Тема №5633 Ответы по математике Бачурин (Часть 4)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы по математике Бачурин (Часть 4) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы по математике Бачурин (Часть 4), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

371. Точки М, Л, В прямой I жестко связаны между собой, рас­
стояния между ними известны: МА = яд; М В = яд. Пусть в точках А
и В этой прямой приложены силы р\ и р2 перпендикулярно к ней
(рис. 13).
Требуется определить на пря­
мой I положение точки С прило­
жения равнодействующей, т. е. вы­
разить расстояние яд = М(7 через
известные величины /д, ^д, яд, яд.
372. Если в плане конструк­
ции самолета переднюю и заднюю кромки крыла продолжить до оси
машины, то получим на оси отрезок MTV, который называется средней
аэродинамической хордой самолета и обозначается М N = £сах.
Пусть прямая I предыдущей задачи является осью самолета.
Положения точек М, Л, N, В на ней известны. В точку Л проекти­
руется середина оси передних колес, в точку В — середина оси зад­
них колес (точки Л и В — середины точек опоры самолета). Силу р\
покажут весы, подставленные под передними колесами, силу р2 —
весы, подставленные под задними колесами. Итак, нам известны
величины: МЛ = яд; М В = яд; M N = £сах; /д; р2 . Требуется найти
центровку самолета, т. е. определить положение его центра тяжести,
иначе говоря, найти яд в процентах от £сах.
373. Пусть масса двухместного самолета вместе с пилотом и гру­
зами, которые размещаются, как и во всех самолетах, симметрично
R
1Р1 \Р2
М л | 1f N, Б j 1
Рис. 13
204 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
относительно оси (поэтому центр тяжести самолета находится только
на его оси) равна т кг. Центровка его 30%. Как изменится цент­
ровка машины, если сзади пилота на расстоянии а от него поместить
пассажира с массой п? Центр тяжести пилота совпадает с центром
тяжести самолета и £сах = Ь.
374. Как провести центровку самолета, если весы имеются только
в одном экземпляре, а точек опоры самолета три: две точки спереди
и одна точка сзади?
§ 7. П од о би е ф и г у р
375. Стороны треугольника равны 6, 9 и 12 см. Вычислить от­
резки, на которые биссектриса треугольника делит сторону, лежащую
против большего угла треугольника.
376. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла
делит гипотенузу в отношении 3:2. Найти отношение проекций кате­
тов на гипотенузу.
377. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника де­
лит гипотенузу на отрезки 3 и 4 см. Вычислить длины катетов.
378. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Вы­
числить длину радиуса вписанной окружности.
379. Вычислить длину радиуса окружности, описанной около
треугольника, длины сторон которого 9, 12 и 15 см.
380. Диаметр полуокружности, равный 30 см, разделен на три
части в отношении 1:2:7. Из точек деления восстановлены перпен­
дикуляры до пересечения с полуокружностью. Вычислить длину каж­
дого перпендикуляра.
381. Найти длину диаметра окружности, описанной около равно­
бедренного треугольника, основание которого 18 см, а высота 12 см.
382. Касательная равна а, а наибольшая секущая, проведенная
из той же точки вне окружности, равна Ь. Найти радиус окружности.
383. Построить множество точек, расстояния которых от сторон
данного угла имеют одно и то же отношение т : п.
384. В равнобедренном треугольнике высота равна 20 см, а ос­
нование относится к боковой стороне, как 4:3. Вычислить радиус
вписанной окружности.
385. В равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружнос­
ти составляет - высоты, а периметр этого треугольника равен 56 см.
Вычислить длины его сторон.
386. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности
делит высоту в отношении 12 : 5, а боковая сторона равна 60 см. Вы­
числить длину основания.
§ 7. Подобие фигур 205
387. В треугольник вписан параллелограмм, угол которого сов­
падает с углом треугольника. Стороны треугольника, заключающие
этот угол, равны 20 см и 25 см, а параллельные им стороны парал­
лелограмма относятся, как 6:5. Найти стороны параллелограмма.
388. В треугольник, основание которого равно 48 см, а высота
16 см, вписан прямоугольник с отношением сторон 5 : 9, причем боль­
шая сторона лежит на основании треугольника. Найти стороны тре­
угольника.
389. Две окружности внешне касаются. Прямая, проведенная че­
рез точку касания, образует в окружностях хорды, из которых одна
составляет — другой. Найти радиусы, если расстояние между центра-
о
ми равно 36 см.
390. Наибольшие стороны двух подобных многоугольников рав­
ны 35 м и 14 м, а разность их периметров равна 60 м. Найти периметры.
391. Катеты относятся, как 5 : 6, а гипотенуза равна 122 см. Найти
отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой.
392. Катеты относятся, как 3 : 7, а высота, проведенная к гипоте­
нузе, равна 42 см. Найти отрезки гипотенузы.
393. Расстояния от одного конца диаметра до концов параллель­
ной ему хорды равны 13 см и 84 см. Найти радиус окружности.
394. К окружности радиуса 7 см проведены две касательные из
одной точки, удаленной от центра на 25 см. Вычислить расстояние
между точками касания.
395. Касательная и секущая, проведенные из общей точки к
одной окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная рав­
на 12 м, а внутренняя часть секущей равна 10 м. Найти радиус
окружности.
396. Найти катеты, если биссектриса прямого угла делит гипоте­
нузу на части в 15 см и 20 см.
397. Из одной точки проведены к окружности две касательные.
Длина касательной равна 156 см, а расстояние между точками каса­
ния равно 120 см. Найти радиус окружности.
398. Длины двух параллельных хорд равны 40 см и 48 см, рас­
стояние между ними равно 22 см. Найти радиус окружности.
399. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см.
Вычислить расстояние от центра вписанной окружности до высоты,
проведенной к гипотенузе.
400. Сторона треугольника равна 21 см, а две другие стороны
образуют угол 60° и относятся, как 3 : 8. Найти эти стороны.
206 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
401. Основание треугольника равно 13 см; угол при вершине ра­
вен 60°; сумма боковых сторон равна 22 см. Найти боковые стороны
и высоту.
402. Из одной точки проведены к окружности секущая и каса­
тельная. Сумма их равна 15 см, а внешний отрезок секущей на 2 см
меньше касательной. Найти секущую и касательную.
403. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 см, а
боковая сторона равна 30 см. Найти радиусы описанной и вписанной
окружностей и расстояние между их центрами.
404. Даны две стороны треугольника, равные 6 см и 8 см, и угол
между ними, равный 120°. Найти длину биссектрисы этого угла.
405. В сегмент с дугой в 120° и высотой h вписан прямоугольник,
у которого основание в 4 раза больше высоты. Найти высоту прямо­
угольника.
406. В равнобедренном треугольнике АВС сторона \АС\ = d;
сторона \ВА\ = |ВС\ = a; AN и СМ — биссектрисы углов А и С.
Вычислить длину отрезка М N.
407. Построить треугольник, подобный данному, периметр кото­
рого равен данной длине.
408. Доказать, что если АВ и C D — хорды, пересекающиеся в
точке М. то \АМ\• \МВ\ = \СМ\• \MD\.
409. Основания трапеции относятся, как 5 : 9, а одна из боковых
сторон равна 16 см. На сколько надо ее продолжить, чтобы она пере­
секлась с продолжением другой боковой стороны?
410. Прямая, проведенная через вершину ромба вне его, отсекает
на продолжениях двух сторон отрезки р и q. Найти сторону ромба.
411. В треугольник с основанием а и высотой h вписан квадрат
так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие
две — на боковых сторонах. Найти сторону квадрата.
412. В данный треугольник вписать прямоугольник, у которого
стороны относились бы, как т : п.
413. В треугольник вписана полуокружность, касающаяся основа­
ния, а диаметр (с концами на боковых сторонах треугольника) парал­
лелен основанию. Найти радиус, если основание треугольника равно а,
а высота h.
414. Вычислить длину хорды окружности, если даны радиус г и
расстояние а от одного конца хорды до касательной, проведенной че­
рез другой ее конец.
415. В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны па­
раллельны диагоналям параллелограмма. Найти сторону ромба, если
диагонали параллелограмма равны I и т .

416. Радиус сектора круга равен г, а хорда его дуги равна а. Най­
ти радиус круга, вписанного в этот сектор.
417. По данной сумме двух отрезков и среднему пропорциональ­
ному этих отрезков построить отрезки.
418. Высота ромба делит его сторону на отрезки длиной шип.
Найти диагонали ромба.
419. Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований
трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон и точку
пересечения ее диагоналей.
420. Основание равнобедренного треугольника равно 4д/2, а ме­
диана боковой стороны 5. Найти длину боковых сторон.
421. Доказать, что в прямоугольном треугольнике ab = с/г, где а
и b — катеты, с — гипотенуза, h — высота, проведенная из вершины
прямого угла.
422. Разрезав прямоугольник прямой пополам, получили два пря­
моугольника, подобных данному. При каком отношении сторон это
возможно?
423. Доказать, что диаметр окружности, вписанной в равнобоч­
ную трапецию, есть среднее пропорциональное между параллельными
сторонами трапеции.
424. В равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине и
боковой стороной, равной а, вписана окружность. Найти радиус ок­
ружности.
425. Доказать, что отношение квадратов катетов равно отноше­
нию их проекций на гипотенузу.
426. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см,
а высота относится к основанию, как 3:2. Найти радиус описанной
окружности.
427. Медиана гипотенузы прямоугольного треугольника равна т
и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти стороны треугольника.
428. Найти острые углы прямоугольного треугольника, если ме­
диана его гипотенузы делит прямой угол в отношении 1:2.
429. В равностороннем треугольнике определить сторону по дан­
ной его высоте h.
430. В ромб, который делится своей диагональю на два равно­
сторонних треугольника, вписана окружность радиусом в 2 единицы.
Найти сторону ромба.
431. В равностороннем треугольнике высота меньше стороны
на т . Определить сторону.
208 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
432. В треугольнике известны длины двух сторон: 6 см и 3 см.
Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, опущенных на
данные стороны, равна третьей высоте.
433. В сегменте хорда равна а, а высота равна h. Найти радиус
окружности.
434. Боковые стороны равнобочной трапеции при их продолже­
нии пересекаются под прямым углом. Найти все стороны трапеции,
если среднее геометрическое высоты и средней линии равно 2 л/З см,
а высота равна 2 см.
435. Две окружности радиусами R и г внешне касаются. Из
центра одной из них проведена касательная к другой, а из полученной
точки касания — касательная к первой. Вычислить длину последней
касательной.
436. В окружность с диаметром, равным д/12, вписан правиль­
ный треугольник. На его высоте, как на стороне, построен другой
правильный треугольник, в который вписана новая окружность. Най­
ти радиус этой окружности.
437. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла
делит гипотенузу в отношении 7 : 9. В каком отношении (считая части
в том же порядке) делит ее высота?
438. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне
касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен г. Найти
радиус большей окружности.
439. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет ра­
вен а. На какие части делит его биссектриса противолежащего угла?
440. Окружность касается одного из катетов равнобедренного пря­
моугольного треугольника и проходит через вершину противолежаще­
го острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на
гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен а.
441. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла де­
лит катет на отрезки т и п (т > п). Найти другой катет и гипотенузу.
442. Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона
равны 4, высота равна 2. Найти длину средней линии.
443. Радиус окружности г. Найти длину хорды, проведенной из
конца диаметра через середину перпендикулярного к нему радиуса.
т
444. В круге радиуса г проведена хорда, равная - . Через один
конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой —
секущая, параллельная касательной. Найти расстояние между ними.
445. Высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла
треугольника, относятся, как 40:41. Найти отношение катетов.
§ 7. Подобие фигур 209
446. В правильный треугольник вписана окружность. В отсечен­
ные окружностью части углов треугольника вписаны малые окруж­
ности. Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности
равен г.
447. Найти стороны равнобочной трапеции по отношению ее ос­
нований т : п и радиусу вписанного в нее круга г.
448. В треугольнике основание равно 60 м, высота 12 м и медиана
основания 13 м. Найти боковые стороны.
449. Общая внешняя касательная двух внешне касающихся ок­
ружностей есть среднее пропорциональное между их диаметрами.
Доказать это утверждение.
450. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию,
удален от концов ее боковой стороны на расстояния 3 см и 9 см. Най­
ти стороны трапеции.
451. Найти стороны треугольника, зная, что средняя по величине
сторона отличается от каждой из двух других на единицу и что про­
екция большей стороны на среднюю равна 9 единицам.
452. В прямоугольный треугольник со сторонами 6 см, 8 см и
10 см вписана окружность. Через центр окружности проведены пря­
мые, параллельные сторонам треугольника. Найти средние отрезки
сторон треугольника, полученные при пересечении прямых со сторо­
нами.
453. Данной окружности радиуса R касаются две меньших ок­
ружности радиуса г: одна изнутри, другая извне. Дуга между точками
касания содержит 60°. Вычислить расстояние между центрами мень­
ших окружностей.
454. В некоторый угол вписана окружность радиуса 5 см. Длина
хорды, соединяющей точки касания, равна 8 см. К окружности прове­
дены две касательные параллельно хорде до пересечения со сторонами
угла. Найти стороны образовавшейся трапеции.
455. Найти острый угол ромба, в котором сторона есть среднее
пропорциональное между диагоналями.
456. Из вершины острого угла ромба опущены два перпендику­
ляра на продолжения его сторон. Длина каждого перпендикуляра
равна 3, а расстояние между их основаниями ЗУЗ. Найти диагонали
ромба.
457. Сравнением отрезков доказать, что среднее арифметическое
двух чисел (неравных) больше их среднего геометрического.
458. Найти радиус окружности, описанной вокруг равнобочной
трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10.
14 В. А. Бачурин
210 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
459. Две хорды а и b продолжены до взаимного пересечения. Най­
ти их продолжения, если они относятся, как т : п.
460. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны д/52
и д/73. Найти гипотенузу треугольника.
461. Общая хорда двух пересекающихся окружностей продолже­
на, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные.
Доказать равенство их длин.
462. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны. Соот­
ветствующие им стороны равны 6 см и 8 см. Найти третью сторону.
463. Как далеко видно из вертолета, летящего на высоте 5600 м,
если радиус Земли принять равным 6000 км?
464. Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см. Найти
его стороны, если высота, опущенная на гипотенузу, равна 12 см.
465. Из одной точки проведены к окружности секущая и каса­
тельная. Секущая равна а, а ее внутренний отрезок больше внешнего
отрезка на длину касательной. Найти касательную.
466. Внутри равностороннего треугольника взята точка М, отс­
тоящая от его сторон на расстояния 6, с, d. Найти высоту этого тре­
угольника.
467. Радиус окружности равен г, хорда данной дуги равна а. Най­
ти хорду удвоенной дуги.
468. К данной окружности проведены две параллельные каса­
тельные и третья касательная, пересекающая их. Доказать, что радиус
есть среднее пропорциональное между отрезками касательной.
469. В треугольник вписана окружность радиуса 3 см. Найти сто­
роны треугольника, если одна из них разделена точкой касания на
части, равные 4 см и 3 см.
470. Радиус г окружности составляет i суммы высоты и основа­
ния равнобедренного вписанного треугольника. Найти высоту.
471. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей
трапеции параллельно ее основаниям, пересекает боковые стороны в
точках М и N. Доказать, что \MN\ = гДе а и Ь — длины осно­
ваний.
472. При пересечении двух внешне касающихся окружностей ра­
диусов R и г секущей на ней отделились три равных отрезка. Найти
их длину.
473. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см,
а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус
окружности, вписанной в этот треугольник.
§ 8. Правильные многоугольники. Длина окруж ности 211
474. Окружность радиуса г касается прямой M N в точке С и
проходит через точку Л, находящуюся на расстоянии а от М N. Най­
ти \АС\.

475. Найти величину угла правильного n-угольника (п = 3; 4; 5;
6; 8; 10; 12; 25).
476. 1) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каж­
дый из внутренних углов которого равен 135°? 150°?
2) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из
внешних углов которого равен 36°? 24°?
477. Конец валика диаметром в 4 см опилен под квадрат. Най­
ти наибольший размер, который может иметь сторона квадрата.
478. Конец винта газовой задвижки имеет правильную трехгран­
ную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань,
если цилиндрическая часть винта имеет диаметр 2 см?
479. Вычислить, какой размер отверстия х должен иметь ключ
для правильной шестигранной гайки,
если ширина грани гайки а = 2,5 см.
Величина зазора между гранями
гайки и ключа равна 0,5 мм (рис. 14).
480. Шаблон для углов гаек име­
ет угол:
а) 90°; б) 120°; в) 135°.
Найти число сторон гаек.
481. Окружность радиуса R разделена в отношении 1:2:3, и
точки деления соединены хордами. Найти периметр получившегося
треугольника.
482. По данной стороне а построить правильный 8-угольник,
12-угольник.
483. 1) Хорда, перпендикулярная радиусу в его середине, равно­
велика стороне правильного вписанного треугольника. Доказать это
утверждение.
2) Показать, что кв = 0,5аз.
14*
212 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
484. 1) В правильном треугольнике апофема составляет - вы-
1 3 соты и - радиуса описанной окружности. Доказать это утверждение.
2) Разность между радиусами окружностей, описанной вокруг пра­
вильного треугольника и вписанной в него, равна т . Найти сторону
треугольника.
485. 1) Сторона правильного многоугольника равна а ; радиус
окружности, описанной вокруг этого многоугольника, равен R. Найти
радиус вписанной окружности.
2) Пусть R — радиус описанной вокруг многоугольника окруж­
ности, г — радиус вписанной окружности. Найти сторону этого мно­
гоугольника.
486. В окружность радиуса R = 4 см вписан правильный шести­
угольник. Найти проекции его сторон на каждую диагональ.

491. По данному радиусу окружности R и данной стороне ап
правильного вписанного n-угольника вычислить сторону Ьп правиль­
ного описанного п-угольника.
492. В окружность вписаны и вокруг нее описаны правильные
п-угольники. Найти отношение сторон этих n-угольников (п = 3;
п = 6).
493. В окружность радиуса R вписан правильный n-угольник, и
середины его сторон последовательно соединены. Найти сторону но­
вого n-угольника, если п равно:
1) 6; 2) 8.
494. В правильном 8-угольнике со стороной а соединены середи­
ны четырех сторон, взятых через одну, так что получился квадрат.
Вычислить сторону квадрата.
495. Построить правильный 8-угольник отсечением углов дан­
ного квадрата.
§ 8. Правильные многоугольники. Длина окруж ности 213
496. С помощью срезывания углов превратить данный правиль­
ный треугольник со стороной а в правильный 6-угольник и найти его
сторону.

498. Сторона правильного вписанного в окружность треуголь­
ника равна Ь. Найти радиус окружности и сторону вписанного в
окружность квадрата.
499. В окружность, радиус которой равен 4 дм, вписан правиль­
ный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найти ра­
диус окружности, описанной вокруг квадрата.
500. В окружность радиуса R вписан правильный треугольник,
в который вписана окружность, а в эту окружность вписан квадрат.
Найти сторону квадрата.
501. Вокруг правильного треугольника со стороной а описана ок­
ружность; вокруг этой окружности описан квадрат, а вокруг него —
окружность. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.
502. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и
служит для одной окружности стороной правильного вписанного тре­
угольника, а для другой — стороной вписанного квадрата. Вычислить
расстояние между центрами окружностей.
503. Центры двух пересекающихся окружностей лежат по одну
сторону от их общей хорды, имеющей длину а и стягивающей в одной
окружности дугу в 60°, а в другой — дугу в 30°. Вычислить расстоя­
ние между центрами.
504. Каждая сторона а правильного треугольника разделена на
три части одинаковой длины, и соответственные точки деления (счи­
тая в одном направлении) соединены между собой, в результате чего
получился новый треугольник. Найти радиус вписанной в него ок­
ружности.
505. В ромб вписать квадрат, стороны которого параллельны
диагоналям ромба.
506. Один из двух квадратов со стороной а, наложенных друг на
друга, повернут около центра на 45°. Найти периметр образовавшей­
ся при этом звезды.
507. 1) Окружность радиуса R разделена на шесть равных по
длине частей, и точки деления соединены хордами через одну. Найти
сторону полученной шестиугольной звезды.
доказать, что d2n —
/
214 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
2) Окружность радиуса R разделена на восемь равных по длине
частей, и точки деления соединены хордами через одну. Найти сто­
рону восьмиугольной звезды.
508. Найти отношение между длинами сторон треугольника, если
величины углов его относятся, как 1:2:3.
509. Середина полуокружности соединена с концами диаметра, и
через середины соединяющих отрезков проведена хорда. Каждый из
боковых отрезков хорды равен с. Найти радиус окружности.
510. В сегмент с дугой в 120° и высотой h вписан прямоугольник,
у которого основание в 4 раза больше высоты. Найти высоту прямо­
угольника.
511. На каждой из двух половин отрезка построены, как на диа­
метрах, две окружности, и из каждого конца этого отрезка проведены
касательные к окружности, построенной у другого конца. Доказать,
что отрезок, соединяющий точки пересечения касательных, равнове­
лик стороне квадрата, вписанного в одну из окружностей.
512. Расстояние между серединами двух зубцов зубчатого колеса,
имеющего 0,66 м в диаметре, равно 34,5 мм, считая по дуге. Сколько
зубцов имеет колесо?
513. Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в минуту.
Вычислить скорость движения точки, лежащей на окружности шкива.
514. По данному радиусу R найти длину дуги, содержащей:
1) 45°; 2) 24°30'; 3) б П ^ б ".
515. Найти радиус дуги, если ее длина равна /, а градусная мера:
1) 135°; 2) 10°40'.
516. Окружность шкива (рис. 15) имеет
длину 540 мм, ремень касается шкива по
дуге длиной 200 мм. Найти угол а обхвата
шкива ремнем.
517. Радиус железнодорожного закруг­
ления равен 1200 м; длина дуги равна 450 м.
Сколько градусов содержит дуга?
518. Окружность радиуса 2 см разогнута в дугу радиуса 5 см.
Найти получившийся центральный угол.
519. Дуга радиуса 4 см, измеряющая центральный угол в 120°,
равна длине некоторой окружности. Найти радиус этой окружности.
520. Окружность радиуса 6 см разогнута в дугу, измеряющую
центральный угол в 300°. Найти радиус дуги.
521. Найти число градусов дуги, если даны ее радиус R и длина I:
1) R = Ю, I = 45; 2) R = 15, / = 6.
§ 9. Площади фигур 215
522. Сколько градусов и минут в дуге, длина которой равна ра-
ДИУСУ ( 1 = 0,31831)?
523. По данной хорде а вычислить длину ее дуги, если она со­
держит:
1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
524. По данной длине дуги I найти ее хорду, если дуга содержит:
1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
525. 1) На сколько увеличится длина окружности, если радиус
увеличить на ш?
2) Диаметр экватора на глобусе 0,75 м, диаметр воображаемого
экватора Земли 13 000 км. Если мысленно увеличить длину каждого
экватора на 1 м, то как изменятся радиусы?
526. Стальная труба со стенками толщиной в 6 мм имеет в се­
чении внешнюю окружность длиной 22 см. Найти длину внутренней
окружности.
527. Вычислить длину окружности, если она больше периметра
правильного вписанного шестиугольника на 7 см.
528. Дуга сегмента содержит 120° и имеет длину I. Вычислить
длину окружности, вписанной в этот сегмент.
529. Из конца дуги АВС , содержащей 120°, проведены касатель­
ные до взаимного пересечения в точке D, и в полученную фигуру
ABCD вписана окружность. Доказать, что длина этой окружности
равна длине дуги АВС.
530. Найти катеты прямоугольного треугольника, если они отно­
сятся между собой, как 20 : 21, а разность между радиусами описан­
ной и вписанной окружностей равна 17 см.
§ 9. П л о щ а д и ф и г у р
531. Сколько потребуется плиток, имеющих форму правильного
шестиугольника со стороной 8 см, чтобы выстлать пол площадью
4,5 м х 3,8 м? На бой прибавить 5 %.
532. Можно ли составить паркет из плиток, имеющих форму:
а) правильных треугольников;
б) правильных пятиугольников;
в) правильных шестиугольников?
533. Найти площадь квадрата по его диагонали I.
534. Найти площадь квадрата, вписанного в окружность радиу­
са R.
216 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
535. Вычислить площадь ромба, если его сторона равна а, а ра­
диус вписанной окружности г.
536. На сколько увеличится:
а) длина окружности; б) площадь круга,
если радиус окружности R увеличить на 1 см?
537. В квадрат вписаны 4 окружности, касающиеся друг друга и
сторон квадрата. Доказать, что сумма площадей четырех кругов рав­
на площади круга, вписанного в квадрат.
538. Во сколько раз площадь описанного квадрата больше пло­
щади вписанного (в ту же окружность)?
539. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые сторо­
ны. Найти острый угол параллелограмма, если площадь параллело­
грамма равна половине площади прямоугольника.
540. Начертить квадрат и ромб, периметры которых одинаковы.
Площадь какой из этих фигур больше? Почему?
541. В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна
из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы
равны т и п . Найти площадь этого квадрата.
542. Из каждой вершины данного квадрата проведена в следую­
щую вершину внутренняя дуга в 120°, и точки пересечения дуг сое­
динены между собой, отчего получился внутренний квадрат. Найти
отношение площадей квадратов.
543. Из точки, взятой на гипотенузе, проведены перпендикуляры
к обоим катетам. Найти площадь прямоугольника, отсеченного этими
перпендикулярами, если отрезки катетов при гипотенузе равны т и п .
544. По данным катетам а и b найти высоту, проведенную к ги­
потенузе.
545. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треуголь­
ника по его гипотенузе с.
546. Найти площадь равностороннего треугольника:
1) по его стороне а ; 2) по его высоте h.
547. Найти сторону равностороннего треугольника по его пло­
щади Q.
548. Найти площадь треугольника, стороны которого равны высо­
там треугольника предыдущей задачи.
549. Найти площадь правильного треугольника, вписанного в ок­
ружность радиуса R.
550. Найти площадь круга, вписанного в треугольник предыду­
щей задачи.
551. Найти сторону ромба, если его диагонали относятся,
как ш : п, а площадь равна Q.
§ 9. Площади фигур 217
552. Из середины основания треугольника проведены прямые,
параллельные боковым сторонам. Доказать, что полученный таким
образом параллелограмм равновелик половине треугольника.
553. Превратить треугольник в равновеликий ему параллело­
грамм.
554. На сторонах равностороннего треугольника построены квад­
раты, и свободные вершины их соединены. Найти площадь полученно­
го шестиугольника, если сторона данного треугольника равна а.
555. Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что
образовался правильный восьмиугольник. Найти площадь этого вось­
миугольника.
556. Стороны треугольника 13 см, 14 см, 15 см. Вычислить ради­
ус окружности, которая имеет центр на средней стороне и касается
двух других сторон.
557. Площадь трапеции делится диагональю в отношении 3 : 7.
В каком отношении она делится средней линией (начиная от меньше­
го основания)?
558. Найти площадь равнобочной трапеции, у которой диагонали
взаимно перпендикулярны, а высота равна h.
559. Найти площадь равнобочной трапеции, если ее диагональ
равна с и образует с большим основанием угол 45°.
560. В круге радиуса R по одну сторону от центра проведены две
параллельные хорды, стягивающие дуги в 60° и 120°, и концы соеди­
нены. Найти площадь полученной трапеции.
561. На сторонах прямоугольника построены вне его равносто­
ронние треугольники, и свободные их вершины соединены. Найти
площадь получившегося четырехугольника, если стороны данного
прямоугольника а и Ь.
562. Вычислить площадь треугольника, если основание равно а,
а углы при основании 30° и 45°.
563. 1) Построить квадрат, равновеликий сумме двух данных
квадратов со сторонами а и b (а = 5 см и b = 12 см).
2) Построить квадрат, площадь которого в три раза больше пло­
щади данного квадрата со стороной а.
564. 1) Найти сторону правильного шестиугольника по его пло­
щади S.
2) Найти площадь круга, вписанного в этот шестиугольник.
565. По данному радиусу R найти площади правильных вписан­
ных восьмиугольника и двенадцатиугольника.
566. На прямой, проходящей через середины оснований трапеции,
взята точка и соединена со всеми вершинами трапеции. Доказать, что
218 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равнове­
лики.
567. На сторонах прямоугольного треугольника построены квад­
раты, и свободные вершины их соединены. Найти площадь полученного
шестиугольника, если катеты данного треугольника равны а и 6.
568. Какую часть площади (считая от вершины) отсекает сред­
няя линия треугольника?
569. Высота треугольника равна h. На каком расстоянии от вер­
шины находится параллель к основанию, делящая площадь треуголь­
ника пополам?
570. Какую часть площади одноименных описанных фигур сос­
тавляют площади следующих вписанных фигур:
1) правильного треугольника; 2) квадрата;
3) правильного шестиугольника
(вопрос решить, не вычисляя самих площадей).
571. В параллелограмме соединены, если идти в одном направ­
лении, середина каждой стороны с концом следующей, в результате
чего получился внутренний параллелограмм. Доказать, что его пло-
1
щадь составляет - площади данного параллелограмма,
о
572. Как относятся между собой основания такой трапеции, ко­
торая равновелика своему дополнительному треугольнику?
573. Треугольник и вписанный в него ромб имеют общий угол.
Стороны треугольника, заключающие этот угол, относятся, как т : п.
Найти отношение площади ромба к площади треугольника.
574. Параллелограмм имеет стороны а = 8сми6 = 4 см. Прев­
ратить его в равновеликий ему параллелограмм с таким же углом и
основанием 6 = 6 см.
575. Отношение катетов прямоугольного треугольника рав­
но 1,05, разность между радиусами описанной и вписанной окруж­
ностей 1,7 м. Вычислить площадь треугольника.
576. Вычислить площадь треугольника, если две стороны его
равны 27 см и 29 см, а медиана третьей стороны 26 см.
577. Найти площадь равнобочной трапеции с основаниями в 10 см
и 26 см и диагоналями, перпендикулярными боковым сторонам.
578. В равнобочной трапеции, описанной вокруг круга, боковая
сторона а, а угол при основании 30°. Найти ее площадь.
579. Прямые, параллельные основанию, делят площадь треуголь­
ника в отношении 9 : 55 : 161 (от вершины к основанию). В каком
отношении делятся боковые стороны?
§ 9. Площади фигур 219
580. Площадь прямоугольного треугольника разделена пополам
прямой, перпендикулярной гипотенузе. Найти расстояние ее от вер­
шины меньшего острого угла, если больший катет равен 20 м.
581. В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана треть­
ей стороны 10. Найти третью сторону.
582. Медианы равнобедренного треугольника равны 15, 15 и 18.
Вычислить площадь треугольника.
583. Сечение железобетонной сваи имеет вид правильного вось­
миугольника. Наибольшее расстояние между противоположными вер­
шинами равно 224 мм. Найти площадь сечения.
584. Построить круг, площадь которого была бы равна:
1) 9 см2; 2) 16 см2
(построение выполнить приближенно).
585. Доказать, что во всяком треугольнике произведение двух сто­
рон равно произведению диаметра описанной окружности на высоту,
опущенную на третью сторону.

587. В окружность радиуса R вписан прямоугольник ABCD. Най­
ти его площадь, если дуга АВ содержит а градусов, где а равно:
1) 30°; 2) 45°; 3) 60°; 4) 90°.
588. Найти площадь круга, если площадь вписанного в соответст­
вующую окружность квадрата равна F.
589. Площадь круга и длина его окружности выражаются одним
и тем же числом. Найти радиус и доказать единственность его значе­
ния.
590. Найти отношение между площадями вписанного и описан­
ного кругов:
1) для правильного треугольника; 2) для квадрата;
3) для правильного шестиугольника.
591. Расстояние между противоположными гранями восьмигран­
ного стального прута равно 36 мм. Вычислить площадь поперечного
сечения.
592. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его
боковую сторону в отношении 5 : 3 (начиная от вершины), а площадь —
на части, разность которых равна 56 см2. Найти площадь треуголь­
ника.
220 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
593. Построить квадрат:
1) равновеликий разности двух данных квадратов;
2) равновеликий сумме п данных квадратов.
594. Доказать, что три медианы треугольника делят его пло­
щадь на шесть равновеликих треугольников.
595. Какой груз выдерживает пеньковый канат, имеющий 18 см
в окружности, если допускаемая нагрузка равна 10 МПа?
596. Две трубы с диаметрами в 6 см и 8 см требуется заменить
одной трубой той же пропускной способности. Найти ее диаметр.
597. Площадь кругового кольца равна S. Радиус большей ок­
ружности равен длине меньшей окружности. Найти радиус последней.
598. Найти отношение площадей правильного треугольника, квад­
рата и правильного шестиугольника, длины сторон которых равны.
599. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треуголь­
ника с катетами 6 см и 8 см, разбивает его на две части. Найти их
площади.
600. В кольце, образованном двумя концентрическими окруж­
ностями, хорда большей окружности, касающаяся меньшей, равна а.
Найти площадь кольца.
601. Окружности касаются шесть равных ей окружностей, ка­
сающихся также между собой, и полученное соединение семи рав­
ных окружностей охвачено таким концентрическим кольцом, которое
равновелико их сумме. Доказать, что ширина кольца равна радиусу
окружностей.
602. Радиус сектора равен г, а площадь равна q. Найти величину
центрального угла и дуги, на которую он опирается.
603. Полуокружность радиуса г разделена на 3 равные части, и
точки деления соединены с одним из концов диаметра. Найти площадь
средней части полукруга.
604. Площадь круга равна Q. Найти площадь вписанного в ок­
ружность прямоугольника, стороны которого относятся, как т : п.
605. Найти стороны прямоугольника, вписанного в окружность
радиуса R , если его площадь составляет - площади круга.
606. Найти площадь между вписанной и описанной окружностя­
ми для правильного треугольника с площадью Q.
607. Два одинаковых полукруга наложены так, что диаметры их
параллельны, а полуокружность одного проходит через центр другого.
Найти площадь общей части полукругов по данному их радиусу R.
608. В правильном треугольнике со стороной а проведены дуги
через его центр и вершины. Найти площадь полученной розетки.
§10. Приложение алгебры к геометрии 221
609. Найти площадь круга, если известны стороны а, 6, с вписан­
ного в окружность треугольника.
610. Стороны а, 6, с треугольника относятся как 2:3:4. В него
вписан полукруг с диаметром, лежащим на большей стороне. Найти
площадь полукруга.
611. На сторонах ромба описаны, как на диаметрах, полуокруж­
ности, обращенные внутрь. Диагонали ромба равны а и Ь. Найти пло­
щадь полученной розетки.
612. В прямоугольном треугольнике высота делит гипотенузу на
отрезки 32 см и 18 см. Вычислить площадь вписанного круга.

617. Построить квадрат, равновеликий данному равностороннему
треугольнику со стороной а.
618. Построить круг, площадь которого вдвое больше площади
данного круга с радиусом R.
619. Площадь данного круга с радиусом R разделить пополам
концентрической окружностью.
620. Построить квадрат, равновеликий - параллелограмма со сто-
„ , 5
ронои а и опущенной на нее высотой гг.
2004.
*) См., например, учебник геометрии А. П. Киселева, М.: ФИЗМАТЛИТ,
222 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
621. Построить круг, равновеликий кольцу между двумя концент­
рическими окружностями с радиусами R и г.
622. По данному основанию а и прилежащему к нему углу в 30°
построить треугольник, равновеликий данному треугольнику с осно­
ванием b и высотой h.
623. Разделить данный отрезок а в среднем и крайнем отношении,
т. е. разделить его на две части так, чтобы большая часть была сред­
ним пропорциональным между всем отрезком и его меньшей частью.
624. На продолжении диаметра окружности радиуса г найти та­
кую точку, чтобы касательная, проведенная из нее к данной окруж­
ности, была равна диаметру.
625. Найти большую часть при делении отрезка в среднем и край­
нем отношении, если меньшая часть равна Ь.
626. Если меньшую часть отрезка, разделенного в среднем и край­
нем отношении, отложить на большей части, то большая часть также
разделится в среднем и крайнем отношении. Доказать это утверж­
дение.
627. Диаметр разделен в среднем и крайнем отношении перпен­
дикуляром, проведенным из точки окружности. Радиус окружности
равен г. Найти длину перпендикуляра.
628. Если радиус круга разделить в крайнем и среднем отноше­
нии и, взяв большую часть, описать ею концентрическую с данной
окружность, то площадь данного круга также разделится в среднем
и крайнем отношении, причем большей частью будет кольцо. Дока­
зать это утверждение.
629. Площадь данного треугольника разделить пополам прямой,
параллельной его основанию.
630. В данный треугольник вписать прямоугольник, основание
которого относилось бы к высоте, как т : п.
631. В ромб с диагоналями d\ и d,2 вписать прямоугольник, сто­
роны которого были бы параллельны диагоналям ромба, а площадь
была бы равна - площади ромба.
О
632. Площадь треугольника разделить пополам прямой, перпен­
дикулярной основанию.
§ 11. Р е ш ен и е т р е у го л ь н и к о в . З а д ач и по п л ан и м етр и и
с п р и м ен ен и ем тр и го н о м ет р и ч е с к и х ф у н к ц и й
Обозначения: а, b и с — длины сторон треугольника; А, В и С —
величины противолежащих им углов; S — площадь; 2р — пери­
метр; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной
§11. Решение треугольников. Задачи по планиметрии 223
окружности; ha, 1а и т а — длины высоты, биссектрисы и медианы,
соответствующих стороне а.
633. При съемке равномерно поднимающейся улицы длиной 728 м
установлено вертикальное повышение в 37,4 м. Найти угол подъема и
горизонтальную проекцию улицы.
634. В полдень при высоте Солнца в 28° фабричная труба бро­
сает тень длиной 76 м. Вычислить высоту трубы.
635. Ширина каждой ступеньки домовой лестницы равна 25 см.
Какова должна быть высота ступеньки для того, чтобы угол подъема
лестницы был равен 40°?
636. Две прямые улицы пересекаются под углом 51о507. Одна из
них на расстоянии 1625 м от места пересечения должна быть соеди­
нена кратчайшим путем со второй. Найти длину этого кратчайшего
переулка.
637. По основанию b и боковой стороне а равнобедренного тре­
угольника вычислить угол при основании (b = 28,13; а = 17,53).
638. Угол а , вписанный в окружность, опирается на хорду, длина
которой а сантиметров. Найти радиус окружности.
639. По сторонам а и b прямоугольника определить углы, кото­
рые его диагональ образует со сторонами (а = 75,2 см; b = 63,6 см).
640. По диаметру Земного шара, равному 12740 км, и по широте
места ip определить длину окружности параллельного круга, соот­
ветствующего этому месту (ср = 57°5/).
В задачах 641-645 решить прямоугольный треугольник по следую­
щим данным.
641. Гипотенуза и острый угол:
1) с = 18,2; А = 32°20'; 2) с = 0,7979; Л = 66°36'.
642. Катет и острый угол:
1) а = 6,37; А = 4°35'; 2) 6 = 0,1738; Л = 35°55'.
643. Катет и острый угол:
1) а = 18,003; В = 43°; 2) 6 = 0,2954; Б = 29°38'.
644. Гипотенуза и катет:
1) с = 697; а = 528; 2) с = 1710; 6 = 823.
645. Оба катета:
1) а = 261; 6 = 380; 2) а = 0,09784; 6 = 0,10003.
646. Решить равнобедренный треугольник, если даны:
1) S = 250; а : 6 = 7 : 4; 2) S = 56; боковая сторона а = 14;
3) 2р = 40,65; угол при основании А = 72°47'.
224 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
647. Одна из диагоналей параллелограмма равна d и делит его
угол на два угла а и /3. Найти стороны параллелограмма.
648. В треугольнике даны сторона а и два прилежащих к ней
угла В и С. Найти биссектрисы 1а ,1ъ и 1с всех углов треугольника.
649. Доказать, что площадь параллелограмма равна произведе­
нию двух смежных сторон его на синус угла между ними.
650. Доказать, что площадь всякого четырехугольника равна по­
ловине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
651. Найти площадь Q прямоугольника по длине его диагонали d
и углу ip между диагоналями.
652. Основания трапеции а и 6, боковая сторона с, прилежащий к
ней угол а. Найти площадь трапеции.
653. Найти площадь треугольника по двум углам А и В и вы­
соте h ь-
В задачах 654-662 решить косоугольные треугольники с помощью
таблиц тригонометрических функций или калькуляторов по следую­
щим данным.
654. Сторона и два угла:
1) а = 370; В = 86°3'; С = 50°55/;
2) с = 15,948; А = 51°39'; В = 18°19'.
655. Две стороны и угол между ними:
1) а = 510; 6 = 317; С' = 76°19/;
2) 6 = 40,326; с = 32,114; А = 73°40'.
656. Две стороны и угол против одной из них:
1) а = 492; 6 = 354,9; Л = 50°12';
2) а = 2579,8; с = 10; Л = 130°22'.
657. Три стороны:
1) а = 19; 6 = 34; с = 49;
2) а = 1,2345; 6 = 2,3456; с = 3,4567.
658. 1) S = 501,97; А = 15°29'; Б = 45°12';
2) ha = 5,3708; В = 115° 10'; С = 5°9'.
659. 1) 1а = 0,7587; В = 98°ЗТ; С' = 4°25/;
2) г = 5; А = 22°37'; Б = 39°18'.
660. 1) a = 23; 6 = 45; R = 25,098;
2) а = 120; 6 = 29; Лс = 23,762.
661. 1) а = 6; В = 8; 5 = 12; 2) 6 = 98; с = 76; т с = 68.
662. 1) ha = 8; hb = 12; hc = 18; 2) 6 = 42; с = 28; la = 12,809.
§11. Решение треугольников. Задачи по планиметрии 225
663. По данной стороне а правильного вписанного п-угольника
вычислить сторону b правильного описанного п-угольника.
664. Найти наименьшую диагональ правильного п-угольника, сто­
рона которого а см.
665. Вычислить площадь правильного п-угольника, описанного
вокруг окружности радиуса R.
666. Найти площадь равнобочной трапеции, диагональ которой
равна а и составляет с основаниями угол а.
667. В круге радиуса R проведены две параллельные хорды, каж­
дая из которых стягивает дугу в а градусов. Найти ту часть площади
круга, которая заключена между хордами.
668. Вычислить острый угол ромба, в котором сторона есть сред­
нее пропорциональное между диагоналями.
669. Вычислить длину наибольшей диагонали правильного п-уголь­
ника, сторона которого равна а, для двух случаев:
1) п — число четное; 2) п — число нечетное.
670. Вокруг окружности радиуса г описан ромб с острым уг­
лом а. Вычислить площадь ромба (г = 5; а = 36°47').
671. Площадь равнобедренного треугольника равна Q, угол при
вершине (3. Вычислить высоту (Q = 450; /3 = 73°).
672. Вычислить площадь правильного п-угольника по его сто­
роне а (п = 12; а = 10 см).
673. Вычислить площадь правильного п-угольника, вписанного в
окружность радиуса R (п = 12; R = 7).
674. Сторона правильного 6-угольника равна 84 см; вычислить
сторону равновеликого ему правильного 7-угольника.
675. Правильные 9-угольник и 10-угольник имеют одинаковые
периметры. Как относятся их площади?
676. Вычислить площадь сектора, если его радиус равен 8 см, а
радиус вписанной в него окружности равен 2 см.
677. Хорда длиной а делит круг радиуса R на два сегмента. Найти
площадь меньшего из них (а = 3,5 см; R = 6,2 см).
678. Полуокружность разделена в отношении 4 : 7, и из точки
деления опущен перпендикуляр на диаметр. Вычислить отрезки диа­
метра, если его длина равна 11 см.
679. В параллелограмме даны острый угол а и расстояния а
и b от точки пересечения диагоналей до неравных сторон. Вычислить
диагонали и площадь параллелограмма.
15 В. А. Бачурин
226 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
680. Вычислить площадь, заключенную между тремя взаимно ка­
сающимися окружностями, радиусы которых 1 м, 2 м и 3 м.
2
681. Даны две стороны треугольника b и с и его площадь S = - Ъс.
Найти третью сторону а.
682. Внутри круга радиуса г = 13 см дана точка М, отстоящая
от центра на 5 см. Через точку М проведена хорда \АВ\ = 25 см.
Вычислить длины отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М.
683. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен а.
Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.
684. Вокруг окружности радиуса R описан равнобедренный тре­
угольник с углом 120°. Найти его стороны.
685. Вокруг прямоугольника описана окружность, а вокруг нее —
ромб со стороной а и углом 60°. Найти площадь прямоугольника.
686. Площадь трапеции равна Q, углы при большем основании а
и /3. Найти радиус вписанной окружности.
687. Вокруг правильного n-угольника со стороной а описана
окружность, и в него вписана окружность. Найти площадь кольца
между этими окружностями и ширину его.
688. Две касательные к окружности радиуса R образуют угол 2а.
Найти площадь между ними и окружностью.
689. Ромб с острым углом а и стороной а разделен отрезками,
исходящими из вершины этого острого угла, на три равновеликие
части. Вычислить длину этих отрезков.
690. Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а и b от
его сторон. Найти расстояние этой точки до вершины данного угла.
691. Найти площадь треугольника, если даны а и b — длины его
сторон и t — длина биссектрисы угла между этими сторонами.
692. Высота равнобочной трапеции равна /г, острый угол между
ее диагоналями равен а. Найти среднюю линию трапеции.
693. Даны площадь прямоугольного треугольника S и острый
угол а. Найти расстояние от точки пересечения медиан до гипоте­
нузы.
694. В параллелограмме со сторонами а и b и острым углом а
найти тангенсы углов, образуемых его диагональю со сторонами.
695. Основание равнобедренного треугольника а, угол при вер­
шине а. Найти биссектрису, проведенную к боковой стороне.
696. Общая внешняя касательная двух внешне касающихся ок­
ружностей составляет с линией центров угол а. Найти отношение
радиусов этих окружностей.
§11. Решение треугольников. Задачи по планиметрии 227
697. Диагональ прямоугольника равна d и делит угол прямо­
угольника в отношении т : п. Найти периметр прямоугольника.
698. В равнобедренном треугольнике даны основание а и угол при
основании а. Найти медиану, проведенную к боковой стороне.
699. Найти отношение периметра трапеции, описанной вокруг
окружности, к длине этой окружности, если углы при большем ос­
новании трапеции равны а и /3.
700. Площадь равнобедренного треугольника равна S, угол меж­
ду высотой, проведенной к боковой стороне, и основанием равен а.
Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.
701. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сто­
ронами равен а , радиус вписанной окружности г. Найти площадь
треугольника.
702. Вокруг окружности описана прямоугольная трапеция с
острым углом а. Найти высоту трапеции, если ее периметр равен Р.
703. В окружность вписан равнобедренный треугольник с уг­
лом а при основании. Найти отношение площадей треугольника и
круга.
704. В треугольнике даны две стороны а и b и угол а между ни­
ми. Найти биссектрису, проведенную к третьей стороне.
705. В сегмент, дуга которого равна а, вписан правильный
треугольник с площадью S. Одна его вершина лежит на середине
дуги, а две другие — на хорде. Найти радиус дуги сегмента.
706. Правильный треугольник пересечен прямой, проходящей че­
рез середину одной из его сторон и составляющей с ней угол а.
В каком отношении разделилась площадь треугольника?
707. Найти отношение площади сектора с данным центральным
углом а к площади вписанного в него круга.
708. Боковые стороны трапеции равны р и q (р < q), а — большее
основание. Углы при нем относятся, как 2:1. Найти меньшее осно­
вание.
709. Площадь равнобочной трапеции равна S , острый угол между
ее диагоналями а. Найти высоту трапеции.
710. Большее основание вписанной в окружность трапеции совпа­
дает с диаметром окружности, угол при основании равен а. В каком
отношении точка пересечения диагоналей делит ее высоту?
711. Окружность радиуса R делится вершинами вписанного в
нее треугольника в отношении 2:5: 17. Найти площадь треугольника.
712. В сектор радиуса R вписана окружность радиуса г. Найти
периметр сектора.
15:
228 Разд. III. Геометрия. Планиметрия
713. В остроугольном равнобедренном треугольнике радиус впи­
санной окружности г, описанной — R. Найти углы треугольника,
если R = 4г.
714. В равнобедренном треугольнике угол при основании су, ра­
диус вписанной окружности г. Найти радиус описанной окружности.
715. Дуга АВ сектора АОВ содержит а радиан. Через точку В
и середину С радиуса О А проведена прямая. В каком отношении эта
прямая делит площадь сектора?
716. Основания равнобочной трапеции а и b (а > 6), острый угол а.
Найти радиус описанной окружности.
717. В равнобочной трапеции угол при меньшем основании а.
Радиус вписанной окружности г. Найти радиус описанной окруж­
ности.
718. Найти острые углы прямоугольного треугольника, если отно­
шение радиусов описанной и вписанной окружностей равно 5:2.
719. Во всяком треугольнике разность между суммой квадратов
двух его сторон и произведением этих сторон, умноженным на коси­
нус угла между ними, есть величина постоянная. Доказать это ут­
верждение.
720. Показать, что если в треугольнике отношение суммы сину­
сов двух углов к сумме их косинусов равно синусу третьего угла, то
треугольник прямоугольный.


Категория: Математика | Добавил: Админ (05.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar