Тема №5636 Ответы по математике Бачурин (Часть 7)
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы по математике Бачурин (Часть 7) из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы по математике Бачурин (Часть 7), узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

Ответы в самом низу встроенного документа

571. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, в ко­
торой боковое ребро равно 6, а плоский угол при вершине равен а.
572. В треугольной пирамиде две боковые грани — равнобедрен­
ные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны b и
образуют между собой угол а. Вычислить объем этой пирамиды.
§ 8. Применение тригонометрических функций в стереометрии 277
573. Найти объем цилиндрической трубки, высота которой Я,
зная, что если через образующую внешней ее поверхности провести
две плоскости, касательные к внутренней поверхности, то они составят
угол су, а хорда, соединяющая точки касания этих плоскостей с внут­
ренней окружностью основания трубки, равна Ь.
574. Угол откоса для мелкого песка ip = 31°. Куча песка имеет вид
конуса, длина окружности основания которого с — 11 м. Плотность
песка d — 1,6 г/см3. Найти массу этой кучи.
575. Осевое сечение конуса представляет собой треугольник, угол
при вершине которого а. Радиус окружности,
описанной вокруг этого треугольника, R. Найти
объем конуса.
576. На рис. 25 изображен продольный раз­
рез доменной печи. Внутренность доменной печи
состоит из двух усеченных конусов. Верхнее и
нижнее отверстия имеют радиусы г\ и г2; углы
наклона образующих к основанию а и /3; общий
объем V. Найти радиус общего основания кону­
сов г, а также их высоты h\ и /12 (2гд = 4,2 м;
2г2 = 4,9 м; а = 86°; (3 = 76°; V = 572,6 м3).
577. Радиус Земного шара (приблизительно) равен 6370 км.
Москва находится на 56° северной широты. Найти радиус этого круга
широты.
578. Радиус Земного шара равен 6370 км. Найти длину тропика
(широта 23°27') и полярного круга (широта 66°33').
579. Сторона основания правильной n-угольной пирамиды рав­
на а, двугранный угол при основании равен ip. Найти радиус шара,
вписанного в пирамиду.
580. Найти угол между образующей и плоскостью основания
конуса, если площадь основания, поверхность вписанного шара и бо­
ковая поверхность конуса составляют арифметическую прогрессию.
581. Найти угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного
вокруг четырех равновеликих шаров, расположенных так, что каждый
касается трех других.
582. Найти радиус шара, описанного вокруг усеченного конуса, в
котором радиусы оснований Я и г, а образующая наклонена к плос­
кости нижнего основания под углом а.
583. В конус помещены два шара так, что они касаются друг друга
и поверхности конуса. Отношение радиусов шаров равно т : п. Найти
величину угла при вершине осевого сечения конуса ( т : п = 3:1).
584. Найти площадь кривой поверхности сферического сегмента,
если в его осевом сечении дуга равна а , а длина хорды равна а.
Рис. 25
278 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
585. Найти полную поверхность сферического сектора с углом а
при вершине осевого сечения и радиусом R.
586. В треугольнике даны сторона а и углы В и С. Найти по­
верхность S и объем V тела, полученного от вращения треугольника
вокруг данной стороны.
587. Ромб со стороной а и острым углом а вращается вокруг оси,
проходящей через вершину острого угла перпендикулярно его сторо­
не. Найти поверхность и объем тела вращения.
588. Даны углы треугольника АВС. Найти отношение объе­
мов Уа , Vbt Ус тел, полученных от вращения этого треугольника
последовательно вокруг сторон а, b и с.
589. В прямоугольной трапеции, описанной вокруг круга радиу­
са г, дан острый угол а. Вычислить боковую поверхность тела,
полученного от вращения этой трапеции вокруг меньшей из непарал­
лельных сторон.
590. Вычислить объем У и полную поверхность S тела, образо­
ванного вращением кругового сегмента радиуса R вокруг диаметра,
проходящего через конец его дуги а.
591. Круговой сегмент, содержащий дугу а и хорду а, вращает­
ся вокруг диаметра, параллельного хорде. Вычислить поверхность и
объем тела вращения.
592. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания
равна а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол а.
В эту пирамиду вписан куб так, что четыре из его вершин лежат на
апофемах пирамиды. Найти ребро куба.
593. Правильная треугольная пирамида с ребром основания а и
двугранным углом а при этом ребре пересечена плоскостью, парал­
лельной основанию, так, что площадь полученного сечения равна
площади боковой поверхности образовавшейся усеченной пирамиды.
Вычислить расстояние секущей плоскости от вершины пирамиды.
594. Две правильные треугольные пирамиды имеют общую вы­
соту; вершина каждой пирамиды лежит в центре основания другой;
боковые ребра одной пересекают боковые ребра другой. Боковое реб­
ро I одной пирамиды образует с высотой угол а , боковое ребро вто­
рой образует с высотой угол (3. Вычислить объем общей части двух
пирамид.
595. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде сторона
большего (нижнего) основания равна а ; боковое ребро также равно а
и составляет со стороной нижнего основания угол а. Центр нижнего
основания служит вершиной пирамиды, основание которой совпадает
с верхним основанием данной усеченной пирамиды. Вычислить раз­
ность объемов усеченной и внутренней пирамид.
§ 8. Применение тригонометрических функций в стереометрии 279
5 9 6 . В конус с радиусом основания R и углом а между высотой
и образующей вписан шар. Вычислить объем части конуса, располо­
женной над шаром.
5 9 7 . В конус вписана правильная n-угольная пирамида, плоский
угол при вершине которой равен а. Вычислить площадь боковой по­
верхности конуса, если радиус его основания г.
5 9 8 . Два конуса имеют концентрические основания и общую
высоту h. Разность углов, составляемых образующими с осью, рав­
на Д, угол наклона образующей внутреннего конуса к плоскости его
основания равен а. Вычислить объем части пространства, заключенной
между поверхностями конусов.
5 9 9 . Сторона основания правильной n-угольной пирамиды рав­
на а, двугранный угол при основании равен ip. Найти радиус шара,
вписанного в пирамиду.
6 0 0 . Найти радиус шара, вписанного в правильную п-угольную
пирамиду, сторона основания которой равна а и плоский угол при
вершине равен а.
6 0 1 . Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Я;
перпендикуляр, опущенный из центра шара, описанного вокруг пи­
рамиды, на ее боковую грань, образует с высотой угол а. Вычислить
объем шара.
6 0 2 . Правильный треугольник, сторона которого а, вращается
вокруг оси, проходящей вне его через конец его стороны под углом а
к этой стороне. Вычислить площадь поверхности тела вращения.
6 0 3 . Образующая конуса равна а, расстояние от вершины конуса
до центра вписанного в него шара равно Ь. Найти угол между обра­
зующей и плоскостью основания.
6 0 4 . Основанием пирамиды служит прямоугольник. Из боковых
граней две перпендикулярны плоскости основания, а две другие об­
разуют с ней углы а и /3. Высота пирамиды равна Я. Вычислить
объем пирамиды.
6 0 5 . Площадь основания цилиндра относится к площади его
осевого сечения, как т : п. Найти острый угол между диагоналями
осевого сечения.
6 0 6 . Основанием пирамиды служит квадрат A BC D . Ребро D E
перпендикулярно плоскости основания, ребро B E наклонено к ней
под углом /3 и имеет длину I. Вычислить длины остальных боковых
ребер и углы наклона ребер А Е и С Е к плоскости основания пира­
миды.
6 0 7 . Боковое ребро правильной треугольной призмы и сторона
основания имеют равную длину. Найти угол между стороной осно­
вания и не пересекающей ее диагональю боковой грани.
280 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
6 0 8 . В основании пирамиды лежит равнобедренный треуголь­
ник; боковые стороны этого основания равны а и образуют угол 120°.
Боковое ребро пирамиды, проходящее через вершину тупого угла,
перпендикулярно плоскости основания, а остальные два наклонены к
ней под углом а. Вычислить площадь сечения пирамиды плоскостью,
которая проходит через наибольшую сторону основания пирамиды и
делит пополам ребро, перпендикулярное основанию.
6 0 9 . Найти косинус угла между апофемой и диагональю основа­
ния правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро
и сторона основания имеют равную длину.
6 1 0 . В пирамиде с прямоугольным основанием каждое из боковых
ребер равно /, один из плоских углов при вершине равен а , другой
равен /3. Вычислить площадь сечения, проходящего через биссект­
рисы углов, равных /3.
6 1 1 . Отношение боковой поверхности правильной треугольной
пирамиды к площади ее основания равно к. Найти угол между бо­
ковым ребром и высотой пирамиды.
6 1 2 . В параллелепипеде все грани — равновеликие ромбы со
сторонами а и острыми углами а. Вычислить объем этого паралле­
лепипеда.
6 1 3 . Вокруг шара описан усеченный конус, у которого площадь
одного основания в четыре раза больше площади другого основания.
Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
6 1 4 . В основании прямой призмы лежит равнобедренный треу­
гольник с боковой стороной, равной а, и углом при основании, рав­
ным а. Через основание треугольника, являющегося верхней гранью,
и противоположную вершину нижнего основания проведена плоскость,
образующая с плоскостью основания угол (3. Вычислить боковую
поверхность *§бок призмы и объем V\ отсеченной четырехугольной
пирамиды.
6 1 5 . Через сторону нижнего основания куба проведена плоскость,
делящая объем куба в отношении т : п, считая от нижнего основа­
ния. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.
6 1 6 . Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды
равна //, боковое ребро и диагональ пирамиды наклонены к плоскос­
ти ее основания под углами соответственно а и /3. Найти ее боковую
поверхность.
6 1 7 . В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоуголь­
ный треугольник с катетом а. Одно из боковых ребер пирамиды пер­
пендикулярно плоскости основания, а другие два наклонены к ней
под одним и тем же углом а. Плоскость, перпендикулярная основа­
нию, дает в сечении с пирамидой квадрат. Вычислить его площадь.
§ 8. Применение тригонометрических функций в стереометрии 281
6 1 8 . В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при
основании равен а. Боковая поверхность равна S. Найти расстояние
от центра основания до боковой грани.
6 1 9 . На двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся пря­
мых, кратчайшее расстояние между которыми \PQ\ = h, даны две
точки Л и Б, из которых отрезок PQ виден под углами а и /3. Найти
угол 7 наклона отрезка АВ к отрезку PQ.
6 2 0 . Плоский угол при вершине правильной n-угольной пирамиды
равен а. Отрезок прямой, соединяющий центр основания пирамиды с
серединой бокового ребра, равен а. Найти полную поверхность пира­
миды.
6 2 1 . Боковая поверхность цилиндра, будучи развернута, представ­
ляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна d и составляет
с основанием угол а. Найти объем цилиндра.
6 2 2 . Найти центральный угол в осевом сечении шарового сектора,
если его шаровая поверхность равновелика конической.
6 2 3 . Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2а, а сумма
длин его высоты и образующей равна т . Найти объем V и полную
поверхность Sn конуса.
6 2 4 . Найти отношение объема шарового сегмента к объему всего
шара, если дуга в осевом сечении сегмента соответствует централь­
ному углу, равному а.
6 2 5 . Объем конуса равен V . Его высота разделена на три части
одинаковой длины, и через точки деления проведены плоскости па­
раллельно основанию. Найти объем средней части.
6 2 6 . В усеченный конус вписан шар. Сумма диаметров верхнего
и нижнего оснований конуса в пять раз больше радиуса шара. Найти
угол между образующей конуса и плоскостью основания.
6 2 7 . Найти объем конуса, если в его основании хорда, равная а,
стягивает дугу а, а высота конуса составляет с образующей угол /3.
6 2 8 . Найти угол между образующей конуса и плоскостью основа­
ния, если боковая поверхность конуса равновелика сумме площадей
основания и осевого сечения.
6 2 9 . На одном и том же основании построены два конуса (один
внутри другого); угол между высотой и образующей меньшего конуса
равен а, а угол между высотой и образующей большего конуса ра­
вен /3. Разность высот конусов равна h. Найти объем, заключенный
между боковыми поверхностями этих конусов.
6 3 0 . Вокруг шара описана прямая призма, основанием которого
служит ромб. Большая диагональ призмы составляет с плоскостью
основания угол, равный а. Найти острый угол ромба.
282 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
631. Боковая поверхность конуса равна S, а полная поверх­
ность — Р. Найти угол между высотой и образующей.
632. Найти угол между высотой и образующей конуса, боковая
поверхность которого делится на две равновеликие части линией пе­
ресечения ее со сферической поверхностью, имеющей центр в вершине
конуса и радиус, равный высоте конуса.
633. Конус с высотой Н и углом а между образующей и высотой,
рассечен сферической поверхностью с центром в вершине конуса так,
что объем конуса оказался разделенным пополам. Найти радиус этой
сферы.
634. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу
основания конуса. Найти угол между осью конуса и его образующей,
если полная поверхность цилиндра относится к площади основания
конуса, как 3:2.
635. В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания рав­
на d и составляет угол а со стороной основания. Через эту сторону
и противоположную ей сторону верхнего основания проведена плос­
кость, образующая с плоскостью основания угол, равный (3. Найти
боковую поверхность параллелепипеда.
636. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
вписанный в основание конуса. Вершина пирамиды совпадает с вер­
шиной конуса. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты основа­
ния, составляют с плоскостью основания углы, равные а и (3. Найти
отношение объема пирамиды к объему конуса.
637. В треугольнике даны основание а и прилежащие углы а
и 90°+ а. Вычислить объем тела, полученного от вращения этого
треугольника вокруг его высоты.
638. Из конца диаметра шара проведена хорда так, что поверх­
ность, образуемая вращением ее вокруг диаметра, делит объем шара
пополам. Вычислить угол а между хордой и диаметром.
639. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен V.
Угол наклона ее бокового ребра к плоскости основания равен а.
Найти боковое ребро пирамиды.
640. Разность между образующей конуса и его высотой равна d,
а угол между ними равен а. Найти объем конуса.
641. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пи­
рамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основания.
Найти этот угол.
642. Найти высоту тетраэдра, объем которого равен V.
643. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды в
пять раз больше площади ее основания. Найти плоский угол при вер­
шине пирамиды.
§ 8. Применение тригонометрических функций в стереометрии 283
644. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды /, а вы­
сота пирамиды h. Вычислить двугранный угол при основании.
645. Сторона большего основания правильной четырехугольной
усеченной пирамиды равна а. Боковое ребро и диагональ пирамиды
составляют с плоскостью основания углы, равные соответственно а
и /3. Найти площадь меньшего основания пирамиды.
646. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треуголь­
ник с острым углом а. Диагональ большей боковой грани равна d и
образует с боковым ребром угол (3. Найти объем призмы.
647. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треу­
гольник, у которого основание равно а и угол при основании равен а.
Найти объем призмы, если ее боковая поверхность равновелика сумме
площадей ее оснований.
648. Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются под уг­
лом, равным су, обращенным к основанию. Объем цилиндра равен V.
Найти высоту цилиндра.
649. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна т .
Двугранный угол при основании равен а. Найти полную поверхность
пирамиды.
650. Найти острый угол ромба, зная, что объемы тел, получен­
ных от вращения ромба вокруг его большей диагонали и вокруг его
стороны, равны.
651. Полная поверхность правильной треугольной пирамиды рав­
на S. Зная, что угол между боковой гранью и основанием пирамиды
равен а , найти сторону основания пирамиды.
652. Через диагональ нижнего основания правильной четырех­
угольной призмы и противоположную вершину ее верхнего основа­
ния проведена плоскость. Угол между равными сторонами сечения
равен а. Найти отношение высоты призмы к стороне основания.
653. Вычислить угол наклона боковой грани правильной пяти­
угольной пирамиды к плоскости основания, если площадь основания
пирамиды равна S, а боковая поверхность равна а.
654. Плоскость, проведенная параллельно оси цилиндра, делит
окружность основания в отношении т : п. Площадь сечения равна S.
Найти боковую поверхность цилиндра.
655. Боковые ребра правильной усеченной треугольной пирамиды
наклонены к плоскости основания под углом а. Сторона нижнего
основания равна а, а верхнего b (а > Ь). Найти объем усеченной пи­
рамиды.
656. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды попарно
взаимно перпендикулярны. Найти угол между боковой гранью и плос­
костью основания.
284 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
657. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник
с углом а при основании. Все боковые ребра наклонены к плоскости
основания под равными углами ср = 90° — а. Площадь сечения, прове­
денного через высоту пирамиды и вершину равнобедренного треуголь­
ника, лежащего в основании, равна Q. Найти объем пирамиды.
658. В конус вписана треугольная пирамида, у которой боковые
ребра попарно взаимно перпендикулярны. Найти угол между обра­
зующей конуса и его высотой.
659. Вычислить объем правильной четырехугольной призмы, если
ее диагональ образует с боковой гранью угол а , а сторона основания
равна Ь.
660. Найти угол между образующей и высотой конуса, у которого
боковая поверхность есть среднее пропорциональное между площадью
основания и полной поверхностью.
661. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треу­
гольник с гипотенузой с и острым углом а. Через гипотенузу нижне­
го основания и вершину прямого угла верхнего основания проведена
плоскость, образующая с плоскостью основания угол (3. Вычислить
объем треугольной пирамиды, отсеченной от призмы плоскостью.
662. Все боковые ребра треугольной пирамиды составляют с плос­
костью основания один и тот же угол, равный одному из острых
углов прямоугольного треугольника, лежащего в основании пирами­
ды. Найти этот угол, если гипотенуза этого треугольника равна с, а
объем пирамиды равен V.
663. В основании прямой призмы лежит четырехугольник, в ко­
тором два противолежащих угла — прямые. Диагональ основания,
соединяющая вершины непрямых углов, имеет длину I и делит один
из этих углов на части а и (3. Площадь сечения, проведенного через
другую диагональ основания перпендикулярно к нему, равна S. Най­
ти объем призмы.
664. Сторона ромба равна а, его острый угол равен а. Ромб вра­
щается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно
большей диагонали. Найти объем тела вращения.
665. Объем шара равен V. Найти объем его сектора, у которого
центральный угол в осевом сечении равен а.
666. Угол между высотой правильной треугольной пирамиды и
пирамиды центр описанного шара?
667. Сторона основания правильной четырехугольной призмы
равна а. Угол между пересекающимися диагоналями двух смежных
боковых граней равен а. Найти объем призмы.
боковым ребром равен каком отношении делит высоту
§ 8. Применение тригонометрических функций в стереометрии 285
668. Сторона основания треугольной пирамиды равна а, приле­
жащие к ней углы основания равны а и /3. Все боковые ребра сос­
тавляют с высотой пирамиды один и тот же угол, равный ср. Найти
объем пирамиды.
669. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол
при основании равен а. Через его ребро проведена плоскость, сос­
тавляющая с основанием угол /3. Сторона основания равна а. Найти
площадь сечения.
670. Расстояние от центра основания конуса до его образующей
равно d. Угол между образующей и высотой равен а. Найти полную
поверхность конуса.
671. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основа­
ния равна а, а двугранный угол при основании равен а. Через две
противоположные стороны основания пирамиды проведены две плос­
кости, пересекающиеся под прямым углом. Вычислить длину отрезка
линии их пересечения, заключенного внутри пирамиды, если известно,
что он пересекает ось пирамиды.
672. В конус вписан шар, площадь поверхности которого равна
площади основания конуса. Найти косинус угла при вершине в осе­
вом сечении конуса.
673. Прямой параллелепипед, имеющий в основании ромб со сто­
роной а и острым углом а, пересечен плоскостью, проходящей через
вершину угла а и дающей в сечении ромб с острым углом —. Найти
площадь этого сечения.
674. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треу­
гольник, у которого боковая сторона равна а и угол между боковыми
сторонами равен а. Найти объем призмы, если ее боковая поверх­
ность равна S.
675. Центр шара, вписанного в правильную четырехугольную пи­
рамиду, делит высоту пирамиды в отношении т : п, считая от верши­
ны пирамиды. Найти угол между двумя смежными боковыми гранями.
676. Через вершину конуса под углом ср к основанию проведена
плоскость, отсекающая от окружности основания дугу а ; расстояние
плоскости от центра основания равно а. Найти объем конуса.
677. Шаровой сегмент шара радиуса R имеет полную поверх­
ность S. Найти его высоту.
678. Найти объем тела, полученного при вращении треугольни­
ка А ВС вокруг стороны ЛБ, если его площадь 5, сторона \АС\ = b
и СА В = а.
679. В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая
конуса равна I и наклонена к плоскости основания под углом а.
286 Разд. IV. Геометрия. С тереометрия
680. В шар радиуса R вписана прямая треугольная призма. Осно­
ванием призмы служит прямоугольный треугольник с острым уг­
лом а ее наибольшая боковая грань является квадратом. Найти
объем призмы.
681. В усеченный конус вписан шар радиуса г. Образующая кону­
са наклонена к основанию под углом а. Найти боковую поверхность
усеченного конуса.
682. В шар радиуса R вписан усеченный конус, отсекающий от
шара два сегмента с дугами в осевом сечении, равными а и /3. Найти
боковую поверхность усеченного конуса.
683. В правильную треугольную призму вписан шар. Найти от­
ношение поверхности шара к полной поверхности призмы.
684. Доказать, что для любой призмы, описанной вокруг сфе­
ры, отношение площади боковой поверхности к площади основания
равно 4.

Экзаменационные задачи

37. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен су.
Найти отношение радиусов вписанной и описанной окружностей.
38. Даны стороны треугольника: а = 13, 6 = 14, с = 15. Две из
них (а и Ь) служат касательными к окружности, центр которой лежит
на третьей стороне. Вычислить радиус окружности.
39. Вокруг круга радиуса R описан равнобедренный треугольник
с углом 120°. Найти его стороны.
40. Вокруг круга радиуса г описана прямоугольная трапеция,
Зг наименьшая из сторон которой равна — . Найти площадь трапеции.
41. Найти площадь сегмента, если периметр его равен р, а дуга
составляет 120°.
42. В сектор радиуса R с центральным углом а вписан круг. Най­
ти его радиус.
43. Основание A D прямоугольника A B C D , в три раза большее его
высоты ЛВ, точками М и N разделено на три части равной длины.
Найти АМВ + МЮЗ + Ш дВ .
44. Найти длину отрезка прямой, параллельной основаниям тра­
пеции и проходящей через точку пересечения диагоналей, если осно­
вания трапеции равны а и Ь.
45. В равнобочной трапеции даны основания а = 21 см, 6 = 9 см и
высота h = 8 см. Найти радиус описанной окружности.
46. Две окружности радиусов й = 3смиг = 1см касаются внеш­
ним образом. Найти расстояния от точки касания окружностей до их
общих касательных.
47. В равнобедренном треугольнике основание равно 16, а боко­
вая сторона 10. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и
расстояние между их центрами.
48. Дан квадрат, две вершины которого лежат лежат на окруж­
ности радиуса Я, а две другие вершины лежат на касательной к этой
окружности. Найти диагональ квадрата.
49. Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной
ю ~ 2 12 см и касательная, длина которой составляет - внутреннего отрезка
секущей. Вычислить длину касательной.
§ 1. Экзаменационные задачи по разделам 445
50. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со
стороной, равной 6 см, так, что угол в 60° у них общий и все вершины
ромба лежат на сторонах треугольника. Найти стороны треугольника.
51. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного
треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник,
равен 3 см, а меньший катет равен 10 см.
52. Доказать, что сумма расстояний любой точки, взятой внутри
правильного многоугольника, до всех его сторон есть величина посто­
янная.
53. Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на
его диагональ, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 см и 15 см.
Разность длин сторон параллелограмма равна 7 см. Найти стороны
параллелограмма и его диагонали.
54. Из точки М, отстоящей от центра окружности на расстоя­
ние ш, проведены к ней две касательные. Найти радиус окружности,
если расстояние между точками касания равно а (а ^ т ).
55. Вокруг окружности описана равнобочная трапеция, у которой
боковая сторона равна /, одно из оснований равно а. Найти площадь
трапеции.
56. Расстояния от точки М, взятой внутри треугольника, до сто­
рон равны ж, ?/, Z] соответствующие высоты равны а, 6, с. Доказать,
X и Z
Ч Т О ---- Ь 7- + - = 1.
а о с
4. Составление уравнений
57. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После
обогащения руды, состоящего в удалении из руды 200 кг примесей,
содержащих в среднем 12,5 % железа, процент содержания железа в
оставшейся руде повысился на 20%. Вычислить количество железа,
содержащегося в руде после ее обогащения.
58. Сплав из меди и цинка массой а кг при погружении в воду
«потерял» в своей массе b кг. Вычислить количество меди и цинка в
этом сплаве, если известно, что медь «теряет» в воде р% своей массы,
а цинк q%.
59. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля а%
и Ь%. Сколько нужно взять каждого из сортов, чтобы получить с
тонн стали с содержанием d% никеля?
60. Хозяйством было заготовлено на зиму а тонн кормов для
скота. Но b голов скота отправили в соседнюю область и вследствие
этого норма кормов на голову скота увеличилась на с тонн. Сколько
тонн кормов предполагалось расходовать на голову скота первона­
чально?
61. Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру
перенести влево (т. е. поместить вначале), то новое число будет на
единицу больше утроенного первоначального числа. Найти это число.
446 Прил. III. Экзаменационные задачи
62. Несколько человек должны вырыть канаву и могли бы окон­
чить работу за 24 ч, если бы делали ее все одновременно. Вместо этого
они приступили к работе один за другим через равные промежутки
времени, а затем каждый работал до окончания всей работы. Сколько
времени они рыли канаву, если первый приступивший к работе прора­
ботал в 5 раз больше последнего?
63. Наняты двое рабочих по разным ставкам. Первый полу­
чил а руб., а второй, работавший меньше первого на п дней, по­
лучил с руб. Если бы первый работал столько дней, сколько второй,
а второй — столько, сколько первый, то они получили бы поровну.
Сколько дней работал каждый?
64. Из котлована, в который каждый час прибывает т м3 воды и
по отводящей трубе вытекает п м3 воды (ш > п), два насоса начали
откачивать воду, когда в нем было N м3 воды. Производительность
каждого насоса равна а м3 в час (а > т — п), а стоимость одного часа
работы г руб. Сколько времени до осушения котлована работали оба
насоса одновременно и сколько времени работал один из них, если на
осушение было затрачено R руб.? Указать условия работы с наимень­
шими затратами.
65. Три трактора разной производительности вспахивают два
поля разной величины. Один третий трактор может вспахать второе
поле на 3 ч быстрее, чем первый вспахивает первое поле, но на два
часа медленнее, чем второй может вспахать первое поле. Первый и
второй тракторы вместе могут вспахать первое поле на 6 ч быстрее,
чем третий вспашет второе поле. За сколько часов третий трактор
вспашет второе поле?
66. Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить боль­
шой луг, они после полудня разделились: половина косцов осталась на
первом лугу и к вечеру его докосила, а остальные перешли косить на
второй луг площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов,
если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть рабо­
ты выполнил один косец?
67. На велогонках два велосипедиста помчались в одном направ­
лении. Следом за ними, через 10 мин с того же старта, начал путь
третий велосипедист. Сначала он обогнал первого велосипедиста, пос­
ле чего находился в пути еще 20 мин, пока догнал второго. На всем
пути каждый велосипедист шел с постоянной скоростью: а км/ч —
первый велосипедист и b км/ч — второй. Найти скорость третьего
велосипедиста.
68. Три положительных числа составляют геометрическую прог­
рессию, произведение первого и третьего членов которой равно 36.
Найти число членов арифметической прогрессии, первый член кото­
рой равен второму члену данной геометрической прогрессии, разность
равна 4 и сумма всех членов равна 510.
69. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии, все
члены которой положительные числа, равна 221. Третий член этой
§ 1. Экзаменационные задачи по разделам 447
прогрессии больше первого на 136. Найти сумму шести членов данной
прогрессии.
70. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 6, а сумма ее четырех первых членов равна 5 -. Найти первый
член этой прогрессии.
71. Первый автомат изготовляет деталь на 6 с быстрее второго.
Сколько деталей изготовит каждый автомат за 7 мин, если первый из
них выпускает за это время на 8 деталей больше второго?
72. По двум окружностям равномерно вращаются две точки. Одна
из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэто­
му успевает сделать в 1 мин на два оборота больше. Сколько оборотов
в каждую минуту совершает каждая точка?
73. Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и по­
лучили 600 г 15 %-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора
было взято для смеси?
74. Население страны ежегодно увеличивается на — . Через сколь­
ко лет население этой страны удвоится, если темп прироста будет
тем же?

111. В конусе даны радиус основания R и угол а между образу­
ющей и плоскостью основания. В конус вписана прямая треугольная
призма с равными ребрами так, что ее нижнее основание лежит в
плоскости основания конуса. Вычислить длину ее ребер.
112. Образующая конуса равна I и наклонена к основанию под
углом а. Найти высоту вписанного в конус равностороннего цилинд­
ра, если нижнее основание цилиндра лежит в плоскости основания
конуса.
§ 1. Экзаменационные задачи по разделам 449
113. Внутри куба, ребро которого а, помещен конус так, что его
вершина совпадает с одной из вершин куба, а окружность основания
касается трех граней куба, сходящихся в противоположной вершине.
Образующая конуса составляет с его осью угол а. Найти радиус ос­
нования конуса.
114. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро рав­
но b и образует с плоскостью основания угол а. В эту пирамиду
вписан равносторонний цилиндр так, что одна из образующих рас­
положена на диагонали основания пирамиды, а окружность каждого
основания касается двух смежных боковых граней пирамиды. Найти
радиус основания цилиндра.
115. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, опи­
санного вокруг правильной треугольной усеченной пирамиды, если
острый угол в боковой грани пирамиды равен а, а радиус вписанного
в нее круга равен г.
116. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед; большая
сторона его основания а, угол между диагональю параллелепипеда и
его большей боковой гранью /3, а угол между диагональю параллеле­
пипеда и плоскостью его основания равен а. Найти площадь боковой
поверхности цилиндра.
117. В правильной треугольной пирамиде вершина основания на­
ходится на расстоянии b от противоположной боковой грани. Найти
площадь поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду, зная,
что апофема пирамиды наклонена к плоскости основания под углом а
(6 = 10,16 м; а = 61°16').
118. Угол между образующей и плоскостью основания конуса ра­
вен а. Объем вписанного в конус шара равен V. Найти объем конуса.
119. В конус помещены два шара так, что они касаются друг дру­
га и поверхности конуса. Отношение радиусов этих шаров равно т : п
( т > п). Найти величину угла при вершине осевого сечения конуса.
120. В правильной четырехугольной пирамиде центры вписанного
и описанного шаров совпадают. Найти двугранный угол при ребре
основания пирамиды.
121. Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом а
между диагоналями, а боковые ребра образуют с плоскостью основа­
ния угол ip. Вычислить объем этой пирамиды, если радиус описанного
вокруг нее шара равен R.
122. Вычислить объем и полную поверхность шарового сектора,
вырезанного из шара радиуса R и имеющего в осевом сечении угол а.
123. Вокруг шара описана правильная четырехугольная усеченная
пирамида; объем восьмигранника, вершинами которого служат точки
касания поверхности шара с гранями усеченной пирамиды, вчетверо
меньше объема шара. Найти двугранные углы при ребре основания
пирамиды.
29 В. А. Бачурин
450 Прил. III. Экзаменационные задачи
124. Шар касается боковой поверхности конуса по окружности
основания. Поверхность шара делится при этом на две части, из ко­
торых одна в п раз больше другой. Вычислить угол наклона образую­
щей конуса к плоскости его основания.
125. На плоскости основания равностороннего конуса (вне кону­
са) дана точка, удаленная от окружности основания на расстояние
радиуса. Через точку проведены к конусу две касательные плоскости.
Найти угол между ними.
126. В усеченной правильной четырехугольной пирамиде стороны
оснований относятся как т : п ( т > п); боковые ребра наклонены к
плоскости большего основания под углом а. В этой пирамиде прове­
дена плоскость через сторону большего основания и противоположную
ей сторону меньшего основания. Какой угол образует эта плоскость с
большим основанием пирамиды?
127. Стороны основания треугольной пирамиды равны а, b и с;
каждый двугранный угол при ребрах основания равен а. Вычислить
площадь боковой поверхности и объем пирамиды.
128. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
боковые стороны которого равны а и угол между ними равен а. Бо­
ковые ребра наклонены к плоскости основания под углом /3. В этой
пирамиде проведена плоскость через ее высоту и вершину угла а.
Вычислить площадь полученного сечения.
129. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания
равна а и боковое ребро наклонено к плоскости основания под уг­
лом а. Из центра основания пирамиды на две смежные боковые гра­
ни опущены перпендикуляры. Найти площадь сечения, образованного
плоскостью, проведенной через два построенных перпендикуляра.
130. В правильной четырехугольной пирамиде через сторону ос­
нования проведена плоскость, перпендикулярная противоположной
боковой грани. Найти площадь получившегося сечения, если сторона
основания пирамиды равна а и двугранный угол при основании ра­
вен а.
131. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна /г, а
двугранный угол при ребре основания равен а. Вычислить площадь
сечения, образованного плоскостью, проходящей через середину высо­
ты пирамиды параллельно боковой грани.
132. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания
равна а и двугранный угол при ребре основания равен 2а. Вычислить
площадь сечения, которое делит данный двугранный угол пополам.
133. В правильной n-угольной пирамиде двугранный угол при бо­
ковом ребре равен 2а. Найти двугранный угол при ребре основания.
134. В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна а и составляет с боковым ребром угол а. Вычислить площадь
§ 1. Экзаменационные задачи по разделам 451
сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пирамиды. Поче­
му угол а должен быть больше 30°?
135. В треугольной призме два угла основания равны а и /3, ради­
ус описанной вокруг основания окружности равен R. Каждое боковое
ребро длины а наклонено к плоскости основания под углом ip. Вычис­
лить объем призмы.
136. Высота правильной треугольной призмы равна h. Через одно
из ребер основания и противоположную ему вершину другого осно­
вания проведена плоскость. Найти площадь полученной в сечении
фигуры, если угол при взятой вершине призмы равен 2а. Исследо­
вать формулу решения.
137. От правильной четырехугольной призмы плоскостью, про­
ходящей через диагональ нижнего основания и одну из вершин верх­
него основания, отсечена пирамида с полной поверхностью S. Найти
полную поверхность призмы, если угол при вершине треугольника,
получающегося в сечении, равен а.
138. Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом а.
Как надо пересечь эту призму, чтобы в сечении получился квадрат с
вершинами на боковых ребрах?
139. В правильной четырехугольной призме проведена плоскость
через середину оси и середины двух последовательных сторон осно­
вания. Сторона основания равна а, а боковое ребро равно Ь. Найти
угол между проведенной плоскостью и основанием.
140. Через боковое ребро правильной треугольной пирамиды про­
ведена плоскость, делящая объем пирамиды в отношении т : п. На
какие части эта плоскость делит двугранный угол между боковыми
гранями?

енный к хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности)
дугу в отношении 5 : 2?
451. При делении некоторого двузначного числа на сумму его
цифр в частном получается 6, а в остатке 2. Если же это число разделить
на произведение его цифр, то в частном получится 5, а в остатке — опять
2. Найти это число.
452. Найти центральный угол в осевом сечении шарового сектора,
если его сферическая поверхность равновелика конической. В каком от­
ношении наибольшее поперечное сечение делит ось шарового сектора?

456. Окружность разделена в отношении 5:9: 10, и через точки
деления проведены касательные. Вычислить больший угол в получен­
ном треугольнике.
457. Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2:3,
а другая — в отношении 3 : 7. Сколько ведер нужно взять из каждой
бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были
бы в отношении 3 : 5?
458. Вокруг шара описана усеченная правильная четырехуголь­
ная пирамида, в которой стороны большего и меньшего оснований
относятся как т : п. Как наклонены к плоскости большего основания
боковая грань и боковое ребро?

468. Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр
и две наклонные. Вычислить длину перпендикуляра, если наклон­
ные равны 41 см и 50 см, а их проекции на данную прямую относятся
как 3:10.
469. 37 кг олова «теряют» в воде 5 кг своей массы, 23 кг свинца
теряют 2 кг. Сплав обоих металлов в 120 кг «теряет» в воде 14 кг.
Сколько в сплаве олова и сколько свинца, если объем сплава равен
сумме объемов компонентов?
470. Конус и сферический сегмент (меньше полушара) имеют об­
щее основание, а их боковые поверхности взаимно касаются. Найти
угол между образующей и основанием конуса, если боковая поверх­
ность конуса в п раз больше боковой поверхности сегмента.
471. При каких значениях а уравнение х 2 — 2ах + а2 = 1 имеет
два различных корня, заключенных в интервале (1; 5)?

473. Производительность станка А в т раз меньше суммарной
производительности станков В и (7, а производительность станка В
в п раз меньше суммарной производительности станков А и С. Во
сколько раз производительность станка С меньше суммарной произ­
водительности станков А и В?
474. Диагонали ромба равны 14 дм и 48 дм. Вычислить высоту
ромба.
475. Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом а
между диагоналями, а боковые ребра образуют с плоскостью осно­
вания угол ip. Вычислить объем этой пирамиды, если радиус описан­
ного вокруг нее шара равен R.
476. Решить уравнение cos9x • cos5x = cos7x • cosSx.
477. При каких значениях т трехчлен 2х2 — 2х + Ь т будет иметь
положительные значения при любых действительных значениях х !

479. Дан параллелограмм, в котором острый угол 60°. Найти от­
ношение длин сторон, если отношение квадратов длин диагоналей
19
параллелограмма равно — .
480. Автомашина должна была пройти 840 км. В середине пути
она была задержана на 1 ч, и чтобы прибыть вовремя, она должна
была увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени затратила ав­
томашина на весь путь?
481. Найти поверхность шара, описанного вокруг треугольной
пирамиды, стороны основания которой a, b и с, а боковые ребра
наклонены к плоскости основания под углом а.

485. Через одну и ту же точку окружности проведены две хорды,
равные а и Ь. Если соединить их концы, то получится треугольник
площади Q. Вычислить радиус окружности.
486. Два колеса разных диаметров соединены бесконечным рем­
нем. Меньшее из них делает в минуту на 400 оборотов больше второ­
го. Большее колесо делает 5 оборотов в промежуток времени на 1 с
больший, чем время 5 оборотов меньшего. Сколько оборотов делает
каждое колесо в минуту?
487. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде сторона
большего (нижнего) основания равна а ; боковое ребро также равно а
и составляет со стороной нижнего основания угол а. Центр нижнего
основания служит вершиной пирамиды, основание которой совпадает
с верхним основанием данной усеченной пирамиды. Найти разность
объемов усеченной и внутренней пирамид.
488. Решить уравнение sinx-sin7x = sin3x-sin5x.

497. В прямоугольный треугольник, площадь которого рав­
на 6 см2, вписана окружность радиуса 1 см. Найти длину гипотенузы
треугольника.
498. Объем правильной треугольной пирамиды равен 2,25 см3,
сторона основания равна 3 см. Найти угол наклона бокового ребра
пирамиды к плоскости основания (в градусах).

509. Из точки, лежащей на окружности, проведены диаметр и
хорда, угол между которыми равен 90°. Длина дуги, заключенной
между диаметром и хордой, равна 3. Вычислить длину окружности.
510. Плоский угол при вершине правильной треугольной пира­
миды равен 60°, сторона основания равна 6д/2. Вычислить объем
пирамиды.

519. В окружность радиуса 10 вписан равнобедренный треуголь­
ник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру. Вычислить
длину высоты.
520. Вычислить длину образующей конуса, если его объем V =
= 7г куб. единиц, а образующая наклонена к плоскости основания под
углом 30°.

 пересечения с биссектрисой I координатного угла.
552. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная, проведен­
ная к кривой у = 2х3 — х в точке пересечения этой кривой с осью Оу1
553. В какой точке угловой коэффициент касательной к графику
функции у = 2х3 — 2х2 + х — 1 равен 3?
554. Тело движется по закону s(t) = 2t3 — 3£ + 4 (м). Найти его ско­
рость и ускорение в момент t — 2 сек.
555. Движения двух тел вдоль одной прямой заданы уравнения­
ми si = 4£2 + 2 (м), s2 = Ш2 + 4£ — 1 (м). Найти скорости движения тел
в те моменты (выраженные в секундах), когда тела «сходятся в одной
точке».
556. Показать, что функция у = х3 + 4ж возрастает на всей чис­ловой оси.

566. Прямоугольный лист жести имеет линейные размеры 5 дм х
х 8 дм. В четырех его углах вырезают одинаковые квадраты и де­
лают открытую коробку, загибая края под прямым углом. Какова
наибольшая вместимость полученной коробки?
567. Какие размеры нужно придать радиусу R и высоте Н от­
крытого цилиндрического бака, чтобы при данном объеме V на его
изготовление пошло наименьшее количество листового металла?
568. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который мож­
но вписать в шар радиуса R.
569. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра,
вписанного в полукруг радиуса R.

581. Определить высоту конуса, вписанного в шар радиуса R и
имеющего наибольшую площадь полной поверхности.
582. Найти три положительных числа, таких, чтобы их произве­
дение было наибольшим, при условии, что сумма первого и второго
чисел равна а, а сумма первого и третьего чисел равна 2а.

586. Каков должен быть радиус основания конуса с заданной
площадью боковой поверхности S, чтобы объем конуса был наи­
большим?
587. На параболе у = х2 взяты две точки с абсциссами х\ — 1,
Х2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке парабо­
лы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей?

 

594. Пусть Ж1 и i 2 — соответственно точка максимума и точка
минимума функции f(x) = 2х3 — 9ах2 + 12а2х + 1. При каких а спра­
ведливо соотношение х\ — х ^?
595. При каких значениях х обращается в нуль та из первооб­
разных функции f(x) = 7rsin 7гж + 2ж — 4, которая при х — \ имеет
значение 3?
596. Каким должен быть угол при вершине равнобедренного
треугольника, вписанного в данную окружность, чтобы его периметр
был наибольшим?

604. Найти радиус основания цилиндра, имеющего при данном
объеме V наименьшую полную поверхность.
605. Построить график функции у = х4 — 2х2 + 5.
606. Построить график функции у = х3 — Зж2 + 2.

666. Даны три точки Л(2; 1), Я(3; 1), (7(—4; 0), являющиеся
вершинами равнобочной^ трапеции ABCD. Вычислить координаты
точки D , если АВ = k С D .
667. Даны четыре некомпланарных вектора а, 6, с и d. Вычис­
лить сумму этих векторов, если а + b + с = pd, b + с + d = да.
668. Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Доказать, что
векторы а + 6, 6 + с, с —а компланарны.
669. Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Вычислить зна­
чение &, если векторы а + 6 + &с, 6 + с + &а, с + а + &6 компланарны.
670. Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Вычислить зна­
чения р и д, при которых векторы pa + gfr + c, a-\-pb-\-qc коллинеарны.
671. Даны два отрезка АВ и CD. Точка М Е [АВ] и точка N Е
Е [СИ] делят соответственно отрезки А В и CD на отрезки, отношение
которых равно &. Выразить вектор MTV через векторы АС и B D .
672. В окружность с центром О вписан треугольник А ВС ; Я —
ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника. Доказать, что
ОН = 0 А + 0~В + 0 С .
673. Дан треугольник А ВС ; Я — точка пересечения его высот.
Доказать, что НА • Я Я = Я Я • НС = НС • НА = &. Выразить к через
стороны треугольника.
674. Дан прямоугольный треугольник А ВС ; В С А = 90°, D —
основание^высоты, проведенной из^вершины прямого угла. Выразить
вектор CD через векторы С А, С В и катеты данного треугольника.
675. К окружности с центром О проведены из точки^ М две ка­
сательные; А и Я — точки касания. Разложить вектор МО по векто­
рам М А и М В , если AM В = <т.
§ 4• Выборочные задачи из экзаменационных билетов 479
676. Дан треугольник АВС. Прямая I пересекает прямые В С ,
С А, АВ^ в точках A i,B \,C \. Доказать, что векторы AB + A\B\,
В С + B\Ci, СА + С\А\ коллинеарны.
677. В треугольнике АВС проведена медиана С Со- Прямая /,
параллельная С Со, пересекает прямые ВС, СА и АВ соответственно
в точках А\ , В \ , С\. Доказать, что А\С\ + В\С\ = СА + С В .
678. Вектор с, перпендикулярный векторам а = (1; 1; 1) и b =
= (1; — 1; 3), образует с осью Oz тупой угол. Найти его координаты,
если известно, что |с| = 3.
679. Вектор а, у которого первая координата больше второй,
перпендикулярен вектору b = (1; —3; —1) и образует с осью Oz угол,
равный 135°. Найти его координаты, если известно, что \а\ = 5\/2-
680. Вектор а , коллинеарный вектору b = (12; —16; —15), образу­
ет с осью Oz острый угол. Зная, что \а\ = 100, найти его координаты.
681. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенно­
го на векторах а = 5p + 2<f и 6 = р — 3q, если известно, что \р\ = 2л/2,
\я\ = 3 И (p;q) =
682. Найти косинусы углов, которые образуют с базисными век­
торами вектор а = 6г — 6j — 3&.
683. Векторы а и b — единичные и взаимно перпендикулярные.
Найти угол между суммой и разностью векторов р и q, где р = 8а + 46
и q — 4а + Ь.
684. Вектор b коллинеарен вектору а = (6; 8; —7,5) и образует с
осью Oz острый угол. Зная, что |6| = 50, найти его координаты.
685. Векторы а и b взаимно перпендикулярны, а вектор с обра­
зует с каждым из них угол 60°. Зная, что |а| = 3, |6| = 5 и |с| = 8,
вычислить скалярное произведение (За —26) • (6 + Зс).
686. Вычислить координаты вершины С равностороннего треу­
гольника А ВС , если Л(1;3), Б(3; 1).
687. Даны векторы а = (—1; 2; 0) и 6 = (2; —3; —2). Найти коор­
динаты вектора 2а + - 6.


Категория: Математика | Добавил: Админ (05.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar