Тема №5632 Ответы по математике Бачурин (Часть 3)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы по математике Бачурин (Часть 3) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы по математике Бачурин (Часть 3), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

2585. Точка движется прямолинейно по закону s = 6t — t2. В какой
момент времени скорость точки окажется равной нулю?
2586. Точка движется прямолинейно так, что имеет место соот­
ношение v2 = 2ах, где v — скорость, х — пройденный путь, а —
постоянная. Найти ускорение движения.
2587. Зависимость между количеством х вещества, получаемого в
некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением
х = А( 1 — е~ы ). Вычислить скорость реакции.
2588. Температура Т тела изменяется в зависимости от времени t
по закону Т = 0,512 — 21. С какой скоростью нагревается это тело в
момент времени t = 5?
и*
164 Разд. II. Алгебра и начала анализа
2589. Найти скорость v и ускорение а свободно падающего тела,
если зависимость расстояния s от времени t выражается формулой
s = 0,5g£2 + vot + so, где g = 9,8 м/с2 — ускорение земного тяготения,
a so = s\t=o — значение s при t — 0.
2590. Дано уравнение прямолинейного движения точки: s = 213 +
+ t2 — 4. Вычислить скорость и ускорение в момент времени t = 4.
2591. Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с начальной
скоростью а м/с. Закон его движения определяется уравнением х =
= at — На какой высоте х снаряд будет через t секунд? Вычислить
скорость и ускорение движения. Через сколько секунд снаряд достиг­
нет наивысшей точки и на каком расстоянии от Земли?
2592. Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной
скоростью 20 м/с. На какой высоте х оно будет через t секунд? Вы­
числить скорость и ускорение движения. Через сколько секунд тело
достигнет наивысшей точки и на какой высоте?
2593. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом,
за t секунд поворачивается на угол ip = а + bt — ct2, где а, 6, с —
положительные постоянные. Вычислить угловую скорость и ускоре­
ние вращения. Когда колесо остановится?
2594. Изменение силы тока J в зависимости от времени t выра­
жается уравнением J = 2t2 — Ы ( J — в амперах, t — в секундах).
Вычислить скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.

2641. 1) Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произ­
ведение их было наибольшим.
2) Число 8 разложить на два таких слагаемых, чтобы сумма их
кубов была наименьшей.
2642. 1) Произведение двух положительных чисел равно а. Чему
равны эти числа, когда сумма их является наименьшей?
2) Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему
числом, дает наименьшую сумму?
2643. 1) Решеткой длиной 120 м нужно огородить прилегающую
к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Установить
размеры площадки.
2) Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, впи­
санного в полуокружность радиуса г.
2644. 1) В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямо­
угольник наименьшей площади. Вычислить площадь прямоугольника.
2) В равносторонний треугольник с периметром 3т вписан пря­
моугольник наибольшей площади. Вычислить длины сторон прямо­
угольника.
2645. 1) Из всех прямоугольников данного периметра 2р найти
тот, у которого диагональ наименьшая.
2) Из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса /?,
найти тот, который имеет наибольшую площадь.
2646. 1) Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны
по 10 см. Вычислить ее большее основание в том случае, когда площадь
трапеции является наибольшей.
2) Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного
полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга
площадь сечения будет наибольшей?
§ 30. Предел и производная функции. Исследование функции 167
2647. 1) Даны точки Л(0; 3) и В (4; 5). На оси Ох найти точ­
ку М так, чтобы расстояние s = AM + М В было наименьшим.
2) На окружности дана точка А. Провести хорду В С параллель­
но касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника АВС
была наибольшей.
2648. 1) Через данную точку А{ 1; 4) провести прямую так, чтобы
сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координат­
ных осях, была наименьшей.
2) Через данную точку М(хо;уо), лежащую в I квадранте, про­
вести прямую так, чтобы она образовала с осями координат треуголь­
ник наименьшей площади.
2649. 1) Из всех треугольников, у которых сумма основания и
высоты равна а, найти тот, у которого площадь наибольшая.
2) В окружность радиуса а вписан равнобедренный треугольник.
При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наиболь­
шую площадь?
2650. 1) Из квадратного листа стали со стороной а вырезают по
углам одинаковые квадраты и из оставшейся части сваривают пря­
моугольную коробку. Какова должна быть сторона вырезаемого квад­
рата, чтобы объем коробки был наибольшим?
2) Установить размеры открытого бассейна с квадратным дном и
объемом 32 м2 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наимень­
шее количество материала.
2651. 1) Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объ­
еме V каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра,
чтобы его поверхность была наименьшей?
2) Найти соотношение между радиусом R и высотой Н цилиндра,
имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность.
2652. 1) Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который
можно вписать в шар радиуса R.
2) Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно впи­
сать в шар радиуса R.
2653. Найти высоту прямого кругового конуса наименьшего объ­
ема, описанного вокруг шара радиуса R.
2654. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки бе­
рега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в
15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега. Если
гонец может преодолевать пешком по 5 км/ч, а на лодке по 4 км/ч, то
в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в
кратчайшее время?
2655. Прямолинейное движение тела определяется уравнением
у = —х3 + 9х2 — 24ж + 8. Найти максимальную скорость движения
тела (у — в метрах, х — в секундах).
168 Разд. II. Алгебра и начала анализа
2656. Движение летящего вверх зенитного снаряда определяется
уравнением s = v$t — 0,5g£2. Найти наибольшую высоту подъема сна­
ряда.
2657. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы
должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вра­
щением этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание,
был наибольшим?
2658. Известно, что сопротивление горизонтальной балки на изгиб
пропорционально произведению ширины сечения и квадрата высоты.
Из круглого бревна диаметра d нужно вырезать балку прямоуголь­
ного сечения так, чтобы сопротивление на изгиб в горизонтальном по­
ложении было наибольшим.

2685. Найти приращение Д?/ и дифференциал dy функции у =
= 5ж + ж2 при ж = 2 и Дж = 0,01.
2686. Сторона квадрата равна 8 см. На сколько увеличится его
площадь, если каждую сторону увеличить на:
а) 1 см; б) 0,5 см; в) 0,1 см?
Найти главную линейную часть приращения площади квадрата и
оценить относительную ошибку (в процентах) при замене приращения
его главной частью.
2687. На сколько приблизительно увеличится объем шара, если его
радиус R = 15 см удлинить на 2 см?
2688. С какой относительной точностью нужно измерить радиус
шара, чтобы при вычислении объема шара допустить погрешность не
более 1 %?
2689. Определить приближенно:
1) площадь кругового кольца; 2) объем сферической оболочки.
Сравнить с их точными значениями.
Найти приближенные значения функций (2690-2692).

2914. Определить равнодействующую силу от давления воды на
вертикальные прямоугольные ворота шлюза с основанием 8 м и высо­
той 6 м. Определить также равнодействующую силу от давления на
нижнюю половину этих ворот.
2915. Определить равнодействующую силу от давления воды на
вертикальную треугольную площадку с высотой /г, основание кото­
рой а параллельно поверхности воды, а противоположная вершина
находится на поверхности воды.
2916. Найти центр тяжести полукруга х2 + у2 = а2, отсеченного
осью Ох.
2917. Найти координаты центра тяжести площади фигуры, огра­
ниченной линиями у = 4 — х 2 и у = 0.
2918. Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачива­
ние воды из цилиндрического бассейна с радиусом основания 0,5 м,
если в начальный момент уровень воды в бассейне равен 2,8 м и на
0,2 м ниже выпускающего воду отверстия в цилиндре.
2919. Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачи­
вание воды из полу шара с радиусом R м.
2920. За какое время вода, наполняющая цилиндрический сосуд
с площадью основания S i = 420 см2 и высотой Я = 40 см, вытечет
через отверстие на дне площадью *§2 = 2 см2?
Указание. Скорость истечения жидкости при уровне ее на вы­
соте х см определяется по формуле v = /i у/2gx, где pt — коэффи­
циент, зависящий от вязкости жидкости, формы сосуда и отверстия.
Здесь pL = 0,6.

Геометрия. Планиметрия

1. От ели длиной в 20 м отрезали два толстых бревна по 6 м и
одно тонкое бревно (подтоварник), длина которого равна - толстого.
Какую часть ели (по длине) составляет оставшаяся (хвостовая) часть
ее (в процентах)?
2. Построить прямую и отметить на ней три несовпадающих точ­
ки А, В, С. Сколько различных отрезков и различных лучей (полу­
прямых) определяют на этой прямой отмеченные точки?
3. Какую длину может иметь отрезок, если концы его соединены
ломаной, звенья которой имеют длины: 3 см, 2 см, 4,5 см?
4. Отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а. Как расположе­
ны точки А и В относительно прямой а?
5. В полуплоскости с границей I даны две точки. Пересекает ли
прямую I ломаная, соединяющая эти точки? Выполнить рисунок.
6. На сколько частей разбивают плоскость две несовпадающие
прямые (рассмотреть различные случаи взаимного расположения пря­
мых)? Показать эти части на рисунках.
7. Сколько различных углов определяют две пересекающиеся
прямые?
8. Построить три луча с общим началом.
Сколько различных углов они определяют?
9. На прямой I лежат точки М, А, В , L
(рис. 1).
1) Суммами каких отрезков являются от­
резки M L, AL, М В ?
2) Разностями каких отрезков являются от­
резки B L , МЛ, М Б?
Рассмотреть несколько случаев и записать
ответ в виде формул.
10. На плоскости дана окружность с центром в точке О и радиу­
сом, равным 3. Как расположены относительно окружности точки
А, В, С той же плоскости, если расстояния их от точки О равны
соответственно 2, 5, 3?
Р аздел III
12 В. А. Бачурин
178 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
11. Даны прямой угол и угол в 30° с общей вершиной и общей
стороной. Сколько градусов может иметь угол, который:
1) является общим этих углов; 2) объединяет эти углы?
Для каждого случая дать соответствующий рисунок.
12. Найти на линии железной дороги (имеющей прямолинейную
часть) место для постройки станции, которая была бы одинаково уда­
лена от пунктов А и В. Рассмотреть различные варианты расположе­
ния пунктов А и В относительно железной дороги.
13. Внутри угла ВАС найти точку М, равноотстоящую от его
сторон и такую, чтобы отрезки М С и С В были равны между собой.
14. Разделить данный отрезок на 2, 4, 8 равных частей.
15. По заданным сумме и разности двух отрезков построить эти
отрезки.
16. Через точку, данную вне угла, провести такую прямую, кото­
рая отсекала бы на сторонах угла равные отрезки, считая от его
вершины.
17. Внутри угла АВС найти точку М, равноотстоящую от его
сторон и такую, чтобы отрезки МС
и М В были равными.
18. Пересекающиеся прямые т и п
образуют четыре полуплоскости. Общая
часть (пересечение) двух полуплоскос­
тей показана на рис. 2. Требуется вы­
полнить еще три рисунка, иллюстри­
рующих другие варианты пересечения
полуплоскостей.
19. Показать на рисунках общую часть двух пересекающихся
фигур:
1) полуплоскости и круга; 2) двух кругов.
20. Показать, что треугольник можно получить в результате пре­
сечения следующих фигур:
а) трех полуплоскостей; б) двух углов;
в) угла и полуплоскости.
§ 2. Н а ч а л ь н ы е п о н я ти я гео м е тр и и (п р о д о л ж ен и е)
21. От точки М отложены на одной прямой и в одном направлении
два отрезка: \М N\ = 100 см и \МР\ = 160 см. Найти расстояние между
серединами этих отрезков.
22. Отрезок АВ равен 2,8 м. Найти расстояние между серединой
2 4 этого отрезка и точкой, которая делит его в отношении - : — . 3 15
§ 2. Начальные понятия геометрии (продолжение) 179
23. Отрезок АВ разделен на три части в отношении 2:3:4. Рас­
стояние между серединами крайних частей равно 5,4 м. Вычислить
длину А В.
24. Отрезок АВ делится точкой С в отношении 5 : 7, а точкой D
в отношении 5 : 11; расстояние между С и D равно 10 м. Вычислить
длину АВ.
25. Один из двух смежных углов в 1,5 раза больше другого. Найти
эти углы.
26. Найти угол, который в т раз больше своего смежного угла.
27. Вычислить величину смежных углов, если - одного из них О
составляет 0,2 другого.
28. Отношение двух прилежащих углов равно 7 : 3, а разность их
равна 72°. Являются ли эти углы смежными?
29. Даны два прилежащих угла: острый и тупой. Прямая,
проведенная через их вершину перпендикулярно их общей стороне,
5 , отклонена от другой стороны острого угла на - а, а от другой стороны
3 *
тупого угла на - d. Найти сумму данных углов и сделать рисунок.
30. Разделить угол на 4 равновеликих угла.
31. Через вершину данного угла провести вне этого угла такую
прямую, которая составляла бы равные углы со сторонами угла.
32. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов взаимно пер­
пендикулярны.
33. На боковой стороне равнобедренного треугольника построен
равносторонний треугольник; периметр этого второго треугольника
равен 45 м, а периметр первого треугольника 40 м. Вычислить осно­
вание заданного треугольника.
34. В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая 0,7 м.
Вычислить третью сторону, зная, что она выражается целым числом
метров.
35. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 м, а
другая 10 м. Какая из них служит основанием?
36. Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы, прове­
денные к боковым сторонам, имеют одинаковую длину.
37. Периметр треугольника равен 24 см и делится высотой на два
треугольника, периметры которых 14 см и 18 см. Найти высоту этого
треугольника.
38. Периметр равнобедренного треугольника равен р, а основание
равно а. Боковая сторона этого треугольника наряду с этим является
стороной равностороннего треугольника. Вычислить периметр второго
треугольника.
12*
180 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
39. Четырехугольник разделен диагональю на два треугольника,
периметры которых равны 25 м и 27 м; периметр четырехугольника
равен 32 м. Найти длину проведенной диагонали.
40. Три селения — А, В и С — не лежат на одной прямой. Указать
на чертеже, как провести из Л прямую дорогу между селениями В
и С на равных расстояниях от них.
41. Построить равнобедренный треугольник:
а) по основанию и боковой стороне;
б) по основанию и прилежащему углу;
в) по боковой стороне и углу при вершине;
г) по боковой стороне и углу при основании.
42. Построить прямоугольный треугольник:
а) по двум катетам; б) по катету и гипотенузе;
в) по катету и прилежащему острому углу.
43. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и ост­
рому углу.
44. Через точку, данную внутри угла, провести такую прямую,
которая на сторонах угла отсекает отрезки равной длины от вершины.
45. Доказать, что в прямоугольном равнобедренном треугольнике
катет больше половины гипотенузы.
46. Доказать, что любая сторона треугольника меньше его полу-
периметра.
47. Доказать, что медиана треугольника меньше его полупери-
метра.
48. Доказать, что сумма диагоналей четырехугольника меньше
его периметра, но больше полупериметра.
49. В треугольнике найти точку, равноудаленную от всех трех
сторон.
50. В треугольнике найти точку, равноудаленную от всех трех
вершин.
51. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины:
1) пятиугольника; 2) десятиугольника; 3) п-угольника?
52. Сколько получится треугольников, если провести все диаго­
нали из одной вершины:
1) шестиугольника; 2) восьмиугольника; 3) п-угольника?
53. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько раз­
личных прямых можно провести через эти точки, беря их попарно?
54. Сколькими прямыми можно соединить попарно 4 точки, из
которых никакие три не расположены на одной прямой? Тот же воп­
рос относительно 5 точек, 20 точек и п точек.
55. Сколько всего диагоналей можно провести в п-угольнике?
§ 2. Начальные понятия геометрии (продолжение) 181
56. Сколько сторон имеет многоугольник, если число всех его диа­
гоналей в т раз больше числа сторон? ( т = 0,5; 1; 2; 2,5).
57. На данной прямой найти точку, одинаково удаленную от двух
данных точек (вне прямой).
58. На прямой, пересекающей стороны угла, найти точку, одина­
ково удаленную от сторон этого угла.
59. Дан треугольник АВС. На биссектрисе угла А найти точку,
равноудаленную от вершин В и С.
60. Даны угол и точка М внутри угла. Найти такую точку, кото­
рая была бы одинаково удалена от обеих сторон угла и отстояла бы
от точки М на данное расстояние а.
61. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Один
из внутренних односторонних углов в 3 раза больше другого. Вычис­
лить величину всех восьми углов.
62. Один из внутренних углов, образованных при пересечении 3
двух параллельных прямых третьей, равен 1 - d. Под каким углом его
8
биссектриса пересекает другую параллельную прямую?
63. Даны два угла с параллельными сторонами; один из них
на 90° больше другого. Какова величина каждого угла?
64. Даны два угла с перпендикулярными сторонами; один из них
в 4 раза меньше другого. Найти величину каждого угла.
65. Найти угол при вершине треугольника, если угол между пер­
пендикулярами к боковым сторонам равен 130°.
5
66. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен - d.
Найти острый угол между биссектрисами неравных углов.
2
67. Найти углы треугольника, зная, что один из них составляет -
4 3
другого и - третьего,
о
68. В треугольнике АВС внешний угол при вершине В в три раза
больше угла Л и на 40° больше угла С. Найти углы треугольника.
69. В равнобедренном треугольнике угол между основанием и
высотой, опущенной на боковую сторону, равен 48°. Найти углы треу­
гольника.
70. Биссектриса угла при вершине треугольника составляет с ос­
нованием угол 98° и равна одной из боковых сторон. Вычислить углы
треугольника.
71. Один из углов треугольника равен 60°; каков острый угол,
образованный биссектрисами двух других углов треугольника?
72. В треугольнике АВС биссектрисы углов пересекаются в точ­
ке М. Найти угол АВС , если он составляет половину угла AM С.
182 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
73. Найти величину угла треугольника, если биссектрисы двух
других его углов образуют при пересечении угол 70°.
74. В равнобедренном треугольнике угол между высотой и боко­
вой стороной на - d меньше угла при основании. Вычислить углы
треугольника.
2
75. В прямоугольном треугольнике один из острых углов -d, а
сумма гипотенузы с меньшим катетом 1,8 м. Найти гипотенузу.
76. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 45°,
а основание длиннее высоты, опущенной на основание, на 9 см. Вы­
числить основание и высоту.
77. Углы треугольника относятся, как 1:2:3. Сумма меньшей и
большей сторон равна 7,2 см. Вычислить большую сторону.
78. В прямоугольном треугольнике угол В равен 30°, катет АС
равен 3,5 см. На какие отрезки делит гипотенузу высота, опущенная
на нее?
79. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 5°.
Найти острый угол между гипотенузой и биссектрисой прямого угла.
80. В треугольнике АВС из вершины С проведены биссектрисы
внутреннего и внешнего углов: первая биссектриса образует со сто­
роной АВ угол d. Какой угол образует с АВ вторая биссектриса?
81. Отрезок, соединяющий точку пересечения серединного пер­
пендикуляра к гипотенузе с катетом и конец другого катета, делит
угол треугольника в отношении 2 : 5 (меньшая часть при гипотенузе).
Найти этот угол.
82. Найти углы четырехугольника, из которых два относятся, как
г _ „ 4 , о : 7, третий равен их разности, а четвертый меньше третьего на — а.
83. Доказать, что в прямоугольном треугольнике длина медианы,
проведенной к гипотенузе, составляет половину длины гипотенузы.
84. Доказать обратную теорему: если длина медианы составляет
половину длины стороны, к которой она проведена, то треугольник
прямоугольный.
85. Как изменится сумма углов многоугольника, если число его
сторон увеличить на 5?
86. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внут­
ренних углов равна:
1) Ш ; 2) Ш ; 3) 57d?
87. В каком многоугольнике сумма внутренних углов равна сум­
ме внешних углов?
88. Найти число сторон многоугольника, если сумма его внутрен­
них углов в т раз больше суммы внешних углов (ш = 1, 2, 3).
§ 3. Параллелограмм и трапеция 183
89. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внут­
ренних углов вместе с одним из внешних равна 23dl
90. Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равно­
бедренного треугольника параллельна основанию.
91. Доказать, что если из вершины угла треугольника, лежащего
между неравными сторонами, проведены медиана и биссектриса, то
длина медианы больше.
92. Дан острый угол прямоугольного треугольника; построить дру­
гой острый угол этого треугольника.
93. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, прове­
денной к одной из них.
94. Построить треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной
на третью сторону.
95. Построить треугольник по двум сторонам и углу, противоле­
жащему одной из них.
96. Через данную точку между двумя данными параллельными
прямыми провести отрезок, равный данному.
97. Построить прямоугольный треугольник по данным острому
углу и противолежащему катету.
98. Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине
и основанию.
99. Построить равносторонний треугольник по его высоте.
100. Построить угол в i d = 30°.
О
§ 3. П а р а л л е л о г р а м м и т р а п е ц и я
101. Две стороны параллелограмма относятся, как 3:4, а периметр
его равен 2,8 м. Найти стороны.
102. Стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см; биссектрисы
двух углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, делят
противолежащую сторону на три части. Найти каждую из них.
103. Доказать, что всякий четырехугольник, диагонали которого
взаимно делятся пополам, есть параллелограмм.
104. Построить параллелограмм, стороны которого даны, если вы­
сота, проведенная из вершины тупого угла, делит противолежащую
сторону пополам.
105. Построить параллелограмм:
1) по двум диагоналям, равным 6,0 см и 5,0 см, и одной из сторон,
равной 4,5 см;
2) по основанию, равному 2,0 см, высоте, равной 1,5 см, и диаго­
нали, равной 3,2 см.
184 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
106. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 дм.
Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две
прямые, параллельные боковым сторонам. Вычислить периметр по­
лучившегося параллелограмма.
107. В параллелограмме угол между высотами, проведенными из
вершины острого угла, равен 1 ^ d. Вы­
числить углы параллелограмма.
108. Середины Е и F параллель­
ных сторон В С и AD параллелограмма
ABCD соединены прямыми с вершина­
ми D и В (рис. 3). Доказать, что эти
прямые делят диагональ на три равные
части.
109. Из произвольной точки основания равнобедренного треуголь­
ника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать,
что периметр получившегося параллелограмма не зависит от положе­
ния точки и равен сумме боковых сторон треугольника.
110. В прямоугольнике найти угол между меньшей стороной и
1 ,
диагональю, если он на - а меньше угла между диагоналями, опира-
О
ющегося на ту же сторону.
2
111. В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом -d.
О
Сумма обеих диагоналей и обеих меньших сторон равна 3,6 м. Вычис­
лить длину диагонали.
112. Дан прямоугольник; перпендикуляр, опущенный из вершины
на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении 3:1. Найти
угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
113. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого ра­
вен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий
угол. Найти периметр прямоугольника.
114. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан пря­
моугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две
другие — на катетах. Найти стороны прямоугольника, если известно,
что они относятся, как 5 : 2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.
115. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на
его диагональ, делит ее в отношении 1 : 3. Вычислить длину диагона­
ли, если известно, что точка ее пересечения с другой диагональю уда­
лена от большей стороны на 2 м.
116. Построить прямоугольник:
1) по основанию, равному 2,4 см, и диагонали, равной 3,1 см;
2) по диагонали, равной 4,2 см, и углу между диагоналями, рав­
ному 135°.
В Е С
§ 3. Параллелограмм и трапеция 185
117. Найти на данной прямой АВ точку, которая находится на
расстоянии т (= 2 см) от другой данной прямой CD.
118. Найти точку, находящуюся на равном расстоянии от двух
данных точек и на расстоянии а (= 6 см) от данной прямой.
119. Внутри данного угла найти точку, находящуюся на расстоя­
ниях т (= 1 см) и п (= 2 см) от сторон угла.
120. Внутри данного угла построен другой, одноименный угол,
стороны которого параллельны сторонам данного и равноотстоят от
них. Доказать, что биссектрисы обоих углов совпадают.
121. Разделить пополам угол, вершина которого не помещается на
чертеже.
122. Между сторонами данного острого угла поместить отрезок
данной длины так, чтобы он был перпендикулярен одной стороне
угла.
123. 1) Какие определения можно дать ромбу?
2) Сколькими элементами и какими определяется ромб?
124. Доказать, что:
1) всякий параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпен­
дикулярны, есть ромб;
2) всякий параллелограмм, у которого диагональ делит угол по­
полам, есть ромб.
125. Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность 3
которых равна — d. Вычислить углы ромба.
126. Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, отно­
сятся, как 5:4. Найти углы ромба.
127. Периметр ромба равен 8 см, высота 1 см. Найти тупой угол
ромба.
128. В ромбе высота и меньшая диагональ, проведенные из одной
вершины, образуют между собой угол 15°. Найти высоту ромба, если
его периметр равен 1 м.
129. Вычислить периметр ромба, высота которого равна 8 см, а
тупой угол в 5 раз больше острого.
130. Построить ромб:
1) по стороне, равной 2,7 см, и диагонали, равной 6,0 см;
2) по диагонали, равной 5 см, и противолежащему углу, равно­
му 120°.
131. Построить квадрат по диагонали, равной 3,8 см.
132. Из точки пересечения диагоналей ромба опущены перпенди­
куляры на его стороны. Доказать, что основания этих перпендикуля­
ров являются вершинами вписанного прямоугольника.
186 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
133. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квад­
рат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие
две — на катетах. Найти сторону квадрата, если известно, что гипо­
тенуза равна 3 м.
134. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его служит диаго­
налью другого квадрата. Найти сторону последнего.
135. Доказать, что биссектрисы углов прямоугольника при пере­
сечении образуют квадрат.
136. Стороны прямоугольника равны 1 см и 3 см. Вычислить диа­
гонали четырехугольника, образованного биссектрисами внутренних
углов.
137. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне
квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямо­
угольника параллельны диагоналям квадрата. Найти стороны этого
прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что
диагональ квадрата равна 12 м.
138. Стороны треугольника относятся, как 3:4:6. Соединив сере­
дины всех сторон, получим треугольник с периметром в 5,2 м. Найти
стороны данного треугольника.
139. По разные стороны от данной прямой М N даны две точки А
и В на расстояниях 10 дм и 4 дм от нее. Найти расстояние середины О
отрезка АВ от данной прямой.
140. Высота равностороннего треугольника равна 6 дм. Найти
проекцию данной высоты на другую высоту.
141. Через вершину тупого угла тупоугольного треугольника
проведена вне его прямая; проекции прилежащих к тупому углу сто­
рон на эту прямую равны 4 см и 2 см. Найти проекции всех медиан
на ту же прямую.
142. Внутри произвольного угла взята точка М. Провести через
точку М прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между сторо­
нами угла, делился в точке М пополам.
143. Боковая сторона трапеции разделена на 6 частей одинако­
вой длины, и из точек деления проведены к другой боковой стороне
отрезки, параллельные основанию. Вычислить длины этих отрезков,
если основания трапеции равны 10 см и 28 см.
144. Основания трапеции относятся, как 7 : 3, а их разность рав­
на 3,2 м. Найти длину средней линии трапеции. 145
145. Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю
на два отрезка, разность между которыми 2 дм. Найти основания
трапеции.
§ 3. Параллелограмм и трапеция 187
146. Найти отношение между параллельными сторонами трапе­
ции, в которой средняя линия делится двумя диагоналями на 3 равные
части.
147. Меньшее основание равнобочной трапеции и боковая сторона
имеют одинаковую длину, а диагональ перпендикулярна боковой сто­
роне. Найти углы трапеции.
148. В равнобочной трапеции большее основание равно 2,7 м, бо­
ковая сторона 1 м, угол между ними 60°. Найти меньшее основание.
149. В равнобочной трапеции острый угол равен 45°, высота ее /г,
средняя линия т . Найти основания.
150. В равнобочной трапеции высота равна 10 см, а диагонали
взаимно перпендикулярны. Найти среднюю линию.
151. Прямоугольная трапеция делится диагональю на два тре­
угольника: равносторонний со стороной а и прямоугольный. Найти
среднюю линию трапеции.
152. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно а,
большая боковая сторона 6, острый угол 60°. Найти среднюю линию.
153. В равнобочной трапеции диагонали служат биссектрисами
ее острых углов. Доказать, что тупой угол трапеции равен тупому
углу между ее диагоналями.
154. Построить трапецию:
1) по двум боковым сторонам, равным 1,5 см и 2 см, и основани­
ям, равным 5 см и 2,3 см;
2) по одному из оснований, равному 4,8 см, высоте, равной 3,2 см,
и двум диагоналям, равным 4,2 см и 5 см.
155. Построить трапецию:
1) по четырем сторонам (всегда ли построение возможно?);
2) по двум основаниям и по двум диагоналям (каково условие воз­
можности построения?).
156. Определить вид четырехугольника, вершинами которого слу­
жат середины сторон данного:
1) четырехугольника; 2) параллелограмма;
3) прямоугольника; 4) ромба; 5) квадрата; 6) трапеции.
157. На основании равнобедренного треугольника взята точка.
Доказать, что сумма расстояний этой точки от обеих боковых сторон
равна длине высоты, опущенной на боковую сторону.
158. На продолжении основания равнобедренного треугольника
взята точка. Доказать, что разность расстояний этой точки от боко­
вых сторон равна длине высоты, опущенной на боковую сторону.
159. Доказать, что середины сторон выпуклого четырехугольни­
ка являются вершинами параллелограмма.
188 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
160. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.
§ 4. О кружность и круг
161. На сторонах угла АВС , равного 120°, отложены отрезки
\ВА\ = |ВС\ = 4 см. Провести окружность через точки А, В и С и
вычислить длину ее радиуса.
162. Провести окружность, которая проходит через две данные
точки и центр которой находится на данной прямой.
163. Построить окружность, проходящую через две данные точ­
ки Л и Б так, чтобы угол между радиусом, проведенным в точку Л,
и хордой АВ был равен 30°.
164. Наименьшее расстояние данной точки от окружности рав­
но а, а наибольшее равно Ь. Найти радиус (два случая).
165. Доказать, что кратчайшее расстояние между двумя окруж­
ностями, лежащими одна вне другой, есть отрезок линии центров,
заключенный между окружностями.
166. Из точки, данной на окружности, проведены две хорды; каж­
дая из них имеет длину, равную радиусу. Найти угол между ними.
167. В круге даны две взаимно перпендикулярные хорды; каждая
из них делится другой на два отрезка в 3 см и 7 см. Найти расстояние
каждой хорды от центра.
168. В круге радиуса R даны два взаимно перпендикулярных
диаметра; произвольная точка окружности спроектирована на эти
перпендикуляры. Найти расстояние между проекциями точки.
169. Концы диаметра удалены от касательной на 1,6 м и на 0,6 м.
Вычислить длину диаметра.
170. Показать, что середины всех хорд данной длины, проведен­
ных в данной окружности, лежат на некоторой другой окружности.
171. Доказать, что из всех хорд, проходящих через точку Л, взя­
тую внутри круга, наименьшей будет та, которая перпендикулярна
диаметру, проходящему через Л.
172. Через данную в круге точку провести хорду, которая делится
этой точкой пополам.
173. В круге проведены две равные параллельные между собой
хорды, расстояние между которыми равно радиусу круга. Найти
острый угол между прямыми, соединяющими концы хорд.
174. Дана окружность радиуса R = 1 дм; из внешней точки М
к ней проведены две взаимно перпендикулярные касательные МЛ
§ 4• О круж ность и круг 189
и М В (рис. 4). Между точками касания Л и Б на дуге АВ взята
произвольная точка (7, и через нее проведена третья касательная K L ,
образующая с касательными МА и М В
треугольник KLM. Найти периметр это- к М
го треугольника.
175. В прямой угол вписан круг;
хорда, соединяющая точки касания, рав­
на 2 дм. Найти расстояние этой хорды
от центра круга.
176. Даны две окружности, их об­
щие внутренние касательные взаимно
перпендикулярны; хорды, соединяющие
точки касания, равны 3 см и 5 см.
Вычислить расстояние между центрами.
177. Даны две окружности радиусов R и г, одна вне другой; к
ним проведены две общие внешние касательные. Найти их длину
(между точками касания), если их продолжения образуют прямой
угол ( R > г).
178. Дан угол в 30°. Построить окружность радиуса 2,5 см, ка­
сающуюся одной стороны этого угла и имеющую центр на другой его
стороне. Вычислить расстояние центра окружности от вершины угла.
179. Построить окружность, которая касалась бы сторон данного
угла, причем одной из них — в данной точке.
180. Между двумя параллельными прямыми дана точка; провес­
ти окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных
прямых.
181. Даны две параллельные прямые и секущая. Провести ок­
ружность, касающуюся всех трех прямых.
182. Данным радиусом описать окружность, проходящую через
данную точку и касательную к данной прямой.
183. Даны две окружности — одна внутри другой; через их цент­
ры в большем круге проведен диаметр, который меньшей окруж­
ностью делится на три части: 5 см, 8 см, 1 см. Найти расстояние
между центрами.
184. Даны две концентрические окружности; в большей окруж­
ности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, касательные
к меньшей; каждая из хорд делится другой на две части: 3 см
и 7 см. Найти радиус меньшей окружности.
185. Радиусы двух концентрических окружностей относятся,
как 7 : 4, а ширина кольца равна 12 см. Найти радиус меньшей окруж­
ности.

186. Если пересечь две концентрические окружности секущей, то
части секущей, лежащие между окружностями, равны между собой.
Доказать это утверждение.
187. Три равных окружности радиуса R касаются друг друга
извне. Найти стороны и углы треугольника, вершинами которого
служат точки касания.
188. Вписать в данную окружность три равные окружности, ко­
торые касались бы попарно между собой и
данной окружности.
189. В данную окружность, радиус кото­
рой равен 3 дм, вписано шесть равных окруж­
ностей (рис. 5), из которых каждая касается
данной окружности и двух соседних. Найти их
диаметры.
190. Вокруг окружности радиуса 1 дм про­
ведены с наружной стороны шесть равных
окружностей, из которых каждая касается
данной окружности и двух соседних. Найти их радиусы. Сделать
рисунок.
191. Провести окружность, которая касалась бы двух данных па­
раллельных прямых и окружности, находящейся между ними.
192. Данным радиусом провести окружность, которая касалась
бы данной прямой и данной окружности.
193. Провести окружность, которая проходила бы через данную
точку и касалась бы данной окружности в данной точке.
194. Большее колесо зубчатой передачи имеет 72 зубца. Сколько
градусов окружности колеса занимает один зубец колеса вместе со
впадиной?
195. Какую часть оборота сделает большее колесо с 72 зубцами,
когда сцепленное с ним меньшее, имеющее 24 зубца, сделает один
полный оборот?
196. Найти угол между стрелками на часах, когда часы показы­
вают:
1) 5 ч; 2) 3 ч 25 мин; 3) 4 ч 50 мин.
197. Угол между двумя радиусами содержит 102°37//. Найти
угол между касательными, проведенными через концы этих радиусов.
198. Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, про­
веденный в конец ее, составляет с хордой угол 37°23'?
199. Хорда делит окружность в отношении 5:11. Найти величину
вписанных углов, опирающихся на эту хорду.
200. Окружность разделена в отношении 7:11:6, и точки деле­
ния соединены между собой. Найти углы полученного треугольника.
§ 4• О круж ность и круг 191
201. Сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, прове­
денный к хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности)
дугу в отношении 5 : 2?
202. Если в треугольнике медиана составляет половину соответст­
вующей стороны, то угол против этой стороны — прямой. Доказать
это с помощью вспомогательной окружности.
203. Доказать, что всякая трапеция, вписанная в окружность, —
равнобочная.
204. Угол при вершине равнобедренного тре­
угольника равен 40°. Одна из боковых сторон
служит диаметром полуокружности, которая де­
лится другими сторонами на три части (рис. 6).
Найти эти части.
205. Основание равностороннего треуголь­
ника служит диаметром окружности. На какие
части делятся стороны треугольника полу­
окружностью и полуокружность — сторонами
треугольника?
206. Построить прямоугольный треугольник
= 5 см и высоте, опущенной на гипотенузу, h = 2 см.
207. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с =
= 3,5 см и проекции на нее одного из катетов, равной 2,9 см.
208. Какую линию образуют середины всех хорд, пересекающих­
ся в одной точке:
1) лежащей на окружности; 2) лежащей внутри нее?
209. Через точку касания двух окружностей проведена секущая.
Радиусы и касательные, проведенные через концы образовавшихся
хорд, соответственно параллельны. Доказать это утверждение.
210. Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3 : 5,
проведена касательная. Найти угол между хордой и касательной.
211. Хорда делит окружность в отношении 11 : 16. Найти угол
между касательными, проведенными из концов этой хорды.
212. Окружность разделена в отношении 5 : 9 : 10, и через точки
деления проведены касательные. Найти больший угол в полученном
треугольнике.
213. Найти величину описанного угла, если расстояние (кратчай­
шее) от его вершины до окружности равно длине радиуса.
214. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2 см;
угол при вершине равен 120°. Найти диаметр описанной окружности.
215. Острый угол прямоугольного треугольника равен 25°; под
какими углами видны его катеты из центра описанной окружности?
по гипотенузе с =
192 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
216. Построить равнобедренный треугольник по основанию и ра­
диусу вписанной окружности.
217. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится
точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5 (начиная от
вершины). Найти отношение боковой стороны к основанию.
218. В прямоугольном равнобедренном треугольнике найти ги­
потенузу по его полупериметру р и радиусу г вписанного круга.
219. Вокруг данной окружности описать равнобедренный пря­
моугольный треугольник.
220. Радиус круга равен 4 см. Гипотенуза описанного прямоу­
гольного треугольника 26 см; найти его периметр.
221. По двум углам построить треугольник, чтобы данный круг
оказался вписанным в него.
222. В ромб вписана окружность. На какие четыре части она
делится точками касания сторон, если острый угол ромба равен 37°?
223. Найти среднюю линию описанной трапеции по ее перимет­
ру 12 см.
224. Вокруг окружности описана равнобочная трапеция с уг­
лом 30°. Средняя линия ее равна 1 м. Найти радиус окружности.
225. Центральный угол сектора равен 60°, а радиус равен R. Най­
ти радиус окружности, вписанной в этот сектор.
226. Три стороны описанного четырехугольника относятся (в пос­
ледовательном порядке), как 1:2:3. Найти стороны четырехуголь­
ника, если известно, что его периметр равен 24 м.
227. Три угла вписанного четырехугольника (в последовательном
порядке) относятся, как 1:2:3. Найти углы четырехугольника.
228. Найти углы вписанной трапеции, если диагональ ее стяги­
вает дугу окружности в 140°.
229. Две окружности, радиусы которых 4 и 8, пересекаются под
прямым углом. Найти длину их общей касательной. (Углом между
двумя пересекающимися кривыми называется угол, составленный
двумя касательными, проведенным к этим кривым в точке их пере­
сечения.)
230. Две вершины квадрата лежат на окружности радиуса R , а
две другие — на касательной к ней. Найти диагональ квадрата.
Доказать теоремы (о четырех замечательных точках в треуголь­
нике) (231-234).
231. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пе­
ресекаются в одной точке. (Эта точка является центром описанной
окружности.)
§ 5. Симметрия фигур и некоторые другие вопросы 193
232. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точ­
ке. (Эта точка является центром вписанной окружности.)
233. Прямые, определяемые высотами треугольника, пересекаются
в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника.)
234. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и
делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершины. (Из физики
известно, что точка пересечения медиан треугольника есть его центр
тяжести; он всегда лежит внутри треугольника.)

235. Равны ли две фигуры, симметричные относительно:
1) данной прямой; 2) данной точки?
236. Задает ли центральную симметрию одна пара точек плос­
кости? Как найти в этом случае центр
симметрии?
237. Имеет ли центр симметрии:
а) отрезок; б) прямая; в) луч;
г) пара пересекающихся прямых
(рис. 7)?
238. Концы отрезка АВ являются точками, симметричными отно­
сительно оси I. Как расположен отрезок АВ относительно этой оси?
239. Построить фигуры, симметричные данному равносторонне­
му треугольнику АВС относительно осей (АВ), (АС), (ВС). Какую
фигуру образует объединение данной и построенных фигур?
240. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения
диагоналей прямоугольника, делит прямоугольник на два центрально
симметричных четырехугольника.
241. Каким построением получаются в параллелограмме цент­
рально симметричные точки?
242. На прямой построить два отрезка равной длины. Каким по­
воротом один из этих отрезков можно совместить с другим?
243. Найти наименьший угол поворота, при котором совмещают­
ся сами с собой:
1) квадрат; 2) ромб; 3) прямоугольник;
4) правильный пятиугольник.
244. Сколько различных направлений определяет пучок парал­
лельных прямых?
245. В какие фигуры превращаются отрезок, луч, прямая, ок­
ружность, круг, треугольник при параллельном переносе?
13 В. А. Бачурин
194 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
246. Лучи О А и 0\А\ сонаправлены. Сколько существует парал­
лельных переносов, при которых луч О А совместится с лучом 0\А{1
247. Какую фигуру образует общая часть (пересечение) следую­
щих фигур:
а) отрезка АВ и луча АВ ([АВ] и [АВ));
б) лучей АВ и В А ([А В) и [В А));
в) прямой АВ и луча АВ {{АВ) и [АВ))?
248. Какую фигуру образует объединение следующих фигур:
1) луча M N и прямой MN {[МN) и {М N));
2) луча М N и отрезка М N {[МN) и [М N));
3) луча АВ, отрезка АВ и прямой АВ {[АВ), [АВ] и {АВ))?
§ 6. В е к т о р ы
1. Основные формулы*)
249. Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Среди лучей
АВ, В А, ВС, СВ, CD, DC, AD, DA назвать пары одинаково нап­
равленных и противоположно направленных.
250. Сколько существует различных параллельных переносов, ко­
торые какую-либо из вершин параллелограмма ABCD переводят:
а) в смежную вершину;
б) в одну из вершин этого параллелограмма?
251. 1) Определяется ли вектор заданием:
а) своей длины; б) направления?
Чем задается вектор, отличный от нулевого?
2) Какие векторы называются равными?
252. Дан параллелограмм ABCD ; О — точка пересечения его
диагоналей. Какие пары, составленные из точек А, В, С, D, О, опре­
деляют равные векторы?
— — >■
253. Дано: АВ = С D . Что можно сказать о векторах АС и BD?
З а м е ч а н и е . Не забыть рассмотреть случай, когда точки А, В,
С, D лежат на одной прямой.
254. 1) Даны вектор а и точки А, В, С. Построить векторы
—У —У — У
AAi, ВВ\, СС\, равные вектору а.
— — >■
2) Дан вектор АВ . Построить векторы CD, E F , M N , равные век-
—>■
тору (— АВ).
255. Проверить построение суммы векторов (рис. 8, а-г; см. также
пояснения в ответе).
256. Проверить построение суммы и разности векторов (рис. 9):
1) а = с + Ь, 2) с = а — Ь, 3) b = а — с

 

(—2; 2). В какие точки переводит этот перенос точки:
а) (1; —1); б) (- 5 ;- 4 )?
2) Параллельный перенос переводит точку (3; —5) в точку (—2; 4).
В какие точки переводит он точки:
а) (—3; 4); б) (0; 0)?
321. Параллельный перенос переводит начало координат в точку
(—2; —3). В какую фигуру он переводит треугольник АВС с вершина-
ми Д(2;2); 5 (4 ;-2 ); С (- 1 ;-1 )?
322. Вычислить сумму векторов:
1) а( 1; -2) и 6(2; -3); 2) ш (3; 1) и п ( - 2; -1).
323. На плоскости хОу даны точки А(4; 2), Б(2;3) и (7(0; 5) и
построены векторы ОА = а , О В = 6 и 0(7 = с. Разложить геометри­
чески и аналитически вектор а по векторам бис.
324. Найти вектор а — 6, если:
1) 5(1; 4), 6(1; 3); 2) 5(1; 5), 6(2; 7).
—У —* —У
325. На плоскости хОу построить векторы О А = а = 2г; О В =
= 6 = Зг + 3j и ОС = с = 2i + 6j. Разложить геометрически и анали­
тически вектор с по векторам а и 6.
326. Вычислить длину и направление вектора с = а + 6, если:
1) 5(1 ;-4 ), 6(-4; 8); 2) 5(10; 7), 6(2; -2).
327. Вычислить длину и направление вектора р = т — п, если:
1) ш(15;0), п(0; —8); 2) ш(1; -4), п (-4;8).
328. Среди векторов а(2; —4), 6(1; 2), с(1; —2), d(—2 ;—4) найти
пары коллинеарных векторов.
329. Указать, какие векторы предыдущей задачи одинаково нап­
равлены, а какие противоположно направлены. Какие из этих векторов
имеют равные длины?
330. 1) Векторы а( 1; —1) и 6(—2; т ) коллинеарны. Найти т .
2) Векторы a(n; 1), 6(4; п) коллинеарны и одинаково направлены.
Найти п.
331. Вычислить длину вектора За, если:
1) а (—5; 12); 2) а ( - 6 ;-8).
332. Даны векторы а(3; 2) и 6(0; —1). Найти векторы:
1) с = —2 а+ 46; 2) сГ= 4а — 6.
§ 6. Векторы 201
333. Даны векторы а(3; 2) и 6(0; —1). Вычислить модули векто­
ров:
1) 4а + 36; 2) 5 а+ 106.
Найти неизвестный вектор х из уравнений (334-337).
334. 0,5£ = 7а. 335. 3£ + 4а = 9а.
336. 2ж + 3а — 56 = б. 337. т х — n i + p j = б.
338. На координатной плоскости даны векторы а(1; —2), 6(—1; 7)
и с(3; —1). Разложить вектор р = а + 6 + с по векторам а и с.
339. Найти числа х и у из векторного равенства (2 — х) а + 6 =
= у а + (х — 3) 6, где векторы а и 6 не коллинеарны.
340. Найти число ж, если векторы (х — 1)а + 26 и а + жб колли­
неарны, а векторы а и 6 не коллинеарны.
341. Векторы За + жб и (1 — х)а --- 6 сонаправлены. Найти чис-
_> б
ло ж, если векторы а и 6 не коллинеарны.
342. Найти число х из условий: (а + ж6)(а —6) = 0, векторы а и 6
образуют угол 120° и |6| = 2|а|.
343. Даны векторы а(1; 0), 6(1; 1) и с(—1; 0). Найти такие числа х
и у, чтобы имело место векторное равенство с — xa-\-yb.
2. С калярное произведение двух в е к т о р о в
Исходя из определения скалярного произведения двух векто­
ров а и 6:
аб = |а||6| cosy?, (1)
проверить равенства (344-349).
344. I J = 0; ii = 1; j j = 1; (а)2 = а2.
345. аб = (ж1?+у1/)(ж2? + у 2/) = Ж1Ж2 + У1У2- (2)
346. (2t+j)t-(*-3j)/=5.
347. (0,3* + 13j)(17* — 0,5j) = —1,4.
348. + (2t—3j)2 = —11.
349. ( i + j ) ( i - j ) = (г)2~ (1 )2 = 1 - 1 = 0.
350. Проверить, справедливы ли следующие равенства:
1) а • а = а2; 2) (а)2-а = а3; 3) а(аб) = а26; 4) а (66) = аб2;
5) (аб)2 = (а)2(6)2; 6) (а + 6)(а — 6) = а2 — 62.

 

Категория: Математика | Добавил: Админ (05.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar