Тема №5692 Ответы по математике окружность78
Поиск задачи:

Рассмотрим тему Ответы по математике окружность78 из предмета Математика и все вопросы которые связанны с ней. Из представленного текста вы познакомитесь с Ответы по математике окружность78, узнаете ключевые особенности и основные понятия.

Уважаемые посетители сайта, если вы не согласны с той информацией которая представлена на данной странице или считаете ее не правильной, не стоит попросту тратить свое время на написание негативных высказываний, вы можете помочь друг другу, для этого присылайте в комментарии свое "правильное" решение и мы его скорее всего опубликуем.

1. Свойства окружности.
• Если хорда не является диаметром, то диаметр, проходящий через середину этой хорды,
перпендикулярен ей.
• Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
• Равные хорды удалены от центра на равные расстояния.
• Хорды, удалённые от центра на равные расстояния, равны.
Докажите эти свойства.
2. Через точку окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между
ними.
60◦
3. Через точку A окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Известно, что
∠BAC = α. Найдите ∠BOC.
α2
4. В окружности радиуса 1 угол между радиусами OA и OB равен 60◦
. Найдите AB.
1
5. Найдите угол между радиусами OA и OB, если расстояние от центра O окружности до
хорды AB: а) вдвое меньше AB; б) вдвое меньше OA.
90 а) ◦ 120 ; б) ◦
6. Дана окружность с центром O. На продолжении хорды AB за точку B отложен отрезок
BC, равный радиусу. Через точки C и O проведена секущая CD (точка O расположена между
точками C и D). Найдите ∠AOD, если ∠ACD = α.
α3
7. Даны две концентрические окружности и пересекающая их прямая. Докажите, что отрезки
этой прямой, заключённые между окружностями, равны.
8. Равные хорды окружности с центром O пересекаются в точке K. Докажите, что KO —
биссектриса угла, образованного этими хордами.
9. Прямая l, проходящая через общую точку A двух окружностей, пересекает вторично эти
окружности в точках B и C соответственно (точка A лежит между B и C). Расстояние между
проекциями центров окружностей на прямую l равно 1. Найдите BC.
2
1
10. Даны две перпендикулярные хорды окружности. Докажите, что расстояние от точки их
пересечения до центра окружности равно расстоянию между их серединами.
11. Даны две перпендикулярные хорды окружности. Каждая из них делится другой хордой на
отрезки, равные a и b (a < b). Найдите растояние от центра окружности до каждой хорды.
a −b
2
12. Докажите, середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
вокруг него окружности.
13. Найдите геометрическое место точек M, из которых отрезок AB виден под прямым углом
(то есть ∠AMB = 90◦
).
B, A и выколотыми точками AB Окружность с диаметром
14. В треугольнике ABC провели высоты AE и BH. Докажите, что точки A, H, E, B лежат
на одной окружности.
15. Через точку A, лежащую на окружности, проведены диаметр AB и хорда AC. Известно,
что AC = 4 и ∠BAC = 30◦. Найдите хорду CD, перпендикулярную AB.
4
16. Через концы диаметра окружности проведены две хорды, пересекающиеся на окружности.
Длины хорд равны 12 и 16. Найдите расстояния от центра окружности до этих хорд.
6 и 8
17. В окружности проведены диаметр AB и параллельные хорды AC и BD. Докажите, что
AC = BD, а CD — также диаметр.
18. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине A треугольника ABC пересекают
прямую BC в точках M и N. Докажите, что окружность, построенная на отрезке MN как на
диаметре, проходит через точку A.
19. На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность,
пересекающая гипотенузу AB в точке K. Найдите CK, если AC = 2 и ∠A = 30◦
1
20. Две окружности пересекаются в точках A и B, AC и AD — диаметры окружностей. Дока-
жите, что точки B, C, D лежат на одной прямой.
21. Докажите, что окружность, построенная на стороне равностороннего треугольника как на
диаметре, проходит через середины двух других сторон.
22. а) Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треуголь-
ника как на диаметре, проходит через середину основания.
б) Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через се-
редину другой стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный.
23. Докажите, что касательные к окружности, проведённые через концы диаметра, параллель-
ны.
2
24. Точки A и B лежат на окружности. Касательные к окружности, проведённые через эти
точки, пересекаются в точке C, причём AB = AC. Найдите углы треугольника ABC.
60◦ 60 ,
◦ 60 ,

25. Расстояние от точки M до центра O окружности равно диаметру. Через точку M проведены
две прямые, касающиеся окружности в точках A и B. Найдите углы треугольника AOB.
120◦ 30 ,
◦ 30 ,

26. Даны две концентрические окружности. Хорда большей окружности касается меньшей.
Докажите, что точка касания делит эту хорду пополам.
27. Докажите, что центр окружности, вписанной в угол, расположен на биссектрисе угла.
28. Окружность радиуса 3 касается сторон угла, равного 120◦
, в точках A и B. Найдите AB.
3
29. Две прямые касаются окружности с центром O в точках A и B и пересекаются в точке C.
Найдите угол между этими прямыми, если ∠ABO = 40◦
.
80◦
30. Две прямые, пересекающиеся в точке C, касаются окружности в точках A и B, причём
∠ACB = 120◦
. Докажите, что AC + BC = OC.
31. Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Докажите, что отрезок
секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под пря-
мым углом.
32. Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC. В треугольники ABM и ACM вписаны
окружности с центрами O1 и O2. Докажите, что ∠O1MO2 = 90◦
.
33. Найдите углы треугольника, если центры его вписанной и описанной окружностей совпа-
дают.
60◦ 60 ,
◦ 60 ,

34. Окружности радиусов R и r, центры которых расположены по разные стороны от некоторой
прямой, касаются этой прямой. Линия центров пересекает эту прямую под углом 30◦
. Найдите
расстояние между центрами окружностей.
)r + R2(
35. В прямой угол вписана окружность радиуса R, касающаяся сторон угла в точках A и B. Че-
рез точку меньшей дуги AB проведена касательная, отсекающая от данного угла треугольник.
Найдите его периметр.
R2
36. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a, проведена каса-
тельная, пересекающая две его стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника.
a
3
37. К окружности, вписанной в квадрат со стороной a, проведена касательная, пересекающая
две его стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника.
a
38. Прямая, параллельная хорде AB, касается окружности в точке C. Докажите, что треуголь-
ник ABC равнобедренный.
39. Точка A лежит вне окружности S с центром O. Окружность с диаметром OA пересекается
с окружностью S в точках B и C. Докажите, что прямые AB и AC касаются окружности S.
40. Из точки, лежащей вне двух концентрических окружностей, проведены четыре касательные
к этим окружностям. Докажите, что исходная точка и четыре точки касания лежат на одной
окружности.
41. Точка M расположена вне окружности с центром O. Через точку M проведены две прямые,
касающиеся окружности в точках A и B. Отрезок OM делится окружностью пополам. В каком
отношении отрезок AM делится прямой AB?
) O (считая от точки 1 : 3
42. Точка D — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Окружность,
вписанная в треугольник ACD, касается отрезка CD в его середине. Найдите острые углы
треугольника ABC.
30◦ 60 ,

43. Расстояние между равными параллельными хордами AB и CD равно радиусу окружности.
Найдите угол между прямыми AC и BD.
60◦
44. В окружности проведены равные хорды AB и CD. Их продолжения за точки B и C соответ-
ственно пересекаются в точке E. Докажите, что треугольники ADE и BCE равнобедренные.
45. Продолжения хорд AB и CD окружности с диаметром AD пересекаются под углом 25◦
.
Найдите угол между прямыми AC и BD.
25◦
46. Окружность, построенная на биссектрисе AD треугольника ABC как на диаметре, пере-
секает стороны AB и AC соответственно в точках E и F (отличных от A). Докажите, что
AE = AF.
47. На сторонах AB и AC треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, пере-
секающиеся (помимо A) в точке D. Докажите, что точки B, C, D лежат на одной прямой.
48. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит
гипотенузу пополам. Найдите острые углы треугольника,
45◦ 45 ,

4
49. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит
гипотенузу в отношении 1 : 3. Найдите острые углы треугольника,
30◦ 60 ,

50. Через точку A проведена прямая, пересекающая окружность с диаметром AB в точке K
(отличной от A), а окружность с центром B — в точках M и N. Докажите, что KM = KN.
51. Биссектрисы углов треугольника ABC пересекаются в точке K, а биссектрисы внешних
углов B и C пересекаются в точке L. Докажите, что точки B, C, K, L лежат на одной окруж-
ности.
52. Точки A, B, C, D последовательно расположены на окружности так, что центр O окруж-
ности лежит внутри четырёхугольника ABCD. Точки K, L, M и N — середины отрезков AB,
BC, CD и DE соответственно. Докажите, что ∠KON + ∠LOM = 180◦
.
53. На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре окружно-
сти. Докажите, что общая хорда окружностей, построенных на двух соседних сторонах, парал-
лельна общей хорде двух других окружностей.
54. Точки D, E и F — середины сторон AB, BC и AC (соответственно) равностороннего тре-
угольника ABC. Докажите, что прямая DE касается окружности, проходящей через точки C,
E, F.
55. Окружность вписана в треугольник со сторонами 5, 7 и 10. Найдите отрезки, на которые
наибольшая сторона делится точкой касания.
4 и 6
56. Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точ-
ка D на окружности расположены по разные стороны от прямой OA. Найдите угол CAD, если
∠AOD = 110◦
.
125◦
57. Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точ-
ка D на окружности расположены по одну сторону от прямой OA. Найдите угол CAD, если
∠AOD = 110◦
.
55◦
58. (Свойство описанного четырёхугольника) Если в четырёхугольник можно вписать окруж-
ность, то суммы его противоположных сторон равны. Докажите.
59. Окружность высекает на сторонах четырёхугольника равные хорды. Докажите, что в этот
четырёхугольник можно вписать окружность.
60. Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке K и продолжений двух
других сторон. Докажите, что периметры треугольников ABK и ACK равны.
5
61. В равнобедренный треугольник с основанием a вписана окружность. К окружности про-
ведены три касательные, отсекающие от данного треугольника три маленьких треугольника.
Найдите боковую сторону данного треугольника, если сумма периметров маленьких треуголь-
ников равна b.
a −b
2
62. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC в точках K, L
и M соответственно. Найдите угол KLM, если ∠A = 70◦
.
55◦
63. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC в
точках K, L и M соответственно. Найдите угол BOC, если ∠KLM = α.
180 −◦ α
64. Дан прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Докажите, что радиус
окружности, вписанной в этот треугольник, равен (a + b − c)/2.
65. Из вершины C прямого угла треугольника ABC проведена высота CH. Докажите, что
сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH, равна CH.
66. Сторона BC треугольника ABC равна a, полупериметр треугольника равен p. Вписанная
окружность касается стороны AB в точке K. Докажите, что AK = p − a.
67. CD — медиана треугольника ABC. Окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD,
касаются отрезка CD в точках M и N. Найдите MN, если AC − BC = 2.
1
68. На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка D так, что BD − AD =
= 10. Окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, касаются отрезка CD в точках E
и F. Найдите EF.
5
69. Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M, а продолжений сторон
AB и AC — в точках N и P соответственно. Вписанная в этот треугольник окружность касается
стороны BC в точке K, а стороны AB — в точке L. Докажите, что:
а) отрезок AN равен полупериметру треугольника ABC;
б) BK = CM;
в) NL = BC.
70. В треугольник со сторонами 3, 5 и 6 вписана окружность. К окружности проведена каса-
тельная так, что на пересекает две б´ольшие стороны. Найдите периметр отсечённого треуголь-
ника.
8
71. Докажите, что общие внешние (внутренние) касательные двух окружностей пересекаются
на прямой, проходящей через центры окружностей.
6
72. Докажите, что центры двух касающихся окружностей и точка касания лежат на одной
прямой.
73. Окружность с центром O касается внутренним образом большей окружности в точке A. Из
точки B большей окружности, диаметрально противоположной точке A, проведена хорда BC,
касающаяся меньшей окружности в точке K. Докажите, что OK k AC.
74. Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая
касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекают их общую касательную,
проходящую через K, в точке M. Докажите, что ∠O1MO2 = ∠AKB = 90◦
.
75. В угол, равный 60◦
, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом.
Радиус меньшей окружности равен r. Найдите радиус большей окружности.
r3
76. Две окружности касаются внутренним образом. Два радиуса большей окружности, угол
между которыми 60◦
, касаются меньшей окружности. Найдите отношение радиусов окружно-
стей.
1 : 3
77. Две окружности касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает эти
окружности вторично в точках B и C соответственно. Докажите, что касательные, проведённые
к этим окружностям в точках B и C, параллельны.
78. (Признак описанного четырёхугольника) Если в выпуклом четырёхугольнике суммы проти-
воположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность. Докажите.
7


Категория: Математика | Добавил: Админ (12.03.2016)
Просмотров: | Рейтинг: 0.0/0


Другие задачи:
Всего комментариев: 0
avatar