Тема №5635 Ответы по математике Бачурин (Часть 6)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы по математике Бачурин (Часть 6) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы по математике Бачурин (Часть 6), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

291. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсе­кающая от окружности основания дугу в 120°. Длина оси h = 10 см;
ее расстояние от секущей плоскости а = 2 см. Вычислить площадь
сечения.
292. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого
сечения, как 7г : 4. Найти угол между диагоналями осевого сечения.
293. Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра (в осе­
вом сечении — квадрат) равна а. Найти объем правильной вписанной
в этот цилиндр восьмиугольной призмы.
294. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы дан­
ного отрезка лежат на окружностях обоих оснований; длина его 10 дм.
Найти его кратчайшее расстояние от оси.
295. Высота цилиндра 2 м, радиус основания 7 м. В этот цилиндр
наклонно к оси вписан квадрат так, что все вершины его находятся
на окружностях оснований. Найти
сторону квадрата.
296. Через верхний конец обра­
зующей цилиндра под углом 45° к
ней проведена касательная к цилинд­
ру. Радиус основания цилиндра 1 м,
высота 4 м. Вычислить расстояние
касательной от центра каждого осно­
вания (рис. 22).
297. Цилиндрический паровой ко­
тел имеет 0,7 м в диаметре; длина его
равна 3,8 м. При его покраске расхо­
дуется 400 г краски на 1 м2 поверх­
ности котла. Определить, сколько
краски потребуется на покраску внешней поверхности котла (боковая
поверхность и два днища)?
298. Высота цилиндра на 10 см больше радиуса основания, а пол­
ная поверхность равна 1447т см2. Вычислить радиус основания и высоту.
299. Цилиндрическая дымовая труба диаметром 65 см имеет
высоту 18 м. Сколько квадратных метров жести нужно для ее изго­
§ 5. Цилиндр и конус 255
товления, если на заклепку уходит 10% всего требующегося количест­
ва жести?
300. Полуцилиндрический свод подвала имеет длину 6 м и диа­
метр 5,8 м. Вычислить полную поверхность подвала.
301. При паровом отоплении низкого давления количество тепло­
ты, которое дает 1 м2 поверхности нагрева, принимается равным 550
тепловым единицам в час. Сколько погонных метров труб диаметром
в 34 мм нужно установить в помещении, для отопления которого по
расчетам требуется 4500 единиц теплоты в час?
302. 1) Чему равно отношение боковой поверхности цилиндра к
площади его осевого сечения?
2) Какую высоту должен иметь цилиндр, чтобы его боковая по­
верхность была в три раза больше площади основания?
303. Найти полную поверхность равностороннего цилиндра, если
304. 1) В цилиндре радиус основания г — 2 см, а высота h — 7 см.
Вычислить радиус круга, равновеликого полной поверхности этого
цилиндра.
2) Найти зависимость между высотой цилиндра и радиусом его
основания, если их сумма служит радиусом круга, равновеликого пол­
ной поверхности этого цилиндра.
305. 1) Из круглого листа металла выштампован цилиндричес­
кий стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что при
штамповке площадь листа не изменилась, вычислить диаметр листа.
2) К цилиндрическому стакану (см. предыдущую задачу) выштам-
пована крышка диаметром 25,2 см и высотой 0,5 см. Найти диаметр
круглого листа, из которого выштампована крышка.
306. В цилиндре площадь основания равна Q и площадь осевого
сечения М. Найти полную поверхность этого цилиндра.
307. 1) Какая должна быть зависимость между высотой и радиу­
сом основания, чтобы боковая поверхность цилиндра была равнове­
лика кругу, описанному вокруг его осевого сечения?
2) Такая же задача для полной поверхности.
308. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Най­
ти отношение боковых поверхностей цилиндра и призмы.
309. В данном цилиндре проведена плоскость, параллельная
основанию, так, что площадь полученного сечения есть среднее про­
порциональное между частями боковой поверхности цилиндра. По
известным радиусу основания R и высоте Н цилиндра определить
положение секущей плоскости. (См. ответ.)
боковая поверхность Р = 50 см2 ^
256 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
310. Найти полную поверхность цилиндра, описанного вокруг ку­
ба с ребром а (вершины куба находятся на окружностях оснований).
311. Вокруг правильного октаэдра описан цилиндр. Две вершины
октаэдра лежат в центрах оснований цилиндра, а остальные четыре —
на его боковой поверхности. Ребро октаэдра а = 10 см. Найти боко­
вую поверхность цилиндра.
312. Отношение площади основания конуса к площади осевого се­
чения равно 7г. Найти угол наклона образующей к основанию.
313. Высота конуса Н. На каком расстоянии от вершины надо
провести плоскость параллельно основанию, чтобы площадь сечения
была равна половине площади основания?
314. 1) Радиус основания конуса R. Через середину высоты про­
ведена плоскость параллельно основанию. Найти площадь сечения.
2) Радиус основания конуса R. Определить площадь параллельно­
го сечения, делящего высоту конуса в отношении т : п (от вершины
к основанию).
315. Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найти площадь
сечения, проведенного через вершину, если его расстояние от центра
основания конуса равно 12.
316. В равностороннем конусе (осевое сечение — правильный треу­
гольник) радиус основания R. Найти площадь сечения, проведенного
через две образующие, угол между которыми равен 30°.
317. Высота конуса Н. Угол между высотой и образующей ра­
вен 60°. Найти площадь сечения, проведенного через две взаимно
перпендикулярные образующие.
318. 1) В конусе, у которого высота
равна радиусу основания R , проведена
через вершину плоскость, отсекающая от
окружности основания дугу в 90°. Вы­
числить площадь полученного сечения.
2) Через вершину конуса под углом
45° к основанию проведена плоскость,
отсекающая четверть окружности ос­
нования. Высота конуса равна 10 см.
Определить площадь сечения.
319. Через середину высоты кону­
са проведена прямая параллельно обра­
зующей I. Найти длину отрезка прямой,
заключенной внутри конуса.
320. Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус (см. рис. 23)
пересечен прямой MTV, параллельной основанию; расстояние ее от
§ 5. Цилиндр и конус 257
основания равно 6 см, а от высоты 2 см. Найти отрезок этой прямой,
заключенный внутри конуса.
321. В конусе даны радиус основания R и высота Н. Найти ребро
вписанного в него куба.
322. В конусе даны радиус основания R и высота Н. В него впи­
сана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квад­
раты. Найти ребро этой призмы.
323. Конусообразная палатка высотой 3,5 м и диаметром основа­
ния 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины
пошло на палатку?
324. Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши
равна 2 м, диаметр башни равен 6 м. Сколько листов кровельного
железа потребовалось для покрытия крыши, если лист имеет разме­
ры 0,7 м х 1,4 м и на швы пошло 10 % требующегося железа?
325. Поверхность конического шпиля башни равна 250 м2, диа­
метр основания 9 м. Найти высоту шпиля.
326. 1) Вычислить величину поверхности, полученной вращением
хорды вокруг диаметра, выходящего из ее конца, если диаметр равен
25 см, а хорда равна 20 см.
2) Из точки А на окружности радиуса г — 7 см проведена каса­
тельная \АВ\ = I = 24 см, а из ее конца В — секущая В ОС через
центр. Вычислить величину поверхности, которую описывает отре­
зок В С секущей, вращаясь вокруг касательной.
327. Равнобедренный треугольник вращается вокруг своей высо­
ты. Найти стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см,
а полная поверхность тела вращения равна 607Г см2.
328. Наибольший угол между образующими конуса равен 60°.
Найти отношение боковой поверхности к площади основания конуса.
329. 1) Как относятся между собой площадь основания, боковая
поверхность и полная поверхность в равностороннем конусе?
2) По высоте Н равностороннего конуса найти его полную поверх­
ность.
330. Как относится боковая поверхность равностороннего конуса
к боковой поверхности равностороннего цилиндра, имеющего такую
же высоту?
331. Найти зависимость между образующей и радиусом основания
конуса, у которого боковая поверхность есть среднее пропорциональ­
ное между площадью основания и полной поверхностью.
332. 1) Какова должна быть зависимость между образующей ко­
нуса и радиусом основания, чтобы полная поверхность конуса была
равновелика кругу, за радиус которого принята высота конуса?
17 В. А. Бачурин
258 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
2) Какова должна быть зависимость между образующей конуса
и радиусом основания, чтобы полная поверхность была равновелика
кругу, радиус которого равен образующей конуса?
333. 1) Высота конуса равна 4, радиус основания равен 3; боковая
поверхность конуса развернута на плоскость. Найти угол полученного
сектора.
2) По радиусу основания R и образующей L определить угол
в развертке боковой поверхности конуса. (Рассмотреть особо случай
равностороннего конуса.)
3) Вычислить угол в развертке боковой поверхности конуса:
а) если наибольший угол между образующими — прямой;
б) если образующая составляет с плоскостью основания угол 30°.
334. 1) Полукруг свернут в коническую поверхность. Найти угол
между образующей и высотой конуса.
2) Радиус сектора равен 3 м; его угол 120°. Сектор свернут в ко­
ническую поверхность. Найти радиус основания конуса.
335. 1) Боковая поверхность конуса содержит 80 см2; угол в ее
развертке равен 112°30/. Вычислить площадь основания.
2) Боковая поверхность конуса равна 10 см2 и развертывается в
сектор с углом в 36°. Вычислить полную поверхность.
3) Боковой поверхностью конуса служит свернутая четверть кру­
га. Найти полную поверхность этого конуса, если площадь его осевого
сечения равна М.
336. Если наибольший угол между образующими конуса равен
120°, то его боковая поверхность равновелика боковой поверхности
цилиндра, имеющего те же самые основания и высоту. Доказать это
утверждение.
337. В равносторонний конус вписана правильная четырехуголь­
ная пирамида. Как относятся боковые поверхности конуса и пирамиды?
338. В данном конусе радиус основания г — 39 см, а высота h =
= 52 см. В него вписан цилиндр такой высоты, что его боковая по­
верхность равновелика боковой поверхности малого конуса, стоящего
на его верхнем основании. Найти высоту цилиндра.
339. В конус с высотой Н и образующей L вписан цилиндр, у
которого боковая поверхность в п раз меньше боковой поверхности
конуса. Найти высоту цилиндра (L = 1,5#, п = 4).
340. В конус вписан цилиндр, у которого полная поверхность рав­
новелика боковой поверхности конуса. Наибольший угол между об­
разующими конуса — прямой. Доказать, что расстояние от вершины
конуса до верхнего основания цилиндра составляет половину длины
образующей конуса.
341. Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к осно­
ванию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса
другого основания. Найти каждый из радиусов.
§ 5. Цилиндр и конус 259
342. Площади оснований усеченного конуса равны 4 кв.ед. и
25 кв. ед. Высота разделена на три части одинаковой длины, и через
точки деления проведены плоскости параллельно основаниям. Найти
площади сечений.
343. В усеченном конусе площади оснований равны 1 м2 и 49 м2.
Площадь параллельного сечения равна их полусумме. На какие части
это сечение делит высоту?
344. В усеченном конусе высота h = 10 см, а радиусы оснований
равны 8 см и 18 см. На каком расстоянии от меньшего основания
находится параллельное сечение, площадь которого есть среднее про­
порциональное между площадями основания?
345. Радиусы оснований усеченного конуса равны R и г. Образую­
щая наклонена к основанию под углом 60°. Найти боковую поверхность.
346. Радиусы оснований усеченного конуса и его образующая от­
носятся, как 1:4:5, высота равна 8 см. Найти *§бок-
347. 1) Найти высоту усеченного конуса, если его полная поверх­
ность равна 5727Г м2, а радиусы оснований равны 6 м и 14 м.
2) В усеченном конусе высота h = 63 дм, образующая I = 65 дм
и боковая поверхность S = 2б7г м2. Вычислить радиусы оснований.
348. Сколько квадратных метров латунного листа потребуется,
чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца равен 0,43 м,
диаметр другого конца — 0,036 м и образующая равна 1,42 м?
349. Сколько олифы потребуется для окраски 100 ведер коничес­
кой формы, если диаметры оснований ведра равны 25 см и 30 см,
образующая равна 27,5 см и на 1 м2 требуется 150 г олифы?
350. В усеченном конусе образующая I = 5 см, а радиусы осно­
ваний равны 1 см и 5 см. Найти радиус цилиндра с такой же высотой и
такой же величиной боковой поверхности.
351. Вычислить боковую поверхность усеченного конуса, если его
образующая составляет с плоскостью основания угол 30°, а площадь
осевого сечения равна F.
352. Найти высоту усеченного конуса, если его боковая поверх­
ность равновелика сумме оснований, а их радиусы равны R и г.
353. 1) В усеченном конусе даны высота //, образующая L и бо­
ковая поверхность S. Вычислить площадь осевого сечения.
2) В усеченном конусе вычислить площадь осевого сечения, если
даны площади оснований Q и q и боковая поверхность S.
354. В усеченном конусе радиусы оснований равны 1 см и 3 см.
Найти образующую, если полная поверхность усеченного конуса равна
площади всего кругового кольца, в часть которого развертывается
боковая поверхность усеченного конуса.
355. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных
цилиндра со следующими размерами: ход поршня равен 150 мм,
17*
260 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
диаметр равен 80 мм. Найти часовую производительность насоса, если
известно, что каждый поршень делает 50 рабочих ходов в 1 минуту.
356. Граната имеет форму цилиндра длиной 3,5 калибра и тол­
щину стенок 0,125 калибра (калибром называется внутренний диаметр
дула пушки). Вычислить в кубических сантиметрах объем взрывча­
того вещества, наполняющего внутреннюю пустоту гранаты полевой
пушки калибра в 76 мм.
357. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в пос­
леднюю вписан цилиндр. Найти отношение объемов обоих цилиндров.
358. Боковая поверхность цилиндра равна S, а длина окружности
основания равна С. Найти объем.
359. 1) Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат
со стороной а. Найти объем.
2) Высота цилиндра равна Я, а в развертке его боковой поверх­
ности образующая составляет с диагональю угол 60°. Вычислить
объем.
360. Прямоугольный лист жести длиной 1,6 м и шириной 0,8 м
можно согнуть в трубку двояким образом: в первом случае длина
трубки будет 1,6 м, во втором — 0,8 м. Найти отношение объемов тру­
бок и их поверхностей.
361. Стальной вал длиной 1,40 м и диаметром 0,083 м обта­
чивается на токарном станке, причем диаметр его уменьшается на
0,003 м. Сколько теряет он в массе благодаря обточке? Плотность
стали равна 7,4 г/см3.
362. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Ра­
диус его основания равен 2,5 м, высота равна 4 м, причем цилиндриче­
ская часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена равна 0,03 г/см3.
Вычислить массу стога.
363. Высота и образующая конуса относятся, как 4 : 5, а объем
конуса равен 9б7г см3. Найти его полную поверхность.
364. Найти объем конуса по площади основания Q и боковой по­
верхности S.
365. 1) Как относятся объемы равностороннего конуса и равно­
стороннего цилиндра, если их полные поверхности равны?
2) Как относятся полные поверхности равностороннего конуса и
равностороннего цилиндра, если их объемы равны?
366. 1) Объем конуса равен V, а радиус основания равен R. Найти
площадь осевого сечения конуса.
2) В конусе площадь основания равна Q и площадь осевого сече­
ния равна М. Определить объем и боковую поверхность.
367. На одном основании построены конус и равновеликий ему
цилиндр. Параллельно основанию проведена плоскость через середи­
§ 5. Цилиндр и конус 261
ну высоты цилиндра. Как относятся площади полученных сечений
конуса и цилиндра?
368. Из жести вырезан сектор радиуса 20 см с центральным уг­
лом 250° и свернут в конус. Найти объем конуса.
369. Прямоугольный треугольник с катетами а и b вращается
вокруг гипотенузы. Найти объем и поверхность полученного тела.
370. Треугольник со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вращается
вокруг большей стороны. Вычислить объем и поверхность получен­
ного тела.
371. Треугольник с углом 60°, заключенным между сторонами,
равными 8 см и 15 см, вращается вокруг большей из этих сторон.
Вычислить объем и поверхность тела вращения.
372. Объемы тел, образуемых вращением какого-нибудь треуголь­
ника последовательно вокруг каждой стороны, обратно пропорцио­
нальны этим сторонам. Доказать это утверждение.
373. Высота усеченного конуса равна 3. Радиус одного основания
вдвое больше другого, а образующая наклонена к основанию под уг­
лом 45°. Найти объем.
374. Объем усеченного конуса равен 52 см2; площадь одного ос­
нования в 9 раз больше площади другого. Усеченный конус достроен
до полного. Найти объем полного конуса.
375. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разности
площадей оснований, а радиусы оснований равны R и г. Найти его
объем.
376. Высота усеченного конуса равна 12 см, площадь среднего
параллельного сечения равна 2257т см2, объем равен 28007т см3. Вы­
числить радиусы оснований.
377. Образующая усеченного конуса равна 17 см, площадь осево­
го сечения равна 420 см2, площадь среднего сечения равна 19б7г см2.
Вычислить объем и боковую поверхность.
378. Усеченный конус, у которого радиусы оснований равны 4 см
и 22 см, требуется превратить в равновеликий цилиндр такой же вы­
соты. Найти радиус основания этого цилиндра.
379. Радиус одного основания усеченного конуса вчетверо больше
радиуса другого. Высота разделена на три части равной длины, и
через точки деления проведены плоскости параллельно основаниям.
В каком отношении разделился объем?
380. В усеченном конусе радиусы оснований равны R и г, высота
равна h. Из него вырезаны два конуса, у которых основаниями служат
основания данного усеченного конуса, а образующие одного служат
продолжениями образующих другого. Найти объем оставшейся части.

381. 1) Шар, радиус которого равен 41 дм, пересечен плоскостью
на расстоянии 9 дм от центра. Вычислить площадь сечения.
2) Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к
нему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к пло­
щади большого круга?
382. Радиус шара равен 63 см. Точка находится на касательной
плоскости на расстоянии 16 см от точки касания. Найти ее кратчайшее
расстояние от поверхности шара.
383. Угол между радиусами, проведенными к двум точкам поверх­
ности шара, равен 60°, а кратчайшее расстояние между этими точками
по поверхности шара равно 5 см. Вычислить радиус шара « 0,32
384. Радиус шара равен R. Через конец радиуса проведена плос­
кость под углом 60° к нему. Найти площадь сечения.
385. Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности про­
ведены две плоскости: первая — касательная к шару, вторая — под
углом 30° к первой. Найти площадь сечения.
386. 1) Радиус Земного шара равен R. Чему равна длина окруж­
ности параллельного круга, если его широта равна 60°?
2) Город N находится на 60° северной широты. Какой путь опи­
сывает этот пункт в течение одного часа вследствие вращения Земли
вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км.
387. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные рас­
стояния между ними равны 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара равен 13 см.
Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через
эти три точки.
388. Диаметр шара равен 25 см. На его поверхности даны точ­
ка Л и окружность, все точки которой удалены (по прямой линии)
от А на 15 см. Найти радиус этой окружности.
389. Радиус шара равен 15 м. Вне шара дана точка А на рас­
стоянии 10 м от его поверхности. Найти длину такой окружности на
поверхности шара, все точки которой отстоят от А на 20 м.
390. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание
и общую высоту; через середину высоты проведена плоскость, па­
раллельная основанию. Доказать, что площадь сечения, заключенная
между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, рав­
на половине площади основания.
391. Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми по­
верхностями (полый шар). Доказать, что его сечение плоскостью,
проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к
внутренней шаровой поверхности.
§ 6. Шар и комбинации геометрических фигур 263
392. Радиусы двух шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние меж­
ду их центрами равно 36 дм. Вычислить длину линии, по которой
пересекаются их поверхности.
393. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см, 15 см. Найти
расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касательного
к сторонам треугольника. Радиус шара равен 5 см.
394. Диагонали ромба равны 15 см и 20 см. Шаровая поверхность
касается всех сторон его. Радиус шара равен 10 см. Найти расстояние
от его центра до плоскости ромба.
395. На шар, радиус которого равен 5 дм, наложен ромб так, что
каждая сторона его, равная 6 дм, касается шара. Расстояние от плос­
кости ромба до центра шара равно 4 дм. Найти площадь ромба.
396. Через точку, лежащую на поверхности шара, проведены две
взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересекают шар по
кругам радиусов г\ и Г2- Найти радиус шара.
397. Радиус шара равен 7 см. На его поверхности даны две
равные окружности, пересекающиеся по хорде, равной 2 см. Найти
радиус этих окружностей, зная, что плоскости их перпендикулярны.
398. Две касательные к шару плоскости образуют угол 120°, обра­
щенный к поверхности шара. Кратчайшее расстояние по поверхности
шара между точками касания равно 70 см. Найти радиус шара.
399. 1) (Устно.) Радиус шара равен 1 м. Найти объем шара.
2) Во сколько раз увеличится объем шара, если радиус его увели­
чить в 3 раза? в 4 раза?
400. Чугунные шары регулятора имеют массу по 10 кг каждый.
Найти диаметр шара. Плотность чугуна равна 7,2 г/см3.
401. 1) Требуется перелить в один шар два чугунных шара с диа­
метрами d\ = 25 см и с(2 = 35 см. Найти диаметр нового шара.
2) Радиусы трех шаров равны 3 см, 4 см и 5 см. Найти радиус
шара, объем которого равен сумме их объемов.
402. Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диамет­
ром 1 см можно отлить из куска? Плотность свинца равна 11,4 г/см3.
403. (Устно.) 1) Свинцовый шар, диаметр которого равен 20 см,
переливается в шарики с диаметром в 10 раз меньшим. Сколько таких
шариков получится? Какое данное в задаче лишнее?
2) Нужно отлить свинцовый шар с диаметром 3 см. Имеются
свинцовые шарики с диаметром 5 мм. Сколько таких шариков нужно
взять?
404. Свинцовый шарик, диаметр которого равен 0,012 м, и полый
стеклянный шар диаметром 0,160 м уравновешены на коромысле ве­
264 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
сов, т. е. в воздухе имеют равный вес. Если перенести всю эту систе­
му под колокол воздушного насоса и выкачать из-под колокола весь
воздух, то какой шар опустится? Как изменятся веса шаров? Этот
прибор в физике называется бароскопом. Удельный вес воздуха ра­
вен 13 Н/м3.
405. 1) Из деревянного цилиндра, в котором высота равна диа­
метру основания (равносторонний цилиндр), выточен наибольший
шар. Определить, сколько процентов материала сточено.
2) Из куба выточен наибольший шар. Сколько процентов мате­
риала сточено?
406. Если радиусы трех шаров относятся как 1:2:3, то объем
большего шара в три раза больше суммы объемов меньших шаров.
Доказать это утверждение.
407. Внешний диаметр полого шара равен 18 см, толщина стенок
равна 1 см. Найти объем стенок.
408. Внутренний диаметр чугунного полого шара равен 8 см, а
внешний — 10 см. Вычислить массу шара. Плотность чугуна рав­
на 7,3 г/см3.
409. Объем стенок полого шара равен 87б7г см3, а толщина сте­
нок равна 3 см. Найти радиусы его наружной и внутренней поверх­
ностей.
410. В основание равностороннего цилиндра радиуса R вписан
квадрат, и на нем построена правильная четырехугольная пирамида
с равносторонними боковыми гранями. Требуется определить радиус
шара, объем которого равен сумме объемов цилиндра и пирамиды.
411. Сосуд имеет форму опрокинутого конуса, осевое сечение ко­
торого — равносторонний треугольник. В него брошен железный шар
радиуса R. В сосуд налита вода так, что поверхность воды касается
погруженного в нее шара. На какой высоте будет вода, если вынуть
шар?
412. Дан шар. Плоскость, перпендикулярная диаметру, делит его
на две части: 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?
413. Какую часть объема шара составляет объем сферического
сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
414. Высота шарового сегмента составляет 0,4 радиуса шара.
Какую часть составляет объем этого сегмента от объема цилиндра,
имеющего те же основание и высоту?
415. Два равновеликих шара расположены так, что центр одно­
го лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части
шаров к объему целого шара?
416. Диаметр шара, равный 30 см, служит осью цилиндра, у кото­
рого радиус основания равен 12 см. Найти объем части шара, заклю­
ченной внутри цилиндра.
§ 6. Ш а р и ком би н а ц и и ге о м ет р и ч е с к и х ф и гур 265
417. Радиусы поверхностей двояковыпуклого сферического стек­
ла равны 10 см и 17 см. Расстояние между их центрами равно 21 см.
Найти объем.
418. Радиус шарового сектора равен R , угол в осевом сечении
составляет 120°. Найти объем.
419. Найти объем шарового сектора, если радиус окружности его
основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.
420. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается вокруг
одного из боковых радиусов. Вычислить объем полученного тела.
421. Полукруг радиуса R , разделенный двумя радиусами на три
части равной длины, вращается вокруг диаметра. Найти объемы тел,
полученных от вращения каждой части.
422. Если в сферическом секторе площадь осевого сечения рав­
на - площади большого круга, то его объем равен - объема шара.
Доказать это утверждение.
423. В шаре, радиус которого равен 65 см, проведены по одну
сторону центра две параллельные плоскости, отстоящие от центра на
16 см и 25 см. Найти объем части шара, заключенной между ними.
424. Доказать, что объем тела, полученного при вращении круго­
вого сегмента с хордой а вокруг диаметра, параллельного этой хорде,
не зависит от величины радиуса круга.
425. 1) (Устно.) Площадь большого круга равна 1 м2. Найти по­
верхность шара.
2) Кривая поверхность полушара на М больше площади его ос­
нования. Найти площадь основания.
3) Дан полушар радиуса R. Найти его полную поверхность.
426. 1) Радиус шара равен 5 см. Найти его поверхность (п «
«3,1416).
2) Поверхность шара равна 2257т м2. Найти его объем.
3) По объему шара V найти его поверхность.
427. (Устно.) 1) Как изменятся поверхность и объем шара, если
радиус увеличить в 4 раза? в 5 раз?
2) Поверхности двух шаров относятся, как m : п. Как относятся
их объемы?
3) Объемы двух шаров относятся, как m : п. Как относятся их
поверхности?
428. Гипотенуза и катеты служат диаметрами трех шаров. Како­
ва зависимость между их поверхностями?
429. В шаре проведены по одну сторону от центра два парал­
лельных сечения; площади их равны 497г дм2 и 47г м2, а расстояние
между ними равно 9 дм. Вычислить поверхность шара.
266 Разд. IV . Г еом ет р и я . С т ер еом ет р и я
430. Полная поверхность равностороннего конуса равновелика
поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. До­
казать это утверждение.
431. Если равносторонний конус и полушар имеют общее основа­
ние, то боковая поверхность конуса равновелика сферической поверх­
ности полушара, а линия их пересечения вдвое короче окружности
основания. Доказать это утверждение.
432. Объем шара (в куб. ед.) и его поверхность (в кв. ед.) выра­
жаются одним и тем же числом. Найти радиус шара.
433. Кусок металла, имевший сначала форму равностороннего ци­
линдра, перелит в форму шара. Как изменилась величина его поверх­
ности?
434. Поверхность тела, образуемого вращением квадрата вокруг
стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону
квадрата. Доказать это утверждение.
435. Радиусы оснований шарового пояса 20 м и 24 м, а радиус
шара 25 м. Найти поверхность шарового пояса. (Два случая.)
436. По радиусу шара R найти высоту сферического слоя, одно
из оснований которого — большой круг шара и боковая поверхность
которого равновелика сумме оснований.
437. Высота шарового пояса 7 см, а радиусы оснований 16 см и
33 см. Вычислить поверхность шарового пояса.
438. По данному радиусу шара R найти высоту сферического
сегмента, у которого боковая поверхность в т раз больше площади
основания (ш = 4).
439. Если полуокружность, разделенная на три части одинако­
вой длины, вращается вокруг своего диаметра, то поверхность, опи­
санная средней дугой, равновелика сумме поверхностей, описанных
боковыми дугами. Доказать это утверждение.
440. Круговой сегмент с дугой 120° и площадью Q вращается
вокруг своей высоты. Найти полную поверхность полученного тела.
441. Боковая поверхность конуса, вписанного в шаровой сегмент,
есть среднее пропорциональное между площадью основания и боко­
вой поверхностью сегмента. Доказать это утверждение.
442. 1) Радиус шара равен 15 см. Найти часть его поверхности,
видимую из точки, удаленной от центра на 25 см.
2) На каком расстоянии от центра шара радиуса R должна быть
светящаяся точка, чтобы она освещала - его поверхности?
О
443. Круговой сектор с углом 90° и площадью Q вращается вок­
руг среднего радиуса. Найти поверхность полученного тела.
§ 6. Ш а р и ком би н а ц и и ге о м ет р и ч е с к и х ф и гур 267
444. Какую часть объема шара составляет объем сферического сек­
тора, у которого сферическая и коническая поверхности равновелики?
445. Шар радиуса 10 см цилиндрически просверлен по оси. Диа­
метр отверстия 12 см. Найти полную поверхность тела.
446. Радиус шара 9 дм. В него вписана правильная четырехуголь­
ная призма, высота которой 14 дм. Найти сторону основания призмы.
447. Боковое ребро правильной треугольной призмы 2 м, сторона
основания 3 м. Найти диаметр описанного шара.
448. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторона­
ми 6 см, 8 см и 10 см. Высота призмы 24 см. Найти радиус описан­
ного шара.
449. Как относятся между собой поверхности трех шаров, если
первая поверхность касается граней куба, вторая касается его ребер
и третья проходит через его вершины?
450. Вокруг шара описана правильная треугольная призма, а во­
круг нее описан шар. Как относятся между собой поверхности этих
шаров?
451. По ребру а правильного тетраэдра найти радиусы описан­
ного и вписанного шаров.
452. Как относятся между собой поверхности трех шаров, если
первая поверхность касается граней правильного тетраэдра, вторая
касается его ребер, а третья проходит через его вершины?
453. По ребру а правильного октаэдра найти радиусы описанно­
го и вписанного шаров.
454. В данной пирамиде все боковые ребра равны 9 см, а ее вы­
сота 5 см. Найти радиус описанного шара.
455. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, вы­
сота которой делится центром шара на две части: 4 см и 5 см. Найти
объем пирамиды.
456. Высота правильной треугольной пирамиды h. Боковые реб­
ра взаимно перпендикулярны. Найти радиус описанного шара.
457. Основанием пирамиды служит правильный треугольник,
сторона которого равна 3 дм. Одно из боковых ребер равно 2 дм и
перпендикулярно основанию. Найти радиус описанного шара.
458. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной
пирамиды 7 дм и 1 дм. Боковое ребро наклонено к основанию под
углом 45°. Найти радиус описанного шара.
459. В правильной треугольной усеченной пирамиде высота рав­
на 17 см; радиусы окружностей, описанных вокруг оснований, равны
5 см и 12 см. Найти радиус описанного шара.
268 Разд. IV . Г еом ет р и я . С т ер еом ет р и я
460. В шар радиуса R вписан равносторонний цилиндр. На какие
части делят поверхность шара основания цилиндра?
461. В шар вписан цилиндр, у которого радиус основания отно­
сится к высоте, как т : п. Найти полную поверхность этого цилиндра,
если поверхность шара равна S.
462. Высота конуса /г, образующая I. Найти радиус описанного
шара.
463. Радиус шара 5 см. В шар вписан конус, радиус основания
которого 4 см. Вычислить высоту конуса.
464. Радиус шара 2 м. В него вписан равносторонний конус. Най­
ти полную поверхность и объем конуса.
465. Найти отношение объемов равностороннего конуса и вписан­
ного в него шара.
466. В конус, у которого радиус основания г, а образующая /,
вписан шар. Вычислить длину линии, по которой поверхность шара
касается боковой поверхности конуса.
467. Если вокруг шара описан конус, у которого высота вдвое
больше диаметра шара, то объем и полная поверхность конуса вдвое
больше объема и поверхности шара. Доказать это утверждение.
468. Вокруг шара радиуса г описан конус с прямым углом при
вершине осевого сечения. Найти полную поверхность конуса.
469. Высота конуса 20 см, образующая 25 см. Найти радиус впи­
санного полушара, основание которого лежит на основании конуса.
470. Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 4 м; высота 7 м.
Найти радиус описанного шара.
471. Вокруг шара описан усеченный конус, радиусы оснований
которого г и R. Найти радиус шара.
472. Вокруг шара описан усеченный конус, у которого образую­
щая составляет с плоскостью основания угол 45°. Доказать, что его
боковая поверхность вдвое больше поверхности шара.
473. Радиус сферического сектора R , дуга в осевом сечении 60°.
Найти радиус вписанного в него шара и длину окружности, по кото­
рой они касаются.
474. В сферический сектор вписаны два взаимно касающихся
шара, радиусы которых 1 дм и 3 дм. Найти радиус данного сектора.
475. Полная поверхность данного шарового сегмента в т раз
больше поверхности вписанного в него шара. Найти высоту сегмента,
зная радиус R его сферической поверхности (ш = 2).
§ 6. Ш а р и ком би н а ц и и ге о м ет р и ч е с к и х ф и гур 269
476. Объем данного шарового сегмента в т раз больше объема
вписанного в него шара. Найти его высоту по радиусу R его сфери­
ческой поверхности (ш = 2).
477. В шаровой сектор с углом 120° в осевом сечении вписан
равносторонний конус. Вершина конуса находится на сферической
поверхности сектора, а основание конуса опирается на коническую
поверхность сектора. Найти отношение объемов конуса и сектора.
478. Квадрат со стороной а вращается вокруг перпендикуляра к
диагонали, проведенного через ее конец. Найти объем и поверхность
полученного тела.
479. Равносторонний треугольник вращается вокруг перпендику­
ляра к стороне, проведенного через ее конец. Как относятся между
собой поверхности, описываемые сторонами треугольника?
480. Равносторонний треугольник вращается сначала вокруг
стороны, а затем вокруг параллельной ей прямой, проведенной че­
рез вершину. Доказать, что во втором случае получаются объем и
поверхность, вдвое большие, чем в первом.
481. Равносторонний треугольник со стороной а вращается вок­
руг внешней оси, которая параллельна стороне и удалена от нее на
расстояние, равное длине апофемы треугольника. Найти объем и по­
верхность полученного тела.
482. Одна из сторон а равностороннего треугольника продолже­
на на равную ей длину, и через конец продолжения проведен перпен­
дикуляр к нему. Найти объем и поверхность тела, которое получится,
если вращать треугольник вокруг этого перпендикуляра.
483. По стороне а правильного шестиугольника найти объем и
поверхность тел, образуемых его вращением:
1) вокруг диаметра; 2) вокруг апофемы.
484. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг
внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от нее на длину
апофемы. Найти объем и поверхность полученного тела.
485. Прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см
вращается вокруг перпендикуляра к гипотенузе, проведенного через
вершину большего острого угла. Найти объем и поверхность тела
вращения.
486. Объемы, образуемые вращением параллелограмма последо­
вательно вокруг двух смежных сторон, обратно пропорциональны
этим сторонам. Доказать это утверждение.
487. Ромб, площадь которого равна Q, вращается вокруг сторо­
ны. Найти поверхность полученного тела.
270 Разд. IV . Г еом ет р и я . С т ер еом ет р и я
488. Равнобочная трапеция, у которой острый угол равен 45° и
боковая сторона равновелика меньшему основанию, вращается вок­
руг боковой стороны. Зная ее длину а, найти объем и поверхность
тела вращения.
489. В полукруг радиуса R вписана трапеция так, что ее нижним
основанием служит диаметр, а боковая сторона стягивает дугу в 30°.
Найти объем и поверхность тела, образуемого вращением этой трапе­
ции вокруг радиуса, перпендикулярного ее основанию.
490. Круговой сегмент вращается вокруг параллельного хорде
диаметра. Доказать, что полученный объем равен объему шара с диа­
метром, по длине равным хорде сегмента.
491. Вокруг шара радиуса R описан усеченный конус, объем ко­
торого в т раз больше объема шара. Найти радиусы его оснований.
492. Поверхность шара, вписанного в данный конус, равновелика
его основанию. Требуется определить:
1) как относится поверхность этого шара к боковой поверхности
конуса;
2) какую часть объема конуса составляет объем шара.
493. Как относится объем конуса, описанного вокруг правильно­
го тетраэдра, к объему шара, вписанного в этот тетраэдр?
494. В равносторонний конус вписан полушар так, что большой
круг полушара находится в плоскости основания конуса. В каком от­
ношении окружность касания делит боковую поверхность полушара
и боковую поверхность конуса?
495. В равносторонний конус с образующей а вписан шар, а в
него вписан куб. Найти ребро куба.
496. 1) В основание полушара вписан квадрат. Через стороны
квадрата проведены плоскости, перпендикулярные плоскости основа­
ния полушара. Эти плоскости отсекают от полушара четыре сфери­
ческих полусегмента. Оставшаяся часть дает форму свода. Сторона
квадрата а = 6,5 м. Вычислить объем, занимаемый сводом.
2) В основание полушара вписан прямоугольник со сторонами а
и Ь. Через стороны прямоугольника проведены четыре перпендику­
лярные основанию плоскости, отсекающие от полушара четыре части
(полусегменты). Найти объем оставшейся части.
497. По сторонам а и b прямоугольника найти объем и поверх­
ность тела, образуемого его вращением вокруг перпендикуляра к
диагонали, проведенного через ее конец.
498. Пусть Vi, V2 и Vs — объемы тел, полученных вращением
прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы и катетов. Дока-
1 1 , 1 зать, что — = ----. v f v i v i
§ 7. М е т о д коорди н ат и век т ор ы в ст ер еом ет р и и 271
499. В конус вписан ряд шаров, из которых первый касается ос­
нования и боковой поверхности, а каждый следующий — боковой
поверхности и предыдущего шара. Высота конуса равна 8 см, а радиус
основания 6 см. К какому пределу стремится сумма объемов вписан­
ных шаров, если число их неограниченно возрастает?
500. Для данной правильной четырехугольной усеченной пира­
миды построена равновеликая ей правильная четырехугольная призма
так, что центры их оснований совпадают, а боковые ребра взаимно
пересекаются. Стороны оснований усеченной пирамиды 2 м и 11 м.
Требуется:
1) найти сторону основания призмы;
2) установить, в каком отношении (считая сверху) делятся боковые
ребра точками их пересечения;
3) установить, в каком отношении делятся линией пересечения бо­
ковые поверхности.

501. Вычислить координаты единичного вектора а, если извест­
но, что он перпендикулярен векторам 6(1; 1; 0) и с(0; 1; 1).
502. Найти углы, которые образует вектор а(6; 2; 9) с координат­
ными плоскостями.
503. Найти зависимость между:
1) вектором р и его проекциями (рх; ру] pz) на три координатные
оси;
2) вектором р и его проекциями (pi; Р2 , Рз) на три координатные
плоскости.
504. В точке А(2; —1; 5) приложена сила R , |Д| = 11. Зная две
составляющие этой силы X = 7i и У = 6j , найти направление и конец
вектора, ее изображающего.
505. На осях координат отложены от начала координат отрезки,
равные 1; 2; 3; концы этих отрезков соединены прямыми. Вычислить
площадь полученного треугольника.
506. Вектор задан точками Л(6; 0; 2) и В{ 1; —3; 4). Найти коорди­
наты точки М (х;у; 0), принадлежащей этому вектору.
507. Единичный куб пересечен плоскостью, проходящей через его
центр симметрии. Чему равен объем каждой части куба?
508. Даны два вектора: а( 1; 2; —3) и 6(3; —1; 5). Найти такой век­
тор с, который перпендикулярен оси Oz и удовлетворяет условиям
са = —4 и cb = 9.
272 Разд. IV . Г еом ет р и я . С т ер еом ет р и я
509. В параллелепипеде A BCD A \BiCiD i даны координаты вер­
шин: А(3; 7; 1), В (5; 4; 2), D(8; 4; —1) и ЛД1; 6; 2). Вычислить коорди­
наты других вершин.
510. Дан тетраэдр A BC D . Найти сумму векторов:
1) A~B + BD + D C ; 2) АВ + с Ъ + В С + D A .
511. В тетраэдре A BC D точки М\ и М2 являются соответствен­
но точками пересечения медиан граней A D B и В DC. Показать, что
векторы Mi М2 и АС коллинеарны. Найти отношение длин этих век­
торов.
512. Медианы грани А ВС тетраэдра ОАВС^пересекаются в точ­
ке М. Разложить вектор О А по векторам О В , О С, ОМ .
513. Дан куб A B C D A iB iC \D i. Найти угол между векторами и
угол между прямыми, определяемыми теми же парами точек, что и
векторы:
1) D\A\ и С Ci\ 2) DA и В \ В .
514. Длина каждого ребра тетраэдра A BC D равна а, точки
М, N, Р являются серединами ребер А В , A D , DC. Вычислить ска­
лярные произведения:
1) АС А В ; 2) AD • D B ; 3) N P - ВА; 4) Р М Р В .
515. На координатных плоскостях найти точки, которые вместе
с началом координат служили бы вершинами расположенного в I ок­
танте правильного тетраэдра с ребрами, равными единице.
516. Найти направление вектора, перпендикулярного оси Oz и
прямой, проходящей через две точки А( 1; —1; 4) и В (—3; 2; 4).
517. Даны две вершины треугольника: А{—4; — 1; 2) и В (3; 5; —6).
Найти третью вершину (7, зная, что середина стороны АС лежит на
оси Оу, а середина стороны В С — на плоскости xOz.
518. Отрезок АВ разделен на пять равных частей; известна пер­
вая точка деления (7(3; —5; 7) и последняя F ( —2; 4; —8). Найти коор­
динаты концов отрезка и остальных точек деления.
519. Дан параллелепипед A B C D A iB iC \D i. Какие из следую­
щих троек векторов компланарны (т. е. лежат в одной плоскости или
в параллельных плоскостях):
1) ААи (7Ci, B iB ; 2) Л Б, AD, АА1;
3) В ?В , ADU D D i, 4) AD, A J3 U C C C
520. Дан параллелепипед A B C D A iB iC \D i. Доказать, что:
1) А~С = А~В + А1Ъ 1; 2) <7i\ = с Г в г - АВ;
2) AC1 + d7a + B D 1 = B C 1\ 4) d 7c + AA1 + CB + C?C = D ?B.
§ 7. М етод координат и векторы в стереометрии 273
521. Для каждой плоскости написать общее выражение коорди­
нат произвольного нормального вектора:
1) 2ж — 2/ — 2^ + 5 = 0; 2) x + 5 y - z = 0; 3) З х - 2 у - 7 = 0.
522. Построить плоскости:
1) 2x + y - z + 6 = 0; 2) x — y — z — 0;
3) 2/ — 2^ + 8 = 0; 4) 2ж —5 = 0.
523. Даны точки МДО; — 1; 3) и М2(1;3;5). Написать уравнение
плоскости, проходящей через точку М\ и перпендикулярной векто­
ру Mi М2 .
524. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и
точку Mi (2; —4; 3). Построить плоскость.
525. Построить плоскость 2х — 2у -\- z — 6 = 0 и найти углы ее
нормали с осями координат.
526. Найти расстояние между параллельными плоскостями Ах +
Ч-32/ — 5^ — 8 = 0 и Ах + З2/ — 3z + 12 = 0.
Указание. Взять на первой плоскости любую точку, напри­
мер, (2; 0; 0), и найти ее расстояние от другой плоскости.
527. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и
составляющей угол 60° с плоскостью у = х.
528. Найти точки пересечения плоскости 2х — Зу — Az — 24 = 0 с
осями координат.
529. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2х —
— З2/ + 6z — 12 = 0 и координатными плоскостями.
530. На оси Оу найти точку, отстоящую от плоскости х + 2у —
— 2z — 2 = 0 на расстоянии d = 4.
531. Составить уравнение плоскости, делящей пополам двугран­
ный угол между двумя плоскостями: 2х — 1Ау + 6z — 1 = 0, Зх + 5у —
— 5z + 3 = 0.
532. Найти координаты точки пересечения плоскости х + 2у +
+ 3z — 29 = 0 и прямой, проходящей через точки Л(0; 1;—1) и В(2;0;1).
533. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох и про­
ходящей через точки МДО; 1; 3) и М2(2; 4; 5), и построить ее.
534. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
М (2; — 1; 3) и отсекающей на осях координат равные положительные
отрезки.
535. Найти угол между плоскостями х — 2у -\-2z — 8 = 0 и х + z —
- 6 = 0.
536. Найти плоскость, проходящую через точку (2; 2; —2) и па­
раллельную плоскости х — 2у — 3z — 0.
18 В. А. Бачурин
274 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
537. Написать уравнение плоскости, проходящей через точ­
ку (—1; —1; 2) и перпендикулярной плоскостям х — 2у + z — 4 = 0 и
х + 2у -2 ^ + 4 = 0.
538. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
M i(—1; — 2; 0) и М2(1; 1; 2) и перпендикулярной плоскости х + 2у +
+ 2z — 4 = 0.
539. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
М1(1;-1;2),М2(2;1;2)и М3(1;1;4).
540. Через ось Oz провести плоскость, составляющую с плос­
костью 2х + у — л/Ъ z = 0 угол 60°.
541. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M i(—4; 0; 4) и отсекающей на осях Ох и Оу отрезки а = 4 и 6 = 3.
542. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M i(l; —3; 5) и отсекающей на осях Оу и Oz вдвое большие отрезки,
чем на оси Ох.
543. Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости
х — 2у 2z — 5 = 0 и удаленных от нее на 2 ед.
544. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пе­
ресечения плоскостей 2х — у + Sz — 6 = 0, х -\-2у — z + 3 = 0 и через
точку (1; 2; 4).

545. Вычислить угол, под которым диагональ куба наклонена к
его грани.
546. В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол а.
Вычислить площадь сечения, проведенного через сторону основания
и середину бокового ребра.
547. Из двух точек плоскости проведены две параллельные нак­
лонные AM и В N под углом а к плоскости; прямая MTV, пересекаю­
щая их и перпендикулярная к ним, образует с плоскостью угол /3.
Найти угол между прямой АВ и прямой AM.
548. Отрезки двух прямых, заключенные между двумя парал­
лельными плоскостями, относятся, как 2:3, а их углы с плоскостью —
как 2:1. Найти эти углы.
549. На крыше, имеющей наклон в 20°, проведена прямая M N
под углом 25° к линии наибольшего ската М К (линией наибольшего
ската служит перпендикуляр к горизонтальной линии, проведенной
на плоскости). Найти угол х между М N и горизонтом.
§ 8. Применение тригонометрических функций в стереометрии 275
550. Покрытие квадратного здания изображено на плане (рис. 24);
размеры даны в метрах. Верхняя площадка покрытия расположена
на высоте (считая от основания крыши), рав­
ной - ширины здания. Все четыре ската наклоне- О
ны под одним и тем же углом к горизонтальной
плоскости. Чему равен угол наклона покрытия?
551. В правильной четырехугольной пирами­
де сторона основания и боковое ребро относятся,
как л/3 : л/2. Через диагональ основания проведена
плоскость, параллельная боковому ребру. Найти
наклон этой плоскости к основанию.
552. В правильной четырехугольной призме проведена плоскость
через середину оси и середины двух последовательных сторон основа­
ния. Зная, что сторона основания равна а, а боковое ребро 6, найти:
1) площадь полученного сечения;
2) угол между проведенной плоскостью и плоскостью основания.
553. Основанием прямой четырехугольной призмы служит ромб
с острым углом а. Как надо пересечь эту призму, чтобы в сечении
получить квадрат с вершинами на боковых ребрах?
554. В треугольной призме каждая сторона основания равна а.
Одна из вершин основания проецируется в центр другого основания.
Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом а. Вы­
числить боковую поверхность призмы.
555. В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна а и составляет с боковым ребром угол а. Вычислить площадь
сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пирамиды.
556. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол
при основании равен а. Через ребро этого двугранного угла проведе­
на внутри пирамиды плоскость, составляющая с основанием угол (3.
Сторона основания равна а. Вычислить площадь сечения.
557. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h.
Двугранный угол при основании а. Вычислить полную поверхность.
558. В основании пирамиды лежит равнобочная трапеция, диаго­
наль которой равна I и составляет с большим основанием угол а. Все
боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под уг­
лом ip. Вычислить Зполн.
559. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а. Из
боковых граней две перпендикулярны основанию, а две другие обра­
зуют с ним угол а. Вычислить S^ok и *9ПОлн-
12
18:
276 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
560. В правильной n-угольной усеченной пирамиде даны высота h
и стороны оснований а и b (а > Ь). Вычислить ее полную поверхность.
561. В правильной n-угольной усеченной пирамиде отношение
площадей оснований ш 2, апофема к, угол между апофемой и высо­
той а. Вычислить ее боковую поверхность.
562. К цилиндру проведена касательная прямая под углом а к
плоскости основания. Вычислить расстояние от центра нижнего ос­
нования до этой прямой, если расстояние от него до точки касания
равно d и радиус основания равен R.
563. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b
и образует с плоскостью основания угол а. В эту пирамиду вписан
равносторонний цилиндр так, что его основание лежит в плоскости
основания пирамиды. Найти высоту цилиндра.
564. Найти ребро куба, вписанного в конус, образующая которого
равна I и наклонена к плоскости основания под углом а.
565. Вычислить полную поверхность конуса, если угол между
образующей и плоскостью основания равен а , а площадь осевого
сечения Q.
566. Образующая усеченного конуса наклонена к его основанию,
имеющему радиус R , под углом а ; радиус другого основания ра­
вен г. Вычислить боковую поверхность усеченного конуса.
567. В усеченном конусе, радиусы оснований которого равны R
и г, проведена плоскость под углом /3 к основанию. Эта плоскость от­
секает от окружности каждого основания дугу а. Вычислить площадь
сечения.
568. Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью его
основания угол а ; площади оснований Q и q. Вычислить *§бок-
569. В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из общей
вершины, равны а, 6, с; ребра а и b взаимно перпендикулярны, а
ребро с образует с каждым из них угол а. Найти объем V парал­
лелепипеда и угол х между ребром с и плоскостью прямоугольника
(а = 120°).
570. Железнодорожная насыпь в разрезе представляет собой
равнобочную трапецию. Высота трапеции равна 12 м, верхнее (мень­
шее) основание равно 25 м, острый угол а трапеции определяется
2
равенством tg а = -. Сколько кубометров насыпи приходится на один
погонный метр?

 

Категория: Математика | Добавил: Админ (05.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar