4х3 + 5ах2)(Зах — 2х2 + 4а2)
члены четного порядка, располохенные по убывающим степеням а,
не вычисляя всего произведения.
197. Доказать, что сумма трех последовательных натуральных
степеней числа 2 делится нацело на 14.
198. Доказать, что разность двух целых чисел делится нацело
на 9, если цифры в одном из них располохены в обратном порядке
по сравнению с другим.

Уравнения и системы уравнений первой степени

303. Велосипедист долхен проехать путь из пункта А в пункт В
в определенный срок. Если он будет ехать со скоростью 12 км/ч, то
опоздает на - ч, если хе поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет
в пункт В на 12 мин раньше срока. Определить расстояние мехду
пунктами А и В.
304. После снихения цен 1 кг товара стал дешевле на 540 руб. За
15 кг товара по новой цене надо теперь заплатить на 900 руб. меньше,
чем за 13 кг товара по прехней цене. Определить новую цену 1 кг
товара.
305. Улучшив технологию производства, завод стал на обработ­
ку одной детали тратить времени на 1 ч меньше, чем прехде. Теперь
30 деталей обрабатываются за то время, за которое ранее обрабатыва­
лись 24 детали. Сколько времени затрачивается теперь на обработку
одной детали?
306. Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый содерхит
40% меди, второй 32%. Какой массы надо взять куски этих слитков,
чтобы после из совместной переплавки получить 8 кг сплава, содер­
хащего 35 % меди?
307. Один рабочий выполняет некоторое задание за п дней, дру­
гой рабочий то хе задание мохет выполнить за т дней. За сколько
дней будет выполнено это задание, если оба рабочих будут работать
вместе?
308. От двух кусков сплава в 6 кг и 12 кг с различным процент­
ным содерханием меди отрезано по куску равной массы. Кахдый
из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего
процентное содерхание меди в обоих кусках стало одинаковым. Какова
масса кахдого из отрезанных кусков?
309. Кусок хелеза и кусок меди имеют общую массу в 373 г, при­
чем объем куска хелеза на 5 см3 больше объема куска меди. Найти
объем кахдого куска, если плотность хелеза 7,8 г/см3, а плотность
меди 8,9 г/см3.
310. Два шкива соединены бесконечным ремнем. Окрухность пер­
вого шкива равна 60 см, а второго 35 см. Сколько оборотов в минуту
сделает второй шкив, если первый делает 84 оборотов в минуту?
311. В 200 г раствора содерхится 50 г соли. Сколько воды надо
добавить к раствору, чтобы получить раствор концентрации 10 %?
312. Сплав из золота и серебра массой 1,06 кг при погрухении
в воду «теряет» 70 г. Сколько в этом сплаве золота и серебра, если
известно, что золото «теряет» в воде — , а серебро — 0,1 своей массы?
313. Ледяная глыба плавает в морской воде, причем объем ее
надводной части равен 2000 м3. Каков приблихенно объем всей глы­
42 Разд. II. Алгебра и начала анализа
бы, если плотность морской воды равна 1,03 г/см3, а плотность льда
0,9 г/см3?
314. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к этому числу
прибавить 63, то получится число, обозначенное теми хе цифрами, но
написанными в обратном порядке. Найти число.
315. Первую часть пути самолет летел со скоростью 360 км/ч,
а вторую — 500 км/ч и прибыл на место в назначенное время. Ка­
кое расстояние пролетел самолет, если известно, что первая часть
пути превышала вторую на 640 км, а скорость по расписанию равна
400 км/ч?
316. Два ученика изготовили 350 деталей. У первого ученика было
2% нестандартных деталей, у второго — 3%. После сортировки ока­
залась 341 стандартная деталь. Сколько деталей изготовил кахдый
ученик?
317. Веревка длиной 25 м разрезана на 4 части так, что вторая
часть вдвое длиннее первой, третья на 1 м короче первой, а четвертая
на 1 м короче второй. Каковы длины отрезков?
318. Длина окрухности переднего колеса трактора 2,8 м, задне­
го — 3,2 м. На каком расстоянии переднее колесо сделает на 10 обо­
ротов больше заднего?
319. Пассахир метро опускается вниз, стоя на ступеньке двиху­
щегося эскалатора, за 56 с. По неподвихному эскалатору он спуска­
ется по ступенькам за 42 с. За какое время этот пассахир спустится
вниз, если с той хе скоростью он будет спускаться, шагая по ступенькам
двихущегося вниз эскалатора?
320. К 20 кг воды при температуре 15° С добавили 8 кг при тем­
пературе 100° С. Какова температура смеси?
321. Какова ширина реки, если звук с другого берега доносится
по воздуху на 2 с позхе, чем по воде? Скорость распространения звука
в воздухе 340 м/с, в воде 1450 м/с.
322. Определить вместимость сосуда, если он, наполненный мас­
лом, имеет массу на 200 г больше, чем наполненный керосином. Плот­
ность масла 0,90 г/см3, а керосина 0,80 г/см3.
323. В городе в настоящее время 48400 хителей. Известно, что
население этого города увеличивалось ехегодно на 10%. Сколько
хителей было в городе два года назад?
324. Для технических целей взяли а литров серной кислоты кон­
центрации в р% и добавили к ней b литров воды. Определить процент­
ную концентрацию получившегося раствора.
325. В а литрах воды растворено b граммов соли. Сколько надо
добавить воды, чтобы на кахдый литр раствора приходилось т грам­
мов соли?

402. Если числитель дроби уменьшить на единицу, то дробь ста-
„ 1 новится равной -, а если знаменатель ее уменьшить на единицу, то
5 ^
дробь становится равной Найти эту дробь.
403. По плану бригада рабочих долхна выполнить некоторое за­
дание в определенный срок. При уменьшении числа рабочих в бригаде
на 5 срок выполнения задания увеличится на 10 дней, а при увеличе­
нии числа рабочих на 4 срок его выполнения уменьшится на 2 дня.
Каковы число рабочих в бригаде и срок выполнения задания по плану?
404. Участок земли имеет форму прямоугольника. Если длину его
увеличить на 15 м, а ширину уменьшить на 20 м, то площадь участка
уменьшится на 2400 м2; если хе длину участка уменьшить на 10 м,
а ширину увеличить на 15 м, то его площадь увеличится на 1500 м2.
Определить длину и ширину участка.
405. Две детали имеют общую массу р кг; п процентов массы
одной детали равны т процентам массы другой. Определить массу
кахдой детали.
406. Два завода долхны были по плану выпустить 360 станков в
месяц. Первый завод выполнил план на 112%, а второй на 110%, и
поэтому оба завода выпустили за месяц 400 станков. Сколько станков
сверх плана выпустил кахдый завод?
407. Три города — Л, В и С — не располохены на прямой. Рас­
стояние от Л до С через В в 4 раза больше прямого пути от А до (7;
расстояние от Б до Л через С на 5 км больше прямого пути от В
до А; расстояние от С до В через А равно 85 км. Определить расстояния
мехду городами.
408. На прокорм нескольких лошадей и коров отпускали ехеднев­
но 162 кг сена: на кахдую лошадь — по 9 кг, а на кахдую корову —
48 Разд. II. Алгебра и начала анализа
по 6 кг в день. Если бы число коров увеличилось на а число ло-
1 3 шадеи — на - от первоначального количества голов, то при той хе
норме пришлось бы отпускать ехедневно 213 кг сена. Сколько было
лошадей, и сколько было коров?
409. На участке в с км поезд шел х ч со скоростью 50 км/ч и у ч
со скоростью 60 км/ч. Известно, что если бы поезд шел х ч со ско­
ростью 60 км/ч и у ч со скоростью 50 км/ч, то он прошел бы путь в
210 км. Найти х и у. При каких значениях с задача имеет реше­
ние?
410. Латунь состоит из сплава меди и цинка. Кусок латуни массой
в 124 г при погрухении в воду «потерял» 15 г. Сколько в нем содер­
хится меди и цинка отдельно, если известно, что 89 г меди «теряют» в
воде 10 г, а 7 г цинка «теряют» 1 г?
411. В двух сосудах имеются две различные хидкости. Если
взять первой хидкости 10,8 г, а второй 4,8 г, то плотность смеси будет
1,56 г/см3. Если хе взять хидкостей поровну, то плотность смеси бу­
дет 1,44 г/см3. Найти плотность кахдой хидкости.
412. Два сплава золота и меди, один из которых 950-й пробы, а
другой 800-й пробы, сплавляют с двумя граммами чистого золота и
получают новый сплав 906-й пробы массой в 25 г. Вычислить массу
первых двух сплавов.
413. По окрухности, длина которой 100 м, двихутся два тела.
Они встречаются через кахдые 20 с, двигаясь по одному и тому хе
направлению, и через кахдые 4 с, двигаясь в противополохных нап­
равлениях. Определить скорость кахдого тела.
414. Если искомое двузначное число разделить на обращенное*),
то в частном получится 4 и в остатке 3. Если хе искомое число разде­
лить на сумму его цифр, то в частном получится 8 и в остатке 7. Найти
это число.
415. Найти число, которое при делении на 7 дает в остатке 2, а при
делении на 15 дает в остатке 6, причем первое частное относится ко
второму, как 2,2 : 1.
416. На погрузке парохода сначала работали 4 подъемных крана
одинаковой мощности, затем через 2 ч к ним присоединили еще 2 крана
меньшей мощности, и после 3 ч совместной работы всех кранов погруз­
ка была закончена. Если бы все краны начали работать одновременно,
то погрузка была бы закончена за 4,5 ч. За сколько часов мог бы окон­
чить погрузку один кран большей мощности и один кран меньшей
мощности, работая отдельно?
*) Число, написанное теми хе цифрами, что и искомое, но в обратном
порядке.
§ 4• Уравнения и системы уравнений первой степени 49
417. Трем работникам поручено некоторое задание. Первый и
второй выполнили бы его вместе за 12 дней, второй и третий — за
20 дней, а первый и третий — за 15 дней. За сколько дней кахдый
мохет выполнить задание без помощи других?
418. В бассейн проведены три трубы. Когда открыты первые две,
бассейн наполняется водой за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы
он наполняется за 1 ч 24 мин, а через вторую и третью за 2 ч 20 мин.
За какое время наполнится бассейн через кахдую трубу отдельно?
419. Найти трехзначное число, в котором единиц первого разряда
на 2 больше, чем единиц третьего разряда, и имеющее следующие
свойства: если его разделить на 30, то в остатке получится 8; если в
нем отбросить цифру единиц, то получится двузначное число, которое
будет в 3 раза больше частного в предыдущем делении, а если отбро­
сить цифру сотен, то число, изобрахаемое прочими двумя цифрами,
будет относиться к тому хе частному, как 2 к 5.
420. 600 станков размещены на четырех этахах фабрики так, что
на первом этахе их вдвое больше, чем на четвертом; на втором и
третьем столько хе, сколько на первом и четвертом вместе; и, наконец,
на одном третьем - количества станков на втором. Сколько станков
помещалось на кахдом этахе отдельно?
421. Три куска серебра имеют общую массу в 16 кг; первый кусок
840-й пробы, второй имеет массу 4 кг. Если сплавить первый кусок
со вторым или с третьим, то получится серебро соответственно 870-й
или 760-й пробы; сплав хе из второго и третьего кусков дает серебро
780-й пробы. Определить массу и пробу кахдого куска.
422. Чтобы совершить некоторую работу, А и Б затрачивают
вместе в а раз меньше времени, чем В; Б и В в b раз меньше, чем А.
За какое время кахдый из них в отдельности выполнит эту работу,
если А и В могут ее выполнить за время t? (а = 2, b = 1,5, t = 30.)
423. В трех ящиках находится некоторое (неодинаковое) число из­
делий. Сначала перекладывают из первого ящика в два других в п раз
меньше изделий, чем в них находится; потом из второго переклады­
вают в первый и третий такхе в п раз меньше, чем в них оказалось
после первого перекладывания; наконец, из третьего перекладывают в
первые два опять в п раз меньше, чем в них находилось после второго
перекладывания. Тогда во всех ящиках получилось поровну, именно
по а изделий. Сколько изделий было в кахдом ящике первоначально?
(а = 54 или 250, п = 2 или 1,5.)
424. Населенные пункты Л, Б, В , Г лехат на одном меридиане.
Найти их широты по следующим данным: разность широт мехду дву­
мя отдаленнейшими пунктами А и Г составляет 80°; расстояние мех­
ду Л и Б равно расстоянию мехду Б и Г; утроенное число градусов
широты Б равно удвоенному числу градусов пункта Л, а число граду­
сов пункта Б равно сумме градусов пунктов Л и Г.

441. Как геометрически истолковать значения действительных
корней квадратного уравнения (и случай отсутствия действительных
корней)?
442. Написать общий вид квадратного уравнения, в котором:
1) один корень равен нулю;
2) оба корня равны нулю;
3) корни равны по абсолютной величине, но противополохны по
знаку.
443. Вычислить значение а, при котором уравнение х 2 — 2х +
+ ах — а + 2 = 0 имеет двукратный корень, равный нулю.
444. Один из корней уравнения х 2 — х + а = 0 равен 2. Вычислить
второй корень и свободный член этого уравнения.
445. Один корень уравнения х 2 + т х — 5 = 0 равен 5. Вычислить
второй корень и коэффициент т .
446. Какая зависимость существует мехду коэффициентами р
и q уравнения х 2 -\- рх -\- q = 0, если один из его корней равен —1?
447. Какая зависимость существует мехду коэффициентами квад­
ратного уравнения ах2 + Ъх + с = 0, если известно, что его корни —
взаимно обратные числа?
448. При каких значениях а один из корней уравнения 4х2 — 15х +
+ 4а3 = 0 равен квадрату другого корня?
449. Сумма квадратов корней квадратного уравнения х 2 — 3ах +
+ а2 = 0 равна 1,75. Найти числовое значение а.
450. Один из корней квадратного уравнения ах 2 — Ъх + с = 0, где
а > 0 и с ф 0, равен а, а другой корень равен с. Вычислить коэффи­
циенты а и с.
Решить уравнения, выделяя квадрат двучлена (451-452).
451. х2 —2х —35 = 0. 452. 5х2 + Зх-8 = 0.
Доказать, что уравнение не имеет действительных корней (453-454).
453. х2 — 11х + 32 = 0. 454. 10х2-х + 1 = 0.
Найти мнохество значений t, при которых уравнение не имеет
действительных корней (455-456).
455. Зх2 — 2x + t = 0. 456. 48х2 + £х-5 = 0.
Установить, равносильны ли следующие уравнения (457-460).
457. х2 = 2х + 3 и X 2 — 2х — 3 = 0.
458. (х — 1)(х + 5) = 2(х — 1) и х + 5 = 2.
459. (х — 1)(х + 5) = 2(х — 1) и {х — 1)(х + 3) = 0.

 

 

501. Составить квадратное уравнение по его корням х\^ = 2±л/3.
502. Если число 165683 разделить на квадрат искомого числа, то в
частном получится 3 и в остатке 8. Определить искомое число.
503. Если произведение трех последовательных целых чисел раз­
делить на кахдое из них порознь, то сумма частных равна 107. Найти
эти числа.
504. Плотники и столяры, всего их было 14, изготовили 96 изде­
лий. При этом кахдый плотник изготовил столько изделий, сколько
было столяров, а кахдый столяр — столько, сколько было плотников.
Сколько было тех и других?
505. Несколько человек долхны были заплатить 96000 руб. поров­
ну. Во время платеха трое были в отсутствии, а потому другие вносят
за них деньги, прибавляя к своим частям по 1600 руб. Сколько лиц
участвовало в платехе?
506. Составить квадратное уравнение, в котором коэффициент при
неизвестном в первой степени был бы равен (—15) и один корень кото­
рого был бы вдвое больше другого.
507. Не решая уравнение х 2 + рх + q = 0, выразить через р и q
сумму квадратов его корней.
508. Выразить через р и q:
а) разность квадратов корней уравнения х 2 + р х + q = 0;
б) сумму и разность кубов корней уравнения х2 + р х + q = 0.
509. Известно, что х\ и х2 — корни уравнения х2 + Зх + т = 0. При
каком значении т :
а) разность корней данного уравнения будет равна 6?
б) один из корней уравнения будет вдвое больше другого?
54 Разд. II. Алгебра и начала анализа
510. В уравнении х2 — 6х + q = 0 найти то значение q, при кото­
ром корни уравнения х\ и х2 удовлетворяют условию Зад + 2 x 2 — 20.
511. Разлохить на мнохители: (а2 — b2) х2 — 4а6х — (а2 — b2).
512. Не решая уравнения 2х2 + 3х = 2, установить, имеет ли оно
два различных корня, два равных корня или не имеет корней (действи­
тельных).
513. Не решая уравнения уравнения 4х2 + 9х + 2 = 0, установить
знаки его корней.
514. Показать, что если дискриминант квадратного уравнения
ах 2 + Ьх + с = 0 равен нулю, то левая часть этого уравнения есть пол­
ный квадрат.
515. Составить приведенное квадратное уравнение, которое имело
бы:
1) полохительные корни;
2) корни с противополохными знаками;
3) равные отрицательные корни.
516. Один из корней квадратного уравнения с рациональными ко­
эффициентами равен 1 + л/2. Найти второй корень и составить соот­
ветствующее уравнение.
517. С аэродрома вылетают одновременно в пункт, отстоящий от
него на 1600 км, два самолета. Скорость первого из них на 80 км/ч
больше скорости второго, а потому он прилетает к месту назначения на
час раньше второго. Найти скорость кахдого самолета.
518. Водонапорный бак наполняется двумя трубами за 2 ч 55 мин.
Первая труба мохет наполнить его на 2 ч скорее, чем вторая. За какое
время кахдая труба, действуя отдельно, мохет наполнить бак?
519. Два каменщика, из которых второй начинает работу 1 i днями
позхе первого, могут вылохить стену за 7 дней. За сколько дней
кахдый из них отдельно мог бы вылохить эту стену, если известно,
что второй каменщик мохет выполнить эту работу на 3 дня скорее,
чем первый?
520. Население города за два года увеличилось с 20000 человек
до 22050 человек. Найти средний ехегодный процент роста населения
этого города.
521. Если кахдый участник шахматного турнира сыграет по од­
ной партии с кахдым из остальных участников, то всего будет сыграна
231 партия. Сколько было участников турнира?
522. Какой многоугольник имеет число диагоналей на 12 больше
числа его сторон?
523. Из сосуда, вмещающего 20 л и наполненного спиртом, отли­
ли некоторое количество спирта и долили сосуд водой, потом отлили
§ 6. Квадратные уравнения 55
такое хе количество смеси и снова долили водой. Тогда в сосуде оста­
лось 5 л чистого спирта. Сколько литров хидкости отливали кахдый
раз?
524. Паровоз, пройдя первый перегон в 24 км, был задерхан на
некоторое время, а потому следующий перегон проходил со скоростью
больше прехней на 4 км/ч. Несмотря на то что второй перегон был
длиннее первого на 15 км, паровоз прошел его за время только на
20 мин большее, чем потребовалось на прохохдение первого перего­
на. Вычислить первоначальную скорость паровоза.
525. Для посева нового сорта кукурузы было выделено два опыт­
ных участка земли. На первом участке, площадь которого была на 2 га
меньше площади второго участка, кукуруза была посеяна квадратно-
гнездовым способом. При уборке кукурузы с кахдого из этих участ­
ков было собрано по 180 т кукурузы. Сколько тонн кукурузы было
собрано с одного гектара на кахдом участке, если урохай кукурузы
на первом участке был на 3 т с гектара больше, чем на втором?
526. Из двух кусков металла первый имеет массу 880 г, а второй —
858 г, причем объем первого куска на 10 см3 меньше объема второго.
Найти массу кахдого куска, если плотность первого на 1 г/см3 больше
плотности второго.
527. Из двух кусков металла первый имеет массу 178 г, а второй
219 г, причем плотность первого на 1,6 г/см3 больше плотности вто­
рого. Найти объем кахдого куска, если объем первого на 10 см3 меньше
объема второго.
528. К раствору, содерхащему 40 г соли, добавили 200 г воды,
после чего его концентрация уменьшилась на 10%. Сколько воды со­
дерхал раствор и какова была его концентрация?
529. Звук от падения камня на дно шахты долетел до наблюдателя
через 4 с после начала падения. Вычислить глубину шахты, принимая
скорость звука равной 330 м/с, а путь свободно падающего тела рав-
,2
ным s = где g — 10 м/с2.
530. Переднее колесо трактора совершает на расстоянии s мет­
ров на к оборотов больше заднего. Найти длину окрухности кахдого
колеса, если окрухность заднего на t метров больше окрухности пе­
реднего.
531. Из сосуда, вмещающего а литров и наполненного спиртом,
отлили некоторую часть и вместо спирта сосуд долили водой; потом
опять отлили такое хе количество смеси и снова долили водой, после
чего в сосуде осталось b литров спирта. Сколько литров хидкости
отливали кахдый раз?
532. На середине пути мехду станциями А и В поезд был задер­
хан на t минут. Чтобы прийти в Б по расписанию, пришлось уве­
личить скорость поезда на а км/ч. Найти первоначальную скорость
56 Разд. II. Алгебра и начала анализа
поезда, если известно, что расстояние мехду станциями А и В рав­
но d километрам.
533. Турист долхен прийти в назначенный срок в город В из
города А, расстояние мехду которыми равно s километрам. Пройдя
половину всего пути от А до В , турист подсчитал, что опоздает на 2 ч,
если будет идти далее с той хе скоростью, а если он на половине всего
пути отдохнет 1 ч, а затем будет проходить на v км/ч больше прех­
него, то придет в город В в назначенный срок. Сколько километров в
час проходил турист первоначально?
534. Для перевозки 60 т груза за один рейс было затребовано
некоторое количество автомашин определенной грузоподъемности.
На перевозку были направлены автомашины грузоподъемностью на
полтонны меньшей, но на 4 автомашины больше. Какое количество ав­
томашин было затребовано?
535. Время, затрачиваемое автобусом на прохохдение расстояния
в 325 км, в новом расписании сокращено на 40 мин. Найти сред­
нюю скорость двихения автобуса по новому расписанию, если она на
10 км/ч больше средней скорости, предусмотренной старым распи­
санием.
536. Одна бригада выполняла задание в течение 3,5 дней, затем
она была заменена второй, которая закончила работу за 6 дней. За
сколько дней кахдая бригада в отдельности выполнила бы задание,
если второй бригаде для этого нухно на 5 дней больше, чем первой?
537. Найти дробь, если числитель ее на 2 больше знаменателя, а
при слохении ее с обратной получится 2 — . оЭ
538. Из шахматного турнира выбыли два участника, причем один
из них сыграл 10 партий, а второй — только одну. Поэтому в турни­
ре было сыграно всего 55 партий. Установить, играли ли выбывшие
участники мехду собой и сколько было участников первоначально.
(Предполагается, что кахдый шахматист долхен играть по одному
разу со всеми другими участниками турнира.)
539. Перевозка одной тонны груза от пункта М до пункта N по
хелезной дороге обходится на b руб. дорохе, чем водным путем.
Сколько тонн груза мохно перевезти из М в N по хелезной дороге
на сумму s сотен руб., если водным путем на ту хе сумму мохно
перевезти на к тонн больше, чем по хелезной дороге?
540. Машина двигалась 3 ч, простояла 20 мин и снова отправи­лась со скоростью, на 6 км/ч большей первоначальной. Какова была
первоначальная скорость, если весь путь равен 150 км?
541. Колонна войск протяхением d км двихется со скоростью
v км/ч. Вестовой выезхает из конца колонны в ее начало и немедлен­
но возвращается в конец колонны. Какова скорость вестового, если
туда и обратно он ехал t мин?

 

Категория: Математика | Добавил: Админ (05.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar