Тема №5634 Ответы по математике Бачурин (Часть 5)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы по математике Бачурин (Часть 5) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы по математике Бачурин (Часть 5), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

Геометрия. Стереометрия

1. В заданной пространственной прямоугольной системе коор­
динат построить точки по их координатам: А(3; 2; 1), В (4; — 1; 0),
С(—5; 0; 0), D(0; 0; 4). Какие из этих точек расположены:
1) в плоскости х О у] 2) на оси Ох; 3) на оси Oz?
2. Найти объединение всех прямых, проходящих через данную
точку пространства параллельно данной плоскости.
3. Куб с ребром а стоит на плоскости хОу, центр его основания
совпадает с началом координат, боковые ребра лежат в координатных
плоскостях. Найти координаты вершин этого куба.
4. Найти основания перпендикуляров, опущенных из точ­
ки Л(1; 2; 3) на координатные оси и координатные плоскости.
5. Вычислить расстояния точки М( 1; 2; —3) от:
1) координатных плоскостей;
2) осей координат;
3) начала координат.
6. Вычислить координаты точки I октанта по расстояниям ее
от осей координат: dx = 5; dy = Зд/б; dz = 2 л/13.
7. Найти направления лучей ОР и OQ по координатам то­
чек Р(3; 2; 6) и Q(a; а ; а).
8. Вычислить координаты точек, равноотстоящих от точек (0; 0; 1),
(0; 1; 0), (1; 0; 0) и отстоящих от плоскости yOz на расстояние 2.
9. На оси Oz найти точку, равноудаленную от точек А(—4; 1; 7)
и Б(3;5; -2).
10. Проверить, что четырехугольник ABCD с вершинами в точ­
ках А( 1; 3; 2), В { 0; 2; 4), (7(1; 1; 4), D{2; 2; 2) является параллелограм­
мом.
11. На координатной плоскости yOz найти точку, одинаково уда­
ленную от трех данных точек: Л(3; 1; 2), В (4; —2; —2) и (7(0; 5; 1).
12. Проверить, что середина отрезка с концами в точках А (а; с; —Ь)
и В ( —а ; d; b) лежит на оси Оу.
Р аздел IV
230 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
13. Шаровая поверхность проходит через начало координат и че­
рез точки точки А{4; 0; 0), В( 1; 3; 0) и (7(0; 0; —4). Найти координаты
центра и радиус шара.
14. Показать, что координатная плоскость хОу делит пополам рас­
стояние между точками М(а ; 6; с) и N(p; q; — с).
15. Известны один конец отрезка Л(2; 3; — 1) и его середина
(7(1; 1; 1). Найти другой конец этого отрезка.
16. Даны две точки М(0; —1; 2) и 7V(1;0;3). Найти симметрич­
ные им точки Mi (ж; у; z) и N\(x i; у\ \ Z\) относительно координатных
плоскостей.
17. Найти координаты точек, симметричных точкам М и N пре­
дыдущей задачи относительно начала координат.
18. Даны точки Р(3; —1; 2) и Q(a;b;c). Вычислить координаты
точек, симметричных им относительно:
1) координатных плоскостей; 2) осей координат;
3) начала координат.
19. Найти а, 6, с в формулах параллельного переноса х' = х + а;
у' = у + 6; z' = z + с, если при этом параллельном переносе точка
А{ 1; 0; 2) переходит в точку Л'(2; 1; 0).
20. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А
переходит в точку В , а точка (7 переходит в точку D, если:
1) Л(1; 1; 0), В ( 0; 0; 0), С (- 2; 2; 1), D( 1; 1; 1);
2) Л(0; 1; 2), В (-1 ;0 ;1 ), С (3 ;-2 ;2 ), £»(2; -3; 1)?
21. При параллельном переносе точка А(2; 1; —1) переходит в точ­
ку Л'(1; —1; 0). В какую точку переходит начало координат?
22. Параллельный перенос переводит точку М(0; 1; 2) в точку
7V(—1; 0; 1). В какую фигуру он переводит треугольник АВС с вер­
шинами А(3; —2; 2), В(—1; 1; 0), (7(2; 0; 3)?

ретью координату z при условии, что \а\ = 13.
29. Найти точку М, с которой совпадает конец вектора а(3; —1; 4),
если его начало совпадает с точкой М( 1; 2; —3).
30. Найти начало вектора а = (2; —3; —1), если его конец совпадает
с точкой (1; —1; 2).
31. На какое число нужно умножить ненулевой вектор а, чтобы
получить вектор ш, удовлетворяющий следующим условиям:
1) т t t о, и \т\ = 5; 2) m и \т\ = 5;
3) т f4- а и \т\ = 6; 4) ш = б.
32. В треугольнике АВС медианы ЛЛ1, В В i , (7(7i пересекаются
в точке М. Найти множитель &, если:
1) А?С = кВС-, 2) = 3) AM = к М~Аг;
4) (7Ci = kCiM; 5) = 6) =
33. Даны четыре точки: А(2; 7; —3), Б(1;0;3), С7(—3; —4; 5),
D(—2; 3; —1). Среди векторов Л Б, Б(7, D C , Л Б, Л С и B D найти рав­
ные векторы.
—>■
34. Вектор ОМ составляет с осью Ох угол 45° и с осью Oz —
угол 60°; | ОМ | = 6. Вычислить координаты точки М, если ее коор­
дината z отрицательна.
35. При каких числовых значениях т и п векторы а = —2% + 3j +
+ пк и b = mi — 6j + 2к коллинеарны?
36. Известны три точки: Л(1; 0; 1), В(—1; 1; 2), (7(0; 2; —1). Найти
четвертую точку D(x; у; z) при условии:
1) АВ = с Ъ ; 2) АВ + CD = б.
—^ —* —* —^
37. Построить параллелограмм на векторах О Л = i + j и О В =
= к — 3 j ; найти векторы, направленные по его диагоналям, и вычис­
лить их длины.
38. Дан вектор а(1;2;3). Найти коллинеарный ему вектор с на­
чалом в точке Л(1; 1; 1) и концом В на плоскости хОу.
39. В точке Л(2; 1; — 1) приложена сила Б, |Д| = 7. Две состав­
ляющие этой силы известны: Р = 2i и Q = —3j . Найти третью сос­
тавляющую и направление силы R.
40. Быстро вращающийся винт (пропеллер) вертолета создает си­
лу тяги, устремляющую его в пространство. Будем условно считать,
что эта сила R направлена под некоторым углом а к горизонту. Если
234 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
разложить силу R на два направления: вдоль линии движения —
силу Р и перпендикулярную к ней — силу Q, то получим векторное
равенство R = Р + Q. Первая составляющая сила Р создает поступа­
тельное движение летящей машины, вторая Q удерживает массу ее
в воздухе. Требуется выразить силы Р и Q через известные величи­
ны R и а.
—У
41. Вектор ОМ = р составляет с осями координат равные острые
углы. Найти эти углы и построить вектор р, если |р| = 2л/З-
42. Вычислить координаты вектора а по следующим данным:
\а\ = 8, а = 45°, 7 = 60°.
43. Вычислить координаты единичного вектора, противоположно
направленного вектору АВ, если А(7; 4; —2) и В( 1; 2; 1).
— —>■
44. Найти координаты векторов АВ и 7 Б Л, если Л(3; — 1; 2)
и В ( —1; 2; 1).
45. Даны три силы: а = 5г + 2j — 7к, b = Зг + 6j + 4к, с = 12г +
+ j + 15А:. Найти равнодействующую силу и ее направление.
46. Дан модуль вектора \а\ = 2 и углы = 45°, Д = 60°, 7 = 120°.
Вычислить длины проекций вектора а на координатные плоскости.
47. Три силы М, N и Р, приложенные к одной точке, имеют
взаимно перпендикулярные направления. Вычислить величину их
равнодействующей R. если известно, что \М\ = 2 Н, |7V| = 10 Н и |Р| =
= 11 Н.
48. Дан параллелограмм ABCD. Доказать, что ОА + ОС = ОВ +
+ O D, где О — произвольная точка пространства.
49. Проверить коллинеарность векторов а = (2; — 1; 3) и Ь =
= (—6; —3; —9). Установить, какой из них длиннее другого и во сколько
раз, как они направлены — в одну или в противоположные стороны.
50. Проверить, что четыре точки Л(3; — 1; 2), В(1; 2; — 1), С(— 1; 1;— 3),
D(3; —5; 3) служат вершинами трапеции.
51. При каких т и п векторы а(3; —2; т ) и 6(n; 1; —2) колли-
неарны?
52. Дано разложение вектора с по базису г, j , &: с = 16г — 15j +
+ 12к. Представить разложение по этому же базису вектора d, па­
раллельного вектору с и противоположного с ним направления, при
условии, что \d\ = 75.
53. Два вектора а = (2; —3; 6) и b = (—1; 2; —2) приложены к одной
точке. Вычислить координаты вектора с, направленного по биссект­
рисе угла между векторами а и 6, при условии, что |с| = Зд/42-
§ 2. Векторы в пространстве 235
54. Зная одну из вершин треугольника А(2; —5; 3) и векторы, сов­
падающие с двумя его сторонами: АВ(4; 1; 2) и В С = (3; —2; 5), найти
остальные вершины и вектор С А.

62. Раскрыть скобки в выражениях и объяснить смысл тех ра­
венств, которые получатся:
1) (а + 6)2; 2) (a + 6)2 + ( a - 6 ) 2.
63. Можно ли скалярное произведение двух векторов выразить
формулами ab = \а\- пр- 6, a 6 = | 6|-np^a?
64. Векторы а и b образуют угол </? = - 7г; зная, что |а| = 3; |6| =
= 4, вычислить:
1) ab; 2) (а)2; 3) (6)2; 4) (За - 2Ь)(а + 26).
65. Какую работу производит сила / = (3; —5; 2), когда ее точ­
ка приложения перемещается из начала координат в конец векто­
ра s(2; -5; -7)?
66. Какую работу производит сила / = (3; —2; —5), когда ее точ­
ка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения
А(2; —3; 5) в положение В ( 3; —2; —1)?
236 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
67. Даны точки А (а; 0; 0), В( 0; 0; 2а) и С (а; 0; а). Построить век­
торы ОС и АВ и найти угол между ними.
68. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построен­
ного на векторах a — 2i-\-j и b = — 2j + к.
69. Найти угол между биссектрисами углов плоскостей хОу
и yOz.
70. Найти равнодействующую четырех расположенных в одной
плоскости сил, приложенных к точке О, если величина каждой си­
лы равна 10 Н, а угол между двумя последовательными силами
равен 45°.
71. При каком значении п данные векторы перпендикулярны:
1) а(щ —2; 1), Ь(щ —n; 1); 2) а(4; 2п; —1), 6(—1; 1; п)?
72. Даны три последовательные вершины параллелограмма
А(—3;— 2; 0), Б(3; — 3; 1) и (7(5; 0; 2). Найти его четвертую вершину D
и угол между векторами АС и В D .
73. На осях О х , Оу, Oz отложены равные отрезки а = 4, и на них
построен куб. Пусть М — центр верхней грани, а N — центр правой
боковой грани (параллельной координатной плоскости xOz). Вычис-
—У — У
лить координаты векторов ОМ и ON и угол между ними.
74. Даны три точки Л(1;0;1), В{—1; 1; 2), (7(0; 2 ; —1). Найти на
—У —У
оси Oz такую точку D, чтобы векторы А В и С D были перпенди­
кулярны.
75. Даны вершины четырехугольника Л (1 ;— 2; 2), В(1;4;0 ),
(7(—4; 1; 1) и D(—5; —5; 3). Доказать, что его диагонали АС и B D
взаимно перпендикулярны.
76. 3 ная координаты вершин четырехугольника Л(0; 2; 0),
Б(1;0;0), (7(2; 0; 2), /7(1; 2; 2), проверить, что он является ромбом.
77. Даны вершины треугольника А(—1; — 2; 4), В(—4; —2; 0) и
(7(3; —2; 1). Найти его угол АВС.
78. Проекции перемещения движущейся точки на оси координат
равны s x = 2 м, s y = 1 м, s z = —2 м. Проекции действующей силы F
на оси координат равны = 5 Н, F y — 4 Н, Fz — 3 Н. Вычислить ра­
боту W силы F (W = F • s) и угол между силой F и перемещением s.
79. Векторы а и b образуют угол 60°, а вектор с им перпенди­
кулярен. Найти модуль вектора а + b + с.
80. Найти вектор ж, коллинеарный вектору а(2; 1; —1) и удовлет­
воряющий условию ах = 3.
§ 3. Прямая и плоскость 237
81. Единичные векторы а, 6, с образуют попарно углы 60°. Най­
ти угол между векторами:
1) а и 6 + с; 2) а и 6 — с.
82. Найти вектор р, зная, что он перпендикулярен векторам
а(2; 3; —1) и 6(1; —2; 3) и удовлетворяет условию p(2i — j + k) = —6.
83. Найти угол между векторами а + 6 и 2а — с, если а(—1; 1;—1),
6(2; -1; 2), с(-2; 1; -3).
84. Вычислить координаты вектора с, который имеет равные
длины с векторами а( 1; 1; 0) и 6(0; 1; 1) и составляет с ними попарно
равные углы.
85. Найти проекцию вектора р{4; —3; 2) на луч ОМ, состав­
ляющий с положительными направлениями осей координат равные
острые углы.
86. Найти координаты вектора q, если: |<f| = 5д/2, первая коорди­
ната его вдвое больше второй и он составляет с базисным вектором к
угол 135°.
87. Вычислить координаты единичного вектора /, перпендику­
лярного векторам i + j и j + к.
88. К вершине куба приложены три силы, равные по абсолютной
величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям граней куба, пересе­
кающихся в этой вершине. Найти величину равнодействующей этих
трех сил.
89. Вычислить координаты вектора р, перпендикулярного векто­
рам г — j и j — к, если |р| = у/З.
90. Даны точки А(—2; 3; —4), Б(3;2;5), (7(1;— 1; 2), D(3; 2; —4).
—У — ^
Вычислить проекцию вектора АВ на вектор CD .
91. Вектор т коллинеарен вектору п(6; 8; — 7,5), образует тупой
угол с базисным вектором j и имеет длину, равную 50. Найти его
координаты.
92. Квадрат разделен на три полосы одинаковой ширины и затем
свернут в правильную треугольную призму. Найти угол между дву­
мя смежными звеньями ломаной, образованной при этом диагональю
квадрата.
§ 3. П р я м а я и п л о ск о сть
93. Из центра круга проведен перпендикуляр к его плоскости.
Вычислить расстояние от конца этого перпендикуляра до точек ок­
ружности, если длина перпендикуляра равна а, а площадь круга
равна Q.
238 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
94. Дана плоскость; из некоторой точки пространства проведены
к этой плоскости две наклонные длиной 20 см и 15 см; проекция первой
из них на плоскость равна 16 см; найти проекцию второй наклонной.
95. Из некоторой точки пространства проведены к данной плос­
кости перпендикуляр, равный 6 см, и наклонная длиной 9 см. Найти
проекцию перпендикуляра на наклонную.
96. Сторона равностороннего треугольника равна 3 см. Вычислить
расстояние от его плоскости до точки, которая отстоит от каждой из
его вершин на 2 см.
97. Из данной точки проведены к данной плоскости две наклонные,
равные 2 см каждая; угол между ними равен 60°, а угол между их
проекциями — прямой. Найти расстояние данной точки от плоскости.
98. Из некоторой точки проведены к данной плоскости две на­
клонные равной длины; угол между ними равен 60°, угол между их
проекциями — прямой. Найти угол между каждой наклонной и ее
проекцией.
99. В равнобедренном треугольнике основание и высота рав­
ны 4 см. Данная точка находится на расстоянии 6 см от плоскости
треугольника и на одинаковом расстоянии от его вершин. Найти это
расстояние.
100. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием b =
= 6 см и боковой стороной а = 5 см. К плоскости треугольника в
центре вписанного в него круга проведен перпендикуляр \ОК\ = 2 см.
Найти расстояние точки К от сторон треугольника и от вершины В.
101. В треугольнике АВС угол В прямой и катет \ВС\ = а. Из
вершины А проведен к плоскости треугольника перпендикуляр AD
так, что расстояние между точками D и С равно /. Вычислить рас­
стояние от точки D до катета ВС.
102. Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 15 м
и 20 м. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого тре­
угольника перпендикуляр \СD\ = 35 м. Найти расстояние от точки D
до гипотенузы А В.
103. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Из верши­
ны большего угла этого треугольника проведен перпендикуляр к его
плоскости длиной в 15 см. Вычислить расстояния от его концов до
большей стороны.
104. В треугольнике АВС угол С прямой; CD — перпендикуляр
к плоскости этого треугольника. Точка D соединена с А и В. Вычис­
лить площадь треугольника ADB , если дано: \СА \ = 3 дм, \ВС\ = 2 дм
и \CD\ = 1 дм.
105. В вершине А прямоугольника ABCD проведен к его плос­
кости перпендикуляр АК, конец К которого отстоит от других
§ 3. Прямая и плоскость 239
вершин на расстояния 6 см, 7 см и 9 см. Вычислить длину этого пер­
пендикуляра.
106. Если из вершины угла, лежащего на плоскости, провести
наклонную к плоскости так, чтобы она составляла со сторонами угла
одинаковые углы, то проекция этой наклонной будет служить бис­
сектрисой данного угла. Доказать это утверждение.
107. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость; концы его нахо­
дятся на расстояниях 3 см и 2 см от плоскости. Найти угол между
данным отрезком и плоскостью.
108. Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две нак­
лонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°.
Найти расстояние между концами наклонных.
109. Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две нак­
лонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой —
прямой угол. Вычислить расстояние между концами наклонных.
110. Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две нак­
лонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции составляют
между собой угол 120°. Вычислить расстояние между концами наклон­
ных.
111. В плоскости М находится прямая А В . Из точки В проведены
по одну сторону плоскости перпендикулярные к АВ прямые В С
и BD, отклоненные от плоскости М на 50° и 15°. Вычислить угол CBD.
112. Если в равнобедренном прямоугольном треугольнике один
катет находится на плоскости М, а другой катет образует с ней
угол 45°, то гипотенуза образует с плоскостью М угол 30°. Доказать
это утверждение.
113. Если наклонная АВ составляет с плоскостью М угол 45°, а
прямая А С, лежащая^в^плоскости М, составляет угол 45° с проекцией
наклонной А В , то ВАС = 60°. Доказать это утверждение.
114. Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены
от нее на 30 см и 50 см. На какое расстояние удалена от плоскости
точка, делящая данный отрезок в отношении 3 : 7? (Два случая.)
115. Правильный треугольник спроектирован на плоскость, вер­
шины его отстоят от плоскости на расстояния 10 дм, 15 дм и 17 дм.
Найти расстояние его центра от плоскости проекций.
116. Данный отрезок \АВ \ = а и параллелен плоскости М. Отре­
зок В Ah соединяющий конец В с проекцией А\ другого конца, состав­
ляет с плоскостью угол 60°. Вычислить |£Mi|.
117. Пусть \АВ\ — отрезок на плоскости М, равный а, \АС\
и |BD\ — отрезки вне плоскости М, равные 6, причем отрезок АС
перпендикулярен плоскости М, a BD, будучи перпендикулярен А В ,
составляет с плоскостью М угол 30°. Вычислить \CD\.
240 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
118. Даны плоскость и параллельная ей прямая. Через точку плос­
кости провести в ней прямую, параллельную данной прямой.
119. Провести через данную точку отрезок а так, чтобы его про­
екция на данную плоскость имела такую же длину, как и сам он.
120. Из внешней точки А проведен к плоскости М отрезок АВ. Он
разделен точкой С в отношении 3 : 4 (от А к В), и через нее проведен
параллельно плоскости М отрезок \СD\ = 12 см. Через точку D к
плоскости М проведен отрезок ADE. Вычислить расстояние между
точками В и Е .
121. Пусть BDC — отрезок, параллельный плоскости М; А ВЕ ,
ADF и ACG — прямые, проведенные из внешней точки А к плос­
кости М и пересекающие ее в точках Е , F, G. Вычислить расстояние
между точками Е и G, если \ВС\ = a, \AD\ = 6, \DF\ = с.
122. Пусть АВ и CD — параллельные отрезки, лежащие в двух
пересекающихся плоскостях; А Е и
DF — перпендикуляры к линии пе­
ресечения плоскостей; \AD\ = 5 см
и \EF\ = 4 см. Найти расстояние
между прямыми А В и С D.
123. Основание AD трапеции
ABCD (рис. 19) находится на плос­
кости Р, а основание В С отстоит
от нее на 5 см. Найти расстояние от
плоскости Р точки М пересечения
диагоналей этой трапеции, если
\AD\:\BC\ = 7:3.
124. В параллелограмме ABCD вершины А и D находятся на
плоскости М, а В и С — вне ее. Сторона \AD \ = 10 см, сторона \АВ \ =
= 15 см, проекции диагоналей АС и S D на плоскость М соответст­
венно равны 13,6 см и 10,5 см. Вычислить длину диагоналей.
125. Через одну из сторон ромба проведена плоскость на расстоя­
нии 4 см от противолежащей стороны. Проекции диагоналей ромба на
эту плоскость равны 8 см и 2 см. Найти проекции сторон.
126. Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольни­
ка АВС проведена плоскость параллельно гипотенузе на расстоянии
1 дм от нее. Проекции катетов на эту плоскость равны 3 дм и 5 дм.
Вычислить проекцию гипотенузы на эту же плоскость.
127. Пусть АВ и CD — две параллельные прямые, лежащие в
плоскости М на расстоянии 28 см одна от другой; E F — внешняя
прямая, параллельная АВ и удаленная от АВ на 17 см, а от плоскос­
ти М на 15 см. Найти расстояние между E F и CD. (Два случая.)
128. 1) Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости М,
проведены к ней перпендикуляр АС и наклонная B D _L АВ. Вы­
§ 3. Прямая и плоскость 241
числить расстояние |CD\, если \АВ\
рис. 20).
2) Пусть АВ — отрезок, парал­
лельный плоскости М; отрезки \АС\ =
= \BD\ — наклонные к плоскости М,
проведенные перпендикулярно к от­
резку АВ и в разных направлениях
от него. Отрезок А В , равный 2 см,
отстоит от плоскости М на 7 см, а от­
резки АС и B D равны 8 см. Вычис­
лить расстояние
а, \АС\ = b и \BD\ = с (см.
Рис. 20
129. Расстояние между двумя параллельными плоскостями рав­
но 8 дм. Отрезок длиной 10 дм своими концами упирается в эти
плоскости. Вычислить проекции отрезка на каждую плоскость.
130. Плоскости М и Р параллельны. Из точек А и В плоскос­
ти М проведены к плоскости Р наклонные: \АС\ = 37 см и \BD\ =
= 125 см. Проекция наклонной АС на одну из плоскостей равна 12 см.
Чему равна проекция наклонной BD1
131. Отрезки двух прямых, заключенные между двумя парал­
лельными плоскостями, равны 51 см и 53 см, а их проекции на одну
из этих плоскостей относятся, как 6 : 7. Вычислить расстояние между
данными плоскостями.
132. Между двумя параллельными плоскостями заключены пер­
пендикуляр длиной 4 м и наклонная длиной 6 м. Расстояния между
их концами в каждой плоскости равны по 3 м. Найти расстояние меж­
ду серединами перпендикуляра и наклонной.
133. Два отрезка, сумма длин которых равна с, упираются своими
концами в две параллельные плоскости: их проекции равны а и Ь.
Найти длины отрезков.
134. Между двумя параллельными плоскостями Р и Q проведе­
ны отрезки АС и B D (точки А и В лежат в плоскости Р); \АС\ =
= 13 см; \BD\ = 15 см; сумма длин проекций АС и на одну из
данных плоскостей равна 14 см. Найти длины этих проекций и рас­
стояние между плоскостями.
135. Два прямых угла в пространстве расположены так, что сторо­
ны их соответственно параллельны, одинаково направлены и перпен­
дикулярны отрезку, соединяющему их вершины. Длина этого отрезка
равна а. На стороне одного угла отложен от его вершины отрезок 6,
а на непараллельной ей стороне другого угла отложен отрезок с.
Вычислить расстояние между концами этих отрезков. 136*
136. В предыдущей задаче прямые углы заменить углами в 60° и
взять а = 24, b = 5 и с = 8.
16 В. А. Бачурин
242 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
137. Вершины равностороннего треугольника со стороной а нахо­
дятся по одну сторону от плоскости М на одинаковом от нее расстоя­
нии d. Из центра треугольника проведен перпендикуляр к его плоскости
длиной h и направленный в сторону, противоположную плоскости М.
Из конца этого перпендикуляра проведены прямые через вершины
треугольника до пересечения с плоскостью М. Найти отрезки этих
прямых между вершинами треугольника и плоскостью М и наиболь­
шие расстояния между их концами.
138. Двугранный угол равен 45°. На одной грани дана точка на
расстоянии а от другой грани. Найти расстояние этой точки от ребра.
139. Если равнобедренный прямоугольный треугольник АВС пе­
регнуть по высоте B D так, чтобы плоскости ABD и СBD образовали
прямой двугранный угол, то линии DA и DC сделаются взаимно
перпендикулярными, а В А и В С составят угол в 60°. Доказать это
утверждение.
140. Найти величину двугранного угла, если точка, взятая на од­
ной из граней, отстоит от ребра вдвое дальше, чем от другой грани.
141. Из точки, взятой внутри двугранного угла, опущен перпенди­
куляр на ребро; он образует с гранями углы 38°24' и 71°36/. Вычислить
величину двугранного угла.
142. Точка, взятая внутри двугранного угла в 60°, удалена от
обеих граней на а. Найти ее расстояние от ребра.
143. Пусть А и В — точки на ребре прямого двугранного уг­
ла; АС и BD - перпендикуляры к ребру, проведенные в разных
гранях. Вычислить расстояние \СD \, если \АВ\ = 6 см, \АС\ = 3 см
и |BD\ = 2 см.
144. В предыдущей задаче прямой двугранный угол заменить
углом в 120° и взять:
a) \AB\ = \AC\ = \BD\ = a; б) \АВ\ = 3, \АС\ = 2, \BD\ = 1.
145. Треугольник АВС с прямым углом С опирается катетом АС
на плоскость М, образуя с ней двугранный угол 45°. Катет \АС\ =
= 2 м, а гипотенуза \АВ \ относится к катету |ВС\, как 3:1. Вычислить
расстояние от вершины В до плоскости М.
146. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а
плоскости их отклонены на 60°. Общее основание равно 16 см; боковая
сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые стороны другого
взаимно перпендикулярны. Вычислить расстояние между вершинами
треугольников. 147*
147. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см.
Вычислить расстояние от вершины прямого угла до плоскости, кото­
рая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью
треугольника.
§ 3. Прямая и плоскость 243
148. Дан треугольник АВС со сторонами \АВ\ = 9; |ВС\ = 6 и
\АС\ = 5. Через сторону АС проходит плоскость М, составляющая
с плоскостью треугольника угол 45°. Найти расстояние между плос­
костью М и вершиной В.
149. Прямая АВ параллельна плоскости М и отстоит от нее на а ;
через прямую А В проходит плоскость Р, образующая с плоскостью М
угол 45°; в плоскости Р проведена прямая линия под углом 45°
к АВ. Найти ее отрезок между АВ и плоскостью М.
150. Пусть АВ и CD — параллельные прямые, лежащие в двух
пересекающихся плоскостях, образующих угол 60°. Точки А и D уда­
лены от линий пересечения плоскостей на 8 см и 6,3 см. Вычислить
расстояние между АВ и С D.
151. Отрезок АВ упирается свои­
ми концами в грани прямого дву­
гранного угла PMNQ (рис. 21); кон­
цы отрезка находятся на одинаковых
расстояниях от ребра MN двугран­
ного угла. Найти отношение углов,
под которыми отрезок наклонен к
граням.
152. Через данную точку про­
вести плоскость, перпендикулярную
другой плоскости.
153. Через данную прямую провести плоскость, перпендикуляр­
ную другой плоскости. Сколько таких плоскостей можно провести?
154. Пусть АВ — прямая пересечения двух взаимно перпендику­
лярных плоскостей М и Р ; \СD\ — отрезок в плоскости М, прове­
денный параллельно АВ на расстоянии 60 см от нее; Е — точка в
плоскости Р на расстоянии 91 см от АВ. Вычислить расстояние от Е
до CD.
155. Отрезок АВ соединяет точки Л и Б, лежащие в двух взаим­
но перпендикулярных плоскостях. Длины перпендикуляров, опущен­
ных из точек А и В на линию пересечения плоскостей, соответственно
равны а и 6, а расстояние между их основаниями равно с. Вычислить
длину отрезка АВ и длины его проекций на данные плоскости.
156. Данный отрезок имеет концы на двух взаимно перпендику­
лярных плоскостях и составляет с одной из них угол 45°, а с другой —
угол 30°; длина этого отрезка равна а. Найти часть линии пересече­
ния плоскостей, заключенную между перпендикулярами, опущенными
на нее из концов данного отрезка. 157*
157. Из общей внешней точки проведены к плоскости две наклон­
ные, из которых одна составляет с плоскостью угол 70°, а другая — 15°.
Какой может быть величина угла между этими наклонными?
1б:
244 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
158. Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°; на одном
из ребер отложен от вершины отрезок в 3 см и из конца его опущен
перпендикуляр на противолежащую грань. Вычислить длину перпен­
дикуляра.
159. В трехгранном угле SABC дано: BSC = 90°, AS В = ASC =
= 60° и |*5Л| = а. Требуется:
1) вычислить расстояние от точки А до плоскости B SC ;
2) доказать, что ребро SA составляет с плоскостью В SC угол 45°.
160. Если в трехгранном угле один плоский угол BSC — прямой,
а два других угла AS В и AS С равны 60°, то плоскость ВАС , отсе­
кающая от ребер три одинаковых отрезка, перпендикулярна плоскости
прямого угла. Доказать это утверждение.
161. В трехгранном угле два плоских угла по 45°, двугранный
угол между ними — прямой. Найти третий плоский угол.
162. В трехгранном угле два плоских угла по 45°, третий плоский
угол 60°. Найти двугранный угол, противолежащий третьему плоско­
му углу.
163. В трехгранном угле два плоских угла по 60°, третий — пря­
мой. Найти угол между плоскостью прямого угла и противолежащим
ребром.
164. В трехгранном угле ребра взаимно перпендикулярны. Внут­
ри него из вершины проведен отрезок, проекция которого на каждое
из ребер равна 1. Найти его проекции на грани. Сделать рисунок.
165. В трехгранном угле все плоские углы — прямые. Внутри
него дана точка на расстояниях 1 дм, 2 дм и 2 дм от его граней. Най­
ти расстояние данной точки от вершины угла.
166. Отрезок х выходит из вершины трехгранного угла с прямы­
ми плоскими углами. Его проекции на ребра 2; 3; 6. Найти \х\.
167. Две прямоугольные трапеции с углом 60° лежат в перпен­
дикулярных плоскостях и имеют общее большее основание. Большие
боковые стороны трапеции равны 4 см и 8 см. Каковы расстояния
между вершинами прямых и между вершинами тупых углов трапеций,
если известно, что вершины их острых углов совпадают?
168. Загруженную бочку массой в 200 кг выкатывают из автома­
шины с помощью наклонной доски. Чему равна величина скатываю­
щей силы, если угол ската равен 45°?
169. Одна из скрещивающихся прямых лежит в плоскости а ,
другая — перпендикулярна а. Как расположен их общий перпенди­
куляр? 170
170. Через данную точку провести прямую, параллельную дан­
ной плоскости.
§ 3. Прямая и плоскость 245
171. На плоскости а проведены две параллельные прямые, расстоя­
ние между которыми равно т . Точка S находится на расстоянии h от
плоскости а и на одинаковом расстоянии от обеих прямых. Найти это
расстояние.
172. Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М
выбрана так, что отрезки, соединяющие М со всеми вершинами тре­
угольника, образуют с его плоскостью углы по 45°. Найти расстояние
от точки М до вершин и сторон треугольника.
173. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника нак­
лонен к плоскости а , проходящей через гипотенузу, под углом 30°.
Доказать, что угол между плоскостью а и плоскостью треугольника
равен 45°.
174. Плоскость содержит вершину квадрата и параллельна его
диагонали. Проекции диагоналей квадрата на эту плоскость относятся,
как 1:2. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью квадрата.
175. Самолет летит по горизонтальной прямой со скоростью
400 км/ч. В некоторый момент он был виден под углом 65° к плоскости
горизонта, а через 30 с — под углом 39°. На какой высоте летит
самолет?
176. В трапеции ABCD BAD = 60°. Через основание АВ прове­
дена плоскость под углом 45° к боковой стороне А В . Найти отношение
площади трапеции к площади ее проекции на эту плоскость.
177. Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. Дока­
зать, что плоскость, отсекающая от ребер одинаковые отрезки, перпен­
дикулярна плоскости прямого угла.
178. Вершины треугольника АВС отстоят от плоскости М на рас­
стояния Л-1, /i2, h%. Найти расстояние центра тяжести треугольника от
плоскости.
179. Прямые /,ш,п образуют между собой углы по 60°. Пря­
мая q образует с прямыми I и т углы по 45°. Найти (qyh).
180. Два плоских угла в трехгранном угле равны 60°, на их общем
ребре от вершины отложен отрезок в 4 дм. Вычислить его проекцию
на плоскость третьего плоского угла, являющегося прямым.
181. Доказать, что все прямые, пересекающие данную прямую и
проходящие через данную точку, лежат в одной плоскости.
182. Доказать, что середины сторон пространственного четырех­
угольника являются вершинами параллелограмма.
183. Доказать, что если две плоскости, пересекающиеся на пря­
мой /, пересекают плоскость М по параллельным прямым, то прямая I
параллельна плоскости М.
184. Через данную точку провести прямую, параллельную дан­
ной плоскости и пересекающую данную прямую. (Данная прямая не
параллельна данной плоскости.)

185. В основании прямой призмы лежит равнобочная трапеция,
один из углов которой равен 76°. Найти двугранные углы при
боковых ребрах призмы.
186. Через диагональ основания куба проведена плоскость. Ка­
кие сечения куба этой плоскостью могут получаться при вращении ее
вокруг этой диагонали?
187. В правильной четырехугольной пирамиде провести плоскость
через сторону основания перпендикулярно противоположной боковой
грани. Сторона основания а = 30 см, а высота пирамиды h = 20 см.
Вычислить высоту полученного сечения.
188. В кубе проведено диагональное сечение. Найти величину
двугранного угла, образованного этим сечением и одной из боковых
граней.
189. Если в правильной треугольной пирамиде высота равна сто­
роне основания, то боковые ребра составляют с плоскостью основания
угол 60°. Доказать это утверждение.
190. По стороне а и боковому ребру b правильной треугольной
призмы найти площадь сечения, проведенного через боковое ребро и
ось призмы.
191. Доказать, что высота правильной четырехугольной пирами­
ды одинаково наклонена к ее боковым граням.
192. Каждое ребро правильной четырехугольной пирамиды рав­
но а. Провести сечение через середины двух смежных сторон основа­
ния и середину высоты и найти его площадь.
193. Внутри правильной шестиугольной призмы, у которой боко­
вые грани — квадраты, проведена плоскость через сторону нижнего
основания и противоположную ей сторону верхнего основания. Сто­
рона основания равна а. Вычислить площадь полученного сечения.
194. В правильной четырехугольной призме площадь диагональ­
ного сечения равна F. Вычислить боковую поверхность призмы.
195. В основании прямой призмы лежит равнобочная трапеция,
диагонали которой пересекаются под прямым углом и высота кото­
рой равна h. Диагонали призмы образуют с плоскостью основания
угол 45°. Найти объем призмы.
196. Основанием пирамиды служит треугольник. Боковые ребра
образуют равные углы с основанием. Определить вид треугольника,
находящегося в основании, если высота пирамиды проходит через
точку, лежащую:
а) внутри этого треугольника; б) вне его;
в) на стороне треугольника.
§ 4• Многогранники 247
197. В правильной треугольной пирамиде боковые ребра взаимно
перпендикулярны и каждое из них равно а. Найти боковую поверх­
ность пирамиды.
198. Найти полную поверхность правильной шестиугольной пи­
рамиды, в которой высота равна стороне основания а.
199. Как изменится объем правильной пирамиды, если сторону
основания ее увеличить в три раза, а высоту ее уменьшить в три раза?
200. Куб, ребро которого равно а, пересечен плоскостью, прохо­
дящей через середины трех его ребер, выходящих из одной вершины.
Вычислить объем отсеченной пирамиды.
201. Ребро куба равно а. Найти боковую поверхность усеченной
пирамиды, отсекаемой от куба двумя плоскостями, одна из которых
проходит через концы трех ребер, выходящих из одной вершины, а
другая — через середины тех же ребер.
202. Каждое ребро правильной треугольной призмы а = 3 м. Че­
рез сторону основания и середину оси проведена плоскость. Найти
площадь сечения.
203. Сторона основания правильной четырехугольной призмы
равна 15; высота равна 20. Найти кратчайшее расстояние от стороны
основания до диагонали призмы, не пересекающей ее.
204. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 9 см,
а полная поверхность ее равна 144 см2. Найти сторону основания и
боковое ребро.
205. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды
равна 4 см, диагональ 5 см. Найти площадь диагонального сечения.
206. Основания усеченной пирамиды — правильные треугольники
со сторонами а и 6; одно из боковых ребер, равное с, перпендикулярно
плоскости основания. Вычислить боковую поверхность этой усеченной
пирамиды (а = 5; 6 = 3; с — 1).
207. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а,
а боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найти объем
призмы.
208. Грани параллелепипеда — одинаковые ромбы со к стороной а
и острым углом 60°. Вычислить объем параллелепипеда.
209. Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой
сторона основания равна а, а боковые ребра взаимно перпендику­
лярны.
210. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а,
а двугранный угол при основании равен 45°. Найти объем пирамиды.
211. Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого
угол между диагоналями равен 60°, а площадь равна Q; боковые
248 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
ребра образуют с плоскостью основания углы в 45°. Вычислить объем
этой пирамиды.
212. Одно ребро треугольной пирамиды равно 4; каждое из ос­
тальных равно 3. Вычислить объем пирамиды.
213. Площадь параллельного сечения пирамиды составляет 0,36
ее основания. В каком отношении сечение делит объем пирамиды?
214. Центры граней правильного тетраэдра служат вершинами
нового правильного тетраэдра. Найти отношения их поверхностей и
объемов.
215. Вычислить объем правильной треугольной усеченной пира­
миды, у которой стороны оснований 30 м и 20 м, а боковая поверхность
равновелика сумме оснований.
216. В усеченной пирамиде сходственные стороны двух оснований
относятся, как т : п. В каком отношении делится ее объем средним
сечением?
217. Основанием правильной пирамиды служит многоугольник,
сумма внутренних углов которого равна 720°. Определить объем этой
пирамиды, зная, что боковое ребро ее, равное /, составляет с высотой
пирамиды угол 30°.
218. Ребро правильного октаэдра а = 1 см. Вычислить расстояние
между двумя противоположными вершинами октаэдра (ось октаэдра).
219. Вычислить объем наклонной треугольной призмы, у которой
площадь одной из боковых граней равна S, а расстояние от плоскости
этой грани до противолежащего ребра равно d.
220. Ребро куба равно а. Вычислить поверхность вписанного в
него правильного октаэдра. Найти ее отношение к поверхности впи­
санного в тот же куб правильного тетраэдра.
221. Плоский угол при вершине правильной треугольной пира­
миды равен 90°. Найти отношение боковой поверхности пирамиды к
площади ее основания.
222. В правильный октаэдр вписан куб так, что его вершины на­
ходятся на ребрах октаэдра. Ребро октаэдра равно а. Найти ребро
куба.
223. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Плос­
кость, проведенная через одну из сторон нижнего основания и про­
тивоположную сторону верхнего основания, образует с плоскостью
основания угол 45°. Полученное сечение имеет площадь, равную Q.
Вычислить боковую поверхность параллелепипеда.
224. Ребро куба равно а. Найти кратчайшее расстояние от диаго­
нали до не пересекающего ее ребра.
§ 4• Многогранники 249
225. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, если
ее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°, а пло­
щадь диагонального сечения равна S.
226. Квадрат с проведенной в нем диагональю свернут в виде
боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, и таким
образом диагональ квадрата обратилась в ломаную линию (неплос­
кую). Найти угол между ее смежными отрезками.
227. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 30°. Бо­
ковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Вычис­
лить объем и полную поверхность пирамиды, если радиус вписанного
в ромб круга равен г.
228. В треугольной призме (наклонной) расстояния между боко­
выми ребрами 37 см, 13 см и 40 см. Найти расстояние между большей
боковой гранью и противолежащим боковым ребром.
229. Найти объем правильной шестиугольной призмы, у которой
наибольшая диагональ равна d, а боковые грани — квадраты.
230. Найти боковую поверхность прямоугольного параллелепипе­
да, если его высота /г, площадь основания Q и площадь диагонального
сечения М.
231. Основание призмы — квадрат со стороной, равной а. Одна
из боковых граней — также квадрат, другая — ромб с углом 60°.
Вычислить полную поверхность призмы.
232. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, а пло­
щади диагональных сечений М и N. Найти боковую поверхность
параллелепипеда.
233. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием ко­
торой служит равносторонний треугольник со стороной, равной а,
если боковое ребро призмы также равно а и наклонено к плоскости
основания под углом 60°.
234. Площадь наибольшего диагонального сечения правильной
шестиугольной призмы равна 1 м2. Найти боковую поверхность
призмы.
235. Расстояние между непересекающимися диагоналями двух
смежных боковых граней куба равно d. Найти объем куба.
236. Найти сторону основания правильной четырехугольной пи­
рамиды по ее высоте h и боковой поверхности Р.
237. В правильной треугольной призме площадь сечения, проходя­
щего через боковое ребро призмы перпендикулярно противолежащей
боковой грани, равна Q. Сторона основания призмы равна а. Найти
полную поверхность призмы.
250 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
238. Основанием параллелепипеда служит квадрат, одна из вер­
шин верхнего основания одинаково отстоит от всех вершин нижнего
основания. Сторона основания равна а, боковое ребро равно Ь. Вы­
числить полную поверхность этого параллелепипеда.
239. Каждое из боковых ребер пирамиды равно Ь. Ее основани­
ем служит прямоугольный треугольник, катеты которого относятся,
как ш : п, а гипотенуза равна с. Вычислить объем пирамиды.
240. Основанием наклонной призмы служит правильный треу­
гольник со стороной а; длина бокового ребра равна 6; одно из боко­
вых ребер образует с прилежащими сторонами основания углы по 45°.
Вычислить боковую поверхность призмы.
241. В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани
ее перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к
нему под углом 45°. Среднее по величине боковое ребро равно I. Найти
объем и полную поверхность пирамиды.
242. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так,
что четыре его вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, а
остальные четыре — в плоскости ее основания. Найти ребро куба,
если в пирамиде сторона основания равна а, а высота — h.
243. Найти объем правильной треугольной пирамиды, высота ко­
торой равна /г, а все плоские углы при вершине прямые.
244. Высота правильной пирамиды разделена на п равных частей
и через точки деления проведены сечения, параллельные основанию.
Площадь основания Q. Найти площади сечений (Q = 400, п = 5).
245. По стороне основания, равной а, вычислить боковую поверх­
ность и объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой диа­
гональное сечение равновелико основанию.
246. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а. Боковое ребро образует с высотой угол 30°. Построить се­
чение через вершину основания перпендикулярно противоположному
ребру и найти его площадь.
247. Боковое ребро правильной треугольной призмы имеет одина­
ковую длину с высотой основания, а площадь сечения, проведенного
через это боковое ребро и высоту основания, равна Q. Вычислить
объем призмы.
248. Найти боковую поверхность правильной шестиугольной пи­
рамиды, если сторона основания равна а, а боковая грань равновелика
диагональному сечению, проведенному через диаметр основания.
249. Найти отношение объема правильной шестиугольной пира­
миды к объему правильной треугольной пирамиды при условии, что
стороны оснований этих пирамид имеют одинаковую длину, а их апо­
фемы в два раза больше сторон основания.
§ 4• Многогранники 251
250. Центр верхнего основания куба и середины сторон нижнего
основания служат вершинами вписанной в этот куб пирамиды. Найти
ее боковую поверхность по данному ребру куба а.
251. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со сто­
роной основания, равной а, и плоскими углами при вершине, равнове­
ликими углам наклона боковых ребер к основанию.
252. Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник
со стороной а ; одна из боковых граней — также равносторонний треу­
гольник и перпендикулярна плоскости основания. Вычислить боковую
поверхность пирамиды.
253. Площадь того сечения куба, которое представляет собой пра­
вильный шестиугольник, равна Q. Найти полную поверхность куба.
254. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде сторона
большего основания а, сторона меньшего Ь. Боковое ребро образует с
основанием угол 45°. Найти боковое ребро.
255. Куб, ребро которого равно а, срезан по углам плоскостями
так, что от каждой грани остался правильный восьмиугольник. Вычис­
лить объем полученного многогранника.
256. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде площа­
ди оснований Q и </, а боковое ребро составляет с плоскостью нижнего
основания угол 45°. Вычислить площадь диагонального сечения.
257. Найти отношения объемов правильных тетраэдра и октаэдра,
у которых полные поверхности равновелики.
258. Пусть Qi и Q2 — площади оснований некоторой усеченной
пирамиды и М — площадь ее среднего сечения. Доказать, что у/М =
_ y/Ql + y/Q2
2 '
259. Вычислить объем правильной усеченной четырехугольной
пирамиды, если сторона большего основания равна а, сторона мень­
шего основания равна 6, а острый угол боковой грани равен 60°.
260. Высота усеченной пирамиды равна /г, а площади основа­
ний Q и q. На каком расстоянии от верхнего основания находится
параллельное ему сечение, площадь которого есть среднее пропорцио­
нальное между площадями оснований?
261. Площадь того сечения тетраэдра, которое имеет форму квад­
рата, равна ш 2. Найти поверхность тетраэдра.
262. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде площа­
ди оснований Q и Qi, а боковая поверхность Р. Вычислить площадь
диагонального сечения.
263. В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего
основания проведена плоскость параллельно противоположному бо-
252 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
ковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пира­
миды, если соответственные стороны оснований относятся, как 1 : 2?
264. Пусть Q и q (Q = 32, q = 2) — площади оснований усеченной
пирамиды. Найти площади параллельных оснований сечений, разби­
вающих высоту на три одинаковые части.
265. Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями d\ и d,2 -
Высота пирамиды проходит через вершину острого угла ромба. Пло­
щадь диагонального сечения, проведенного через меньшую диагональ,
равна Q. Вычислить объем пирамиды.
266. В усеченной пирамиде сходственные стороны оснований от­
носятся, как 3:11. В каком отношении ее боковая поверхность делится
средним сечением?
267. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда отно­
сятся, как ш : п, а диагональное сечение — квадрат с площадью Q.
Вычислить объем параллелепипеда.
268. Найти объем прямоугольного параллелепипеда по данным
площадям его граней: Qi, Q2, Q3.
269. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, пло­
щадь которого равна Q; площади диагональных сечений равны М
и N. Вычислить объем параллелепипеда.
270. В правильной шестиугольной призме большее диагональное
сечение равновелико основанию, сторона которого а. Найти ребро
куба, равновеликого этой призме.
271. Основанием наклонной призмы служит равносторонний тре­
угольник со стороной а ; одна из боковых граней перпендикулярна
плоскости основания и представляет собой ромб, у которого меньшая
диагональ равна с. Вычислить объем призмы.
272. В наклонной треугольной призме площадь одной из боко­
вых граней ш 2, а расстояние ее от противоположного ребра 2а. Чему
равен объем призмы?
273. По ребру а правильного тетраэдра вычислить его поверх­
ность и объем.
274. В данной правильной шестиугольной пирамиде, имеющей
объем V, боковое ребро вдвое больше стороны основания. Найти сто­
рону основания и угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
275. Пирамида разделена на три равновеликие части плоскос­
тями, параллельными основанию. В каком отношении разделилась
высота?
276. По боковому ребру I и сторонам оснований а и b вычислить
объем правильной усеченной пирамиды:
1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
§ 4• Многогранники 253
277. Вычислить объем правильной шестиугольной усеченной пи­
рамиды, если стороны ее оснований а и 6, а боковое ребро составляет
с плоскостью нижнего основания угол 30°.
278. Площади оснований усеченной пирамиды Q и q, а ее объ­
ем V. Найти объем полной пирамиды.
279. Правильная четырехугольная усеченная пирамида срезана с
двух противоположных боков двумя плоскостями, проведенными че­
рез концы диагонали верхнего основания перпендикулярно этой диа­
гонали. Вычислить объем оставшейся части усеченной пирамиды, если
ее высота /г, а стороны оснований а и Ь. Сделать чертеж.
280. Вычислить объем правильного тетраэдра, если радиус ок­
ружности, описанной вокруг его грани, равен R.
281. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно /,
а высота — h. Найти объем пирамиды.
282. Найти объем куба, если расстояние от его диагонали до не
пересекающегося с ней ребра равно d.
283. Плоскость, проведенная в пирамиде параллельно основанию,
делит ее боковую поверхность на части в отношении 4:5, считая от
вершины. В каком отношении делится этой плоскостью высота?
284. Диагонали прямого параллелепипеда равны 9 см и д/ЗЗ см;
периметр его основания равен 18 см; боковое ребро равно 4 см. Вы­
числить полную поверхность и объем этого параллелепипеда.
285. Правильная четырехугольная усеченная пирамида разделена
на три части двумя плоскостями, проведенными через две противо­
положные стороны меньшего основания перпендикулярно плоскости
большего основания. Найти объем каждой части, если в усеченной пи­
рамиде высота равна 4 см, а стороны оснований 2 см и 5 см. Сделать
чертеж.
286. Для шлифовки мелких костяных изделий требуется сделать
из полукотельной стали барабан, имеющий форму правильной шес­
тиугольной призмы со стороной основания 200 мм и длиной 800 мм.
При работе барабан загружается на 45% его объема. Требуется вы­
числить количество стали, необходимое для изготовления пяти таких
барабанов, и массу изделий, шлифуемых одновременно в них, прини­
мая плотность кости равной 1,2 г/см3.
287. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треу­
гольник АВС с гипотенузой \АВ\ — с и острым углом 15°. Если бо­
ковые грани С\САА\ и С\СВВ\ развернуть в одну плоскость и в ней
провести линии С\А и С\В, то они образуют прямой угол. Вычислить
объем и боковую поверхность этой призмы.
288. В правильной треугольной призме боковое ребро и сторона
основания равны а. Вычислить площадь сечения, проведенного через
сторону основания под углом 60° к плоскости основания.
254 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
289. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны
оснований а и b и высота h. Вычислить объем ее части, заключенной
между боковой гранью и параллельной ей плоскостью, проведенной
через сторону верхнего основания.
290. В правильной четырехугольной призме сторона основания а,
боковое ребро 4а. Вычислить площадь сечения, проведенного через
диагональ призмы параллельно диагонали основания.


Категория: Математика | Добавил: Админ (05.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar